combinepdf Lista3 e resolucao

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Pernambuco 
Centro Acadêmico do Agreste 
Lista de Exercícios – Primórdios da Teoria Quântica 
Prof. Paulo Peixoto 
2018.1 
 
Questões 1 a 6: Radiação de Corpo Negro 
Questão 1) [Boa concordância entre as leis de Rayleigh-Jeans e de Planck para 
baixas frequências – ou seja, “longe da catástrofe do ultravioleta”] Considere as leis 
de Rayleigh-Jeans e de Planck para a radiância espectral – respectivamente 𝑅𝑅𝐽(𝜆) =
2𝜋𝑐𝑘𝑇𝜆−4 e 𝑅𝑃(𝜆) =
2𝜋ℎ𝑐2𝜆−5
𝑒ℎ𝑐/𝜆𝑘𝑇−1
 . Mostre que para 𝜆 ≫ ℎ𝑐/𝑘𝑇, temos 𝑅𝑃(𝜆) ≈ 𝑅𝑅𝐽 (𝜆). 
[Dica: Faça uso da aproximação 𝑒𝑥 ≈ 1 + 𝑥, para 0 < 𝑥 ≪ 1.] 
Questão 2) [Lei de Stefan-Boltzmann como consequência da lei de Planck] Segundo 
a Lei de Stefan-Boltzmann, a potência por unidade de área, 𝑅, irradiada por um corpo 
negro a uma temperatura 𝑇 é proporcional a 𝑇4: 𝑅 = 𝜎𝑇4, em que 𝜎 = 5,6704 ×
10−8 W/(m2 ⋅ K4) é a denominada constante de Stefan. Obtenha a Lei de Stefan-
Boltzmann a partir da Lei de Planck. Mais especificamente, obtenha a relação de 
proporcionalidade 𝑅 ∝ 𝑇4; ou seja, você não precisará obter o valor da constante de 
Stefan – o que simplificará muito sua vida . [Dica: Parta de 𝑅 = ∫ 𝑅𝑃(𝜆)𝑑𝜆
∞
0
, com 
𝑅𝑃(𝜆) dado no enunciado da Questão 1, e introduza a mudança de variável 𝑥 = ℎ𝑐/𝜆𝑘𝑇. 
Atente para o seguinte: não será necessário resolver a integral resultante, porque não 
estamos interessados, nesta questão, no valor de 𝜎, mas apenas na relação de 
proporcionalidade 𝑅 ∝ 𝑇4.] 
Questão 3) [Lei de deslocamento de Wien como consequência da lei de Planck] 
Segundo a Lei de Deslocamento de Wien, 𝜆𝑚𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 2,898 × 10
−3m ⋅ K, 
sendo 𝜆𝑚 o comprimento de onda para o qual a radiância espectral 𝑅(𝜆) de um corpo 
negro a uma temperatura 𝑇 apresenta valor máximo (veja figura ao lado). Usando a Lei 
de Planck (veja Questão 1), obtenha 
a relação de proporcionalidade 𝜆𝑚 ∝
1/𝑇. [Dica: Parta da equação 
[
𝑑𝑅𝑃(𝜆)
𝑑𝜆
]
𝜆=𝜆𝑚
= 0, e observe que não 
será necessário resolver a equação 
transcendental resultante; apenas 
admitir que ela possui solução, e 
denotar tal solução por 𝜆∗, por exemplo (isso 
simplificará muito sua vida ).] 
Questão 4) Observe a figura ao lado. A curva tracejada 
(em vermelho) relaciona que grandezas? Discuta. 
Questão 5) (Tipler) A temperatura na superfície do Sol 
é de aproximadamente 5800 K, e medidas da 
distribuição espectral da luz mostram que o astro se 
comporta como um corpo negro, a não ser para 
comprimentos de onda muito pequenos. Supondo que o 
Sol seja um corpo negro ideal, qual é o comprimento de 
onda para o qual a intensidade da radiação emitida é máxima? Esse valor corresponde a 
que parte do espectro eletromagnético? [Resposta: 499,7 nm – quese no centro do 
espectro visível!] 
Questão 6) (Tipler) A energia solar que atinge a parte superior da atmosfera terrestre tem 
intensidade de 1,36 × 103 W/m2, a chamada constante solar. Supondo que a Terra se 
comporta como um corpo negro de temperatura uniforme, qual é a temperatura de 
equilíbrio da Terra? [Resposta: 278,3 K (5,3 ºC).] 
 
