Apostila Energia Solar Fotovoltaica

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ENERGIA 
SOLAR 
FOTOVOLTAICA 
 
 
(TEXTO ELABORADO A PARTIR DE PARTES DE 
DISSERTAÇOES E TESES DO LABSOL) 
 
 
PROMEC 
 
1. EFEITO FOTOVOLTAICO 
 
 Efeito fotovoltaico é o nome dado a transformação direta da luz em energia elétrica. O 
dispositivo utilizando para este fim são as células fotovoltaicas ou também chamadas células 
solares. Neste processo, são utilizados materiais semicondutores como o silício, o arseneto de 
gálio, telureto de cádmio, disseleneto de cobre e índio entre outros. 
 Não é nosso objetivo aqui estudar com profundidade os fenômenos físicos que regem o 
funcionamento das células solares, matéria que exigiria uma certa familiaridade com a física do 
estado sólido e de componentes eletrônicos. Uma explicação simplificada e qualitativa é, 
entretanto, fundamental para a aceitação do fenômeno e compreensão dos efeitos provocados por 
modificações externas. A seguir será apresentada uma tentativa de expor o efeito fotovoltaico 
que ocorre nas células da forma mais simples possível, limitando os exemplos ao silício 
monocristalino (por ser o material mais usado para fabricação de células), mas lembrando que 
com outros semicondutores ocorrem situações semelhantes. 
 O silício (Si) é um material com uma densidade atômica de 5 x 1028 átomos por metro 
cúbico. Cada átomo de Si possui quatro elétrons na camada eletrônica mais externa (material 
tetravalente, portanto). Na forma cristalina, o Si preenche até o número "ideal" de oito elétrons 
nesta camada, compartilhando cada um de seus quatro elétrons de valência com outros quatro 
átomos de Si, como pode ser observado na Figura 1.1. 
 
 
Figura 1.1 – Representação esquemática das ligações covalentes em um cristal de silício. 
 
 Cada um destes átomos, por sua vez, compartilha um de seus elétrons com o primeiro 
átomo, formando assim uma rede tridimensional de átomos onde todos os elétrons estão ligados. 
Isto indica que uma rede ideal deste material seria um isolante elétrico, dada a ausência de 
elétrons livres para a condução elétrica. O silício, no entanto, é classificado como um 
semicondutor porque, à temperatura ambiente, uma pequena fração de seus elétrons escapa das 
ligações interatômicas e passa a integrar um grupo de elétrons com energia maior que os elétrons 
de ligação e que se distribuem pelo cristal com movimentos aleatórios em todas as direções, os 
elétrons livres. A cada elétron que se libera de suas funções de ligação, corresponde uma ligação 
incompleta, uma região em que um átomo se vê cercado por apenas sete elétrons, havendo assim 
uma "lacuna" ou posição de ligação não preenchida por um elétron. 
 A fração de elétrons livres no silício à temperatura ambiente é de 7 x 10-14 . Havendo 
5x1028 átomos por metro cúbico e quatro elétrons de valência por átomo, haverá 1,4x1016 
elétrons livres e igual número de lacunas por metro cúbico. Quando um campo elétrico é 
aplicado ao cristal, circulará neste uma corrente causada parcialmente pela aceleração dos 
elétrons livres na direção do campo e parcialmente pelo deslocamento dos elétrons de ligação, 
que saem dos átomos com a camada de valência completa para as lacunas existentes, deixando 
assim novas lacunas para que um processo sucessivo de transferências eletrônicas se desenvolva. 
O deslocamento de elétrons de ligação entre átomos vizinhos pode ser descrito, da mesma forma, 
por um "movimento" das lacunas no sentido contrário. Diz-se assim que o processo de condução 
elétrica em um semicondutor se dá por uma corrente de elétrons e uma "corrente de lacunas", 
atribuindo-se uma carga positiva às lacunas que se deslocam no sentido contrário aos elétrons. 
 Se uma pequena fração, por exemplo, uma parte por milhão, de átomos com cinco 
elétrons de valência (pentavalentes) for introduzida na rede cristalina do Si, substituindo átomos 
deste na mesma proporção, então haverá, depois de estabelecidas as ligações com seus quatro 
vizinhos, um quinto elétron não ligado. Este elétron tenderia a orbitar em torno da região do 
átomo pentavalente, porém estaria tão fracamente ligado nesta órbita que a própria energia 
térmica à temperatura ambiente lhe daria condições de se libertar desta ligação e integrar o grupo 
dos elétrons livres. Se for considerada uma dopagem de 5x1022 átomos de fósforo (P) por metro 
cúbico num cristal de Si, uma densidade igual de elétrons passaria a integrar o grupo dos elétrons 
livres. Note-se que uma dopagem em uma fração da ordem de um milionésimo de átomos 
pentavalentes implica em um aumento do número de elétrons livres na ordem de um milhão de 
vezes, com a conseqüente alteração drástica na condutividade do semicondutor. 
 Se, por outro lado, uma fração similar de átomos trivalentes como os de Boro (B) for 
introduzida num cristal de silício, haverá um aumento da ordem de um milhão de vezes na 
densidade de lacunas do cristal, sendo então a condutividade por lacunas predominante. 
 Os cristais dopados com átomos pentavalentes (também chamados de doadores de 
elétrons) são chamados de semicondutores do tipo N e os dopados com átomos trivalentes 
(também chamados aceitadores de elétrons) são denominados semicondutores do tipo P. 
 O efeito de profundas modificações no comportamento eletrônico dos cristais com 
pequenas dopagens de impurezas demonstra que nos processos de fabricação de dispositivos 
eletrônicos é necessário utilizar semicondutores previamente purificados a um alto grau. 
 
 
Figura 1.2 – Diagrama esquemático de uma estrutura cristalina de silício dopado a fim de produzir semicondutores 
do tipo N e do tipo P. 
 
 Um mesmo cristal pode abrigar uma região dopada do tipo P em contato com uma 
região dopada do tipo N. Na interface das duas regiões haveria uma difusão de elétrons da região 
N para a região P e uma difusão de lacunas da região P para a região N, devido aos fortes 
gradientes de concentração. Em conseqüência desta difusão, a região N próxima à interface 
ficaria com deficiência de elétrons, isto é, ficaria com cargas positivas, e a região P próxima à 
interface ficaria com cargas negativas. Esta polarização de cargas elétricas gera um campo 
elétrico interno no material, o qual origina uma força elétrica que se opõe à força de difusão 
original. No equilíbrio, a corrente devida ao campo formado compensa a corrente devida à 
difusão que flui no sentido oposto, tornando nula a corrente através da interface. O campo 
elétrico formado existe apenas na região das junções e seu alcance define a "zona de depleção", 
cuja largura depende das dopagens do lado N e do lado P. 
 
 
Figura 1.3 – Representação esquemática de um junção PN 
 
 O dispositivo eletrônico de junções mais simples e mais conhecido é o diodo retificador. 
Ele opera deixando fluir a corrente em um sentido e impedindo-a no sentido inverso. Quando 
uma fonte externa é ligada com seu terminal positivo no lado P e seu terminal negativo no lado 
N, o campo elétrico externo diminui o efeito do campo elétrico local da junção, retirando a 
mesma do equilíbrio, pois as forças de difusão ultrapassam as forças do campo local, e os 
elétrons fluem com facilidade da região N para a região P. Se os terminais da fonte externa 
forem ligados da forma contrária, o campo elétrico externo contribui com o campo da junção 
tendendo a impulsionar elétrons da região P para a região N. Os elétrons da região P, entretanto, 
são escassos e geram apenas uma corrente mínima conhecida como "corrente de saturação 
reversa". A característica tensão x corrente é descrita pela equação: 
 
 I = Io [ exp { eV /(mkT)}-1 ] (1) 
 
cuja demonstração pode ser obtida em qualquer livro sobre dispositivos eletrônicos. Io é acorrente de saturação reversa, V a tensão aplicada, k a constante de Stefan-Boltzmann, T a 
temperatura do cristal e m um fator com valor entre 1 e 2 (2 para tensões muito baixas e 
tendendo a 1 para tensões acima do "joelho" da curva). A Figura 1.4 representa a Equação 1 e é 
chamada "característica no escuro" de um diodo semicondutor. 
 
Figura 1.4 – Curva característica de um diodo. 
 
 
 Observa-se que quando uma junção P-N é iluminada, a curva característica se desloca 
como indicado na Figura 1.5. 
 
Figura 1.5 – Curva característica I-V de um fotodiodo de Si sob iluminação 
 
 O fato de aparecer uma tensão nos terminais do diodo iluminado foi denominado efeito 
fotovoltaico, e a explicação do fenômeno é possível com considerações da mecânica quântica. A 
luz é constituída de fótons, que podem ser absorvidos por elétrons que estejam participando das 
ligações (elétrons de valência) entre os átomos de silício. Quando um elétron absorve um fóton, 
passa a um estado de energia igual à que tinha anteriormente mais a energia do fóton, o que 
implica na sua liberação, criando assim um elétron livre e uma lacuna onde havia antes uma 
simples ligação entre átomos. Denomina-se este fato de geração de um par elétron-lacuna a partir 
de um fóton. Os elétrons gerados na região P serão acelerados pelo campo elétrico localizado na 
região da junção para o lado N. As lacunas geradas na região N tendem a cruzar a junção para o 
lado P, como pode ser observado na Figura 1.6. 
 
Figura 1.6 - Geração de fotocorrente 
 
 
 Ocorre assim um desequilíbrio nas correntes da junção que transferem uma diferença de 
potencial para os terminais do dispositivo. Se o circuito externo é fechado por um fio, uma 
fotocorrente passa a circular e se mantém enquanto incidir luz sobre a junção. Quando a 
polarização do diodo é reversa (positivo do lado N), é fácil entender a corrente que circula no 
sentido reverso se for lembrado que, no escuro, esta corrente é pequena por escassez de elétrons 
no lado P e que, em condições de iluminação, os elétrons no lado P são gerados por fótons 
incidentes. 
 Também é fácil prever uma proporcionalidade entre a corrente reversa e a intensidade de 
luz, já que a última determina o número de fótons incidentes e o número de pares elétrons-lacuna 
gerados (e, portanto, a corrente) depende deste fato. 
 
