Cálculo Avançado Adonai

Prévia do material em texto

CA´LCULOcom va´rias varia´veis
J. Adonai & A. Carlos
UFAL-2012
Conteu´do
1 Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 1
1.1 O Espac¸o Euclidiano n-Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4 Operac¸o˜es com n-uplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.13 Interpretac¸o˜es Geome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Produto Interno e Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.7 Interpretac¸o˜es Geome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.11 A Desigualdade de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.12 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.24 Distaˆncia de um Ponto a uma Reta . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.29 Distaˆncia de um Ponto a um Hiperplano . . . . . . . . . . . 26
1.4 Func¸o˜es Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4.6 Conjuntos Associados a Func¸o˜es Vetoriais . . . . . . . . . . 30
1.5 Func¸o˜es Vetoriais Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5.22 Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2 Ca´lculo das Curvas Parametrizadas 58
2.1 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.3 Interpretac¸a˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.14 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2.19 Interpretac¸a˜o F´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3 Geometria das Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.8 Curvatura e Torc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
i
ii Conteu´do
2.3.27 Curvas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.3.31 C´ırculos no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3.36 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3 Func¸o˜es Cont´ınuas 91
3.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1.15 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4 Derivadas Parciais 115
4.1 Derivadas Parciais no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1.17 Interpretac¸a˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.3 O Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3 Derivadas Parciais, Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.4 Derivadas Parciais Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4.10 Interpretac¸a˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.5 Derivadas Direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.5.3 Interpretac¸a˜o Geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5 Aplicac¸o˜es Diferencia´veis 153
5.1 A Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.1.21 Aplicac¸o˜es Continuamente Diferencia´veis . . . . . . . . . . 166
5.1.30 Aproximac¸a˜o Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.2 Operac¸o˜es com Aplicac¸o˜es Diferencia´veis . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.2.6 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.3 O Teorema do Valor Me´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.4 Algumas Aplicac¸o˜es do Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.4.6 Superf´ıcies Definidas Implicitamente . . . . . . . . . . . . . . 198
5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Conteu´do iii
6 Func¸o˜es Inversa e Impl´ıcita 207
6.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.1.1 Sequeˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.1.24 Func¸o˜es Cont´ınuas em Conjuntos Compactos . . . . . . . . 215
6.1.39 Norma de Uma Aplicac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.2 Contrac¸o˜es, Pontos Fixos e Perturbac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.3 O Teorema da Func¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.4 O Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.4.1 O Caso de Duas Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.4.9 O Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.5 Superf´ıcies Regulares no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Sugesto˜es e Respostas 266
I´ndice 287
Refereˆncias Bibliogra´ficas 291
1
Vetores
e
Func¸o˜es Vetoriais
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
pi = P + [{V,W}]
6
z
-
y�
�
�
�
�	x
��
��
��
��
@
@
@
@
@
@
@
@
��
��*
@
@
@
�
�
�
@
@
@
@R
��
�*
XXXXXXXXz
@
@
@R
V
sV
W
tW
sXX − Pss
P
O s
por
J. Adonai & A. Carlos
1.1
O Espac¸o Euclidiano Rn
Nesta sec¸a˜o, introduziremos a noc¸a˜o de espac¸o euclidiano Rn, estabelecendo suas propri-
edades alge´bricas e geome´tricas ba´sicas. Comec¸amos com sua definic¸a˜o.
1.1.1
Definic¸a˜o Dado n ∈ N, o espac¸o euclidiano Rn e´ definido como sendo o conjunto de todas
as n-uplas de nu´meros reais X = (x1, x2, . . . , xn), isto e´,
Rn = {X = (x1, x2, . . . , xn); xi ∈ R, i = 1, 2, . . . n}.
1.1.2
Definic¸a˜o Dada uma n-upla X = (x1, x2, . . . , xn), os nu´meros reais x1, x2, . . . , xn sa˜o
chamados coordenadas de X.
1.1.3
Definic¸a˜o Dadas n-uplas X = (x1, x2, . . . , xn) e Y = (y1, y2, . . . , yn), diremos que X = Y
se x1 = y1, x2 = y2, . . . , xn = yn.
1.1.4
Operac¸o˜es com n-uplas
As estruturas aditiva e multiplicativa do corpo R induzem, naturalmente, uma estrutura
de espac¸o vetorial sobre Rn. A adic¸a˜o de n-uplas e a multiplicac¸a˜o de uma n-upla por um
nu´mero real sa˜o definidas a seguir.
1.1.5
Definic¸a˜o Sejam X = (x1, x2, . . . , xn) e Y = (y1, y2, . . . , yn). A soma de X com Y , indicada
por X + Y , e´ a n-upla
X + Y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn).
1.1.6
Definic¸a˜o Sejam X = (x1, x2, . . . , xn) e a ∈ R. O produto de X pelo nu´mero real a,
indicada por aX, e´ a n-upla
aX = (ax1, ax2, . . . , axn).
1.1.7
Exemplo No espac¸o R4, considere X = (1, 2,−pi,√2), Y = (2,√3, pi, 1) e a = √2. Enta˜o,
X + Y = (3, 2 +
√
3, 0, 1 +
√
2) e aX = (
√
2, 2
√
2,−pi√2, 2).
2
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 3
1.1.8
Exemplo Em R7, considere X = (0, 1, 2,−1, 0,√2,√3) e Y = (2,√3, pi, 1, 0, 2,−√3).
Enta˜o, X + Y = (2, 1 +
√
3, 2 + pi, 0, 0, 2 +
√
2, 0).
As proposic¸o˜es que seguem mostram que as operac¸o˜es com n-uplas rece´m-definidas satis-
fazem os axiomas de espac¸o vetorial. Tal fato justifica a terminologia que consiste em chamar
uma n-upla, de vetor no Rn.
1.1.9
Proposic¸a˜o Se X, Y, Z ∈ Rn, enta˜o valem as seguintes propriedades:
(i) [Comutatividade] X + Y = Y +X;
(ii) [Associatividade] (X + Y ) + Z = X + (Y + Z);
(iii) [Elemento Neutro] a n-upla O = (0, 0, . . . , 0), chamada n-upla nula (ou zero), e´ a u´nica
n-upla tal que X +O = X;
(iv) [Sime´trico] a n-upla −X = (−x1,−x2, . . . ,−xn), chamada sime´trico da n-upla X, e´ a
u´nica n-upla tal que X + (−X) = O.
Demonstrac¸a˜o: Vejamos a demonstrac¸a˜o de (ii). As demais sa˜o igualmente simples, e
sera˜o deixadas como exerc´ıcio para o leitor. Temos que
(X + Y ) + Z = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) + (z1, z2, . . . , zn)
= ((x1 + y1) + z1, (x2 + y2) + z2, . . . , (xn + yn) + zn))
= (x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2), . . . , xn + (yn + zn))
= X + (Y + Z),
onde, na passagem da segunda para a terceira equac¸a˜o, foi usada a propriedade associativa dos
nu´meros reais. Os demais pontos envolvem apenas a definic¸a˜o 1.1.5. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
1.1.10
Proposic¸a˜o Se X, Y ∈ Rn e a, b ∈ R, enta˜o valem as seguintes propriedades:
(i) [Distributividade] a(X + Y ) = aX + aY ;
(ii) [Distributividade] (a+ b)X = aX + bX;
(iii) [Associatividade] (ab)X = a(bX);
(iv) 1X = X.
Demonstrac¸a˜o: Sejam X = (x1, x2, . . . , xn) e Y = (y1, y2, . . . , yn). Temos que
a(X + Y ) = a(x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
= (a(x1 + y1), a(x2 + y2), . . . , a(xn + yn))
= (ax1, ax2, . . . , axn) + (ay1, ay2, . . . , ayn) = aX + aY,
4 O Espac¸o Euclidiano Rn
onde usamos a propriedade distributiva de R junto com a definic¸a˜o 1.1.5, e obtemos (i). Para (ii),
a propriedade distributiva de R e a definic¸a˜o 1.1.6 sa˜o usadas:
(a+ b)X = ((a+ b)x1, (a+ b)x2, . . . , (a+ b)xn)
= (ax1 + bx1, ax2 + bx2, . . . , axn + bxn)
= aX + bX,
como quer´ıamos. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
1.1.11
Corola´rio Rn e´ um espac¸o vetorial de dimensa˜o n.
Demonstrac¸a˜o: As proposic¸o˜es 1.1.9 e 1.1.10 mostram que Rn e´ uma espac¸o vetorial.
Falta mostrar que dimRn = n. Para isto, sejam e1, e2, . . . , en, definidos por
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0)
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0)
...
...
...
en = (0, 0, . . . , 0, 1).
Note que se X = (x1, x2, . . . , xn), enta˜o
X = x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen.
Logo, {e1, e2, . . . , en} gera Rn. Agora se c1, c2, . . ., cn sa˜o nu´meros reais tais que
c1e1 + c2e2 + · · ·+ cnen = (0, 0, . . . , 0),
vem que c1 = c2 = · · · = cn = 0, o que completa a prova. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
1.1.12
Definic¸a˜o A base {e1, e2, . . . , en} constru´ıda acima e´ chamada base canoˆnica do espac¸o Rn.
1.1.13
Interpretac¸o˜es Geome´tricas
A interpretac¸a˜o geome´trica que descreve R como uma reta orientada, sobre a qual se esco-
lhe um ponto O, o qual corresponde ao nu´mero zero, uma unidade de medida, que corresponde
ao nu´mero 1, pode ser estendida a uma interpretac¸a˜o geome´trica dos espac¸os euclidianos R2 e
R3. Para Rn, n ≥ 4, fica por conta da imaginac¸a˜o de cada um.
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 5
Figura 1: Os Nu´meros Reais R
r
0
r
1
r√
3
r
pi +∞−∞
r
−√2
Para visualizar o R2, tomamos duas co´pias de R, as quais chamamos de eixos coordenados.
Estes eixos sa˜o denotados por eixo-x e eixo-y. O passo seguinte consiste em dispor os eixos
coordenados em um plano euclidiano de modo que eles se interceptem ortogonalmente ao longo
de suasorigens, o que produz o ponto O, que sera´ associado a` dupla (2-upla) nula (0, 0),
conforme figura 2. Feito isso, uma dupla de R2, digamos X = (x1, x2), e´ olhada como aquele
ponto do plano, tambe´m indicado por X, que se projeta ortogonalmente sobre eixo-x e eixo-y
naqueles pontos que correspondem a x1 e x2, respectivamente. Isto e´ feito trac¸ando-se por x1,
uma reta perpendicular ao eixo-x, e por x2, uma reta perpendicular ao eixo-y. A intersec¸a˜o
destas perpendiculares e´ exatamente o ponto do plano que representara´ X. Deste modo, fica
estabelecida uma bijec¸a˜o entre o plano euclidiano que fixamos e o espac¸o R2.
Ha´ situac¸o˜es em que e´ conveniente representar uma dupla X como um segmento orientado
localizado em O. A figura 2 exibe duas duplas X = (x1, x2) e Y = (y1, y2), de modo que cada
uma delas aparece ora como ponto, ora como segmento orientado. Neste ponto, observamos
que a noc¸a˜o geome´trica de aˆngulo entre X e Y e´ mais adequada a` figura 2-(c), onde ambas sa˜o
olhadas como segmentos orientados localizados em O. Ja´ a figura 2-(b) e´ perfeita para motivar
a noc¸a˜o de reta que passa por Y e e´ paralela a X, conforme definic¸a˜o 1.3.1.
O
s -
6
x
y
Figura 2-(a)
sYy2 r
y1
r
sXx2 r
x1
r
O
s -
6
x
y
Figura 2-(b)
sYy2 r
y1
r�����
��
�*
Xx2 r
x1
r
O
s -
6
x
y
Figura 2-(c)
�
�
�
�
�
���
Yy2 r
y1
r�����
��
�*
Xx2 r
x1
r
Analogamente, para fazermos geometria em R3, recorremos a treˆs retas, que formara˜o os
eixos coordenados, indicados, respectivamente, por eixo-x, eixo-y e eixo-z, e as colocamos no
espac¸o euclidiano tridimensional de modo que elas se interceptem ortogonalmente em suas ori-
gens, produzindo o ponto O, que correspondera´ a` tripla (3-upla) nula (0, 0, 0). Feito isso, temos
em ma˜os treˆs planos especiais, chamados coordenados, e denotados por plano-xy, plano-xz e
plano-yz. Agora a uma tripla X = (x1, x2, x3) fazemos corresponder o ponto do espac¸o cujas
projec¸o˜es ortogonais sobre os eixos coordenados eixo-x, eixo-y e eixo-z coincidem, respectiva-
mente, com os pontos destes eixos que esta˜o associados aos nu´meros reais x1, x2, x3. A figura 3
mostra como isso e´ feito: inicialmente, marcamos x1 no eixo-x, x2 no eixo-y e x3 no eixo-z.
Depois, a partir de x1, caminhamos paralelamente ao eixo-y ate´ atingir a medida x2, onde en-
contramos o ponto que representa a projec¸a˜o de X no plano-xy, que corresponde a (x1, x2, 0).
6 O Espac¸o Euclidiano Rn
Pronto, agora e´ so´ subir (se x3 > 0), ou descer (se x3 < 0), paralelamente ao eixo-z ate´ atingir
uma altura x3, e encontramos o ponto do espac¸o que representara´ X. Note que na figura 3-(b),
a tripla X e´ mostrada como um segmento orientado localizado na origem.
O
6
z
-
y�
�
�
�
�
�
�	x
X
(x1, x2, 0)
x2
rx3
r
(x1, 0, x3)
x1
s(0, x2, x3)
s
- - - - - - -�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
6
6
6
6
6
@
@
@
@
@
@
@
@
Figura 3-(a)
s
r s
s
O
6
z
-
y�
�
�
�
�
�
�	x
��
��
�* X
(x1, x2, 0)
x2
rx3
r
(x1, 0, x3)
x1
s(0, x2, x3)
s
- - - - - - -�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
6
6
6
6
6
@
@
@
@
@
@
@
@
Figura 3-(b)
s
r s
O
s -
6
x
y
Figura 4-(a)
sYy2 r
y1
r
sXx2 r
x1
r
sX + Yx2 + y2 r
x1 + y1
r
O
s -
6
x
y
Figura 4-(b)
�
�
�
�
�
���
Yy2 r
y1
r�����
��
�* Xx2 r
x1
r���
�
�
�
�
�
�
��
X + Y
x2 + y2 r
x1 + y1
r
�
�
�
�
�
�*
��
��
��
���
O
s -
6
x
y
Figura 4-(c)
sYy2 r
y1
r
sXx2 r
��
��
��
��*
x1
r
sX + Yx2 + y2 r
x1 + y1
r
�
�
�
�
�
�*
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 7
Agora podemos descrever geometricamente a adic¸a˜o de n-uplas e a multiplicac¸a˜o de uma n-upla
por um nu´mero real. Para isso, usamos a figura 4, onde marcamos as duplas X = (x1, x2) e
Y = (y1, y2) juntamente com sua soma.
Olhando atentamente o conjunto de figuras 4, observamos que a (b), que mostra X e Y
como segmentos orientados localizados em O, nos da´ uma regra geome´trica evidente: o segmento
orientado X + Y e´ a diagonal do paralelogramo com arestas X e Y . Portanto, a dupla X + Y
e´ o ponto final deste segmento. A regra geome´trica contida na figura 4-(c) e´ a mais simples:
localizamos em Y , o segmento orientado X. O ponto final obtido e´ a dupla X + Y . Fa´cil, na˜o?
Para finalizar, consideremos a figura abaixo que ilustra geometricamente como funciona
a multiplicac¸a˜o de uma n-upla por um escalar: a n-upla aX, a ∈ R, tem comprimento igual ao
comprimento de X multiplicado pelo valor absoluto de a. Seu sentido e´ o mesmo de X, quando
a > 0, e lhe e´ contra´rio, quando a < 0.
O
s -
6
x
y
Figura 5
��
��
��
��*
���������
X
−X
x2 r
x1
r�����
��
��
��
�*
��
��*
r aX (a > 1)
aX (0 < a < 1)
ax1
r
ax2
1.2
Produto Interno e Norma
Vimos, recentemente, que o espac¸o Rn possui uma estrutura de espac¸o vetorial. Em
va´rias situac¸o˜es, precisamos das noc¸o˜es de comprimento, aˆngulo, ortogonalidade, na˜o presentes
nas operac¸o˜es de espac¸o vetorial. Estas noc¸o˜es sa˜o obtidas a partir de um produto escalar (ou
interno), que introduziremos agora.
1.2.1
Definic¸a˜o Sejam X = (x1, x2, . . . , xn) e Y = (y1, y2, . . . , yn). O produto escalar (ou in-
terno) de X por Y , indicado por X · Y , e´ o nu´mero real dado por
X · Y = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn.
8 Produto Interno e Norma
A seguinte proposic¸a˜o descreve as propriedades deste produto.
1.2.2
Proposic¸a˜o Se X, Y, Z ∈ Rn e a ∈ R sa˜o arbitra´rios, enta˜o valem as seguintes proprieda-
des:
(i) [Positividade] X ·X ≥ 0, e X ·X = 0 se, e somente se, X = O = (0, 0, . . . , 0);
(ii) [Comutatividade] X · Y = Y ·X;
(iii) [Distributividade] X · (Y + Z) = X · Y +X · Z;
(iv) [Homogeneidade] (aX) · Y = X · (aY ) = a(X · Y ).
Demonstrac¸a˜o: Com X = (x1, x2, . . . , xn), Y = (y1, y2, . . . , yn) e Z = (z1, z2, . . . , zn),
temos que
X · (Y + Z) = x1(y1 + z1) + x2(y2 + z2) + · · ·+ xn(yn + zn)
= x1y1 + x1z1 + x2y2 + x2z2 + · · ·+ xnyn + xnzn
= (x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn) + (x1z1 + x2z2 + · · ·+ xnzn)
= X · Y +X · Z.
Assim, fica provado (iii). pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
A proposic¸a˜o 1.2.2, em seu item (i), permite-nos dar a seguinte definic¸a˜o.
1.2.3
Definic¸a˜o Seja X = (x1, x2, . . . , xn). A norma (ou comprimento) de X e´ dada por
‖X‖ =
√
X ·X =
√
x21 + x
2
2 + · · ·+ x2n.
1.2.4
Definic¸a˜o X ∈ Rn e´ dito unita´rio se ‖X‖ = 1.
1.2.5
Exemplo Se X = (1, 2,−1, 0) e Y = (3, 1, 0,−√2), enta˜o X · Y = 5, ‖X‖ = √6 e
‖Y ‖ = 2√3.
1.2.6
Proposic¸a˜o Dados X, Y ∈ Rn e a ∈ R, temos que
(i) ‖X‖ ≥ 0, e ‖X‖ = 0 se, e somente se, X = O;
(ii) ‖aX‖ = |a| ‖X‖, onde |a| e´ o valor absoluto de a;
(iii) se X 6= O, o vetor uX = X/ ‖X‖ e´ unita´rio (uX e´ conhecido como vetor unita´rio na direc¸a˜o
de X);
(iv) ‖X + Y ‖2 = ‖X‖2 + 2X · Y + ‖Y ‖2;
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 9
(v) ‖X − Y ‖2 = ‖X‖2 − 2X · Y + ‖Y ‖2.
Demonstrac¸a˜o: Temos que
‖aX‖ =
√
(aX) · (aX) =
√
a2(X ·X) = |a| ‖X‖ ,
o que prova (ii). Agora, usando (ii), vem que
‖uX‖ =
∥∥∥∥ X‖X‖
∥∥∥∥ = 1‖X‖ ‖X‖ = 1,
e segue-se (iii). Para (iv), simplesmente expandimos ‖X + Y ‖2, usando a distributividade e a
comutatividade do produto escalar.
‖X + Y ‖2 = (X + Y ) · (X + Y )
= X ·X +X · Y + Y ·X + Y · Y
= ‖X‖2 + 2X · Y + ‖Y ‖2 .
Os demais itens sa˜o, tambe´m, de prova simples. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
1.2.7Interpretac¸o˜es Geome´tricas
Estudaremos agora os aspectos geome´tricos envolvidos pelo produto escalar e pela norma.
Consideremos a figura 6 que segue. Note que o triaˆngulo de ve´rtices O, X e (x1, x2, 0) e´
retaˆngulo no ve´rtice (x1, x2, 0) e seus catetos medem
√
x21 + x
2
2 e x3. Logo, sua hipotenusa
mede
√
x21 + x
2
2 + x
2
3, o que coincide com ‖X‖.
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
r
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrr
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
6
z
-
y�
�
�
�
�
�
�	x
��
��
�* X
s(x1, x2, 0)
x2
rx3
r
r
x1
�
�
�
�
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Figura 6
√
x21 + x
2
2
x3
@
�
O s
Deste modo, podemos visualizar ‖X‖ como o comprimento (euclidiano) do segmento orientado
X. Isto tambe´m acontece no R2, como o leitor pode verificar facilmente.
10 Produto Interno e Norma
Tomemos agora X, Y dois vetores em R2 (ou R3) que fazem entre si um aˆngulo θ, como
mostra a figura 7. (Note a interpretac¸a˜o geome´tri-
ca para a diferenc¸a Y −X: o segmento orientado,
localizado em X, que representa Y − X termina
em Y .) Aplicando a lei dos cossenos ao triaˆngulo
4OXY , obtemos que
‖Y −X‖2 = ‖X‖2 + ‖Y ‖2 − 2 ‖X‖ ‖Y ‖ cos θ,
o que comparado com (v) da proposic¸a˜o 1.2.6 da´
que
X · Y = ‖X‖ ‖Y ‖ cos θ.
O
s -
6
x
y
Figura 7
�
�
�
�
�
���
Yy2 r
y1
r�����
��
�* Xx2 r
x1
rPPPPPPi
Y −X y2 − x2 r
y1 − x1
r
PP
PP
Pi
θppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
Assim vemos que a noc¸a˜o de produto interno esta´ bem ligada a` noc¸a˜o de aˆngulo entre vetores,
e colhemos a seguinte proposic¸a˜o, onde ∠(X, Y ) indica o aˆngulo, no intervalo [0, pi], entre os
vetores X e Y .
1.2.8
Proposic¸a˜o Se X, Y ∈ Rn (n = 2, 3) e θ = ∠(X, Y ), enta˜o X · Y = ‖X‖ ‖Y ‖ cos θ. Em
particular, vale a desigualdade de Cauchy-Schwarz: |X · Y | ≤ ‖X‖ ‖Y ‖ , a
igualdade ocorrendo apenas quando X e Y sa˜o linearmente dependentes.
1.2.9
Exemplo A proposic¸a˜o 1.2.8 mostra que dois vetores X e Y em Rn, n = 2, 3, sa˜o perpen-
diculares se, e somente se, X · Y = 0. De fato, X e Y sa˜o perpendiculares se, e
somente se, ∠(X, Y ) = pi/2. Como caso particular disto, note que dado X = (x1, x2), o vetor
Y = (−x2, x1) e´ perpendicular a X. O vetor Y e´ obtido de X por uma rotac¸a˜o em torno de O
no sentido anti-hora´rio. Como exerc´ıcio, o leitor deve esboc¸ar X e Y , para se convencer deste
fato.
Continuando com a nossa discussa˜o geome´-
trica construiremos, agora, o que chamamos de
projec¸a˜o ortogonal de um vetor na direc¸a˜o de ou-
tro na˜o-nulo dado. Sejam, enta˜o, X 6= O e Y
como na figura 8, onde uX = X/ ‖X‖ e´ o vetor
unita´rio na direc¸a˜o de X, θ = ∠(X, Y ) e PXY e´
o vetor obtido pela projec¸a˜o ortogonal de Y sobre
X. Assim PXY = auX , onde
a = ‖Y ‖ cos θ = uX · Y = X · Y‖X‖ .
O
s A
�
Figura 8: Projec¸a˜o de Y sobre X
��A
A��a
�
�
�
�
�
�
���
A
A
A
A
AK
��
��
�*
Y
��
��
��
��
��*
��
�*
uX
PXY
Y − PXY
X
θppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
Logo, PXY =
X · Y
‖X‖2 X. Da construc¸a˜o de PXY decorre facilmente que o vetor Y − PXY e´
ortogonal a X, o que pode ser verificado, tambe´m, analiticamente:
X · (Y − PXY ) = X · (Y − X · Y‖X‖2 X) = X · Y −X · Y = 0.
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 11
E´ conveniente notar aqui que a expressa˜o que define PXY pode muito bem ser usada para
o espac¸o Rn, visto que ela na˜o conte´m nenhum apelo geome´trico expl´ıcito. Isto sera´ parte do
conteu´do da pro´xima subsec¸a˜o.
1.2.10
Exemplo Considere, em R2, o triaˆngulo 4ABC, onde
A = (1, 1), B = (3, 2) e C = (0, 4). Os veto-
res X = C −B e Y = A−B aparecem na figura 9 localiza-
dos em B. Temos que X = (−3, 2) e Y = (−2,−1). Assim,
X · Y = 4, ‖X‖2 = 13 e
PXY =
4
13
X =
4
13
(−3, 2).
Agora fica fa´cil calcular a altura relativa ao lado BC, hBC ,
do triaˆngulo 4ABC. De fato, temos
hBC = ‖Y − PXY ‖ =
∥∥∥∥(−1413 ,−2113)
∥∥∥∥ = 7
√
13
13
.
O
s -
6
x
y
Figura 9
sBhBC PXY
r
3
r2 s
A
X
Y
1
1 rr
ssC4
Q
Q
Q
Q
Q
Qk
Q
Qk
�����B
B
B
B
B
BB
r
1.2.11
A Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Inicialmente, nos inspiramos nas noc¸o˜es geome´tricas que usamos ha´ pouco, para definir
ortogonalidade entre n-uplas e construir a projec¸a˜o ortogonal de uma n-upla sobre outra.
1.2.12
Definic¸a˜o Dados X, Y ∈ Rn, diremos que X e´ ortogonal (perpendicular) a Y se X · Y = 0.
1.2.13
Definic¸a˜o Um subconjunto {v1, v2, . . . , vk} ⊂ Rn e´ dito ortogonal se vi · vj = 0, para
1 ≤ i, j ≤ k, i 6= j. {v1, v2, . . . , vk} e´ ortonormal se e´ ortogonal e seus elementos
sa˜o vetores unita´rios.
1.2.14
Exemplo Seja {e1, e2, . . . , en} a base canoˆnica do espac¸o Rn (veja definic¸a˜o 1.1.12). E´ claro
que ‖e1‖ = ‖e2‖ = · · · = ‖en‖ = 1. Ale´m disto, dados i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, i 6= j,
temos que ei · ej = 0. Logo, a base canoˆnica e´ uma base ortonormal do espac¸o Rn.
1.2.15
Definic¸a˜o Dados dois vetores X, Y ∈ Rn, X 6= O, o vetor
PXY =
X · Y
‖X‖2 X
12 Produto Interno e Norma
e´ chamado projec¸a˜o de Y sobre X.
1.2.16
Proposic¸a˜o Sejam X, Y ∈ Rn com X 6= O. Enta˜o, Y − PXY e´ perpendicular a X.
Portanto, e´ tambe´m perpendicular a PXY .
Demonstrac¸a˜o: X · (Y − PXY ) = X · (Y − X · Y‖X‖2 X) = X · Y −X · Y = 0. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Agora podemos estender o teorema de Pita´goras para o Rn.
1.2.17 [Pita´goras]
Proposic¸a˜o Sejam X, Y ∈ Rn com X 6= O. Enta˜o, X e´ perpendicular a Y se, e
somente se, ‖X + Y ‖2 = ‖X‖2 + ‖Y ‖2.
Demonstrac¸a˜o: Resulta imediatamente de ‖X + Y ‖2 = ‖X‖2 + ‖Y ‖2 + 2X · Y , como
indica a proposic¸a˜o 1.2.6, item (iv). pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Enfim adesigualdade de Cauchy-Schwarz, ja´ obtida via argumento geome´tricos para os
espac¸os R2 e R3.
1.2.18 [Cauchy-Schwarz]
Teorema Sejam X, Y ∈ Rn. Enta˜o, |X · Y | ≤ ‖X‖ ‖Y ‖, e a igual-
dade e´ atingida se, e somente se, X e Y sa˜o linearmente
dependentes.
Demonstrac¸a˜o: Inicialmente notamos que se X = O, a desigualdade e´ facilmente
verificada. Portanto, podemos supor X 6= O. Seja PXY a projec¸a˜o ortogonal de Y sobre X.
Segue-se da proposic¸a˜o 1.2.16 que Y − PXY e´ perpendicular a PXY . Usando a proposic¸a˜o 1.2.17,
obtemos que
‖Y ‖2 = ‖(Y − PXY ) + PXY ‖2 = ‖(Y − PXY )‖2 + ‖PXY ‖2 ≥ ‖PXY ‖2 , (¶1)
e a igualdade ocorre se, e somente se, Y = PXY =
X · Y
‖X‖2 X. Mas
‖PXY ‖2 =
∥∥∥∥X · Y‖X‖2 X
∥∥∥∥2 = (X · Y )2‖X‖2 ,
o que combinado com a desigualdade (¶1) da´ (X · Y )2 ≤ ‖X‖2 ‖Y ‖2 , como quer´ıamos. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Como corola´rio da desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos as propriedades da norma
que faltavam ser apresentadas: as desigualdades triangulares.
1.2.19
Corola´rio Se X, Y ∈ Rn e a ∈ R, enta˜o
(i) ‖X‖ ≥ 0, e ‖X‖ = 0 se, e somente se, X = O;
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 13
(ii) ‖aX‖ = |a| ‖X‖;
(iii) [Desigualdade triangular] ‖X + Y ‖ ≤ ‖X‖+ ‖Y ‖;
(iv) [Desigualdade triangular] | ‖X‖ − ‖Y ‖ | ≤ ‖X − Y ‖.
Demonstrac¸a˜o: Note que (i) e (ii) aparecem na proposic¸a˜o 1.2.6. Daremos uma prova
para (iii) e (iv). Temos que
‖X + Y ‖2 = ‖X‖2 + 2X · Y + ‖Y ‖2
≤ ‖X‖2 + 2|X · Y |+ ‖Y ‖2
≤ ‖X‖2 + 2 ‖X‖ ‖Y ‖+ ‖Y ‖2 = (‖X‖+ ‖Y ‖)2,
o que implica (iii). A segunda desigualdade triangular resulta da primeira. De fato,
‖X‖ = ‖(X − Y ) + Y ‖ ≤ ‖X − Y ‖+ ‖Y ‖ .
Logo,
‖X‖ − ‖Y ‖ ≤ ‖X − Y ‖ . (¶2)
Trocando X por Y , vem que
‖Y ‖ − ‖X‖ ≤ ‖Y −X‖ = ‖X − Y ‖ . (¶3)
Agora, juntando (¶2) e (¶3), segue-se que
−‖X − Y ‖ ≤ ‖X‖ − ‖Y ‖ ≤ ‖X − Y ‖ ,
o que e´ equivalente a
| ‖X‖ − ‖Y ‖ | ≤ ‖X − Y ‖ ,
e esta´ pronto o corola´rio. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Neste ponto, tomamos duas n-uplas na˜o-nulas X e Y . Da desigualdade de Cauchy-
Schwarz, obtemos que
−1 ≤ X · Y‖X‖ ‖Y ‖ ≤ 1.
Logo, existe um u´nico nu´mero real θ ∈ [0, pi] tal que
cos θ =
X · Y
‖X‖ ‖Y ‖ .
Posto isto, temos a seguinte definic¸a˜o.
1.2.20
Definic¸a˜o Dadas as n-uplas na˜o-nulas X e Y , o nu´mero real
∠(X, Y ) = arccos X · Y‖X‖ ‖Y ‖ .
e´ chamado aˆngulo entre X e Y .
14 Produto Interno e Norma
1.2.21
Exemplo Sejam X = (1, 2, 1, 0) e Y = (1, 1, 3, 1) dois elementos do R4. Enta˜o, ‖X‖ = √6,
‖Y ‖ = 2√3 e X · Y = 6. Logo, ∠(X, Y ) = arccos 6
2
√
18
= arccos
√
2
2
=
pi
4
.
Observac¸a˜o Seja V um espac¸o vetorial qualquer sobre R, de dimensa˜o finita ou na˜o. Um
produto interno em V e´ definido como sendo uma forma bilinear sime´trica e
positiva definida, que indicamos por 〈 , 〉. Isto significa que se X, Y, Z ∈ V e a ∈ R, enta˜o
devem valer:
(i) 〈X,X〉 ≥ 0, e 〈X,X〉 = 0 se, e somente se, X e´ o vetor nulo de V;
(ii) 〈X, Y 〉 = 〈Y,X〉;
(iii) 〈X, Y + Z〉 = 〈X, Y 〉+ 〈X,Z〉;
(iv) a〈X, Y 〉 = 〈aX, Y 〉 = 〈X, aY 〉.
Note que o produto escalar · que definimos para o Rn satisfaz estas propriedades, como indica a
proposic¸a˜o 1.2.2. O que queremos chamar a atenc¸a˜o aqui e´ que todo o conteu´do desta subsec¸a˜o
poderia ser aplicado para o espac¸o V, com apenas uma mudanc¸a, a saber: a troca do produto
escalar · por 〈 , 〉. Em particular, ter´ıamos a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
|〈X, Y 〉| ≤ ‖X‖ ‖Y ‖,
onde, e´ claro, ‖X‖ = √〈X,X〉. Esta norma tambe´m satisfaz as propriedades do corola´rio 1.2.19.
Para finalizar esta subsec¸a˜o, consideraremos em Rn a distaˆncia induzida por sua norma.
1.2.22
Definic¸a˜o A distaˆncia entre as n-uplas X e Y , indicada por d(X, Y ), e´ o nu´mero real
d(X, Y ) = ‖Y −X‖ =
√
(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + · · ·+ (yn − xn)2.
(A figura 7 sugere, tambe´m, esta definic¸a˜o.)
1.2.23
Exemplo Se X = (1, 2, 3,−1, 2), Y = (1, 1, 2, 0, 1), enta˜o d(X, Y ) = 2.
1.2.24
Proposic¸a˜o Sejam X, Y, Z ∈ Rn. A distaˆncia tem as seguintes propriedades.
(i) d(X, Y ) ≥ 0, e d(X, Y ) = 0 se, e somente se, X = Y ;
(ii) d(X, Y ) = d(Y,X);
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 15
(iii) d(X,Z) ≤ d(X, Y ) + d(Y, Z).
Demonstrac¸a˜o: Para (ii) basta observar que ‖Y −X‖ = ‖X − Y ‖. Vejamos (iii).
d(X,Z) = ‖Z −X‖
= ‖(Z − Y ) + (Y −X)‖
≤ ‖Z − Y ‖+ ‖Y −X‖
≤ d(X, Y ) + d(Y, Z),
onde a desigualdade obtida vem do corola´rio 1.2.19, item (iii). pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
1.3
Retas e Planos
Como vimos fazendo ate´ aqui, para definirmos reta e plano no Rn, usaremos alguns argu-
mentos geome´tricos no espac¸o euclidiano R2.
A figura 10 ao lado mostra a dupla P , os
vetores V 6= O e N (perpendicular a V ) e a reta
l que passa por P e e´ paralela a V . Se X e´ um
ponto qualquer de l, enta˜o o vetor X−P deve ser
um mu´ltiplo de V , isto e´, existe t ∈ R tal que
X − P = tV,
ou
X = P + tV,
equac¸a˜o que descreve os pontos de l, e motiva a
seguinte definic¸a˜o.
O
s -
6
x
y
Figura 10: Reta passando por P
e paralela a V
s�����
��
��
�
��
��
��
��
��
��
��
�
��
�*
��
��
�*sX
�����
P
X − P
��
�*
A
A
AK
V
N
l = P + [V ]
[V ]
1.3.1
Definic¸a˜o Dados P, V ∈ Rn, V 6= O, o subconjunto l = P + [V ], onde [V ] indica o
subespac¸o gerado por V , e´ chamado reta que passa por P e e´ paralela ao vetor V .
Assim,
l = {X ∈ Rn; X = P + tV, t ∈ R}.
A equac¸a˜o X = P + tV e´ a equac¸a˜o parame´trica de l.
1.3.2
Exemplo Dados P,Q ∈ Rn, P 6= Q, a reta que passa por P (ou Q) e e´ paralela ao vetor
Q− P e´ a reta lPQ = P + [Q−P ]. Para t = 1, obtemos X = P + t(Q− P ) = Q.
16 Retas e Planos
Logo, Q ∈ l, o que implica que l e´ a reta que passa por P e Q. Deixando t percorrer o intervalo
fechado [0, 1], obtemos o subconjunto [P,Q] ⊂ lPQ, o qual
chamaremos de segmento de reta ligando P a Q. Assim,
[P,Q] = {X = P + t(Q− P ); 0 ≤ t ≤ 1}.
Para t = 1/2, obtemos
M = P +
1
2
(Q− P ) = P +Q
2
∈ [P,Q],
��
��
�
Figura 11: Segmento [P,Q]
P
QM
sss
o ponto me´dio de [P,Q]. Observe que d(M,P ) = d(M,Q) = ‖M − P‖ = ‖M −Q‖ = d(P,Q)/2.
1.3.3
Exemplo Tomemos, em R2, P = (x0, y0) e V = (v1, v2) 6= (0, 0). Se
X = (x, y) ∈ l = P + [V ] = {X = (x, y) = (x0, y0) + t(v1, v2), t ∈ R}
e´ um ponto qualquer de l, enta˜o x = x0 + tv1 e y = y0 + tv2, t ∈ R. Donde
v2x = v2x0 + tv2v1 e v1y = v1y0 + tv1v2
e, portanto,
ax+ by = c,
onde a = −v2, b = v1 e c = ax0 + by0. Esta e´ a equac¸a˜o cartesiana de l, forma usual nos textos
elementares de Geometria Anal´ıtica, e que pode ser reescrita como
(X − P ) ·N = 0,
onde N = (a, b) = (−v2, v1) e´ perpendicular a V e, portanto, a l (veja o exemplo 1.2.9).
Observac¸a˜o Uma reta l = P + [V ] na˜o determina unicamente P e V . De fato, se Q ∈ l e´
um ponto qualquer de l e W = λV , λ 6= 0, enta˜o l = Q+ [W ].
1.3.4
Definic¸a˜o Duas retas no Rn, l1 = P + [V ] e l2 = Q + [W ], sa˜o ditas paralelas se V e W
sa˜o linearmente dependentes.
1.3.5
Exemplo Sejam l1 = P + [V ] e l2 = Q + [W ] duas retas no R2 que na˜o sa˜o paralelas.
Logo, como nossa intuic¸a˜o espera, l1 e l2 devem se tocar num u´nico ponto (o
que pode na˜o ocorrer em dimenso˜es maiores que 2, como mostra o exemplo 1.3.6). Com efeito,
{V,W} e´ uma base do R2 (por queˆ?) e, portanto, devem existir u´nicos t1, t2 ∈ R tais que
Q− P = t1V + t2W . Donde, Q− t2W = P + t1V . Mas P + t1V ∈ l1 e Q− t2W ∈ l2. Logo, l1
e l2 se interceptam em R = Q− t2W = P +t1V .
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 17
1.3.6
Exemplo Sejam l1 = P + [V ] e l2 = Q+ [W ], onde P = (1, 0, 0), Q = (0, 1, 0), V = (1, 1, 1)
e W = (1, 1, 0). Os vetores V e W sa˜o linearmente independentes, o que resulta
de uma simples observac¸a˜o de suas terceiras coordenadas. Assim, l1 e l2 na˜o sa˜o paralelas.
Entretanto, ao contra´rio do que ocorre no plano (exemplo 1.3.5), l1 e l2 na˜o se interceptam. De
fato, se R e´ um ponto onde estas retas se interceptam, enta˜o
R = P + t1V = (1 + t1, t1, t1) e R = Q+ t2W = (t2, 1 + t2, 0),
para alguns t1, t2 ∈ R. Isto implica que t2 = 1 = −1, um absurdo. Portanto, devemos mesmo
ter l1 ∩ l2 = ∅.
Nosso objetivo agora e´ construir planos no Rn. Comec¸aremos trabalhando em R3.
Sejam V e W dois vetores linearmente independentes em R3, localizados em P , como
mostra a figura 12.
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
6
z
-
y
pi = P + [{V,W}]
�
�
�
�
�	x
��
��
��
��
@
@
@
@
@
@
@
@
��
��*
@
@
@
�
�
�
@
@
@
@R
��
�*
XXXXXXXXz
@
@
@R
V
sV
W
tW
sXX − Pss
P
O s
Figura 12: Plano que passa por P e e´ paralelo a V e W
Seja pi = P + [{V,W}] o plano que passa por P e e´ paralelo aos vetores V e W . Dado X ∈ pi, o
vetor X − P esta´ no subespac¸o gerado pelos vetores V e W . Logo, existem escalares s e t tais
que X − P = sV + tW , donde X = P + sV + tW .
1.3.7
Definic¸a˜o Dados P, V,W ∈ Rn com {V,W} linearmente independente, o subconjunto
pi = P + [{V,W}], onde [{V,W}] e´ o subespac¸o gerado por {V,W}, e´ chamado
plano que passa por P e e´ paralelo aos vetores V e W . Em outras palavras,
pi = {X ∈ Rn; X = P + sV + tW, s, t ∈ R}.
A equac¸a˜o X = P + sV + tW e´ a equac¸a˜o parame´trica de pi.
1.3.8
Exemplo Sejam P,Q,R ∈ Rn treˆs pontos tais que o triaˆngulo 4PQR seja na˜o-degenerado,
isto e´, os vetores V = Q−P e W = R−P sa˜o linearmente independentes. Enta˜o,
o plano
pi = P + [{V,W}] = {X ∈ Rn; X = P + s(Q− P ) + t(R− P ), s, t ∈ R}
18 Retas e Planos
conte´m os pontos Q e R. Para ver isto, ponha s = 1 e t = 0, para obter Q, e s = 0 e t = 1, para
encontrar R. Este e´ o plano que passa pelos pontos P,Q,R, que indicaremos por piPQR. Como
caso particular, tomemos, em R3, os pontos P = (0, 0, 2), Q = (4, 1, 0) e R = (1, 1, 1). Enta˜o,
V = (4, 1,−2) e W = (1, 1,−1), e piPQR fica
piPQR = {(x, y, z) = (0, 0, 2) + s(4, 1,−2) + t(1, 1,−1), s, t ∈ R}
= {(x, y, z) = (4s+ t, s+ t, 2− 2s− t), s, t ∈ R},
Eliminando s e t na equac¸a˜o parame´trica obtida, obtemos que
piPQR = {(x, y, z); x+ 2y + 3z = 6},
que e´ a forma cartesiana de piPQR. Note que os coeficientes desta u´ltima equac¸a˜o, a saber, 1,
2 e 3, da˜o origem ao vetor N = (1, 2, 3) que, como e´ fa´cil de ver, e´ perpendicular aos vetores
V e W . Portanto, N e´ tambe´m perpendicular a piPQR. A seguinte proposic¸a˜o generaliza esta
situac¸a˜o.
1.3.9
Proposic¸a˜o Seja pi = P + [{V,W}] um plano do R3. Enta˜o existe N = (a, b, c), na˜o-nulo,
perpendicular a V e W (e portanto perpendicular a pi) tal que
pi = {X ∈ R3; (X − P ) ·N = 0} = {(x, y, z); ax+ by + cz = d},
onde d = N · P .
Demonstrac¸a˜o: Sejam P = (p1, p2, p3), V = (v1, v2, v3) e W = (w1, w2, w3). Assim,
pi = {(x, y, z) = (p1 + sv1 + tw1, p2 + sv2 + tw2, p3 + sv3 + tw3), s, t ∈ R}. (¶4)
Como V e W sa˜o linearmente independentes, a matrizv1 w1v2 w2
v3 w3

