Polinomios - exercícios resolvidos

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POLINÔMIOS 
 
1. (Ueg 2013) A divisão do polinômio 
3 2x 2x – 5x – 6
 por 
   x 1 x – 2
 é igual a: 
a) x – 3 
b) x + 3 
c) x – 6 
d) x + 6 
 
2. (Espcex (Aman) 2012) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que 
       3 2A x B x 3x 2x x 1.
 Sabendo-se que 
1
 é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então 
    A 3 B 1
 é igual a: 
a) 98 
b) 100 
c) 102 
d) 103 
e) 105 
 
3. (Udesc 2012) Seja r(x) o resto da divisão do polinômio 
  2p x 4x 3x 5  
 por 
  2q x 2x x 1.  
 Se 
 f x 2x k 
 e 
    f g x r x ,
 então o valor da constante k para que o 
conjunto solução da inequação 
 g x 10
 seja 
 x | x 3 
 é: 
a) –12 
b) –2 
c) 12 
d) 2 
e) 
32
–
5
 
 
4. (Fuvest 2012) O polinômio 
4 3 2p(x) x ax bx cx 8    
, em que a, b, c são números reais, 
tem o número complexo 1 + i como raiz, bem como duas raízes simétricas. 
 
a) Determine a, b, c e as raízes de p(x). 
b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine todos os polinômios com coeficientes 
reais, de menor grau, que possuam esses novos valores como raízes. 
 
5. (Uern 2012) O valor de n para que a divisão do polinômio p(x) = 2x
3
 + 5x
2
 + x + 17 por d(x) = 
2x
2
 + nx + 4 tenha resto igual a 5 é um número 
a) menor que – 6. 
b) negativo e maior que – 4. 
c) positivo e menor que 5. 
d) par e maior que 11. 
 
 
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6. (Upe 2012) Sobre os polinômios 
3A(x) x x 
 e 
B(x) x 1 
, são feitas as seguintes 
afirmações: 
 
I. Em um sistema cartesiano ortogonal, os gráficos A(x) e B(x) se interceptam em três pontos. 
II. Os dois polinômios não possuem raízes em comum. 
III. O resto da divisão de A(x) por B(x) é zero. 
IV. A soma das raízes dos dois polinômios vale 1. 
 
Associando V para as afirmações verdadeiras ou F para as falsas obtemos, respectivamente, 
a) I - F ; II - F ; III - V e IV – V. 
b) I - F ; II - V ; III - F e IV – V. 
c) I - F ; II - F ; III - V e IV – F. 
d) I - V ; II - F ; III - V e IV – V. 
e) I - V ; II - F ; III - V e IV – F. 
 
7. (Udesc 2012) Sejam q(x) e r(x), respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f(x) = 
6x
4
 – x
3
 – 9x
2
 – 3x + 7 por g(x) = 2x
2
 + x + 1. O produto entre todas as raízes de q(x) e r(x) é 
igual a: 
a) 
7
3

 
b) 3 
c) 
3
5
 
d) 5 
e) 
5
3
 
 
8. (Ime 2012) Considere o polinômio 
3 25x – 3x – 60x 36 0. 
 Sabendo que ele admite uma 
solução da forma 
n,
 onde n é um número natural, pode se afirmar que: 
a) 
1 n 5 
 
b) 
6 n 10 
 
c) 
10 n 15 
 
d) 
15 n 20 
 
e) 
20 n 30 
 
 
9. (Ufrgs 2012) Se 2 é raiz dupla do polinômio p(x) = 2x
4
 – 7x
3 
+ 3x
2 
+ 8x – 4, então a soma das 
outras raízes é 
a) -1. 
b) -0,5. 
c) 0. 
d) 0,5. 
e) 1. 
 
10. (G1 - ifal 2011) Dividindo o polinômio 
p(x)
 pelo polinômio 
(x 2)(x 4)(x 5)  
 obtém-se 
resto 
x 3.
 Se os restos das divisões de 
p(x)
 por 
x 2, x 4 
 e 
x 5
 são, respectivamente, os 
números 
A,B
 e 
C,
 então 
ABC
 vale 
a) 100. 
b) 180. 
c) 200. 
d) 280. 
e) 360. 
 
