O Mais Importante da Eletricidade Geral

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Helder Guerreiro
2018
O MAIS IMPORTANTE DA
ELETRICIDADE GERAL
SUMÁRIO
Análise de Malhas
Análise Nodal
Dicas e Cuidados
Exemplos
Superposição
Teorema de Thevenín
Corrente Alternada
Revisão
ANÁLISE DE MALHAS
CÁLCULOS DE REDES E TEOREMAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS
Sumário
ANÁLISE DE MALHAS
A análise de malhas é um método parecido com as Leis de Kirchhoff, que tornam os cálculo mais simples reduzindo 
o grande tempo em resolver tantos cálculos.
O método é baseado nos seguintes passos:
- A corrente não estará mais ligada a um único fio;
- A corrente será o sentido da volta;
- Correntes diferentes pode se encontrar num único resistor e/ou fonte de tensão.
EXEMPLO
Temos este circuito e queremos encontrar suas correntes, vamos usar a análise de malhas.
A escolha de correntes será feita pela
quantidade de malhas presentes no
circuito. Com base nisso, temos duas
correntes no circuito ao lado.
Não esqueça: a ddp da fonte de tensão é do
menos para o mais. A ddp da resistência é
sempre contra o sentido da corrente.
I
O cálculo é feito da mesma forma que a Lei de
Kirchhoff.
II
1
2 A resistência R3 tem duas ddp’s, uma para a
corrente 1 e outra para a corrente II.
Pela Lei de Kirchhoff temos o seguinte resultado:
𝐼: 𝑉1 − 𝑅1𝐼1 − 𝑅3𝐼1 + 𝑅3𝐼2 − 𝑉3 = 0
𝐼𝐼: 𝑉3 − 𝑅3𝐼2 + 𝑅3𝐼1 − 𝑅2𝐼2 − 𝑉2 = 0
O método ainda é o mesmo: Quem vai a favor do
sentido da volta ficará positivo, quem for contra será
negativo.
Aqui nós dispensamos o uso da Lei dos Nós.
Vamos desenvolver as equações:
ቊ
𝐼: 𝑉1 − 𝑅1𝐼1 − 𝑅3𝐼1 + 𝑅3𝐼2 − 𝑉3 = 0 → 𝑹𝟏 + 𝑹𝟑 𝑰𝟏 − 𝑹𝟑𝑰𝟐 = 𝑽𝟏 − 𝑽𝟑
𝐼𝐼: 𝑉3 − 𝑅3𝐼2 + 𝑅3𝐼1 − 𝑅2𝐼2 − 𝑉2 = 0 → 𝑹𝟐 + 𝑹𝟑 𝑰𝟐 − 𝑹𝟑𝑰𝟏 = 𝑽𝟑 − 𝑽𝟐
Dessa forma montamos um sistema linear:
𝑅1 + 𝑅3 −𝑅3
−𝑅3 𝑅2 + 𝑅3
𝑅
𝐼1
𝐼2
𝐼
=
𝑉1 − 𝑉3
𝑉3 − 𝑉2
𝑉
Perceba a semelhança com a Lei de Ohm.
Aqui temos vários modos de resolver esse sistema, aqui será recomendado o uso do Método de Cramer.
∆1=
𝑉1 − 𝑉3 −𝑅3
𝑉3 − 𝑉2 𝑅2 + 𝑅3
∆2=
𝑅1 + 𝑅3 𝑉1 − 𝑉3
−𝑅3 𝑉3 − 𝑉2
∆ =
𝑅1 + 𝑅3 −𝑅3
−𝑅3 𝑅2 + 𝑅3
𝐼1 =
∆1
∆
𝐼2 =
∆2
∆
Todo esse método apresentado foi de forma algébrica, no final de tudo as resistências serão dadas junto com os 
valores das fontes de tensões, só restará encontrar as correntes.
EXEMPLO
Temos o circuito
𝑉1 = 20 𝑉
𝑉2 = 5 𝑉
𝑅1 = 2 Ω
𝑅2 = 4 Ω
𝑅3 = 3 Ω
𝑅4 = 5 Ω
𝑅5 = 6 Ω
A análise pode ser feita de uma vez só:
ቐ
𝐼: 20 𝑉 − 2𝐼1 − 3𝐼1 + 3𝐼2 = 0
𝐼𝐼: 3𝐼1 − 3𝐼2 − 4𝐼2 − 5𝐼2 + 5𝐼3 = 0
𝐼𝐼𝐼: 5𝐼2 − 5𝐼3 − 6𝐼3 + 5 𝑉 = 0
→ ቐ
−5𝐼1 + 3𝐼2 = −20 𝑉
3𝐼1 − 12𝐼2 + 5𝐼3 = 0
5𝐼2 − 11𝐼3 = −5 𝑉
1
2
2
3
I II III
Nunca esqueça de organizar: Resistência e
corrente para um lado e tensão para o outro.
Dessa forma montamos um sistema linear:
−5 3 0
3 −12 5
0 5 −11
𝑅
𝐼1
𝐼2
𝐼3
𝐼
=
−20
0
−5
𝑉
Método de Cramer
∆1=
−20 3 0
0 −12 5
−5 5 −11
∆2=
−5 −20 0
3 0 5
0 −5 −11
∆3=
−5 3 −20
3 −12 0
0 5 −5
∆ =
−5 3 0
3 −12 5
0 5 −11
𝐼1 =
∆1
∆
= 5,08 𝐴 𝐼2 =
∆2
∆
= 1,80 𝐴 𝐼3 =
∆3
∆
= 1,27 𝐴
ANÁLISE NODAL
TEOREMA DA TRANSFORMAÇÃO, CONDUTÂNCIA E ANÁLISE NODAL
Sumário
TEOREMA DA TRANSFORMAÇÃO DE FONTE
O Teorema da transformação de fonte diz basicamente o que está logo abaixo: A qualquer momento, podemos
trocar uma tensão em série com
um resistor por uma fonte de
corrente em paralelo com o mesmo
resistor, sem que isso interfira no
restante do circuito.
CKT
CKT
𝑉 = 𝑅𝐼 𝐼 =
𝑉
𝑅
Outras fontes aglomeradas ao 
redor atrapalha o teorema, 
tornando-o impossível.
Se tiver dúvida se pode ou não 
transformar a fonte, não a 
transforme, não estará errado se 
não fizer.
CONDUTÂNCIA
É o oposto da resistência. Da mesma forma como a resistência é a habilidade de um certo material “resistir” ás 
correntes do circuito a condutância é a habilidade de um material facilitar o fluxo de correntes no circuito.
É dado pelo inverso da resistência: 𝐺 =
1
𝑅
=
𝑖
𝑉
ANÁLISE NODAL
Vamos analisar o circuito abaixo:
Na análise nodal consideramos que
todas correntes saem de um único nó.
Nesse caso iniciamos com o nó A.
𝐴
𝐵
𝐶
Um nó é o encontro de pelo menos três
ramos. A única exceção é quando o nó
se relaciona com a Terra.
Como esse cara aqui ao lado.
Nesse caso é zero, ou seja, não passa
corrente.
𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎
Como consideramos que todas as
correntes saem de A então temos
três correntes.
O MÉTODO
Aqui nós não usamos a Lei de Kirchhoff, usamos a Lei de Ohm.
Com o teorema da transformação de fonte podemos fazer um tipo de cálculo usando a Lei de Ohm. Aqui as
correntes não são a base da análise e sim os nós. A análise é feita de nó por nó, considerando que toda vez que
escolhemos um nó, todas as correntes saem desse nós.
A equação que encontramos é baseada nos caminhos possíveis que as correntes desse nó podem tomar.
𝐴
𝐵
𝐶
Começando pelo nó A.
Como está mostrando lá, consideraremos que todas as correntes
saem de A.
A equações são construídas assim:
- Pela Lei de Ohm temos que a corrente é 𝑖 =
𝑉
𝑅
;
- A cada caminho que a corrente toma iremos fazer a lei de ohm;
- Será como uma “diferença” entre tensões sobre a resistência do
ramo;
- Será uma diferença do nó escolhido até o outro nó e/ou a uma
fonte de tensão;
Por exemplo, no circuito ao lado uma das correntes segue em
direção ao nó C. Então temos:
𝐴−𝐶+𝐸2
𝑅3
.
A equação acima quer dizer que, de A até C e até E2 temos uma
resistência R3.
Aqui os preceitos da Lei de Kirchhoff são seguidas:
- Ddp a favor da corrente: positivo;
- Ddp contra a corrente: negativo.
Usando o que aprendemos ao lado temos a equação:
𝑁ó 𝐴 ∶
𝐴 − 𝐵 − 𝐸1
𝑅1
+
𝐴 − 𝐶 + 𝐸2
𝑅3
+
𝐴 − 0
𝑅2
= 0
Esse zero no R2 é o nó zero que está
se relacionando com o fio terra.
Com os conhecimentos adquiridos temos os outro nós:
𝑁ó 𝐵 =
𝐵 − 𝐴 + 𝐸1
𝑅1
+
𝐵 − 𝐶
𝑅4
+
𝐵 − 0 − 𝐸3
𝑅6
= 0
𝑁ó 𝐶 =
𝐶 − 𝐴 − 𝐸2
𝑅3
+
𝐶 − 𝐵
𝑅4
+
𝐶 − 0
𝑅5
= 0
Assim como na análise de malhas devemos organizar o
sistema de tal forma que fique parecido com V = RI, aqui
devemos organizar o nosso sistema de acordo com a
condutância, ou seja, GV = I.