tem posto 2. Resulta da´ı, que pelo menos uma das matrizes(v1 w1
v2 w2
)
,
(
v1 w1
v3 w3
)
e
(
v2 w2
v3 w3
)
tem determinante na˜o-nulo. Logo, podemos supor, sem perda de generalidade, que a primeira
destas matrizes tem inversa, a qual e´ dada por(
v1 w1
v2 w2
)−1
=
1
v1w2 − v2w1
(
w2 −w1
−v2 v1
)
.
Seja X = (x, y, z) ∈ pi um ponto qualquer. De (¶4) vem que(
x− p1
y − p2
)
=
(
v1 w1
v2 w2
)(
s
t
)
z − p3 = (v3 w3)
(
s
t
)
.
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 19
Logo,
z − p3 = (v3 w3)
(
v1 w1
v2 w2
)−1(
x− p1
y − p2
)
=
1
v1w2 − v2w1 (v3 w3)
(
w2 −w1
−v2 v1
)(
x− p1
y − p2
)
.
Donde,
(v2w3 − v3w2)(x− p1) + (v3w1 − v1w3)(y − p2) + (v1w2 − v2w1)(z − p3) = 0,
ou (X − P ) ·N = 0, onde
N = (v2w3 − v3w2, v3w1 − v1w3, v1w2 − v2w1).
A equac¸a˜o (X − P ) ·N = 0 implica, em particular, que N e´ perpendicular aos vetores V e W .
De fato, tomando X = P + V ∈ pi, temos que (X − P ) · N = V · N = 0. Da mesma forma,
vemos que W ·N = 0. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
A equac¸a˜o (X−P ) ·N = 0, obtida para planos no R3, serve, como vimos no exemplo 1.3.3,
tambe´m para retas em R2. Isto sugere a seguinte definic¸a˜o.
1.3.10
Definic¸a˜o Sejam P,N ∈ Rn, onde N e´ um vetor na˜o-nulo. O subconjunto
H = {X ∈ Rn; (X − P ) ·N = 0}
e´ chamado hiperplano que passa por P e e´ perpendicular a N .
Observac¸a˜o Os hiperplanos de R2 sa˜o retas; os do R3 sa˜o os planos. Por analogia a estes
casos e´ de se esperar que a “dimensa˜o” destes objetos dependa do ambiente no
qual eles habitam. Um hiperplano H ⊂ Rn deve ter dimensa˜o n− 1.
1.3.11
Exemplo Seja H = {X = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4; x1 + x2 − 2x3 − x4 = 1}. Temos que H e´ o
hiperplano do R4 que e´ perpendicular a N = (1, 1,−2,−1) e passa, por exemplo,
por P = (0, 0, 0,−1). Agora observe que X ∈ H se, e somente se,
X = (x1, x2, x3, x1 + x2 − 2x3 − 1) = P + x1(1, 0, 0, 1) + x2(0, 1, 0, 1) + x3(0, 0, 1,−2),
o que mostra que os pontos de H sa˜o descritos por uma equac¸a˜o parame´trica a treˆs paraˆmetros.
Isto basta para sentir que a dimensa˜o de H e´ 3.
1.3.12
Produto Vetorial
Devido ao seu valor geome´trico, o vetor N constru´ıdo na proposic¸a˜o 1.3.9 merece destaque
especial. Nesta subsec¸a˜o colocaremos as propriedades ba´sicas deste vetor.
20 Retas e Planos
1.3.13
Definic¸a˜o Sejam X = (x1, x2, x3) e Y = (y1, y2, y3) duas triplas em R3. O produto vetorial
de X por Y , denotado por X × Y (ou X ∧ Y ), e´ definido por
X × Y = (x2y3 − x3y2, x3y1 − x1y3, x1y2 − x2y1),
que pode ser facilmente lembrado expandindo o determinante abaixo ao longo da primeira linha:
X × Y =
∣∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
x1 x2 x3
y1 y2 y3
∣∣∣∣∣∣∣ = (x2y3 − x3y2)e1 + (x3y1 − x1y3)e2 + (x1y2 − x2y1)e3,
onde {e1, e2, e3} e´ a base canoˆnica do R3.
1.3.14
Exemplo Sejam X = (1, 1, 2) e Y = (3,−1, 1). O produto vetorial de X por Y e´ o vetor
X × Y =
∣∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
1 1 2
3 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 3e1 + 5e2 − 4e3 = (3, 5,−4).
Note que (X ×Y ) ·X = (3, 5,−4) · (1, 1, 2) = 0. Tambe´m (X ×Y ) ·Y = 0, o que diz que X ×Y
e´ perpendicular a X e a Y . Esta propriedade e´ verdadeira em geral, como veremos a seguir.
1.3.15
Proposic¸a˜o Sejam X, Y, Z ∈ R3 e a ∈ R. As seguintes propriedades sa˜o verificadas.
(i) X × Y = −Y ×X;
(ii) a(X × Y ) = (aX)× Y = X × (aY );
(iii) X × (Y + Z) = X × Y +X × Z;
(iv) (X × Y ) · Z = det (X, Y, Z);
(v) ‖X × Y ‖2 = ‖X‖2 ‖Y ‖2 − (X · Y )2,
onde (X, Y, Z) indica a matriz cujas colunas (ou linhas) sa˜o as triplas X, Y e Z, olhadas como
matrizes 3× 1. Assim,
det (X, Y, Z) =
∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
∣∣∣∣∣∣ .
Demonstrac¸a˜o: A demonstrac¸a˜o destas propriedades e´ feita via computac¸a˜o direta,
usando a definic¸a˜o 1.3.13. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 21
1.3.16
Corola´rio Se X, Y ∈ R3, enta˜o
‖X × Y ‖ = ‖X‖ ‖Y ‖ sen∠(X, Y ).
(Geometricamente, isto significa que a a´rea do paralelogramo gerado por X e Y e´ ‖X × Y ‖.)
Demonstrac¸a˜o: O item (v) da proposic¸a˜o 1.3.15,
junto com a equac¸a˜o da proposic¸a˜o 1.2.8, implica que
‖X × Y ‖ =
√
‖X‖2 ‖Y ‖2 − (X · Y )2
=
√
‖X‖2 ‖Y ‖2 (1− cos2∠(X, Y ))
= ‖X‖ ‖Y ‖ sen∠(X, Y )
,
o que quer´ıamos. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrrrrr
rrrr
O
s A
�
Figura 13: Paralelogramo gerado por X e Y
�
�
�
�
�
�
���
��
��
��
��
��*
A
A
A
A
A
Y
��
��
��
��
��*
�
�
�
�
�
�
���
h = ‖Y ‖ sen θ
X
θppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
1.3.17
Corola´rio Os vetoresX, Y ∈ R3 sa˜o linearmente dependentes se, e somente se, X×Y = O.
Demonstrac¸a˜o: X e Y sa˜o linearmente dependentes se, e somente se, sen∠(X, Y ) = 0.
Agora e´ so´ aplicar o corola´rio 1.3.17. ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
1.3.18
Corola´rio Se X, Y ∈ R3, enta˜o det (X, Y,X × Y ) = ‖X × Y ‖2. Em particular, se X e Y
sa˜o linearmente independentes, enta˜o {X, Y,X×Y } e´ uma base com a mesma
orientac¸a˜o da base canoˆnica.
Demonstrac¸a˜o: Usando o item (iv) da proposic¸a˜o 1.3.15, vem que
det (X, Y,X × Y ) = (X × Y ) · (X × Y ) = ‖X × Y ‖2 .
Agora, como X e Y sa˜o linearmente inde-
pendentes, temos que X × Y 6= O, o que
vem do corola´rio 1.3.17. Portanto,
det (X, Y,X × Y ) = ‖X × Y ‖2 > 0,
e obtemos que (X, Y,X × Y ), que e´ a ma-
triz de passagem da base {X, Y,X × Y }
para a base canoˆnica, tem determinante
positivo, isto e´, tem a mesma orientac¸a˜o
que a base canoˆnica. Geometricamente,
isto significa que {X, Y,X × Y } esta´ posi-
cionada no espac¸o de modo ana´logo a` base
{e1, e2, e3}, como mostra a figura 14. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
C
C
C
C
@
��
6
e3
-
e2�
�
�	
e1
sCCC
C
C
C
C
COX × Y
��
��
��1
Y
@
@
@
@
@R
X
s
Figura 14: Produto Vetorial
22 Retas e Planos
1.3.19
Corola´rio Se X, Y ∈ R3 sa˜o ortonormais (unita´rios e ortogonais), enta˜o {X, Y,X × Y } e´
uma base ortonormal do R3.
Demonstrac¸a˜o: Falta verificar que X × Y e´ tambe´m unita´rio. Isto segue-se facilmente
de (v) da proposic¸a˜o 1.3.15. Com efeito,
‖X × Y ‖2 = ‖X‖2 ‖Y ‖2 − (X · Y )2 = 1− 0 = 1. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
1.3.20 [Duplo Produto Vetorial]
Corola´rio SeX, Y, Z ∈ R3, enta˜o vale a fo´rmula do duplo
produto vetorial:
(X × Y )× Z = (X · Z)Y − (Y · Z)X.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos, inicialmente, que X e Y sejam ortonormais. Logo,
{X, Y,X × Y } e´ uma base ortonormal do R3, e isto implica que existem (e sa˜o u´nicos) nu´meros
reais c1, c2 e c3 tais que Z = c1X + c2Y + c3X × Y . Na realidade, c1 = X · Z, c2 = Y · Z e
c3 = (X×Y ) ·Z. Como (X×Y )×Z e´ perpendicular a X×Y , vem que ele deve ser combinac¸a˜o
linear de X e Y . Portanto,
(X × Y )× Z = aX + bY,
onde a = ((X × Y )× Z) ·X e b = ((X × Y )× Z) · Y . Mas
((X × Y )× Z) ·X = det (X × Y, Z,X)
= det (X × Y, c1X + c2Y + c3X × Y,X)
= c2 det (X × Y, Y,X)
= −c2 det (X, Y,X × Y )
= −c2 ‖X × Y ‖2 = −c2 = −Y · Z.
Analogamente, vemos que ((X × Y ) × Z) · Y = c1 = X · Z. Logo, a = −Y · Z e b = X · Z, o
que prova a fo´rmula do duplo produto vetorial para o caso onde X e Y sa˜o ortonormais. Para
estendeˆ-la para o caso onde X e Y sa˜o apenas ortogonais, tomamos os unita´rios uX e uY . Logo
(uX × uY )× Z = (uX · Z)uY − (uY · Z)uX ,
ou, equivalentemente,
1
‖X‖ ‖Y ‖(X × Y )× Z =
1
‖X‖ ‖Y ‖(X · Z)Y −
1
‖X‖ ‖Y ‖(Y · Z)X,
que simplificada da´
(X × Y )× Z = (X · Z)Y − (Y · Z)Y,
e a fo´rmula do duplo produto vetorial funciona tambe´m quando X e Y sa˜o ortogonais. Para o
caso geral, onde X e Y sa˜o linearmente independentes, recorremos a` projec¸a˜o de Y sobre X,
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 23
PXY . Da proposic¸a˜o 1.2.16 vem que PXY = λX, onde λ = (X · Y )/ ‖X‖2, e que Y − PXY e´
perpendicular a X. Logo,
(X × (Y − PXY ))× Z = (X · Z) (Y − PXY )− ((Y − PXY ) · Z)X. (¶5)
Mas
X × (Y − PXY ) = X × Y −X × PXY = X × Y,
visto que PXY e´ paralelo a X, e
(X · Z)(Y − PXY )− ((Y − PXY ) · Z)X = (X · Z)Y − (X · Z)PXY − (Y · Z)X + (PXY · Z)X
= (X · Z)Y − (Y · Z)X − λ((X · Z)X − (X · Z)X)
= (X · Z)Y − (Y · Z)X.
Assim, (¶5) fica:
(X × Y )× Z = (X · Z)Y − (Y · Z)X.
A fo´rmula do duplo produto vetorial agora vale sempre queX e Y sa˜o linearmente independentes.
O caso onde X e Y sa˜o linearmente dependente (Y = kX) e´ trivial: a fo´rmula tem ambos os
membros nulos, como pode ser facilmente verificado pelo leitor. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
1.3.21
Corola´rio Sejam T e N dois vetores ortonormais do R3. Se B = T×N , enta˜o B × T = N
e N ×B = T .
Demonstrac¸a˜o: A fo´rmula do duplo produto vetorial da´ que
B × T = (T ×N)× T = (T · T )N − (N · T )T = N,
visto que ‖T‖ = 1 e T ·N = 0. Agora convidamos o leitor a provar que N ×B = T . pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
1.3.22
Exemplo Sejam e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). Um ca´lculo direto mostra que
e1 × e2 = e3. Logo, e2 × e3 = e1 e e3 × e1 = e2. Em particular,
(e1 × e2)× e2 = e3 × e2 = −e1
e1 × (e2 × e2) = e1 ×O = O,
o que implica que (e1 × e2)× e2 6= e1 × (e2 × e2) e mostra que o produto vetorial, em geral, na˜o
e´ associativo. O pro´ximo corola´rio mostra quando o produto vetorial e´ associativo.
24 Retas e Planos
1.3.23
Corola´rio Dados vetores X, Y e Z em R3, enta˜o X × (Y × Z) = (X × Y ) × Z se, e
somente se, (X · Y )Z = (Y · Z)X.
Demonstrac¸a˜o: Usando o corola´rio 1.3.20 temos que
X × (Y × Z) = −(Y × Z)×X = −((X · Y )Z − (X · Z)Y ) = (X · Z)Y − (X · Y )Z,
que comparado com
(X × Y )× Z = (X · Z)Y − (Y · Z)X,
mostra que X × (Y × Z) = (X × Y )× Z se, e somente se, (X · Y )Z = (Y · Z)X. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
1.3.24
Distaˆncia de um Ponto a uma Reta
Seja l = P + [V ] uma reta no Rn. Dado
Q ∈ Rn um ponto qualquer, seja Y = Q− P ,
como mostra a figura 15. A projec¸a˜o de Y sobre
V e´ dada por
PV Y = λV, onde λ =
Y · V
‖V ‖2 .
Como a figura 15 mostra e´ bastante razoa´vel se
esperar que a distaˆncia de Q a l, que indicaremos
por d(Q, l), definida como sendo o mı´nimo das
distaˆncias de Q a pontos de l, isto e´,
d(Q, l) = min{d(Q,X), X ∈ l},
��
��
��
��
��
��
�
����
Figura 15
�
�
�
�
�
�
���
A
A
A
A
AK
��
��
�*
Y = Q− P
Qs
��
��
��
��
��*
PV Y
Y − PV Y
V
l = P + [V ]
sQ′
P
s
seja atingida no ponto Q′ ∈ l, a projec¸a˜o ortogonal de Q sobre l, dado por
Q′ = P + PV Y = P + λV = P +
(Q− P ) · V
‖V ‖2 V.
Portanto,
(d(Q, l))2 = ‖Y − PV Y ‖2
=
∥∥∥∥(Q− P )− (Q− P ) · V‖V ‖2 V
∥∥∥∥2
= ‖Q− P‖2 − 2(Q− P ) · ((Q− P ) · V‖V ‖2 V ) +
((Q− P ) · V )2
‖V ‖4 ‖V ‖
2
=
‖Q− P‖2 ‖V ‖2 − ((Q− P ) · V )2
‖V ‖2 ,
o que produz o seguinte resultado.
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 25
1.3.25
Proposic¸a˜o Seja l = P +[V ] a reta do Rn que passa por P e e´ paralela a V . Dado Q ∈ Rn
a distaˆncia de Q a l e´ dada por
d(Q, l) =
√
‖Q− P‖2 ‖V ‖2 − ((Q− P ) · V )2
‖V ‖ .
Ale´m disto, o ponto Q′ ∈ l onde esta distaˆncia e´ atingida e´ dado por
Q′ = P +
(Q− P ) · V
‖V ‖2 V.
A partir desta proposic¸a˜o obtemos as fo´rmulas usuais da distaˆncia de um ponto a uma
reta, em R3 e R2, como mostram os corola´rios 1.3.27 e 1.3.28.
1.3.26
Exemplo Sejam P = (1, 0,−2, 3), Q = (1, 1, , 0, 2) e V = (1, 1,−1, 1), e consideremos a
reta l = P + [V ]. Temos que ‖Q− P‖2 = 6, (Q− P ) · V = −2 e ‖V ‖ = 2. Logo,
usando a proposic¸a˜o 1.3.25, a distaˆncia de Q a l e´
d(Q, l) =
√
‖Q− P‖2 ‖V ‖2 − ((Q− P ) · V )2
‖V ‖ =
√
5.
O ponto Q′ ∈ l onde d(Q, l) e´ atingida e´ dado por
Q′ = P +
(Q− P ) · V
‖V ‖2 V = (1, 0,−2, 3)−
1
2
(1, 1,−1, 1) = 1
2
(1,−1,−3, 5).
Sugerimos ao leitor o ca´lculo de d(Q,Q′) que, claro, deve produzir
√
5.
1.3.27
Corola´rio Seja l = P + [V ] a reta do R3 que passa por P e e´ paralela a V . Dado Q ∈ R3
a distaˆncia de Q a l e´ dada por
d(Q, l) =
‖(Q− P )× V ‖
‖V ‖ .
Demonstrac¸a˜o: Resulta de (v), proposic¸a˜o 1.3.15,junto com a proposic¸a˜o 1.3.25. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
1.3.28
Corola´rio Seja l = P + [V ] a reta do R2 que passa por P = (x1, x2) e e´ paralela a
V = (v1, v2). Dado Q = (x0, y0) a distaˆncia de Q a l e´ dada por
d(Q, l) =
|ax0 + by0 − c|√
a2 + b2
,
26 Retas e Planos
onde N = (a, b) = (−v2, v1) e´ normal a l e c = ax1 + bx2. (Neste caso, a equac¸a˜o cartesiana de
l e´: ax+ by = c.)
Demonstrac¸a˜o: Visando utilizar o corola´rio 1.3.27, mergulharemos R2 em R3, isto e´,
olharemos uma dupla X = (x1, x2), como sendo a tripla X = (x1, x2, 0). Assim,
d(Q, l) =
‖(x0 − x1, y0 − y1, 0)× (v1, v2, 0)‖
‖(v1, v2, 0)‖ ,
que expressa em termos de a = −v2, b = v1 e c = ax1 + bx2 fica:
d(Q, l) =
‖(0, 0,−ax0 − by0 + c)‖
‖(b,−a, 0)‖ =
|ax0 + by0 − c|√
a2 + b2
. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
1.3.29
Distaˆncia de um Ponto a um Hiperplano
Seja pi o plano do R3 que e´ perpendicular a N e passa por P , conforme mostra a figura 16.
Dado Q ∈ R3, a distaˆncia de Q a pi, d(Q, pi), e´ definida como sendo o mı´nimo das distaˆncias de
Q a pontos de pi, isto e´,
d(Q, pi) = min{d(Q,X); X ∈ pi}.
Seja l a reta que passa por Q e e´ paralela a N . Temos que l intercepta (ortogonalmente) pi no
ponto
Q′ = Q− PN(Q− P ) = Q− (Q− P ) ·N‖N‖2 N,
onde PN(Q− P ) e´ a projec¸a˜o de Q− P sobre N .
Fixemos X ∈ pi um ponto arbitra´rio. Como Q − Q′ e´ perpendicular a pi, ele e´ perpendicular a
X −Q′. Usando o teorema de Pita´goras (veja proposic¸a˜o 1.2.17), vem que
‖X −Q‖2 = ‖X −Q−Q′ +Q′‖2
= ‖X −Q′‖2 + ‖Q−Q′‖2
≥ ‖Q−Q′‖2
e, portanto, obtemos
‖Q−Q′‖ ≤ ‖X −Q‖ , ∀X ∈ pi.
Segue-se, enta˜o, que d(Q, pi) e´ atingida em Q′ e
d(Q, pi) = ‖Q−Q′‖ =
∥∥∥∥(Q− P ) ·N‖N‖2 N
∥∥∥∥ = |(Q− P ) ·N |‖N‖ .
Isto prova a seguinte proposic¸a˜o.
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrX
��
��
��
��
��
�
XXXXXXXX
@
@
@
@
@
@
@
@
C
C
C
C
C
C
C
C
Q
d(Q, pi) d(Q,X)
Q′
pi
Q− P6
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
N
P
s sXs
Figura 16
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 27
1.3.30
Proposic¸a˜o Seja H o hiperplano do Rn que e´ perpendicular a N e passa por P . Dado
Q ∈ Rn, a distaˆncia de Q a H e´ dada por
d(Q,H) =
|(Q− P ) ·N |
‖N‖ .
Mais ainda, d(Q,H) e´ atingida no ponto de H
Q′ = Q− (Q− P ) ·N‖N‖2 N.
Em particular, para n = 3, Q = (x0, y0, z0), N = (a, b, c) e d = N ·P , a distaˆncia de Q ao plano
H fica:
d(Q,H) =
|ax0 + by0 + cz0 − d|√
a2 + b2 + c2
.
1.3.31
Exemplo A distaˆncia de Q = (3,−2, 1) ao plano pi de equac¸a˜o cartesiana 2x− 2y − z = −9
vale
d(Q, pi) =
|(3,−2, 1) · (2,−2,−1) + 9|
3
= 6.
Agora se X = (x, y, z) e´ um ponto qualquer de pi, enta˜o
X = (x, y, 2x− 2y + 9) = (0, 0, 9) + x(1, 0, 2) + y(0, 1,−2) = P + xV + yW,
onde P = (0, 0, 9), V = (1, 0, 2) e W = (0, 1,−2). Logo, pi = P + [{V,W}], e obtemos uma
representac¸a˜o parame´trica para pi.
1.3.32
Exemplo Sejam l1 = P + [V ] e l2 = Q+ [W ] duas retas em Rn. Se V e W sa˜o linearmente
independentes, ha´ duas possibilidades para a intersec¸a˜o l1 ∩ l2, a saber:
(i) l1 ∩ l2 e´ um ponto, digamos l1 ∩ l2 = {R};
(ii) l1 ∩ l2 e´ vazio.
No primeiro caso, o plano pi = R + [{V,W}] conte´m l1 e l2, e dizemos que l1 e l2 sa˜o retas
coplanares. Ja´ em (ii), na˜o existe um plano que contenha ambas as retas, e diremos que l1 e l2
sa˜o retas reversas. O leitor deve observar que as retas do exemplo 1.3.6 sa˜o retas reversas em
R3. Suponhamos, agora, que os vetores V e W sejam linearmente dependentes. Obtemos, outra
vez, duas alternativas:
(iii) l1 e l2 sa˜o coincidentes, isto e´, l1 = l2;
(iv) l1 e l2 sa˜o paralelas e l1 ∩ l2 = ∅.
Em (iv), l1 e l2 sa˜o coplanares, visto que o plano pi = P + [{V,W}] = Q + [{V,W}], onde
W = Q− P , as conte´m.
28 Func¸o˜es Vetoriais
1.4
Func¸o˜es Vetoriais
Nesta sec¸a˜o, estudaremos as noc¸o˜es ba´sicas relacionadas com aplicac¸o˜es entre espac¸os
euclidianos de dimenso˜es quaisquer.
1.4.1
Definic¸a˜o Uma func¸a˜o vetorial e´ uma func¸a˜o com domı´nio D ⊂ Rn e contradomı´nio Rm,
isto e´, uma func¸a˜o do tipo
f : D ⊂ Rn −−−−−→ Rm
X −−−−−→ f(X) = (f1(X), f2(X), . . . , fm(X)),
onde X = (x1, x2, . . . , xn) ∈ D. Quando m = 1, diremos que f e´ uma func¸a˜o real. Ja´ quando
n = 1, f e´ dita uma func¸a˜o vetorial de uma varia´vel real. A imagem de f , denotada por Im(f),
ou por f(D), e´ o conjunto
Im(f) = f(D) = {Y ∈ Rm; Y = f(X), X ∈ D}.
Dizemos, tambe´m, que f parametriza o conjunto Im(f), ou que Im(f) e´ o conjunto parametri-
zado por f .
1.4.2
Definic¸a˜o Dada uma func¸a˜o vetorial
f : D ⊂ Rn −−−−−→ Rm
X −−−−−→ f(X) = (f1(X), f2(X), . . . , fm(X)),
as m func¸o˜es reais
f1 : D ⊂ Rn −−−−−→ R
X −−−−−→f1(X)
f2 : D ⊂ Rn −−−−−→ R
X −−−−−→f2(X)
...
fm : D ⊂ Rn −−−−−→ R
X −−−−−→fm(X)
sa˜o as func¸o˜es coordenadas de f .
1.4.3
Exemplo Seja f : R2 −→ R definida por f(x, y) = x2 + y2. Temos que f e´ uma func¸a˜o real
(de duas varia´veis) cuja imagem coincide com o intervalo [0,∞).
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 29
1.4.4
Exemplo Seja f(t) = (x0 + a cos t, y0 + b sen t), t ∈ [0, 2pi], onde a > 0, b > 0, x0 e y0 sa˜o
nu´meros reais fixados. A imagem de f ,
Im(f) = {(x, y) ∈ R2; x = x0 + a cos t, y = y0 + b sen t, t ∈ R}, (¶6)
coincide com a elipse de semi-eixos a e b, centrada em C = (x0, y0), que denotaremos por
E(C, a, b). De fato, se x e y sa˜o como em (¶6), enta˜o
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= cos2 t+ sen2 t = 1.
-f
O
C
s -
6
x
E(C, a, b)
y
r
q
qy0
x0
a
b
0 2pit
r
Figura 17: Elipse
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1
��
��*
rf(t)
r
f1(t)
rf2(t)
�
�
�
�
�
t
rP2 r
P1
Assim f parametriza E(C, a, b). A figura 17 mostra, em particular, a construc¸a˜o geome´trica
da func¸a˜o f : pelo ponto C = (x0, y0) trac¸amos a semi-reta que faz o aˆngulo t com o eixo-x.
Esta semi-reta intercepta os c´ırculos, centrados em C e de raios a e b, nos pontos P1 e P2,
respectivamente. Agora, por P1 trac¸amos uma
reta paralela ao eixo-y, e por P2 trac¸amos uma
reta paralela ao eixo-x. A intersec¸a˜o destas retas
e´ exatamente o ponto da elipse
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1
que indicamos por f(t). Em particular, se b = a,
obtemos que f parametriza o c´ırculo de centro
C = (x0, y0) e raio a, denotado por S
1(C, a). Ob-
serve que, neste caso, as func¸o˜es coordenadas de
f ficam assim:
f1(t) = x(t) = x0 + a cos t
f2(t) = y(t) = y0 + a sen t,
onde t ∈ [0, 2pi].
O
C
s -
6
x
S1(C, a)
y
r
q
qy0
x0
a
Figura 18: (x−x0)2 + (y−y0)2 = a2
ppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppp pppppppppp pppppppppp ppppppppp ppppppppp pppppppp pppppp pppppp ppppp ppppp pppp pppp pppppp ppppp ppppp pppp pppp ppppp pppp ppppp ppppp pppp ppp pp pp ppp ppp ppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppp pp ppp ppp pp ppp ppp pp pp pp ppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp ppp pp pp pp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppp ppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp pp pp ppp pppp ppppp ppppp pppp ppppp pppp pppp ppppp ppppp pppppp pppp pppp ppppp ppppp pppppp pppppp pppppppp ppppppppp ppppppppp ppppppppp ppppppppp pppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppp pppppppppp pppppppppp ppppppppp ppppppppp pppppppp pppppp pppppp ppppp ppppp pppp pppp pppppp ppppp ppppp pppp pppp ppppp pppp ppppp ppppp pppp ppp pp pp ppp ppp ppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppp pp ppp ppp pp ppp ppp pp pp pp ppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp ppp pp pp pp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppp ppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp pp pp ppp pppp ppppp ppppp pppp ppppp pppp pppp ppppp ppppp pppppp pppp pppp ppppp ppppp pppppp pppppp pppppppp ppppppppp ppppppppp ppppppppp ppppppppp pppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppp
�
�
���
r
f1(t)
rf2(t)
t
rf(t)
30 Func¸o˜es Vetoriais
1.4.5
Exemplo A func¸a˜o vetorial
g : R2 −−−−−→ R3
(u, v) −−−−−→ g(u, v) = (1 + u, 2 + v, u+ v)
tem func¸o˜es coordenadas
g1(u, v) = x(u, v) = 1 + u
g2(u, v) = y(u, v) = 2 + v
g3(u, v) = z(u, v) = u+ v,
(u, v) ∈ R2, e sua imagem coincide com o plano que passa por (1, 2, 0) e e´ paralelo aos vetores
(1, 0, 1) e (0, 1, 1).
1.4.6
Conjuntos Associados a Func¸o˜es Vetoriais
Estudaremos, agora, alguns subconjuntos do espac¸o euclidiano que desempenham papel
de grande relevaˆncia na descric¸a˜o das func¸o˜es vetoriais.
1.4.7 [Gra´ficos]
Definic¸a˜o Seja f : D ⊂ Rn −→ Rm, f(X) = (f1(X), f2(X), . . . , fm(X)), uma func¸a˜o
vetorial. O gra´fico de f , indicado por G(f), e´ definido por
G(f) = {(X, Y ) ∈ Rn+m; Y = f(X), X ∈ D}
= {(x1, x2, . . . , xn, f1(X), f2(X), . . . , fm(X)); X = (x1, x2, . . . , xn) ∈ D}.
Diremos, tambe´m, que G(f) e´ o conjunto definido explicitamente por f .
Observac¸a˜o Na definic¸a˜o acima, introduzimos uma nova notac¸a˜o, que sera´ u´til em outras
situac¸o˜es: dados X = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn e Y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rm, escre-
vemos (X, Y ) para representar a (n+m)-upla (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym).
1.4.8
Exemplo Seja f : [−1, 1] −→ R definida por
f(x) = x2. Temos que f e´ uma
func¸a˜o real de uma varia´vel real cuja imagem coin-
cide com o intervalo [0, 1], e cujo gra´fico e´ o sub-
conjunto do R2 dado por
G(f) = {(x, y); y = x2, x ∈ [−1, 1]},
que coincide com o arco da para´bola y = x2 que
se projeta sobre o intervalo [−1, 1].
−1 1O
-
6
x
y
Figura 19: Para´bola y = x2
s
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 31
1.4.9 [Parabolo´ide de Revoluc¸a˜o]
Exemplo Seja f : R2 −→ R, f(x, y) = x2 + y2, a qual
ja´ usamos no exemplo 1.4.3. O seu gra´fico,
que chamamos parabolo´ide de revoluc¸a˜o (ou rotac¸a˜o), e´ dado por
G(f) = {(x, y, z); z = x2 + y2}.
Para fazer um esboc¸o deste conjunto usamos o me´todo dos cortes por planos da forma z = c, isto
e´, planos paralelos ao plano-xy. Neste caso, quando cortamos G(f) pelo plano z = 4, obtemos,
neste plano, o c´ırculo de raio 2 e centro (0, 0, 4):
{(x, y, z); x2 + y2 = 4, z = 4}.
Mais geralmente, se cortamos G(f) com planos
z = a > 0, obtemos a´ı o c´ırculo de raio
√
a e centro
(0, 0, a). Note que, quando a < 0, a intersec¸a˜o e´
vazia, e coincide com a origem, quando a = 0. Isto
sugere que G(f) e´ um subconjunto de R3 obtido
pela rotac¸a˜o em torno do eixo-z de alguma curva
plana, por exemplo, do plano-xz. Esta curva e´
facilmente obtida, interceptando-se G(f) com o
plano y = 0, isto e´, com o plano-xz, o que produz
a para´bola z = x2. Como resultado, obtemos a
figura 20.
6
z
-
y�
�
�
�	x
Figura 20: Parabolo´ide z = x2 +y2
1.4.10 [Sela]
Exemplo A sela ou parabolo´ide hiperbo´lico e´ o gra´fico da func¸a˜o f(x, y) = y2 − x2,
(x, y) ∈ R2. Por na˜o ser um subconjunto obtido por rotac¸o˜es, o seu esboc¸o e´
um pouco mais trabalhoso. Comec¸ando com cortes por planos z = a ≥ 0, obtemos as hipe´rboles
{(x, y, z); y2 − x2 = a, z = a},
que se degeneram no par de retas y = ±x, quando a = 0, como mostra a figura 21-(a).
6
z
-
y�
�
�
�	x
Figura 21-(a)
6
z
-
y�
�
�
�	x
Figura 21-(b)
6
z
-
y�
�
�
�	x
Figura 21-(c): A sela z = y2 −x2
32 Func¸o˜es Vetoriais
Procedimento ana´logo, agora usando planos a ≤ 0, da´ a figura 21-(b). Os cortes de G(f) por
planos y = c produz para´bolas z = c2 − y2, que o leitor devera´ esboc¸ar. Finalmente, obtemos a
sela, como na figura 21-(c).
1.4.11 [He´lice Circular]
Exemplo Consideremos, ago-
ra, a func¸a˜o de uma
varia´vel
f : R −−−−−→ R2
t −−−−−→ f(t) = (a cos t, a sen t),
onde a > 0 e´ uma constante. O seu gra´fico,
G(f) = {(t, f(t)) = (t, a cos t, a sen t); t ∈ R},
e´ a he´lice circular de raio a, cujo eixo coincide com eixo-x,
como mostra a figura 22. Observe que a projec¸a˜o de
G(f) no plano-yz e´ o c´ırculo de raio a. Suas projec¸o˜es
no plano-xy e plano-xz sa˜o os gra´ficos das func¸o˜es reais
de uma varia´vel real y = a cosx e z = a senx, respecti-
vamente.
6
z
-
y�
�
�
�	
�
�
�
�
x
Figura 22: He´lice Circular
Observac¸a˜o O fato de coincidir com um gra´fico impo˜e restric¸o˜es a` forma de um subconjunto.
Pensando com uma func¸a˜o f : D ⊂ R2 −→ R, vem que
G(f) = {(x, y, z); z = f(x, y), (x, y) ∈ D}.
Isto significa que para cada (x, y) ∈ D, existe um u´nico ponto em G(f), a saber (x, y, f(x, y)).
Geometricamente, isto diz que a reta que passa por (x, y, 0) e e´ perpendicular ao plano-xy
intercepta G(f) em um u´nico ponto. Por exemplo, a esfera
S2(a) = {(x, y, z); x2 + y2 + z2 = a2} ⊂ R3
na˜o pode ser gra´fico de nenhuma func¸a˜o do tipo que es-
tamos considerando. De fato, ha´ retas perpendiculares
ao plano-xy que interceptam esta esfera em dois pontos.
Entretanto, parte dela, digamos seu hemisfe´rio superior,
e´ o conjunto definido explicitamente por
f : D[a] ⊂ R2 −−−−−→ R
(x, y) −−−−−→ f(x, y) =
√
a2 − x2 − y2,
onde D[a] = {(x, y); x2 + y2 ≤ a2} e´ o disco fechado de
raio a. Ja´ o hemisfe´rio inferior e´ o gra´fico de g = −f ,
isto e´, g(x, y) = −f(x, y), (x, y) ∈ D[a].
Figura 23
�
�
�	
s
x
-s
y
6s
z
r
r
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 33
Observac¸a˜o E´ muito comum na pra´tica nos referirmos a uma equac¸a˜o Y = f(x1, x2, . . . , xn),
onde o lado direito indica uma m-upla envolvendo os s´ımbolos x1, x2, . . ., xn,
como uma func¸a˜o. O que estamos pensando, na realidade, e´ na func¸a˜o f : D −→ Rm, onde D e´
o maior subconjunto de Rn, onde tal expressa˜o faz sentido.
1.4.12
Exemplo A expressa˜o
z =
√
4− x2 − y2 log (x2 + y2 − 1)
define uma func¸a˜o f no anel de R2 dado por
D = {(x, y); 1 < x2 + y2 ≤ 4}.
De fato, se x2+y2 ≤ 1, enta˜o na˜o existe log (x2 + y2 − 1),
e se x2 + y2 > 4 na˜o tem sentido
√
4− x2 − y2.
x
y
u
g
v
z
r
1
r
2
-
x
6
y
Figura 24: Anel
1.4.13 [Conjuntos de N´ıvel]
Definic¸a˜o Sejam f : D ⊂ Rn −→ Rm uma func¸a˜o vetorial e K
um vetor em Rm fixado. O conjunto de n´ıvel K de f
e´ o subconjunto de D definido por
f−1(K) = {X ∈ D; f(X) = K}.
Isto e´, se f1, f2, . . ., fm sa˜o as func¸o˜es coordenadas de f , e K = (k1, k2, . . . , km), enta˜o f
−1(K)
e´ o conjuntos das soluc¸o˜es em D do sistema de m-equac¸o˜es e n-inco´gnitas:
f1(x1, x2, . . . , xn) = k1
f2(x1, x2, . . . , xn) = k2
...
...
...
fm(x1, x2, . . . , xn) = km.
Os conjuntos de n´ıvel f−1(K) sa˜o, tambe´m, denominados conjuntos definidos implicitamente
por f .
Observac¸a˜o f−1(K) 6= ∅ se, e somente se, K ∈ Im(f).
1.4.14
Exemplo Os conjuntos de n´ıvel f−1(a), a ∈ R, de z = f(x, y) = x2 + y2, (x, y) ∈ R2, sa˜o
os seguintes:
(i) f−1(a) = ∅, se a < 0, pois Im(f) = [0,+∞);
(ii) f−1(0) = {(0, 0)};
34 Func¸o˜es Vetoriais
(iii) f−1(a) = S1(
√
a) = {(x, y); x2 + y2 = a}, se a > 0.
Na figura 25, temos o gra´fico de f e alguns conjuntos de n´ıvel, que podem ser obtidos via
projec¸a˜o no plano-xy das intersec¸o˜es de G(f) com planos z = a ≥ 0.
z
-
y�
�
�	x
Figura 25: Parabolo´ide de Revoluc¸a˜o
6
1.4.15
Exemplo Estudemos agora os conjuntosdefinidos
implicitamente por
z = f(x, y) = y2 − x2, (x, y) ∈ R2.
Os conjuntos de n´ıvel f−1(k), k > 0, sa˜o as hipe´rboles
equila´teras de semi-eixos
√
k: y2 − x2 = k. Quando
k < 0, temos as hipe´rboles, tambe´m equila´teras e com
semi-eixos
√−k, x2 − y2 = −k. Ja´ f−1(0) coincide com
o par de retas y = ±x. Estes conjuntos definidos impli-
citamente aparecem quando cortamos a sela por planos
paralelos ao plano-xy, como mostra a figura 21.
-
x
6
y
Figura 26
k > 0k > 0 r√
k
r√
k
k < 0
k < 0
k = 0
1.4.16
Exemplo Seja f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, (x, y, z) ∈ R3. Os conjuntos de n´ıvel desta func¸a˜o
sa˜o ou o conjunto vazio, ou {(0, 0, 0)}, ou as esferas do R3 centradas na origem e
de raio
√
a:
S2(
√
a) = {(x, y, z); x2 + y2 + z2 = a} = f−1(a), a > 0. (¶7)
1.4.17
Exemplo Seja
f : R3 −−−−−→ R2
(x, y, z) −−−−−→ f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2, x+ y + z).
Dada K = (a, b) o conjunto de n´ıvel f−1(K) e´ o conjunto de soluc¸o˜es do sistema{
x2 + y2 + z2 = a
x+ y + z = b.
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 35
que, claro, na˜o tem soluc¸o˜es, se a < 0. Se a ≥ 0, f−1(a, b) e´ a intersec¸a˜o de S2(√a) (veja (¶7))
com o plano pib de equac¸a˜o x+y+z = b. Logo, f
−1(a, b) pode ser vazio, se pib esta´ longe de S2(
√
a);
coincidir com um ponto, se pib tangencia S
2(
√
a); ou, fi-
nalmente, ser um c´ırculo contido em pib. Por exemplo,
os pontos P1 = (1, 0, 0) e P2 = (0, 1, 0) pertencem a
f−1(1, 1). Logo, este conjunto de n´ıvel deve coincidir
com um c´ırculo no plano x + y + z = 1. Observando
que P3 = (0, 0, 1) tambe´m pertence ao c´ırculo f
−1(1, 1),
vemos que o seu centro deve coincidir com o baricentro
do triaˆngulo (equila´tero) de ve´rtices P1, P2 e P3, que e´ o
ponto
C =
P1 + P2 + P3
3
= (1/3, 1/3, 1/3).
Para obter o raio, e´ so´ calcular a distaˆncia de C a P1, que
e´ r =
√
6/3.
�
�
�	
s
P1
x
-s
P2 y
6sP3
z
Figura 27
Vejamos mais treˆs belos conjuntos definidos implicitamente.
1.4.18
Exemplo Seja f : R3 −→ R definida por f(x, y, z) = x2 + y2 − z2. Observe que a imagem
de f coincide com todo R, isto e´, f e´ sobrejetiva. De fato, f(0, 0, z) = −z2, o que
mostra que f transforma o eixo-z em (−∞, 0]. Agora e´ so´ calcular, por exemplo, f(x, 0, 0) = x2,
x ∈ R, para cobrir [0,+∞). Neste exemplo, esbo-
c¸aremos treˆs conjuntos de n´ıvel de f , a saber:
f−1(0), f−1(1) e f−1(−1). Os demais possuem
a mesma forma que f−1(1) ou f−1(−1), como o
leitor pode facilmente verificar. Temos que
f−1(0) = {(x, y, z); z2 = x2 + y2},
que produz o cone de duas folhas, como mostra a
figura 28-(a) ao lado. A te´cnica para obtenc¸a˜o
desta figura e´ aquela que temos usado: corta-
mos o conjunto com planos z = a, o que produz,
neste plano, o c´ırculo de raio |a| centrado no ponto
(0, 0, a). Quandoa = 0, obtemos apenas um ponto,
z = x
z = −x
6z
-
y�
�
�
�	
�
�
�
�
x
Figura 28-(a): Cone de Duas Folhas
x2 +y2 −z2 = 0
ponto, a origem. Isto mostra que f−1(0) e´ de revoluc¸a˜o. A curva perfil, a geratriz do conjunto,
e´ obtida fazendo, por exemplo, a intersec¸a˜o com o plano y = 0, o que da´ origem ao par de retas
z = ±x. Donde podemos concluir que, de fato, f−1(0) e´ o cone de duas folhas. Para o esboc¸o
dos outros dois n´ıveis, a mesma te´cnica mostra que eles tambe´m sa˜o de revoluc¸a˜o: o conjunto
f−1(1), mostrado na figura 28-(b), tem como geratriz a hipe´rbole
H1 = {(x, 0, z); x2 − z2 = 1}.
A hipe´rbole
H2 = {(x, 0, z); z2 − x2 = 1}
36 Func¸o˜es Vetoriais Especiais
e´ a geratriz de f−1(−1), que, por isso, tem duas folhas, como mostramos na figura 28-(c).
6
�
�	
-
z
y
x
z2 − x2 = 1
Figura 28-(b): Hiperbolo´ide de Uma Folha
x2 +y2 −z2 = 1
x2 − z2 = 1
6
z
-
y�
�
�
�	x
Figura 28-(c): Hiperbolo´ide de Duas Folhas
x2 +y2 −z2 = −1
1.5
Func¸o˜es Vetoriais Especiais
Reservamos esta sec¸a˜o para destacar algumas func¸o˜es vetoriais que sa˜o de grande inte-
resse pra´tico, para o Ca´lculo e para a Geometria. Inicialmente, faremos uma breve exposic¸a˜o
das func¸o˜es lineares, que, certamente, constituem a pedra fundamental das func¸o˜es do Ca´lculo
Diferencial.
1.5.1 [Func¸o˜es Lineares]
Definic¸a˜o Uma func¸a˜o (ou aplicac¸a˜o, ou transformac¸a˜o) linear e´ uma
func¸a˜o vetorial do tipo
T : Rn −−−−−→ Rm
X −−−−−→ T (X) = (T1(X), T2(X), . . . , Tn(X)),
satisfazendo as seguintes propriedades:
(i) T (X + Y ) = T (X) + T (Y ), ∀X, Y ∈ Rn;
(ii) T (aX) = aT (X), ∀a ∈ R e ∀X ∈ Rn.
1.5.2
Exemplo Consideremos a seguinte func¸a˜o T : R2 −→ R2 dada por T (x, y) = (x+ y, y − x).
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 37
Sejam X = (x1, x2) e Y = (y1, y2). Temos que
T (X + Y ) = T (x1 + y1, x2 + y2)
= ((x1 + y1) + (x2 + y2), (x2 + y2)− (x1 + y1))
= ((x1 + x2) + (y1 + y2), (x2 − x1) + (y2 − y1))
= (x1 + x2, x2 − x1) + (y1 + y2, y2 − y1)
= T (X) + T (Y ).
Agora, se a ∈ R, vem que
T (aX) = T (ax1, ax2)
= (ax1 + ax2, ax2 − ax1)
= a(x1 + x2, x2 − x1)
= aT (X).
Logo, T e´ linear. Um modo eficiente de ver que T e´ linear, e´ introduzindo a seguinte identificac¸a˜o:
uma dupla X = (x1, x2) passara´ a ser olhada como a matriz-coluna X =
(
x1
x2
)
. Isto posto, vem
que
T (X) = T (x1, x2) =
(
x1 + x2
x2 − x1
)
=
(
1 1
−1 1
)(
x1
x2
)
,
ou T (X) = M(T )X, onde
M(T ) =
(
1 1
−1 1
)
.
Agora, usando propriedades da multiplicac¸a˜o de matrizes, segue-se facilmente a linearidade de T .
De fato,
e
T (X + Y ) = M(T )(X + Y ) = M(T )X +M(T )Y = T (X) + T (Y )
T (aX) = M(T )(aX) = aM(T )X = aT (X).
A identificac¸a˜o feita no exemplo anterior pode ser usada com uma k-upla qualquer, o que
facilitara´ a compreensa˜o das func¸o˜es lineares definidas em Rn. Dado X = (x1, x2, . . . , xk) ∈ Rk,
identificaremos, sempre que for preciso, X com a matriz-coluna (vetor-coluna)
X =

