Matematica

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BIZU – MATEMÁTICA - PARA PRF 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
 
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1
Olá, pessoal! 
 
Meu nome é Guilherme Neves e estou ministrando o curso Matemática para a 
PRF, que está sendo organizado pelo CESPE-UnB. 
 
Vamos, de uma maneira sucinta, fazer uma análise do edital e dar algumas 
dicas que possam te auxiliar na hora da prova. 
 
Eis o nosso conteúdo programático: 
 
MATEMÁTICA: 1 Números inteiros, racionais e reais. 1.1 Problemas de 
contagem. 2 Sistema legal de medidas. 3 Razões e proporções; divisão 
proporcional. 3.1 Regras de três simples e composta. 3.2 Porcentagens. 4 
Equações e inequações de 1o e 2o graus. 4.1 Sistemas lineares. 5 Funções. 5.1 
Gráficos. 6 Sequências numéricas. 7 Progressão aritmética e geométrica. 8 
Noções de probabilidade e estatística. 9 Raciocínio lógico: problemas 
aritméticos. 
Vamos começar com os assuntos mais importantes e que mais são cobrados 
pelo CESPE-UnB: Problemas de Contagem (Análise Combinatória) e 
Probabilidade. 
 
Problemas de contagem e probabilidade são assuntos com pouca teoria. Por 
outro lado, os níveis das questões variam de “muito ridículo” a “super-hiper-
mega-difícil”. 
 
Acho que vocês devem treinar bem questões que envolvam o princípio 
fundamental da contagem e combinações. São os problemas que o CESPE mais 
gosta (e que você tem uma grande chance de acertar!). Vamos resolver 
algumas questões recentes do CESPE sobre princípios de contagens e 
probabilidades, que são os assuntos mais importantes para esta prova. 
 
(TRE-RJ 2012/CESPE-UnB) Nas eleições municipais de uma pequena cidade, 30 
candidatos disputam 9 vagas para a câmara de vereadores. Na sessão de posse, os 
nove eleitos escolhem a mesa diretora, que será composta por presidente, primeiro e 
segundo secretários, sendo proibido a um mesmo parlamentar ocupar mais de um 
desses cargos. Acerca dessa situação hipotética, julgue os itens seguintes. 
25. A quantidade de maneiras distintas de se formar a mesa diretora da 
câmara municipal é superior a 500. 
Resolução 
Se não houvesse ordem entre os elementos da mesa diretora, deveríamos usar 
combinação. Como existe um presidente, o primeiro secretário e o segundo 
secretário, então há ordem entre os elementos. Vamos utilizar o princípio 
fundamental da contagem. 
São 9 vereadores. Então existem 9 possibilidades para a escolha do 
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presidente, 8 possibilidades de escolha para o primeiro secretário e 7 
possibilidades de escolha para o segundo secretário. O total de possibilidades é 
igual a 9 ∙ 8 ∙ 7 = 504. O item está certo. 
26. A quantidade de maneiras distintas para se formar a câmara de vereadores 
dessa cidade é igual a 30!/(9! × 21!). 
Resolução 
São 30 candidatos e apenas 9 serão eleitos. Entre os candidatos eleitos, não 
há ordem entre eles. Assim, o total de possibilidades é igual a 	
�
� = 	
�,�. 
Aprendemos a calcular este número da seguinte forma: 
Colocamos no denominador o fatorial de 9. 
	
�
� = 	
�,� =
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
 
Agora expandimos o número 30 em 9 fatores. 
	
�
� = 	
�,� =
30 ∙ 29 ∙ 28 ∙ 27 ∙ 26 ∙ 25 ∙ 24 ∙ 23 ∙ 22
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
 
Vamos agora desenvolver a expressão dada no enunciado. 
30!
9! × 21!
 
Vamos desenvolver o fatorial de 30 até o fatorial de 21. 
30!
9! × 21!
=
30 ∙ 29 ∙ 28 ∙ 27 ∙ 26 ∙ 25 ∙ 24 ∙ 23 ∙ 22 ∙ 21!
9! ∙ 21!
= 
 
=
30 ∙ 29 ∙ 28 ∙ 27 ∙ 26 ∙ 25 ∙ 24 ∙ 23 ∙ 22
9!
 
