AULA DE DERIVADA

Prévia do material em texto

Derivadas de uma função real e sua aplicação
Candidato: Prof Ms. Roniel de Lima Brelaz
UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ
PROCESSO SELETIVO SERIADO
1
Derivadas de uma função real e sua aplicação
Candidato: Prof Ms. Roniel de Lima Brelaz
UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ
PROCESSO SELETIVO SERIADO
2
Derivadas de uma função real e sua aplicação
1.1 Conceituação de Derivadas
1.2 Regras Básicas de Derivação
1.3 Derivadas de ordem superior
1.4 A Regra da Cadeia
1.5. Estudo da variação d funções
1.6 Concavidade e Ponto de Inflexão
1.8 Máximo e Mínimos
1.9 Aplicação através de problemas
3
Objetivo geral
 Compreender a importância da derivada como ferramenta matemática no processo de resolução de problemas de diversas áreas do conhecimento.
4
Introdução
O cálculo diferencial, ou simplesmente derivado, tem seu surgimento no final do século XVII, atribuído aos estudos de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.
Isaac Newton (1642 – 1727) 
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)
5
Importância da Derivada
Estudar as superfícies diferenciáveis, conhecer bem os gráficos, otimizações os lucros, minimizar os custos, saber encontrar os pontos de máximo e mínimo. Todas essas coisas são possíveis através do estudo da derivada.
6
1.1 Conceituação de Derivadas
7
1.1 Conceituação de Derivadas
p
x
f(p)
f(x)
x- p
f(x) – f(p)
f
O coeficiente angular de é:
Q
P
8
1.1 Conceituação de Derivadas
Fazendo Q se aproximar de P ao longo da curva y=f(x), implica que x se aproxima de p, essa variação é representada por:
Esse limite, quando existe, fornece o coeficiente angular da reta tangente a curva y=f(x) no ponto (p, f(p))
9
1.1 Conceituação de Derivadas
Fazendo Q se aproximar de P ao longo da curva y=f(x), implica que x se aproxima de p, essa variação é representada por:
p
x
f(p)
f(x)
x- p
f(x) – f(p)
f
Q
P
10
1.1 Conceituação de Derivadas
11
1.1 Conceituação de Derivadas
Outra importante definição afirma que no cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função. 
Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.
Velocidade média
Velocidade instantânea
12
1.1 Conceituação de Derivadas
Fazendo Q se aproximar de P ao longo da curva y=f(x), implica que x se aproxima de p, essa variação é representada por:
13
1.1 Conceituação de Derivadas
A reta tangente ao gráfico f no ponto (p, f(p)) é a reta da equação 
De maneira geral, temos
Ex; Seja f(x)=x², calcule:
a) f’(1) b) f’(x)
14
Se não admitir reta tangente em um ponto p, então f não é
 derivável em p.
Exemplo: a função f(x)= |x| não é derivável em p=0, entretanto esta função é contínua em p=0.
Teorema: Se f é derivável em p, então f é contínua em p.
Dem:
15
1.2 Regras Básicas de Derivação
16
1.3 Derivadas de ordem superior
17
1.3 Derivadas de ordem superior
18
1.4 A Regra da Cadeia para derivação de função
composta
Aplicação da regra da cadeia
Exemplo: O raio r de uma esfera está variando, com o tempo, a 
uma taxa de 5 m/s. Com que taxa estará variando o volume da 
esfera no instante em que r= 2m?
19
1.5. Estudo da Variação das Funções
20
1.5. Estudo da Variação das Funções
a
b
f(a)
f(b)
x- p
f(x) – f(p)
f
Q
P
c
f(c)
21
1.5. Estudo da Variação das Funções
Intervalo de crescimento e decrescimento, consequência do TVM
Seja f contínua no intervalo I
Se f’(x)>0 para todo x interior a I, então f será estritamente crescente em I.
Se f’(x)<0 para todo x interior a I, então f será estritamente decrescente em I.
f’(x)>0 
f’(x)<0 
22
Concavidade e Ponto de inflexão 
23
Concavidade e Ponto de inflexão 
24
Ponto de máximo e mínimo local
Exemplo
Determine a altura do cilindro circular reto, de volume máximo, inscrito numa esfera de raio R dado.
25
Problemas de Aplicação 
26