x1
x2
...
xk
.
Assim sendo, sejam T : Rn −→ Rm uma aplicac¸a˜o linear, e X ∈ Rn. Temos que
X = (x1, x2, . . . , xn) =

x1
x2
...
xn
 = x1

1
0
...
0
+ x2

0
1
...
0
+ · · ·+ xn

0
0
...
1
.
38 Func¸o˜es Vetoriais Especiais
Logo,
T (X) = x1T (e1) + x2T (e2) + · · ·+ xnT (en) = x1T

1
0
...
0
+ x2T

0
1
...
0
+ · · ·+ xnT

0
0
...
1
. (¶8)
Como Im(T ) ⊂ Rm, vem que
T (e1) =

a11
a21
...
am1
, T (e2) =

a12
a22
...
am2
, . . . , T (en) =

a1n
a2n
...
amn
,
para alguns nu´meros reais aij, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, o que posto em (¶8) da´ que
T (X) = x1

a11
a21
...
am1
+ x2

a12
a22
...
am2
+ · · ·+ xn

a1n
a2n
...
amn

=

x1a11
x1a21
...
x1am1
+

x2a12
x2a22
...
x2am2
+ · · ·+

xna1n
xna2n
...
xnamn

=

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn

=

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn


x1
x2
...
xn
.
Isto prova o seguinte teorema.
1.5.3
Teorema Sejam T : Rn −→ Rm uma aplicac¸a˜o linear, e M(T ) a matriz de ordem m × n
cujas colunas sa˜o os vetores T (e1), T (e2), . . ., T (en), nesta ordem. Temos que
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 39
(i) T (X) = M(T )X;
(ii) Im(T ) e´ gerado pelas colunas de M(T );
(iii) postoT = postoM(T ),
onde postoT indica a dimensa˜o de Im(T ), e postoM(T ) indica o posto da matriz M(T ), isto
e´, o nu´mero ma´ximo de colunas linearmente independentes que ela possui.
1.5.4
Definic¸a˜o A matriz M(T ) = (aij) e´ conhecida como a matriz de T com relac¸a˜o a`s bases
canoˆnicasdo Rn e Rm. Por simplicidade, chamaremos M(T ) de matriz de T .
Um conjunto de n´ıvel especial de uma func¸a˜o linear T : Rn −→ Rm e´ o seu nu´cleo,
N(T ) = T−1(0, 0, . . . , 0) = {X ∈ Rn; T (X) = (0, 0, . . . , 0)}.
Os outros conjuntos definidos implicitamente por T , quando na˜o-vazios, sa˜o determinados a
partir dele, como mostra seguinte proposic¸a˜o.
1.5.5
Proposic¸a˜o Seja T : Rn −→ Rm uma aplicac¸a˜o linear. Se K = T (P ), P ∈ Rn, enta˜o
T−1(K) = P +N(T ) = {X ∈ Rn; X = P + V, V ∈ N(T )}.
Demonstrac¸a˜o: Seja X ∈ T−1(K). Logo, T (X) = K = T (P ). Como T e´ linear,
vem que T (X − P ) = O, isto e´, V = X − P ∈ N(T ). Assim, X = P + V , o que prova
que T−1(K) ⊂ P + N(T ). Por outro lado, se X = P + V , para algum V ∈ N(T ), enta˜o
T (X) = T (P ) + T (V ) = T (P ) = K. Donde, P +N(T ) ⊂ T−1(K)). pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
1.5.6
Exemplo Seja
T : R3 −−−−−→ R3
(x, y, z) −−−−−→ T (x, y, z) = (x+ y, x+ 2y + z,−x+ 3y + 4z).
Temos que T (e1) = (1, 1,−1), T (e2) = (1, 2, 3) e T (e3) = (0, 1, 4). Logo, a matriz de T e´
M(T ) =
 1 1 01 2 1
−1 3 4
 ,
e, usando o teorema 1.5.3, obtemos
T
xy
z
 =
 1 1 01 2 1
−1 3 4

xy
z
.
40 Func¸o˜es Vetoriais Especiais
Sugerimos ao leitor que verifique diretamente esta identidade. Como detM(T ) = 0, segue-se
que postoM(T ) ≤ 2. Como, por exemplo, as duas primeiras colunas de M(T ) sa˜o linearmente
independentes, devemos ter postoT = 2. (Conve´m observar, que esta informac¸a˜o pode ser
obtida, tambe´m, usando operac¸o˜es elementares sobre as linhas (colunas) de M(T ), o que e´ mais
conveniente para matrizes de ordem alta.) Logo, Im(T ) tem dimensa˜o dois e e´ gerado pelos
vetores T (e1) = (1, 1− 1) e T (e2) = (1, 2, 3). Portanto, Im(T ) e´ um plano, o plano que passa
por (0, 0, 0) e e´ paralelo aos vetores T (e1) = (1, 1− 1) e T (e2) = (1, 2, 3). Logo,
Im(T ) = {X = (u, v, w); X = s(1, 1,−1) + t(1, 2, 3), s, t ∈ R}
= {X = (u, v, w); 5u− 4v + w = 0}, (¶9)
e o vetor N = T (e1) × T (e2) = (5,−4, 1) e´ perpendicular ao plano Im(T ). Para obtermos o
nu´cleo de T , comec¸amos notando que este subespac¸o deve ter dimensa˜o 1, visto que postoT = 2
e
dimN(T ) + postoT = 3,
o que vem de um cla´ssico teorema da A´lgebra Linear. Agora e´ so´ achar um vetor na˜o-nulo
qualquer de N(T ), digamos V , o que implicara´ N(T ) = [V ] = {X = tV, t ∈ R}. Para isto
procuramos uma soluc¸a˜o na˜o-trivial de
x+ y = 0
x+ 2y + z = 0
−x+ 3y + 4z = 0,
que tem V = (1,−1, 1) como uma tal soluc¸a˜o. Logo, N(T ) e´ a reta que passa por (0, 0, 0)
e e´ paralela ao vetor V . Mais ainda, se K = (k1, k2, k3) ∈ Im(T ), o que pode ser testado
simplesmente verificando que 5k1 − 4k2 + k3 = 0 (por queˆ?), o conjunto de soluc¸o˜es do sistema
x+ y = k1
x+ 2y + z = k2
−x+ 3y + 4z = k3,
que e´ o conjunto de n´ıvel K = (k1, k2, k3), coincide com P + N(T ), onde P e´ uma soluc¸a˜o
particular deste u´ltimo sistema, isto e´, T (P ) = K.
-T
6
z
r -
y�
�
�
�	x
r1 r1
r 1 rP = (1, 1, 1)
T−1(2, 4, 6)
N(T )
Figura 29-(a)
6
z
-
y�
�
�
�	x
Im(T )
Figura 29-(b)
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 41
Como caso particular desta situac¸a˜o, se K = T (1, 1, 1) = (2, 4, 6), as soluc¸o˜es do sistema
x+ y = 2
x+ 2y + z = 4
−x+ 3y + 4z = 6
sa˜o os elementos da reta T−1(2, 4, 6) = (1, 1, 1) + N(T ) = (1, 1, 1) + [(1,−1, 1)], ou de outra
forma, sa˜o as triplas (x, y, z) tais que x = 1 + t, y = 1 − t e z = 1 + t, t ∈ R. Para encerrar
nossa discussa˜o com relac¸a˜o a T , consideremos o seguinte sistema linear:
x+ y = 1
x+ 2y + z = 2
−x+ 3y + 4z = −3.
A existeˆncia de uma soluc¸a˜o deste sistema implicaria que (1, 2,−3) ∈ Im(T ). Logo, u = 1,
v = 2 e w = −3 seria soluc¸a˜o de 5u − 4v + w = 0, conforme (¶9), o que e´ falso. Portanto, o
sistema dado na˜o tem soluc¸a˜o.
1.5.7 [Rotac¸o˜es no R2]
Exemplo Dado θ ∈ R, seja Tθ : R2 −→ R2 a aplicac¸a˜o linear que associa
o vetor X ao vetor Y obtido por uma rotac¸a˜o de X em torno
da origem no sentido anti-hora´rio.
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
��
��*
�
�
�
���
θk
X
Y = Tθ(X)
-
x
6
y
Figura 30-(a)
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
cos θ− sen θ
sen θcos θ
-
x
6
y
Figura 30-(b)
θ
θ
K
+
�
�
��
Tθ(e1)Tθ(e2) 6
@
@
@I
-
e1
e2
Para o ca´lculo de Y = Tθ(X) e´ bastante conhecermos o efeito desta aplicac¸a˜o na base canoˆnica,
isto e´, basta termos em ma˜os a matriz M(Tθ), que pode ser obtida facilmente via figura 30-(b),
que mostra que
Tθ(e1) = (cos θ, sen θ) e Tθ(e2) = (− sen θ, cos θ).
Logo,
Tθ
(
x
y
)
=
(
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
)(
x
y
)
=
(
x cos θ − y sen θ
x sen θ + y cos θ
)
,
ou
Tθ(x, y) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ).
Em particular, para obtermos um vetor perpendicular a X = (x, y), usamos a rotac¸a˜o Tpi/2, isto
e´, basta calcular Tpi/2(x, y) = (−y, x), que e´ o vetor que introduzimos no exemplo 1.2.9.
42 Func¸o˜es Vetoriais Especiais
1.5.8 [Rotac¸o˜es no R3]
Exemplo A ide´ia de rotac¸a˜o que acabamos de estudar pode ser adaptada
facilmente para o espac¸o tridimensional R3. Faremos isto para
o caso de rotac¸o˜es em torno do eixo-z. Inicialmente observamos que o resultado de uma tal
rotac¸a˜o aplicada a um vetor X = (x, y, z) ∈ R3 e´ o vetor que tem a mesma terceira coordenada
que X, e sua projec¸a˜o no plano-xy e´ o vetor obtido aplicando esta rotac¸a˜o a (x, y, 0), como vemos
na figura 31. Assim sendo, se indicamos por T zθ a
rotac¸a˜o em torno do eixo-z, cuja restric¸a˜o aos ve-
tores do plano-xy tenha a orientac¸a˜o anti-hora´ria,
devemos ter
M(T zθ ) =
 cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
 .
A terceira coluna de M(T zθ ) indica que o vetor e3
e´ fixado por T zθ , o que deve estar muito claro para
o leitor. Portanto,
T zθ (x, y, z) = (x cos θ− y sen θ, x sen θ+ y cos θ, z).
Figura 31: Rotac¸a˜o em Torno do eixo-z
6
z
-
y�
�
�
�	x
ppppppp pppppppppppp ppppppppppppp ppppppppppppp ppppppppppppp pppppppppppp pppppppppppppp ppppppppppppp pppppppppppp pppppppppppppp ppp pppppppppppp pp ppppppppppppp pppp ppppppppppppp pp pppppppppppp pppp ppppppppppppp ppp ppppppppppppp pppp ppppppppppppp ppppp ppppppppppppp ppp ppppppppppppp ppppp pppppppppppp ppppp pppppp pppppp pppppppp pppppp ppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppp pppppppppppp ppppppppppppp ppppppppppppp ppppppppppppp pppppppppppp ppppppppppppp ppppppppppppp pppppppppppp ppppppppppppp ppp ppppppppppppp ppp ppppppppppppp pp pppppppppppp pppp pppppppppp pppp pppppppp pppp pppppppppp pppp ppppppppppppp ppppp ppppppppppppp ppp ppppppppppppp pppp ppppppppppppp pppppp pppppppppppp ppppp ppppppppp ppppppppp pppppp pppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppp pppp pppp pppp pppp pppp ppp pppp pppp ppp pppp pppp pppp ppp pppp ppp pppp ppppp ppppp pppp pppp ppppp pppp pppp pppp pppp ppp pppp pppp ppp ppppp pppp ppp ppp ppp ppp pppp pppp ppp pppp pppp ppp pppp pppp ppppp ppppp ppp pppp pppp ppp ppp pppp ppp pppp ppp ppppppppppp
X
T zθ (X)
θ
*
3
�
*
(x, y, 0)
U
T zθ (x, y, 0)
z
θ
Como caso particular, se θ = pi/4, temos a rotac¸a˜o de 45◦ em torno do eixo-z:
T zpi/4(x, y, z) = (
√
2
2
x−
√
2
2
y,
√
2
2
x+
√
2
2
y, z).
Destacaremos agora, uma outra famı´lia de func¸o˜es vetoriais, as de uma varia´vel real,
que sera˜o chamadas curvas parametrizadas, que sa˜o objetos de uso frequ¨enteem Geometria
Diferencial e na Cinema´tica.
1.5.9 [Curvas Parametrizadas]
Definic¸a˜o Uma curva parametrizada e´ uma func¸a˜o vetorial
do tipo
α : I ⊂ R −−−−−→ Rn
t −−−−−→ α(t) = (α1(t), α2(t), . . . , αn(t)),
onde I e´ um intervalo, que pode ser aberto, fechado, limitado ou na˜o. (Devido a` tradic¸a˜o em
Geometria Diferencial, usaremos quase sempre letras gregas α, β, γ, . . . , para representar uma
curva parametrizada.)
1.5.10
Definic¸a˜o A imagem de uma curva parametrizada α : I −→ Rn e´ chamada trac¸o de α, o
que indicaremos por trα, isto e´,
trα = {X ∈ Rn; X = α(t), t ∈ I}.
A varia´vel t e´ dita paraˆmetro de α.
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 43
1.5.11
Definic¸a˜o Um conjunto γ ⊂ Rn e´ dito parametrizado por α : I ⊂ R −→ R3 se γ = trα,
isto e´, γ coincide com a imagem de α. Dizemos, tambe´m, que α parametriza γ.
1.5.12 [Retas]
Exemplo Dados P, V ∈ Rn, V 6= O, a curva parametrizada
α : R −−−−−→ Rn
t −−−−−→ α(t) = P + tV
tem como trac¸o a reta que passa por P e e´ paralela ao vetor V , conforme a definic¸a˜o 1.3.1. Logo,
a reta l = P + [V ] esta´ parametrizada por α. Por abuso de linguagem, costuma-se chamar a
func¸a˜o α de reta.
1.5.13
Exemplo Seja
α : [0, 2pi] −−−−−→ R2
t −−−−−→ α(t) = (a cos t, b sen t),
onde a > 0, b > 0 sa˜o nu´meros reais fixados (veja o exemplo 1.4.4). Temos que α parametriza
a elipse de centro (0, 0) e semi-eixos a e b dada por
E(a, b) = {(x, y) ∈ R2; x
2
a2
+
y2
b2
= 1}.
Figura 32
-
x
6
y
b
a
E(a, b)
-Tpi/4
@
@I α β
0 2pi
�
��
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppp pppppppppppppppp ppppppppppppppp pppppppppppp pppppppppp pppppppppp pppppppppp pppppppppp pppppppp ppppppp pppppppp pppppppp pppppppp pppppppp ppppppp pppppp ppppp ppppp pppppp ppppppp ppppppp pppp pppp ppppp pppp ppppp ppppp pppp pppp ppppp ppppp pppp ppppp pppp ppp pppp pppp ppp ppp pppp ppp ppp ppp ppp pppp ppp ppp ppp pp pp pp ppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp ppp pp ppp ppp pp pp pp ppp ppp ppp pppp ppp ppp ppp ppp pppp ppp ppp pppp pppp ppp pppp ppppp pppp ppppp ppppp ppppp ppppp pppp pppp pppp pppp pppp ppppp ppppppp ppppppp ppppp ppppp pppppp pppppp ppppppp pppppppp ppppppppp ppppppppp pppppppp pppppppp pppppppp ppppppppp pppppppppp pppppppppp pppppppppp pppppppppppp ppppppppppppppp ppppppppppppppppp ppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppp pppppppppppppppp ppppppppppppppp
ppppppp
ppppp
ppppp
ppppp
ppppp
ppppp
ppppp
ppppp
ppppp
ppppp
ppppp
ppp
ppp
pppp
pppp
pppp
pppp
pppp
pppp
pppp
pppp
pppp
pppp
ppp
ppp
ppp
ppp
pp
pp
ppp
ppp
ppp
ppp
pppp
pppp
ppp
ppp
p
p
ppp
ppp
pp
pp
pp
pp
ppp
ppp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
ppp
ppp
pp
pp
pp
pp
ppp
ppp
p
p
pp
pp
pp
pp
pp
pp
p
p
pp
pp
pp
pp
p
p
pp
pp
p
p
pp
pp
pp
pp
p
p
pp
pp
p
p
p
p
p
p
p
p
pp
pp
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
pp
pp
p
p
p
p
pp
pp
p
p
p
p
p
p
p
p
pp
pp
p
p
pp
pp
pp
pp
p
p
pp
pp
p
p
pp
pp
pp
pp
p
p
pp
pp
pp
pp
pp
pp
p
p
ppp
ppp
pp
pp
pp
pp
ppp
ppp
pp
pp
ppp
ppp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
ppp
ppp
pppp
pppp
ppp
ppp
pp
pp
ppp
ppp
ppp
ppp
ppp
ppp
pppp
pppp
pppp
pppp
ppppp
ppppp
pppp
pppp
pppp
pppp
pppp
pppp
pppp
pppp
ppppp
ppppp
ppppp
ppppp
ppppp
ppppp
ppppp
ppppp
ppppppp
ppppppp
pppppppp ppppppppppppppppp ppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
b
a
Tpi/4(E(a, b))
-
x
6
y
�
�
��
�
�
��
@
@
@
@
Se aplicamos a rotac¸a˜o Tpi/4 em E(a.b) obtemos a elipse Tpi/4(E(a, b)) que tem centro (0, 0) e
eixos ao longo das retas y = ±x, como mostra a figura 32. Para parametrizar esta nova elipse,
simplesmente compomos a rotac¸a˜o com α. Mais precisamente, definimos
β : [0, 2pi] −−−−−→ R2
t −−−−−→ β(t) = (Tpi/4 ◦ α)(t) = Tpi/4(α(t)).
44 Func¸o˜es Vetoriais Especiais
Desta forma, temos que
β(t) =