2. CÉLULAS FOTOVOLTAICAS 
 
 As células fotovoltaicas são os dispositivos conversores de energia radiante em energia 
elétrica que funcionam segundo o efeito fotovoltaico. Na sua grande maioria, as células usadas 
em aplicações comerciais podem ser encaradas como diodos de junção PN de grande área. As 
células fotovoltaicas podem ser divididas quanto à estrutura de ligação dos átomos dos quais são 
constituídas. Desta forma a estrutura atômica pode ser do tipo cristalina ou do tipo amorfa. A 
estrutura cristalina pode ser ainda monocristalina ou multicristalina. 
 Quanto ao material utilizado para a fabricação das células, este pode ser composto por 
ligas, como sulfeto de cádmio e arsenieto de gálio entre outros ou por apenas um elemento como 
o silício, germânio ou selênio. Na parte frontal das células é acrescentada uma camada de um 
material, geralmente TiO2 ou SiO2, a fim de minimizar as perdas por reflexão. A Figura 2.1 
apresenta uma representação de uma célula de silício típica. Normalmente a camada de Silício 
tipo N tem uma espessura compreendida entre valores da ordem de 0,3 µm até 1 µm enquanto a 
camada de silício tipo P apresenta uma espessura de aproximadamente 300 µm. 
 
Figura 2.1 - Representação de uma célula fotovoltaica de silício 
(adapatado de CRESESB, 2006). 
 
 
 
 A eficiência da conversão da energia solar em energia elétrica através do efeito 
fotovoltaico em uma célula está limitada por uma série de fatores e este limite é da ordem de 
25% para células de Si sem concentração da radiação solar (com concentração pode atingir 
32%). Os principais fatores que geram esta limitação são os seguintes: 
 1. Perdas por reflexão na superfície (que podem ser reduzidas pelo uso de 
camadas anti-reflexivas); 
 2. Perdas por seletividade - apenas parte dos fótons disponíveis pode ser 
aproveitada; 
 3. Perdas pela utilização parcial da energia dos fótons na criação dos pares 
elétron-lacuna; 
 4. Perdas pelo não aproveitamento de todos os pares elétron-lacuna e pela 
recuperação somente parcial da energia destes portadores; 
 5. Perdas pelos efeitos de resistência série e paralela, contatos, etc. 
 O segundo fator, as perdas por seletividade, tem origem em dois efeitos: os fótons com 
energia menor que a necessária para liberar elétrons de valência da sua ligação entre átomos de 
silício não são aproveitados e os fótons com energia maior que a necessária são absorvidos ao 
longo da profundidade do cristal e podem atravessá-lo sem ser absorvidos. Como conseqüência 
destes efeitos e outros fatores de funcionamento, as células de Si são insensíveis à luz fora da 
banda visível e infravermelho próximo. 
 A resposta espectral de uma célula convencional de Si pode ser vista na Figura 2.2. A não 
coincidência dos máximos das duas curvas infelizmente reduz a quantidade de energia 
aproveitável. Existe a alternativa de outros materiais que podem alcançar eficiências mais altas, 
porém sua tecnologia não tem ainda a estabilidade obtida pelas células de silício. 
 
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Comprimento de Onda (µm)
0
200
400
600
800
1000
1200
Irr
ad
iâ
nc
ia
 E
sp
ec
tra
l S
ol
ar
 G
lo
ba
l (
W
 . 
m
 -2
 . 
µm
)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
R
es
po
st
a 
R
el
at
iv
aCurva 1 - Resposta espectral da célula
Curva 2 - Espectro solar (AM 1,5 G)
 
Figura 2.2 – Resposta espectral de uma célula de silício 
 
 
 A radiação solar provoca a separação dos portadores de carga, como descrito 
anteriormente, e o surgimento de uma corrente caso exista um aparelho de consumo ligado. As 
perdas ocasionadas pela recombinação, pela reflexão e pelo sombreamento entre os contatos 
frontais, ocorrem na célula solar. Além disso, uma grande proporção da energia de radiações de 
onda longa e curta não pode ser aproveitada. Uma outra parte da energia não aproveitada é 
absorvida e transformada em calor. As perdas individuais de uma célula solar de silício 
cristalino, são dadas no seguinte balanço energético: 
 100% energia solar irradiada 
 - 3,0% reflexão e sombreamento dos contactos frontais 
 - 23,0% relativo a insuficiente energia do fóton na radiação de onda longa 
 - 32,0% relativo ao excedente de energia do fóton na radiação de onda curta 
 - 8,5% devido a recombinação 
 - 20,0% gradiente elétrico numa célula, especialmente na região da barreira de
 potencial 
 - 0,5% resistência em série (perdas térmicas da condução elétrica) 
 = 13,0% energia elétrica utilizável 
 
 O material mais utilizado para a fabricação de células fotovoltaicas é o silício. Ele não é 
encontrado na natureza como um elemento químico puro, mas um composto química em forma 
de dióxido de silício. Para a obtenção do silício, em primeiro lugar é necessário separar o 
oxigênio não desejado do dióxido de silício. Para conseguir isto, a areia de sílica é aquecida e 
fundida num cadinho, junto com pó de carvão. Durante este processo é criado o silício 
metalúrgico, com uma pureza de 98 %. 
 No entanto, 2 % de impurezas no silício é demasiado para aplicações eletrônicas. É 
apenas admissível um bilionésimo por cento. Por este motivo, o silício em estado bruto é ainda 
purificado através de um processo químico. É cuidadosamente depositado num forno com ácido 
clorídrico. Como resultado,são produzidos as substâncias hidrogênio e triclorosilano. Este 
último é destilado em várias e sucessivas etapas, durante as quais é reduzida a percentagem de 
impurezas em cada estágio da destilação. Quando se consegue a percentagem de pureza 
necessária, o triclorosilano é reduzido a silício com a ajuda do hidrogênio a 1.000 ºC. Este silício 
de elevada qualidade pode agora ser processado de diferentes modos, como por exemplo para 
produzir células monocristalinas ou células policristalinas. 
 
 
2.1 Células de silício monocristalino 
 O processo de Czochralski (processo de extração de cadinho), foi estabelecido para 
produzir silício monocristalino para aplicações terrestres. Durante este processo, o núcleo do 
cristal, que é uma semente de silício cristalino com uma orientação definida, é imerso num banho 
de silício fundido (ponto de fusão de 1.420ºC) e retirado do banho enquanto roda lentamente. 
Deste modo, podem ser produzidos cristais únicos redondos com um diâmetro de trinta 
centímetros e vários metros de comprimento. Os monocristais cilindricos podem ser estriados 
em barras semiquadradas e depois cortados em lâminas de 0,3 mm (wafer). Durante o processo 
de estriagem dos monocristais e de corte das pastilhas, perde-se uma grande parte do silício em 
forma de pó de serragem. A partir das pastilhas já com impurezas positivas, a fina camada com 
impurezas negativas é produzida com difusão de fósforo, a temperaturas de 800-1.200 ºC. 
Depois de unir a camada de contato posterior, as pastilhas são equipadas com contatos elétricos e 
com uma camada de anti-reflexão na parte frontal. 
O processo de zona flutuante consiste noutro processo de produção de silício 
monocristalino, sendo utilizado para a produção de células solares de maior pureza e de maior 
eficiência. 
 
Eficiência: 15 – 18 % (silício de Czochralski) 
Forma: São produzidas células redondas, semi-quadradas ou quadradas, dependendo da 
quantidade que é estriada do cristal único. As células redondas são mais baratas do que as semi-
quadradas ou as quadradas, uma vez que se perde menos material durante a sua produção. No 
entanto, raramente são utilizadas em módulos padrão devido ao menor aproveitamente do espaço 
no módulo fotovoltaico. Para módulos especiais, utilizados em sistemas de integração em 
edifícios, para os quais é desejável algum grau de transparência, ou para sistemas solares 
domésticos, as células redondas poderão constituir uma boa alternativa. 
 
Tamanho: Majoritariamente 10x10 cm ou 12,5x12,5 cm, diâmetro 10, 12,5 ou 15 cm. 
Espessura: 0,3 mm. 
Estrutura: Homogênea. 
Cor: Gama de azul-escuro para preto (com Anti-reflexão), cinza (sem Anti-Reflexão). 
Fabricantes de Células: Astro Power, BP Solar, CellSiCo, Eurosolare, GPV, Helios, Isofoton, 
RWE Solar, Sharp, Shell Solar, Solartec, Telekom-STV. 
 
 
 
 
Figura 2.3 - Célula quadrada, semi-quadrada e redonda de silício monocristalino 
 
2.2 Célula de silício policristalino 
 
 O processo de produção mais comum para o silício policristalino é o de fundição de 
lingotes. O silício em estado bruto é aquecido no vácuo até uma temperatura de 1.500 ºC e 
depois arrefecido na direção da base do cadinho, a uma temperatura aproximada de 800 ºC. São 
assim criados os blocos de silício de 40x40 cm com uma altura de 30 cm. Os blocos são primeiro 
serrados em barras e depois em pastilhas com uma espessura de 0,3 mm. Durante o corte, 
perdem-se partes do silício na forma de pó de serragem. Depois da introdução de impurezas de 
fósforo, a camada posterior de contato é unida à pastilha. Por último, os contactos elétricos são 
fixados no lado frontal juntamente com uma camada de anti-reflexão (AR) 
 
Eficiência: 13-15 % (com AR). 
Forma: Quadrada. 
Tamanho: 10x10 cm, 12,5x12,5 cm e 15x15 cm. 
Espessura: 0,3 mm. 
Estrutura: Durante a fundição do bloco, formam-se cristais com várias orientações. Os cristais 
individuais podem ser facilmente vistos na superfície (padrão estrutural semelhante a cristais de 
gelo), devido ao efeito criado pela diferente reflexão da luz. 
Cor: azul (com AR), cinza prateada (sem AR). 
 