Organizando as equações:
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+
1
𝑅3
𝐴 −
𝐵
𝑅1
−
𝐶
𝑅3
=
𝐸1
𝑅1
−
𝐸2
𝑅3
1
𝑅1
+
1
𝑅4
+
1
𝑅6
𝐵 −
𝐴
𝑅1
−
𝐶
𝑅4
=
𝐸3
𝑅6
−
𝐸1
𝑅1
1
𝑅3
+
1
𝑅4
+
1
𝑅5
𝐶 −
𝐴
𝑅3
−
𝐵
𝑅4
=
𝐸2
𝑅3
𝐴
𝐵
𝐶
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+
1
𝑅3
−
1
𝑅1
−
1
𝑅3
−
1
𝑅1
1
𝑅1
+
1
𝑅4
+
1
𝑅6
−
1
𝑅4
−
1
𝑅3
−
1
𝑅4
1
𝑅3
+
1
𝑅4
+
1
𝑅5
𝐴
𝐴
𝐵
𝐴
𝐶
=
𝐸1
𝑅1
−
𝐸2
𝑅3
𝐸3
𝑅6
−
𝐸1
𝑅1
𝐸2
𝑅3
EXEMPLO
Vamos analisar o circuito abaixo.
Veja os 4 nós que temos aqui.
Aqui já temos duas fontes de correntes. Na Análise Nodal elas são
simplesmente somadas (ou subtraídas) na equação, de acordo com
o sentido da fonte.
Veja que temos uma fonte de corrente de 4 A em paralelo com um
resistor de 6 Ω. Ora, podemos usar o teorema da transformação de
fonte aqui, fazendo com que esses dois virem uma fonte de tensão
em série com o mesmo resistor. Dessa forma, o nó D irá
desaparecer.
Esse teorema serve para não perdermos tempo, porque a corrente
que irá passar pela fonte de corrente será a mesma que passará por
baixo.
Veja que não podemos fazer o mesmo para a fonte de corrente de
2 A com o resistor de 5 Ω, por causadas fontes aglomeradas em
volta.
O valor da tensão será encontrada pela Lei de Ohm: V = RI
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
Encontrando as equações desses nós temos:
𝑁ó 𝐴 =
𝐴 − 𝐵
5
+
𝐴 − 𝐶 + 24
6
+ 2 +
𝐴 − 0 − 5
2
= 0
𝑁ó 𝐵:
𝐵 − 𝐴
5
+
𝐵 − 𝐶 + 8
1
+
𝐵 − 0
3
= 0
𝑁ó 𝐶 ∶
𝐶 − 𝐴 − 24
6
− 2 +
𝐶 − 𝐵 − 8
1
+
𝐶 − 0 + 3
4
= 0
Organizando:
1
5
+
1
6
+
1
2
𝐴 −
𝐵
5
−
𝐶
6
= −2 −
24
6
+
5
2
1
5
+ 1 +
1
3
𝐵 −
𝐴
5
− 𝐶 = −8
1
6
+ 1 +
1
4
𝐶 −
𝐴
6
− 𝐵 = 2 +
24
6
+ 8 −
3
4
Encontrando valores:
1
5
+
1
6
+
1
2
−
1
5
−
1
6
−
1
5
1
5
+ 1 +
1
3
−1
−
1
6
−1
1
6
+ 1 +
1
4
𝐴
𝐴
𝐵
𝐴
𝐶
=
−
7
2
𝐴
−8
𝐴
53
4
→
13
15
−
1
5
−
1
6
−
1
5
23
15
−1
−
1
6
−1
17
12
𝐴
𝐴
𝐵
𝐴
𝐶
=
−
7
2
𝐴
−8
𝐴
53
4
Usando qualquer tipo de método temos para a resolução (Cramer de preferência) temos os resultados:
𝐴 = −1,96 𝐴 𝐵 = 0,88 𝐴 𝐶 = 9,75 𝐴
Entenda o seguinte:
Este método é muito aleatório, qualquer mudança de sentido e de quantidade de nós irá afetar o resultado. Isso significa que
esse não é o mesmo resultado se tivéssemos 4 nós. O que faz de seu cálculo certo é o método ser reproduzido sem
nenhum erro.
DICAS E CUIDADOS
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ELETRICIDADE GERAL
Sumário
UNIDADE DE RESISTÊNCIA
Existem duas formas de se trabalhar com resistores: com a unidade Ohm e a unidade Siemens.
Porém no uso dessas unidades existe o perigo de errarmos ao fazer algo que para um é certo mas para o outro nem
tanto. É necessário lembrar que a unidade S representa o inverso da unidade Ω, dessa forma qualquer operação que
for feita com os resistores levará isso em conta.
O perigo maior é na análise nodal, temos que se houver mais de um resistor no caminho a ser analisado entre dois
nós temos que soma-los e coloca-los no denominador, mas se estivermos usando a unidade siemens ao invés de
ohm? É só somar tudo e multiplicar né? Não necessariamente.
Se você tem dois resistores de 4 Ω no caminho você irá soma-los e teremos 8 Ω e aí sim colocamos no
denominador, mas se por um acaso tivermos dois resistores de 4 S também iremos somá-los só que não da maneira
que fizemos antes. Veja que 8 Ω não é igual a 8 S, dessa forma será errado fazer a operação da mesma forma que
usada em unidade de Ohm.
A soma deve ser feita usando o inverso do Ohm, ou seja, ¼ + ¼ = ½ Ω = 2 S.
O PROBLEMA DA ANÁLISE NODAL
Quando encontramos os valores das tensões de acordo com os nós de um circuito muitas das vezes não sabemos
direito qual o significado disso.
A tensão encontrada a partir de um nó significa que esse nó está dissipando essa quantidade de tensão.
Se não houver nada que atrapalhe o caminho do nó, ou seja, um nó zero todo esse caminho terá a mesma tensão do
nó. Mas se houver um outro nó no fim do caminho haverá uma “diferença” entre os nós, ou seja, se o nó de uma
ponto é A e o caminho termina no nó B então o valor da tensão em todo esse caminho será A – B ou B – A (a
ordem só mudará o sinal).
Porém esse valor de tensão encontrado pelo caminho será o valor englobando tudo que estiver no caminho, tanto
fontes quanto resistores. Se queres saber o valor da tensão em um resistor em específico deverá usar os
procedimentos apresentados a seguir.
ENCONTRANDO TENSÕES
Observe esse caminho:
O nó da esquerda tem -2 V e o da direita -5 V, logo a tensão de todo caminho é – 2 – (-5) = 3 V.
Esses 3 V serão distribuídos entre o resistor de 4 S e a fonte de tensão. Nós já sabemos que a fonte de tensão tem 
25 V, logo temos que para encontrar o valor da tensão no resistor deve-se somar o valor da fonte com o total.
𝑥 − 25 = 3 → 𝑥 = 25 + 3 = 28 𝑉
ENCONTRANDO TENSÕES
O que acontece se houver mais de um resistor?
Se caso você se deparar com um caminho com vários resistores o que se deve fazer é se caso houver uma fonte de
tensão encontre o valor da tensão do resto do caminho considerando tudo como um ‘x’, da mesma forma como foi
mostrado na página anterior.
Veja, após encontrarmos a tensão de todo o caminho nós somamos essa tensão com a da fonte de tensão dessa
forma encontramos a tensão do resto do caminho. Para encontrarmos o valor da tensão para cada resistor temos
que fazer uma proporção dos valores da cada resistor. No caso acima temos 10:4, aqui a análise exige que o menor
valor seja igual a 1 por meio de divisões. Logo temos que 2,5:1.
ENCONTRANDO TENSÕES
O valor encontrado por essa proporção serão somado, logo: 3,5. Esse valor será dividido pelo valor da tensão que
pertence a todos os resistores.
Ao dividir a tensão por 3,5 nós encontraremos o resultado da tensão do resistor de menor valor, para encontrar o
valor do outro faz-se a diferença entre o valor total e o valor do resistor de menor valor.
O mesmo método vale para as unidades Ohm e Siemens. Lembrando que o menor valor em Siemens não é o menor
valor em Ohm, porque ½ é maior que ¼ e 2 é menor que 4.
Nesse caso o resistor de menor valor no exemplo dado é o de 10 S.
EXEMPLOS
CONDUTÂNCIA, ANÁLISE NODAL E ANÁLISE DE MALHAS
Sumário
EXEMPLO 1
 Calcular a potência dissipada em cada resistor
Obs.: S é unidade de condutância.
Usando a transformação de fontes
Vamos resolver de duas formas diferentes:
- Análise nodal;
- Método da superposição.
Ambos partindo desse mesmo circuito.
ANÁLISE NODAL
Temos três nós
𝐴𝐵 𝐶
Temos as equações
𝑁ó 𝐴: 𝐴 −
23
7
− 0 7 + 𝐴 − 𝐵 − 14,8 5 + 𝐴 − 𝐶 − 2,5 6 = 0
.
𝑁ó 𝐵: 𝐵 − 50 − 0 3 + 𝐵 + 14,8 − 𝐴 5 + 𝐵 + 25 − 𝐶 4 = 0
.
𝑁ó 𝐶: 𝐶 + 23,875 − 0 8 + 𝐶 + 2,5 − 𝐴 6 + 𝐶 − 25 − 𝐵 4 = 0
൞
7𝐴 − 23 + 5𝐴 − 5𝐵 − 74 + 6𝐴 − 6𝐶 − 15 = 0
3𝐵 − 150 + 5𝐵 + 74 − 5𝐴 + 4𝐵 + 100 − 4𝐶 = 0
8𝐶 + 191 + 6𝐶 + 15 − 6𝐴 + 4𝐶 − 100 − 4𝐵 = 0
ቐ
18𝐴 − 5𝐵 − 6𝐶 = 112
−5𝐴 + 12𝐵 − 4𝐶 = −24
−6𝐴 − 4𝐵 + 18𝐶 = −106
→
𝐴 = 4 𝑉
𝐵 = −2 𝑉
𝐶 = −5 𝑉
ANÁLISE DE MALHAS
I
II III
Temos as equações
𝐼:
𝐼1
4
+
𝐼1
6
−
𝐼3
6
+
𝐼1
5
−
𝐼2
5
= 25 + 2,5 − 14,8
.
𝐼𝐼:
𝐼2
3
+
𝐼2
5
−
𝐼1
5
+
𝐼2
7
−
𝐼3
7
= 50 + 14,8 −
23
7.
