Interferência e Difração da Luz (1)

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Unidade III 
2. Interferência e Difração da luz
Professor Dr. Edalmy Oliveira de Almeida 
Governo do Estado do Rio Grande do NorteSecretaria de Estado da Educação e da Cultura - SEECUNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE - UERNPró-Reitoria de Ensino de Graduação – PROEGHome Page: http://www.uern.br E-mail: proeg@uern.brUNIDADE: Campus Avançado de Natal
Súmario:
1. O princípio de Huygens;2. Comprimento de onda e índice de refração;3. O experimento de young;4. Intensidade das franjas de interferência;5. Interferência em filmes finos;6. O interferômetro de Michelson.
O azul da superfície da asa da borboletaMorpho se deve à interferência ótica e mudade tonalidade de acordo com o ponto de vistado observador. (Philippe Colombi/PhotoDisc/Getty Images)
1. O Princípio de Huygens
A propagação em três dimensões de ondas, como a luz pode muitas vezes ser descritapelo principio de Huygens, segundo o qual todos os pontos de uma frente de onda secomportam como fontes pontuais para ondas secundárias. Depois de um intervalo de tempo t anova posição da frente de onda é dada por uma superfície tangente às onda secundárias.A lei da refração pode ser deduzida a partir do princípio de Huygens se supusermosque o índice de refração de qualquer meio é dado por n = c/v, onde v é a velocidade da luz nomeio e c é a velocidade de luz no vácuo.
Fig. 1 A propagação de uma onda no vácuo de acordo com o principio de Huygens.
refração) de (Lei 2211  sennsenn 
2. Comprimento de Onda e Índice de Refração
O comprimento de onda λn da luz em um meio depende do índice de refração n domeio:
nn 0
  Eq. 01
Onde λ é o comprimento de onda da luz no vácuo. Por causa dessa dependência, a diferenciade fase entre duas ondas pode variar se as ondas se propagarem em meios com diferentesíndices de refração.
Fig. 2 Duas ondas luminosasatravessam dois meios comdiferentes índices de refração
De acordo com a Eq. 01, o comprimento de onda no meio 1 é λn1 = λ/n1
 222111 nnnn
LLNLLN 
Para calcular a diferença de fase entre as duas ondas bastadeterminar o módulo da diferença entre N1 e N2. Supondo n2> n1, temos:
 .121212 nnLLnLnNN  
Exemplo 1
Na Fig. 1 As duas ondas luminosas representadas por raios têm um comprimento deonda de 550,0 nm antes de penetrar nos meios 1 e 2. Elas têm a mesma amplitude e estão emfase. Suponha que o meio 1 seja o próprio ar e que o meio 2 seja um polímero transparente comíndice de refração 1,600 e uma espessura de 2,600 μm. (a) Qual é a diferença de fase entre duasondas emergentes em comprimento de onda. (b) Qual é a diferença de fase efetiva (emcomprimento de onda)?
Dados:λ = 550,0 nmn2 = 1.600L2 = 2.600 μm
 
 
84,2
1600,1105,5
10600.2
12
7
6
12
1212





NN
mx
mxNN
nnLNN a)
b) A diferença de fase efetiva é a partedecimal da diferença de fase realexpressa em comprimento de onda.
A diferença de fase efetiva = 0,84comprimento de onda
3. O Experimento de Young
No experimento de interferência de Young, a luz que passa por uma fenda em umanteparo incide em duas fentas em um segundo anteparo. A luz que passa pelas fendas dosegundo anteparo se espalha na região do outro lado do anteparo e as ondas interferem uma coma outra, produzindo uma figura de interferência em uma tela de observação.A intensidade da luz em qualquer ponto da tela de observação depende da diferençaentre as distâncias percorridas pelo raios de luz entre as fendas e o ponto considerado. Se adiferença é um número inteiro de comprimentos de onda, as ondas interferem construtivamentee a intensidade luminosa é máxima. Se a diferença é um número ímpar de meios comprimentosde onda, as ondas interferem destrutivamente e a intensidade luminosa é mínima.
d
Dmy
d
msenD
ytg
m
m