Fabricantes de células: BP Solar, Eurosolare, ErSol, GPV, Kyocera, Photowatt, Q-Cells, RWE 
Solar,Sharp, Shell Solar, Sunways. 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Figura 2.4 - Células de Silício policristalino- (a) sem camada AR. (b) com camada AR. 
(c) com AR e contatos elétricos 
 
 
3. MÓDULOS FOTOVOLTAICOS 
 
 Em um sistema fotovoltaico os módulos são os elementos responsáveis pela conversão da 
radiação solar em eletricidade. A ABNT (NBR10899/TB-328) define o módulo fotovoltaico 
como sendo o “menor conjunto ambientalmente protegido de células solares interligadas, com o 
objetivo de gerar energia elétrica em corrente contínua”. O conjunto de células conectadas é 
encapsulado, de modo a oferecer proteção contra a intempérie (principalmente umidade) ao 
mesmo tempo em que possibilita um caminho ótico para a luz que chega até as mesmas. A 
maioria dos módulos conta ainda com uma moldura metálica que proporciona a necessária 
rigidez mecânica ao conjunto e facilita a fixação do módulo. Módulos com tensão nominal de 
12 VDC são constituídos por 30 a 36 células em série. Embora não tão comuns, também são 
encontrados módulos com tensões nominais de 6, 24 e 48 VDC e outras. 
 Na Figura 3.1 é apresentado o corte de um módulo fotovoltaico, mostrando seus 
principais componentes: 
• Cobertura frontal: usualmente um vidro de com baixo teor de ferro, para reduzir as 
perdas por absorção. Um acabamento texturado opcional contribui para minimizar as perdas por 
reflexão. 
• Encapsulante: polímero termoplástico transparente, eletricamente isolante e resistente à 
umidade, à fadiga mecânica e à ação da radiação solar (principalmente raios ultravioleta). O 
material mais utilizado é o EVA (etil vinil acetato). 
• Células fotovoltaicas, interconexões elétricas e caixa de bornes: conjunto elétrico do 
módulo. 
• Cobertura posterior: o material mais comumente empregado é o PVF (fluoreto de 
polivinil), comercialmente conhecido por Tedlar, embora existam módulos que utilizem um 
segundo vidro. 
• Moldura metálica: usualmente de alumínio anodizado, confere rigidez mecânica ao 
módulo e facilita sua fixação. 
 
 
Figura 3.1- Corte de um módulo fotovoltaico 
 
 O espaço entre a moldura e o conjunto laminado é preenchido por um perfil de borracha 
de silicone, a qual também é empregada na fixação da caixa de bornes à cobertura posterior. O 
tempo previsto de vida útil dos módulos fotovoltaicos de silício monocristalino é de pelo menos 
20 anos. 
 
4. CIRCUITO EQUIVALENTE DO GERADOR FOTOVOLTAICO 
 
 Como existe, para alguns profissionais da área de eletrônica, facilidade de raciocinar 
sobre circuitos equivalentes e muito maior familiaridade com as curvas de diodos no escuro, é de 
interesse representar a célula como um circuito equivalente. A Figura 4.1 mostra o circuito 
equivalente simplificado de uma célula fotovoltaica. A fonte de corrente representa a corrente 
fotogerada IL, enquanto que ID é a corrente que circula através do diodo. 
I
IDIL
V
+
– 
 
Figura 4.1- Circuito equivalente simplificado de uma célula fotovoltaica. 
 
Do circuito da Figura 4.1 tem-se que: 
 
DL III −= (4.1) 
 
 A corrente que flui através de um diodo, em função da tensão, pode ser descrita pela 
equação (4.2), a qual pode ser encontrada em diversas bibliografias de física do estado sólido, 
tais como Shalimova, 1975. 
 



 −

= 1exp0
cel
D Tkm
VeII (4.2) 
 
onde I0 é a corrente de saturação reversa do diodo no escuro, V é a tensão aplicada aos terminais 
do diodo, e é a carga do elétron,m é o fator de idealidade do diodo (entre 1 e 2 para o silício 
monocristalino), k é a constante de Boltzmann e Tcel é a temperatura absoluta da célula 
fotovoltaica. 
Assim tem-se que a corrente da célula fotovoltaica, em função da tensão, pode ser 
expressa por: 



 −

−= 1exp0
cel
L Tkm
VeIII (4.3) 
 
A partir da equação (4.3), verifica-se que na condição de curto-circuito (V = 0) a 
corrente do dispositivo é a própria corrente fotogerada e que, se a célula for colocada em circuito 
aberto (I = 0), ela se autopolarizará com uma tensão tal que a corrente de polarização equilibre a 
fotocorrente. Esta é a chamada tensão de circuito aberto. 
Em uma célula real existem outros efeitos que resultam na alteração do circuito 
equivalente da figura anterior para o circuito da Figura 4.2, onde é incluída uma resistência 
série RS, representando a resistência efetiva da célula, e uma resistência paralela RP, associada às 
correntes de fuga. Este circuito equivalente também é válido para módulos fotovoltaicos, como 
será visto posteriormente. 
I RS
RP
ID IPI L 
V 
+ 
 – 
 
Figura 4.2- Circuito equivalente uma célula fotovoltaica 
 
Deste modo tem-se a seguinte equação: 
 
O termo IP representa as correntes de fuga, principalmente pelas bordas da célula e 
decorrentes de microfissuras e imperfeições do material. 
Assim, a equação 4.4, depois de efetuadas as devidas substituições, pode ser escrita 
como: 
onde RS é a resistência série e RP é a resistência paralela. 
 
A resistência série RS é devida à própria resistência do semicondutor dopado, à resistência 
da grade metalizada da face frontal e à resistência dos contatos, necessários para circular a 
PDL IIII −−= (4.4) 
( )
P
S
cel
S
L R
RIV
Tkm
RIVeIII +−



 −

 +−= 1exp0 (4.5) 
corrente da célula. A resistência paralela Rp tem sua origem nas imperfeições da união P-N ou no 
material que constitui a célula, ou ainda nas bordas da mesma, e é responsável pela existência de 
fuga de corrente. Nesta equação existem cinco parâmetros (RS, Rp, I0, IL e m) a serem 
determinados para uma célula, a partir dos quais se obtém a curva I-V completa. 
 
No caso de um módulo fotovoltaico com apenas células conectadas em série, à 
equação (4.5) é acrescentado um termo que representa o número de células conectadas em série, 
resultando na equação 4.6. Aqui RS e RP representam as resistências série e paralela totais do 
módulo. 
 
onde NS é o número de células associadas em série. 
Para a resolução da equação 4.5 deve-se determinar os valores de IL, I0, Rs, Rp e m a partir 
de valores de fácil quantificação, como os dados especificados nos catálogos fornecidos pelos 
fabricantes de módulos, os que geralmente são : tensão de circuito aberto (Voc), corrente de curto 
circuito (Isc), tensão no ponto de máxima potência (Vmp), corrente no ponto de máxima potência 
(Imp). Estes dados podem ser dados para condições padrão de operação, definindo-se estas para 
irradiância e temperatura os valores de 1000 W/m² e 25 ºC respectivamente e uma massa de ar 
1.5 (NBR12137/MB3478), ou para temperatura das células em condições de operação nominal 
(NOCT) correspondentes a irradiância de 800 W/m², temperatura ambiente de 20 ºC e 
velocidade do vento de 1 m/s. 
Na condição de curto circuito, a tensão nos terminais do módulo é nula, e considerando que 
IL >> I0. 

 −



1exp
t
S
V
IR
 e que a relação 



p
S
R
R é muito pequena, pode-se demonstrar a que a 
equação (4.6) ficará: 
 
onde ISC é a corrente de curto-circuito do módulo. Esta aproximação é aceita pela maioria dos 
autores e foi demonstrada sua validade (Rauschenbach, 1980). 
No caso em que o módulo fotovoltaico não está conectado a carga alguma, a corrente nos 
seus terminais é nula. Se o módulo permanece em circuito aberto, este se polariza em uma tensão 
chamada de tensão de circuito aberto (VOC), na qual a corrente fotogerada é compensada quase 
( )
P
S
celS
S
L R
RIV
TkmN
RIVeIII +−



 −

 +−= 1exp0 (4.6) 
ISC = IL (4.7) 
em sua totalidade pela corrente de polarização do diodo. Assim, levando em conta que 



pR
Voc é 
muito menor que IL , e I0 exp 



t
OC
V
V , a equação para a tensão de circuito aberto terá a forma: 
 
 
Os módulos fotovoltaicos podem estar polarizados entre o ponto de curto-circuito e circuito 
aberto, em um ponto que vai depender do valor da carga elétrica conectada nos seus terminais. 
Se para essa carga, o módulo está fornecendo a sua máxima potência, se diz que está operando 
no seu ponto de máxima potência, obtendo-se assim valores de tensão e correntes tais que seu 
produto seja máximo. Estes valores são denominados respectivamente, tensão de máxima 
potência (Vmp) e corrente de máxima potência (Imp). Neste ponto, demonstra-se que (Krenzinger, 
1993): 
 
A equação 4.9 fornece o valor de Rp em função de Rs, e pode ser substituída na equação 4.5 
considerando os valores de tensão e corrente como se fossem os do ponto de máxima potência. 
Assim será possível isolar Rs , resultando que: 
 
 
Esta equação pode ser resolvida pelo método de Newton-Raphson e, transladando o 
resultado à formula de Rp , obtém-se este valor no ponto de máxima potência. Os valores de Rs e 



 += 1ln
0I
IVtVoc L (4.8) 
( ) mp
t
smpmp
mpsmp
Smpmp
P
I
V
RIV
VRI
Vt
I
RIV
R
+






 +−
−=
exp0
 
(4.9) 
( )0
0
exp
exp 1
mp
S
mp
S mp mp S
mp S mp
t t
mp mp S mp
L mp
t mp
V
R
I
R V I RI
I R I
V V
V I R V
I I I
V I
   −      =  + ⋅    ⋅ ⋅ +          
  + ⋅  − − ⋅ − −        
 (4.10) 
Rp são então considerados como constantes para qualquer ponto da curva característica I-V e 
para qualquer valor de irradiância e temperatura. 
Até aqui foi visto como determinar os valores de IL, I0, Rs e Rp a partir dos valores de ISC, 
Imp, VOC e Vmp em condições standard de medida. Falta determinar o valor do fator de idealidade 
do diodo (m), que, pela teoria dos semicondutores cristalinos, tem valores entre 1 e 2. 
Para escolher o parâmetro m poderia ser utilizada uma expressão empírica apresentada por 
Krenzinger (1993) que relaciona m com o fator de forma da curva I-V. 
 