𝐼𝐼𝐼:
𝐼3
8
+
𝐼3
7
−
𝐼2
7
+
𝐼3
6
−
𝐼1
6
= 23,875 +
23
7
− 2,5
37
60
𝐼1 −
𝐼2
5
−
𝐼3
6
= 12,7
−
𝐼1
5
+
71
105
𝐼2 −
𝐼3
7
= 61,514
−
𝐼1
6
−
𝐼2
7
+
73
168
𝐼3 = 24,661
→
𝐼1 = 112,000 𝐴
𝐼2 = 156,000 𝐴
𝐼3 = 151,000 𝐴
Ambos os métodos são corretos.
POTÊNCIA DISSIPADA
A potência dissipada é dada pela equação abaixo:
𝑃 = 𝐼𝑟𝑉𝑟
Ou seja, a corrente e a tensão que passam pelo resistor.
Onde a tensão pode ser encontrada por V = RI = I/S (se for usar a análise de malhas)
e a corrente por I = R/V = SV (se for usar a análise nodal)
Usando o resistor 8 S como exemplo:
൞
𝐴𝑛á𝑙𝑖𝑠𝑒 𝑛𝑜𝑑𝑎𝑙: 𝑃 = 𝐼𝑉 = 𝑆𝑉𝑉 = 𝑆𝑉2 = 8 . 52 = 200𝑊
𝐴𝑛á𝑙𝑖𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎𝑠: 𝑃 = 𝐼𝑉 = 𝐼
𝐼
𝑆
=
𝐼2
𝑆
=
2142
8
= 2850,125 𝑊
SUPERPOSIÇÃO
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO E LINEARIDADE DO CIRCUITO
Sumário
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
Basicamente, pela álgebra linear II o teorema da superposição é a junção de duas propriedades importantes de uma 
função (ou espaço vetorial): 
𝛼𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝛼𝑥1 | 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 = 𝑓 𝑥1 + 𝑥2
𝐿𝑜𝑔𝑜
𝛼𝑓 𝑥1 + 𝛽𝑓 𝑥2 = 𝑓 𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥2
LINEARIDADE
O teorema da superposição nos diz que o a função que têm essa habilidade, é linear.
Os circuitos que estudamos nesta disciplina são circuitos lineares, mas o que isso quer dizer?
Significa que podemos separar dados, calcular um por um e no final juntar tudo.Por isso os circuitos são calculados por sistemas lineares nós juntamos os dados em equações separadas e na hora
de calcular nós unimos as equações a fim de encontrar as variáveis nelas existentes.
Por termos essa propriedade podemos usufruir de uma consequência: podemos calcular correntes no circuito uma 
por uma, sempre desconsiderando a existência das outras, assim que todas forem encontradas a soma delas irá dar o 
resultado final.
ANULAÇÃO DE FONTES
Para usufruirmos do teorema da superposição, poderemos usar algumas artimanhas para nos ajudar ao encontrar as
correntes: anular fontes de tensão e de corrente.
Para anular fontes de tensão faça um curto circuito como abaixo:
Dessa forma, a fonte de tensão E1 não
fará efeito algum no circuito, podendo
até mesmo ser apagada do circuito.
ANULAÇÃO DE FONTES
Para anular fontes de correntes basta desconectar os seus fios. Dessa forma, a fonte de corrente FC1
não fará efeito algum no circuito,
também podendo ser apagada do
circuito.
O MÉTODO
Antes da análise deve-se adotar um único sentido da corrente, que será seguido por todas as correntes. Escolha o
ramo que achar melhor e fixe a corrente lá.
Esse tipo de análise agora se baseia nas fontes. A quantidade de fontes de tensões no circuito é a quantidade de
correntes que você irá achar, no final de tudo todas as correntes serão achadas. A análise é feita fonte por fonte
desconsiderando todas as outras (de tensão e de corrente).
A partir do momento em que todas as fontes que não farão parte da sua análise você poderá usar a vontade a 
associação de resistores, porque no final sobrará somente uma fonte com vários resistores.
O CUIDADO
A associação de resistores é rápida e fácil, mas ela é falha. O ramo em que você escolheu colocar a sua corrente não
deve ser “quebrado”. Isso porque a associação de resistores “quebra” os ramos para formar outros a partir da junção
em paralelo dos resistores.
Esse ato de “quebrar” muda as configurações de tensão e corrente no ramo. Por isso, use a associação de resistores
somente se esse método não “quebrar” o ramo escolhido, isso acontece geralmente quando a fonte está na mesma
malha que o ramo escolhido. Mas quando a fonte está do outro lado do circuito em outra malha é visível que ao
fazer a associação o ramos em que a sua corrente foi fixada será quebrado.
Quando não puder usar associação de resistores use qualquer outro método a vontade.
EXEMPLO
Temos o mesmo circuito que usado no exemplo da análise nodal.
O sentido fixado da corrente foi escolhido descendo pelo
resistor de 5 Ω. Todas as correntes serão analisadas por esse
ramo.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
Começando pela fonte A, vamos anular todas as outras tensões.
A fonte está na mesma malha que o ramo escolhido, a associação
de resistores não irá quebra-lo.
Resistor de 4 Ω em série com o de 1 Ω:
𝐼 𝑅 = 4 + 1 = 5 Ω
Resistor de 3 Ω em paralelo com o 𝐼 :
𝐼𝐼 𝑅 =
3 . 5
3 + 5
=
15
8
Ω
Resistores 𝐼𝐼 , 2 Ω e 5 Ω em série:
𝑅 = 2 + 5 +
15
8
=
71
8
Ω
Pela Lei de Ohm:
𝑖 =
𝑉
𝑅
=
5 𝑉
71
8 Ω
=
40
71
𝐴
𝐴
Seguindo pela fonte B.
Perceba que quando a fonte de corrente de 2 A for apagada
o resistor de 6 Ω e a fonte B estarão comprometidos.
Você conseguirá enxergar melhor quando transformarmos
essa fonte de corrente em fonte de tensão:
Perceba na imagem ao lado que a
fonte de tensão está num fio que
não está ligado a nenhum outro.
Consequentemente por esse ser
a única fonte do circuito, todo o
circuito terá corrente i = 0.
𝐵
Fonte C.
A associação de resistores poderia até ser usada, mas
para isso ser possível devemos ter uma fonte de
tensão e não de corrente.
Não podemos usar o teorema da transformação de
fontes aqui porque isso irá quebrar o ramo da
corrente.
Vamos resolver pela análise de malhas.
ቐ
𝐼: −2𝐼1 − 5𝐼1 + 5𝐼2 − 3𝐼1 + 3𝐼3 = 0
𝐼𝐼: 2 𝐴
𝐼𝐼𝐼: −4𝐼3 − 3𝐼3 + 3𝐼1 − 𝐼3 + 𝐼2 = 0
Veja que a análise de malhas tem por objetivo
encontrar a corrente de uma certa malha, mas já
temos uma fonte de corrente de 2 A. Não precisamos
procurar algo que já temos.
Não necessitamos encontrar todas as correntes, veja
que o sentido da corrente está entre a corrente I e II
logo a nossa corrente é a soma dessas duas.
I II
III
ቐ
𝐼:−2𝐼1 − 5𝐼1 + 5𝐼2 − 3𝐼1 + 3𝐼3 = 0
𝐼𝐼: 2 𝐴
𝐼𝐼𝐼: −4𝐼3 − 3𝐼3 + 3𝐼1 − 𝐼3 + 𝐼2 = 0
→ ቊ
−10𝐼1 + 3𝐼3 = −10
3𝐼1 − 8𝐼3 = −2
→ 𝐼1 =
∆1
∆
=
−10 3
−2 −8
−10 3
3 −8
=
86
71
𝐴
Organizando o sistema e substituindo o valor de II.
Valor da corrente:
𝑖 =
86
71
− 2 = −
56
71
𝐴
As correntes se subtraem. Perceba no circuito que a volta I está a
favor da corrente enquanto a volta II está contra.
Aqui também não podemos usar a associação de resistores, o
ramo pode ser quebrado.
Usa-se a análise de malhas.
ቊ
𝐼:−2𝐼1 − 5𝐼1 − 3𝐼1 + 3𝐼2 = 0
𝐼𝐼: −3𝐼2 + 3𝐼1 − 𝐼2 − 4𝐼2 = −8
→ ቊ
𝐼:−10𝐼1 + 3𝐼2 = 0
𝐼𝐼: 3𝐼1 − 8𝐼1 = −8
Precisamos encontrar somente a corrente I para encontrar a
nossa corrente.
𝐼1 =
∆1
∆
=
0 3
−8 −8
−10 3
3 −8
=
24
71
𝐴
Fonte D.
I
II
Fonte E.
Nenhum novidade até agora né?
ቊ
𝐼: −2𝐼1 − 5𝐼1 − 3𝐼1 + 3𝐼2 = 0
𝐼𝐼:−3𝐼2 + 3𝐼1 − 𝐼2 − 4𝐼2 = −3
→ ቊ
𝐼: −10𝐼1 + 3𝐼2 = 0
𝐼𝐼: 3𝐼1 − 8𝐼1 = −3
Precisamos encontrar somente a corrente I para encontrar a nossa
corrente.
𝐼1 =
∆1
∆
=
0 3
−3 −8
−10 3
3 −8
=
9
71
𝐴
I
II
Agora encontramos a resultante somando todas as correntes:
𝑖 =
40
71
−
56
71
+
24
71
+
9
71
=
17
71
𝐴
TEOREMA DE THEVENÍN
RESISTOR E GERADOR DE THEVENÍN
Sumário
TEOREMA DE THEVNENÍN
É a transformação de um circuito complexo em uma única malha com um resistor equivalente, uma ddp e um 
resistor escolhido.
𝐶𝐾𝑇
Resistência de Thevenín
Gerador de Thevenín
O TEOREMA
O teorema é desenrolado por um método de alguns passos pré-determinados, alguns para encontrar o resistor de Thevenín 
e outros para encontrar o gerador de Thevenín.
Os passos citados abaixo são para circuitos que não contém fontes dependentes.
Resistor de Thevenín:
- É a resistência equivalente quando se anula todas as fontes presentes.