√
2
2
−
√
2
2√
2
2
√
2
2

(
a cos t
b sen t
)
=
√
2
2
(a cos t− b sen t, a cos t+ b sen t)
parametriza a elipse Tpi/4(E(a, b)).
1.5.14 [Ciclo´ide]
Exemplo A ciclo´ide e´ o subconjunto γ do plano R2 percorrido por um ponto P
preso a um c´ırculo que rola sem deslizar sobre uma reta. Na figura 33,
consideramos a ciclo´ide descrita por P = O = (0, 0), que esta´ preso ao c´ırculo centrado em
(0, a) e de raio a. Uma parametrizac¸a˜o para a ciclo´ide pode ser obtida usando como paraˆmetro
o aˆngulo que o segmento [C,Q], que liga o centro do c´ırculo em movimento ao ponto de contato
deste c´ırculo com o eixo-x, faz com o segmento [C,P ], que liga C ao ponto mo´vel P .
Figura 33: Ciclo´ide
-
x
-
x
6 6
y
γ
C = (at, a)
a cos t
rQ
r
P
a sen t
P r r t
at
a
@
@
@
I
γ
O fato que o c´ırculo rola sem deslizar e´ usado para garantir que o comprimento do segmento
[P,Q] e´ igual ao comprimento do arco de c´ırculo que liga P a Q, que e´ at, como indica a
figura. Portanto, a primeira coordenada de P , no instante t, vale x = at− a sen t, e a segunda
e´ y = a− a cos t. Logo,
α : R −−−−−→ R2
t −−−−−→ α(t) = (at− a sen t, a− a cos t)
e´ uma parametrizac¸a˜o da ciclo´ide.
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 45
1.5.15 [He´lice Circular]
Exemplo Sejam a, b ∈ R, com
a > 0 e b 6= 0. O
trac¸o da curva parametrizada
α : R −−−−−→ R3
t −−−−−→ α(t) = (a cos t, a sen t, bt),
e´ chamado he´lice circular de raio a e passo 2pib. A escolha
deste nome se deve ao fato de que o trα esta´ contido no
cilindro circular reto x2 + y2 = a2. Neste ponto o leitor
deve retornar ao exemplo 1.4.11, onde temos uma he´lice
ao longo do cilindro y2 + z2 = a2.
1
6
z
r -
y�
�
�
�	x
btr
t
a
2pib
α(t)r
(a cos t, a sen t, 0)
r
��
Figura 34: He´lice Circular
Para encerrar esta sec¸a˜o, estudaremos algumas noc¸o˜es elementares associadas a`s su-
perf´ıcies parametrizadas, que sa˜o as func¸o˜es vetoriais ba´sicas para o estudo das superf´ıcies
regulares da Geometria Diferencial.
1.5.16 [Superf´ıcies Parametrizadas]
Definic¸a˜o Uma superf´ıcie parametrizada e´ uma func¸a˜o
vetorial do tipo
g : D ⊂ R2 −−−−−→ R3
(u, v) −−−−−→ g(u, v) = (g1(u, v), g2(u, v), g3(u, v)).
1.5.17
Definic¸a˜o A imagem de uma superf´ıcie parametrizada g : D −→ R3e´ chamada trac¸o de g,
o que indicaremos por tr g, isto e´
tr g = {X ∈ R3; X = g(u, v), (u, v) ∈ D}.
As varia´veis u, v sa˜o chamadas paraˆmetros de g.
46 Func¸o˜es Vetoriais Especiais
Figura 35
Dr
(u0, v0)r
u0
rv0 -g
-
u
6
v z
r -
y�
�
�
�	x
6
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq q qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqq qqqqqqqqq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
rg(u0, v0) S
rrg1(u0, v0) ����
rg2(u0, v0)
@
@
rg3(u0, v0)
1.5.18
Definic¸a˜o Um conjunto S ⊂ R3 e´ dito parametrizado por g : D ⊂ R2 −→ R3 se S = tr g,
isto e´, S coincide com a imagem de g. Dizemos, tambe´m, que g parametriza o
conjunto S.
1.5.19
Definic¸a˜o Dada uma superf´ıcie parametrizada g : D −→ R3, e fixado (u0, v0) ∈ D, as
curvas parametrizadas obtidas a partir de g fixando-se um dos paraˆmetros e
deixando o outro variar sa˜o chamadas curvas coordenadas de g. Mais precisamente,
αv0(u) = g(u, v0) = (g1(u, v0), g2(u, v0), g3(u, v0)), (u, v0) ∈ D,
αu0(v) = g(u0, v) = (g1(u0, v), g2(u0, v), g3(u0, v)), (u0, v) ∈ D
sa˜o as curvas coordenadas de g passando por g(u0, v0).
Observac¸a˜o Vale observar que o trac¸o de uma superf´ıcie parametrizada coincide com a unia˜o
dos trac¸os de suas curvas coordenadas. Na pra´tica, e´ o esboc¸o de algumas destas
curvas que nos permite visualizar a superf´ıcie descrita por g. Esta e´ uma das estrate´gias ba´sicas
da Computac¸a˜o Gra´fica, no que tange ao esboc¸o de superf´ıcies.
1.5.20
Exemplo Dados P, V,W ∈ R3 com V,W linearmente independentes, a superf´ıcie parame-
trizada g(u, v) = P + uV + vW , (u, v) ∈ R2, tem como trac¸o o plano que passa
por P e e´ paralelo aos vetores V e W , conforme definic¸a˜o 1.3.7. Fixado (u0, v0) as curvas
coordenadas de g por g(u0, v0) sa˜o as retas
αv0(u) = g(u, v0) = (P + v0W ) + uV, u ∈ R,
αu0(v) = g(u0, v) = (P + u0V ) + vW, v ∈ R.
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 47
Figura 36
D
-
u
-g
6
v
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp p
r(u0, v0)
6
z
r -
y�
�
�
�	x
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
ppppppp ppp pppp ppppp ppp pppp pppp pppp ppp pppp pppp ppp pppp pppp ppp pppp pppp ppp pppp pppp pppp pppp pppp ppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp ppp pppp pppp ppp ppppp pppp ppp pppp pppp ppp pppp pppppp pppp ppp ppp pppp ppp pppp pppp ppp pppp ppppp ppp pppp pppp ppp pppp pppp ppppp ppp pppp pppp ppp pppp pppp pppp ppp pp ppp pp pp ppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp pp pp pp pp pp pp ppp ppp pp pp pp pp pp ppp ppp pp pp pp pp pp ppp ppp pp ppp ppp pp pp ppp pp ppp pp ppp pp pp pp ppp ppp pp ppp pp pp pp ppp ppp pp ppp pp pp pp ppp ppp pp pp ppp pp pp ppp ppp pp pp pppp pp pp ppp pp pp pppp pp pp pp ppp pp pp pppp pp ppp pppp pppp pppp pppp ppp pppp pppp ppp ppppp pppp ppp pppp pppp ppp pppp pppp pppp ppp pppp pppp ppp pppp pppp pppp pppp pppp ppp pppp pppp ppp ppppp pppp ppp ppp ppppp ppp ppp ppppp ppp ppp pppp pppp ppp pppp ppp ppp pppp ppp pppp pppp ppppp ppp pppp pppp ppp pppp pppp ppp ppp ppppp ppp ppp pppp pppp ppp pppp pppppppp
pppppppppp ppppp pppp ppp ppppp p pppp p ppp pp ppppp pp pppppp p ppp p ppp pp ppppp p ppp p ppp pp ppppp pp ppppp p ppp p pppp pp ppppp p ppp p pppp pp ppppp pp pppp p pppp pp ppppp pp ppppp p ppp p pppp pp ppppp pp pppp p pppp pp ppppp pp pppp p pppp ppppp pppp pp ppp ppp ppp ppp pppp pp ppp ppp pp p ppp ppp pp pp ppppp pp ppp pppp p ppp ppp pp pppppppp pp pppppp p p ppppp p p pppppp pp pp ppppp pp p ppppp p p pppppp pp pp ppppp pp pp ppppp p p pppppp p p ppppp pp pp ppppp pp p pppppp p p ppppp pp pp ppppp pp pp ppppppp p p pppppp p pp pppp pp pp pppppp pp p pppppp p p pppp pp pp pppppp pp pp pppppp p p pppp p ppppp pp ppppp pp ppp p ppp pp ppppppp pppp pppp pppp ppp pppp ppp pp pp ppp ppp pppp ppp ppp pp pp ppp pppp ppp pppp pppp pppp ppppppp p pppp p ppp pp ppppp pp pppp p ppp pp ppppp pp pppp p pppp p pppp pp pppp pp pppp p pppp pp ppppp pp pppp p ppppp p pppp pp pppp p ppppp p pppp pp pppp pp ppppp p pppp pp pppp ppp pp ppp pppp ppp pp pppp ppp pp ppp pppp pp ppp pppp ppp pp ppp pppp pp ppp pppp ppp pp ppp ppp pp ppp pppp ppp pp ppp ppp pp ppp pppp ppp pp ppp ppp pp ppp pppp pp pp pppppppppppppppppp
rP r
P + u0V
rP + v0W
rHHj���
V
W
A primeira delas, αv0 e´ a reta que passa por P + v0W e e´ paralela ao vetor V . A outra, αu0 e´ a
reta que passa por P + u0V e e´ paralela ao vetor W .
1.5.21 [Gra´fico]
Exemplo Seja f : D ⊂ R2 −→ R uma func¸a˜o real de duas varia´veis reais. O seu
gra´fico, como vimos na definic¸a˜o 1.4.7, e´ o subconjunto de R3 dado por
G(f) = {(x, y, f(x, y)); (x, y) ∈ D},
isto e´, G(f) e´ o subconjunto do R3 constitu´ıdo das triplas (x, y, f(x, y)), onde (x, y) ∈ D. Isto
sugere a seguinte parametrizac¸a˜o (canoˆnica) de G(f):
g : D −−−−−→ R3
(u, v) −−−−−→ g(u, v) = (u, v, f(u, v)).
Neste caso, os trac¸os das curvas coordenadas de g,
αv0(u) = (u, v0,f(u, v0)), (u, v0) ∈ D
αu0(v) = (u0, v, f(u0, v)), (u0, v) ∈ D,
sa˜o facilmente obtidos: sa˜o dadas pelas intersec¸o˜es dos planos x = u0 e y = v0 com G(f), res-
pectivamente, como na figura 37.
Figura 37: Parametrizando G(f)
-
u
-g
6
v
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pp p p p pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppprr
D
u0
rv0
6
z
r -
y�
�
�
�	x
�
�
�
�
�
�
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr rrrrrrr rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
ppppp ppppppppp ppppppppp ppppppp pppp p pppp p ppp p ppp p pppp p pppp p ppp p ppppppp p pppp pppppppp p pp pppppppp p ppp pppppp pp pppp ppp p pp pp p ppp pp p ppp ppp p ppp pp p pp ppp p ppp ppp p ppp pp p pp pp p p ppp p p ppp p pp pp p p pp p p ppp p pp ppp p pp p p ppp p pp pppp pp p pp p pp p pp p p p ppp p p p pp p pp p pp p p p pp p pp p ppp p ppp pp p ppp pp p p ppp p pp pp p ppp pp p p p ppp p p p pp p p pp pp p p p pp p p p ppp p p p pp p p pp pp p p p ppp p p p pp p p pp pppp p p p ppppppppp p p p ppp pppppp p p p p pp pppppppp p p p pp ppppp p p p pp pppp p p pp p pp p p pp p pp p p p pp p ppp p p p pp p ppp p pp pp p pp p pp pp p ppp p p pp p ppp p pp pp p pp p pp pp p p p p p ppp p p p p p pp p pp p p pp p p p p p pp p pp p p p pp p pp p p p pp p p p p p pp p pp p p p pp p p p p p pp p pp p p p pp p p p p p pp p p p p p pp p pp p p p pp p p p p p pp p pp p p p pp p p p p pp p ppp p pp p p p p ppp p pp p p ppppppp p ppp p p ppp pppppppp p p p p p ppp pppppppp p p p p p p pp pppppp p p p p p pp ppp p p p p p pp p ppp p p p p p pp p pp p p p pp pp p ppp p pp p pp pp ppp p p p p pp p pp p p p p pp p pp p pp p p pp p pp p p p p pp p pp p p p p pp p ppp p p p p pp p p p p p p pp p pp p p p p pp p p p p p p pp p pp p pp p p pp p p p p p p pp p pp p p p p pp p p p ppp p pp p p p pp p pp p pp p p p pp p p p pp p pp p pp p pp p pp p p p pp p pp p p p p p p pp p pp p p p pp p p p p p p pp p ppp p p pp pp p pp p p pp pp p p p p pp pp p pp p p pp pp p ppp p p pp pp p p p p p pp pp p p p p p pp pp p p p p p pp pp p p p p p pp pp p p p p p p pppp p p p p p p p pppppppp p p p p p p p pp pppppp p p p p p p p pp pppppppp p p p p p p pp pppp p p p p p pp pppp p p p p p p pp p pp p pp p p p p pp p pp p p p p p p pp p ppp p p p p p p pp p ppp p p p p p p pp p pp p pp p p p p pp p ppp p p p pp p pp p ppp p p p pp p pp p ppp p p p pp p pp p p p p ppp p p pp p p pp p pp p p pp p p ppp p p p p pp p p p p p p p p pp p p p pp p pp p p pp p p p p p pp p p pp p p p p p p p p p pp p p p pp p p p p p pp p p p p p p p p p pp p p p pp p p p p p pp p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p pp p p p pp p p p p p pp p p p p p p p p p pp p p p pp p p p p p pp p p p p p p p p p pp p p p ppp p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p pp p p p p pp p p p pp p p p p pp p p p pp p p p p pp p p p pp p p p p pp p p p p pp p p p p pp p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p pp p p p p pp p p p p pp p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p pp p p p p p p p pp p p p p pp p pp p pp p p p p p p pp p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p pp p p p pp p p p p p p p p pp p p p p pp p p p pp p p p p pp p p p pp p p p p ppp p p pp p p p p p pp p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p p p p pp p p p p p pp p pp p p p p p pp p pp p p p p pp p pp p ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp p p p p p p p p p pp p pp p pp p pp p pp p ppp p p p p p p p p pp p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p pp p p p pp p pp p pp p ppp p p p p p p p p p pp p ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp p pp p pp p pp p pp p ppp p p p p p p p p p pp p p p p p p p p p ppp p pp p pp p pp p pp p pp p p p p p p p p ppp p p p p p p p p ppp ppp ppp p pp ppp ppp p p pp p p p pp pp pp pp pp pp ppp p pp p pp pp p pp p pp pp p pp p pp pp p p p p pp pp pp pp p pp pp p pp p p p p p p pp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pp pp p pp pp p pp p p p p p p pp p p p p pp p pp pp pp p pp p p ppp p p p p p p pp p p p p p p pp pp pp p pp pp p pp ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp p p p p p p pp pp pp p pp pp p ppp p p p p p p pp p p p p p p pp p p p p p p ppp p p p p ppppp pp p pp p ppp p p p p pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppp pppppppp ppp ppppp pppp pppp pppp pppp pppp ppp ppppppppppppp pppp pp pppp pppp pp pppp pp pppp pp pp ppp pp pppp ppp ppp pp ppp ppp pp ppp ppp ppp pp ppp ppp pp ppp ppp pp ppp pppp pp pp ppp pp pp pppp ppp pp pppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp pppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppp pp pp pp pp pp ppp ppp pp pp ppp pppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
r
rf(u0, v0)
g(u0, v0) = (u0, v0, f(u0, v0))G(f)
r Dru0
rv0
48 Func¸o˜es Vetoriais Especiais
Como caso particular desta situac¸a˜o, temos que
g(u, v) = (u, v, u2 + v2), (u, v) ∈ [0, 1]× [0, 1],
parametriza a porc¸a˜o do parabolo´ide z = x2 + y2 que se
projeta sobre o quadrado [0, 1]× [0, 1].
Figura 38
6
z
-
y�
�
�
�	x
rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr
ppppppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp ppp p pp p pp p ppp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p p ppp p p ppp p p pppp p pp ppp p p pppp p pp pp ppp p pp p ppp p p ppp p ppp p p pp pp pp p p p pp pp pp p p p ppp pp pp p p p pp pppp pp p p p pp ppppppppp p pp p p p ppppp p ppp p p p p pp p p p p p pp p p p p p pp p p p p p pp p p p p p pp p p p p p pp p p p p p pp p p p p p pp p p p p p pp p p p p p pp p p p p p pp p p p p p pp p p p p p pp p p p p p pp p p p p p pp pp p p p pp pp p p ppp pp p p p pp p p p p pp pp p p p pp ppp p p p pp p p p p p pp p p p p p pp p pp p p p pp p p p p p pp p p p p p pppp p p p p pp p p p p p p ppp p p p p p p pp p p p p p p ppp p p p p p p ppp p p p p p pppp p p p p p p pppp p p ppp p p pppp p p pp p p pppp p pp pp p p p ppp p p ppp p ppp pp p p p ppp p ppp pppp p p p pp p ppp pp p p p pp p pp ppp p p p pp p pppp pp p p p pp p pppppp ppp p p ppppppppp p pp p p p pppp p pp p p pp p p pp p p p p p ppp p p p p p pp p p p p p ppp p p p p p ppp pp p p pp pppp pp p p p pppp p pp p p p ppp p p p p p ppp p pp p p p pppp p p p p p p ppp p pp p p p p pppp p p p p p ppp p pp p p p p pppp p p pp p p p ppp p p p p p p ppp p p p p p p pppp p pp p p p ppp p p p p p p ppppp p pp pp p p p pppppppp p p p p p p p ppppppp p p p p p p p pppppppp p p p p p p pp pppppppp p p pp ppp p p ppppp p p p pp p p pppp p p pp pp pppp p p p pppp p pppppp p p p p ppp p pppp p p p pp pp p ppppp p p pp p ppp p p pp p pp pp ppp p ppppp pp p ppp p pppp pppppppppppp p pp pp ppppp p pp p ppp p pp pppp p ppp p pp p p pp p pp p p p ppppp p pp p pp p p pp p ppp p p p ppppp p pp p pp pp p pp p ppp p p p ppp p pp p p pp p ppp p pp p p p pp pp p pp p pp pp p pp p pp pp p p ppp p ppp p pp p p ppp ppp p p p pppp pppp p p p pppp pppppp p pp p pp ppp pppppp p ppp p pppp pppppp p pp pp pppppppppp p ppppp p ppppppp p p pp p pppp p ppp pp p ppppp p p ppp p ppp p ppp pp p pppppp pp pp pp p ppppppppp p pp pppppppppp ppp p pp pppp ppp p pp pp ppp p ppp pp pppp p pp pp ppp pp pp ppp pp p pp pp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppp pp p p p p p pp ppppp pp ppp p pp pp p ppp pppppppp ppp pp pp p p p p ppp ppppppp ppp pp pp p p p p pp ppppppp pp pp ppp p pp pp p ppppp ppp ppp pp p p p p ppp ppp pp pppppp p p p p pppp ppppppppppppppp p p p p ppp ppppppppppp p p pp p ppp ppppppppppp p p p p ppp ppppppppppp p p p pp ppppp ppppppppppppp p pp pp p ppp pppppppppp p p p p p ppppppp p p p p p ppp pp pp pp pp ppp p p p p ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp p p p pp ppp p pp pp p pp p p p ppp p p p pp ppp pp pp pp p pp p p p p ppp p p p pp ppp pp pp pp p pp p p p pp ppp p p p p pp pp pp p p pp p p p pp ppp p p p pp pp pp pp p ppp p p p pp ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp p p p p ppp pp pp pp pp ppp p p p p pp p p p p pp pp pp pp p ppp p p p pp ppp p p p p pp p p p p pp pp pp pp p pp p p p p ppp p p p p pp pp pp pp p pp p p p p pp p p p p ppp pp pp pp pp pp p p p p ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp p p p p ppp pp pp pp pp ppp p p p p pp p p p p ppp p p p p pp pp pp pp p pp p p p p pp p p p p ppp p p p pp ppp p p p p pp p p pp p ppp p p p pp ppp p p p p pp p p p p ppp pp p p pp pp p p p p ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp p p p p ppp p p p pp ppp p p p p pp p pp pp p ppp p p p pp pp p p p p pp pp pp pp p ppp p p p p pp pp pp pp p pp p p p p pp p p p p ppp pp pp pp p pp p p p p pp p p p pp ppp pp pp pp p ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pppr1
r1
z = x2 + y2
1.5.22
Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o
Seja
α : I ⊂ R −−−−−→ R3
v −−−−−→ α(v) = (α1(v), 0, α2(v))
uma curva parametrizada com trac¸o contido no plano-xz, como indica a figura 39. Fixados v ∈ I
e u um aˆngulo entre 0 e 2pi, seja T zu a rotac¸a˜o de aˆngulo
u em torno do eixo-z, como no exemplo 1.5.8. Aplicando
esta rotac¸a˜o ao ponto α(v) obtemos o ponto T zu (α(v)), o
qual esta´ no plano piu perpendicular ao plano-xy e que faz
um aˆngulo u com o eixo-x. Portanto, se v varia em I, ob-
temos uma co´pia de α neste plano. A ide´ia agora e´ deixar
u variar no intervalo [0, 2pi], o que produz o conjunto
Sα = {X ∈ R3; X = T zu (α(v)), 0 ≤ u ≤ 2pi, v ∈ I},
que sera´ chamado superf´ıcie de revoluc¸a˜o (ou rotac¸a˜o)
gerada por α. A` curva parametrizada α, chamamos ge-
ratriz de Sα. Usando a expressa˜o que define T
z
u , vem que
Sα pode ser reescrita assim:
Figura 39
6
z
y�
�
�
�	x
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
pppppppppp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp pp pp ppp pp pp pp ppp pp ppp pp pp pp ppp pp ppp pp pp pp ppp pp ppp pp pp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp ppp pp ppp pp pp pp ppp pp ppp pp pp pp ppp pp ppp pp pp pp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppppp pp ppppppp pppppppppppp ppppppppppppp p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp p pp pp pp pp pp pp p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp pp pp ppp ppppp pp ppppppp pp ppppp pppppppp pppppppppp pp pppppppppp p ppppppppppp pp ppppppppppp p ppppppppppppppppppp p pppppppppppppppp p ppp pp ppp pp pp pp ppp pp ppp pppp ppppp p pppppppp p ppppppppppp pp pppppppp p pppppp pp pppppppp p ppppppppppppppppppppp pp pppppppppp p ppppppppppppppppppppppppp pp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp pp ppp ppp pp ppp pp pp pp ppp pp ppp pp pp pp ppp pp ppp pp pppppppp
pppp pp ppp ppp ppp ppp ppp pppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp pp pp pp pp pp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp pp ppp pppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pppp pppp pp pp pppp pppp pp pp pppp pppp pp pp ppp pppp ppp ppp pp pp pp pp ppp ppp pp pp pppp pppp pp pp pppp pppp pp ppp ppp pp pp pp ppp pp ppppp ppp ppp pp ppp pppp pppp ppp pp pp pp pp pppp pp ppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp pp ppp pp ppp pp pppppppppppp
u
piu
rα(v) rT zu (α(v))-
:
Sα = {X ∈ R3; X = (α1(v) cosu, α1(v) senu, α2(v)), 0 ≤ u ≤ 2pi, v ∈ I}.
Desta forma Sα esta´ naturalmente parametrizada por
g : [0, 2pi]× I −−−−−→ R3
(u, v) −−−−−→ g(u, v) = (α1(v) cosu, α1(v) senu, α2(v)).
Como resultado, obtemos a seguinte figura.
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais 49
Figura 40: Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
[0, 2pi]× I
r
2pi
I -g
-
u
6
v
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqq qqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqq q qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqq qqqqqqqqqq qqq qqqqq qq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqq qqqqq qq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qq qqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq q qqqqqq qqqqq q qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqq qqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqq q qqqqqqqqqqqqqq qqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqq qqqq qqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqq qqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqq qqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqq qq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqq
Sα
6
z
-
y
�
�	
x
Para v fixo, a curva coordenada correspondente e´ o c´ırculo de raio α1(v) e centro (0, 0, α2(v))
do plano z = α2(v). Para u fixo, obtemos uma co´pia de α no plano que faz o aˆngulo u com o
plano-xz. Assim, as curvas coordenadas de g, ou sa˜o c´ırculos, os quais chamamos de paralelos
ou sa˜o co´pias de α, que sa˜o chamadas meridianos. Nos exemplos que seguem, veremos alguns
casos particulares de superf´ıcies de revoluc¸a˜o.
1.5.23 [Parabolo´ide]
Exemplo Neste exemplo, a geratriz e´ o arco de para´bola parametrizado
por α(v) = (v, 0, v2), v ∈ [0,+∞). Logo, α1(v) = v, α2(v) = v2.
Portanto,
g(u, v) = (v cosu, v senu, v2), 0 ≤ u ≤ 2pi, 0 ≤ v < +∞,
e´ uma parametrizac¸a˜o do parabolo´ide de revoluc¸a˜o z = x2 + y2 cujas curvas coordenadas sa˜o
c´ırculos (v constante) e arcos de para´bolas (u constante), conforme figura 41.
Figura 41: Parabolo´ide de Revoluc¸a˜o
[0, 2pi]× [0,+∞)
r
2pi
-g
-
u
6
v
Sα
z
-
y�
�
�
�	x
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
6
1.5.24 [Esfera]
Exemplo Para parametrizar a esfera S2(a), comec¸amos parametrizando sua gera-
triz, o semi-c´ırculo de raio a e centro (0, 0, 0) do plano-xz, com
α(v) = (a sen v, 0, a cos v), v ∈ [0, pi],
50 Func¸o˜es Vetoriais Especiais
que a descreve a partir do ponto (0, 0, a) terminando em (0, 0,−a). Isto significa que o paraˆmetro
v e´ o aˆngulo entre o eixo-z e o vetor α(v). Assim, α1(v) = a sen v e α2(v) = a cos v, e obtemos
a seguinte parametrizac¸a˜o para S2(a).
g(u, v) = (a sen v cosu, a sen v senu, a cos v), 0 ≤ u ≤ 2pi, 0 ≤ v < pi.
Figura 42: Esfera S2(a)
[0, 2pi]× [0, pi]
pi r
r
2pi
-g
-
u
6
v
S2(a)
z
-
y
6
q qqqqqqqq q q q qq q qq qqqqqqqqq q qqq qq qq qqqqqqqq qqq qqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqq qqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q qqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqq qqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq q qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq
�
�
�	
x
1.5.25 [Toro]
Exemplo Seja α : [0, 2pi] −→ R3 a cur-
va parametrizada dada por
α(v) = (b+ a cos v, 0, a sen v), 0 ≤ v ≤ 2pi,
onde 0 < a < b sa˜o constantes. Temos que o
trac¸o de α e´ o c´ırculo de raio a e centro (b, 0, 0) do
plano-xz. A superf´ıcie de revoluc¸a˜o gerada por α
e´ chamada toro de revoluc¸a˜o, e sera´ indicada por
T 2(a, b). Uma parametrizac¸a˜o de T 2(a, b) e´ dada
por Figura 43: Toro de Revoluc¸a˜o
z
T 2(a, b)
y
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q qqqqqqqqqqqqqqqq qqq qqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qq qqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqq qqqqqq qqqqqq qqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qqqq qqqqqqqq qqqqq qqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqq qqqqqq qqqq qqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq q qqq qqqqq qq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q qqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qq qqqqqqq qq qqqqq qqqqqq qqqqq qqqqqqqq qqqq qqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqq qqqqq qqqq qqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq q qqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqq qq qqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqq qqq qqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqq qqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q
6
-
�
�	
x
g : [0, 2pi]× [0, 2pi] −−−−−→ R3
(u, v) −−−−−→ g(u, v) = ((b+ a cos v) cosu, (b+ a cos v) senu, a sen v),
cujas curvas coordenadas sa˜o c´ırculos. T 2(a, b) pode ser definido implicitamente. De fato, como
o leitor pode verificar, temos que
T 2(a, b) = {(x, y, z); (
√
x2 + y2 − b)2 + z2 = a2}.
1
Exerc´ıcios
52 Vetores e Func¸o˜es Vetoriais– Exerc´ıcios
1-1 Dado o triaˆngulo 4ABC, A = (3,−1,−1), B = (1, 2,−7) e C = (−5, 14,−3), encontre
α : R −→ R3 cujo trac¸o coincida com
(a) a mediana que passa por A;
(b) a bissetriz do aˆngulo interno B;
(c) a altura trac¸ada por A.
1-2 Seja 4ABC um triaˆngulo escaleno tal que a altura relativa ao lado BC, hBC , tenha com-
primento igual a` metade do comprimento de BC. Mostre que o aˆngulo interno  e´ agudo.
O que ocorre se 4ABC e´ iso´sceles, com AB e AC sendo seus lados iguais?
1-3 Sejam P e Q dois pontos de R3, com P 6= Q. Seja M = (P + Q)/2 o ponto me´dio do
segmento de reta [P,Q]. O plano que passa por M e e´ perpendicular ao vetor Q − P e´
chamado plano mediador de [P,Q], e sera´ denotado por Π[P,Q].
(a) Mostre que
Π[P,Q] = {X ∈ R3; X · (Q− P ) = 1
2
(‖Q‖2 − ‖P‖2)};
(b) Conclua que X ∈ Π[P,Q] se, e somente se, ‖X − P‖ = ‖X −Q‖;
(c) Mostre que a distaˆncia de um ponto Y ∈ R3 a Π[P,Q] e´ dada por
d(Y,Π[P,Q]) =
|2Y · (Q− P )− (‖Q‖2 − ‖P‖2)|
2 ‖Q− P‖ .
1-4 Sejam P1 = (2, 2, 3), P2 = (1, 3, 3), P3 = (1, 2, 4) e P4 = (1, 1, 3) quatro pontos em R3.
(a) Encontre o plano mediador Π[P1,P2];
(b) Encontre o plano mediador Π[P1,P3];
(c) Encontre o plano mediador de Π[P1,P4];
(d) Calcule a intersec¸a˜o Π[P1,P2] ∩ Π[P1,P3] ∩ Π[P1,P4];
(e) Obtenha a esfera que conte´m os pontos P1, P2, P3 e P4.
1-5 Seja T : R4 −→ R3 a aplicac¸a˜o linear cuja matriz com relac¸a˜o a`s bases canoˆnicas e´
A =
 1 −3 4 −21 −1 9 −1
2 −5 11 −4
 .
(a) Mostre que T e´ sobrejetiva;
(b) Conclua que o nu´cleo de T , N(T ), tem dimensa˜o 1. Encontre uma base para N(T );
(c) Dado Y0 ∈ R3, seja X0 ∈ R4 tal que T (X0) = Y0 (Por que existe X0?). Mostre que
T−1(Y0) e´ a reta de R4 que passa por X0 e e´ paralela a V = (−11,−3, 1, 1);
(d) Parametrize a reta T−1(5, 7, 14);
(e) Resolva o sistema linear 
x− 3y + 4z − 2w = 5
x− y + 9z − w = 7
2x− 5y + 11z − 4w = 14
;
(f) Encontre um funcional linear f : R4 −→ R cujo nu´cleo coincida com N(T )⊥;
(g) Encontre a equac¸a˜o do hiperplano perpendicular ao vetor (−11,−3, 1, 1) e que passa
pelo ponto (1, 1, 1, 1).
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais – Exerc´ıcios 53
1-6 Considere a matriz
A =
 1 2 −32 6 −11
1 −2 7
 .
(a) Verifique que A tem posto 2;
(b) Conclua que Im(T ), a imagem de
T : R3 −−−−−→ R3
X −−−−−→ T (X) = AX,
e´ um plano, e N(T ) e´ uma reta;
(c) Encontre uma equac¸a˜o para Im(T ) e parametrize a reta N(T );
(d) Encontre uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente sobre a tripla (a, b, c) para que o sistema
linear 
x+ 2y − 3z = a
2x+ 6y − 11z = b
x− 2y + 7z = c
;
seja compat´ıvel, isto e´, tenha soluc¸a˜o.
1-7 Sejam P = (2,−2, 1) e α a reta α(t) = (1 + 2t, 2− 3t,−3 + 2t), t ∈ R. Seja Π o plano que
conte´m {P} ∪ trα;
(a) Encontre g : R2 −→ R3 que parametrize Π;
(b) Encontre uma definic¸a˜o implicita para Π;
(c) Encontre f : R2 −→ R tal que o plano Π coincida com o seu gra´fico.
1-8 Sejam Q = (−3, 4,−2, 11), P = (5,−3, 2, 6) e A = (2,−1, 0, 1) pontos do R4 e L a reta que
passa por P e e´ paralela a A.
(a) Se X = P + tA ∈ L, mostre que d(Q,X) = √6t2 + 36t+ 154;
(b) Mostre que existe um u´nico ponto M ∈ L tal que a distaˆncia d(Q,X) e´ mı´nima (esse
mı´nimo vale d = 10 e M = (−1, 0, 2, 3));
(c) Mostre que o vetor M −Q e´ ortogonal a` reta L;
(d) Considere o hiperplano H ortogonal a L e que passa por Q.
(i)X = (x, y, z, t) ∈ H ⇐⇒ 2x− y + t− 1 = 0;
(ii)H ∩ L = {M};
(iii) Calcule a distaˆncia de P a H;
(e) Encontre func¸o˜es g : R3 −→ R4, f : R3 −→ R e h : R4 −→ R para as quais o hiperplano
H e´ imagem, gra´fico e superf´ıcie de n´ıvel, respectivamente.
1-9 Mostre que α(t) = (t,
√
8 + 2t− t2, t+4), −2 ≤ t ≤ 4, e´ uma curva plana contida no cilindro
(x− 1)2 + y2 = 9. Esboce o trac¸o de α.
54 Vetores e Func¸o˜es Vetoriais – Exerc´ıcios
1-10 Esboce o trac¸o das seguintes curvas parametrizadas.
(a) α(t) = (c+ a cos t, d+ b sen t), t ∈ R, a, b > 0;
(b) α(t) = (a cos t, a sen t, bt), t ∈ R, a > 0, b 6= 0;
(c) α(t) = (1 + cos t, sen t, 2 sen(t/2)), t ∈ R;
1-11 Identifique e esboce o trac¸o de cada superf´ıcie parametrizada, indicando as respectivas curvas
coordenadas.
(a) f(u, v) = (cosu sen v, senu sen v, cos v), 0 ≤ u ≤ 2pi, 0 ≤ v ≤ pi
2
;
(b) g(u, v) = (cosu, senu, v), 0 < u < 2pi e v ∈ R;
(c) g(u, v) = (v cosu, v senu, v), 0 < u < 2pi e v > 0;
(d) g(u, v) = (v cosu, v senu, v2), 0 < u < 2pi e v > 0;
(e) g(u, v) = (2 cos v cosu, 2 cos v senu, sen v), 0 < u < 2pi e v ∈ R;
(f) f(u, v) = (u, v,
√
u2 + v2), u, v ∈ R;
(g) g(u, v) = (cosh v cosu, cosh v senu, v), 0 < u < 2pi e v ∈ R. [Cateno´ide]
1-12 Seja f : D ⊂ R2 −→ R, ondeD = {(x, y) ∈ R2; x > 0}. Suponha que a curva parametrizada
α : I −→ D, α(v) = (α1(v), α2(v)), seja tal que seu trac¸o coincida γ = f−1(0). Defina
F : R3 −−−−−→ R
(x, y, z) −−−−−→ F (x, y, z) = f(
√
x2 + y2, z)
.
(a) Mostre que a superf´ıcie de revoluc¸a˜o gerada por α, Sα, e´ definida implicitamente por F ,
isto e´,
Sα = F
−1(0) = {(x, y, z); F (x, y, z) = f(
√
x2 + y2, z) = 0}.
(b) Considere, agora, o toro T 2(a, b) dado no exemplo 1.5.25. Observando que f : R2 −→ R,
f(x, y) = (x− b)2 +y2−a2, define implicitamente o c´ırculo gerador de T 2(a, b), verifique
que
T 2(a, b) = {(x, y, z); (
√
x2 + y2 − b)2 + z2 = a2}.
1-13 Determine e esboce o maior subconjunto Ω (Ω ⊂ R2, de (a) a (g), e Ω ⊂ R3 em (h) e (i)) de
modo que f : Ω −→ R esteja bem definida.
(a) f(x, y) =
√
x2(x− 1);
(b) f(x, y) = arcsen(x/2) +
√
xy;
(c) f(x, y) =
√
1− x2 +√4− y2;
(d) f(x, y) = log(x log(y − x));
(e) f(x, y) = |x|√x− 1;
(f) f(x, y) = 1/ (x2 + y2);
(g) f(x, y) =
√
x−√y;
(h) f(x, y, z) = x(y
z);
(i) f(x, y, z) =
√
a2 − x2 − y2 − z2 + 1√
x2 + y2 + z2 − b2
, a2 ≥ b2.
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais – Exerc´ıcios 55
1-14 Em cada caso, esboce o gra´fico G(f) da func¸a˜o f : D ⊂ R2 −→ R dada.
(a) z = f(x, y) = 4− x2 − y2, D = R2;
(b) z = f(x, y) =
√
x2 + 4y2, D = R2;
(c) z = f(x, y) = 2− y2, D = R2;
(d) z = f(x, y) =
{
1, |x| < |y|
0, |x| ≥ |y| , D = R
2;
(e) z = f(x, y) = sen x, D = R2;
(f) z = f(x, y) =
√
16− x2 − y2, D = B[4]− {(0, 0)};
(g) z = f(x, y) = 1/ (x2 + y2), D = R2 − {(0, 0)};
(h) z = f(x, y) = sen(y − x), D = R2;
(i) z = f(x, y) = (2x+ y)3, D = R2;
(j) z = f(x, y) =
{
0, xy = 0
1, xy 6= 0, D = R
2.
1-15 Esboce os seguintes conjuntos definidos implicitamente pela func¸a˜o f dada.
(a) f(x, y) = x2y = 1;
(b) f(x, y) = (x2 + y2 + 1)2 − 4x2 = 0;
(c) f(x, y) = x2 − 2x+ y2 = 0;
(d) f(x, y) = x2 + 4y2 = 4;
(e) f(x, y, z) = (x− 1)2 + y2 + z2 = 1;
(f) f(x, y, z) = x2 − y2 + z2 = 0;
(g) f(x, y, z) = x2 + y2 = 4;
(h) f(x, y, z) = (xyz, x+ y) = (0, 1);
(i) f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2, y + z) = (1, 1).
1-16 A temperatura T (x, y) do ponto (x, y) de uma chapa meta´lica e´ dada pela func¸a˜o real
T (x, y) = 2x2 + 3y2 + 15. Encontre a equac¸a˜o da isoterma (curva de temperatura constante)
que passa pelo ponto (1, 3) e esboce tal curva de n´ıvel.
1-17 Mostre que a aplicac¸a˜o linear T : R2 −→ R2, T (x, y) = (x − y, x + y), e´ a composta da
homotetia de raza˜o
√
2 com a rotac¸a˜o de aˆngulo pi/4.
1-18 Seja A = (aij)m×n uma matriz real de ordem m× n. Indique sua transposta por tA. Se · e´
o produto interno canoˆnico de Rn, X ∈ Rn e Y ∈ Rm, mostre que (AX) · Y = X · ( tAY ).
56 Vetores e Func¸o˜es Vetoriais – Exerc´ıcios
1-19 [Matrizes Ortogonais] Uma matriz A = (aij)n×n e´ dita ortogonal se A tA = tAA = I, onde
I e´ a matriz identidade, e tA indica a transposta de A. Uma aplicac¸a˜o linear T : Rn −→ Rn
e´ ortogonal se sua matriz (com relac¸a˜o a base canoˆnica) e´ ortogonal.
(a) Seja A = (aij)n×n ortogonal.
(i)A−1 = tA;
(ii) Mostre que as linhas (colunas) de A formam uma base ortonormal de Rn;
(iii) Se A e´ ortogonal, enta˜o (detA)2 = 1;
(iv) Se T e´ o operador linear de matriz A, enta˜o T preserva o produtointerno, isto e´,
X · Y = T (X) · T (Y ), X, Y ∈ Rn.
Em particular, T preserva comprimentos: ‖T (X)‖ = ‖X‖;
(b) Dado θ ∈ R, as matrizes
A1(θ) =
(
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
)
e A2(θ) =
(
− cos θ sen θ
sen θ cos θ
)
sa˜o ortogonais.
(c) Se A e´ uma matriz ortogonal de ordem 2 × 2 e detA = 1, enta˜o existe θ ∈ R tal que
A = A1(θ), como em (b);
(d) Seja T : Rn −→ Rn (na˜o necessariamente linear) tal que
X · Y = T (X) · T (Y ), ∀X, Y ∈ Rn.
(i) Mostre que {T (e1), T (e2), . . . , T (en)} e´ uma base ortonormal, onde {e1, e2, . . . , en} e´
a base canoˆnica;
(ii) Conclua que T (X) = (X · e1)T (e1) + (X · e2)T (e2) + · · ·+ (X · en)T (en);
(iii) Conclua que T e´ uma aplicac¸a˜o linear ortogonal.
1-20 [Isometrias] Uma isometria de Rn e´ uma aplicac¸a˜o S : Rn −→ Rn que preserva distaˆncias:
‖Y −X‖ = ‖S(Y )− S(X)‖ . (¶10)
(a) Toda isometria S e´ injetiva;
(b) Se S e´ uma isometria e S(0) = 0, enta˜o S preserva o produto interno;
(c) Se S e´ uma isometria e S(0) = 0, enta˜o S e´ uma aplicac¸a˜o linear ortogonal;
(d) Conclua que toda isometria S e´ da forma S(X) = T (X)+B, onde T e´ (linear) ortogonal
e B e´ uma vetor constante.
1-21 Seja T : Rn −→ Rn uma aplicac¸a˜o linear ortogonal.
(a) Se W ⊂ Rn e´ um subespac¸o invariante sob T , isto e´, T (W ) ⊂ W , enta˜o T (W ) = W e
T (W⊥) = W⊥;
(b) Conclua que se n = 3, T (e3) = e3 e detT = 1, enta˜o T e´ uma rotac¸a˜o em torno do
eixo-z;
(c) Mostre que T : R3 −→ R3 dada por T (x, y, z) = ((√3x − y)/2, (x + √3y)/2, z) e´ uma
rotac¸a˜o em torno do eixo-z, e identifique o aˆngulo de rotac¸a˜o.
Vetores e Func¸o˜es Vetoriais – Exerc´ıcios 57
1-22 [Aplicac¸o˜es Auto-adjuntas]1 Uma aplicac¸a˜o linear T : Rn −→ Rn e´ auto-adjunta se
T (X) · Y = X · T (Y ), ∀X, Y ∈ Rn.
(a) T e´ auto-adjunta ⇐⇒ A, a matriz de T , e´ sime´trica (i.e., tA = A). Aproveite isto para
construir exemplos de aplicac¸o˜es auto-adjuntas em R2 e R3;
(b) Se T e´ auto-adjunta e W ⊂ Rn e´ um subespac¸o invariante sob T , enta˜o W⊥ e´ invariante
sob T ;
(c) E´ um fato verdadeiro que os autovalores de T sa˜o reais. Prove diretamente isto para
n = 2 e n = 3;
(d) Se λ1 6= λ2 sa˜o autovalores de uma aplicac¸a˜o auto-adjunta T , enta˜o autovetores corres-
pondentes a λ1 e λ2 sa˜o ortogonais.
1Este exerc´ıcio e´ opcional, e exige um pouco mais de A´lgebra Linear.
2
Ca´lculo
das
Curvas Parametrizadas
z
y
6
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp p pppppppppp pp pppppp p pppppppp p pppp p ppppp pp ppppp p ppp pp pppp pp p ppp pp pp p ppp p ppp pp ppp p ppp pppp pppp ppp pppppp ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
-
�
�
�
�
�
�	
x
s(1, 1, 1)
s(−1, 1,−1)
por
A. Carlos & J. Adonai
2.1
Limite e Continuidade
O objetivo aqui e´ estender os conceitos de limitee continuidade que conhecemos para
func¸o˜es reais de uma varia´vel real, a`s func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel real.
2.1.1
Definic¸a˜o Sejam α : D ⊂ R −→ Rn uma func¸a˜o vetorial com func¸o˜es coordenadas α1, α2,
α3, . . . , αn, e t0 ∈ R. Se existem
l1 = lim
t→t0
α1(t), l2 = lim
t→t0
α2(t), . . . , ln = lim
t→t0
αn(t),
diremos que α possui limite em t0, e a n-upla
lim
t→t0
α(t) = (l1, l2, . . . , ln)
sera´ chamada limite de α em t0.
2.1.2
Exemplo Seja α(t) = (cos t, sen t, t2 + 2,
sen t
t
), t 6= 0. Como
lim
t→0
cos t = 1, lim
t→0
sen t = 0, lim
t→0
(t2 + 2) = 2, e lim
t→0
sen t
t
= 1,
segue-se que
lim
t→0
α(t) = (1, 0, 2, 1).
2.1.3
Exemplo A func¸a˜o β(t) = (t, sen
2pi
t
), definida em R−{0}, na˜o tem limite em t0 = 0, visto
que β2(t) = sen
2pi
t
, sua segunda func¸a˜o coordenada na˜o tem limite neste ponto.
Um bom modo de ver isso e´ estudar o comportamento de β2 ao longo de dois subconjuntos
especiais (duas sequeˆncias) do seu domı´nio, a saber:
e
X1 = {x ∈ R; x = 1
k
, k ∈ N}
X2 = {y ∈ R; y = 4
4k + 1
, k ∈ N},
onde N = {1, 2, 3, . . .} e´ o conjunto dos nu´meros naturais. Note que tanto os elementos de X1
quanto os de X2 ficam bem pro´ximos de t0 = 0 a` medida que o valor de k cresce. Agora, se
x = 1/k e´ um elemento de X1, enta˜o β2(x) = sen(2pi/x) = sen 2kpi = 0. Por outro lado, se
y ∈ X2, enta˜o, β2(y) = 1. Logo, β2(t) na˜o pode se aproximar de um valor bem definido quando
o paraˆmetro t tende a zero, isto e´, β2 na˜o tem limite em t0 = 0.
59
60 Derivadas
2.1.4
Definic¸a˜o Sejam α : D ⊂ R −→ Rn uma func¸a˜o vetorial com func¸o˜es coordenadas α1, α2,
α3, . . . , αn, e t0 ∈ D. Se α1, α2, α3, . . . , αn sa˜o cont´ınuas em t0, diremos que
α e´ cont´ınua em t0. Quando α e´ cont´ınua em todos os pontos de D, dizemos que α e´ cont´ınua
em D.
2.1.5
Exemplo A curva parametrizada no R3, α(t) = (et, cos t+sen t, 1+t+t2), t ∈ R, e´ cont´ınua
em R, pois suas func¸o˜es coordenadas sa˜o cont´ınuas a´ı.