Assim, o item está certo. 
Quem está acostumado a usar a formula de combinações já poderia acertar a 
questão mais rápido. 
	�,� =
�!
�! �� − ��!
 
Destarte, 
	
�,� =
30!
9! �30 − 9�!
=
30!
9! 21!
 
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(Banco da Amazônia 2012/CESPE-UnB) Em média, chegam cinco clientes por 
minuto no setor de caixas de uma agência bancária. Supondo que a 
distribuição das chegadas dos clientes não dependa da hora do dia e que os 
clientes cheguem de modo independente uns dos outros, a probabilidade de 
chegar exatamente k clientes em determinado minuto é expressa por 
���� =
5�
�!
��� 
em que k = 0, 1, 2, 3, . . . e e é a base dos logaritmos neperianos. 
Considerando 7 × 10-3 como valor aproximado para e-5, julgue os próximos 
itens, relativos à movimentação de clientes acima descrita. 
 29. A probabilidade de que, em determinado minuto, cheguem dois ou mais 
clientes é inferior a 95%. 
 30. A probabilidade de que, em determinado minuto, chegue exatamente um 
cliente é inferior a 4%. 
Resolução 
Questão muito bem elaborada. Para chegar na formula dada no enunciado, usa-se a 
distribuição de Poisson, mas calma, você não precisa estudar esta distribuição de 
probabilidade! A fórmula já foi dada no enunciado. 
A fórmula dada fornece a probabilidade de chegar exatamente k clientes em 
determinado minute. 
Vamos analisar os itens. Vou analisar primeiro o item 30 e depois o item 29. 
 30. A probabilidade de que, em determinado minuto, chegue exatamente um 
cliente é inferior a 4%. 
 Basta substituir k por 1. 
��1� =
5 
1!
��� = 5 ∙ ��� = 5 ∙ 7 ∙ 10�
 = 0,035 = 3,5% 
O item está certo. 
Vamos agora analisar o item 29. 
 29. A probabilidade de que, em determinado minuto, cheguem dois ou mais 
clientes é inferior a 95%. 
 A probabilidade pedida é igual a: 
��2� + ��3� + ��4� + ��5� + ⋯ 
A priori parece ser uma probabilidade bem complicada de calcular, já que 
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precisamos calcular a soma de infinitas parcelas. 
Ora, mas a teoria das probabilidades existe para facilitar as nossas vidas. 
Sabemos que a probabilidade de um evento A não ocorrer é igual a 1 – P(A), 
ou seja, $�%̅� = 1 − $�%�. 
Guilherme, não entendi! 
Ora, em muitas ocasiões é bem mais fácil calcular a probabilidade de não 
ocorrer um evento. É justamente o caso desta questão. Calcular a 
probabilidade de chegar 2 ou mais clientes é difícil. 
O que fazer então? Vamos calcular a probabilidade de chegar menos de 2 
clientes, ou seja, 0 ou 1 cliente. Isto é o que nós não queremos. 
��0� + ��1� =
5�
0!
��� +
5 
1!
��� = ��� + 5��� = 7 ∙ 10�
 + 5 ∙ 7 ∙ 10�
 
��0� + ��1� = 0,007 + 0,035 = 0,042 = 4,2% 
Assim, a probabilidade pedida é igual a 100% - 4,2% = 95,8%. 
��2� + ��3� + ��4� + ��5� + ⋯ = 95,8% 
O item está errado. 
Bom, já que falamos em probabilidade, vamos falar um pouco sobre noções de 
Estatística. O que a banca pode cobrar? 
 
Obviamente, “noções de estatística” é um termo muito vago e que pode dar 
margem a muitas interpretações. Pelo histórico da banca, o que eu entendo é 
que o CESPE poderá cobrar questões envolvendo os conceitos de Estatística 
Descritiva. Como assim, Estatística Descritiva? Ora, se preocupe em aprender 
o cálculo de média, moda, mediana, variância e desvio padrão. Não esqueça 
também as propriedades dessas medidas. Vamos ver como o CESPE cobrou 
recentemente estes assuntos? 
 