1. Escolher o resistor referência (que não participará da associação de resistores);
2. Anular qualquer tipo de fonte;
3. Obter a resistência equivalente.
Gerador de Thevenín:
- É a ddp entre os terminais do resistor escolhido, quando este não está em circuito aberto (porque a ddp é zero).
1. Método comum de análise de circuitos usando uma tensão desconhecida no lugar do resistor escolhido.
EXEMPLO I
Encontrar a potência dissipada no resistor de 10 Ω
Passo 1 Anular todas as fontes Passo 2 Associação de resistores
Resistor de 40 Ω em série com o de 20 Ω:
𝐼 20 + 40 = 60 Ω
Resistor 𝐼 em paralelo com o de 30 Ω:
𝐼𝐼
60 . 30
60 + 30
= 20 Ω
Resistor 𝐼𝐼 em série com 45 Ω, 8 Ω e 5 Ω:
𝑅 = 20 + 45 + 8 + 5 = 78 Ω
Para o próximo passo retorna-se ao circuito inicial.
Passo 3 Tensão no resistor
I
II
Passo 4 Análise de malhas
Temos as equações:
ቐ
𝐼: 40𝐼1 + 30𝐼1 + 20𝐼1 − 20𝐼2 = 60
𝐼𝐼: 2 𝐴
𝑉𝑇𝐻: −45𝐼2 − 30𝐼1 = 𝑉𝑇𝐻 + 35 − 15
ቊ
90𝐼1 − 20𝐼2 = 60
−30𝐼1 − 45𝐼2 = 𝑉𝑇𝐻 + 20
→ 𝑉𝑇𝐻 = −143,333 𝑉
𝐶
𝐕𝐓𝐇
Após isso temos o circuito resultante.
NÃO use análise nodal, você encontrará
os valores de tensão espalhados pelo circuito
e não o que você realmente quer.
Não há corrente aqui, o circuito está aberto.
Esse circuito equivale ao circuito no início do exemplo.
Temos a potência dissipada:
𝑃 = 𝐼𝑉
Onde:
𝐼 =
𝑉
𝑅
=
143,33 𝑉
10 + 78 Ω
=
143,33
88
𝐴
E
𝑉 =𝑅𝐼 =
143,33 𝑉
88 Ω
10 Ω =
1433,3
88
𝑉
Logo:
𝑃 = 26,528 𝑊
EXEMPLO II
Encontrar a potência dissipada no resistor de 20 Ω
Passo 1 Anular todas as fontes Passo 2 Associação de resistores
Resistores de 45 Ω, 8 Ω,10 Ω e 5 Ω em série:
𝐼 45 + 8 + 10 + 5 = 68 Ω
Resistor 𝐼 em paralelo com o de 30 Ω:
𝐼𝐼
68 . 30
68 + 30
=
1020
49
Ω
Resistor 𝐼𝐼 em série com o de 40 Ω:
𝑅 =
1020
49
+ 40 =
2980
49
Ω = 68,816 Ω
Para o próximo passo retorna-se ao circuito inicial.
Passo 3 Tensão no resistor
I
II
Passo 4 Análise de malhas
ቐ
𝐼: 40𝐼1 + 30𝐼1 − 30𝐼2 = 60 + 𝑉𝑇𝐻
𝐼𝐼: 2 𝐴
𝐼𝐼𝐼: 30𝐼3 + 45𝐼3 + 8𝐼3 + 10𝐼3 + 5𝐼3 − 30𝐼1 − 45𝐼2 = 20
Veja a enrascada que nos metemos. No final vamos nos 
deparar com três incógnitas num sistema de dois, veja:
- Temos 3 correntes, mas temos o valor da 2ª;
- A tensão Vth é desconhecida, então teremos uma 
incógnita a mais;
- Como temos o valor da 2ª corrente o sistema será 
reduzido para duas equações;
- Dessa forma será um sistema de duas equações com 
três incógnitas: as correntes 1 e 3 e a tensão Vth.
Temos que fugir disso, então vamos procurar uma 
estratégia:
- Em vez de usar as três malhas, vamos usar só 
duas: vamos unir as malhas 1 e II;
- Vamos calcular o valor das correntes;
- Veja que a malha III não será mudada então o 
valor que encontrarmos para ela aqui será o 
mesmo para quando for as três malhas.
𝐶
III
Então vamos remontar o circuito.
Passo 3 Tensão no resistor Passo 4 Análise de malhas
III
Agora vai:
ቊ
𝐼: 2 𝐴
𝐼𝐼: 30𝐼2 + 45𝐼2 + 8𝐼2 + 10𝐼2 + 5𝐼2 − 30𝐼1 − 45𝐼1 = 20
98𝐼2 − 75𝐼1 = 20 → 98𝐼2 = 20 + 150 → 𝐼2 =
85
49
𝐴
Retomando a equação com três malhas:
• II = III
ቐ
𝐼: 40𝐼1 + 30𝐼1 − 30𝐼2 = 60 + 𝑉𝑇𝐻
𝐼𝐼: 2 𝐴
𝐼𝐼𝐼: 30𝐼3 + 45𝐼3 + 8𝐼3 + 10𝐼3 + 5𝐼3 − 30𝐼1 − 45𝐼2 = 20
Com o resultado da equação anterior temos:
98𝐼3 − 45𝐼2 − 30𝐼1 = 20
−30𝐼1 = 20 + 90 − 98
85
49
→ 𝐼1 = 2 𝐴
Veja como o resultado de I deu igual ao de II, com isso eu explico
a você o seguinte:
- Na análise de tensão nós não consideramos a resistência do
resistor de referência, isso é a mesma coisa que apagar a linda
divisória das duas malhas. Aquela fonte de corrente de 2 A irá
aumentar seu nível de alcance para toda a grande malha, ou
seja, a corrente em toda extensão da malha é de 2 A.
Dessa forma:
70𝐼1 − 30𝐼2 = 60 + 𝑉𝑇𝐻 → 𝑉𝑇𝐻 = 20
Esse circuito equivale ao circuito no início do exemplo.
Temos a potência dissipada:
𝑃 = 𝐼𝑉
Onde:
𝐼 =
𝑉
𝑅
=
20 𝑉
20 +
2980
49 Ω
=
49
198
𝐴
E
𝑉 = 𝑅𝐼 =
49
198
𝐴 20 Ω =
490
99
𝑉
Logo:
𝑃 = 1,225 𝑊
CORRENTE ALTERNADA
CAPACITÂNCIA E INDUTÂNCIA
Sumário
CORRENTE E TENSÃO ALTERNADA
Uma corrente provinda do eletromagnetismo tem suas características alternadas.
A lei de Faraday diz: “quando um campo magnético emite fluxos magnéticos, e esses fluxos são intermitentes, uma espira de fios
que esteja em contato com os fluxos magnéticos terá a geração de uma força eletromotriz, consequentemente uma diferença de
potencial levando a uma corrente elétrica.”
A forma de fazer um campo magnético ser intermitente é a rotação, a consequência da rotação é uma corrente alternada. Com
estudo das ondas chegou-se a formulação matemática que uma corrente alternada (e consequentemente uma tensão alternada)
pode ser representada de forma senoidal ou cossenoidal.
𝑖 𝑡 = 𝐴𝑚 cos𝑤𝑡 + 𝜃 𝑜𝑢 𝐴𝑚 sen𝑤𝑡 + 𝜃 𝑜𝑢 𝑖 𝑡 =
𝑉 𝑡
𝑅
𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑂ℎ𝑚 𝑜𝑢 𝑖 𝑡 =
𝑉 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎
𝑉 𝑡 = 𝐴𝑚 cos𝑤𝑡 + 𝜃 𝑜𝑢 𝐴𝑚 sen𝑤𝑡 + 𝜃 𝑜𝑢 𝑉 𝑡 = 𝑖 𝑡 𝑅 𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑂ℎ𝑚 𝑜𝑢 𝑉 𝑡 = න 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 (𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙)
Onde: “𝐴𝑚” é amplitude da corrente/tensão; “𝑤” é a frequência angular que também pode ser “2𝜋𝑓”; “𝑡” é o tempo; “𝜃” é a
fase.
GRAFICAMENTE
A representação de uma corrente/tensão alternada é apresentado abaixo:
A frequência angular pode ser encontrada por:
𝑇 =
1
𝑓
→ 𝑤 = 2𝜋𝑓
A fase “θ” pode ser observada analisando o comportamento da curva.
• A curva ao lado começa em zero, então 𝜃 = 0°;
• A curva é a mesma representação do ciclo trigonométrico, ao avançar a posição da curva o ciclo trigonométrico estará subindo,
logo um ângulo será formado. A fase é representação de quão distante a curva está do ponto zero.
FORMA COMPLEXA E POLAR
A representação senoidal/cossenoidal pode ser transformada para uma representação complexa ou polar para facilitar cálculos.
𝑉 𝑡 = 𝐴𝑚 cos𝑤𝑡 + 𝜃
𝑉 = 𝐴𝑚 ∠ 𝜃 = 𝑍 ∠ 𝜃
𝑉 = 𝑍 cos𝜃 + sen𝜃 𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎2 + 𝑏2 ∠ arctan
𝑏
𝑎
A escolha é livre para usar qualquer uma dessas representações dependendo da facilidade de operá-las, como as quatro operações
básicas da matemática.
Para calculadoras usuais é interessante a transformação em polar, onde uma divisão consiste em dividir os módulos e subtrair os
ângulos e a multiplicação é somar os ângulos e multiplicar os módulos , ou seja, operações comuns.
Para calculadoras aprimoradas o cálculo com números complexos é direto, sendo que a maioria dos dados serão complexos isso
se torna uma vantagem. A resistividade, que será vista mais a frente, é um valor imaginário, ou seja, ao calculá-la seu resultado será
complexo, logo a maioria dos valores num circuito serão complexos.