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11. (Uftm 2011) Seja o polinômio 
  3 2P x x 2x 4x m,   
 sendo m um número real. 
Sabendo-se que P(x) é divisível por 
 x 2 ,
 determine: 
a) O valor de m. 
b) Todas as raízes de P(x). 
 
12. (Epcar (Afa) 2011) Sobre o polinômio 
 A x
 expresso pelo determinante da matriz 
x 1 1
1 x 2
1 x x
 
 
 
  
, é incorreto afirmar que 
a) não possui raízes comuns com 
  2B x x 1 
. 
b) não possui raízes imaginárias. 
c) a soma de suas raízes é igual a uma de suas raízes. 
d) é divisível por 
 P x x 2 
. 
 
13. (Uel 2011) Para que o polinômio 
  3 2f x x 6x mx n   
 seja um cubo perfeito, ou seja, 
tenha a forma 
   
3
f x x b 
, os valores de m e n devem ser, respectivamente: 
a) 3 e −1 
b) −6 e 8 
c) −4 e 27 
d) 12 e −8 
e) 10 e −27 
 
14. (Ufpe 2011) Sabendo que 
2
3 2
x 2x 4 A B C
x x 2 x 1x x 2x
 
  
  
, assinale 
A B 2C 
. 
 
15. (Uel 2011) O polinômio 
  3 2p x x x 3ax 4a   
é divisível pelo polinômio 
  2q x x x 4  
. Qual o valor de a? 
a) a = −2 b) a = −1 c) a = 0 d) a = 1 e) a = 2 
 
16. (Upe 2011) Para que o polinômio 
3 26x 4x 2mx (m 1)   
 seja divisível por x – 3, o 
valor da raiz quadrada do módulo de m deve ser igual a 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 5 
 
17. (Upe 2011) Analise as afirmações abaixo e conclua 
( ) Um polinômio de grau ímpar e coeficientes reais possui, necessariamente, pelo menos, 
uma raiz real. 
( ) Se todos os coeficientes de um polinômio são reais, suas raízes serão, necessariamente, 
reais. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas não reais, então seu grau é, necessariamente, 
um número par. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas não reais, então seu grau é, necessariamente, 
um número ímpar. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas, e todos seus coeficientes são números 
inteiros, então os conjugados complexos de cada raiz, também, são raízes do mesmo 
polinômio. 
 
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18. (Uftm 2011) Dividindo-se o polinômio p(x) = 3x
4
 – 2x
3
 + mx + 1 por (x – 1) ou por (x + 1), os 
restos são iguais. Nesse caso, o valor de m é igual a 
a) –2. b) –1. c) 1. d) 2. e) 3. 
 
19. (G1 - utfpr 2011) Quais são os polinômios que representam o quociente q(x) e o resto r(x) 
da divisão do polinômio 
  3 2p x x 5x 6  
pelo polinômio 
  2d x x – 3
? 
a) q(x) = – (x + 5) e r(x) = 3x + 21. 
b) q(x) = x + 5 e r(x) = – (3x + 21). 
c) q(x) = x – 5 e r(x) = – 3x + 21. 
d) q(x) = – (x + 5) e r(x) = 3x – 21. 
e) q(x) = x + 5 e r(x) = 3x + 21. 
 
20. (Ita 2011) Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação x
4
 + x
2
 + ax + b = 0, com a, b 

, então a
2
 – b
3
 é igual a 
a) – 64. b) – 36. c) – 28. d) 18. e) 27. 
 
21. (G1 - ifsc 2011) Dada a função polinominal 
  3 2f x x x x 1   
, o valor de 
      f 3 f 0 f f 1   
é: 
a) - 20. b) -18. c) - 16. d) 20. e) 16. 
 
22. (Uepg 2010) Na divisão do polinômio P(x) pelo binômio A(x), do 1º grau, usando o 
dispositivo de Briot-Ruffini, obteve-se o seguinte: 
m 1 a a - a - 6 
 3 0 
então, assinale o que for correto. 
01) P(x) é um polinômio do 4º grau. 
02) P(x) é divisível por x – 2. 
04) P(0) = – 6. 
08) P(1) = – 6. 
16) O quociente da divisão é o polinômio Q(x) = x
3
 + x
2
 + x + 3. 
 