A seguinte proposic¸a˜o decorre facilmente das propriedades do limite para func¸o˜es reais de
uma varia´vel real.
2.1.6 [Operac¸o˜es com Limites]
Proposic¸a˜o Sejam α, β : D ⊂ R −→ Rn duas func¸o˜es vetoriais
que teˆm limite em t0 ∈ R, h : D −→ R tambe´m
tendo limite em t0, e a ∈ R. Enta˜o, valem as seguintes propriedades do limite:
(i) lim
t→t0
(α + β)(t) = lim
t→t0
α(t) + lim
t→t0
β(t);
(ii) lim
t→t0
(hα)(t) = lim
t→t0
h(t) lim
t→t0
α(t);
(iii) lim
t→t0
(aα)(t) = a lim
t→t0
α(t);
(iv) lim
t→t0
(α · β)(t) = lim
t→t0
α(t) · lim
t→t0
β(t);
(v) lim
t→t0
(α× β)(t) = lim
t→t0
α(t)× lim
t→t0
β(t). (Aqui, estamos supondo n = 3.)
2.2
Derivadas
Ja´ que dispomos da noc¸a˜o de limite, torna-se bastante natural o conceito de derivada para
curvas parametrizadas no Rn. A ide´ia e´ trazer esta noc¸a˜o do ca´lculo das func¸o˜es reais de uma
varia´vel real, como ja´ fizemos com limite. Mais precisamente, temos a seguinte definic¸a˜o.
2.2.1
Definic¸a˜o Seja α : I −→ Rn uma curva parametrizada. Diremos que α e´ deriva´vel em
t ∈ I se existir o limite
lim
h→0
α(t+ h)− α(t)
h
.
Este limite, quando existe, e´ chamado derivada de α em t, e e´ denotado por α′(t). Se esta
derivada existe em todo ponto de I, diremos que α e´ deriva´vel em I.
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas 61
Dados uma curva parametrizada α : I −→ Rn, e t ∈ I, temos usando as definic¸o˜es 1.1.5
e 1.1.6, dadas no cap´ıtulo 1, que
α(t+ h)− α(t)
h
=
1
h
(α1(t+ h)− α1(t), α2(t+ h)− α2(t), . . . , αn(t+ h)− αn(t))
= (
α1(t+ h)− α1(t)
h
,
α2(t+ h)− α2(t)
h
, . . . ,
αn(t+ h)− αn(t)
h
),
o que, diante da definic¸a˜o 2.1.1, prova a seguinte proposic¸a˜o, bastante u´til nos exerc´ıcios.
2.2.2
Proposic¸a˜o Uma curva parametrizada α : I −→ Rn e´ deriva´vel em t ∈ I se, e somente se,
suas func¸o˜es coordenadas sa˜o deriva´veis em t, e vale a identidade:
α′(t) = (α′1(t), α
′
2(t), . . . , α
′
n(t)).
2.2.3
Interpretac¸a˜o Geome´trica
Seja α : I −→ R3 uma curva parametrizada deriva´vel em t ∈ I. Introduzimos aqui o
quociente de Newton de α em t, o qual indicaremos por Q, e e´ definido por
Q(h) =
α(t+ h)− α(t)
h
, h 6= 0, e t+ h ∈ I.
Portanto, α′(t) = lim
h→0
Q(h), o que sugere que a visualizac¸a˜o de Q(h), para alguns valores
Figura 44: O Vetor Tangente α′(≈)
-αI
t
r t+ hr
z
y
6
-
�
�
�
�	
x
pp ppppppppppppppppppppp pppppppppp pppppppp pppp ppppppp ppp pppp ppp pppp pppppp pppp pp pppp pppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp pppp pp pppp pp pp pp pp pp pp pp ppp pp pp ppp pp pp pp pp pppp pp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
rα(t) r
α′(t)
ltα
α(t+ h)
Q(h)
��
��
��
��
��
�
�������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��1
��
��
��
��1
�
�
��
de h pro´ximos do zero, facilitara´ a visualizac¸a˜o do vetor α′(t). Com efeito, na figura 44 temos o
vetor α(t+h)−α(t) e seu mu´ltiplo Q(h). Agora e´ so´ deixar a nossa intuic¸a˜o trabalhar, pensando
nos valores de h se aproximando de zero. Isto ocorrendo, as retas que passam por α(t) e α(t+h)
62 Derivadas
se aproximam da reta tangente ao trac¸o de α em α(t). Portanto, os vetores Q(h) se aproximam
de um vetor tangente, tambe´m neste ponto. Posto isto, podemos interpretar geometricamente
o vetor α′(t) como um vetor tangente ao trac¸o de α em α(t). Isto motiva a seguinte definic¸a˜o.
2.2.4
Definic¸a˜o Seja α : I −→ Rn uma curva parametrizada deriva´vel em t. A derivada α′(t) e´
chamado vetor tangente de α em t. Se α′(t) 6= 0, a reta que passa pelo ponto
α(t) e e´ paralela ao vetor α′(t) e´ conhecida por reta tangente de α em t. Indicaremos esta reta
por ltα. Assim,
ltα = α(t) + [α
′(t)] = {X ∈ Rn; X = α(t) + uα′(t), u ∈ R},
conforme definic¸a˜o 1.3.1.
Observac¸a˜o O leitor com pouca experieˆncia deve ficar atento com relac¸a˜o a` forma como
foram indicados os pontos da reta ltα: o paraˆmetro que descreve seus pontos
esta´ sendo indicado por u. O paraˆmetro t, da curva α, esta´ fixo e determina um ponto e a
direc¸a˜o da reta.
2.2.5
Exemplo Consideremos a curva parametrizada
α(t) = (a cos t, a sen t), t ∈ [0, 2pi],
cujo trac¸o e´ o c´ırculo x2 + y2 = a2. Temos que
α′(t) = (−a sen t, a cos t),
e, fixado t, a reta tangente a α em t e´ dada por
ltα = {X = (a cos t, a sen t)+u(−a sen t, a cos t), u ∈ R}.
Em particular, a reta tangente de α em t = pi/4 e´
lpi/4α = {X = (a
√
2
2
, a
√
2
2
) + u(−a
√
2
2
, a
√
2
2
), u ∈ R}.
A curva parametrizada
β(t) = (a cos t+ at sen t, a sen t− at cos t), t ∈ [0, 2pi],
e´ a evolvente de α. Seu vetor tangente em ponto ar-
bitra´rio t e´ β′(t) = t(a cos t, a sen t), vetor que e´ perpen-
dicular a α′(t), visto que α′(t)·β′(t) = 0. Observando que
‖α(t)− β(t)‖ = at, o que coincide com o comprimento do
arco do c´ırculo ligando P a α(t), como mostra a figura 46,
podemos interpretar geometricamente a evolvente da se-
-
6
x
y
Figura 45
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
pppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppp ppppppppp ppppppp pppppppp pppppppp ppppppp pppppp ppppp ppppp pppppp pppp ppp pppp pppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp ppp pppp pppp ppp pp ppp ppp pp ppp ppp pp pp ppp ppp pp ppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp pp pp pp ppp pppp ppp pp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp pp pp ppp ppp ppp ppp pp pp pp pp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp pp pp pp ppp pppp ppp pp ppp pppp ppp pp ppp pppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp pppp pppp pppp ppp pp pp pp ppp pppp pppp pppp ppp pp pp pp pp pppp pp pp pp pp pp pp ppp ppp pp ppp pppp ppp pp ppp pppp ppp pp pp pp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp pp ppp pppp ppp pp pp ppp pppp pppp ppp pp pp pp pp pp ppp pppp ppp pp pp pp pp pp pp ppp pppp ppp ppp ppp pp ppp ppp pp pp ppp ppp ppp pppp ppp ppp pppp pppp pppp pppp pppp ppp pppp ppppp pppp ppp pppp pppppp ppppp ppppp pppppp ppppppp pppppppp pppppppp ppppppp ppppppppp pppppppppppppp ppppppppppppppppppppppppppppppp
@
@
@
@
@@
�
�
��@
@
@
@
@@
I
α(pi/4)
lpi/4α
pi/4
α′(pi/4)
a
@
@
@I r
-
6
x
y
Figura 46: Evolvente
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppp pp ppppp pp pp pp pp ppp pp ppp pp pp pp pp pp pp pp ppp ppp pp pp pp ppp pppp pp pp pp pp ppp ppp pp ppp pppp pppp pp
pppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppp ppppppp pppppp ppppppp ppppppp ppppp pppp ppp pppp pppp pppp pppp pppp ppp ppp pppp ppp ppp ppp pp pp pp pp pp pp ppp ppp pp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp pp pp pp pp ppp ppp pp pp ppp ppp p ppp ppp pp pp pp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp pp ppp pppp ppp pp pp pp pp pp pp pp ppp pppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp pppp ppp pp pp pp pp pp pp pp ppp pppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp pp pp ppp ppp ppp ppp pp pp pp ppp ppp pp pp pp pp ppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppp pp ppp pppp ppp pp pp pp pp pp ppp ppp ppp pppp ppp ppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp ppppp pppppp ppppppp ppppppp pppppp pppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp
Y
α(t)s
β(t)
β′(t)
s−tα′(t)ta ��
���
�
�
���
HHHHjs
P
guinte forma: enrole sobre o c´ırculo um corda˜o de modo que a extremidade livre coincida com P .
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas 63
A seguir, segure P e desenrole o corda˜o, mantendo-o sempre esticado. A trajeto´ria descrita por
P e´ exatamente o trac¸o da evolvente. O exemplo que segue exibe um modo surpreendente de
se construir a evolvente β.
2.2.6
Exemplo A he´lice circular λ(t) = (a cos t, a sen t, bt), t ∈ R, e´ uma curva parametrizada
deriva´vel em R, visto que suas func¸o˜es coordenadas sa˜o deriva´veis. A derivada
de λ em t e´
λ′(t) = (−a sen t, a cos t, b),
de acordo com a proposic¸a˜o 2.2.2. Portanto, a reta tan-
gente de λ em t e´
ltλ = {(a cos t−ua sen t, a sen t+ua cos t, bt+ub), u ∈ R}.
A terceira coordenada de cada ponto de ltλ e´ da forma
z = bt+ ub, a qual e´ nula se, e somente se, u = −t. Logo,
ltλ intercepta o plano-xy no ponto
(a cos t+ at sen t, a sen t− at cos t, 0), Figura 47
z
y
6
-
�
�
�
�	
x
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppp pppppp ppppp ppppppp pppppp ppppp pppppppp pppppp pppppp ppppppp pppppppp ppppppp ppppppppp ppppppppppp pppppppp ppppppppp pppppppppppp pppppppppp ppppppppppp pppppppppppppppppppp ppppppppppppppp pppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
λ(t)
λ′(t)
ltλ
r α(t)�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
���
r
β(t)
r
cujas duas primeiras coordenadas sa˜o as coordenadas da evolvente β do exemplo 2.2.5, e obtemos,
portanto, outro modo de descrever a evolvente do c´ırculo.
2.2.7 [Operac¸o˜es com Derivadas]
Proposic¸a˜o Sejam α, β : I ⊂ R −→ Rn duas curvas para-
metrizadas deriva´veis em t ∈ I, e h : I −→ R
tambe´m deriva´vel em t. Enta˜o, valem as seguintes propriedades:
(i) (α + β)′(t) = α′(t) + β′(t);
(ii) (hα)′(t) = h′(t)α(t) + h(t)α′(t);
(iii) (α · β)′(t) = α′(t) · β(t) + α(t) · β′(t);
(iv) (α× β)′(t) = α′(t)× β(t) + α(t)× β′(t).
Demonstrac¸a˜o: Veremos apenas a prova de (iii). As demais ficam como exerc´ıcio para
o leitor. Temos que
(α · β)′(t) = (α1β1 + α2β2 + · · ·+ αnβn)′(t)
= (α1β1)
′(t) + (α2β2)′(t) + · · ·+ (αnβn)′(t)
= (α′1(t)β1(t) + α1(t)β
′
1(t)) + · · ·+ (α′n(t)βn(t) + αn(t)β′n(t))
= (α′1(t)β1(t) + · · ·+ α′n(t)βn(t)) + (α1(t)β′1(t) + · · ·+ αn(t)β′n(t))
= α′(t)β(t) + α(t)β′(t),
onde na passagem da segunda para a terceira equac¸a˜o, usamos a derivada do produto de func¸o˜es
reais de uma varia´vel real. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
64 Derivadas
2.2.8 [Regra da Cadeia]
Proposic¸a˜o Sejam α : I ⊂ R −→ Rn e σ : J ⊂ R −→ R. Suponha que
σ(J) ⊂ I. Se σ e´ deriva´vel em u ∈ J e α e´ deriva´vel em
t = σ(u), enta˜o a composta β = α◦σ e´ deriva´vel em u, e vale β′(u) = (α◦σ)′(u) = σ′(u)α′(σ(u)).
Demonstrac¸a˜o: Se α(t) = (α1(t), α2(t), . . . , αn(t)), enta˜o
(α ◦ σ)(u) = α(σ(u)) = (α1(σ(u)), α2(σ(u)), . . . , αn(σ(u))).
Aplicando a regra da cadeia a cada func¸a˜o coordenada de α ◦ σ, obtemos que
β′(u) = (α′1(σ(u))σ
′(u), α′2(σ(u))σ
′(u), . . . , α′n(σ(u))σ
′(u))
= σ′(u)(α′1(σ(u)), α
′
2(σ(u)), . . . , α
′
n(σ(u)))
= σ′(u)α′(σ(u)),
o que completa a prova. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Figura 48
@
@
@R
α
I
6
σ
t = σ(u)
r
�
�
��β
J
u
r
z
y
6
-
�
�
�
�	
x
pp ppppppppppppppppppppp pppppppppp pppppppp pppp ppppppp ppp pppp ppp pppp pppppp pppp pp pppp pppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp pppp pp pppp pp pp pp pp pp pp pp ppp pp pp ppp pp pp pp pp pppp pp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
rα(t)
β(u)
α′(t)
β′(u)
�
�
��
�
�
�
�
�
��
Ate´ aqui, estamos obtendo com sucesso va´rios resultados que dizem respeito a`s curvas
parametrizadas, simplesmente usando os ana´logos do ca´lculo das func¸o˜es reais de uma varia´vel.
Infelizmente, isto nem sempre e´ poss´ıvel: simplesmente perdemos o Teorema do Valor Me´dio,
como mostra o (contra-) exemplo 2.2.10 a seguir.
2.2.9 [Teorema do Valor Me´dio]
Teorema Seja f : [a, b] −→ R uma func¸a˜o cont´ınua no in-
tervalo fechado [a, b] e deriva´vel no intervalo
aberto (a, b). Enta˜o, existe c ∈ (a, b) tal que
f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas 65
2.2.10
Exemplo Seja α : [0, 2pi] −→ R2 definida por α(t) = (cos t, sen t). Se o teorema do valor
me´dio funcionasse para α ter´ıamos a existeˆncia de c ∈ (0, 2pi) tal que
α(2pi)− α(0) = α′(c)(2pi − 0).
Em particular, tomando a norma em ambos os membros, ter´ıamos 2pi = 0, um absurdo.
Na realidade, ainda pensando no teorema do valor me´dio, ele na˜o esta´ totalmente perdido.
Temos uma pequena variac¸a˜o sua, conhecida como primeira desigualdade do valor me´dio, que
vale para as curvas parametrizadas.
2.2.11 [Desigualdade do Valor Me´dio]
Teorema Seja α : [a, b] −→ Rn uma curva para-
metrizada cont´ınua em [a, b] e deriva´vel
em (a, b). Enta˜o, existe c ∈ (a, b) tal que
‖α(b)− α(a)‖ ≤ (b− a) ‖α′(c)‖ .
Demonstrac¸a˜o: Visando usar o teorema do valor me´dio, introduziremos uma func¸a˜o
realauxiliar, a saber:
f(t) = (α(b)− α(a)) · α(t), a ≤ t ≤ b.
E´ claro que f satisfaz as hipo´teses do teorema 2.2.9 e que f ′(t) = (α(b) − α(a)) · α′(t). Logo,
existe c ∈ (a, b) tal que f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a), isto e´,
(α(b)− α(a)) · α(b)− (α(b)− α(a)) · α(a) = (α(b)− α(a)) · α′(c)(b− a),
o que pode ser reescrito como
‖α(b)− α(a)‖2 = (α(b)− α(a)) · α′(c)(b− a).
Agora, aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz (teorema 1.2.18) ao segundo membro desta
equac¸a˜o, vem que
‖α(b)− α(a)‖2 = (α(b)− α(a)) · α′(c)(b− a) ≤ ‖α(b)− α(a)‖ ‖α′(c)‖ |b− a|.
Donde segue-se o teorema. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Como aplicac¸a˜o desta desigualdade, temos o seguinte corola´rio, bastante natural neste
ponto.
2.2.12
Corola´rio Seja α : I ⊂ R −→ Rn uma curva parametrizada deriva´vel em I. Enta˜o, α e´
constante se, e somente se, α′(t) = (0, 0, . . . , 0), para todo t ∈ I.
Demonstrac¸a˜o: E´ claro que se α e´ constante, enta˜o sua derivada e´ nula sempre. Veja-
mos a parte que falta. Para isto, sejam a < b dois pontos de I. A desigualdade do valor me´dio
da´ c, a < c < b, tal que
‖α(b)− α(a)‖ ≤ (b− a) ‖α′(c)‖ .
66 Derivadas
Como α′ e´ sempre nulo, vem, em particular, que ‖α′(c)‖ = 0. Logo, ‖α(b)− α(a)‖ ≤ 0, o
que implica que ‖α(b)− α(a)‖ = 0 e, portanto, α(b) = α(a). Como a e b foram escolhidos
arbitrariamente, resulta que α e´ constante. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Este corola´rio e a proposic¸a˜o que segue desempenham papel fundamental no estudo da
geometria das curvas parametrizadas, como veremos na pro´xima sec¸a˜o.
2.2.13
Proposic¸a˜o Seja α : I ⊂ R −→ Rn uma curva parametrizada deriva´vel em I. Enta˜o, α
tem norma constante se, e somente se, α′(t) e´ perpendicular a α(t), para
todo t ∈ I. (Geometricamente, isto significa que se o trac¸o de α esta´ contido em uma esfera,
enta˜o o vetor tangente de α tambe´m e´ tangente a` esfera.)
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos, inicialmente, que ‖α(t)‖ = c, para todo t ∈ I (isto
significa que trα ⊂ Sn−1(c), onde Sn−1(c) = {X ∈ Rn; ‖X‖ = c} e´ a esfera de raio c centrada
na origem do Rn). Logo, ‖α(t)‖2 = c2. Usando o item (iii) da proposic¸a˜o 2.2.7, obtemos que
2α(t) · α′(t) = 0, o que prova que α′(t) e´ perpendicular a α(t).
Reciprocamente, se α′(t) e´ perpendicular a α(t), enta˜o
d ‖α(t)‖2
dt
= 2α′(t) · α(t) = 0.
Isto implica que ‖α(t)‖2 e´ constante, visto que estamos trabalhando em um intervalo. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
2.2.14
Derivadas de Ordem Superior
Seja α : I ⊂ R −→ Rn uma curva parametrizada deriva´vel no intervalo I. Posto isto,
temos uma nova curva parametrizada definida em I, a primeira derivada de α:
α′ : I −−−−−→ Rn
t −−−−−→ α′(t) = (α′1(t), α′2(t), . . . , α′n(t)).
2.2.15
Definic¸a˜o Se α′ e´ deriva´vel em t ∈ I, diremos que α e´ duas vezes deriva´vel em t, e o vetor
α′′(t) = (α′)′(t) = (α′′1(t), α
′′
2(t), . . . , α
′′
n(t))
sera´ chamado segunda derivada (ou vetor acelerac¸a˜o) de α em t. Se α′′(t) existe em todo t ∈ I,
diremos que α e´ duas vezes deriva´vel em I.
As derivadas de ordem mais alta sa˜o definidas indutivamente, de modo ana´logo ao que se
faz para as func¸o˜es reais de uma varia´vel, isto e´, a segunda derivada e´ a derivada da primeira
(como ja´ definimos); a terceira derivada e´ a derivada da segunda... Mais precisamente, temos a
seguinte definic¸a˜o.
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas 67
2.2.16
Definic¸a˜o Seja α : I ⊂ R −→ Rn uma curva parametrizada p vezes deriva´vel em I, p ∈ N.
Se α(p), a p-e´sima derivada de α, e´ deriva´vel em t, dizemos que α e´ (p+ 1) vezes
deriva´vel em t, e o vetor
α(p+1)(t) = (α(p))′(t) = (
d(p+1)α1
dt(p+1)
(t),
d(p+1)α2
dt(p+1)
(t), . . . ,
d(p+1)αn
dt(p+1)
(t)), t ∈ I
e´ a (p+ 1)-e´sima derivada de α em t.
2.2.17
Exemplo Seja λ(t) = (a cos t, a sen t, bt), t ∈ R a he´lice circular. E´ claro que λ tem derivadas
de todas as ordens em R. Suas quatro primeiras derivadas, calculadas em um
ponto arbitra´rio t, sa˜o:
λ′(t) = (−a sen t, a cos t, b)
λ′′(t) = λ(2)(t) = (λ′)′(t) = (−a cos t,−a sen t, 0)
λ′′′(t) = λ(3)(t) = (λ′′)′(t) = (a sen t,−a cos t, 0)
λ′′′′(t) = λ(4)(t) = (λ′′′)′(t) = (a cos t, a sen t, 0).
2.2.18
Exemplo Se β(u) = (u, u2, u3), u ∈ R, enta˜o β′(u) = (1, 2u, 3u2), β′′(u) = (0, 2, 6u),
β′′′(u) = (0, 0, 6), e β(p)(u) = (0, 0, 0), para todo p > 3.
2.2.19
Interpretac¸a˜o F´ısica
Seja α : I ⊂ R −→ R3, α(t) = (α1(t), α2(t), α3(t)), uma curva parametrizada, duas vezes
deriva´vel no intervalo I. Neste ponto, passare-
mos a olhar o paraˆmetro de α como o tempo e o
vetor α(t) como o vetor-posic¸a˜o de uma determi-
nada part´ıcula P , que se move no espac¸o. Neste
caso, os vetores α′(t) e α′′(t) recebem nomes espe-
ciais, a saber: o vetor tangente de α em t, α′(t), e´
chamado vetor velocidade de P no tempo t, e a se-
gunda derivada de α em t, α′′(t), e´ chamada vetor
acelerac¸a˜o de P em t. As normas destes vetores
sa˜o conhecidas por velocidade escalar e acelerac¸a˜o
escalar de α (ou P ) em t, respectivamente. A ve-
locidade escalar de α em t e´ indicada por v(t), e
acelerac¸a˜o e´ indicada por a(t). Assim,
v(t) = ‖α′(t)‖ e a(t) = ‖α′′(t)‖ , t ∈ I.
Figura 49: Movimento de uma Part´ıcula
z
y
6
-
�
�
�
�	
x
�
�
�
��3
pp ppppppppppppppppppppp pppppppppp pppppppp pppp ppppppp ppp pppp ppp pppp pppppp pppp pp pppp pppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp pppp pp pppp pp pp pp pp pp pp pp ppp pp pp ppp pp pp pp pp pppp pp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
rP
α′(t)
PPPPPq
α′′(t)
�
�
��
68 Derivadas
2.2.20 [Movimento Circular Uniforme]
Exemplo Suponha que uma part´ıcula P se mova
ao longo do c´ırculo x2 + y2 = a2, a
partir de (a, 0), no sentido anti-hora´rio, a uma velocidade angular constante ω rd/seg. Enta˜o,
decorridos t seg, seu vetor-posic¸a˜o α(t) deve fazer um
aˆngulo θ(t) = ωt com o eixo-x. Logo,
α(t) = (a cos θ(t), a sen θ(t)) = (a cosωt, a senωt), t ≥ 0.
Portanto, a velocidade e acelerac¸a˜o de P sa˜o
α′(t) = (−aω senωt, aω cosωt)
α′′(t) = (−aω2 cosωt,−aω2 senωt).
Donde segue-se que o movimento e´ central, isto e´, α′′(t)
aponta para o centro do c´ırculo. Ale´m disto,
v(t) = ‖α′(t)‖ = ωa
a(t) = ‖α′′(t)‖ = ω2a,
-
6
x
y
Figura 50: Movimento Circular
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
pppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppp ppppppppp ppppppp pppppppp pppppppp ppppppp pppppp ppppp ppppp pppppp pppp ppp pppp pppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp ppp pppp pppp ppp pp ppp ppp pp ppp ppp pp pp ppp ppp pp ppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp pp pp pp ppp pppp ppp pp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp pp pp ppp ppp ppp ppp pp pp pp pp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp pp pp pp ppp pppp ppp pp ppp pppp ppp pp ppp pppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp pppp pppp pppp ppp pp pp pp ppp pppp pppp pppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp ppp pp ppp pppp ppp pp ppp pppp ppp pp pp pp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp pp ppp pppp ppp pp pp ppp pppp pppp ppp pp pp pp pp pp ppp pppp ppp pp pp pp pp pp pp ppp pppp ppp ppp ppp pp ppp ppp pp pp ppp ppp ppp pppp ppp ppp pppp pppp pppp pppp pppp ppp pppp ppppp pppp ppp pppp ppppppppppp ppppp pppppp ppppppp pppppppp pppppppp ppppppp ppppppppp pppppppppppppp ppppppppppppppppppppppppppppppp
r6(a, 0)I
P
ωt
α′(t)
a
@
@@I r
�
�
�	
α′′(t)
que sa˜o as conhecidas expresso˜es da velocidade escalar e da acelerac¸a˜o escalar de uma part´ıcula
em movimento circular uniforme.
2.2.21 [Movimento Uniforme]
Exemplo Suponhamos que uma part´ıcula P , partindo do pon-
to Q = (q1, q2, q3), se mova com acelerac¸a˜o constante
A = (a1, a2, a3) e que, no momento de sua partida (t = 0), sua velocidade seja V = (v1, v2, v3).
O nosso objetivo agora e´, a partir destas informac¸o˜es,
determinar a posic¸a˜o de P num instante t qualquer. In-
diquemos, enta˜o, por α(t) a posic¸a˜o de P no tempo t.
Logo,
α(0) = Q = (q1, q2, q3)
α′(0) = V = (v1, v2, v3)
α′′(t) = A = (a1, a2, a3), ∀t ≥ 0.
Integrando duas vezes a terceira equac¸a˜o acima, vem que
α(t) = C1 + tC2 +
t2
2
A, t ≥ 0,
onde C1 = α(0) e C2 = α
′(0). Logo, Figura 51: Movimento Uniforme
z
y
x
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
p pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
-rVQrPPq
A
�
��
6
r
�
�	
r U α(t)
α(t) = Q+ tV +
t2
2
A = (q1 + tv1 +
t2
2
a1, q2 + tv2 +
t2
2
a2, q3 + tv3 +
t2
2
a3), t ≥ 0.
Em particular, se V e A sa˜o linearmente independentes, resulta que a trajeto´ria de P (ou o
trα) e´ plana. Mais precisamente, ela e´ uma para´bola no plano que passa por Q e e´ paralelo aos
vetores V e A. (O que ocorre com tal trajeto´ria se V e A sa˜o linearmente dependentes?)
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas 69
2.3
Geometria das Curvas Parametrizadas
Nesta sec¸a˜o, estaremos particularmente interessados em curvas parametrizadas do R3, isto
e´, em curvas parametrizadas do tipo
α : I ⊂ R −−−−−→ R3
t −−−−−→ α(t) = (α1(t), α2(t), α3(t)).
As curvas parametrizadas do R2 sera˜o consideradas, de modo natural, imersas em R3: uma
dupla β(t) = (β1(t), β2(t)) sera´ identificada com a tripla (β1(t), β2(t), 0).
2.3.1 [Curva Regular]
Definic¸a˜o Uma curva parametrizada deriva´vel α : I −→ Rn e´ dita regular
se sua derivada e´ sempre na˜o-nula, isto e´, α′(t) 6= (0, 0, . . . , 0),
para todo t ∈ I. (Note que isto e´ o mesmo que pedir que v(t) > 0, para todo t ∈ I.)
2.3.2
Definic¸a˜o Seja α : I −→ Rn deriva´vel. Se t ∈ I e´ tal que α′(t) = (0, 0, . . . , 0), dizemos que
t e´ um ponto singular de α.
2.3.3
Exemplo A curva parametrizada (c´ırculo) α(t) = (a cos t, a sen t), t ∈ R e a > 0, e´ regular,
posto que sua velocidade escalar v(t) = ‖α′(t)‖ = a > 0, para todo t ∈ R.
2.3.4
Exemplo A he´lice circular λ(t) = (a cos t, a sen t, bt), t ∈ I, a > 0 e b 6= 0, e´ regular. De
fato, v(t) = ‖λ′(t)‖ = √a2 + b2, para todo t ∈ R.
2.3.5
Exemplo A ciclo´ide
α(t) = (at− a sen t, a− a cos t), t ∈ R,
onde a > 0, na˜o e´ regular. Com efeito, sua deri-
vada em t e´ dada por α′(t) = (a− a cos t, a sen t),
a qual se anula para t = 2kpi, onde k e´ um in-
teiro qualquer. Os pontos que correspondem a
estes valores de t sa˜o α(2kpi) = (2kpia, 0), que
sa˜o exatamente os bicos (ou as cu´spides) do trac¸o
de α. Conve´m, entretanto, observar que a res-
tric¸a˜o de α a qualquer intervalo aberto da forma
(2kpi, 2(k + 1)pi) e´ regular.
Figura 52: Pontos Singulares da Ciclo´ide
-
x
6
y
pppppppppppp ppppppppppp ppppppppppp pppppppppppppppp pppp ppppp ppppp ppppp ppppp pppp ppppppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pppppp pp pp pp pp pp pp ppppp pp ppp pp pp ppp pp pppp pp pp pp pp pp pp pppp p pp pp pp pp p pppp pp pp pp pp pp pp ppp p p p p p p ppp p pp pp pp pp p ppp pp p p p p pp ppp p p p p p p ppp p p p p p p pp p p p p p p pp p p p p p p pp p p p p p p ppp pp pp pp pp pp pp pppp pp pp pp pp pp pp ppp pp p pp pp p pp pp p p p p p p ppp pp pp pp pp pp pp pppp pp pp pp pp pp pp ppp pp pp pp pp pp pp ppp p p p p p p ppp p p p p p p pp p p p p p p pp p p p p p p pp p p p p p p pp p p pp pp p p pp p p p p p p pp pp p p p p pp ppp p pp pp pp pp p ppp pp p p p p pp pp p p p p p p pp pp pp pp pp pp pp pp p p p p p p pp p p p p p p ppp p pp pp pp pp p ppp p p p p p p ppp pp pp pp pp pp pp ppp pp p p p p pp ppp p pp pp pp pp p ppp pp p p p p pp pp p p pp pp p p pp p p p p p p pp p p p p p p ppp pp pp p p pp pp ppp p p pp pp p p ppp pp pp p p pp pp pppp pp pp pp pp pp pp ppp p p p p p p ppp pp pp pp pp pp pp ppp p p p p p p pp p p p p p p pp pppp p p pppp pp pppp p p pppp pp pp p p pp pp pp p p pp ppp pp pppp pp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp pppp ppp pppp pppp pppp ppp pppp ppp pp p pp pp pp p pp pp pp p pp pp p p p pp p p p pr
(2pia, 0)
r
(4pia, 0)
r
(−2pia, 0)
70 Geometria das Curvas Parametrizadas
2.3.6
Exemplo A para´bola semi-cu´bica
α(t) = (t3, t2), t ∈ R,
tem apenas um ponto singular, a saber t = 0,
visto que sua derivada, α′(t) = (2t, 3t2) se anula
apenas a´ı. Isto indica a presenc¸a de uma cu´spide
no ponto α(0) = (0, 0), como mostra a figura 53.
Figura 53: Para´bola Semi-cu´bica
-
x
6
y
p pp ppp ppp ppp pppp pppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp pppp pppp pppp ppp ppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp ppp pppp ppp ppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp pp ppp ppp pp pp ppp pppp ppp pp pp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppp pp ppp pppp pppp ppp pp pp ppp ppp pp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppppppppppppr
(0, 0)
2.3.7
Exemplo A curva parametrizada
α : R −−−−−→ R3
t −−−−−→ α(t) = (t, t2, t3)
e´ regular, o que resulta de uma simples observac¸a˜o
da primeira coordenada de: α′(t) = (1, 2t, 3t2).
A figura 54 mostra o trac¸o de α para t variando
no intervalo [−1, 1]. Os cubos esboc¸ados servem
para destacar um pouco mais a beleza da curva.
Como exerc´ıcio, o leitor esta´ convidado a esboc¸ar
as projec¸o˜es de α nos planos coordenados: no
plano-xy, temos a para´bola y = x2; no plano-xz
aparece a cu´bica z = x3; e no plano-yz, re-obte-
mos a para´bola semi-cu´bica do exemplo 2.3.6.
Figura 54
z
y
6
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp p pppppppppp pp pppppp p pppppppp p pppp p ppppp pp ppppp p ppp pp pppp pp p ppp pp pp p ppp p ppp pp ppp p ppp pppp pppp ppp pppppp ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
-
�
�
�
�
�	
x
r(1, 1, 1)
r(−1, 1,−1)
2.3.8
Curvatura e Torc¸a˜o
Seja α : I −→ R3 uma curva parametrizada regular, treˆs vezes deriva´vel em I. Como α
e´ regular, seu vetor tangente, em qualquer ponto, e´ na˜o-nulo. Logo, podemos tomar o vetor
unita´rio em sua direc¸a˜o (veja proposic¸a˜o 1.2.6, item (iii)), o que produz a seguinte definic¸a˜o.
2.3.9
Definic¸a˜o Seja α : I −→ R3 uma curva parametrizada regular. Dado t ∈ I, o vetor
T (t) =
α′(t)
‖α′(t)‖ =
α′(t)
v(t)
e´ chamado vetor tangente unita´rio de α em t.
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas 71
Visando motivar a noc¸a˜o de curvatura de uma curva parametrizada regular, consideremos
a reta que passa pelo ponto P e e´ paralela ao vetor V , parametrizada por
γ(t) = P + tV, t ∈ R.
E´ claro que γ′(t) e´ constante e coincide com V . Logo, seu vetor tangente unita´rio tambe´m
e´ constante: T (t) = V/ ‖V ‖. Portanto, T ′ e´ um vetor identicamente nulo. Em particular,
‖T ′(t)‖ = 0, ao longo de R. Geometricamente, isto significa que γ na˜o se curva, o que ja´
sab´ıamos, pois γ descreve uma reta. Portanto, se α e´ uma curva parametrizada regular qualquer,
e´ razoa´vel se esperar que o nu´mero ‖T ′(t)‖ indique o quanto o seu trac¸o deixa de ser retil´ıneo
perto de α(t). De fato, como T tem norma constante, o vetor T ′ indica apenas a mudanc¸a
de direc¸a˜o de T . Portanto, ‖T ′‖ serve para medir esta variac¸a˜o. Por razo˜es teo´ricas, o bom
nu´mero para fazer esta medida e´ ‖T ′(t)‖ /v(t), que para a reta γ e´ identicamente nulo. Mais
precisamente, temos a noc¸a˜o de curvatura, definida como segue.
2.3.10
Definic¸a˜o Seja α : I −→ R3 uma curva parametrizada regular. Dado t ∈ I, o nu´mero
κ(t) =
‖T ′(t)‖
‖α′(t)‖ =
‖T ′(t)‖
v(t)
e´ chamado curvatura de α em t.
2.3.11
Exemplo Consideremos o c´ırculo α(t) = (x0 + a cos t, y0 + a sen t), t ∈ R, de raio a e
centro C = (x0, y0), como no exemplo 1.4.4. Temos que α
′(t) = (−a sen t, a cos t)
e v(t) = a. Logo,
T (t) =
α′(t)
v(t)
=
(−a sen t, a cos t)
a
= (− sen t, cos t), t ∈ R.
Donde T ′(t) = (− cos t,− sen t) e, portanto,
κ(t) =
‖T ′(t)‖
v(t)
=
‖(− sen t,− cos t)‖
a
=
1
a
,
resultado que fortalece o conteu´do geome´trico da noc¸a˜o de curvatura: um c´ırculo se curva
igualmente, de modo inversamente proporcional ao seu raio, em todos os seus pontos, devido a
homogeneidade de sua forma geome´trica.
2.3.12
Exemplo Calculemos, agora, a curvatura da he´lice circular λ(t) = (a cos t, a sen t, bt), t ∈ R.
Uma computac¸a˜o direta da´ que
λ′(t) = (−a sen t, a cos t, b)
v(t) = ‖λ′(t)‖ = √a2 + b2
T (t) = (− a sen t√
a2 + b2
,
a cos t√
a2 + b2
,
b√
a2 + b2
)
T ′(t) = (− a cos t√
a2 + b2
,− a sen t√
a2 + b2
, 0).
72 Geometria das Curvas Parametrizadas
Logo,
κ(t) =
‖T ′(t)‖
v(t)
=
a√
a2 + b2√
a2 + b2
=
a
a2 + b2
.
Portanto, a he´lice circular tambe´m tem curvatura constante. Entretanto, os nosso olhos (veja
a figura 1.5.15 ou a figura 47) percebem uma grande diferenc¸a entre a he´lice e o c´ırculo. Esta
diferenc¸a sera´ detectada por um novo elemento geome´trico das curvas parametrizadas, a torc¸a˜o,
que sera´ definida posteriormente. Antecipamos que esta nova noc¸a˜o servira´ para indicar o quanto
o trac¸o da curva deixa de ser plano.
2.3.13
Exemplo Retomemos a curva parametrizada do exemplo 2.3.7: α(t) = (t, t2, t3), t ∈ R.
Temos que α′(t) = (1, 2t, 3t2) e v(t) =
√
1 + 4t2 + 9t4. Portanto,
T (t) = (
1√
1 + 4t2 + 9t4
,
2t√
1 + 4t2 + 9t4
,
3t2√
1 + 4t2 + 9t4
).
Este exemplo mostra que nem sempre o ca´lculo da curvatura e´ ta˜o simples como nos dois
exemplos anteriores. A dificuldade aqui e´ que o ca´lculo (com as ma˜os) de T ′(t) e´ relativamente
trabalhoso (na˜o imposs´ıvel). De qualquer forma, ele motiva a busca de um modo mais suave para
o ca´lculo de κ, notadamente nos casos onde a tarefa para o ca´lculo de T ′ e´ a´rdua. Felizmente,
existe um modo de evitar esta dificuldade, como veremos na proposic¸a˜o 2.3.23. O ca´lculo de κ
para α sera´, portanto, transferido para um momento oportuno.
A partir deste ponto, nesta sec¸a˜o, a menos que
se diga explicitamente o contra´rio, trabalharemos com
uma curva parametrizada regular α : I ⊂ R −→ R3 treˆs
vezes deriva´vel no intervalo I. Admitiremos, tambe´m,
que a curvatura de α, κ, e´ sempre positiva em I ou,
equivalentemente, que o vetor T ′(t) e´ sempre na˜o-nulo
ao longo de I. A primeira construc¸a˜o relevante que re-
sulta destes fatos e´ o vetor normal unita´rio de α. De
fato, como T (t) · T (t) = 1, para todo t ∈ I, obtemos,
usando a proposic¸a˜o 2.2.13, que T ′(t) · T (t) = 0. Como
T ′(t) 6= (0, 0, 0), vem que T ′(t) e´ um vetor na˜o-nulo per-
pendicular a T (t), t ∈ I. O vetor normal unita´rio de α
surge agora.
Figura 55: Triedro de Frenet
{T,N,B}
z
y
6
-
x
�����)α′(t)
J
J
J
JJ^
T ′(t)
p pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppp pppppppppppp pppppppppppp ppppppppppp pppppppppp pppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pp ppp pp pp ppp pppp pp pppppppp ��
�
�	
α(t)�
���
B
J
JJ^ N
���)T
r
2.3.14
Definic¸a˜o Seja α : I −→ R3 uma curva parametrizada regular com κ(t) > 0, para todo
t ∈ I. Dado t ∈ I, o vetor
N(t) =
T ′(t)
‖T ′(t)‖
e´ chamado vetor normal unita´rio de α em t.
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas 73
De posse de T e N , e´ bastante natural a construc¸a˜o de B, o vetor binormal de α, o qual
e´ definido como segue.
2.3.15
Definic¸a˜o Seja α : I −→ R3 uma curva parametrizada regular com v(t) > 0, para todo
t ∈ I. Dado t ∈ I, o vetor unita´rio
B(t) = T (t)×N(t)
e´ chamado vetor binormal de α em t.
Agora temos uma base ortonormal, variando com t, ao longo de α, a saber:
{T (t), N(t), B(t)}, t ∈ I.
Esta famı´lia de bases e´ conhecida como triedro (ou referencial) de Frenet de α.
2.3.16
Exemplo No exemplo 2.3.11 vimos que, para o c´ırculo α(t) = (x0 + a cos t, y0 + a sen t),
t ∈ R, valem
v(t) = a
T (t) = (− sen t, cos t)
κ(t) = 1/a.
Logo, T ′(t) = (− cos t,− sen t) e, portanto, N(t) = T ′(t) = (− cos t,− sen t), visto que T ′(t) e´
unita´rio. Considerando α imergindo no R3, com a terceira coordenada nula, teremos
B(t) = T (t)×N(t) =
∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
− sen t cos t 0
− cos t − sen t 0
∣∣∣∣∣∣ = (0, 0, 1) = e3.
2.3.17
Exemplo O vetor tangente unita´rio da he´lice circular λ(t) = (a cos t, a sen t, bt), t ∈ R, e´,
conforme exemplo 2.3.12, dado por
T (t) = (− a sen t√
a2 + b2
,
a cos t√
a2 + b2
,
b√
a2 + b2
),
Portanto,
N(t) =
T ′(t)
‖T ′(t)‖ =
(− a cos t√
a2 + b2
,− a sen t√
a2 + b2
, 0)
a√
a2 + b2
= (− cos t,− sen t, 0)
e
B(t) = T (t)×N(t) = 1√
a2 + b2
∣∣∣∣∣∣
e1 e2 e3
−a sen t a cos t b
− cos t − sen t 0
∣∣∣∣∣∣ = 1√a2 + b2 (b sen t,−b cos t, a).
74 Geometria das Curvas Parametrizadas
Vale notar aqui que derivando o vetor binormal, obtemos como resultado um mu´ltiplo de N .
De fato,
B′(t) =
1√
a2 + b2
(b cos t, b sen t, 0) = − b√
a2 + b2
(− cos t,− sen t, 0) = − b√
a2 + b2
N(t). (¶11)
No exemplo anterior percebemos que o vetor B′ era um mu´ltiplo do vetor N . Esta propri-
edade, que traz consigo outra propriedade geome´trica das curvas parametrizadas –a torc¸a˜o–, na˜o
e´ uma simples coincideˆncia daquele exemplo. Na realidade, ela deve ser satisfeita por qualquer
curva parametrizada que cumpra a condic¸a˜o que estamos admitindo ate´ aqui: κ sempre positiva.
2.3.18
Proposic¸a˜o Se α : I −→ R3 e´ uma curva parametrizada com κ > 0 e triedro de Frenet
{T,N,B}, enta˜o B′(t) = η(t)N(t), para alguma η : I −→ R deriva´vel em I.
Demonstrac¸a˜o: Comec¸amos observando que B′
e´ perpendicular a T . Com efeito, derivando B · T = 0,
vem que
B′ · T +B · T ′ = 0. (¶12)
Mas T ′ e´ paralelo a N . Logo, B ·T ′ = 0, o que substitu´ıdo
em (¶12) da´ que B′ · T = 0. Para finalizar a prova,
basta observar que B′ e´ perpendicular a B, posto que B
tem norma constante, de acordo com a proposic¸a˜o 2.2.13.
Portanto, so´ resta para B′ ser paralelo ao vetor N , isto e´,
B′(t) = η(t)N(t). Que η e´ deriva´vel, segue-se de η(t) =
B′(t) ·N(t). pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Figura 56
α(t)�
�
�	
6
-ffB
′(t)
B(t)
N(t)
T (t)
r
Agora podemos definir a torc¸a˜o de uma curva parametrizada com curvatura positiva.
2.3.19
Definic¸a˜o Seja α : I −→ R3 uma curva parametrizada regular com κ(t) > 0 em I. Dado
t ∈ I, o nu´mero
τ(t) =
η(t)
‖α′(t)‖ =
η(t)
v(t)
,
onde η e´ a func¸a˜o constru´ıda na proposic¸a˜o 2.3.18, e´ chamado torc¸a˜o de α em t.
2.3.20
Exemplo Retornando ao exemplo 2.3.16, onde calculamos o triedro de Frenet do c´ırculo
α(t) = (x0 + a cos t, y0 + a sen t, 0), t ∈ R, vemos que o vetor binormal desta
curva parametrizada e´ constante: B(t) = (0, 0, 1), vetor normal ao plano-xy, plano que conte´m
o trα. Logo, B′(t) = (0, 0, 0), para todo t ∈ R. Portanto, η(t) = 0, o que implica que
τ(t) = η(t)/v(t) = 0/a = 0.
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas 75
2.3.21
Exemplo Para calcular a torc¸a˜o da he´lice circular λ(t) = (a cos t, a sen t, bt), t ∈ R, simples-
mente usamos a equac¸a˜o (¶11) do exemplo 2.3.17:
B′(t) = − b√
a2 + b2
N(t), t ∈ R.
Esta equac¸a˜o mostra que η(t) = −b/√a2 + b2. Logo,
τ(t) = η(t)/v(t) =
− b√
a2 + b2√
a2 + b2
= − b
a2 + b2
.
A seguir apresentaremos um teorema fundamental para o estudo das curvas parametriza-
das, o qual conte´m as treˆs equac¸o˜es conhecidas como equac¸o˜es de Frenet.
2.3.22 [Equac¸o˜es de Frenet]
Teorema Seja α : I ⊂ R −→ R3 uma curva parametrizada re-
gular com curvatura κ(t) > 0, para todo t ∈ I. Se
{T,N,B} e´ o triedro de Frenet de α e τ e´ a torc¸a˜o de α, enta˜o valem as seguintes equac¸o˜es:
(i) T ′(t) = κ(t)v(t)N(t), t ∈ R;
(ii) N ′(t) = −κ(t)v(t)T (t)− τ(t)v(t)B(t), t ∈ R;
(iii) B′(t) = τ(t)v(t)N(t), t ∈ R;
Demonstrac¸a˜o: As primeira e terceira equac¸o˜es decorrem diretamente das definic¸o˜es
de curvatura e torc¸a˜o, respectivamente. A equac¸a˜o (ii) merece uma atenc¸a˜o especial. Vejamos
sua prova.
De ‖N‖ = 1 vem que N ′ e´ perpendicular a N .
Logo, N ′ deve ser uma combinac¸a˜o linear dos vetores
ortonormais T e B. Isto posto, resulta que
N ′(t) = a(t)T (t) + b(t)B(t), t ∈ I,
onde a(t) = N ′(t) · T (t) e b(t) = N ′(t) · B(t). Derivando
N · T = 0 e N · B = 0, obtemos, respectivamente, que
N ′ · T = −N · T ′ e N ′ ·B = −N ·B′. Logo,
a = N ′ · T = −N · T ′ = −N · κ vN = −κ v