CAPACITÂNCIA E INDUTÂNCIA
A capacitância é a habilidade de um capacitor armazenar carga em uma dada tensão e pode ser calculada por:
𝐶 =
𝑄
𝑉𝑐
=
𝑖 𝑡
𝑉′ 𝑡
“Q” é a carga do capacitor e “𝑉𝑐” é tensão no capacitor. Sua unidade é Farad (F).
A indutância é a habilidade de um indutor armazenar energia em uma dada tensão. A indutância é, na maioria das vezes, dada. Não é
objetivo desta disciplina explorar os cálculos de EDO, a indutância necessita desse tipo de cálculo para ser encontrada, onde a
indutância é:
𝐿 = 𝑉𝐿
𝑑𝑡
𝑑𝑖
“𝑉𝐿” é a tensão no indutor. Sua unidade é dada em Henry (H).
CARGAS E DESCARGAS
Usando os cálculos EDO encontra-se os valores para corrente e tensão num capacitor, analisando em um circuito qualquer
reduzido por Thevenín:
𝑉𝐶 𝑡 = 𝑉𝑐 ∞ − 𝑉𝑐 0 1 − 𝑒
−𝑡/𝜏 + 𝑉𝑐 0
𝑖𝐶 𝑡 =
𝑉𝑐 ∞ −𝑉𝑐 0
𝑅
𝑒−𝑡/𝜏
𝑖𝐿 𝑡 = 𝑖𝐿 ∞ − 𝑖𝐿 0 1 − 𝑒
−𝑡/𝜏 + 𝑖𝐿 0
𝑉𝐿 𝑡 = 𝑅 𝑖𝐿 ∞ − 𝑖𝐿 0 𝑒
−𝑡/𝜏
+
-
𝑖 𝑡
𝑅
𝑈 𝑉 𝑡
+
-
𝑖 𝑡
𝑅
𝑈 𝑉 𝑡
𝜏 = 𝑅𝐶
𝜏 = 𝐿/𝑅
REGIME PERMANENTE
Geralmente as questão dão o valor de 𝑖 0 , que é a corrente em estado inicial que passa pelo capacitor ou indutor, ou seja, é o
valor da corrente com os valores fornecidos pela questão.
Então cabe ao estudante analisar o regime permanente que é 𝑖 ∞ , ou seja, é o valor da corrente que passa pelo capacitor ou
indutor após toda carga e energia disponível nesses dois terem acabado. Analiticamente o capacitor ou indutor se torna um fio
qualquer, então ele pode ser “esquecido” daquele lugar.
Como agora tem-se um fio no lugar de um capacitor ou indutor resta analisar a corrente que passa pelo mesmo local que está o
capacitor/indutor, por métodos já conhecidos. Quando tem fontes no circuito é necessário calcular a corrente, mas se toda e
qualquer forma de fonte de tensão ou corrente é zero, ou não existe, então a corrente é zero.
ENERGIA POTENCIAL
A energia potencial de um capacitor pode ser encontrada com a seguinte equação resultante de uma integral:
𝑖 𝑡 = න
0
𝑡
𝐶
𝑑𝑉
𝑑𝑡
→ 𝑖 𝑡 𝑉 𝑡 𝑑𝑡 = න
0
𝑡
𝑤 𝑡 𝑑𝑡 = න
0
𝑡
𝐶
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝑉 𝑡 𝑑𝑡 → 𝑤 = 𝐶න
0
𝑡
𝑉 𝑡 𝑑𝑉 =
𝑉2𝐶
2
Ou seja;
𝑤𝑐 =
𝑉2𝐶
2
A energia potencial de um indutor pode ser encontrada pela equação vinda de uma integral abaixo:
𝑉 𝑡 = න
0
𝑖
𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑡
→ 𝑉 𝑡 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 = න
0
𝑡
𝑤 𝑡 𝑑𝑡 = න
0
𝑡
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝑖 𝑡 𝑑𝑡 → 𝑤 = 𝐿න
0
𝑡
𝑖 𝑡 𝑑𝑖 =
𝑖2𝐿
2
Ou seja;
𝑤𝐿 =
𝑖2𝐿
2
RESISTIVIDADE (IMPEDÂNCIA) DE UM CAPACITOR
Para encontrar a resistividade de um capacitor analisa-se a tensão e a corrente pertencente ao capacitor:
𝑉 𝑡 = 𝐴𝑚 cos𝑤𝑡 + 𝜃 → 𝑖 𝑡 = 𝑉′ 𝑡 𝐶 → 𝑖 𝑡 = 𝐶 −𝑤𝐴𝑚 sen𝑤𝑡 + 𝜃 = −𝑤𝐶 𝐴𝑚 cos𝑤𝑡 + 𝜃 − 90° = 𝑤𝐶 𝐴𝑚 cos𝑤𝑡 + 𝜃 + 90°
𝑉 𝑡 = 𝐴𝑚 cos𝑤𝑡 + 𝜃 → 𝑉 = 𝐴𝑚 ∠ 𝜃
𝑖 𝑡 = 𝑤𝐶 𝐴𝑚 cos𝑤𝑡 + 𝜃 + 90° → 𝐼 = 𝑤𝐶𝐴𝑚 ∠ 𝜃 + 90°
A impedância é:
𝑍 =
𝑉
𝐼
=
𝐴𝑚 ∠ 𝜃
𝑤𝐶𝐴𝑚 ∠ 𝜃 + 90°
=
1
𝑤𝐶
∠ − 90° = −
1
𝑤𝐶
Ou seja a resistividade de um capacitor é dado por:
𝑋𝑐 = −
1
𝑤𝐶
A resistividade é um valor imaginário, ou seja, o resultado desse cálculo é um número imaginário. Sua unidade é Ohms (Ω).
RESISTIVIDADE (IMPEDÂNCIA) DE UM INDUTOR
Para encontrar a resistividade de um indutor analisa-se a tensão e a corrente pertencente ao indutor:
𝑖 𝑡 = 𝐴𝑚 cos𝑤𝑡 + 𝜃 → 𝑉𝐿 = 𝑖
′ 𝑡 𝐿 → 𝑉 𝑡 = 𝐿 −𝑤𝐴𝑚 sen𝑤𝑡 + 𝜃 = −𝑤𝐿 𝐴𝑚 cos𝑤𝑡 + 𝜃 − 90° = 𝑤𝐿 𝐴𝑚 cos𝑤𝑡 + 𝜃 + 90°
𝑖 𝑡 = 𝐴𝑚 cos𝑤𝑡 + 𝜃 → 𝐼 = 𝐴𝑚 ∠ 𝜃
𝑉 𝑡 = 𝑤𝐿 𝐴𝑚 cos𝑤𝑡 + 𝜃 + 90° → 𝑉 = 𝑤𝐿𝐴𝑚 ∠ 𝜃 + 90°
A impedância é:
𝑍 =
𝑉
𝐼
=
𝑤𝐿𝐴𝑚 ∠ 𝜃 + 90°
𝐴𝑚 ∠ 𝜃
= 𝑤𝐿 ∠ 90° = 𝑤𝐿
Ou seja a resistividade de um indutor é dado por:
𝑋𝐿 = 𝑤𝐿
A resistividade é um valor imaginário, ou seja, o resultado desse cálculo é um número imaginário. Sua unidade é Ohms (Ω).
EXEMPLO 1
No circuito abaixo, determine 𝑉0 quando 𝑖 𝑡 = 1 𝐴 e 𝑉 𝑡 = 0.
Como a questão informa que 𝑉 𝑡 = 0, então pode-se desconsiderar a fonte de tensão.
portanto o circuito pode ser redesenhado como abaixo:
Os resistores podem ser associados, logo:
𝑅 =
3 2
3 + 2
=
6
5
0,4 𝐻 2 Ω 3 Ω
EXEMPLO 1
Como o circuito tem somente uma fonte de tensão e essa fonte tem valor nulo, então todo circuito terá somente um valor de
tensão que dependerá do indutor.
𝑉𝐿 𝑡 = 𝑅 𝑖𝐿 ∞ − 𝑖𝐿 0 𝑒
−𝑡/𝜏
O valor da corrente inicial é dada na questão, resta a análise do regime permanente. Os passos para se chegar a uma conclusão são
expostos abaixo:
 Tem somente uma única fonte de tensão no circuito;
 No infinito o indutor estará descarregado (sem corrente);
 Se o indutor está descarregado não há tensão por parte dele;
 O indutor era o único dissipador de tensão do circuito, logo todo circuito terá 𝑖 ∞ = 0.
EXEMPLO 1
Calculando:
𝑉𝐿 𝑡 = 𝑅 𝑖𝐿 ∞ − 𝑖𝐿 0 𝑒
−𝑡/𝜏
𝑉𝐿 𝑡 =
6
5
0 − 1 𝑒
−𝑡
0,4 5
6
𝑉𝐿 𝑡 = −
6
5
𝑒−3𝑡 𝑉
EXEMPLO 2
Determine 𝑉0 no circuito.
Veja que o capacitor está em série com um resistor e o indutor em série com outro.
4 − 3𝑖 Ω 6 + 8𝑖 Ω
Transforma-se os valores das fontes para formas polares, para facilitar os cálculos.
Primeiramente é importante encontrar a resistividade dos elementos
que não são fontes e resistores, nesse caso são capacitor e indutor. Pois
assim esses valores poderão ser somados com os resistores e assim
facilitará a análise do circuito.
𝑋𝐶 = −
1
𝑤𝐶
= −
1
4
1
12
= −3𝑖 Ω
𝑋𝐿 = 𝑤𝐿 = 4 2 = 8𝑖 Ω
EXEMPLO 2
Então o circuito pode ser redesenhado desta forma:
1 Ω
+
-
↑
6 + 8𝑖 Ω
4 − 3𝑖 Ω
32 ∠ 0°
4 ∠ 0°
Como se deseja encontrar o valor da tensão no resistor de 1 Ω
então pode-se usar análise nodal, usando o nó no meio do circuito,
isso porque o resistor está em paralelo com uma fonte de
corrente, dessa forma a tensão é a mesma nos dois fios, tanto que
se quisesse poderia usar a transformação de fontes.