Fazendo o mesmo para omáximo de ordem m + 1,
 
d
Dmym 11 
 
  


Destrutiva
Númerourasranjas escmínimos: f,.... ,,mλ para md senθ
rasranjas clamáximos: f,.... ,, para mmd senθ
ímpar 2 1 02
1
aConstrutiv
Inteiro Número2 1 0 Eq. 02
Eq. 03
Onde θ é o ângulo entre os raios luminosos e uma perpendicular à tela passando por um ponto equidistante das fendas, e d é a distância entre as fendas.
Em termos matemáticos, as condições para que a intensidade luminosa seja máxima e mínima são
Padrão de Difração para uma fenda simples Padrão de difração esperado para duas fendas
Exemplo 2
Qual é a distância na tela C da figura entre dois máximos vizinhos perto do cento dafigura de interferência? O comprimento de onda λ da luz é 546 nm, a distância entre as fendas dé 0,12 mm e a distância D entre as fendas e a tela é 55 cm. Suponha que o ângulo θ da figura ésuficientemente pequeno para que seja valido as aproximações senθ ≈ tgθ ≈ θ está expresso emradianos.
Dados:∆y = ?λ = 546 nmd = 0,12 mmD = 55 cm
 
  
mmmxy
mx
mxmxy
d
Dyy
d
DmDDmyy
d
Dm
d
DDmyy
d
Dm
d
Dmyy
mm
mm
mm
mm
5,2105,2
1012,0
105510546
1
3
3
29
1
1
1
1

















4. Intensidade das Franjas de Interferência
No experimento de interferência de Young, duas ondas de intensidade I0 produzem natela de observação uma onda resultante cuja intensidade I é dada por
.d2
onde
,2
1cos4 20


sen
II

 Eq. 04
Eq. 05
6. Interferência em Filmes Finos
Quando a luz incide em um filme fino transparente, as ondas refletidas pelassuperfícies anterior e posterior do filme interferem uma com a outra. Quando o filme estásuspenso no ar e a incidência é quase perpendicular as condições para que a intensidade da luzrefletida seja máxima e mínima são
o ar).e escuro nimos: film,.... (mín, , , para mn
λmL
 ar),e claro noimos: film,.... (máx, , , para mn
λmL
2102
2102
12
2
2

  Eq. 06
Eq. 07
Onde n2 é o índice de refração do filme. L é a espessurado filme e λ é o comprimento de onda da luz no ar.Quando a luz incidente na interface de doismeios com diferentes índices de refração se encontrainicialmente no meio em que o índice de refração émenor, a reflexão produz uma mudança de fase de πrad, ou meio comprimento de onda, na onda refletida.Quando a luz se encontra inicialmente nomeio em que o índice de refração é maior, a fase não émodificada pela reflexão.
Exemplo 3
Um feixe de luz branca, com intensidade constante na faixa de comprimento de onda daluz visível (400-690 nm), incide perpendicularmente em um filme de água com índice de refraçãon2 = 1,33 e espessura L = 320 nm, suspenso no ar. Para que comprimento de onda λ a luz refletidapelo filme se apresenta mais intensa a um observador?
Dados:n2 = 1,33L = 320 nm   
taultraviole
nm
esverdeadoamarelo
nm
ravermelho
nm
m
nm
m
nm
m
Ln
nmL
5,340
2m Para
5,567
1m Para
inf
4,1702
0m Para 2
12,851
2
132033,12
2
12
2
12
2
2










 