e
b = N ′ ·B = −N ·B′ = −N · τvN = −τv,
Figura 57
�
�
�
�
�
��
α(t) �
�
��
T (t)6
-HHHHHj
N ′(t)
a(t)
b(t)
N(t)
B(t)r
onde foram usadas as equac¸o˜es (i) e (iii). Donde segue-se a segunda equac¸a˜o de Frenet, e termina
o teorema. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Pronto! Agora ja´ temos condic¸o˜es de obter uma fo´rmula que permite o ca´lculo da curva-
tura, para os casos onde o ca´lculo de T ′ na˜o e´ simples, conforme comentamos no exemplo 2.3.13.
76 Geometria das Curvas Parametrizadas
Na realidade, temos um pouco mais do que isto: temos um conjunto de fo´rmulas que da˜o um
modo alternativo eficiente para o ca´lculo do aparato de Frenet, {κ, τ, T,N,B}, de uma curva
parametrizada regular α.
2.3.23
Teorema Seja α : I ⊂ R −→ R3 uma curva parametrizada regular com aparato de Frenet
{κ, τ, T,N,B} . Temos as seguintes fo´rmulas:
Fo´rmulas U´teis
v(t) = ‖α′(t)‖ (1) T (t) = α
′(t)
v(t)
(2)
B(t) =
α′(t)× α′′(t)
‖α′(t)× α′′(t)‖ (3) N(t) = B(t)× T (t) (4)
κ(t) =
‖α′(t)× α′′(t)‖
v3(t)
(5) τ(t) = −(α
′(t)× α′′(t)) · α′′′(t)
‖α′(t)× α′′(t)‖2 (6).
Demonstrac¸a˜o: Tudo comec¸a com α′(t) = v(t)T (t), ou α′ = vT . Derivando esta
expressa˜o, e usando a primeira equac¸a˜o de Frenet, temos que
α′′ =
dv
dt
T + vT ′ =
dv
dt
T + κ v2N, (¶13)
a qual, quando derivada, produz
α′′′ =
d2v
dt2
T +
dv
dt
T ′ +
d(κ v2)
dt
N + κ v2N ′.
Agora, usando a segunda equac¸a˜o de Frenet, esta u´ltima equac¸a˜o fica:
α′′′ = (
d2v
dt2
− κ2 v3)T + (κ vdv
dt
+
d(κ v2)
dt
)N − κ τv3B. (¶14)
Das equac¸o˜es (¶13) e (¶14) resultam, naturalmente, as fo´rmulas de (1) a (6). De fato,
α′ × α′′ = vT × (dv
dt
T + κ v2N) = κ v3B,
pois T × T = O e T ×N = B. Donde, ‖α′ × α′′‖ = κ v3,
B(t) =
α′ × α′′
κ v3
=
α′ × α′′
‖α′ × α′′‖ ,
e as fo´rmulas (3) e (5) veˆm. Para obter a fo´rmula (6), calculamos o produto misto (α′×α′′) ·α′′′.
Temos
(α′×α′′) ·α′′′ = κ v3B· (d
2v
dt2
T −κ2 v3)T +(κ vdv
dt
+
d(κ v2)
dt
)N−κ τv3B) = −κ2 τv6 = −(κ v3)2τ.
Portanto,
τ = −(α
′ × α′′) · α′′′
(κ v3)2
= −(α
′ × α′′) · α′′′
‖α′ × α′′‖2 . pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas 77
2.3.24
Exemplo Usaremos as fo´rmulas u´teis para calcular o aparato de Frenet da curva parame-
trizada do exemplo 2.3.13: α(t) = (t, t2, t3), t ∈ R. Ca´lculos simples mostram
que
α′(t) = (1, 2t, 3t2), α′′(t) = (0, 2, 6t) e α′′′(t) = (0, 0, 6).
Segue-se, enta˜o, que
v(t) =
√
1 + 4t2 + 9t4
α′(t)× α′′(t) = 2(3t2,−3t, 1)
‖α′(t)× α′′(t)‖ = 2√1 + 9t2 + 9t4.
Portanto,
T (t) =
1√
1 + 4t2 + 9t4
(1, 2t, 3t2)
B(t) =
1√
1 + 9t2 + 9t4
(3t2,−3t, 1)
N(t) =
1√
1 + 4t2 + 9t4
√
1 + 9t2 + 9t4
(−9t3 − 2t, 1− 9t4, 6t3 + 3t)
κ(t) = 2
√
1 + 9t2 + 9t4
(1 + 4t2 + 9t4)3/2
τ(t) = − 3
1 + 9t2 + 9t4
.
As coordenadas do vetor α′′ com relac¸a˜o aos vetores T e N que aparecem na equac¸a˜o (¶13)
recebem nomes especiais na F´ısica.
2.3.25
Definic¸a˜o Dada uma curva parametrizada α : I −→ R3 com κ(t) > 0, as func¸o˜es
aT (t) =
dv
dt
(t) e aN(t) = κ(t)v
2(t)
sa˜o chamadas componente tangencial e componente normal da acelerac¸a˜o de α, respectivamente.
2.3.26
Exemplo Para a he´lice circular λ(t) = (a cos t, a sen t, bt), t ∈ R, temos que
v(t) =
√
a2 + b2 e κ(t) =
a
a2 + b2
.
Logo, as componentes tangencial e normal da acelerac¸a˜o de λ sa˜o
aT (t) =
dv
dt
(t) = d
√
a2+b2
dt
(t) = 0
aN(t) = κ(t)v
2(t) =
a
a2 + b2
(a2 + b2) = a.
78 Geometria das Curvas Parametrizadas
2.3.27
Curvas Planas
Seja pi ⊂ R3 o plano passando pelo ponto P = (x0, y0, z0), tendo como vetor normal o
vetor Npi = (a, b, c). Portanto, sua equac¸a˜o cartesiana e´:
pi = {X ∈ R3; (X − P ) ·Npi = 0},
ou, usando coordenadas,
pi = {X = (x, y, z); ax+ by + cz = d}, (¶15)
onde d = ax0 + by0 + cz0. Em resumo, um ponto X do R3 pertence ao plano pi se, e somente se,
(X − P ) ·Npi = 0.
2.3.28
Definic¸a˜o Uma curva parametrizada α : I −→ R3 e´ dita plana se o seu trac¸o esta´ contido
em algum plano do R3. Em outras palavras, existem um ponto P e um vetor
na˜o-nulo Npi tais que (α(t)− P ) ·Npi = 0.
2.3.29
Exemplo A curva parametrizada α(t) = (t, t2 + 1, 1 − t), t ∈ R, e´ plana. A ide´ia para
perceber isto e´ tentar descobrir uma equac¸a˜o similar a` equac¸a˜o (¶15), onde
x = t, y = t2 + 1, e z = 1− t.
Assim, por uma simples inspec¸a˜o das coordenadas de α,
vemos que x+ z = 1, isto e´,
α1(t) + α3(t) = 1
e, portanto, o trac¸o de α esta´ contido no plano pi dado
por
pi = {X = (x, y, z);x+ z = 1}
que passa, por exemplo, por P = (1, 0, 0) e e´ perpendicu-
lar ao vetor Npi = (1, 0, 1). Para visualizar o trac¸o de α,
note que ele tambe´m esta´ contido no cilindro parabo´lico
y = x2 +1. Como mais uma aplicac¸a˜o do teorema 2.3.23,
calcularemos o aparato de Frenet para esta curva para-
metrizada, que e´ regular, visto que α′1(t) = 1, t ∈ R.
Temos que
Figura 58
-
�
�
�	
x
P
6
z
y
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
Npi
A
A
AK r
α′(t) = (1, 2t,−1), α′′(t) = (0, 2, 0), e α′′′(t) = (0, 0, 0).
Logo,
v(t) =
√
2 + 4t2, α′(t)× α′′(t) = (2, 0, 2), e (α′(t)× α′′(t)) · α′′′(t) = 0.
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas 79
Donde
T (t) =
α′(t)
v(t)
=
1√
2
√
1 + 2t2
(1, 2t,−1)
B(t) =
α′(t)× α′′(t)
‖α′(t)× α′′(t)‖ =
√
2
2
(1, 0, 1)
N(t) = B(t)× T (t) = 1√
1 + 2t2
(−t, 1, t)
κ(t) =
‖α′(t)× α′′(t)‖
v3(t)
=
1
(1 + 2t2)3/2
τ(t) = −(α
′(t)× α′′(t)) · α′′′
‖α′(t)× α′′(t)‖2 = 0.
Vale notar, neste exemplo, que o vetor binormal de α e´ paralelo ao vetor normal do plano pi:
Npi = (1, 0, 1). Este fato, poderia, tambe´m, ser usado para o ca´lculo da torc¸a˜o de α. De fato,
como B e´ um vetor constante, vem que B′(t) = (0, 0, 0). Logo, τ(t) = 0, de acordo com a terceira
equac¸a˜o de Frenet (teorema 2.3.22). O teorema que segue generaliza os fatos aqui observados
para uma curva parametrizadaregular plana com κ > 0.
2.3.30
Teorema Seja α : I −→ R3 uma curva parametrizada regular com κ(t) > 0 ao longo de I.
α e´ plana se, e somente se, sua torc¸a˜o e´ identicamente nula em I.
Demonstrac¸a˜o: Temos duas coisas para fazer: se α e´ plana, enta˜o τ(t) = 0, sempre;
reciprocamente, se τ(t) = 0, para todo t ∈ I, enta˜o a α e´ plana. Vejamos a primeira tarefa.
Temos que existem P e Npi 6= (0, 0, 0) tais que
(α(t)− P ) ·Npi = 0, ∀t ∈ I.
Donde, por derivac¸a˜o com relac¸a˜o a t, obtemos
α′ ·Npi = 0.
Mas α′ = vT e v > 0. Logo,
T ·Npi = 0,
que produz, tambe´m por derivac¸a˜o,
T ′ ·Npi = κ vN ·Npi = 0.
Figura 59
z
y
x
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
pppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppp ppppppppppppp pppppppp pppppppppp ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
-T
N
6
�
�
�	
PPPq
fl
�
�
��
Bpi
r
α(t)
�
�
�
��
Npi
r
P
Portanto, T e N sa˜o perpendiculares ao vetor Npi. Como {T,N,B} e´, para cada t, uma base
ortonormal do R3, vem que B(t) deve ser paralelo a Npi. Portanto, B e´ um vetor constante, o que
implica τ(t) = 0, ∀t ∈ I, pela terceira equac¸a˜o de Frenet. Reciprocamente, se τ e´ identicamente
nula, vem da terceira equac¸a˜o de Frenet que B′(t) = (0, 0, 0), para todo t ∈ I. Logo, B e´ um
vetor constante, de acordo com o corola´rio 2.2.12. Agora, constru´ımosa seguinte func¸a˜o real
80 Geometria das Curvas Parametrizadas
auxiliar:
f(t) = (α(t)− α(t0)) ·B, t ∈ I,
onde t0 ∈ I esta´ fixo. Temos que
f ′(t) = α′ ·B = v(t)T (t) ·B(t) = 0.
Isto implica que f e´ constante. Como f(t0) = 0, devemos ter f(t) = 0, para todo t, isto e´,
(α(t)− α(t0)) ·B = 0, ∀t ∈ I.
Isto significa que trα esta´ contido no plano que passa pelo ponto P = α(t0) e e´ perpendicular
ao vetor constante B. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Como ja´ hav´ıamos antecipado, de posse deste teorema, vemos que, de fato, a torc¸a˜o de
uma curva parametrizada serve para indicar o quanto ela deixa de ser plana.
2.3.31
C´ırculos no Espac¸o
Sejam pi um plano do R3, C um ponto de pi, e a um nu´mero real positivo. O subconjunto
de pi dado por
S1(C, a) = {X ∈ pi; ‖X − C‖ = a}
e´ chamado c´ırculo de centro C e raio a do plano pi. Fazendo um pequeno abuso de linguagem,
uma curva parametrizada α cujo trac¸o esteja contido em S1(C, a) tambe´m sera´ chamada c´ırculo,
se trα coincide com S1(C, a), ou arco de c´ırculo, caso contra´rio.
O nosso objetivo aqui e´ encontrar uma descric¸a˜o completa das curvas parametrizadas que
sa˜o c´ırculos (ou parte deles), a partir de sua curvatura. Observe que a torc¸a˜o de um c´ırculo,
como definimos acima, e´ nula (por queˆ?).
Para entender as construc¸o˜es que faremos no teo-
rema 2.3.34, retomamos os ca´lculos que fizemos para o
c´ırculo α(t) = (x0 + a cos t, y0 + a sen t), t ∈ R. Sabe-
mos que sua curvatura e´ constante k(t) = 1/a e, claro,
sua torc¸a˜o e´ nula. Outro fato geome´trico nota´vel neste
caso e´ que o vetor normal N(t) = (− cos t,− sen t) aponta
sempre para o centro C = (x0, y0). Em outras palavras,
a reta que passa por α(t) e e´ paralela a N(t) conte´m C.
Na realidade, como ‖α(t)− C‖ = a, temos que
C = α(t) + aN(t) = α(t) +
1
κ(t)
N(t). Figura 60
C r
-
6
x
y
a
ppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppp pppppppppp pppppppppp ppppppppp ppppppppp pppppppp pppppp pppppp ppppp ppppp pppp pppp pppppp ppppp ppppp pppp pppp ppppp pppp ppppp ppppp pppp ppp pp pp ppp ppp ppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppp pp ppp ppp pp ppp ppp pp pp pp ppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp ppp pp pp pp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppp ppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp pp pp ppp pppp ppppp ppppp pppp ppppp pppp pppp ppppp ppppp pppppp pppp pppp ppppp ppppp pppppp pppppp pppppppp ppppppppp ppppppppp ppppppppp ppppppppp pppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppp
�
��	
@
@@I r
�
�
�
�
�
�
�
��
α(t)
T (t)
N(t)
Esta propriedade motiva a seguinte definic¸a˜o, para uma curva parametrizada arbitra´ria.
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas 81
2.3.32
Definic¸a˜o Seja α : I −→ R3 uma curva parametrizada com curvatura κ positiva e vetor
normal unita´rio N . Dado t ∈ I, o ponto
C(t) = α(t) +
1
κ(t)
N(t)
e´ chamado centro de curvatura de α em t. O nu´mero positivo ρ(t) =
1
κ(t)
e´ chamado raio de
curvatura de α em t.
2.3.33
Exemplo Para a he´lice λ(t) = (a cos t, a sen t, bt), t ∈ R, temos que
κ(t) =
a
a2 + b2
e N(t) = (− cos t,− sen t, 0).
Logo, ρ(t) = (a2 + b2)/a e
C(t) = (a cos t, a sen t, bt) +
a2 + b2
a
(− cos t,− sen t, 0) = (−b
2
a
cos t,−b
2
a
sen t, bt),
que descreve outra he´lice. Fica como exerc´ıcio para o leitor esboc¸ar λ junto com seus centros
de curvatura.
O seguinte teorema classifica completamente as curvas parametrizadas que sa˜o c´ırculos.
2.3.34
Teorema Uma curva parametrizada plana e´ um c´ırculo se, e somente se, sua curvatura e´
uma constante positiva.
Demonstrac¸a˜o: Inicialmente, suponhamos que α seja um c´ırculo. Logo, sua torc¸a˜o τ e´
nula e existem C ∈ R3 e a > 0 tais que
‖α(t)− C‖2 = (α(t)− C) · (α(t)− C) = a2, ∀t ∈ I.
Derivando (e omitindo o paraˆmetro t), obtemos
2α′ · (α− C) = 2vT · (α− C) = 0.
Donde T · (α− C) = 0, o que implica que N e´ paralelo a α− C, e
T ′ · (α− C) + T · α′ = κ vN · (α− C) + T · vT = v(κN · (α− C) + 1) = 0.
Logo, κN · (α− C) = −1. Usando a proposic¸a˜o 1.2.8, vem que
|κN · (α− C)| = κ ‖N‖ ‖α− C‖ | cos∠(N,α− C)| = κ a| cos∠(N,α− C)| = 1.
Como N e´ paralelo a α−C, segue-se que | cos∠(N,α−C)| = 1, e vale κ a = 1, isto e´, κ = 1/a.
82 Geometria das Curvas Parametrizadas
Reciprocamente, suponhamos que α e´ plana e tem curvatura constante, digamos κ = κ0.
Verificaremos, enta˜o, que α e´ um c´ırculo. Isto sera´ feito, estudando seus centros de curvatura.
Mais precisamente, provaremos que α tem centro de curvatura constante. De fato, seja
C(t) = α(t) +
1
κ(t)
N(t) = α(t) +
1
κ0
N(t).
Temos que
C ′ = α′ +
1
κ0
N ′ = vT +
1
κ0
(−κ0 vT − τvB),
onde foi usada a segunda equac¸a˜o de Frenet. Como α e´ plana, vem que τ = 0. Logo,
C ′ = vT − vT = (0, 0, 0)
e, portanto, C e´ constante. De
‖α(t)− C‖ =
∥∥∥∥ 1κ0N(t)
∥∥∥∥ = 1κ0 ,
resulta que C e´ o centro de α e que a = 1/ κ0 e´ o seu raio. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
2.3.35
Exemplo Seja α(t) = (5 − 5 sen t, 4 + 4 cos t,−3 cos t), t ∈ R. Uma simples observac¸a˜o
das segunda e terceira func¸o˜es coordenadas de α mostra que α e´ uma curva
plana. De fato, o plano pi = {(x, y, z); 3y + 4z = 12} conte´m o trac¸o de α, como e´ fa´cil
ver. Logo, sua torc¸a˜o e´ identicamente nula, de acordo com o teorema 2.3.30. Temos que
α′(t) = (−5 cos t,−4 sen t, 3 sen t). Logo, v(t) = 5 e
T (t) = (− cos t,−4
5
sen t,
3
5
sen t).
Como o ca´lculo de T ′ e´ bastante simples, usaremos a
definic¸a˜o 2.3.10 para calcular a curvatura de α:
κ(t) =
‖T ′(t)‖
v(t)
=
∥∥∥∥(sen t,−45 cos t, 35 cos t)
∥∥∥∥
5
=
1
5
.
O teorema 2.3.34, agora, garante que α deve ser um
c´ırculo do plano pi. O seu raio mede a = 1/ κ = 5. Para
calcular o seu centro, recorremos ao centro de curvatura
C(t), que deve independer do paraˆmetro t. Com efeito,
Figura 61
z
y
x
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
pppppppppppppppppppppppp pppppp ppppppppp ppppppppp ppppp ppppp ppppp pppp ppp pppp ppppp pp ppp ppp pppp ppp ppp ppp pppp pp ppp pp ppp pp pp ppp ppp pppp pp ppp pp pppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp pp ppp ppp pp pp ppp pp ppp ppp pp pp pp ppp ppp pp ppp pp ppp pp pp ppp ppp pp ppp ppp pp pppp pp ppp pp pppp pp ppp ppp ppp ppp pp ppp pp ppp ppp pp ppp pp pp pp ppp ppp pp ppp pp ppp pp pp pp pp ppp pp ppp ppp pp pp pp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp pp pppp pp ppp pppp pppp ppp ppp pppp ppp ppp ppp ppp pppp pppp pppp pppp pppp pppppp ppppp pppppppp pppppppp ppppppp ppppppppppppppppppppppppp
rC -r
(0, 4, 0)
r (0, 0, 3)
6
�
��	
a
C(t) = α(t) + ρ(t)N(t)
= (5− 5 sen t, 4 + 4 cos t,−3 cos t) + 5(sen t,−4
5
cos t,
3
5
cos t)
= (5, 4, 0).
Ca´lculo das Curvas Parametrizadas 83
2.3.36
Comprimento de Arco
Seja α : I ⊂ R −→ R3 uma curva parametrizada com α′ cont´ınua no intervalo I. Fixados
a, b ∈ I, seja
P = {a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = b}
uma partic¸a˜o do intervalo fechado [a, b]. Esta partic¸a˜o da´ origem a` linha poligonal
p = [α(t0), α(t1)] ∪ [α(t1), α(t2)] ∪ [α(t2), α(t3)] ∪ · · · ∪ [α(tn−1), α(tn)],
Figura 62
-αI
t1a = t0
r r t2r tn−1r
b = tn
r
z
y
6
-
�
�
�
�	
x
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppp ppppppp ppppp ppppp pppp pp ppp pppp pp pp ppp pppp ppp pp pp pp ppp ppp pp pp ppp pp pp pp ppp pppp pp ppp ppp pp pp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pp ppp pppp pp pp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp pp ppp pp pp pp ppp ppp ppp ppp pppp pp pp pppp pp ppppppp pp ppppppp ppppppp ppppppppppppppprα(a)
r α(t1)
r α(t2)
rα(tn−1) r α(b)
onde [α(ti), α(ti−1)] indica o segmento de reta que liga α(ti) a α(ti−1), para 1 ≤ i ≤ n. O
comprimento de p, que indicaremos por s(p), e´ dado por
s(p) = ‖α(t1)− α(t0)‖+ ‖α(t2)− α(t1)‖+ · · ·+ ‖α(tn)− α(tn−1)‖ =
n∑
i=1
‖α(ti)− α(ti−1)‖
Para cada i, 0 ≤ i ≤ n. Aplicando o teorema 2.2.11 a cada parcela de s(p), obtemos que
l(p) =
n∑
i=1
‖α(ti)− α(ti−1)‖ ≤
n∑
i=1
‖α′(ci)‖ (ti − ti−1),
para alguns ci, ti−1 < ci < ti, 1 ≤ i ≤ n. Agora, se tomamos P suficientemente fina, esta u´ltima
desigualdade mostra que a soma de Riemann da func¸a˜o real v = ‖α′‖, dada por
n∑
i=1
‖α′(ci)‖ (ti − ti−1),
da´ uma boa aproximac¸a˜o para l(p) e, portanto, e´ tambe´m uma boa aproximac¸a˜o para o com-
primento de arco de α entre t = a e t = b. Diante desta exposic¸a˜o intuitiva, torna-se razoa´vel a
seguinte definic¸a˜o.
84 Geometria das Curvas Parametrizadas
2.3.37
Definic¸a˜o Seja α : I −→ Rn uma curva parametrizada com α′ cont´ınua no intervalo I.
Dados a, t ∈ I, o comprimento de arco de α entre a e t e´ definido por
l[a,t]α =
∫ t
a
‖α′(u)‖ du =
∫ t
a
‖v(u)‖ du .
2.3.38
Exemplo O comprimento de arco do c´ırculo α : R −→ R2, α(t) = (a cos t, a sen t), entre 0
e t e´ dado por
l[0,t]α =
∫ t
0
v(u) du =
∫ t
0
a du = at.
Em particular, o comprimento de α entre 0 e 2pi e´ 2pia, resultado bastante conhecido.
2.3.39
Exemplo O comprimento de arco da he´lice circular λ : R −→ R3, λ(t) = (a cos t, a sen t, bt),
entre 0 e t e´ dado por
l[0,t]λ =
∫ t
0
v(u) du =
∫ t
0
√
a2 + b2 du =
√
a2 + b2 t.
Em particular, o comprimento de uma espira de λ e´ l[0,2pi]λ = 2
√
a2 + b2 pi.
2.3.40 [Evolvente]
Exemplo Seja α : I −→ R3 uma curva parametrizada regular duas vezes de-
riva´vel em I. Fixado t0 ∈ I, indiquemos por s(t) o comprimento de
arco de α entre t0 e t, isto e´,
s(t) = l[t0,t]α =
∫ t
t0
v(t) dt =
∫ t
t0
‖α′(t)‖ dt .
A curva parametrizada
β(t) = α(t)− s(t)T (t) = α(t)− s(t)
v(t)
α′(t), t ∈ I,
onde T e´ o vetor tangente unita´rio de α, e´ chamada evolvente de α. No caso em que α e´ o
c´ırculo α(t) = (a cos t, a sen t), t ∈ R, e t0 = 0, temos que v(t) = a e s(t) = at. Logo,
β(t) = α(t)− s(t)
v(t)
α′(t)
= (a cos t, a sen t)− t(−a sen t, a cos t)
= (a cos t+ at sen t, a sen t− at cos t),
conforme o exemplo 2.2.5. Observe que s′(t) = v(t). Logo,
β′(t) = α′(t)− v(t)T (t)− s(t)κ(t)v(t)N(t) = −s(t)κ(t)v(t)N(t).
O que indica que as retas tangentes da evolvente sa˜o paralelas a`s retas normais da curva original.
2
Exerc´ıcios
86 Curvas Parametrizadas – Exerc´ıcios
2-1 Ache os pontos em que a curva parametrizada α(t) = (2t2, 1− t, 3 + t2), t ∈ R, intercepta o
plano dado por 3x− 14y + z = 10.
2-2 Verifique se α(t) = (t,
√
8 + 2t− t2, t+ 4), −2 ≤ t ≤ 4, e´ uma curva regular.
2-3 Dada α(t) = (et, t, 1), t ∈ R, esboce o trac¸o de α no R3 juntamente com os vetores tangentes
α′(0) e α′(1).
2-4 Encontre a reta tangente de α em α(t0).
(a) α(t) = (2 cos t, 2 sen t, t), t0 = 0;
(b) α(t) = t(cos t, sen t, 1), t0 = 0;
(c)α(t) = (t, t2, t3), t0 = 1;
(d) α(t) = (2t, t2, t3/3), t0 = 1.
2-5 Mostre que as curvas
α(t) = (et, e2t, 1− et) e β(t) = (sen t, 1 + cos t, 2 cos t)
interceptam-se no ponto (1, 1, 0). Ache, tambe´m, o aˆngulo entre suas tangentes nesse
ponto.
2-6 Seja γ = trα, onde α(t) = (sen 2t, 2 sen2 t, 2 cos t), 0 ≤ t ≤ 2pi.
(a) Mostre que γ esta´ contida em uma esfera centrada na origem;
(b) Represente graficamente as projec¸o˜es de γ sobre os planos coordenados e conclua que γ
e´ a intersec¸a˜o de um cilindro circular e de um cilindro parabo´lico;
(c) Calcule o vetor velocidade α′(t) e a velocidade escalar v(t) e mostre que γ e´ uma curva
regular;
(d) Verifique que a projec¸a˜o de α′(t) sobre o plano z = 0 possui norma constante.
2-7 Seja α : R −→ R3 a curva dada por α(t) = (t, t2, t3), t ∈ R.
(a) Se poss´ıvel, ache P = α(t) onde a tangente a` curva dada e´ paralela a A = (4, 4, 3);
(b) Idem, para que a tangente seja ortogonal ao vetor A;
(c) Sendo L a reta tangente a` curva dada em um ponto qualquer Q 6= α(0), considere o
ponto M(t) em que L intercepta o plano z = 0. Mostre que M(t) = (2t/3, t2/3, 0), t 6= 0,
e que tais pontos descrevem a para´bola definida por 4y = 3x2 e z = 0.
2-8 Seja λ(t) = (a cos t, a sen t, bt), t ∈ R, a > 0, b > 0. Se θ3(t) e´ o aˆngulo entre α′(t) e o eixo-z,
mostre que cos θ3(t) =
b√
a2 + b2
. Donde θ3(t) e´ constante;
Curvas Parametrizadas – Exerc´ıcios 87
2-9 Considere a ciclo´ide α(t) = (at− a sen t, a− a cos t), t ∈ R. Se P = α(t) e´ um ponto regular
qualquer de trα, seja Q(t) = (at, 0) o correspondente ponto de contato do c´ırculo mo´vel com
o eixo-x e M = (at, 2a) o ponto do c´ırculo diametralmente oposto a Q (cf. figura abaixo).
(a) Mostre que a tangente ao trα em P passa pelo ponto M ;
(b) Conclua, usando o fato, conhecido da Geometria Euclidiana, que todo triaˆngulo inscrito
em um semic´ırculo e´ retaˆngulo, que a normal ao trα em P passa pelo ponto Q;
(c) Calcule o comprimento do arco de c´ırculo PM .
6
y
q
Q
-
x
qMqP
t
a
trα
2-10 Seja α : I −→ Rn duas vezes deriva´vel no intervalo I de R. Mostre que:
(a) α e´ constante ⇐⇒ α′(t) = 0 em I ⇐⇒ v(t) = 0 em I;
(b) α′′(t) ⊥ α′(t) em I ⇐⇒ v(t) e´ constante em I;
(c) α′′(t) = 0 em I ⇐⇒ α e´ uma reta do Rn.
2-11 Sejam f, g : R −→ R duas func¸o˜es de classe C∞, com f > 0. Defina α : R −→ R3 por
α(t) = (
∫ t
a
f(u) sen(u) du,
∫ t
a
f(u) cos(u) du,
∫ t
a
f(u)g(u) du).
(a) Mostre que a curvatura e a torc¸a˜o de α sa˜o dadas por:
κ(t) =
1
f(t)
√
1 + g2(t) + g′2(t)
(1 + g2(t))3
e τ(t) =
1
f(t)
g(t) + g′′(t)
1 + g2(t) + g′2(t)
.
(b) Obtenha uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que α seja uma curva plana;
(c) Exiba uma tal α que seja plana.
2-12 Determine o triedro de Frenet, a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura, a
torc¸a˜o e as componentes tangencial e normal da acelerac¸a˜o em um ponto qualquer das curvas
abaixo.
(a) α(t) = (2t, t2, t3/3);
(b) α(t) = (3t− t3, 3t2, 3t+ t3);
(c) α(t) = et(cos t, sen t, 1);
(d) α(t) = (et, e−t, t
√
2).
2-13 Seja α(t) = (
4
5
cos 5t,− sen 5t,−3
5
cos 5t), t ∈ R. Mostre que o trac¸o de α e´ um c´ırculo.
Ache seu centro, seu raio e o plano que o conte´m.
88 Curvas Parametrizadas – Exerc´ıcios
2-14 Seja α(t) = (cos t, sen t, 1− sen t), t ∈ R.
(a) Mostre que o trac¸o de α esta´ contido no cilindro x2 + y2 = 1;
(b) Obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torc¸a˜o de α;
(c) Conclua que α e´ uma curva plana e determine o plano que a conte´m;
(d) Segue-se de (a) e (c) que α e´ uma elipse. Ache o centro, os semi-eixos e os focos de α;
(e) Em que pontos de α a curvatura e´ ma´xima? mı´nima?
2-15 A posic¸a˜o de um ponto mo´vel do plano e´ dada por α(t) = (t, a cosωt), t ≥ 0, onde a e
ω = 2pi/L sa˜o constantes positivas. Encontre, no ponto α(L/2), as componentes tangencial
e normal da acelerac¸a˜o.
2-16 Um ponto material desloca-se ao longo da trajeto´ria el´ıtica parametrizada por
~r = ~r(t) = (a cosωt)~ı− (b senωt)~, t ∈ R.
Mostre que a acelerac¸a˜o desse movimento e´ central e que seu mo´dulo e´ proporcional a`
distaˆncia da origem ao ponto mo´vel.
2-17 Um automo´vel viaja com velocidade (escalar) constante numa curva de raio 1km de uma
auto-estrada. Se a componente normal da acelerac¸a˜o na˜o pode exceder 1, 2m/s2, determine
a ma´xima velocidade poss´ıvel.
2-18 Suponha que um alvo se desloca com velocidade escalar constante v > 0 ao longo da cir-
cunfereˆncia x2 + y2 = a2, partindo de (a, 0) no sentido anti-hora´rio. Ao mesmo tempo, um
mı´ssil, tambe´m com velocidade escalar v, persegue o alvo, partindo do centro C = (0, 0),
mantendo-se sempre entre o centro e o alvo.
(a) Seja A(t) a posic¸a˜o do alvo no tempo t ≥ 0. Mostre que A(t) = (a cosωt, a senωt),
ω = v/a;
(b) Observando que e a posic¸a˜o do mı´ssil e´ dada por M(t) = λ(t)A(t), com 0 ≤ λ(t) ≤ 1, e
que ‖M ′(t)‖ = v, mostre que o mı´ssil atingira´ o alvo no ponto (0, a);
(c) O que ocorrera´ se a velocidade do mı´ssil e´ menor (maior) do que v?
2-19 (Mantenha as notac¸o˜es do exemplo 2.2.21.) Supondo desprez´ıvel a resisteˆncia do ar e cons-
tante a acelerac¸a˜o ð da gravidade, seja A = (0,−g) = α′′(t), em relac¸a˜o ao referencial plano
indicado abaixo.
(a) Se Q = α(0) = (0, h), h > 0, e V = α′(0) = (0, v0), v0 > 0, enta˜o
α(t) = (0, h+ v0t− 1
2
gt2), t ≥ 0,
descreve a posic¸a˜o de uma part´ıcula lanc¸ada verticalmente, de baixo para cima, com
velocidade escalar inicial v0;
-
6
x
y
qQ
h
6
?
ð
-
6
x
y
�
�
�
��
pppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
v2
v1
V
θ
Curvas Parametrizadas – Exerc´ıcios 89
(b) Se Q = α(0) = (0, 0) e V = α′(0) = (v1, v2), v1 6= 0, v2 6= 0, enta˜o
α(t) = (v1t, v2t− 1
2
gt2), t ≥ 0,
e´ a equac¸a˜o da posic¸a˜o de um proje´til no plano-xy, lanc¸ado da origem com velocidade
V . Seja θ o aˆngulo entre V e o x-eixo, e v0 = ‖V ‖. Temos v1 = v0 cos θ e v2 = v0 sen θ.
Donde
α(t) = ((v0 cos θ)t, (v0 sen θ)t− 1
2
gt2), t ≥ 0;
(c) Se a trajeto´ria de um ponto e´ a para´bola y = ax2 + bx + c, na qual o vetor velocidade
V (t) = (vx, vy) possui a componente horizontal vx constante, mostre que a acelerac¸a˜o e´
constante.
2-20 Como no exemplo 2.2.21, sejam Q = α(0) = (−4,−4, 0), V = α′(0) = (1,−1,−1) e
A = (2, 2, 0).
(a) Mostre que α(t) = (−4 + t+ t2,−4− t+ t2,−t), t ≥ 0;
(b) Considere a base ortogonal B1 = {u1, u2, u3} do R3, onde
u1 = (1,−1,−1), u2 = (−1,−1, 0) e u3 = (−1, 1,−2).
Seja P a matriz de passagem de B1 para a base canoˆnica. Use a relac¸a˜o X1 = PX,
com X1 = (x1, y1, z1) e X = (x, y, z), para mostrar que, na base B1, α(t) se escreve
X1(t) = (t, 4 − t2, 0), t ≥ 0. Conclua que α e´ um arco de para´bola contido no plano
x− y + 2z = 0.
2-21 Considere o movimento do proje´til do exerc´ıcio 2-19 (b). Mostre que:
(a) O raio de curvatura de α na origem vale ρ0 = v
2
0/(g cos θ);
(b) O raio de curvatura de α e´ mı´nimo no ponto mais alto da trajeto´ria parabo´lica e vale
ρmin = v
2
0 cos
2 θ/g;
(c) Em um ponto qualquer, onde φ e´ o aˆngulo entre a tangente e o x-eixo, o raio de curvatura
e´ igual a ρ = ρmin/ cos
3 φ.
2-22 Seja α : I ⊂ R −→ R3 uma curva regular com κ > 0. A curva parametrizada α∗(t) = C(t),
t ∈ I, onde C(t) e´ centro de curvatura de α em t, e´ chamada curva central de α.
(a) Dados a, b ∈ R, a > 0, ponha
αab : R −−−−−→ R3
t −−−−−→ αab(t) = (a cos t, a sen t, bt).
Mostre que α∗ab = αab, onde a = −b2/a;
(b) Conclua que (α∗ab)
∗ = αab;
(c) Interprete geometricamente o caso b = 0;
(d) A curva central de curva α com κ > 0 e´ constante se, e somente se, o trac¸o de α esta´
contidoem um c´ırculo.
90 Curvas Parametrizadas – Exerc´ıcios
2-23 Calcule o comprimento de arco de α entre a e b, onde α, a e b sa˜o como abaixo.
(a) α(t) = (cos t, sen t, t), a = 0 e b = pi;
(b) α(t) = (t− sen t, 1− cos t), a = 0 e b = 2pi;
(c) α(t) = et(cos t, sen t, 1), a = 0 e b = log 3;
(d) α(t) = (2t, t2, t3/3), a = 0 e b = 1;
2-24 Em um plano vertical, considere um trilho de forma cicloidal,
x = aθ(t)− a sen θ(t), e y = a− a cos θ(t),
sobre o qual pode deslizar uma pequena esfera de massa m, sem atrito aprecia´vel, abando-
nada da origem com velocidade inicial nula.
(a) Numa posic¸a˜o gene´rica P , usando a conservac¸a˜o da energia mecaˆnica, mostre que
mg2a = mgh+ 1
2
mv2, onde h = 2a− y. Conclua que θ′(t)2 = g/a, donde θ(t) = √g/at.
Segue que o per´ıodo T das oscilac¸o˜es da esfera ao longo do trilho e´ T = 2pi
√
a/g.
-
?
x
y
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
pppppppppppppppppppppppppppppp
r
B
piar 2piar
2a
rx
Pr
y
h
Observe que nenhuma aproximac¸a˜o angular foi usada. O mesmo argumento anterior
mostra que T na˜o depende da posic¸a˜o inicial da esfera sobre a ciclo´ide.
(b) Considere, a seguir, um trilho retil´ıneo, ligando os pontos O e B, no qual a mesma esfera
desliza sem atrito. Mostre que o tempo T1 usado no percurso retil´ıneo OB e´ maior do
que o tempo T2 = pi
√
a/g ao longo da ciclo´ide, verificando que
T 22
T 21
=
pi√
pi2 + 4
< 1.
(Mais precisamente, pode ser provado que, dentre as curvas regulares que ligam O a B,
e´ a ciclo´ide que realiza o tempo mı´nimo de percurso, nas condic¸o˜es do enunciado. Isto
posto, qual o melhor perfil para um toboga˜?)
3
Func¸o˜es Cont´ınuas
∀� > 0, ∃δ > 0 : X ∈ D, 0 < ||X− X0|| < δ =⇒ ||f(X)− L|| < �
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
r
X0
Rn
Xr δ
D
-
x1
6
xn
-f
xm
xm−1
6
-
�
�
�	
x1
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
arf(X) �a
L
Rm
por
J. Adonai & A. Carlos
3.1
Limite
O significado intuitivo da notac¸a˜o limX→X0 f(X) = L, onde f : D ⊂ Rn −→ Rm, X0 ∈ Rn
e L ∈ Rm, e´ o de proximidade arbitra´ria entre f(X) e a m-upla L, para X ∈ D suficientemente
pro´ximo de X0. Indicando a noc¸a˜o de proximidade entre dois pontos pela ordem de grandeza
de sua distaˆncia, podemos reformular a interpretac¸a˜o inicial: damos uma medida arbitra´ria de
proximidade entre f(X) e L, representada por � > 0, e exigimos que
‖f(X)− L‖ < �, se X ∈ D, e 0 < ‖X −X0‖ < δ,
para algum nu´mero positivo δ. A condic¸a˜o 0 < ‖X −X0‖ < δ indica que estamos preocupados
com o comportamento de f perto de X0, mesmo que este ponto na˜o pertenc¸a a D. O que e´
preciso, isto sim, e´ que existam pontos de D suficientemente pro´ximos de X0 ou, em outras
palavras, que os pontos de D se acumulem em torno de X0. A seguir, formalizaremos todas
estas noc¸o˜es.
3.1.1 [Bolas]
Definic¸a˜o Sejam X0 ∈ Rn e a > 0.
(i) O conjunto
B(X0, a) = {X ∈ Rn; ‖X −X0‖ < a}
e´ chamado bola aberta de centro X0 e raio a.
(ii) O conjunto
B[X0, a] = {X ∈ Rn; ‖X −X0‖ ≤ a}
e´ chamado bola fechada de centro X0 e raio a.
Observac¸a˜o As bolas abertas de R sa˜o intervalos abertos. Mais precisamente, se x0 ∈ R e
a > 0, enta˜o
B(x0, a) = {x ∈ R; |x− x0| < a} = (x0 − a, x0 + a).
Analogamente, B[x0, a] coincide com o intervalo fechado [x0 − a, x0 + a]. No R2, a bola aberta
B(X0, a), que tambe´m chamamos de disco aberto, coincide com a regia˜o delimitada pelo c´ırculo
centrado em X0 e de raio a, mas que na˜o conte´m esta. Se unimos esta regia˜o com o c´ırculo
S1(X0, a), obtemos a bola fechada B[X0, a], ou, alternativamente, o disco fechado B[X0, a].
Figura 63: Bolas Abertas em R, R2 e R3
R
a
x0 − a
a
x0 + a
q
x0
R2
-
x
6
y qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
ppppppppp pppppp ppppppp pppppppppppp ppppppppppppp pppppppppppppp ppppppppppp ppppppppppp pppppppppppp pp pppppppppppp pp ppppppp pppppppp pppppp ppppppp pppppp pppppp pppppp ppppp pppppp pppppp ppppppp pppppp ppppppp pppppp ppppppp pppppp pppppp ppppppp ppppppp
r
X0
a
R3
z
y
6
-
�
�
�	
x
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
aaq
X0
92
Func¸o˜es Cont´ınuas 93
Os mesmos comenta´rios podem ser feitos para as bolas do R3, onde uma bola aberta deve ser
olhada como a regia˜o envolvida por uma esfera, a esfera de mesmos centro e raio que a bola.
3.1.2
Definic¸a˜o Um ponto X0 ∈ Rn e´ dito ponto de acumulac¸a˜o do conjunto D ⊂ Rn se toda
bola aberta centrada em X0 conte´m algum ponto X ∈ D, X 6= X0. Em outras
palavras, dado qualquer nu´mero real positivo δ, existe X ∈ B(X0, δ) ∩D tal que X 6= X0. Um
ponto P ∈ D que na˜o e´ de acumulac¸a˜o e´ chamado ponto isolado de D.
3.1.3
Definic¸a˜o E´ usual, tambe´m, usar o s´ımbolo D′ para indicar o conjunto dos pontos de
acumulac¸a˜o do conjunto D. D′ e´ chamado derivado de D.
3.1.4
Exemplo Em R, consideremos o seguinte subconjunto
D = {x; x = 1/n, n ∈ N} = {1, 1/2, 1/3, . . .}.
O nu´mero real x0 = 0 na˜o pertence a D. Temos que 0 e´ ponto de acumulac¸a˜o de D. De fato,
seja δ > 0 um nu´mero real positivo qualquer. Agora escolhemos um n0 ∈ N tal que n0 > 1/δ.
Logo, 1/n0 < δ, isto e´, o ponto x = 1/n0 de D pertence ao intervalo (−δ, δ). Na realidade, 0 e´
o u´nico ponto de acumulac¸a˜o de D, e os pontos de D sa˜o todos isolados.
3.1.5
Exemplo Se D = B(X0, a) e´ uma bola aberta do Rn, enta˜o seu derivado D′ coincide com a
bola fechada B[X0, a]. O derivado de uma bola fechada coincide com ela mesma.
3.1.6
Exemplo Seja D o subconjunto do plano R2 definido
por
D = {X = (x, y); 1 < ‖X‖ ≤ 2} ∪ {(3, 0)},
conforme figura 64. Os pontos de acumulac¸a˜o de D e´
formado pelo anel 1 ≤ ‖X‖ ≤ 2, que conte´m o c´ırculo
x2 + y2 = 1, o qual na˜o esta´ contido em D. O ponto
(3, 0), claro, e´ o u´nico ponto isolado de D. Assim,
D′ = {X = (x, y); 1 ≤ ‖X‖ ≤ 2}.
x
y
u
g
v
z
r
(3, 0)
a
1
q
2
-
x
6
y
Figura 64
3.1.7
Exemplo Se D = {X = (x, y, z); z < 1} e´ a regia˜o situada abaixo do plano z = 1, enta˜o
seu derivado D′ coincide com D unido a este plano: D′ = D ∪ {(x, y, z); z = 1}.
94 Limite
3.1.8 [Limite]
Definic¸a˜o Sejam f : D ⊂ Rn −→ Rm e X0 ∈ Rn um ponto de acumulac¸a˜o de D. Uma
m-upla L e´ dita limite de f em X0 (ou quando X tende a X0) quando para
cada � > 0, dado arbitrariamente, for poss´ıvel obter δ > 0 —o qual pode depender de � e X0—
tal que
se X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ, enta˜o ‖f(X)− L‖ < �.
Em outras palavras,
∀� > 0, ∃δ > 0 : X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− L‖ < �. (¶16)
Uma m-upla L que satisfaz esta condic¸a˜o, quando existe, e´ u´nica (proposic¸a˜o 3.1.9) e, portanto,
sera´ indicada por lim
X→X0
f(X).
Figura 65: lim
X−→X0
f(X) = L
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqr
X0
Rn
Xr δ
D
-
x1
6
xn
-f
xm
xm−1
6
-
�
�
�	
x1
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
arf(X) �q
L
Rm
3.1.9 [Unicidade do Limite]
Proposic¸a˜o Sejam f : D ⊂ Rn −→ Rm, X0 ∈ D′ e L1 e L2 limites
de f em X0, como na definic¸a˜o 3.1.8. Enta˜o, L1 = L2.
Demonstrac¸a˜o: Comec¸amos tomando � > 0 arbitra´rio e aplicando a definic¸a˜o 3.1.8
para L1 e L2. Relativamente a L1, obtemos δ1 tal que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ1 =⇒ ‖f(X)− L1‖ < �.
Para L2 existe δ2 > 0 tal que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ2 =⇒ ‖f(X)− L2‖ < �.
Agora escolhemos δ = min{δ1, δ2}. Para este δ vale
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− L1‖ < � e ‖f(X)− L2‖ < �.
Fixado uma n-upla X nestas condic¸o˜es, temos
‖L2 − L1‖ = ‖L2 − L1 + f(X)− f(X)‖ ≤ ‖f(X)− L1‖+ ‖f(X)− L2‖ < �+ � = 2�.
Portanto, ‖L2 − L1‖ < 2� para todo nu´mero real positivo �. Isto implica que ‖L2 − L1‖ = 0,
isto e´, L2 = L1. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Observac¸a˜o A definic¸a˜o de limite em nenhum momento indica como calcular limites. O
que ela faz e´ estabelecer se uma m-upla L, determinada geralmente por nossa
sensibilidade aritme´tica, e´ ou na˜o o limite de f .
Func¸o˜es Cont´ınuas 95
O seguinte lema da´ mais algumas propriedades da norma que sa˜o u´teis na tarefa de
computar limites.
3.1.10
Lema Se X = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, enta˜o valem as seguintes desigualdades.
(i) |xi| ≤ ‖X‖, para i = 1, 2, . . . , n;
(ii) ‖X‖ ≤ √nmax{|x1|, |x2|, . . . , |xn|};
(iii) ‖X‖ ≤ |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn|.
Demonstrac¸a˜o: Fixando 1 ≤ i ≤ n, e definindo m = max{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}, temos
que
|xi| =
√
x2i ≤
√
x21 + x
2
2 + · · ·+ x2n = ‖X‖ ≤
√
m2 +m2 + · · ·+m2 = √nm,
e esta˜o prontos (i) e (ii). Para verificar (iii), escrevemos X = x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen, e usamos
a primeira desigualdade triangular da norma, dada no corola´rio 1.2.19. Temos que
‖X‖ = ‖x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen‖ ≤ |x1| ‖e1‖+|x2| ‖e2‖+· · ·+|xn| ‖en‖ = |x1|+|x2|+· · ·+|xn|,
pois e1, e2, . . . , en sa˜o vetores unita´rios. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
3.1.11
Exemplo Sejam f : R2 −→ R, f(x, y) = 2x + y, e X0 = (2, 1) que, e´ claro, e´ ponto de
acumulac¸a˜o do domı´nio de f . O nosso bom senso sugere que tomemos como
candidato a limite de f em X0, o nu´mero l = 5, posto que 2x + y se aproxima de 5, quando x
esta´ perto de 2, e y perto de 1. Inicialmente observamos que
|f(x, y)− 5| = |2x+ y − 5| = |2(x− 2) + (y − 1)| ≤ 2|x− 2|+ |y − 1|.
Nesta desigualdade, usando o lema 3.1.10, fazemos surgir ‖X −X0‖, onde X = (x, y). De fato,
como X −X0 = (x− 2, y− 1), segue-se que |x− 2| ≤ ‖X −X0‖ e |y− 1| ≤ ‖X −X0‖ . Logo,
|f(x, y)− 5| ≤ 2|x− 2|+ |y − 1| ≤ 3 ‖X −X0‖ ,
que e´ menor do que �, se ‖X −X0‖ < δ, onde δ = �/3. Logo, lim
(x,y)→(2,1)
(2x+ y) = 5.
Figura 66: lim
(x,y)−→(2,1)
2x+ y = 5
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqrX0rXr
2
r2 + �/3r
2− �/3
r1− �/3 r1
r1 + �/3
-
x
6
y
-f
r5 + �
r5− �
r5r
f(X)
96 Limite
3.1.12
Exemplo Seja f(x, y) = xy,(x, y) ∈ R2. Verificaremos que o limite de f em X0 = (2, 1) e´,
como a nossa sensibilidade indica, 2. Como no exemplo anterior, a ide´ia e´ fazer
aparecer em |xy − 2| as expresso˜es |x − 2| e |y − 1|, e depois, via lema 3.1.10, fazer aparecer
‖X −X0‖, o que permitira´ a escolha de um δ conveniente, para um � > 0 dado. Isto e´ feito
assim:
|xy − 2| = |(x− 2 + 2)(y − 1 + 1)− 2|
= |(x− 2)(y − 1) + (x− 2) + 2(y − 1)|
≤ |(x− 2)||(y − 1)|+ |(x− 2)|+ 2|(y − 1)|
≤ ‖X −X0‖2 + ‖X −X0‖+ 2 ‖X −X0‖ = ‖X −X0‖2 + 3 ‖X −X0‖ .
Isto implica que
|xy − 2| ≤ 4 ‖X −X0‖ ,
se ‖X −X0‖ ≤ 1, pois, neste caso, ‖X −X0‖2 ≤ ‖X −X0‖. Portanto, dado � > 0, somos
levados a considerar δ = min{�/4, 1}. Com esta escolha, se ‖X −X0‖ < δ, obtemos
‖X −X0‖ ≤ 1
e
‖X −X0‖ ≤ �
4
=⇒ |xy − 2| ≤ ‖X −X0‖2 + 3 ‖X −X0‖ ≤ 4 ‖X −X0‖ < 4 �
4
= �.
Portanto, lim
(x,y)→(2,1)
xy = 2.
3.1.13
Exemplo Seja f : R2 −→ R definida por
f(x, y) =