23. (Fgv 2010) Um polinômio P(x) do terceiro grau tem o gráfico dado a seguir: 
 
Os pontos de intersecção com o eixo das abscissas são (–1, 0), (1, 0) e (3,0) . 
O ponto de intersecção com o eixo das ordenadas é (0,2). Portanto o valor de P(5) é: 
a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32 
 
24. (Unesp 2010) Uma raiz da equação x
3
 – (2a – 1)x
2
 – a(a + 1)x + 2a
2
(a – 1) = 0 é (a – 1). 
Quais são as outras duas raízes dessa equação? 
 
25. (Uece 2008) Se os polinômios 
 
e Q(x)= x
3
 - 4 x
2
 + x + 4 são idênticos, então o valor de m/n é: 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, obtemos 
 
 1 1 2 5 6
2 1 1 6 0
1 3 0
  

 
 
Logo, 
3 2x 2x 5x 6 (x 1)(x 2)(x 3)      
 e, portanto, a divisão do polinômio 
3 2x 2x 5x 6  
 por 
(x 1)(x 2) 
 é igual a 
x 3.
 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Como 
1
 é raiz de 
A(x)
 e 
3
 é raiz de 
B(x),
 segue que 
A( 1) 0 
 e 
B(3) 0.
 Logo, 
 
3 2A( 1) B( 1) 3 ( 1) 2 ( 1) ( 1) 1 B( 1) 1              
 
e 
3 2A(3) B(3) 3 3 2 3 3 1 A(3) 103.        
 
 
Portanto, 
 
A(3) B( 1) 103 1 102.    
 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Dividindo p por q, obtemos 
 
2 2
2
4x 3x 5 2x x 1
4x 2x 2 2
5x 7
   
  

 
 
Assim, 
r(x) 5x 7. 
 
 
Desse modo, temos que f(g(x)) r(x) 2 g(x) k 5x 7
5x 7 k
g(x) .
2
     
 
 
 
 
Sabendo que o conjunto solução da inequação 
g(x) 10
 é 
{x | x 3}, 
 vem 
 
5x 7 k
10 5x k 13
2
k 13
x ,
5
 
   

 
 
 
ou seja, 
k 13
3 k 2.
5

  
 
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Resposta da questão 4: 
 a) Como os coeficientes são reais, as raízes complexas aparecem com suas respectivas 
conjugadas, então (1+i), (1-i), r e – r são raízes de P(x) 
Utilizando, agora, a relação do produto das raízes, temos: 
28(1 i) (1 i) r ( r) 2.r 8 r 2
1

             
 
Portanto, as raízes de p(x) são (1+i), (1-i), 2 e -2 
 
Escrevendo o polinômio na forma fatorada, temos: 
 
          
  4 3 2
P x 1. x 1 i .(x 1 i . x 2 . x 2
P x x 2x 2x 8x 8
      
    
 
 
Logo, 
a 2, c 2 e c 8.    
 
 
b) Subtraindo 1 de cada uma das raízes, temos; 
1 i 1 i
1 i 1 i
2 1 1
2 1 3
   
  
 
   
 
 
Portanto, 
           
       2
q x k. x i . x i . x – 1 . x 3
q x k. x 1 . x 1 . x 3
     
   
 
 
Para k diferente de zero. 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
Dividindo p por d, obtemos 
 
3 2 2
3 2
2
2
2
2
2x 5x x 17 2x nx 4
n 5
2x nx 4x x
2
(n 5)x 3x 17
n 5n
(n 5)x x 2n 10
2
n 5n 6
x 2n 7
2
    

   
   

   
 
 
 
 
Para que o resto da divisão seja 
5,
 devemos ter 
 
2n 5n 6 0 n 1 ou n 6
 e e n 1.
2n 7 5 n 1
     
   
   
 
 
Portanto, 
n
 é um número negativo e maior que 
4.
 