Questões 7 a 10: Efeito fotoelétrico 
Questão 7) Usando o princípio da conservação da energia e o princípio da conservação 
do momento linear (de forma semelhante à realizada em sala de aula, para a dedução da 
equação de Compton), mostre que o efeito fotoelétrico não ocorre estando o elétron livre. 
Questão 8) A função trabalho do césio é 1,9 eV. 
a) Calcule o comprimento de onda máximo para que o efeito fotoelétrico seja observado 
no césio. [Resposta: 653 nm] 
b) Calcule o valor do potencial de corte para um comprimento de onda de 300 nm. 
[Resposta: 2,24 V] 
Questão 9) (Moysés) Para verificar se o conceito de fóton é relevante no 
eletromagnetismo macroscópico, considere uma estação de rádio que transmite na 
frequência de 1 MHz e com uma potência total emitida de 5 kW. 
a) Calcule o comprimento de onda das ondas de rádio emitidas. 
b) Calcule a energia correspondente dos fótons, em eV. 
c) Quantos fótons são emitidos por segundo? 
Questão 10) (Moysés) O comprimento de onda correspondente ao limiar para que ocorra 
o efeito fotoelétrico no alumínio é de 2954 angstrons. 
a) Qual é a função-trabalho do Al, em eV? [Resposta: 4,2 eV] 
b) Qual é a energia cinética máxima dos elétrons ejetados do Al por luz ultravioleta de 
comprimento de onda de 1500 angstrons? [Resposta: 4,1 eV] 
 
Questões 11 e 12: Espalhamento Compton 
Questão 11) O comprimento de onda de fótons que sofreram espalhamento Compton é 
medido para o ângulo 𝜃 = 90𝑜. Qual deve ser o comprimento de onda dos fótons 
incidentes para que Δ𝜆/𝜆 = 0,01? [Resposta: 0,242 nm] 
Questão 12) (Moysés) Um fóton de 100 MeV colide com um próton em repouso. Calcule 
a perda máxima de energia que o fóton pode sofrer. [Resposta:17,6 MeV] 
 
Questão 13: Modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio 
Questão 13) Quando supôs a quantização de momento angular no átomo de hidrogênio, 
Bohr não escreveu diretamente 𝐿 = 𝑛ℏ, mas 𝐿 = 𝑛ℎ𝐾 (𝑛 = 1,2,3, … ), em que 𝐾 é algum 
fator numérico constante, presumivelmente da ordem de 1. Bohr obteve 𝐾 = 1/2𝜋 
usando seu Princípio da Correspondência1, segundo o qual as previsões da física quântica 
devem recair nas previsões da física clássica no limite de grandes números quânticos (o 
que quer dizer: no domínio em que as previsões da física clássica estão em boa 
concordância com resultados experimentais). É sua tarefa nesta questão refazer os 
cálculos de Bohr. 
a) Refaça as contas do modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, mas usando 𝐿 =
𝑛ℎ𝐾, em vez de 𝐿 = 𝑛ℏ. Obtenha: 
 𝑟𝑛 =
4𝜋𝜖0
𝑚𝑒2
𝑛2ℎ2𝐾2 e 𝐸𝑛 = − (
1
4𝜋𝜖0
)
2 𝑚𝑒4
2ℎ2𝐾2
1
𝑛2
 , 𝑛 = 1, 2, 3, … . 
b) Mostre que, para 𝑛 muito grande, 𝐸𝑛+1 − 𝐸𝑛 ≈ (
1
4𝜋𝜖0
)
2 𝑚𝑒4
2ℎ2𝐾2
2
𝑛3
 , e que, portanto, a 
frequência da radiação emitida na transição (𝑛 + 1) → 𝑛 é 
𝑓 =
𝐸𝑛+1 − 𝐸𝑛
ℎ
≈ (
1
4𝜋𝜖0
)
2 𝑚𝑒4
2ℎ3𝐾2
2
𝑛3
 . 
c) Vamos concentrar nossa atenção em órbitas com raio da ordem de 1 metro (que é um 
valor macroscópico). Considerando 𝐾~1, estime o valor de 𝑛 para o qual temos 𝑟𝑛 =
1 m. Foi um valor elevado, não foi? Logo, podemos usar, com 𝑟𝑛 = 1 m, a 
aproximação obtida no item b. 
d) Mostre, usando física clássica, que a frequência do movimento do elétron, em uma 
órbita circular de raio 𝑟𝑛, é: 
𝑓 =
𝐿
2𝜋𝑚𝑟𝑛2
 . 
e) Agora, com base no Princípio da Correspondência, considere que, para 𝑟𝑛 muito 
grande (~ 1 m), a frequência da radiação emitida na transição (𝑛 + 1) → 𝑛 é igual à 
frequência clássica do movimento do elétron. Igualando as duas expressões para 𝑓, 
acima (e substituindo, na segunda, 𝐿 = 𝑛ℎ𝐾 e 𝑟𝑛 =
4𝜋𝜖0
𝑚𝑒2
𝑛2ℎ2𝐾2), mostre que 𝐾 =
1/2𝜋. 
 
 
1 O Princípio da Correspondência só foi apresentado por Bohr em 1920, mas ele fez uso do mesmo no 
desenvolvimento do seu modelo para o átomo de hidrogênio, em 1913.