xy√
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
Estudaremos o limite de f em (0, 0). Tal limite, se existir, deve ser zero, porque f se anula, por
exemplo, ao longo do eixo-x. Logo, devemos estudar o comportamento de |f(x, y)|, para valores
de (x, y) pro´ximos de (0, 0). Se X = (x, y) 6= (0, 0), enta˜o
|f(X)| =
∣∣∣∣∣ xy√x2 + y2
∣∣∣∣∣ = |x| |y|‖X‖ ≤ ‖X‖ ‖X‖‖X‖ = ‖X‖ .
Logo, dado � > 0, escolhemos δ = �. Para este δ, temos que
X = (x, y) ∈ R2, 0 < ‖X‖ < δ =⇒ |f(X)| ≤ ‖X‖ < δ = �.
Donde lim(x,y)→(0,0) f(x, y) = 0.
Func¸o˜es Cont´ınuas 97
3.1.14
Exemplo Seja f : R2 −→ R definida por
f(x, y) =

xy
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
Como no exemplo anterior, se f tem limite em (0, 0), este deve ser zero. Se X = (x, y) 6= (0, 0),
enta˜o
|f(X)| =
∣∣∣∣ xyx2 + y2
∣∣∣∣ = |x| |y|‖X‖2 ≤ ‖X‖ ‖X‖‖X‖2 = 1,
o que so´ diz que f e´ limitada por 1 (veja a definic¸a˜o 3.1.17). Isto e´ o bastante para levantar
suspeita de que f na˜o possui limite em (0, 0). Para confirmar isto, estudaremos o comportamento
de f ao longo da reta y = x, que, claro, passa pela origem. Ao longo desta reta, para x 6= 0,
temos que
f(x, y) = f(x, x) =
xx
x2 + x2
=
x2
2x2
=
1
2
.
Logo, toda bola aberta centrada em (0, 0) conte´m pontos (da forma (x, x)) onde f vale 1/2. Isto
implica que f na˜o pode ter limite em (0, 0), pois, agora, temos outro candidato a limite de f
em (0, 0), a saber 1/2.
3.1.15
Propriedades dos Limites
O emprego direto da definic¸a˜o pode ser extremamente duro para o ca´lculo do limite.
Felizmente, dispomos de va´rios resultados intermedia´rios que facilitam esta tarefa.
3.1.16
Proposic¸a˜o Sejam f : D ⊂ Rn −→ Rm, X0 ∈ D′ e L = (l1, l2, . . . , lm) ∈ Rm. Enta˜o,
lim
X→X0
f(X) = L se, e somente se, lim
X→X0
‖f(X)− L‖ = 0.
Demonstrac¸a˜o: Fica como exerc´ıcio para o leitor, que deve apenas reescrever a definic¸a˜o
de limite. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
3.1.17
Definic¸a˜o Sejam f : D ⊂ Rn −→ Rm e X0 ∈ D′. Dizemos que f limitada perto de X0 se
existem δ > 0 e K ≥ 0 tais que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)‖ ≤ K.
(Isto significa que as n-uplas de D que esta˜o na bola aberta B(X0, δ) sa˜o transformadas por f
em m-uplas da bola fechada B[O,K].) Se ‖F (X)‖ ≤ K, para todo X ∈ D, dizemos que f e´
limitada.
98 Limite
3.1.18
Proposic¸a˜o Sejam f : D ⊂ Rn −→ Rm, X0 ∈ D′ e L = (l1, l2, . . . , lm) ∈ Rm. Se f tem
limite em X0, enta˜o f e´ limitada perto de X0.
Demonstrac¸a˜o: Seja L o limite de f em X0. Logo, pensando com � = 1, existe δ0 > 0
tal que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ0 =⇒ ‖f(X)− L‖ < 1.
Mas
‖f(X)‖ − ‖L‖ ≤ | ‖f(X)‖ − ‖L‖ | ≤ ‖f(X)− L‖ ,
como mostra o corola´rio 1.2.19. Logo,
‖f(X)‖ < 1 + ‖L‖ , se X ∈ D, e 0 < ‖X −X0‖ < δ0.
Portanto, f e´ limitada por K = 1 + ‖L‖, na bola B(X0, δ0). pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Observac¸a˜o O exemplo 3.1.14 mostra que uma func¸a˜o limitada perto de um ponto pode na˜o
ter limite a´ı.
3.1.19 [Limite de Desigualdades]
Proposic¸a˜o Sejam f, g : D ⊂ Rn −→ R func¸o˜es reais tendo
limite em X0 ∈ D′. Se f(X) ≤ g(X), para todo
X ∈ D − {X0}, enta˜o lim
X→X0
f(X) ≤ lim
X→X0
g(X).
Demonstrac¸a˜o: Sejam L1 = limX→X0 f(X) e L2 = limX→X0 g(X). Suponhamos, por
absurdo, que L1 > L2. Logo, � = (L1−L2)/2 > 0. Para este � podemos encontrar δ > 0 tal que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ |f(X)− L1| < � e |g(X)− L2| < �.
Fixemos, enta˜o, algum X nestas condic¸o˜es. Assim,
f(X) ∈ (L1 − �, L1 + �) e g(X) ∈ (L2 − �, L2 + �),
isto e´,
f(X) ∈ (L1 + L2
2
,
3L1 − L2
2
) e g(X) ∈ (3L2 − L1
2
,
L1 + L2
2
).
Em particular, g(X) < (L1 + L2)/2 < f(X), uma contradic¸a˜o ao fato f(X) ≤ g(X). pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Observac¸a˜o Um fato simples, e que deve ser observado aqui, e´ que pode na˜o ocorrer a desi-
gualdade estrita entre os limites de f e g, mesmo que entre f e g a desigualdade
seja estrita. De fato, o par de func¸o˜es reais f(x) = x, x > 0, e g(x) = 0, x > 0, serve como
exemplo, pois f(x) > g(x), para todo x > 0, mas seus limites em x0 = 0 coincidem com 0.
Func¸o˜es Cont´ınuas 99
3.1.20 [Sandu´ıche]
Proposic¸a˜o Sejam f, g, h : D ⊂ Rn −→ R func¸o˜es reais tais que
f(X) ≤ g(X) ≤ h(X), ∀X ∈ D − {X0}.
Se f e h teˆm o mesmo limite L em X0 ∈ D′, enta˜o L tambe´m e´ o limite de g em X0. (Nas
aplicac¸o˜es, este resultado sera´ usado na forma do seguinte diagrama:
f ≤ g ≤ h
? ?
X −→ X0.)
L L
?
L
Demonstrac¸a˜o: Seja � > 0. Temos que existe δ > 0 tal que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ |f(X)− L| < � e |h(X)− L| < �,
o que pode ser reescrito como
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ f(X) ∈ (L− �, L+ �) e h(X) ∈ (L− �, L+ �).
Como f(X) ≤ g(X) ≤ h(X), para todo X ∈ D − {X0}, vem que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ g(X) ∈ (L− �, L+ �).
Logo, limX→X0 g(X) = L. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
3.1.21
Proposic¸a˜o Sejam f : D ⊂ Rn −→ Rm, g : D ⊂ Rn −→ R e X0 ∈ D′. Se
lim
X→X0
f(X) = (0, 0, . . . , 0)
e g e´ limitada perto de X0, enta˜o
lim
X→X0
g(X)f(X) = (0, 0, . . . , 0).
Demonstrac¸a˜o: Seja B(X0, δ1) um bola aberta onde |g(X)| ≤ K, para algum K > 0.
Dado � > 0, existe δ2 > 0 tal que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ2 =⇒ ‖f(X)‖ < �/K,
onde aplicamos a definic¸a˜o 3.1.8 para f com o nu´mero positivo �/K. Fazendo δ = min{δ1, δ2},
vem que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)‖ < �/K e |g(X)| ≤ K.
Logo,
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖g(X)f(X)‖ = |g(X)| ‖f(X)‖ < K �
K
= �,
e esta´ completa a prova. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
100 Limite
3.1.22
Exemplo A func¸a˜o
f(x, y) =

xy√
x2 + y2
sen(x+ arctg(x2 + y2)), se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
tem limite zero em X0 = (0, 0), visto que e´ o produto de uma func¸a˜o que tem limite zero,
conforme exemplo 3.1.13, por outra limitada, a saber g(x, y) = sen(x+ arctg(x2 + y2)).
A proposic¸a˜o seguinte mostra que o ca´lculo do limite de uma func¸a˜o vetorial se reduz ao
ca´lculo dos limites de suas func¸o˜es coordenadas. Em particular, ela mostra que a definic¸a˜o de
limite dada em 2.1.1, para func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel real, e´ compat´ıvel com a definic¸a˜o
geral, isto e´, com a definic¸a˜o 3.1.8.
3.1.23
Proposic¸a˜oSejam f : D ⊂ Rn −→ Rm e L = (l1, l2, . . . , lm) ∈ Rm. L e´ limite de f em X0
se, e somente se, li e´ limite de fi em X0, para 1 ≤ i ≤ m. Portanto,
lim
X→X0
f(X) = ( lim
X→X0
f1(X), lim
X→X0
f2(X), . . . , lim
X→X0
fm(X)),
desde que os limites existam.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos inicialmente que L = limX→X0 f(X). Seja � > 0. Logo,
existe δ > 0 tal que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− L‖ < �.
Mas |fi(X)− li| ≤ ‖f(X)− L‖, o que vem de (i), lema 3.1.10. Logo,
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ |fi(X)− li| ≤ ‖f(X)− L‖ < �, 1 ≤ i ≤ m.
Resulta da´ı que limX→X0 fi(X) = li. Reciprocamente, suponhamos que limX→X0 fi(X) = li,
para 1 ≤ i ≤ m. Logo, dado � > 0, existem δ1, δ2, . . . , δm tais que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δi =⇒ |fi(X)− li| < �/m, 1 ≤ i ≤ m.
Tomando δ = min{δ1, δ2, . . . , δm}, vem que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ |fi(X)− li| < �/m, 1 ≤ i ≤ m.
Logo,
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− L‖ ≤
m∑
i=1
|fi(X)− li| < m �
m
= �,
o que termina a demonstrac¸a˜o. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Func¸o˜es Cont´ınuas 101
3.1.24
Exemplo Seja f : R2 −→ R2 definida por f(x, y) = (2x+y, xy). Usando a proposic¸a˜o 3.1.23
e os resultados dos exemplos 3.1.11 e 3.1.12, vemos que lim
(x,y)→(2,1)
f(x, y) = (5, 2).
3.1.25 [Operac¸o˜es com Limites]
Teorema Sejam f, g : D ⊂ Rn −→ Rm e φ : D −→ R. Se-
jam X0 ∈ D′, L1, L2 ∈ Rm e l ∈ R tais que
lim
X→X0
f(X) = L1, lim
X→X0
g(X) = L2 e lim
X→X0
φ(X) = l. Enta˜o,
(i) lim
X→X0
(f(X) + g(X)) = L1 + L2;
(ii) lim
X→X0
φ(X)f(X) = lL1;
(iii) lim
X→X0
f(X) · g(X) = L1 · L2;
(iv) lim
X→X0
f(X)× g(X) = L1 × L2 (quando m = 3);
(v) lim
X→X0
1
φ(X)
=
1
l
, se l 6= 0 e φ(X) 6= 0, para todo X em alguma bola aberta com centro X0.
Demonstrac¸a˜o: Faremos apenas as provas de (i) e (ii). As demonstrac¸o˜es de (iii) e (iv)
seguem-se de (i) e (ii). O exerc´ıcio 3-5 indica como obter (v).
Seja � > 0. Temos que existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ1 =⇒ ‖f(X)− L1‖ < �
2
,
e
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ2 =⇒ ‖g(X)− L2‖ < �
2
.
(Note que aplicamos simplesmente a definic¸a˜o de limite para f e g, obtendo δ1 e δ2, a partir de
�/2.) Tomando δ = min{δ1, δ2} as duas implicac¸o˜es obtidas ocorrem simultaneamente, isto e´,
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− L1‖ < �
2
e ‖g(X)− L2‖ < �
2
.
Logo, se X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ, enta˜o
‖f(X) + g(X)− (L1 + L2)‖ ≤ ‖f(X)− L1‖+ ‖g(X)− L2‖ < �
2
+
�
2
= �.
Isto significa que limX→X0(f(X) + g(X)) = L1 + L2. Para provar (ii), comec¸amos observando
que
‖φ(X)f(X)− lL1‖ = ‖φ(X)f(X)− lL1 + φ(X)L1 − φ(X)L1‖
≤ |φ(X)| ‖f(X)− L1‖+ ‖L1‖ |φ(X)− l|.
Como φ tem limite em X0, vem da proposic¸a˜o 3.1.18 que existem K ≥ 0 e δ0 > 0 tais que
φ(X) ≤ K, para todo X ∈ B(X0, δ0). Logo,
lim
X→X0
|φ(X)| ‖f(X)− L1‖ = 0 e lim
X→X0
‖L1‖ |φ(X)− l| = 0,
102 Limite
e, por (i),
lim
X→X0
(|φ(X)| ‖f(X)− L1‖+ ‖L1‖ |φ(X)− l|) = 0.
Agora recorremos a` proposic¸a˜o 3.1.20, para obter
0 ≤ ‖φ(X)f(X)− lL1‖ ≤ |φ(X)| ‖f(X)− L1‖+ ‖L1‖ |φ(X)− l|
? ?
X −→ X0
0 0
?
0
,
o que implica lim
X→X0
φ(X)f(X) = lL1. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
3.1.26 [Limite da Composta]
Proposic¸a˜o Sejam f : D ⊂ Rn −→ Rm e g : E ⊂ Rm −→ Rp tais
que f(D) ⊂ E. Sejam X0 ∈ D′ e Y0 ∈ E ′. Se
f(X) 6= Y0, ∀X 6= X0, lim
X→X0
f(X) = Y0 e lim
Y→Y0
g(Y ) = L,
enta˜o a func¸a˜o composta g ◦ f , definida por (g ◦ f)(X) = g(f(X)), tem limite em X0 e vale
lim
X→X0
(g ◦ f)(X) = L.
Demonstrac¸a˜o: Dado � > 0, existe δ1 > 0 tal que
Y ∈ E, 0 < ‖Y − Y0‖ < δ1 =⇒ ‖g(Y )− L‖ < �, (¶17)
isto porque limY→Y0 g(Y ) = L. Por outro lado, como limX→X0 f(X) = Y0, vem que existe δ > 0
tal que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− Y0‖ < δ1.
Mas f(X) 6= Y0, sempre que X 6= X0. Logo,
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ 0 < ‖f(X)− Y0‖ < δ1,
e, portanto, podemos usar (¶17) com Y = f(X) para obter
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖g(f(X))− L‖ < �,
como quer´ıamos. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
O exemplo que segue mostra que a hipo´tese f(X) 6= Y0, X ∈ D, e´ essencial na pro-
posic¸a˜o 3.1.26.
Func¸o˜es Cont´ınuas 103
3.1.27
Exemplo Seja f : R −→ R definida por
f(x) =
{
0, se x 6= 0
1, se x = 0,
cujo gra´fico e´ mostrado ao lado. Agora ponha
g = f . Temos que
(g ◦ f)(x) =
{
1, se x 6= 0
0, se x = 0,
limx→0 f(x) = 0 e limy→0 g(y) = 0. Entretanto,
lim
x→0
(g ◦ f)(x) = 1.
1
-
x
6
y
y = f(x)ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppa
q
-
x
6
y
1
q
Figura 67
y = (g ◦ f)(x)ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppa
Note que se a proposic¸a˜o 3.1.26 funcionasse neste caso, dever´ıamos ter limx→0(g ◦ f)(x) = 0.
Tudo se deve ao fato de f(x) coincidir com seu limite em x0 = 0, para x 6= x0.
3.1.28
Corola´rio Sejam f : D ⊂ Rn −→ Rm uma func¸a˜o vetorial e α, β : I ⊂ R −→ Rn duas cur-
vas parametrizadas passando pelo ponto X0 ∈ D′, isto e´ α(t0) = β(t0) = X0,
para algum t0 ∈ I. Suponha tambe´m que
X0 = lim
t→t0
α(t) = lim
t→t0
β(t), e α(t) 6= X0, β(t) 6= X0,∀t 6= t0.
Se lim
t→t0
(f ◦ α)(t) 6= lim
t→t0
(f ◦ β)(t), enta˜o f na˜o tem limite em X0.
Demonstrac¸a˜o: Se f tivesse limite, digamos L, em X0, da proposic¸a˜o 3.1.26 resultaria
que
lim
t→t0
(f ◦ α)(t) = lim
t→t0
(f ◦ β)(t) = L.
Logo, so´ resta a f na˜o ter limite em X0. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
3.1.29
Exemplo Seja f : R2 −→ R definida por
f(x, y) =