A equação da análise nodal fica:
𝑉𝐴 − 32 ∠ 0°
4 − 3𝑖
+
𝑉𝐴
1
− 4 ∠ 0° +
𝑉𝐴
6 + 8𝑖
Isolando 𝑉𝐴:
𝑉𝐴 =
4 ∠ 0° +
32 ∠ 0°
4 − 3𝑖
1 +
1
4 − 3𝑖 +
1
6 + 8𝑖
= 7,57 + 2,9𝑖 = 8,1 ∠ 20,96°
𝑉𝐴
REVISÃO
TODOS AS QUESTÕES DOS ASSUNTOS ABORDADOS
Sumário
ÁREA 1
LEI DE OHM, POTÊNCIA, CIRCUITOS ELÉTRICOS E LEI KIRCHHOFF
QUESTÃO 1
Mostre que a tensão no resistor 𝑅𝐿 na figura abaixo pode ser calculada por 𝑉𝑅𝐿 =
𝑅𝐿0
𝑅𝐿+σ𝑖=1
𝑛 𝑅𝑖
⋯
Temos uma análise do circuito pela lei de Kirchhoff em uma única malha:
𝐸 = 𝑅1𝑖 + 𝑅2𝑖 + 𝑅3𝑖 + ⋯+ 𝑅𝑛𝑖 + 𝑅𝐿𝑖
Há uma corrente em comum em todos os resistores,
𝐸 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 +⋯+ 𝑅𝑛 + 𝑅𝐿 𝑖
Como há uma sequência entre os resistores de 𝑅𝑛 até 𝑅𝐿 então resume-se tudo em um somatório,
𝐸 = 𝑅𝐿 +෍
𝑖=1
𝑛
𝑅𝑖 𝑖
Pela lei de Ohm,
𝑉𝑅𝐿 = 𝑅𝐿𝑖 → 𝑖 =
𝑉𝑅𝐿
𝑅𝐿
Portanto.
𝐸 = 𝑅𝐿 +෍
𝑖=1
𝑛
𝑅𝑖
𝑉𝑅𝐿
𝑅𝐿
→ 𝑉𝑅𝐿 =
𝑅𝐿
𝑅𝐿 + σ𝑖=1
𝑛 𝑅𝑖
𝐸
QUESTÃO 2
Para quais valores de 𝑅𝑎 , 𝑅𝑏, 𝑅𝑐 𝑒 𝑅𝑑 no circuito da figura abaixo a diferença de potencial em 𝑅2 é nula
independentemente dos valores de 𝑅1 e 𝑉𝑖𝑛? Justifique sua resposta.
A diferença de potencial é diferença de tensão entre dois pontos, como estamos falando do resistor 𝑅2 então os
dois pontos que estão ligados ao resistor deve ter a mesma tensão para que a diferença seja zero, pois:
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 0 → 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵
Então desconsidera-se o 𝑅2 e busca-se a corrente total do circuito pela associação de resistores,
𝑅𝑇 = 𝑅1 + 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 || 𝑅𝑐 + 𝑅𝑑
Esse é o resistor total da tensão total do circuito, como se deseja independência dos valores de 𝑅1 e 𝑉𝑖𝑛 então
retira-se o resistor 𝑅1 da equação e então terá o resistor total da parte dos quatro resistores em volta de 𝑅2,
consequentemente a tensão encontrada será a tensão entre os quatro resistores.
𝑖 =
𝑉
𝑅𝑇
→ 𝑉 = 𝑖 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 || 𝑅𝑐 + 𝑅𝑑
Portanto essa é a tensão total do circuito e como os dois fios estão em paralelo eles possuem a mesma tensão.
Então pode-se encontrar as correntes que passam pelos fios onde estão 𝑅𝑎 , 𝑅𝑏, 𝑅𝑐 𝑒 𝑅𝑑.
𝑖𝑅𝑎+𝑅𝑏 =
𝑖 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 || 𝑅𝑐 + 𝑅𝑑
𝑅𝑎 + 𝑅𝑏
𝑖𝑅𝑐+𝑅𝑑 =
𝑖 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 || 𝑅𝑐 + 𝑅𝑑
𝑅𝑐 + 𝑅𝑑
Para a diferença de potencial ser zero a tensão entre os dois nós do resistor 𝑅2 devem ser iguais, e já temos as
correntes e sabemos quais são os resistores então:
𝑉𝐴 = 𝑉𝐵
𝑅𝑏𝑖 = 𝑅𝑑𝑖 → 𝑅𝑏
𝑖 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 || 𝑅𝑐 + 𝑅𝑑
𝑅𝑎 + 𝑅𝑏
= 𝑅𝑑
𝑖 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 || 𝑅𝑐 + 𝑅𝑑
𝑅𝑐 + 𝑅𝑑
Numeradores iguais,
𝑅𝑏
𝑅𝑎 + 𝑅𝑏
=
𝑅𝑑
𝑅𝑐 + 𝑅𝑑
→ 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠ã𝑜 →
𝑅𝑏 + 𝑅𝑎
𝑅𝑏
=
𝑅𝑐 + 𝑅𝑑
𝑅𝑑
→ 1 +
𝑅𝑎
𝑅𝑏
=
𝑅𝑐
𝑅𝑑
+ 1
𝑅𝑎
𝑅𝑏
=
𝑅𝑐
𝑅𝑑
→ 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑎𝑟 𝑎𝑜 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 →
𝑅𝑏
𝑅𝑎
=
𝑅𝑑
𝑅𝑐
QUESTÃO 3
Escreva um sistema de equações que permitam o cálculo das correntes de cada ramo do circuito da figura abaixo.
+ 𝑉𝑥 − 𝐴 𝐵
𝐶
𝑖1 𝑖2
+ 𝑉𝑥 −
Utilizando a lei dos nós temos as seguintes equações:
𝑉𝐴 − 2 − 𝑉𝐶
14
+
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵
10
+
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵
10
− 0, 5𝑉𝑥 − 𝑖1 = 0
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴
10
+
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴
10
+ 0,5𝑉𝑥 + 𝑖2 = 0
𝑉𝐶 + 2 − 𝑉𝐴
14
+ 𝑖1 − 𝑖2 = 0
𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 = 1
𝑉𝐶 − 𝑉𝐵 = 5
𝑉𝑥 =
𝑉𝐴 − 2 − 𝑉𝐶
14
9
Entre os nós A e C, assim como entre os nós C e B, não há resistência, mas há uma fonte de tensão, a análise nodal
resultaria em zero, o que não é verdade, portanto imagina-se correntes 𝑖1 e 𝑖2 entre esses nós para prosseguir aos
cálculos.
A fonte de corrente dependente é simplesmente uma corrente, então o seu valor irá entrar na análise, o que muda é
que a variável 𝑉𝑥 deve ser encontrada. A variável 𝑉𝑥 pode ser encontrada pela lei de Ohm onde 𝑉𝑥 = 𝑅𝑖𝑥, mas quem
seria essa corrente? Pela análise nodal a corrente que passa por aquele fio é
𝑉𝐴−2−𝑉𝐶
14
, então usa-se a lei de Ohm e
temos a tensão 𝑉𝑥.
Organizando o sistema:
𝑉𝐴
14
−
𝑉𝐶
14
+
2𝑉𝐴
10
−
2𝑉𝐵
14
− 0, 5𝑉𝑥 −𝑖1 =
2
14
−
2𝑉𝐴
10
+
2𝑉𝐵
10
+ 0,5𝑉𝑥 + 𝑖2 = 0
−
𝑉𝐴
14
+
𝑉𝐶
14
+ 𝑖1 − 𝑖2 = −
2
14
𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 = 1
𝑉𝐶 − 𝑉𝐵 = 5
9𝑉𝐴
14
−
9𝑉𝐶
14
− 𝑉𝑥 =
2 9
14
→
𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 + 2,8𝑉𝐴 − 2,8𝑉𝐵 − 7𝑉𝑥 − 14𝑖1 = 2
−2,8 𝑉𝐴 + 2,8 𝑉𝐵 + 7𝑉𝑥 + 14𝑖2 = 0
−𝑉𝐴 + 𝑉𝐶 + 14𝑖1 − 14𝑖2 = −2
𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 = 1
𝑉𝐶 − 𝑉𝐵 = 5
9𝑉𝐴 − 9𝑉𝐶 − 14𝑉𝑥 = 18
Por fim. Um sistema com seis incógnitas e seis equações. (a questão acaba aqui)
3,8𝑉𝐴 − 2,8𝑉𝐵 − 𝑉𝐶 − 7𝑉𝑥 − 14𝑖1 + 0 = 2
−2,8 𝑉𝐴 + 2,8 𝑉𝐵 + 0 + 7𝑉𝑥 + 0 + 14𝑖2 = 0
−𝑉𝐴 + 0 + 𝑉𝐶 + 0 + 14𝑖1 − 14𝑖2 = −2
𝑉𝐴 + 0 − 𝑉𝐶 + 0 + 0 + 0 = 1
0 − 𝑉𝐵 + 𝑉𝐶 + 0 + 0 + 0 = 5
9𝑉𝐴 + 0 − 9𝑉𝐶 − 14𝑉𝑥 + 0 + 0 = 18
Multiplicando por 14
𝐴 𝐵
𝑖1 𝑖2
+ 𝑉𝑥 −
𝑖3 𝑖4
𝑖5
Após os cálculos encontra-se os valores:
𝑉𝐴 = 2,333 𝑉
𝑉𝐵 = −3,667 𝑉
𝑉𝐶 = 1,333 𝑉
𝑉𝑥 = −0,643 𝑉
𝑖1 = 1,450 𝐴
𝑖2 = 1,521 𝐴
Para encontrar as outras corrente basta usar as equações encontradas:
𝑖5 = 0,5 −0,643 = −0,322 𝐴
𝑖4 =
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵
10
=
2,333 + 3,667
10
= 0,6 𝐴
𝑖3 =
𝑉𝐶 + 2 − 𝑉𝐴
14
=
1,333 + 2 − 2,333
14
= 0,0714 𝐴
𝐶
ÁREA 2
CÁLCULO DE REDES E TEOREMAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS
QUESTÃO 1
Medições laboratoriais em uma fonte de tensão contínua indicam uma diferença de potencial de 75 V quando
nenhuma carga é conectada e 60V quando um resistor de 20 Ω é conectado.
a) Qual o equivalente Thevenín em relação aos terminais de tensão DC?
b) Calcule a resistência de Thevenín em função da tensão de Thevenín 𝑉𝑡ℎ e da tensão de saída 𝑉0 sobre a carga 𝑅𝐿.
a) Pela teoria o gerador de tensão de Thevenín é uma fonte de tensão que representa a diferença de potencial entre a
carga escolhida. Segundo o enunciado a fonte de tensão sem a carga é um valor e com a carga é outro valor. Ao
encontrar 𝑉𝑇ℎ deve-se desconsiderar a existência da carga e então calcular a fonte que passa pelo fio da carga, por isso
o valor da fonte apresentada sem a presença da carga é o gerador de tensão de Thevenín.