 
 
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Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
I. Verdadeiro – Os gráficos se interceptam nos pontos resultante da solução da equação: 
A(x) B(x)

 3x x x 1  

1
3
2
3
x 1
1 5
x 2x 1 0 x
2
1 5
x
2

 

 
    

  


 
II. Falso – 
3A(x) x x  
 Raízes

 1
3
2
3
x 0
x x 0 x 1
x 1


    
  
 
B(x) x 1 

 Raízes

 
x 1 0 x 1   
 
 
Portanto, possuem a raiz x = 1 comum. 
 
III. Verdadeiro –     23 2x x 1 x x 1 x 1A(x) x x x x
B(x) x 1 x 1 x 1
  
    
  
, portanto, divisão exata e 
resto nulo. 
 
IV. Verdadeiro – Basta somar os valores encontrados no item (II). 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Dividindo 
f
 por 
g,
 obtemos 
 
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
2
6x x 9x 3x 7 2x x 1
6x 3x 3x 3x 2x 5
4x 12x 3x 7
4x 2x 2x
10x x 7
10x 5x 5
4x 12
     
    
   
 
  
 

 
 
Portanto, como 
2 5q(x) 3x 2x 5 3 (x 1) x
3
 
        
 
 e 
r(x) 4x 12 4 (x 3),    
 segue que o 
produto pedido é 
5
( 1) ( 3) 5.
3
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
   
3 2
2
2
2
5x – 3x – 60x 36 0.
x 5x 3 12 5x 3 0
(5x 3)(x 12) 0
5x 3 0 x 3 / 5 ou x 12 0 x 12
 
   
  
       
 
 
Considerando n = 12, temos 
10 n 15 
. 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Aplicando Dispositivo Prático de Briot-Rufini, temos: 
 
 
 
Obtemos: 
22x 1x 1 0  
 
1
2
1
x
raízes 2
x 1


 
  
, cuja soma vale – 0,5. 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
Se 
q(x)
 é o quociente da divisão de 
p
 por 
(x 2)(x 4)(x 5)  
 e 
x 3
 é o resto, então 
p(x) q(x) (x 2)(x 4)(x 5) x 3.      
 
 
Desse modo, 
A p(2) 2 3 5,   
 
B p(4) 4 3 7   
 
e 
C p(5) 5 3 8.   
 
Portanto, 
ABC 5 7 8 280.   
 
 
Resposta da questão 11: 
 a) Se P(x) é divisível por 
x 2,
 então 
P(2) 0.
 Assim, 
 
3 2P(2) 2 2 2 4 2 m 0 8 8 8 m
m 8.
          
 
 
 
b) Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, obtemos: 
 
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2 1 2 4 8
1 0 4 0
 

 
 
Portanto, 
 
3 2 2 2P(x) x 2x 4x 8 (x 2)(x 4) (x 2) (x 2),         
 
 
ou seja, as raízes de P(x) são 2 e –2. 
 
Resposta da questão 12: 
 [A] 
 
Desenvolvendo o determinante, temos: 
 
3 2
3 2
2
2
A(x) x x 2 x x 2x
A(x) x 2x x 2
A(x) x (x 2) 1(x 2)
A(x) (x 2) (x 1)
     
   
   
   
 
 
A alternativa A é a incorreta, pois A(x) possui raízes comuns com B(x), já que possui o fator x
2
 
– 1. 
 
Resposta da questão 13: 
 [D] 
 
 
 
3 2 3 2 2 3
22
33
x 6x mx n x 3bx 3b x b
3b 6 b 2
m 3.b 3. 2 12
n b 2 8
      
    
   
    
 
 
Resposta da questão 14: 
 Temos que 
 
2
3 2
2
2
x 2x 4 A B C
x x 2 x 1x x 2x
x 2x 4 A(x 2)(x 1) Bx(x 1) Cx(x 2)
x(x 2)(x 1) x(x 2)(x 1)
x 2x 4 A(x 2)(x 1) Bx(x 1) Cx(x 2)
 
   
  
       
 
   
        
 
 
Fazendo 
x 2, 
 obtemos 
2( 2) 2 ( 2) 4 B ( 2) ( 2 1) 6B 12 B 2.              
 