Para condições diferentes da standard, calcula-se Isc e Voc, mantendo constante m, Rs e Rp, 
segundo: 
 
 
onde α é o coeficiente de variação relativa de Isc com a temperatura e β é o coeficiente de 
variação de Voc com a temperatura para uma célula. 
Os coeficientes de temperatura dependem principalmente do material e não tanto do 
método de fabricação, resultando em pequena variação entre distintos módulos. 
 
 
 
 
 
ocsc
mpmp
VI
VI
m 3.28.2 −= (4.11) 
( )[ ]KT
mW
GII c
s
scSC 29811000 2
−+= − α (4.12) 
( ) 


+++= −21000ln298 mW
GVKTNVV tcs
s
ococ β (4.13) 
5. CURVA CARACTERÍSTICA I-V 
 
A ABNT (NBR10899/TB-328) define a curva característica tensão versus corrente 
como a “representação dos valores da corrente de saída de um conversor fotovoltaico, em função 
da tensão, para condições preestabelecidas de temperatura e radiação”. 
A análise da curva I-V é de fundamental importância na caracterização de um 
gerador fotovoltaico, pois a partir dela é possível obter os principais parâmetros que determinam 
sua qualidade e desempenho. 
A curva I-V de uma célula solar é a resultante da superposição da corrente fotogerada 
com a curva do diodo no escuro. Aluz tem o efeito de deslocar a curva I-V para o quarto 
quadrante (quadrante de geração). A Figura 5.1 representa as curvas de uma célula fotovoltaica 
sob diversas condições de iluminação, sendo que a curva (d) mostra a curva I-V sob a forma mais 
comumente encontrada, rebatida sobre o eixo das tensões. Uma boa célula de silício cristalino 
apresenta, partindo do curto-circuito, uma corrente quase constante, decrescendo levemente com 
o aumento da tensão até chegar a um joelho, a partir do qual assume um comportamento de 
rápida diminuição, até cortar quase verticalmente o eixo das tensões. A potência fotogerada, 
obtida multiplicando-se a corrente pela tensão ponto a ponto, apresenta um máximo nitidamente 
localizado próximo ao joelho da curva I-V. 
A Figura 5.2 apresenta a curva de uma célula fotovoltaica, identificando três pontos 
notáveis: 
• Corrente de curto-circuito ISC: corrente que circula por uma célula iluminada quando a 
tensão em seus terminais é nula. 
• Tensão de circuito aberto VOC: tensão entre os terminais uma célula iluminada quando a 
corrente que circula por ela é nula. 
• Ponto de máxima potência PM: ponto da curva I-V para o qual o produto tensão x corrente 
é máximo. 
 
 
Figura 5.1 - Uma célula fotovoltaica sob diversas condições de iluminação: (a) no escuro a célula tem as mesmas 
características elétricas de um diodo. (b) quando a célula é iluminada, sua curva I-V se desloca para o 4º quadrante. 
(c) quanto maior a intensidade da radiação, maior é o deslocamento da curva. (d) a curva é, por convenção rebatida 
sobre o eixo das tensões, tornando o 1º quadrante o quadrante de geração (adaptado de Honsberg e Bowden, 1999) 
 
A tensão de circuito aberto VOC e a corrente de curto-circuito ISC são, 
respectivamente, as máximas tensão e corrente possíveis de serem obtidas de uma célula 
fotovoltaica. Entretanto, em ambos os pontos, a potência de saída é zero. O fator de forma (em 
inglês fill factor= fator de preenchimento) é um parâmetro que, juntamente com VOC e ISC, 
determina a máxima potência do módulo fotovoltaico. Matematicamente é definido como a razão 
entre a potência máxima e o produto da corrente de curto-circuito e a tensão de circuito aberto. 
Graficamente, o fator de forma pode ser definido pela relação entre as áreas A e B da Figura 5.2. 
 
5.1. Efeito da intensidade da radiação solar incidente 
 
 A Figura 5.3 representa as curvas características de uma célula mantida a temperatura 
constante sob diferentes condições de iluminação. O que se observa é um aumento na corrente de 
curto-circuito proporcional à intensidade de radiação solar incidente. A tensão de circuito aberto 
varia pouco exceto quando os valores da irradiância são muito pequenos, e VOC decresce 
rapidamente até zero nas condições de escuridão. 
 
Figura 5.3 - Curva característica da célula sob diferentes intensidades de radiação 
 
 
Figura 5.2 - Curvas da corrente (em vermelho) e potência (em azul) de uma célula 
fotovoltaica em função da tensão. Na figura também são destacados os pontos de corrente 
de curto-circuito ISC, tensão de circuito aberto VOC e máxima potência PM (VMP, IMP) 
5.2. Influência da Temperatura na Curva I-V 
 
 A temperatura é um fator de importante influência na curva característica de um 
dispositivo fotovoltaico. A corrente elétrica de curto-circuito aumenta ligeiramente com a 
temperatura, para módulos de silício cristalino, segundo um coeficiente (α) que apresenta 
valores típicos para o silício de 0,06%°C-1 ou 0,03 mA°C-1 cm-2. O coeficiente da variação da 
corrente de curto-circuito com a temperatura é definido pela Equação (5.1). Este aumento de 
corrente é devido a uma diminuição da energia do gap do material, expressa pela Equação (5.2): 
 
 
 
onde Eg(T) é a energia do gap do material a uma dada temperatura, Eg(0) é uma energia de 
referência e a e b são constantes do material. A Tabela 5.1 apresenta os valores das constantes a 
e b e as energias o gap para dois materiais, silício e arsenieto de gálio. 
Tabela 5.1- Energia do gap para Si e GaAs com os valores das constantes a e b da Equação (5.2) 
 (Lasnier, 1990). 
Material Eg(0)(eV) a (10-4eV K-1) b (K) 
Si 
1,16 7 1100 
GaAs 
1,52 5,8 300 
 
 A tensão, por sua vez, apresenta uma variação linear com a temperatura. Tipicamente, 
para módulos de silício monocristalino, a tensão decai de acordo com um coeficiente (β) que 
apresenta valores da ordem de -2,3 mV/ °C por célula. O coeficiente da variação da tensão de 
circuito aberto com a temperatura pode ser definido pela Equação (5.3). 
 
Esta diminuição da tensão é devida principalmente ao incremento exponencial da 
corrente de saturação reversa. Essa corrente é fruto dos portadores de carga minoritários criados 
T
I SC
∂
∂=α (5.1) 
( ) ( )
bT
aTETE gg +−=
2
0 (5.2) 
T
VOC
∂
∂=β (5.3) 
por excitação térmica. A Figura 5.4 apresenta curvas I-V relativas à mesma irradiância, mas em 
diferentes temperaturas 
 
. 
Figura 5.4- Curvas características de uma célula para diversas temperaturas 
 
 
Figura 5.5 - Variação de ISC e de VOC com a temperatura 
 
 
 
5.3. Efeitos da resistência série e paralela 
 
 Como foi visto na representação da célula por seu circuito equivalente, devem ser 
incluídos elementos resistivos em série e em paralelo. A resistência em paralelo é originada por 
fugas na superfície das bordas da célula, microdefeitos do cristal que possam ocasionar curto-
circuitos, etc. 
 O ideal seria que RP tivesse um valor muito elevado, tendendo a infinito. As boas células 
de Si monocristalino permitem, com a atual tecnologia de fabricação, que se possa desprezar este 
efeito. A resistência em série é devida à resistência do próprio semicondutor dopado, mais a 
resistência da grade metalizada e dos contatos necessários para que a corrente flua. O ideal seria 
que RS fosse igual a zero, porém o aumento da área de metalização na superfície frontal de uma 
célula reduziria na mesma proporção a penetração de luz, sendo necessário um estudo de 
otimização no projeto destas grades. A Figura 5.6 exemplifica os efeitos que diferentes valores de 
RS e RP causam sobre as curvas. 
 
(a) (b) 
Figura 5.6 - Efeito de Rs (a) e Rp (b) sobre a curva característica 
 
5.4. Condições padrão para ensaios de módulos fotovoltaicos 
 
A norma ASTM E-1036 Standard Methods of Testing Electrical Performance of 
Nonconcentrator Terrestrial Photovoltaic Modules and Arrays Using Reference Cells define 
como condições padrão de teste, para de irradiância e temperatura das células do módulo 
respectivamente, os valores de 1000 W/m2 e 25 °C. Quanto à distribuição espectral as normas 
ASTM E-891 e E-892 apresentam espectros de referência da irradiância solar terrestre direta 
normal e global, com massa de ar 1,5 para uma superfície com inclinação de 37 °. A massa de ar 
pode ser definida como a relação entre o comprimento da trajetória efetivamente percorrida 
pelos raios solares (radiação direta) na atmosfera até o observador e o comprimento da trajetória 
que estes percorreriam se o Sol estivesse no zênite, com o observador ao nível do mar. Uma 
aproximação para o valor da massa de ar, válida somente para ângulos menores que 70 °, pode 
ser dada pela secante do ângulo de zênite, ângulo compreendido entre as direções do zênite e dos 
raios solares. 
A norma IEC 1215 Crystalline Silicon Terrestrial Photovoltaic Modules - Design 
Qualification and Type Approval também considera os valores de 1000 W/m2 e 25 °C. Normas 
brasileiras, como NBR11876/EB2176 Módulos Fotovoltaicos e a NBR12137/MB3478 Módulos 
fotovoltaicos - Ensaios mecânicos e ambientais, adotam os mesmos valores. 
6. ASSOCIAÇÃO DE CÉLULAS FOTOVOLTAICAS EM SÉRIEE EM 
PARALELO 
 