𝑉𝑇ℎ = 75 𝑉
a) Com a tensão o gerador de Thevenín pode-se encontra a resistência de Thevenín por uma simples análise. Ora o
circuito descrito pela questão tem uma fonte de tensão (gerador de Thevenín), o resistor de Thevenín e uma carga.
Dessa forma a lei de Kirchhoff descreve:
75 − 𝑅𝑖 − 𝑅𝑇ℎ𝑖 = 0
O valor de R é conhecido e 𝑉0 é a tensão que passa por esse resistor: 𝑖 =
𝑉0
𝑅
=
60
20
= 3 𝐴
𝑅𝑇ℎ =
75 − 20 3
3
= 5 Ω
+ 𝑉0 −
QUESTÃO 2
Um circuito tem três nós A, B e C. Entre A e C está conectada uma fonte de 20 V (com uma resistência interna de 5
Ω) em paralelo com um resistor de 15 Ω de resistência. Entre B e C está conectada uma fonte de tensão de 10 V
(com uma resistência interna de 2 Ω) em paralelo com um resistor de 8 Ω de resistência. Os terminais negativos de
ambas as fontes estão conectadas ao nó C. Entre os terminais A e B está conectado um resistor, R de 10 Ω de
resistência. Determine:
a) A corrente que atravessa o resistor R.
b) A resistência que deve ser conectada em série ou paralelo ao resistor R para que a potência transferida entre os
terminais A e B seja máxima.
c) O valor da potência máxima transferida.
a) O circuito pode ser desenhado de várias formas, então:
𝐴
𝐵
𝐶
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵
10
+
𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 − 20
5
+
𝑉𝐴 − 𝑉𝐶
15
= 0
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴
10
+
𝑉𝐵 − 𝑉𝐶 − 10
2
+
𝑉𝐵 − 𝑉𝐶
8
= 0
𝑉𝐶 − 𝑉𝐴 + 20
5
+
𝑉𝐶 − 𝑉𝐵 + 10
2
+
𝑉𝐶 − 𝑉𝐴
15
+
𝑉𝐶 − 𝑉𝐵
8
= 0
𝑉𝐴
10
−
𝑉𝐵
10
+
𝑉𝐴
5
−
𝑉𝐶
5
+
𝑉𝐴
15
−
𝑉𝐶
15
=
20
5
𝑉𝐵
10
−
𝑉𝐴
10
+
𝑉𝐵
2
−
𝑉𝐶
2
+
𝑉𝐵
8
−
𝑉𝐶
8
=
10
2
𝑉𝐶
5
−
𝑉𝐴
5
+
𝑉𝐶
2
−
𝑉𝐵
2
+
𝑉𝐶
15
−
𝑉𝐴
15
+
𝑉𝐶
8
−
𝑉𝐵
8
= −
20
5
−
10
2
11
30
𝑉𝐴 −
𝑉𝐵
10
−
4
15
𝑉𝐶 = 4
−
𝑉𝐴
10
+
29
40
𝑉𝐵 −
5
8
𝑉𝐶 = 5
−
4
15
𝑉𝐴 −
5
8
𝑉𝐵 +
107
120
𝑉𝐶 = −9
0,455 𝐴 =
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵
10
←
𝑉𝐴 = 5,942 𝑉
𝑉𝐵 = 1,393 𝑉
𝑉𝐶 = −7,335 𝑉
𝑅
Análise nodal
b) Procura-se a máxima potência transferida entre os nós A e B através da conexão de um novo resistor. Pela teoria,
a máxima potência dissipada de um resistor é encontrada quando seu valor é igual ao valor da resistência de
Thevenín, ou seja, para que a potência máxima seja transferida entre A e B deve-se haver um resistor que tenha o
mesmo valor de 𝑅𝑇ℎ.
Mas esse resistor deve estar em série ou em paralelo? Se um resistor está em série com outro significa que as
tensões entre os dois são diferentes e a corrente é a mesma, mas se estiverem em paralelo a tensão é a mesma e
correntes diferentes. Como a teoria fala em Thevenín, o 𝑅𝑇ℎ será encontrado em relação á carga e o gerador de
tensão deve ter o mesmo valor da tensão que está na carga. Se um resistor for colocado em série então a carga
irá adquirir uma outra tensão, ou seja, haverá outro 𝑅𝑇ℎ e 𝑉𝑇ℎ, mas se o resistor for colocado em paralelo a
tensão da carga não irá mudar, quer dizer que o 𝑉𝑇ℎ e 𝑅𝑇ℎ, não vão mudar.
Por isso o resistor que deve ser adicionado à carga para que a potência máxima seja transferida estará em
paralelo com a carga, para que a tensão não mude e assim o 𝑅𝑇ℎ que será calculado continue valendo.
Então o valor de 𝑅𝑇ℎ no circuito é:
𝑅𝑇ℎ =
2 8
2 + 8
+
5 15
5 + 15
= 5,35 Ω
Então descobre-se qual o valor do resistor necessário para a potência máxima transferida:
5,35 =
𝑅′ 10
𝑅′ + 10
→ 10𝑅′ = 𝑅′ + 10 5,35 = 5,35𝑅′ + 53,5 → 10𝑅′ − 5,35𝑅′ = 53,5 → 4,65𝑅′ = 53,5
Dessa forma:
𝑅′ =
53,5
4,65
= 11,50 Ω
c) O valor da potência máxima transferida fica a resistência encontrada para uma máxima transferência e a corrente
que passa por esse resistor:
𝑃 = 𝑉𝑖 = 𝑅𝑖 𝑖 = 𝑅𝑖2 = 11,50 0,455 2 = 2,381 𝑊
QUESTÃO 3
Um circuito ponte tem nós A, B, C e D e está arranjado como se segue. Entre A e B: uma resistência de 10 Ω. Entre B 
e C: uma resistência de 80 Ω. Entre C e D: uma resistência de 750 Ω. Entre D e A: uma resistência de 100 Ω. Entre B 
e D: uma resistência de 200 Ω. Entre A e C: uma fonte de 20 Ω com resistência interna de 4Ω com o terminal 
positivo conectado ao nó A.
a) Calcule a corrente que passa através do resistor de 750 Ω.
b) Calcule a potência dissipada na resistência interna da fonte.
a) O circuito pode ser desenhado de várias formas, então:
𝐴 𝐵
𝐶
9
25
𝑉𝐴 −
𝑉𝐵
10
−
𝑉𝐶
4
−
𝑉𝐷
100
= 5
−
𝑉𝐴
10
+
47
400
𝑉𝐵 −
𝑉𝐶
80
−
𝑉𝐷
200
= 0
−
𝑉𝐴
4
−
𝑉𝐵
80
+ 0,264𝑉𝐶 −
𝑉𝐷
750
= −5
−
𝑉𝐴
100
−
𝑉𝐵
200
−
𝑉𝐶
750
+
49
3000
𝑉𝐷 = 0
0,0225 𝐴 =
𝑉𝐷 − 𝑉𝐶
750
←
𝑉𝐴 = 6,631 𝑉
𝑉𝐵 = 4,491 𝑉
𝑉𝐶 = −12,426 𝑉
𝑉𝐷 = 4,434 𝑉
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵
10
+
𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 − 20
4
+
𝑉𝐴 − 𝑉𝐷
100
= 0
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴
10
+
𝑉𝐵 − 𝑉𝐶
80
+
𝑉𝐵 − 𝑉𝐷
200
= 0
𝑉𝐶 − 𝑉𝐴 + 20
4
+
𝑉𝐶 − 𝑉𝐵
80
+
𝑉𝐶 − 𝑉𝐷
750
= 0
𝑉𝐷 − 𝑉𝐴
100
+
𝑉𝐷 − 𝑉𝐵
200
+
𝑉𝐷 − 𝑉𝐶
750
= 0
𝐷 Análise nodal
b) O cálculo da potência dissipada na resistência interna da fonte é:
𝑃 = 𝑉𝑖 = 𝑅𝑖 𝑖 = 𝑅𝑖2 = 4
𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 − 20
4
2
= 0,222 𝑊
ÁREA 3
INDUTÂNCIA, CAPACITÂNCIA E ANÁLISE DE CIRCUITOS EM CA
QUESTÃO 1
Para o circuito da figura abaixo, calcule uma expressão para 𝑉0 para qualquer t > 0.
𝑡 = 0
+
𝑉0
−
Primeiramente analisa-se o circuito no instante t = 0 para encontrar a corrente 𝑖 0 . No instante t = 0 a chave é
fechada, portanto os resistores de 2 Ω e 3 Ω são curto circuitados por causa do fio onde se localiza o indutor.
Porque curto circuitados? Nesse caso, a corrente que sai da fonte de tensãoirá preferir tomar o caminho pelo fio do
indutor e pelo fio onde está a chave (evitando os resistores de 3 Ω e 2 Ω), pois a resistência no indutor e no fio da
chave é muito pequena.