(Especialista em Regulação – ANP 2013/CESPE-UnB) No que concerne aos 
procedimentos de análise estatística de dados, julgue os itens seguintes. 
 
01. Suponha que, para certa empresa petrolífera, dispõe-se de dados acerca 
do volume médio mensal de petróleo produzido nos últimos 12 meses e do 
volume mensal de petróleo produzido nos últimos 10 meses. Nessa situação, é 
possível determinar a produção mensal de petróleo na empresa em todo o 
intervalo de 12 meses. 
 
Resolução 
 
Pois bem, a questão não quer que você faça “contas”. O enunciado pede tão 
simplesmente que você analise a fórmula da médiaaritmética. 
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Dispomos do volume médio mensal de petróleo produzido nos últimos 12 
meses, isto quer dizer que devemos somar os volumes de cada um dos últimos 
doze meses e dividir essa soma por 12. 
 
Vamos designar por 	(	))) a média dos últimos 12 meses, portanto: 
 
	*	))) =
*+ + *, + *- + *. + */ + *0 + *1 + *2 + *3 + *+4 + ( + ( 5
12
 
 
 
O problema ainda afirma que temos acesso ao volume mensal de petróleo 
produzido nos últimos 10 meses. Isto significa que conhecemos os valores de 
x1, x2, …, x10. 
 
Observe que, na equação acima, os termos em vermelho são conhecidos. 
 
Desta forma, não temos como descobrir os valores de x11 e x12, já que teremos 
apenas uma equação e duas incógnitas. O item está errado. 
 
02. Considere duas amostras aleatórias de tamanhos diferentes, em que a 
soma dos valores observados sejam S1 e S2 e as respectivas médias sejam ( ))) e 
(5))). Nesse caso, a média aritmética global, ou seja, a média dos valores 
observados nas duas amostras é igual à média das médias ( ))) e (5))). 
Resolução 
Vamos a um caso prático. Suponha que exista um grupo de 60 homens e 40 
mulheres. Suponha ainda que a média salarial dos homens seja de R$ 
2.500,00 e que a média salarial das mulheres seja de R$ 3.000,00. 
Vamos calcular, como o problema falou, a média “global”. 
Ora, como calcular a média aritmética dos salários dos homens? 
Devemos somar os salários de todos os 60 homens e dividir o resultado por 
60. Chamaremos a soma dos 60 salários de H60. Lembre-se que a média dos 
homens é de R$ 2.500,00. Assim, 
2.500 =
78�
60
 
O número 60, que está dividindo o segundo membro, passa para o primeiro 
membro multiplicando 2.500. 
78� = 60 × 2.500 = 150.000 
Isto significa que os 60 homens juntos ganham 150.000 reais. 
Vamos utilizar o mesmo raciocínio para as mulheres. 
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Como calcular a média aritmética dos salários das mulheres? 
Devemos somar os salários de todas as 40 mulheres e dividir o resultado por 
40. Chamaremos a soma dos 40 salários de M40. Lembre-se que a média das 
mulheres é de R$ 3.000,00. Assim, 
3.000 =
9:�
40
 