 Células fotovoltaicas podem ser associadas em série, paralelo ou simultaneamente em 
série e paralelo. Em todos estes tipos de associações, problemas oriundos da não identicidade das 
células e do seu funcionamento em situações não desejadas, aparecem e podem ocasionar sérios 
danos aos componentes da associação. Para minimizar e até mesmo evitar estes danos, em 
associações que envolvam um grande número de células, faz-se necessário o uso de dispositivos 
de proteção tais como diodos bypass e de bloqueio, conectados em pontos estratégicos. 
A seguir, são apresentadas as principais características das diferentes associações de 
células fotovoltaicas e procedimentos utilizados para a sua proteção. 
 O método utilizado para a associação de células pode ser estendido para associações de 
módulos fotovoltaicos. 
6.1. Associação série de células fotovoltaicas 
 
 Atualmente, a grande maioria dos módulos fotovoltaicos são montados para operarem 
com tensão nominal de 12 V. Dependendo do tipo de células que os constituem, apresentam mais 
ou menos células associadas em série. Entre os tipos de células mais utilizados estão a de silício 
monocristalino (módulos com 30 a 36 células), silício policristalino (geralmente módulos com 
36 células) e silício amorfo (módulos de 27 ou 28 células). 
 Em sistemas fotovoltaicos é freqüente utilizar-se componentes elétricos de consumo que 
apresentam tensões nominais de 12, 24 ou 48 V. As tensões de 24 V e 48 V são obtidas 
associando-se em série um maior número de células fotovoltaicas. 
 A Figura 6.1 apresenta o circuito elétrico de N células associadas em série. 
 
R
 
Figura 6.1- Associação de células em série 
 
 Como principais características de uma associação série, tem-se que a corrente que 
circula por uma célula é a mesma que circula pelas demais células associadas e a tensão, nos 
extremos da associação, é dada pela soma das tensões de cada célula. 
 
6.2. Associação série de células fotovoltaicas idênticas 
 Sempre que se deseja associar células fotovoltaicas em série, é conveniente que as 
mesmas apresentem curvas características I-V o mais semelhantes possível. Processos de seleção 
de células permitem que se tenha lotes com células muito parecidas, as quais podem ser 
consideradas como idênticas. 
 Supondo que as N células mostradas na Figura 6.1sejam idênticas, tem-se que a tensão de 
circuito aberto da associação VOCA é igual a N vezes a tensão de circuito aberto VOCCN de uma 
célula qualquer, visto que todas elas apresentam uma mesma tensão de circuito aberto. Logo, 
 OCCNOCC2OCC1OCA V.....VVV +++= 
onde VOCA é a tensão de circuito aberto da associação e VOCCN é a tensão de circuito aberto da 
célula N e sendo 
 V V ...... VOCC1 OCC2 OCCN= = = 
tem-se que 
 OCCNOCC2SOCC1SOCA VN......VNVNV S ⋅==⋅=⋅= 
onde Ns é o número de células fotovoltaicas associadas em série. 
 Quando os extremos da associação são conectados entre si, através de um condutor com 
resistência elétrica nula, tem-se uma situação de curto-circuito, no qual a tensão da associação é 
nula e a corrente que circula pelas células é denominada de corrente de curto-circuito da 
associação ISCA. 
 Como as células são idênticas, apresentam mesma corrente de curto-circuito e, portanto, 
pode-se dizer que 
 I I I ...... ISCA SCC1 SCC2 SCCN= = = = 
onde ISCA é a corrente de curto-circuito da associação e ISCCN é a corrente de curto-circuito da 
célula N. 
 Para qualquer outro ponto de operação da associação, diferente dos pontos de circuito 
aberto e curto-circuito, a tensão da associação, para um determinado valor de corrente, é dada 
como sendo a soma das tensões de cada célula. Para esta corrente da associação IA, tem-se que 
 V V V ......VA C1 C2 CN= + + 
onde VA é a tensão da associação e VCN é a tensão da célula N. 
 Na Figura 6.2 são mostradas as curvas características I-V de uma das células fotovoltaicas 
associadas e a curva da associação das N células idênticas. 
 
 
Figura 6.2 - Curva característica I-V de N células fotovoltaicas idênticas associadas em série. 
 
 Observa-se que, para qualquer carga que seja conectada nos extremos da associação, 
todas as células comportam-se como geradores de energia elétrica. 
 O ponto P2 indica o ponto de máxima potência da associação no qual se tem que 
 mpCNmpC2mpC1mpA V......VVV +++= 
onde VmpA é a tensão do ponto de máxima potência da associação e VmpCN é a tensão do ponto de 
máxima potência da célula N 
e sendo 
 mpCNmpC2mpC1 V......VV === 
tem-se portanto que 
 mpCNSmpC2SmpC1SmpCA VN......VNVNV ⋅==⋅=⋅= 
e 
 mpCNmpC2mpC1mpA I......III ==== 
onde ImpA é a corrente do ponto de máxima potência da associação e ImpCN é a corrente do ponto 
de máxima potência da célula N. 
6.3. Associação série de células fotovoltaicas não idênticas 
 
 Células fotovoltaicas que apresentam curvas características I-V não idênticas, quando 
associadas em série, podem funcionar em pontos de operação que prejudicam o desempenho de 
toda a associação. Situações não desejadas, como a de sombreamento de células e curto-circuito 
da associação podem danificar células e, em determinadas situações, até tirar de funcionamento 
o sistema de geração de energia elétrica. 
 Considerem-se, para efeito de análise do comportamento de células fotovoltaicas não 
idênticas associadas em série, duas células idênticas e uma terceira com menor eficiência. 
 Na Figura 6.3 são mostradas as curvas características I-V da célula menos eficiente (1), da 
curva resultante da associação das duas células idênticas (2) e da associação (3). 
 
 
Figura 6.3 – Curva Característica I-V de células fotovoltaicas não idênticas associadas em série 
 
 
 Observa-se que no ponto P1, a associação encontra-se em circuito aberto (IA = 0) com 
uma tensão VOCA igual a soma das tensões de circuito aberto de cada célula, de tal modo que 
 OCC3OCC2OCC1OCA VVVV ++= 
 À medida que a carga ligada nos extremos da associação aumenta (R tendendo a zero), o 
seu ponto de operação começa a deslocar-se em direção ao ponto P4. 
 Enquanto a corrente da associação é menor que a corrente de curto-circuito de cada 
célula associada (região entre os pontos P1 e P3), todas as células comportam-se como geradores 
de energia elétrica. 
 No ponto P3, a célula de menor eficiência encontra-se em curto-circuito, apresentando 
tensão nula nos seus terminais e, portanto, não funcionando nem como gerador, nem como carga. 
Neste ponto, a tensão da associação é dada apenas pela soma das tensões das células idênticas e 
mais eficientes, que continuam comportando-se como geradores. 
 Quando pela associação circula uma corrente maior que a corrente de curto-circuito da 
célula menos eficiente (região entre os pontos P3 e P4), esta comporta-se como uma carga para as 
demais células que ainda apresentam corrente de curto-circuito maior que a corrente da 
associação. 
 Finalmente, quando a associação opera em curto-circuito (ponto P4), sua tensão é nula e a 
soma das tensões das duas células mais eficientes é igual, em módulo, a tensão sobre a célula 
menos eficiente. 
 Para VA = 0 
 V 0 V V VA C1 C2 C3= = + + 
tem-se que 
 V V VC2 C3 C1+ = − 
 Isto equivale a dizer que toda a potência gerada pelas células mais eficientes é dissipada 
na célula menos eficiente. 
 Caso tenha-se uma associação com N células conectadas em série, a potência gerada por 
(N-1) células pode estar sendo dissipada em uma única célula menos eficiente, sombreada ou 
danificada, a qual se encontra reversamente polarizada. Tal situação faz com que estas células 
operem em pontos de temperaturas mais elevadas que as demais células, podendo ocorrer danosparciais ou até mesmo irreversíveis à célula e, conseqüentemente, à associação. 
 
6.4. Associação paralelo de células fotovoltaicas 
 
 Sistemas fotovoltaicos são projetados para atender às necessidades de tensão e corrente 
elétricas de uma determinada carga. À medida que esta carga vai aumentando, é exigida do 
sistema uma corrente elétrica de maior intensidade. 
 Para suprir esta necessidade de corrente, muitas vezes torna-se necessário associarem-se 
módulos fotovoltaicos em paralelo, visto que a corrente que cada módulo individualmente pode 
fornecer ao sistema é da ordem de poucos Ampères. 
 A Figura 6.4 apresenta o circuito elétrico de N células fotovoltaicas, associadas em 
paralelo, fornecendo energia elétrica para um resistor de resistência elétrica variável. 
 
 
Figura 6.4 - Associação em paralelo de N células fotovoltaicas 
 
 Entre as principais características de uma associação em paralelo de células fotovoltaicas, 
tem-se que a corrente da associação é igual à soma das correntes que circulam por cada uma das 
células associadas e a tensão é a mesma sobre todas as células. 
 