Assim, o comprimento de onda para o qual a luzvista pelo observador é mais intensa é λ = 567 nm
7. O Interferômetro de Michelson
No interferômetro de Michelson uma onda luminosa é dividida em dois feixes que,depois de percorrerem caminhos diferentes, são recombinados para produzir uma figura deinterferência. Quando a distância percorrida por um dos feixes varia é possível medir essavariação com grande precisão em termos de comprimento de onda da luz, bastando para issocontar o número de franjas de que se desloca a figura de interferência.
Se um bloco de material transparente de espessura L eíndice de refração n é colocado na frente do espelho M1,o número de comprimento de onda percorridos dentrodo material é.
 LnLN nm
22 
O número de comprimento de onda na mesmaespessura L antes que o bloco fosse introduzido era
LNa 2
Assim,quando o bloco é introduzido a luz que volta aoespelho M1 sofre uma mudança de fase adicional
 1222  nLLLnNN am 
Exemplo 4
Se o espelho M2 de um interferômetro de Michelson sofre um deslocamento de 0,233mm, as franjas se deslocam de 792 posições. Qual o comprimento de onda da luz responsávelpela figura de interferência?
N = 792
Dados:d2 = 0,233 mmN = 792λ = ?
 
mx
mmx
mm
mmN
d
dN
7
4
2
2
1088,5
10883838384,5
792
466,0 792
233,02
2
2














Súmario:
1. Difração;2. Difração por Uma Fenda;3. Difração por uma Abertura Circular;4. Critério de Rayleigh;5. Redes de Difração;6. Difração de Raios x
1. Difração
Quando uma onda encontra um obstáculo ou abertura de dimensões comparáveis aocomprimento de onda ela se espalha e sofre interferência. Esse fenômeno é chamado dedifração.
2. Difração por Uma Fenda
As ondas que atravessam uma fenda estreita de largura a produzem, em uma tela deobservação, uma figura de difração por uma fenda que consiste em um máximo central evários máximos secundários, separados por mínimos situados em ângulos θ com o eixo centralque satisfazem a relação
nimos).,... (mí, , para mma senθ 321  
A intensidade da onda difratada para um ângulo θ qualquer édada por
senθλ
πa, onde αα
senαII(θ m 
2)
E Im é a intensidade no centro da figura de difração.
Para Duas Fendas
Quando uma onda passa por duas fendas de largura a, separadas por uma distânciad, é formada uma figura de difração na qual a intensidade I para um ângulo θ é dada por
   
  e 
cos 22
senθπd/λ β
onde
endas). (duas fα
senαβII m




Exemplo 1
Uma fenda de largura a é iluminada com luz branca. (a) Para que valor de a oprimeiro mínimo para a luz vermelha, com λ = 650 nm, aparece em θ = 150?
Dados:a = ?λ = 650 nmθ = 150m = 1 (Para o primeiro mínimo)  
015
6501
sen
nma
sen
ma
masen





ma
nma
nma
5,2 4,2511
258819045,0
650



Exemplo 2
Determine as intensidade dos três primeiros máximos secundário da figura dedifração por uma fenda da figura abaixo, expressas como porcentagens da intensidade domáximo central.
A difração fez com que a luz se espalhasseperpendicularmente à maior dimensão da fenda,produzindo uma figura de interferência formada porum máximo central e máximo secundários
%8,0108,014,3.5,3
180.5,3
5,3
5,3
2
13
2
13
I
I
3 m máximo Primeiro
%6,1106,114,53,2
180.5,2
5,2
5,2
2
12
2
12
I
I
2 m máximo Primeiro
%5,4105,414,3.5,1
180.5,1
5,1
5,1
2
11
2
11
I
I
1 m máximo Primeiro
3,... 2, 1,mpara 
2
1 2
1
I
I
I
I
3,... 2, 1,mpara 2
1
2
202
2
m
3
2
202
2
m
2
2
202
2
m
1
2
m
2
m
2













 
 














 
 














 
 










 
 