9:� = 40 × 3.000 = 120.000 
E como calculamos a média global? 
Devemos somar os salários de todas as pessoas, ou seja, os salários dos 60 
homens e os salários das 40 mulheres e dividir o resultado por 100, que é o 
total de pessoas. 
	(	))) =
150.000 + 120.000
100
=
270.000
100
= 2.700 
Obviamente o valor encontrado não é a média das médias. 
Guilherme, tem uma maneira mais fácil?? 
Sim! 
Para calcular a média global, devemos multiplicar a média dos homens pela 
quantidade de homens, devemos também multiplicar a média das mulheres 
pela quantidade de mulheres, somar esses resultados e dividir o total pela 
quantitade de pessoas. Em suma, devemos calcular a MÉDIA PONDERADA das 
médias. Esse foi o erro do enunciado. 
No nosso exemplo, a média global fica: 
	(	))) =
2.500 × 60 + 3.000 × 40
60 + 40
= 2.700 
Esse é um resultado muito importante e que utilizaremos bastante nos 
problemas de média aritmética. 
O item está errado. 
03. (Polícia Federal 2012 – Papiloscopista – CESPE/UnB) Com relação a 
estatística, julgue o item seguinte. Ao contrário da mediana amostral, a 
média aritmética é menos sensível à presença de valores extremos (ou 
valores atípicos ou outliers). 
Resolução 
Já falamos um pouquinho sobre a média aritmética nas primeiras questões. 
Basicamente, para calcular a média aritmética, devemos somar todos os 
valores e dividir pela quantidade de termos. 
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E a mediana, o que é? 
Ora, a mediana é o “termo que fica no meio”. Esta é uma definição bem 
grosseira que estou utilizando, mas não tem problema: com esta definição já 
conseguiremos entender a questão. 
Vamos a um exemplo. Considere a seguinte sequência de números: 
(1,2,2,2,5). 
O termo que “fica no meio” é o número 2. Portanto, a mediana é igual a 2. 
Vamos agora calcular a média aritmética. 
1 + 2 + 2 + 2 + 5
5
= 2,4 
Vamos agora trocar o último termo. No lugar de 5, colocarei 10.000. Desta 
forma, vamos considerar a sequência (1, 2, 2, 2, 10.000). 
O termo que “fica no meio” continua sendo o número 2. Ou seja, a mediana 
não é afetada por valores extremos. Já a média aritmética é MUITO 
influenciada por valores atípicos. Veja a nova média aritmética: 
1 + 2 + 2 + 2 + 10.000
5
= 2.001,4 
Com este exemplo, ficou muito fácil notar que o item está errado. 
Há outro assunto muito importante nas provas do CESPE-UnB: Progressão 
Aritmética e Progressão Geométrica. São poucas fórmulas, ótimo! Além das 
fórmulas, é muito importante saber as propriedades dessas duas sequências 
numéricas. 
 
Como o CESPE costuma cobrar estes assuntos? 
 
Normalmente problemas que envolvam simultaneamente os dois tipos de 
progressão. 
 
Vamos relembrar as principais propriedades e ver uma questãozinha do CESPE 
para que a gente possa se familiarizar. 
 
Principal propriedade da progressão aritmética: dados três números em P.A. 
(progressão aritmética), o termo do meio sempre será a média aritmética dos 
outros dois. Vejamos com um exemplo numérico: 
A sequência (4, 9, 14) é uma progressão aritmética de razão 5. O termo 
central é a média aritmética dos extremos. 
9 =
4 + 14
2
 
 
Como você aplicaria essa propriedade em uma questão? 
Vejamos um exemplo: 
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Qual o valor de x, de modo que x2, (x + 1)2 e (x + 3)2 formem, nessa ordem, 
uma P.A.? 
Ora, sabemos que se três números estão em P.A., o termo do meio é a média 
aritmética dos outros dois. Dessa forma, 
�( + 1�5 =
(5 + �( + 3�5
2
 
 
(5 + 2( + 1 =
(5 + (5 + 6( + 9
2
 
 
2 ∙ �(5 + 2( + 1� = 2(5 + 6( + 9 
 
2(5 + 4( + 2 = 2(5 + 6( + 9 
 
4( − 6( = 9 − 2 
 
−2( = 7 
 
( = −
7
2
 
 
 
Principais fórmulas da progressão aritmética: 
 
i) Fórmula do Termo Geral: ;< = ; + �= − 1� ∙ > 
 
ii) Soma dos n primeiros termos: ?< =
�@AB@C�∙<
5
 
 
Principal propriedade da Progressão Geométrica: dados três números em P.G. 
(progressão aritmética), o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos 
extremos. 
Ou seja, se (a,b,c) é uma P.G., então b2=ac. 
 