6.5. Associação paralelo de células fotovoltaicas idênticas 
 
 Suponha-se que as células fotovoltaicas, apresentadas no circuito da Figura 6.4, tenham 
sido escolhidas dentro de um grande lote de células e que apresentem curvas características I-V 
muito semelhantes, podendo serem consideradas idênticas. 
 Neste tipo de associação, a corrente de curto-circuito da associação ISCA é igual a N vezes 
a corrente de curto-circuito de uma qualquer das células, visto que todas células apresentam uma 
mesma corrente de curto-circuito. Logo, 
 I I I ...... ISCA SCC1 SCC2 SCCN= + + + 
e sendo 
 I I ...... ISCC1 SCC2 SCCN= = = 
tem-se que 
 SCCNPSCC2PSCC1PSCA IN......ININI ⋅==⋅=⋅= 
onde NP é o número de células fotovoltaicas associadas em paralelo. 
 Quando nos extremos da associação não é ligada nenhuma carga (R tendendo ao infinito), 
situação de circuito aberto, a corrente da associação é nula e a tensão é igual à tensão de circuito 
aberto de uma célula qualquer. 
 Portanto, para IA = 0 e, sendo 
 V V ...... VOCC1 OCC2 OCCN= = = 
tem-se que 
 OCCNOCC2OCC1OCA V.....VVV ==== 
 Para qualquer outro ponto de operação da associação, diferente dos pontos das situações 
de circuito aberto e curto-circuito, a corrente fornecida pela associação a uma carga qualquer, 
submetida a uma tensão VA, é dada como sendo a soma das correntes de cada célula. 
 Para VA, tem-se que 
 I I I ...... IA C1 C2 CN= + + + 
onde IA é a corrente elétrica da associação e ICN á a corrente elétrica da célula N. 
 Na Figura 6.5 são mostradas as curvas características de uma das células fotovoltaicas 
associadas e a curva da associação das N células idênticas. 
 
 
Figura 6.5 Curva característica I-V de N células fotovoltaicas idênticas associadas em paralelo. 
 
Observando a Figura 6.5, verifica-se que, para qualquer carga que seja conectada nos terminais da 
associação, todas as células comportam-se como geradores de energia elétrica. 
 O ponto P2 da Figura 6.5 indica o ponto de máxima potência da associação no qual tem-se 
que 
 mpCNmpC2mpC1mpA I......III +++= 
e sendo 
 mpCNmpC2mpC1 I......II === 
tem-se portanto que 
 mpCNPmpC2PmpC1PmpA IN......ININI ⋅==⋅=⋅= 
e 
 mpCNmpC2mpC1mpA V......VVV ==== 
 
6.6. Associação paralelo de células fotovoltaicas não idênticas 
 
 Células fotovoltaicas não idênticas, associadas em paralelo, prejudicam a eficiência do 
sistema fotovoltaico, principalmente quando o mesmo funciona em situações tais como a de 
circuito aberto ou sombreamento de células. 
 Considere-se, para efeito de análise do comportamento de células fotovoltaicas não 
idênticas associadas em paralelo, duas células idênticas e uma terceira com menor eficiência 
associadas. 
 Na Figura 6.6 são mostradas as curvas características I-V da célula menos eficiente (1), da 
curva da associação paralelo das duas células idênticas (2) e a da associação paralela de todas as 
células (3). 
P1( 3 )
( 2 )
( 1 )
P2
P3
P4
I
V
R
 
Figura 6.6 - Curva característica I-V de células fotovoltaicas não idênticas associadas em paralelo 
 
 Observa-se que no ponto P1, a associação e as células encontram-se em curto-circuito 
(VA=0). A corrente de curto-circuito da associação é igual à soma das correntes de curto-circuito 
de cada célula, de tal modo que 
 I I I ISCA SCC1 SCC2 SCC3= + + 
 À medida que a carga ligada nos extremos da associação vai diminuindo (R tendendo a 
infinito), o seu ponto de operação começa a deslocar-se em direção ao ponto P4. 
 Enquanto a tensão da associação é menor que a tensão de circuito aberto de cada célula 
associada (região entre os pontos P1 e P3), todas as células comportam-se como geradores de 
energia elétrica. 
 No ponto P3, a célula de menor eficiência encontra-se em circuito aberto, não circulando 
por ela nenhuma corrente e, portanto, não funcionando nem como gerador, nem como carga. 
Neste ponto, a corrente da associação é dada apenas pela soma das correntes das células 
idênticas e mais eficientes, que continuam comportando-se como geradores. 
 Quando a tensão da associação for maior que a tensão de circuito aberto da célula menos 
eficiente (região entre os pontos P3 e P4), esta comporta-se como carga para as demais células 
que ainda possuem tensão de circuito aberto maior que a tensão da associação. Finalmente, 
quando a associação opera em circuito aberto (ponto P4), sua corrente é nula e a soma das 
correntes das duas células mais eficientes é igual, em módulo, à corrente que circula pela célula 
menos eficiente. Logo, para IA = 0, tem-se que 
 I 0 I I IA C1 C2 C3= = + + 
 Portanto 
 I I IC2 C3 C1+ = − 
 Isto equivale a dizer que toda a potência gerada pelas células mais eficientes é dissipada 
na célula menos eficiente. Os mesmos problemas de aquecimento e, conseqüentes danos as 
células, observados em associações série, acontecem também em associações paralelo de células 
fotovoltaicas. 
 Caso tenha-se uma associação com N células conectadas em paralelo, a potência gerada 
por (N-1) células pode ser dissipada em uma única célula menos eficiente, sombreada ou 
danificada. 
7. PROTEÇÃO DE SISTEMAS FOTOVOLTAICOS COM DIODOS 
 
 Quando se trabalha com sistemas fotovoltaicos de potências elevadas, faz-se necessário 
associar módulos em série e em paralelo a fim de se conseguir valores de tensão e corrente 
apropriados para a aplicação que se deseja. As diferenças entre as características elétricas e 
possíveis sombreamentos de módulos podem ocasionar danos ao sistema devido ao aquecimento 
indevido de células. Para evitar os problemas advindos destas situações indesejadas mas que 
ocorrem ao longo da vida útil do sistema, deve-se acrescentar ao sistema dispositivos de 
proteção, geralmente diodos, que são colocados em pontos estratégicos com o objetivo de evitar 
o aparecimento de pontos quentes nos módulos com conseqüente perdas de potência. 
 Diodos de bloqueio são utilizados para este fim podendo, em determinados casos, serem 
substituídos por fusíveis, conforme sugerido por Wiles e King, 1997. 
 
7.1. Diodo de bypass 
 
 Em associações série de células fotovoltaicas (módulos), as mesmas estão sujeitas a 
funcionarem como carga para as demais células. Neste caso, corre-se o risco de se ter uma tensão 
negativa aplicada nos seus extremos que seja maior que a sua tensão de ruptura (breakdown), 
ocasionando uma dissipação de potência exagerada sobre ela e, por conseqüência, provocando 
um aquecimento que pode causar danos à célula. Esta situação ocorre devido à não identicidade 
ou por sombreamentode células. 
 Conectando-se em anti-paralelo com os extremos das células um diodo conhecido como 
diodo de bypass, nestas situações, o mesmo encontra-se diretamente polarizado e, portanto, 
permitindo que por ele circule corrente. Assim sendo, a célula em questão não gera energia 
elétrica, mas também não se comporta como carga para as demais células. Se a célula for 
idêntica às demais e não estiver sombreada, o diodo bypass encontra-se reversamente polarizado, 
não permitindo que por ele circule corrente. Este diodo bypass deve ser capaz de conduzir toda a 
corrente gerada pela associação série e sua tensão limiar de condução deve ser a menor possível. 
 Na prática, não se colocam diodos bypass em paralelo com cada célula associada, mas 
sim com grupos delas. A Figura 7.1 mostra como são ligados os diodos bypass em módulos 
fotovoltaicos (associações de N células em série) disponíveis no mercado. 
 
Figura 7.1- Ligações de diodos bypass em módulos fotovoltaicos 
 
 Em módulos fotovoltaicos com diodos bypass ligados de forma entrelaçada, se tem 
disponível apenas um valor de tensão nominal para o módulo, por exemplo 12 V, e nos outros 
módulos dois valores de tensão (6 V e 12 V). 
 
7.2. Diodo de bloqueio 
 
 Sistemas fotovoltaicos constituídos por vários ramos em paralelo, ramos estes 
constituídos por N módulos associados em série, podem ser protegidos contra correntes reversas 
dos outros ramos através de diodos de bloqueio conectados em série em cada um dos ramos. 
Essa corrente reversa é causada pela diferença de tensão dos ramos devido às situações 
indesejadas já citadas anteriormente. 
 O ramo que apresenta uma menor tensão fica sujeito a funcionar como carga para os 
demais ramos. Desta forma, parte ou toda a corrente gerada pelos ramos que apresentam maior 
tensão fluirá pelo ramo de menor tensão, ocasionando um aquecimento neste último ramo e 
perda de potência do sistema. O uso de diodos de bloqueio ligados em série com os módulos de 
cada ramo, conforme é mostrado na Figura 7.2, evita o aparecimento de correntes reversas. 
 
 
Figura 7.2 - Associação em paralelo de módulos fotovoltaicos com diodos de bloqueio 
 
 Os diodos de bloqueio ocasionam uma queda de tensão menor que 1 V (valor este que 
depende do tipo de diodo utilizado), o que pode ser importante em sistemas de menor porte. Para 
reduzir significativamente esta queda de tensão, pode-se substituir o diodo de bloqueio por 
fusíveis. Com o fusível, as células do módulo do ramo de menor tensão não correm o risco de 
serem danificadas mas não se evita a perda de potência do sistema visto que por este ramo 
circulará uma corrente reversa. 
 Quando a energia elétrica do sistema fotovoltaico é armazenada em baterias, pode-se 
utilizar um diodo de bloqueio com o seu cátodo ligado no terminal positivo do banco de baterias, 
com o objetivo de não permitir a sua descarga em períodos de escuridão ou de baixa radiação 
solar (células fotovoltaicas comportando-se como diodos polarizados diretamente). O 
inconveniente desta solução é que se tem, nos períodos em que o sistema está gerando energia 
elétrica, uma perda de potência que é dissipada no próprio diodo de bloqueio. Além disto, a 
aplicação do diodo também é questionada, pois a queda de tensão que ele provoca durante o dia 
proporciona uma perda de energia que pode ser, em determinados casos, maior que a perda de 
energia durante a noite sem a sua presença. 
 Com o objetivo de minimizar estas perdas, podem-se utilizar diodos do tipo Schottky, os 
quais apresentam uma queda de tensão, quando polarizados diretamente, na ordem de 0,2 V. Em 
sistemas que operam com tensões superiores a 24 V, torna-se necessário utilizar diodos de 
junção P-N que suportam tensões reversas maiores, embora provoquem uma perda de potência 
maior, pois a queda de tensão quando em polarização direta é na ordem de 0,7 V (diodos de 
silício). 
 