 




sensensen
sensensen
sensensen
m
msen
sen
m
senII m











3. Difração por uma Abertura Circular
A difração por uma abertura circular de diâmetro d produz um máximo central emáximos e mínimos concêntricos; o primeiro mínimo corresponde a um ângulo θ dado por
circular). abertura o mínimo - (primeird
λ,senθ 221
4. Critério de Rayleigh
De acordo com o critério de Rayleigh dois objetos estão no limite de resoluçãoquando o máximo central de difração de um coincide com o primeiro mínimo do outro. Nestecaso, a separação angular é dada por
eigh).io de Rayl (critérd
λ,θR 221
Onde d é o diâmetro da abertura que a luz atravessa e θR é o ângulo de Rayleigh.
A pintura pontilhada O Sena em Herblay, de Maximilien Luce, é formada por milhares de pontos coloridos.Podemos ver os pontos e suas cores verdadeiras se examinarmos a pintura de perto; à distância, porém, ospontos não podem ser resolvidos e suas cores se misturam. (Maxmilen Luce, O Sena em Herblay, 1890.Musée d`Orsay, Paris. França. Foto de Erich Lessing/Art Resource.)
Exemplo 3
A figura abaixo é uma vista ampliada dos pontos coloridos de uma pintura pontilhada.Suponha que a distância média entre os centros dos pontos é D = 2,0 mm. Suponha também queo diâmetro da pupila do olho do observador é de d = 1,5 mm e que a menor separação angularentre os pontos que o olho pode resolver é dada pelo critério de Rayleight. Qual é a menordistância de observação para a qual os pontos não podem ser resolvidos para nenhuma cor? Paraum menor comprimento da luz visível λ = 400 nm.
    
mL
m
mmL
DdL
DdL dL
D L
D
tgL
Dtgd
R
RRRR
1,6
1040022,1
105,1102
22,1
22,1
22,1
22,1
9
33

 












6. Rede de Difração
A rede de difração consiste em uma série de “fendas” (ranhuras) usadas para separaruma onda em suas componentes, mostrando os máximos de difração associados a cadacomprimento de onda da radiação incidente. A difração por N ranhuras resulta em máximos(linhas) em ângulos θ tais que
linhas).-(máximo 210para ,..., , mm,d senθ  
Com as meias larguras das linhas dadas por
larguras). (meias cos Ndml 
Uma rede de difração é caracterizada pela disperçãoD e pela resolução R, dadas pelas seguintesequações:
.
cos
NmR
d
mD
méd 



7. Difração de Rios X
O arranjo regular de átomos em um cristal se comporta como uma rede de difraçãotridimensional para ondas de comprimento de onda da mesma ordem que o espaçamento entre osátomos, como os raios X. Para fins de análise os átomos podem ser imaginados como estandodispostos e planos com um espaçamento d. Os máximos de difração (que resultam de umainterferência constante) ocorrem nos âgulos θ de intensidade da onda, medidos em relação aosplanos atômicos que satisfazem à lei de Bragg:
Onde λ é o comprimento de onda da radiação incidente.
Bragg) de (Lei 3,....... 2, 1, m Para ,2   mdsen
A luz linearmente polarizada que emergede um polarizador ideal incide sobre um segundopolarizador, chamado analisador, cujo eixo faz umangulo φ com o eixo de polarização do primeiropolarizador. Podemos decompor a luz linearmentepolarizada transmitida pelo primeiro polarizador emduas componentes, uma paralela e a outraperpendicular ao eixo do analisador. A intensidadedo feixe transmitido será máximo quando φ = 0 eserá igual a zero quando o eixo do polarizadorestiver cruzado com o do analisador, ou seja, φ =90o.
A intensidade de uma onda eletromagnética e proporcional ao quadrado da amplitudeda onda. A razão entre a amplitude da onda transmitida e da onda incidente e igual a cos φ;portanto, a razão entre suas intensidades e igual a cos 2 φ. A intensidade da luz que emerge doanalisador e determinada pela lei de Malus:
onde Imáx e a intensidade máxima da luz transmitida (para φ = 0) e I e a intensidade transmitidapara um dado angulo φ. Essa lei vale somente quando o feixe que incide sobre o analisador jáesta linearmente polarizada.
2cosmáxII 
Exemplo 4
Uma luz não-polarizada de intensidade I0 incide um conjunto polarizador-analisadorcujos eixos fazem um angulo de 30o entre si. Determine as intensidades dos feixes transmitidospelos dois polarizadores.
I0 IP
ϕ
It 020
2
0
30cos2
cos
2
II
II
II
t
Pt
P