Principais fórmulas de Progressão Geométrica: 
 
i) Fórmula do Termo Geral: ;< = ; ∙ D<� 
 
ii) Fórmula dos n primeiros termos de uma P.G.: ?< =
@A∙�E
C� �
E� 
 
 
iii) Fórmula dos infinitos termos de uma P.G. em que -1 < q < 1: 
 
? = ; + ;5 +⋯+ ;< +⋯ =
; 
1 − D
 
 
Vamos ver um exemplo de como o CESPE cobra estes assuntos? 
 
 
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(PM-ES 2010/CESPE-UnB) Considerando que 5 indivíduos tenham idades, em 
anos, correspondentes aos números inteiros positivos a1, a2, a3, a4 e a5, que 
os números a1, a2 e a5 estejam, nessa ordem, em progressão geométrica com 
soma igual a 26 e que os números a1, a3 e a4 estejam, nessa ordem, em 
progressão aritmética de razão 6 e soma igual a 24, julgue os itens a seguir. 
01. A soma a2 + a3 + a4 é igual a 28. 
02. A razão da progressão formada pelos números a1, a2 e a5 é um número 
fracionário não inteiro. 
03. O indivíduo mais novo tem menos de 3 anos de idade. 
04. A idade do indivíduo mais velho é superior a 20 anos. 
 
Resolução 
 
Vamos começar trabalhando com a progressão aritmética. 
 
�F+,F-, F.� → HIJKILMMãJ	FIOPQéPOSF 
 
A razão desta P.A. é 6. Assim, se o primeiro termo for x, então o segundo 
termo será x+6 e o terceiro x+12. 
 
�(, ( + 6, ( + 12� 
A soma dessa P.A. é 24. 
 
( + ( + 6 + ( + 12 = 24 
 
3( + 18 = 24 
 
3( = 6 
 
( = 2 
 
A P.A. é formada pelos números �2, 8, 14�. 
 
A nossa sequência original de 5 números está assim: 
 
�2, ;5, 8, 14, ;�� 
 
Os números a1, a2 e a5 estão, nessa ordem, em progressão geométrica com 
soma igual a 26. 
 
�2, ;5, ;�� → $. T. U�	VW�;	26 
 
Como o problema falou que os números são inteiros positivos, podemos tentar 
achar a razão no chute. Observe que como a soma dos termos é 26, a razão 
deve ser pequena. 
 
Será que a razão é 2? A progressão seria formada pelos números (2, 4, 8) e a 
soma dos termos não seria 26. 
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Será que a razão é 3? A progressão seria formada pelos números (2, 6, 18) e a 
soma dos termos seria 26. Achamos!! 
 
Assim, ;5 = 6 e ;� = 18. 
 
A nossa sequência está pronta! 
 
�; , ;5, ;
, ;:, ;�� = �2, 6, 8, 14, 18� 
 
Observe que esta sequência não é P.A. e também não é P.G.. 
 
Vamos julgar os itens. 
 
01. A soma a2 + a3 + a4 é igual a 28. 
 
;5 + ;
 +	;: = 6 + 8 + 14 = 28 
 
O item está certo. 
 
02. A razão da progressão formada pelos números a1, a2 e a5 é um número 
fracionário não inteiro. 
 
A razão desta progressão, como vimos, é igual a 3. O item está errado, 
porque o número é inteiro. 
 
03. O indivíduo mais novo tem menos de 3 anos de idade. 
 
O item está certo, porque o mais novo tem 2 anos. 
 
04. A idade do indivíduo mais velho é superior a 20 anos. 
 
O item está errado, porque o mais velho tem 18 anos. 
 
Em relação aos assuntos de Matemática Básica como porcentagem, regra de 
três, proporcionalidade, problemas aritméticos, você deve ter a capacidade de 
resumir os enunciados do CESPE. Normalmente os textos são enormes, então 
é importante que à medida que você for lendo o enunciado, vá grifando e 
anotando os dados mais importantes para que você não tenha que ler o 
mesmo texto 4 ou 5 vezes. Lembre-se: não adianta apenas saber resolver as 
questões, é também muito importante resolver questões de uma maneira 
rápida. 
 
Ficamos por aqui, uma boa prova e que você obtenha sucesso no seu 
concurso. 
 
Guilherme Neves