A corrente inicial fica:
𝑖 0 =
𝑉
𝑅
=
10
6
= 1,667 𝐴
No infinito o indutor será descarregado, ou seja, seu valor será zero. Dessa vez como não há mais a presença do
indutor e a chave é aberta. Dessa forma pode-se reescrever o circuito:
Portanto encontra-se a corrente total desse pequeno circuito
𝑖𝑡 =
𝑉
𝑅
=
10
6 +
3 2
3 + 2
=
10
7,2
= 1,389 𝐴
E agora a corrente no infinito:
𝑖 ∞ =
𝑉
𝑅𝐿
=
𝑅𝑖
𝑅𝐿
=
3 2
3 + 2 1,389
2
= 0,833 𝐴
Foi usado 𝑅𝐿 = 2, pois o objetivo é encontrar a corrente que passa pelo fio do indutor, e quem está no fio do
indutor é o resistor de 2 Ω. Foi usado o paralelo de 3 e 2 para encontrar a corrente na parte desejada do circuito
(paralelo constitui a mesma tensão).
Para continuar os cálculos encontra-se o 𝑅𝑇ℎ do circuito (imaginando que o indutor é a carga).
𝑅𝑇ℎ =
6 3
6 + 3
+ 2 = 4 Ω
Esse cálculo é baseado no circuito original e não na modificação feita para o infinito.
Com o valor de 𝑅𝑇ℎ calcula-se a constante do tempo:
𝜏 =
𝑅
𝐿
=
4
4
= 1
A função da corrente é:
𝑖 𝑡 = 0,833 − 1,667 1 − 𝑒−𝑡 + 1,667 = 0,833 + 0,833𝑒−𝑡 𝐴
A função da tensão é:
𝑉 𝑡 = 𝑅𝑖′ 𝑡 = 4 −0,833𝑒−𝑡 = −3,332𝑒−𝑡 𝑉
Como se deseja encontrar a tensão no resistor de 3 Ω então usa-se a Lei de Kirchhoff no circuito original:
𝑉0 𝑡 − 𝑅𝑖 𝑡 − 𝑉 𝑡 = 0 → 𝑉0 𝑡 = 2 0,833 + 0,833𝑒
−𝑡 − 3,332𝑒−𝑡 = −1,667𝑒−𝑡 + 1,667 𝑉
O resistor de 3 Ω está sendo representado pela sua tensão 𝑉0 𝑡 e o indutor é também representado pela sua
tensão.
QUESTÃO 2
Considere que no circuito da figura abaixo, 𝑉 = 7,5𝑒−9𝑡 e 𝑖 = −1,2𝑒−9𝑡.
a) Determine o valor de R e C
b) Determine o valor da constante de tempo
c) Calcule a energia inicialmente armazenada no capacitor
d) Obtenha o tempo que o capacitor leva para dissipar 65% de sua energia inicial.
𝑖
𝐶
+
𝑉
−
a) A constante do tempo é observada nas funções onde:
𝜏 = 𝑅𝐶 =
1
9
Tem-se que a capacitância pode ser representada por 𝐶 =
𝑖 𝑡
𝑉′ 𝑡
,
1
9
= 𝑅
−1,2𝑒−9𝑡
−67,5𝑒−9𝑡
→ 𝑅 0,0178 =
1
9
→ 𝑅 = 6,242 Ω
b) A constante do tempo está exposta dividida por t.
𝜏 =
1
9
= 0,111 𝑠
c) A energia inicial pode ser calculada por:
𝑤 =
𝑉2𝐶
2
=
7,5 2 0,0178
2
= 0,5 𝐽
d) Já se sabe a energia total, então basta descobrir a sua função:
න𝑃 𝑡 𝑑𝑡 = 0,5 65 % = 0,325
න𝑉 𝑡 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 = න 7,5𝑒−9𝑡 −1,2𝑒−9𝑡 𝑑𝑡 = න−9𝑒−18𝑡𝑑𝑡 = 0,5𝑒−18𝑡
Agora descobre-se o tempo:
0,5𝑒−18𝑡 = 0,325 → 𝑒−18𝑡 = 0,65 → −18𝑡 = ln 0,65 → 𝑡 =
0,431
18
= 0,024 𝑠
QUESTÃO 3
Para o circuito da figura abaixo, calculo o fasor 𝐼0.
100∠120° 𝑉 −40𝑗 Ω −40𝑗 Ω 60∠ − 30° 𝑉
60𝑗 Ω
Considerando a fonte de 100∠120° = 𝑉1 e 60∠ − 30° = 𝑉2.Temos, por análise nodal:
𝑉𝐴 − 𝑉1
80
+
𝑉𝐴
−40𝑗
+
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵
60𝑗
= 0
𝑉𝐵 − 𝑉2
20
+
𝑉𝐵
−40𝑗
+
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴
60𝑗
= 0
Isolando os nós:
𝑉𝐴
1
80
+
1
−40𝑗
+
1
60
=
𝑉1
80
+
𝑉𝐵
60𝑗
𝑉𝐵
1
20
+
1
−40𝑗
+
1
60𝑗
=
𝑉2
20
+
𝑉𝐴
60𝑗
→
𝑉𝐴 =
𝑉1
80 +
𝑉𝐵
60𝑗
1
80 +
1
−40𝑗 +
1
60
𝑉𝐵 =
𝑉2
20 +
𝑉𝐴
60𝑗
1
20 +
1
−40𝑗 +
1
60𝑗
→
𝑉𝐴 =
−0,625 − 1,08𝑗 +
𝑉𝐵
60𝑗
0,0125 + 0,0083𝑗
𝑉𝐵 =
2,6 + 1,5𝑗 +
𝑉𝐴
60𝑗
0,05 + 0,0083𝑗
Simplificando temos:
ቊ
𝑉𝐴 = −74,52 − 36,92𝑗 + −0,614 − 0,926𝑗 𝑉𝐵
𝑉𝐵 = 55,45 + 20,80𝑗 + −0,0539 − 0,325𝑗 𝑉𝐴
Substituindo 𝑉𝐵 em 𝑉𝐴:
𝑉𝐴 = −74,52 − 36,92𝑗 + −0,614 − 0,926𝑗 55,45 + 20,80𝑗 + −0,0539 − 0,325𝑗 𝑉𝐴
Simplificando então,
𝑉𝐴 = −74,52 − 36,92𝑗 + −14,786 − 64,12𝑖 − 0,268 + 0,249𝑗 𝑉𝐴
𝑉𝐴 = −89,306 − 101,04𝑗 − 0,268 + 0,249 𝑉𝐴
𝑉𝐴 + 0,268 + 0,249 𝑉𝐴 = −89,306 − 101,04𝑗
1,268 + 0,249 𝑉𝐴 = −89,306 − 101,04𝑗
Finalmente,
𝑉𝐴 = −82,882 − 63,408𝑗
𝑉𝐵 = 39,310 + 51,154𝑗
Então a corrente é:
𝑖0 =
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵
60𝑗
=
−122,192 − 114,562𝑗
60𝑗
= −1,909 + 2,036𝑗
QUESTÃO 4
Considere o circuito da figura ao lado.
a) Obtenha o circuito equivalente de Thevenín entre os terminais a e b.
b) Obtenha o circuito equivalente de Norton entre os terminais a e b.
c) Determine o valor de carga que deve ser conectada entre os terminais a e b para que a o potência máxima seja 
transferida.
−𝑗5 Ω
13 Ω
10 Ω
12 Ω
8 Ω
𝑗6 Ω
60∠45° V
𝑎 𝑏
a) O circuito com uma aparência o tanto incomum pode ser redesenhado como mostrado abaixo:
Para encontra 𝑉𝑇ℎ deve-se conhecer as correntes entre os fios:
𝑖𝑎 =
60∠45°
10 + 13 − 5𝑗
=
60∠45°
23,5∠ − 12,26°
= 2,55∠57,26° 𝐴
𝑖𝑏 =
60∠45°
8 + 12 + 6𝑗
=
60∠45°
20,881∠16,699°
= 2,87∠28,3° 𝐴
A carga seria o que está entre os terminais a e b e pelo visto ela já foi desconsiderada, portanto faz-se Lei de Kirchhoff para encontrar a
tensão presente entre a e b:
𝑉𝑇ℎ − 10 𝑖𝑎 + 8 + 6𝑗 𝑖𝑏 = 0 → 𝑉𝑇ℎ = 10 2,55∠57,26° − 10∠36,87° 2,87∠28,3°
𝑉𝑇ℎ = 25,5∠57,26° − 28,7∠65,2° = 13,791 + 21,449𝑗 − 12,038 + 26,053𝑗 = 1,753 − 4,604𝑗 = 4,926∠ − 69,155° 𝑉
𝑎 𝑏
60∠45° V
b) A corrente de Norton pode ser encontrada pela seguinte relação:
𝑖𝑛 =
𝑉𝑇ℎ
𝑅𝑇ℎ
O 𝑅𝑇ℎ se torna 𝑍𝑇ℎ por causa das resistividades do indutor e capacitor. Portanto 𝑍𝑇ℎ fica:
𝑍𝑇ℎ =
13 − 5𝑗 10
13 − 5𝑗 + 10
+
8 + 6𝑗 12
8 + 6𝑗 + 12
= 11,243 + 1,079𝑗
A resistência de Thevenín deve ser calculada com a carga conectada só que sem mexer nela, por isso faz-se paralelo 13 – 5j
com o resistor de 10, porque a e b caracterizam nós diferentes, enquanto as pontas do losango são o mesmo nó, isso
caracteriza um paralelo entre esses dois. Após o resultado do paralelo as resistividades estarão em série e poderão ser
somadas.
Com o resultado temos:
𝑖𝑛 =
1,753 − 4,604𝑗
11,243 + 1,079𝑗
= 0,116 − 0,421𝑖
c) Pela teoria a potência máxima transferida de um resistor é verdade somente quando esse resistor é a carga do circuito de
Thevenín e quando a carga é igual ao 𝑅𝑇ℎ. Com essa teoria chegamos a conclusão que entre os terminais a e b deve haver uma
carga 𝑍𝐿 = 𝑍𝑇ℎ.
Helder Guerreiro
FIM!