8
3 4
3
2
2
3
2
0
0
2
0
II
II
II
t
t
t





Lista de exercícios: Questão do trabalho ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, )
1. Dois pulsos de luz atravessam camadas de plástico de espessura L ou 2L veja a Figuraabaixo, cujosíndices de refração estão indicados na figura, (a) Qual dos pulsos leva o menor tempo para chegar do outrolado? (b) Em termos de L / c, qual é a diferença entre os tempos de percurso dos dois pulsos?
2. Em uma experiência de Young executada com a luz amarela do sódio (λ = 589 nm), o espaçamento entreas franjas de interferência é de 3,50 x 10-3 rad. Para que comprimento de onda o espaçamento angular será10 % maior?
3. Quando uma peça plana de mica de índice de refração l,6 é colocada na frente de uma das duas fendas emuma experiência de Young, a franja clara correspondente a m = 30 é deslocada para a posição que eraocupada anteriormente pelo máximo central. Se o comprimento de onda é 480 nm, qual é a espessura dapeça de mica?
4. O elemento sódio pode emitir luz com dois comprimento de onda, λ1 = 589,10 nm e λ2 = 589,59 nm. Se aluz do sódio é usada em um interferômetro de Michelson de que distância deve ser deslocado um dos braçospara que as franjas observadas para um comprimento de onda se desloquem de uma posição a mais do queas franjas observadas para o outro comprimento de onda?
5. Um filme fino de índice de refração n = 1,40 é colocado em um dos braços de um interferômetro deMichelson, perpendicularmente aos raios luminosos. Se isso faz com que as franjas se desloquem de seteposições quando o comprimento da luz é 589 nm, qual é a espessura do filme?
6. Uma câmara selada, com 5,0 cm de comprimento e janelas de vidro, é colocada em um dos braços de uminterferômetro de Michelson, como na Figura abaixo. Uma luz de comprimento de onda λ = 500 nm éusada. O ar é lentamente removido da câmara com o auxílio de uma bomba de vácuo. Isso faz com que asfranjas se desloquem de 60 posições A partir desses dados, determine o índice de refração do ar à pressãoatmosférica.
7. Sobre uma fenda estreita incide luz monocromática de 441 nm. Num anteparo, a 2,00 m de distância, oafastamento linear entre o segundo mínimo de difração e o máximo central é de 1,50 cm. (a) Calcule oângulo de difração θ deste segundo mínimo, (b) Ache a largura da fenda.
8. Luz de comprimento de onda 633 nm incide sobre uma fenda estreita. O afastamento angular entre oprimeiro mínimo de difração, num lado do máximo central, e o primeiro mínimo no outro lado é 1,20°. Qualé a largura da fenda?
9. Uma fenda única é iluminada por uma luz constituída pêlos comprimentos de onda λa e λb, escolhidos demodo que o primeiro mínimo de difração da componente λa coincida com o segundo mínimo dacomponente λb. (a) Qual é a relação entre os dois comprimentos de onda? (b) Nas duas figuras de difração,há coincidência de outros mínimos?
10. Em uma figura de difração de fenda única, a distância entre o primeiro e o quinto mínimos é de 0,35mm. O anteparo dista 40 cm da fenda e o comprimento de onda da luz usada é de 550 nm. (a) Encontre alargura da fenda, (b) Calcule o ângulo θ do primeiro mínimo de difração.
11. Qual deve ser a razão entre a largura de uma fenda única e o comprimento de onda para que o primeiromínimo de difração esteja a θ = 45,0°?
12. Uma onda plana, de comprimento de onda 590 nm, incide sobre uma fenda com a = 0,40 mm. Umalente convergente delgada de distância focal +70 cm é colocada entre a fenda e um anteparo e focaliza a luzsobre este anteparo, (a) Qual é a distância entre a lente e o anteparo? (b) Qual é a distância sobre oanteparo, entre o centro da figura de difração e o primeiro mínimo?