7.3. Ligação de diodos de proteção em sistemas fotovoltaicos 
 
 A proteção de módulos fotovoltaicos que compõem um sistema faz-se preferencialmente 
com o uso de diodos de bypass e de bloqueio, evitando assim o aparecimento de pontos 
excessivamente quentes nos módulos, o que poderia vir a prejudicar o funcionamento do 
sistema. 
 Quando se tem módulos associados em série, a proteção é feita colocando-se em anti-
paralelo com cada módulo um diodo de bypass. Para módulos (ou fileiras de módulos) 
associados em paralelo, liga-se em série com cada módulo (ou fileira) um diodo de bloqueio. 
 Em sistemas que utilizam um número maior de módulos, tendo-se associações em série e 
em paralelo, a proteção dos módulos é conseguida utilizando-se, simultaneamente, os diodos de 
bypass e de bloqueio. 
 A Figura 7.3 mostra como devem ser ligados os diodos de proteção em um sistema 
composto por módulos ligados em série-paralelo. 
 
Figura 7.3 – Associação em série-paralelo de módulos fotovoltaicos com diodos de proteção. 
8. BATERIAS OU ACUMULADORES 
 
A função destes elementos nos sistemas fotovoltaicos é armazenar a energia produzida pelo 
gerador fotovoltaico e entregá-la à carga quando a geração seja nula como à noite, ou 
insuficiente como em períodos de baixa irradiância. As baterias podem estar formadas por uma 
única célula ou vaso, ou por um grupo delas, conectados em série ou em paralelo, constituindo 
assim um sistema de armazenamento eletroquímico completo. 
 
8.1. Classificação das Baterias 
Segundo o tipo de célula que compõe uma bateria, esta pode ser classificada como 
recarregável ou não recarregável. 
As baterias não-recarregáveis podem ser usadas uma única vez. Estão compostas de células 
denominadas primárias que uma vez descarregadas ficam inutilizadas. Usam-se comumente 
como fontes de energia de baixa potência, para relógios, calculadoras, etc. 
As baterias recarregáveis, compostas por células conhecidas como secundárias, podem ser 
carregadas e reutilizadas várias vezes, e servem para aplicações de longos períodos de tempo. 
Nos sistemas fotovoltaicos, as baterias de acumulação funcionam continuamente em ciclos de 
carga e descarga como resultado da superposição do efeito produzido pela energia diária 
fornecida pelo gerador fotovoltaico e a requerida pelo consumo. 
Segundo sua aplicação, estas baterias podem classificar se como: 
• Automotivas ou “de partida”: são baterias desenhadas para descargas velozes, com 
altas taxas de correntes e baixas profundidades de descarga, condições comuns para 
partida de motores de automóveis. 
• Tração: indicadas para o funcionamento de aparelhos móveis elétricos, são projetadas 
para operar em regime de ciclos diários profundos com taxa de descarga moderada. 
• Estacionárias: projetadas para ocasiões em que se trabalha com ciclos lentos de carga 
/ descarga. Por exemplo, sistemas de backup. 
• Fotovoltaicas: são aquelas pensadas para ciclos diários com taxas de descarga 
reduzidas e que devem suportar descargas profundas esporádicas devido a uma possível 
falta de geração (condições climáticas). 
Segundo sua forma de confinamento do eletrólito, podem ser: 
• Abertas, precisam de uma verificação periódica do nível do eletrólito. O eletrólito é 
liquido e não está encerrado no separador, motivo pelo qual devem ficar em posição 
vertical. 
• Seladas, nas quais o eletrólito está confinado no separador ou tem consistência de gel. 
Chamam-se também de “sem manutenção”, porque não precisam da adição de água. 
As formas de avaliação das baterias recarregáveis são: densidade de energia, volumétrica 
ou por peso; eficiência, vida cíclica, taxa de autodescarga, reciclabilidade dos materiais e custo, 
termos que serão tratados adiante. A seguir, é dado um enfoque específico aos acumuladores 
eletroquímicos de chumbo-ácido(Pb-ácido), por serem estes os mais usualmente utilizados em 
sistemas fotovoltaicos autônomos devido a seu baixo custo e disponibilidade no mercado. 
 
8.2. Processos eletroquímicos nos acumuladores 
Os acumuladores são compostos por um ou mais elementos denominados células 
eletroquímicas. A célula ou vaso é a unidade básica de uma bateria (Figura 8.1), a qual é 
formada por um recipiente onde se encontram dois eletrodos imersos numa solução eletrolítica, 
conhecidos como materiais ativos, os que se encarregam da transformação da energia química 
em elétrica ou ao inverso segundo estejam em estado de carga ou descarga, produzindo-se 
reações químicas reversíveis. 
Um dos eletrodos é o pólo positivo (ânodo) que é formado de dióxido de chumbo e o outro 
é de chumbo poroso puro sendo o pólo negativo (cátodo). Ambos estão imersos numa solução de 
ácido sulfúrico dissolvido em água a 37% (eletrólito), a qual permite a condução dos elétrons. 
No processo de descarga, as reações químicas entre o material dos eletrodos e do eletrólito 
geram eletricidade, enquanto que no processo de carga, a reação se dá consumindo energia. As 
reações químicas que ocorrem no interior deste tipo de acumuladores são as seguintes: 
no ânodo 
 
 
no cátodo 
 
 
resultando como reação global 
 
 
Durante o processo de carga, uma corrente elétrica entra na bateria pelo ânodo, formando 
óxido de chumbo (PbO2) no ânodo e chumbo puro (Pb) no cátodo. Neste processo, ácido 
sulfúrico (H2SO4) é liberado na solução aquosa (eletrólito), aumentando sua densidade. Já na 
descarga, a corrente elétrica sai pelo ânodo, formando sulfato de chumbo (PbSO4) nos dois 
eletrodos absorvendo o ácido sulfúrico do eletrólito, com uma correspondente diminuição da 
densidade deste último. Assim, é possível determinar o estado da carga de uma bateria de forma 
bastante simples, medindo a densidade do eletrólito, ou a tensão em seus pólos. 
Na prática, para as baterias carregadas, a densidade do eletrólito varia entre 1,20 e 1,28 
g/cm3, os quais correspondem respectivamente a valores, em estado de repouso, entre 2,04 e 2,12 
V por célula. 
 
Figura 8.1 - Corte de uma bateria automotiva (EPSEA, 2004) 
 
8.3. Características dos Acumuladores 
Com respeito às baterias em geral, existe uma série de termos a conhecer que fornecem a 
informação de suas principais características. 
Autodescarga: define o processo no qual as baterias descarregam gradual e 
espontaneamente, quando não estão em uso. As baterias de chumbo-ácido têm uma alta taxa de 
autodescarga mensal, de 5 a 30% de sua capacidade, dependendo da temperatura e composição 
da célula, e assim deve-se evitar que as baterias fiquem em repouso por tempos prolongados. 
Recipiente 
 
Figura 8.2 - Autodescarga das baterias (Pb-ácido) em função do tempo inoperante (Araújo 
et ali, 1985). 
 
A palavra capacidade define a quantidade de energia que a bateria pode entregar durante 
uma descarga completa, em Ampères-hora. A capacidade é influenciada pela velocidade de 
carga e descarga e pela temperatura de operação da bateria. Quanto maior a intensidade de 
corrente de descarga, menor é o valor da capacidade da bateria e com menores intensidades de 
descarga aumenta a capacidade. Temperaturas baixas reduzem a capacidade e o aumento da 
temperatura traz um incremento da capacidade, mas com este incremento de temperatura vem 
associada uma perda de água e diminuição da vida útil. 
 
 
Figura 8.3 - Variação da capacidade da bateria com a corrente de descarga , e com 
variação de temperatura, (Oliveira, 1997). 
 
A capacidade Nominal é o valor da capacidade em Ah, dado pelo fabricante em condições 
de operação especificadas. 
O Estado de Carga (EC) é definido como a capacidade disponível de carga na bateria, 
sendo apresentado como uma porcentagem da capacidade nominal. 
O regime de carga / descarga (Cn) representa a corrente fornecida à bateria para 
restabelecer a capacidade máxima em um determinado tempo, ou extraída da mesma a partir da 
plena carga para esgotar a capacidade em um determinado tempo. É um valor normalizado para a 
capacidade da bateria, e sua expressão é dada pela relação entre a Capacidade Nominal e o 
Tempo de Descarga. Este regime poderia ser expresso em ampères, mas o mais normal é 
expressar o regime em forma normalizada com a capacidade, ou seja, para n horas de descarga se 
representara como Cn. Por exemplo, se uma descarga completa de uma bateria de 100 Ah, com 
uma corrente de 20 A, dura 5 horas, então indica um regime de C5. 
Descarga é o processo de extrair a corrente de uma bateria através da conversão de energia 
eletroquímica em energia elétrica. 
O processo de descarga a corrente constante pode dividir-se em 3 zonas das curvas da 
Figura 8.4, uma queda brusca da tensão inicialmente, logo se estabilizando e diminuindo quase 
linearmente com o tempo e finalmente uma fase em que a tensão cai rapidamente até um valor 
que indique que a descarga finalmente chegou ao fim. 
Para sistemas fotovoltaicos, geralmente trabalha-se com regimes baixos de corrente, que 
correspondem a descargas por mais de 100 horas (C 100). 
 
 
Figura 8.4 - Curvas de descarga e carga para uma bateria de 12 Volts a 25ºC (Couto, 1996). 
 