Para 
x 1,
 encontramos 
21 2 1 4 C 1 (1 2) 3C 3 C 1.          
 
Finalmente, para 
x 0,
 vem 
20 2 0 4 A (0 2) (0 1) 2A 4 A 2.             
 
Portanto, 
A B 2C 2 2 2 1 2.       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 15: 
 [E] 
 
Fazendo a divisão, temos: 
 
 
 
3 a 6 0 a 2
4 a 8 0 a 2
     
     
 
 
Portanto, a = 2. 
 
Resposta da questão 16: 
 [E] 
 
Se o polinômio é divisível por (x – 3), pelo teorema do resto, concluímos que: 
 
 3 26 3 4 3 2 m 3 m 1 0 5m 125 m 25             
 
Logo, 
525 
. 
 
Resposta da questão 17: 
 V F F F V. 
 
(V) As raízes complexas aparecerão sempre aos pares; 
(F) Poderá ter raízes não reais; 
(F) Poderá ter grau par ou ímpar; 
(F) Poderá ter grau par ou ímpar; 
(V) Verdadeiro: as raízes complexas aparecem aos pares (a própria raiz e sua conjugada) para 
coeficientes reais. 
 
Resposta da questão 18: 
 [D] 
 
Pelo teorema do resto, temos: 
 
P(1) = P(-1) 
3.14
 – 2.1
3
 + m.1 + 1 = 3.(-1)
4
 – 2.(-1) =m.(-1) + 1 
3 – 2+ m + 1 = 3 + 2 – m + 1 
2m = 4 
m = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 19: 
 [E] 
 
Efetuando a divisão temos: 
 
 
 
Resposta da questão 20: 
 [C] 
 
 
a 2 b 0
a 6 0
  

 
 , resolvendo temos a = -6 e b = 4 logo a
2
 – b
3
 = (-6)
2
 – 4
3
 = - 28 
 
Resposta da questão 21: 
 [B] 
 
  3 2
3
3 2
f 3 ( 3) ( 3) ( 3) 1 20
f(0) 0 0 2 0 1 0
f( 1) ( 1) ( 1) 1 1 0
f(f( 1) f(0)) 1
         
     
       
  
 
Logo, 
      f 3 f 0 f f 1 20 1 1 18         
. 
 
Resposta da questão 22: 
 01+ 02 + 04 + 08 + 16 = 31 
 
3m – 6 = 0  m = 2, 2 1 a a -a -6 
 1 a+2 3a+4 3 0 
 
(3a+4).2 – a = 3  a = -1 2 1 -1 -1 1 -6 
 1 1 1 3 0 
 
(01) Verdadeiro, um Polinômio de grau n , possui n+1 termos( incluindo os termos nulos) 
(02) Verdadeiro, pois o resto da divisão por x-2 é zero. 
(04) Verdadeiro, pois o termo independente de x é - 6 
(08) Verdadeiro, pois a soma dos coeficientes é – 6 (1+(-1) + (-1) + 1 + (-6)=-6) 
(16) Verdadeiro. Observando a parte debaixo do segundo dispositivo, temos os coeficientes do 
quociente. 
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Resposta da questão 23: 
 [E] 
 
P(x) = a(x - (-1)).(x - 1).(x -3) 
P(x) = a(x + 1).(x – 1).(x – 3) 
 
Como P(0) = 2 temos: 
a.(1).(-1).(-3) = 2 
3.a = 2 
a = 
2
3
 
e P(x) = 
2
3
. (x + 1).( x - 1).(x – 3) 
 
logo P(5) = 
2
3
. (5 + 1).( 5 - 1).(5 – 3) 
P(5) = 32 
 
Resposta da questão 24: 
 Dividindo o primeiro membro da equação por[ x –(a-1)] temos: 
 
 
 a – 1 1 -2a + 1 -a
2
 –a 2.a
3
 – 2.a
2
 
 
 1 -a -2.a
2
 0 
 
 
 
x
2 
.-a.x – 2.a
2
 = 0 
Resolvendo temos: 
ax
ou 2ax
2
9aa
x
2





 
 
Resposta: -a e 2a 
 
Resposta da questão 25: 
 [B]