A taxa de descarga/carga é o valor de corrente durante o processo de descarga/carga da 
bateria. 
Por Carga entende-se a conversão de energia elétrica em potencial eletroquímico na célula. 
Os métodos de carga para aplicações fotovoltaicas são de difícil controle devido à variação de 
irradiância solar, mas geralmente os métodos utilizados em laboratório são a corrente constante , 
variando o valor da tensão, ou a tensão constante, variando a corrente. 
No processo de carga a corrente constante pode ser dividida em 3 partes fácies de perceber 
nas curvas da Figura 8.4 um aumento brusco da tensão inicialmente, logo se estabilizado e 
aumentando quase linearmente com o tempo e por último uma fase em que a tensão aumenta 
rapidamente até um valor constante. Esta última fase se conhece com o nome de sobrecarga 
aonde se produz una gaseificação devido a que parte da corrente é empregada para a 
decomposição e liberação de gases (Oxigeno e Hidrogênio) e, por conseguinte, ocorre perda de 
água e elevação de temperatura. 
A Profundidade de descarga indica a porcentagem da capacidade nominal da bateria que 
foi retirada a partir do estado de plena carga. É o valor que complementa o estado de carga. 
A Tensão de corte corresponde ao valor de tensão no qual a descarga da bateria é 
interrompida. Pode ser função do regime de operação, ou pode ter um valor determinado pelos 
fabricantes como tensão de final de descarga, que indica o momento em que danos irreversíveis 
podem ser causados à bateria. 
Na Figura 8.4 se verifica que o critério de escolha da tensão de corte corresponde ao 
“joelho” da curva tensão-tempo e quanto mais rápida a descarga, menor a tensão de corte. Para 
sistemas fotovoltaicos dotados de acumuladores de Pb-ácido, costuma-se utilizar para a tensão 
de corte o valor de 1,9 Volts/elemento. 
Chama-se Ciclo à seqüência de carga-descarga de uma bateria até uma determinada 
profundidade. 
 
Figura 8.5. Números de ciclos de uma bateria para diferentes profundidades de descarga (Lounineau, 1994). 
 
A Vida útil é o período de tempo no qual uma bateria opera normalmente sob 
determinadas condições, mantendo a capacidade e o rendimento. Nas baterias de chumbo-ácido, 
costuma-se assumir o fim da vida como o momento em que, estando totalmente carregada, pode 
fornecer somente 80% de sua capacidade nominal (Oliveira, 1997). A perda da capacidade tem a 
ver com a idade (o envelhecimento se relaciona com a temperatura de operaçãoe com a 
temperatura e a forma de armazenamento) e com a ciclagem da bateria. 
A Eficiência pode ser expressa de duas maneiras diferentes, a eficiência faradaica ou 
eficiência energética. A primeira é a relação entre a quantidade de Ah retirada de uma bateria 
durante a descarga e quantidade necessária de Ah para restaurar o estado de carga inicial. 
Calcula-se como a razão entre a integral da corrente ao longo do tempo de descarga e carga. O 
valor é da ordem de 90 – 95 %. Por eficiência energética entende-se a relação entre a energia 
retirada da bateria durante o processo de descarga e a energia necessária para restaurar o estado 
de carga inicial. O valor é da ordem de 75 – 80 % (Linden, D., 1995). 
 
8.4. Modelagem das baterias 
 
A modelagem das baterias envolve diferentes parâmetros como a capacidade, evolução de 
estado de carga e tensão nos terminais em função do regime de corrente e temperatura, etc. O 
texto abordado a seguir se refere exclusivamente a baterias de chumbo-ácido. 
Encontram-se modelos matemáticos baseados no comportamento interno das baterias, 
estudando a composição dos materiais ativos e sua microestrutura, os quais resultam em modelos 
muito complexos. Outros tipos de modelos podem ser chamados de "externos" ou "de 
simulação" que além de serem mais simples, seus métodos são de fácil implementação em 
computadores. Tais modelos apresentam parâmetros gerais comuns a diferentes baterias, 
particularizando-se o comportamento de uma determinada bateria a partir do valor da capacidade 
nominal. 
O modelo elétrico da bateria utilizado nesta dissertação está composto por uma fonte de 
tensão ideal (Vi) e uma resistência interna. A resistência interna (Ri) que possui a bateria tem um 
comportamento dinâmico ao longo dos processos de carga e descarga, assim a tensão de trabalho 
medida nos bornes da bateria tem um comportamento influenciado pelo sentido da corrente da 
bateria. 
 
Figura 8.6. Circuito elétrico equivalente de uma bateria 
 
Quando a bateria se encontra em repouso, isto é, em circuito aberto, ela tem uma tensão 
diferente à de carga ou de descarga. Vários autores fizeram diferentes ensaios mostrando que, 
durante interrupções da carga e da descarga a tensão do circuito aberto (VCA) tem uma variação 
linear com o estado de carga, sendo que se pode relacionar o valor do estado de carga com a 
tensão de repouso como se mostra na Figura 8.7 (Wagner, 1991). 
11.00
11.25
11.50
11.75
12.00
12.25
12.50
12.75
13.00
13.25
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Estado de Carga (%)
T
en
sã
o 
de
 C
ir
cu
ito
 A
be
rt
o 
(V
) 
 
Figura 8.7. Relação entre o valor do estado de carga e a tensão de circuito aberto para uma bateria de 12 volts 
(Wagner, 1991). 
 
A tensão de trabalho da bateria tem um comportamento diferente, dependendo se ela está 
em regime de carga ou de descarga e da taxa de corrente. 
Durante a carga tem-se: 
Vi 
aciCAmed IRVV arg+= (8.1)
 
sendo a corrente de carga da bateria 
consgeradaac III −=arg (8.2)
 
Para a descarga 
adesciCAmed IRVV arg−= (8.3)
 
sendo a corrente de descarga da bateria 
geradaconsadesc III −=arg (8.4)
 
Analisando as equações anteriores pode-se obter uma equação para o processo de carga e 
descarga, onde a tensão segue a seguinte expressão: 
( )med CA i gerada consV V R I I= + ⋅ − (8.5)
 
Dado que Ri não é concentrada nem constante ao longo do tempo, a equação (8.5) não é 
representativa do que em realidade acontece em uma bateria e, sendo assim, tem apenas um valor 
didático. Para a obtenção da tensão de trabalho das baterias aplicou-se o modelo proposto por 
Macomber (conforme citado em Wagner, 1991) que desenvolveu duas expressões que 
consideram a variação da resistência interna de um elemento de bateria com o estado de carga. 
Nos processos de descarga a expressão proposta é: 


 +−= iVadescCAmed RECNC
I
VV
%
9,18arg (8.6) 
 
A constante 18,9 considera o aumento da resistência interna devido à formação de sulfato 
de chumbo em ambas as placas. C é a capacidade total da bateria e %EC (varia entre 0 e 100) 
representa o estado de carga. Ri é a resistência interna dada por: 
( ))25(02,0115,0 −−= TNR Vi (8.7) 
 
sendo T a temperatura do lugar onde se encontra a bateria, e NV o número de vasos da bateria. 
Durante a carga a expressão proposta é a seguinte: 


 +−+= iV
ac
CAmed REC
N
C
I
VV
%2.114
9,18arg (8.8) 
 
Macomber propõe um valor constante de VCA, mas e mais conveniente fazer este valor 
variar em função do estado de carga, como se apresentou na Figura 8.7. Para baterias de 
diferentes tensões o valor de VCA se pode tomar como base os valores da Figura 8.7 para 6 vasos, 
e fazer a relação para um número de vasos diferentes. 
Substituindo os valores de Idescarga e Icarga das equações (8.2) e (8.4) nas equações (8.6) e 
(8.8), obtem-se que para carga: 


 +−
−+= iVconsumidageradaCAmed RECNC
II
VV
%2.114
9,18 (8.9) 
 
e para descarga 


 +−−= iVgeradaconsumidaCAmed RECNC
II
VV
%
9,18 (8.10) 
 
Para o caso em que a bateria não esteja alimentando nenhuma carga, ou seja que esteja em 
circuito aberto, a tensão de trabalho será igual a de repouso. 
CAmed VV = (8.11) 
 
 Este modelo é linear e assim não reflete o que acontece no começo da carga ou descarga 
da bateria, o que para um modelo em base horária não tem um efeito considerável, tendo em 
vista que a variação acentuada, nestes eventos, acontece em tempos bem menores que uma hora. 
Também não se leva em conta o estado de sobrecarga. 
Dados obtidos da aplicação deste modelo, para uma simulação anual que não apresenta falhas, 
são apresentados na Figura 8.8, com as correspondentes energias consumidas , geradas e cortes 
pelo uso de controlador de carga. 
 
10
10.5
11
11.5
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
1 48 95 142 189 236 283 330 377 424 471 518 565 612 659 706
Horas 
Te
ns
ão
 (V
)
-10
10
30
50
70
90
110
130
150
170
190
210
230
250
Po
te
nc
ia
 (W
 e
 W
/m
²)
Tensão da bateria
Consumo
Energia dos panéis
 
Figura 8.8. Tensão obtida pelo modelo de Macomber nos terminais da bateria para o mês de junho na cidade de 
Porto Alegre, para uma carga diária constante de 775 Wh/dia. 
 
Este modelo possui sua fácil implementação computacional e bom comportamento no 
acompanhamento da curva de carga e descarga da bateria. Outro modelo utilizado para simular o 
comportamento das baterias de chumbo-ácido é o modelo apresentado por Copetti et ali (1993), 
que reúne simplicidade e exatidão suficientes para representar o comportamento de baterias 
estacionárias com carga e descarga em regimes constantes. Moura (1996), tomando como base o 
trabalho de Copetti, desenvolveu um modelo com novos parâmetros para baterias automotivas, 
mas ainda comprovado apenas em regimes de carga e descarga constantes. Uma comparação do 
comportamento destes modelos é mostrada na Figura 8.9. 
 
 
Figura 8.9 Curvas de descarga (a) e carga (b) com ajuste de modelos para 
carga normalizada a 25ºC. (Moura, 1996) 
 
É importante ter em conta a correção (FC) da capacidade em função da taxa de descarga e 
temperatura. Na legislação brasileira para baterias automotivas, a Associação Brasileira de 
Normas Técnicas (ABNT, NBR 5376) estipula como capacidade real a capacidade em um 
regime de descarga de 20 horas (C20) 
Tendo em conta a o tempo de descarga e a capacidade da bateria dada pelo fabricante para 
condições diferentes às estipuladas pela norma, pode-se determinar a taxa de descarga (Ii). 
 
)(
)(
hrgadescadeTempo
AhCapacidadeI