x2y
x4 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
Temos que f na˜o pode ter limite na origem X0 = (0, 0). Com efeito, consideremos as curvas
parametrizadas α e β definidas por α(t) = (t, 0) e β(t) = (t, t2), t ∈ R. Os trac¸os destas curvas
sa˜o o eixo-x e a para´bola y = x2. E´ claro que α(0) = (0, 0) e β(0) = (0, 0). Ale´m disto, se t 6= 0,
104 Continuidade
enta˜o α(t) 6= (0, 0) 6= β(t). Tambe´m temos que limt→0 α(t) = limt→0 β(t) = (0, 0). Entretanto,
limt→t0(f ◦ α)(t) = 0 e
lim
t→0
(f ◦ β)(t) = lim
t→0
t2t2
t4 + (t2)2
=
1
2
.
Segue-se do corola´rio 3.1.28 que f na˜o tem limite em (0, 0), como dissemos.
3.2
Continuidade
Sejam f : D ⊂ Rn −→ Rm um func¸a˜o vetorial e X0 ∈ D. No estudo que faremos agora,
ale´m de nossa preocupac¸a˜o com o comportamento de f em pontos pro´ximos de X0, teremos,
tambe´m, nossa atenc¸a˜o voltada para o valor que ela assume neste ponto.
3.2.1 [Func¸a˜o Cont´ınua]
Definic¸a˜o Sejam f : D ⊂ Rn −→ Rm e X0 ∈ D. Dizemos que f e´
cont´ınua em X0 se uma das seguintes alternativas ocorrer:
(i) X0 e´ ponto isolado de D;
(ii) X0 e´ ponto de acumulac¸a˜o de D e lim
X→X0
f(X) = f(X0).
(A condic¸a˜o (i) na˜o e´ de grande interesse. Ela e´ posta a´ı para que a noc¸a˜o de continuidade fac¸a
sentido em qualquer ponto de D, mesmo naqueles isolados.) Dizemosque f e´ cont´ınua em D se
ela for cont´ınua em todos os pontos de D.
3.2.2
Exemplo Seja f : D ⊂ R2 −→ R uma func¸a˜o qualquer, onde D e´ como no exemplo 3.1.6.
Como X0 = (3, 0) e´ ponto isolado de D, vem que f e´ cont´ınua em X0.
3.2.3
Exemplo Seja f : R2 −→ R definida por
f(x, y) =

xy√
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
Como vimos no exemplo 3.1.13, lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0. Logo, f e´ cont´ınua em X0 = (0, 0).
Func¸o˜es Cont´ınuas 105
3.2.4
Exemplo Fac¸amos uma pequena modificac¸a˜o na func¸a˜o f do exemplo anterior, alterando
o seu valor em (0, 0). Seja g : R2 −→ R definida por
g(x, y) =

xy√
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
1, se (x, y) = (0, 0).
Como lim(x,y)→(0,0) g(x, y) = 0 e g(0, 0) = 1, vem que g na˜o e´ cont´ınua em X0 = (0, 0).
3.2.5
Exemplo Seja f : R2 −→ R definida por
f(x, y) =

xy
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
Como vimos no exemplo 3.1.14, f na˜o tem limite em X0 = (0, 0). Logo, na˜o e´ cont´ınua a´ı.
As condic¸o˜es (i) e (ii) na definic¸a˜o de continuidade (definic¸a˜o 3.2.1) podem ser agrupadas
em uma so´ condic¸a˜o, na linguagem de �’s e δ’s, como mostra a seguinte proposic¸a˜o, a qual
conte´m a forma que alguns textos adotam para definir continuidade.
3.2.6
Proposic¸a˜o Sejam f : D ⊂ Rn −→ Rm e X0 ∈ D. f e´ cont´ınua em X0 se, e somente se,
para cada � > 0, dado arbitrariamente, for poss´ıvel obter δ > 0 —o qual pode
depender de � e X0— tal que
X ∈ D, ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− f(X0)‖ < �.
Em outras palavras,
∀� > 0, ∃δ > 0 : X ∈ D, ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− f(X0)‖ < �. (¶18)
(Trocando f(X0) por L, ha´ apenas uma pequena diferenc¸a entre esta implicac¸a˜o e aquela da
definic¸a˜o 3.1.8: la´ e´ exigido que 0 < ‖X −X0‖ < δ.)
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos, inicialmente, que f e´ cont´ınua em X0. Temos dois casos
a considerar: (i) X0 e´ ponto isolado de D; (ii) X0 ∈ D′ e limX→X0 f(X) = f(X0). Seja � > 0,
arbitra´rio. Se X0 e´ ponto isolado de D, vem que existe δ > 0 tal que D ∩ B(X0, δ) = {X0}.
Logo,
X ∈ D, ‖X −X0‖ < δ =⇒ X = X0 =⇒ ‖f(X)− f(X0)‖ = ‖f(X0)− f(X0)‖ = 0 < �,
e (¶18) e´ satisfeita trivialmente. Se ocorre (ii), usamos a definic¸a˜o 3.1.8 para obter δ > 0 tal que
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− f(X0)‖ < �.
106 Continuidade
Mas para X = X0, ‖f(X)− f(X0)‖ = 0 < �. Logo,
X ∈ D, ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− f(X0)‖ < �,
e obtemos outra vez (¶18).
Suponhamos, agora, que (¶18) seja verificada. Se X0 e´ ponto isolado, f e´ cont´ınua em X0,
por definic¸a˜o. Suponhamos, enta˜o, que X0 ∈ D′, e seja � > 0 um nu´mero positivo arbitra´rio.
Como (¶18) esta´ valendo, existe δ > 0 tal que
X ∈ D, ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− f(X0)‖ < �.
Por maior raza˜o,
X ∈ D, 0 < ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− f(X0)‖ < �,
isto e´, lim
X→X0
f(X) = f(X0). pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
No estudo das func¸o˜es vetoriais cont´ınuas, merecem destaque especial as func¸o˜es lipschit-
zianas.
3.2.7
Definic¸a˜o Uma func¸a˜o vetorial f : D ⊂ Rn −→ Rm e´ dita lipschitziana se existe M ≥ 0
tal que
‖f(Y )− f(X)‖ ≤M ‖Y −X‖ , ∀Y,X ∈ D.
M e´ conhecida por constante de Lipschitz de f .
3.2.8
Exemplo Os exemplos mais simples de func¸o˜es lipschitzianas sa˜o as func¸o˜es constantes. Se
f(X) = C ∈ Rm, X ∈ Rn, enta˜o
‖f(Y )− f(X)‖ = ‖C − C‖ = 0 ≤M ‖Y −X‖ ,
para qualquer constante M .
3.2.9
Exemplo Seja f(x) = x2, x ∈ [0, 1]. Temos que,
|f(y)− f(x)| = |y + x||y − x| ≤ 2|y − x|, ∀x, y ∈ [0, 1].
Logo, f e´ lipschitziana.
3.2.10
Exemplo Seja f(x) = x2, x ∈ R. Se f fosse lipschitziana, ter´ıamos, para alguma constante
M ≥ 0, que
|y2 − x2| ≤M |y − x|, ∀x, y ∈ R.
Em particular, para x = 0, |y| ≤ M , para todo y ∈ R, o que e´ um absurdo. Logo, f na˜o e´
lipschitziana.
Uma grande fonte de func¸o˜es lipschitzianas sa˜o as aplicac¸o˜es lineares, como mostra o
seguinte teorema.
Func¸o˜es Cont´ınuas 107
3.2.11
Teorema Se T : Rn −→ Rm e´ linear, enta˜o existe M ≥ 0 tal que
(i) ‖T (X)‖ ≤M ‖X‖, ∀X ∈ Rn;
(ii) ‖T (Y )− T (X)‖ ≤M ‖Y −X‖, ∀Y,X ∈ Rn.
Demonstrac¸a˜o: Seja X = (x1, x2, . . . , xn). Logo, X = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen e,
portanto,
‖T (X)‖ = ‖x1T (e1) + x2T (e2) + · · ·+ xnT (en)‖
≤ |x1| ‖T (e1)‖+ |x2| ‖T (e2)‖+ · · ·+ |xn| ‖T (en)‖
≤ ‖X‖ ‖T (e1)‖+ ‖X‖ ‖T (e2)‖+ · · ·+ ‖X‖ ‖T (en)‖
= (‖T (e1)‖+ ‖T (e2)‖+ · · ·+ ‖T (en)‖) ‖X‖ ,
onde na passagem da segunda para a terceira desigualdade foi usado o fato |xi| ≤ ‖X‖, para
1 ≤ i ≤ n, conforme lema 3.1.10. Tomando M = ‖T (e1)‖+ ‖T (e2)‖+ · · ·+ ‖T (en)‖, segue-se o
resultado em (i). A prova de (ii) agora segue-se facilmente. De fato,
‖T (Y )− T (X)‖ = ‖T (Y −X)‖ ≤M ‖Y −X‖ ,
onde usamos (i) para o vetor Y −X. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
3.2.12
Exemplo Consideremos a aplicac¸a˜o linear T : R3 −→ R2 dada por
T (x, y, z) = (x+ y, x− y + z) =
(
1 1 0
1 −1 1
)xy
z
.
Temos que ‖T (e1)‖ =
√
2, ‖T (e2)‖ =
√
2 e ‖T (e3)‖ = 1. Logo, ‖T (X)‖ ≤ (2
√
2 + 1) ‖X‖, para
todo X ∈ R3.
3.2.13
Teorema Se f : D ⊂ Rn −→ Rm e´ lipschitziana, enta˜o f e´ cont´ınua em D.
Demonstrac¸a˜o: Usando a proposic¸a˜o 3.1.20 (sandu´ıche), temos que
0 ≤ ‖f(X)− f(X0)‖ ≤ M ‖X −X0‖
? ?
X −→ X0.
0 0
?
0
Logo, lim
X→X0
f(X) = f(X0). pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
108 Continuidade
O pro´ximo corola´rio destaca uma propriedade fundamental das aplicac¸o˜es lineares entre
espac¸os euclidianos: sua continuidade.
3.2.14
Corola´rio Se T : Rn −→ Rm e´ linear, enta˜o T e´ cont´ınua em Rn.
Demonstrac¸a˜o: Segue-se do fato que T e´ lipschitziana, como mostra o teorema 3.2.11,
junto com o teorema 3.2.13. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
3.2.15 [Continuidade da Norma]
Corola´rio A norma euclidiana e´ uma func¸a˜o real cont´ınua,
isto e´, a func¸a˜o
η : Rn −−−−−→ R
X −−−−−→ η(X) = ‖X‖
e´ cont´ınua em Rn.
Demonstrac¸a˜o: A desigualdade triangular | ‖Y ‖ − ‖X‖ | ≤ ‖Y −X‖ mostra que η e´
lipschitziana. Logo, cont´ınua. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
3.2.16
Exemplo Seja T : R4 −→ R3 definida por
T (x1, x2, x3, x4) = (x1 + x2, x2 + x3, x1 + x2 − x4).
Como T e´ linear, vem que T e´ cont´ınua em R4. Em particular,
lim
(x1,x2,x3,x4)→(0,0,0,0)
T (x1, x2, x3, x4) = T (0, 0, 0, 0) = (0, 0, 0)
lim
(x1,x2,x3,x4)→(1,0,1,0)
T (x1, x2, x3, x4) = T (1, 0, 1, 0) = (1, 1, 1)
3.2.17 [Projec¸o˜es]
Exemplo Dado j ∈ N, 1 ≤ j ≤ n, a j-e´sima projec¸a˜o do Rn e´ aplicac¸a˜o linear
pj : Rn −−−−−→ R
(x1, x2, . . . , xn) −−−−−→ pj(x1, x2, . . . , xn) = xj.
Como caso particular, temos as treˆs projec¸o˜es do R3:
p1(x, y, z) = x, p2(x, y, z) = y e p3(x, y, z) = z.
As n projec¸o˜es pj, 1 ≤ j ≤ n, sa˜o aplicac¸o˜es cont´ınuas em Rn, visto que sa˜o lineares.
Func¸o˜es Cont´ınuas 109
3.2.18 [Operac¸o˜es com Func¸o˜es Cont´ınuas]
Teorema Seja D ⊂ Rn. Se
f : D −→ Rm, g : D −→ Rm e φ : D −→ R
sa˜o func¸o˜es cont´ınuas no ponto X0 ∈ D, enta˜o as seguintes aplicac¸o˜es sa˜o cont´ınuas em X0.
(i) [Soma]
f + g : D −−−−−→ Rm
X −−−−−→ (f + g)(X) = f(X) + g(X);
(ii) [Produto]
φf : D −−−−−→ Rm
X −−−−−→ (φf)(X) = φ(X)f(X);
(iii) [Produto Escalar]
f · g : D −−−−−→ R
X −−−−−→(f · g)(X) = f(X) · g(X);
(iv) [Produto Vetorial]
f × g : D −−−−−→ Rm
X −−−−−→ (f × g)(X) = f(X)× g(X).
Neste caso, claro, estamos supondo m = 3;
(v)
1
φ
: D −−−−−→ R
X −−−−−→ 1
φ
(X) =
1
φ(X)
,
se φ(X) 6= 0, para todo X ∈ D.
Demonstrac¸a˜o: Se X0 e´ isolado, na˜o ha´ o que fazer. Suponhamos, enta˜o, X0 ∈ D′.
Como f e g sa˜o cont´ınuas em X0, vem que limX→X0 f(X) = f(X0) e limX→X0 g(X) = g(X0).
Usando o item (i) do teorema 3.1.25, obtemos que
lim
X→X0
(f + g)(X) = lim
X→X0
f(X) + lim
X→X0
g(X) = f(X0) + g(X0) = (f + g)(X0),
donde segue-se a continuidade de f+g em X0. Fazendo uso dos demais itens do citado teorema,
resultam (ii), (iii) e (iv). pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
110 Continuidade
3.2.19
Exemplo Seja f(x, y) =
xy − x− 2y + 2
x2 + y2 − 4x− 2y + 5. Temos que
f(x, y) =
(x− 2 + 2)(y − 1 + 1)− (x− 2 + 2)− 2(y − 1 + 1) + 2
(x− 2)2 − 4 + (y − 1)2 − 1 + 5
=
(x− 2)(y − 1)
(x− 2)2 + (y − 1)2
Logo, f esta´ bem definida em todo R2, exceto no ponto (2, 1). Impondo f(2, 1) = 0, f fica
bem definida em todo R2. Como x2 + y2 − 4x − 2y + 5 > 0, se (x, y) 6= (2, 1), resulta do teo-
rema 3.2.18 que f e´ cont´ınua em R2−{(2, 1)}. Tendo em mente o corola´rio 3.1.28, estudaremos
o comportamento de f ao longo de duas curvas (no caso, retas) que passam por (2, 1). Ao longo
de x = 2, f se anula, e ao longo da reta y = x− 1,
f(x, y) = f(x, x− 1) = (x− 2)(x− 2)
(x− 2)2 + (x− 2)2 =
(x− 2)2
2(x− 2)2 =
1
2
.
Logo, f na˜o tem limite em (2, 1) e, portanto, na˜o e´ cont´ınua a´ı.
3.2.20 [Func¸o˜es Polinomiais]
Exemplo Uma func¸a˜o polinomial em R2 e´ uma func¸a˜o real do
tipo
p(x, y) = a00 + a10x+ a01y + a20x
2 + a11xy + a02y
2 + · · ·+ ad0xd + · · ·+ a0dyd, (x, y) ∈ R2,
para algumas constantes aij ∈ R e 1 ≤ i, j ≤ d, com i, j, d ∈ N. Abreviadamente, p pode ser
posto sob a seguinte forma:
p(x, y) =
d∑
k=1
(∑
i+j=k
aijx
iyj
)
, (x, y) ∈ R2.
Usando as duas projec¸o˜es do R2, dadas por p1(x, y) = x e p2(x, y) = y, podemos reescrever p
como
p(x, y) =
d∑
k=1
(∑
i+j=k
aij(p1(x, y))
i(p2(x, y))
j
)
.
Esta forma de olhar p mostra que p e´ uma soma de produtos envolvendo as projec¸o˜es p1 e
p2, que sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em todo R2, como vimos no exemplo 3.2.17. Logo, p tambe´m e´
cont´ınuo em R2, o que resulta de uma aplicac¸a˜o direta (e cuidadosa) dos resultados contidos no
teorema 3.2.18. Mais geralmente, uma func¸a˜o polinomial em Rn e´ dada por
p(x1, x2, . . . , xn) =
d∑
k=1
( ∑
i1+i2+···+in=k
ai1i2...inx
i1
1 x
i2
2 . . . x
in
n
)
, (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn,
Func¸o˜es Cont´ınuas 111
para algumas constantes ai1i2...in ∈ R e 1 ≤ i1, i2, . . . , in ≤ d, com i1, i2, . . . , in, d ∈ N. Usando
argumentos ana´logos a`queles que usamos para as func¸o˜es polinomiais em R2, segue-se que p e´
cont´ınua em todo Rn.
Vejamos mais uma pec¸a u´til para a verificac¸a˜o da continuidade de certas func¸o˜es, a partir
do conhecimento da continuidade de outras.
3.2.21
Proposic¸a˜o Sejam f : D ⊂ Rn −→ Rm e g : E ⊂ Rm −→ Rp tais que f(D) ⊂ E. Sejam
X0 ∈ D e Y0 = f(X0) ∈ E. Se f e´ cont´ınua em X0 e g e´ cont´ınua em Y0,
enta˜o g ◦ f e´ cont´ınua em X0.
Demonstrac¸a˜o: Usaremos a caracterizac¸a˜o de continuidade dada pela proposic¸a˜o 3.2.6.
Para isto, seja � > 0. Como g e´ cont´ınua em Y0 = f(X0), existe δ1 > 0 tal que
Y ∈ E, ‖Y − Y0‖ < δ1 =⇒ ‖g(Y )− g(Y0)‖ < �. (¶19)
Ja´ a continuidade de f em X0 produz δ > 0 tal que
X ∈ D, ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖f(X)− f(X0)‖ = ‖f(X)− Y0‖ < δ1.
Logo, se Y = f(X), para X ∈ D e ‖X −X0‖ < δ, vale ‖Y − Y0‖ = ‖f(X)− f(X0)‖ < δ1, o
que, via (¶19), implica que
‖g(Y )− g(Y0)‖ = ‖g(f(X))− g(f(X0))‖ = ‖(g ◦ f)(X)− (g ◦ f)(X0)‖ < �.
Em resumo, temos que
∀� > 0, ∃δ > 0 : X ∈ D, ‖X −X0‖ < δ =⇒ ‖(g ◦ f)(X)− (g ◦ f)(X0)‖ < �,
isto e´, g ◦ f e´ cont´ınua em X0. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
3.2.22
Exemplo A func¸a˜o
f(x, y) =

xy√
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0),
cuja continuidade na origem ja´ foi estabelecida no exemplo 3.2.3, e´ cont´ınua em R2. De fato,
fora da origem f e´ o quociente (com denominador na˜o-nulo) de duas func¸o˜es cont´ınuas, a saber:
a func¸a˜o polinomial p(x, y) = xy e a norma η(x, y) = ‖(x, y)‖, que sa˜o cont´ınuas, o que vem
de 3.2.20 e 3.2.15, respectivamente.
3.2.23
Exemplo Seja h(x, y, z) =
√
1 + x2 + y2 + z2, (x, y, z) ∈ R3. Note que h = g ◦ p, onde
g : [0,+∞) −→ [0,+∞) e´ dada por g(t) = √t, e p : R3 −→ R e´ a func¸a˜o polino-
mial p(x, y, z) = 1 + x2 + y2 + z2 > 0. Como g e p sa˜o cont´ınuas, segue-se que h e´ cont´ınua, de
acordo com a proposic¸a˜o 3.2.21. A continuidade de g e´ obtida no exerc´ıcio 3-7, o qual o leitor
na˜o tera´ dificuldades para resolver.
3
Exerc´ıcios
Func¸o˜es Cont´ınuas – Exerc´ıcios 113
3-1 Em cada caso determine o domı´nio de f e discuta a definic¸a˜o de limite da func¸a˜o dada nos
pontos dados.
(a) f(x) =
√
x2(x− 1); X0 = 0, X1 = 1, X2 = 2;
(b) f(x, y) =
√
[x2 + (y − 1)2](x− y); X0 = (0, 1), X1 = (1, 1), X2 = (1, 0).
3-2 Verifique os limites abaixo, usando �’s e δ’s.
(a) lim
(x,y,z)→(1,2,3)
2x+ y − z = 1;
(b) lim
(x,y)→(0,2)
x2 = 0;
(c) lim
(x,y)→(1,−2)
2x2 + 2y2 − 4x+ 8y = −10.
3-3 Verifique os seguintes limites:
(a) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 − y2
x2 + y2
= 0;
(b) lim
(x,y)→(0,0)
2x2 + xy2 + 2y2
x2 + y2
= 2;
(c) lim
(x,y)→(0,2)
x+ y
x− y = −1;
(d) lim
(x,y)→(1,1)
x2 − y2
x2 + y2
= 0;
(e) lim
(x,y)→(1,a)
(x− 1)2(y + 1)2
(x− 1)4 + (y + 1)2 = 0;
(f) lim
(x,y)→(2,1)
xy − x− 2y + 2√
x2 + y2 − 4x− 2y + 5
= 0.
(g) lim
(x,y)→(0,0)
x sen y√
x2 + y2
= 0;
(h) lim
(x,y)→(0,0)
ex cos y − 1− x√
x2 + y2
= 0.
3-4 Se lim
X→X0
f(X) = L, mostre que lim
X→X0
‖f(X)‖ = ‖L‖. E´ verdadeira a rec´ıproca? Em
particular, mostre que se α : I ⊂ R −→ Rn e´ uma curva parametrizada, cuja velocidade
escalar e´ v(t), enta˜o
v(t) = ‖α′(t)‖ = lim
h→0
‖α(t+ h)− α(t)‖
|h| .
3-5 Sejam f : D ⊂ Rn −→ R, X0 ∈ Rn ponto de acumulac¸a˜o de D e lim
X→X0
f(X) = l 6= 0.
(a) Mostre que existem uma constante k > 0 e uma bola aberta centrada em X0, B ⊂ D,
tais que, para todo X ∈ B − {X0}, vale |f(X)| > k;
(b) Conclua que, em B − {X0},
∣∣∣∣ 1f(X) − 1l
∣∣∣∣ ≤ |f(X)− l|k|l| . Donde limX→X0 1f(X) = 1l ;
(c) Se l > 0, enta˜o existe δ > 0 tal que f permanece positiva em B(X0, δ)− {X0}.
114 Func¸o˜es Cont´ınuas – Exerc´ıcios
3-6 [Permaneˆncia do Sinal] Mostre que se f : D ⊂ Rn −→ R e´ cont´ınua em X0 e f(X0) > 0,
enta˜o existe δ > 0 tal que f(X) > 0, para todo X ∈ B(X0, δ).
3-7 Seja g : [0,+∞) −→ [0,+∞) definida por g(x) = √x.
(a) Se � > 0 e 0 ≤ x < �2, enta˜o √x < �;
(b) Conclua de (a) que g e´ cont´ınua em x0 = 0;
(c) Se x, x0 ∈ (0,+∞), enta˜o |
√
x−√x0| = 1√
x+
√
x0
|x− x0|;
(d) Deduza de (c) que |√x−√x0| ≤ 1√
x0
|x− x0|;
(e) Conclua que g e´ cont´ınua em [0,+∞).
3-8 Discuta a continuidade das func¸o˜es dadas a seguir.
(a) f(X) = ‖X‖4 , X ∈ Rn;
(b) f(x, y, z) = (x, y, x+ z);
(c) f(x, y) =
{
0, se xy 6= 0
1, se xy = 0
;
(d) f(x, y) =
{ senx
x
+ y, se x 6= 0
1 + y, se x = 0
;
(e) f(x, y) =
{
x sen(1/y), se y 6= 0
0, se y = 0
;
(f) f(x, y) =
{
x2, se y 6= 0
1, se y = 0
.
3-9 Mostre que se α : I −→ Rn e´ deriva´vel em t, enta˜o α e´ cont´ınua a´ı. Deˆ um exemplo mos-
trando que a rec´ıproca na˜o e´ verdadeira.
3-10 Seja
f : R2 −−−−−→ R
(x, y) −−−−−→ f(x, y) =

xy2
x2 + y4
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
Mostreque f e´ cont´ınua ao longo de toda reta passando pela origem. Entretanto, f na˜o e´
cont´ınua (na origem).
3-11 Uma aplicac¸a˜o A : Rn −→ Rm e´ dita afim se A(X) = T (X) +B, onde T e´ linear e B e´ uma
m-upla constante. Use o teorema 3.2.11 para mostrar que toda aplicac¸a˜o afim e´ lipschitziana.
3-12 Seja α : I −→ Rn uma curva parametrizada com derivada limitada em I, isto e´, existe M ≥ 0
tal que ‖α′(t)‖ ≤ M , para todo t ∈ I. Use a desigualdade do valor me´dio obtida no
teorema 2.2.11 para mostrar que α e´ lipschitziana, conforme definic¸a˜o 3.2.7. Reciprocamente,
se uma curva parametrizada deriva´vel α : I −→ Rn e´ lipschitziana, enta˜o α′ e´ limitada.
3-13 Mostre que α(t) = (t, t2), t ∈ R, na˜o e´ lipschitziana. Entretanto, sua restric¸a˜o ao intervalo
[0, 1] o e´. Mais geralmente, mostre que a restric¸a˜o de α a qualquer intervalo limitado e´
lipschitziana.
4
Derivadas Parciais
�
�	
x
-
y
6
z
�
�
�
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqq qqq qqqqqqqqq qqqqq qqqqq qqqqqqqqq qqqq q qq qqqqqqqqqqqqqqqq qqq qqqqqqqq qqqqqqqqq qq qqq qqqqqqqqqq qqqqqq q qqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qq q qqqqq q qqqqqqqqqqqqqqqq q qqq qqqqqqqqqqqqq qqq qqqqqqqqqqqqqq qqqq qqq qqqqqqqq qqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqq qqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqq qqqqq qq qqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
�
�
���
�
���
HHY
HH
HH
HH
l2
l1
β
α
q
q
T2NP (f)
T1
x = a
y = b
X0
por
J. Adonai & A. Carlos
4.1
Derivadas Parciais em R2
Seja g : I ⊂ R −→ R uma func¸a˜o real de uma varia´vel real definida no intervalo I. A
derivada de g em a ∈ I e´ definida por
g′(a) = lim
h→0
g(a+ h)− g(a)
h
,
quando o limite existe. Nesta definic¸a˜o, supomos que o acre´scimo h e´ tal que a + h ∈ I.
Satisfeita esta hipo´tese, h e´ arbitra´rio, podendo ser positivo ou negativo, a menos que a seja
uma das extremidades de I.
Para estender este quadro para as func¸o˜es
vetoriais f : D ⊂ Rn −→ Rm, n > 1, (vale no-
tar que para n = 1, a noc¸a˜o de derivada foi es-
tendida sem qualquer esforc¸o adicional, conforme
cap´ıtulo 2), ale´m de uma reformulac¸a˜o adequada
do quociente de Newton —pois na˜o dispomos da
operac¸a˜o de divisa˜o por um vetor—, e´ natural que
fac¸amos algumas exigeˆncias sobre o domı´nio D:
por exemplo, exigir que dado X0 ∈ D, os pontos
X = X0 +H ainda pertenc¸am a D para ‖H‖ sufi-
cientemente pequeno. Um bom modo de fazer isto
e´ garantir a existeˆncia de um nu´mero real δ > 0
tal que a bola aberta B(X0, δ) ainda esteja contida
em D, o que motiva a definic¸a˜o de conjunto aberto
Figura 68: Conjunto Aberto
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q q q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqD
-
x1
6
xn
X0 qq δqb q q
a
qq
q q
a+ δa− δ
b− δ
b+ δ
q
q
@RqX0 +H
(veja definic¸a˜o 4.1.1 a seguir). Satisfeita esta condic¸a˜o, podemos, em particular, considerar
acre´scimos vetoriais paralelos aos eixos coordenados, obtendo as derivadas parciais de f em X0.
Mais geralmente, se os acre´scimos sa˜o tomados paralelos a uma direc¸a˜o fixa, obtemos a noc¸a˜o
de derivada direcional, que veremos na sec¸a˜o 4.5.
4.1.1 [Conjunto Aberto]
Definic¸a˜o Um conjunto D ⊂ Rn e´ dito aberto se D = ∅ ou dado
X ∈ D existe δ > 0, que pode depender de X, tal que
B(X, δ) ⊂ D.
4.1.2
Exemplo No espac¸o R2 sa˜o abertos os seguintes subconjuntos:
(i) o pro´prio R2;
(ii) o disco x2 + y2 < 1 (veja exemplo 4.1.4);
(iii) o espac¸o R2 menos um nu´mero finito de pontos;
(iv) o espac¸o R2 menos o c´ırculo x2 + y2 = 1.
116
Derivadas Parciais 117
4.1.3
Exemplo O espac¸o Rn e´ aberto em Rn. Se retiramos do Rn um nu´mero finito de pontos, o
conjunto resultante ainda e´ aberto de Rn.
4.1.4
Exemplo Se � > 0 e X0 ∈ Rn, enta˜o a bola aberta
B(X0, �) e´ um conjunto aberto do Rn. De
fato, dado X ∈ B(X0, �), escolhemos δ = �− ‖X −X0‖ .
E´ claro que δ > 0 e que se Y ∈ B(X, δ), enta˜o
‖Y −X0‖ = ‖Y −X0 +X −X‖
≤ ‖Y −X‖+ ‖X −X0‖ < δ + �− δ = �. Figura 69
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
X0�
q
X
q
Y
δ
Isto implica B(X, δ) ⊂ B(X0, �). Em particular, os intervalos abertos sa˜o abertos de R e os
discos abertos sa˜o abertos de R2.
4.1.5
Exemplo Vejamos alguns exemplos de conjuntos que na˜o sa˜o abertos em R2.
(i) Qualquer conjunto finito;
(ii) o semi-plano y ≥ 0;
(iii) o disco fechado x2 + y2 ≤ 1;
(iv) o intervalo aberto {(x, y); 0 < x < 1 e y = 0}.
A seguinte proposic¸a˜o mostra como construir novos conjuntos abertos a partir de outros
ja´ conhecidos.
4.1.6
Proposic¸a˜o Se D1 e D2 sa˜o abertos do Rn, enta˜o D1 ∩D2 e D1 ∪D2 sa˜o abertos do Rn.
Demonstrac¸a˜o: Podemos supor que D1 ∩D2 6= ∅. Seja X ∈ D1 ∩D2. Enta˜o, X ∈ D1
e X ∈ D2. Como D1 e D2 sa˜o abertos, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que B(X, δ1) ⊂ D1 e
B(X, δ2) ⊂ D2. Tomando δ = min{δ1, δ2}, vem que B(X, δ) ⊂ D1∩D2. Logo, D1∩D2 e´ aberto.
Seja, agora, X ∈ D1 ∪ D2. Logo, ou X ∈ D1 ou X ∈ D2. Em qualquer caso, deve
existir δ > 0 tal que B(X, δ) esta´ contida em algum destes conjuntos, pois ambos sa˜o abertos.
Portanto, B(X, δ) ⊂ D1 ∪D2, e D1 ∪D2 e´ aberto. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Visando obter uma interpretac¸a˜o geome´trica precisa do que significa derivada parcial,
introduziremos este conceito no ambiente R2. Feito isso, a passagem para o caso vetorial, com
mais de duas varia´veis, se dara´ naturalmente.
Seja f : D ⊂ R2 −→ R uma func¸a˜o definida no aberto D. Fixemos X0 = (a, b) ∈ D. Logo,
para algum δ > 0, B(X0, δ) ⊂ D. Assim podemos escrever os quocientes de Newton de f ,
relativos a x e y, em X0:
Q1(h) =
f(a+ h, b)− f(a, b)
h
, 0 < |h| < δ,
118 Derivadas Parciais em R2
e
Q2(k) =
f(a, b+ k)− f(a, b)
k
, 0 < |k| < δ.
Para ver Q1 e Q2 como quocientes de Newton de func¸o˜es de uma varia´vel, introduzimos duas
func¸o˜es auxiliares, as quais indicaremos por g1 e g2, definidas da seguinte forma:
g1 : (a− δ, a+ δ) −−−−−→ R
x −−−−−→ g1(x) = f(x, b)
(¶20)
e
g2 : (b− δ, b+ δ) −−−−−→ R
y −−−−−→ g2(y) = f(a, y).
(¶21)
Logo, Q1 e´ o quociente de Newton de g1 em a, e Q2 e´ o quociente de Newton de g2 em b. Isto
posto, podemos definir derivada parcial.
4.1.7
Definic¸a˜o Se Q1 tem limite quando h tende a zero, dizemos que f tem derivada parcial
com relac¸a˜o a x em X0 = (a, b). O valor do limite, indicado por
∂f
∂x
(a, b), por
fx(a, b), ou por D1f(a, b), e´ chamado derivada parcial de f com relac¸a˜o a x em X0. Em outras
palavras,
∂f
∂x
(a, b) = lim
h→0
f(a+ h, b)− f(a, b)
h
,
quando o limite existe.
4.1.8
Definic¸a˜o Se Q2 tem limite quando k tende a zero, dizemos que f tem derivada parcial
com relac¸a˜o a y em X0 = (a, b). O valor do limite, indicado por
∂f
∂y
(a, b), por
fy(a, b), ou por D2f(a, b), e´ chamado derivada parcial de f com relac¸a˜o a y em X0. Em outras
palavras,
∂f
∂y
(a, b) = lim
k→0
f(a, b+ k)− f(a, b)
k
,
quando o limite existe.
O ca´lculo expl´ıcito destes limites pode ser evitado com o uso de g1 e g2, como mostra a
seguinte proposic¸a˜o.
4.1.9
Proposic¸a˜o Sejam f : D ⊂ R2 −→ R, D aberto, e X0 = (a, b) ∈ D. Se g1 e g2 sa˜o como
em (¶20) e (¶21), enta˜o
∂f
∂x
(a, b) = g′1(a) e
∂f
∂y
(a, b) = g′2(b),
desde que as derivadas parciais de f existam em X0.
Derivadas Parciais 119
Demonstrac¸a˜o: De g1(x) = f(x, b), x ∈ (a− δ, a+ δ), vem que
g1(a+ h)− g1(a)
h
=
f(a+ h, b)− f(a, b)
h
= Q1(h),
isto e´, Q1 coincide com o quociente de Newton de g1 em x = a. Logo,
g′1(a) = lim
h→0
g1(a+ h)− g1(a)
h
= lim
h→0
f(a+ h, b)− f(a, b)
h
=
∂f
∂x
(a, b).
A afirmac¸a˜o com respeito a` derivada de f com relac¸a˜o a y sera´ deixada como exerc´ıcio. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
Portanto, tudo se passa como no ca´lculo de func¸o˜es de uma varia´vel: basta fixar uma das
varia´veis, e estudar a func¸a˜o de uma varia´vel resultante. Vejamos alguns exemplos, para fixar
estas ide´ias.
4.1.10
Exemplo Seja f(x, y) = xy2 + e2x+y +3, (x, y) ∈ R2, e consideremos o ponto X0 = (2,−1).
As func¸o˜es auxiliares g1 e g2, neste caso, sa˜o:
g1(x) = f(x,−1) = x+ e2x−1 +3, x ∈ R, e g2(y) = f(2, y) = 2y2 + e4+y +3, y ∈ R.
Logo, g′1(2) = 1 + 2 e
3 e g′2(−1) = −4 + e3. Usando a proposic¸o˜es 4.1.9, segue-se que
∂f
∂x
(2,−1) = 1 + 2 e3, e ∂f
∂y
(2,−1) = −4 + e3 .
Mais geralmente, em um ponto arbitra´rio X = (x, y), obtemos
g1(x) = f(x, y) = xy
2 + e2x+y+3, x ∈ R, e g2(y) = f(x, y) = xy2 + e2x+y +3, y ∈ R,
onde estamos olhando y como uma constante, na relac¸a˜o que define g1, e, o mesmo se fazendo
com x, naquela que define g2. Logo,
∂f
∂x
(x, y) = g′1(x) = y
2 + 2 e2x+y e
∂f
∂y
(x, y) = g′2(y) = 2xy + e
2x+y, (x, y) ∈ R2.
4.1.11
Exemplo Se f(x, y) = xy, (x, y) ∈ (0,+∞) × R, enta˜o pensando em y como constante,
obtemos ∂f
∂x
(x, y) = yxy−1. Agora, para x constante, vem que ∂f
∂y
(x, y) = xy log x.
Em particular, ∂f
∂x
(1, 2) = 2 e ∂f
∂y
(1, 2) = 0.
O procedimento adotado no exemplo anterior, onde calculamos as derivadas parciais no
ponto (1, 2), a partir do ca´lculo destas derivadas em um ponto qualquer, pode na˜o ser o mais
aconselha´vel, como vemos no exemplo a seguir.
120 Derivadas Parciais em R2
4.1.12
Exemplo Seja f : R × (0,+∞) −→ R definida por
f(x, y) = x2 + y2 +
(
arctg27(x3 + y) + sen(x2 + y2)
x2 + y2 + 1
+ exy+cos(x+y+2)
)
log y.
Para calcular, por exemplo, ∂f
∂x
(3, 1), observamos que a func¸a˜o g1 associada a f , neste ponto,
toma uma forma bastante simples, a saber: g1(x) = f(x, 1) = x
2 + 1, x ∈ R, cuja derivada e´
g′1(x) = 2x. Logo,
∂f
∂x
(3, 1) = 6. O leitor deve observar, entretanto, que este mesmo ca´lculo, a
partir da expressa˜o geral de ∂f
∂x
, deve ser bem mais trabalhoso.
4.1.13 [Operac¸o˜es com Derivadas Parciais]
Proposic¸a˜o Se f, g : D ⊂ R2 −→ R teˆm de-
rivada com relac¸a˜o a x no ponto
X0 = (a, b) do aberto D, enta˜o f +g, fg e f/g, esta u´ltima se g(a, b) 6= 0, tambe´m teˆm derivada
parcial com relac¸a˜o a x em X0, e valem as seguintes identidades:
(i)
∂(f + g)
∂x
(a, b) =
∂f
∂x
(a, b) +
∂g
∂x
(a, b);
(ii)
∂(fg)
∂x
(a, b) =
∂f
∂x
(a, b)g(a, b) + f(a, b)
∂g
∂x
(a, b);
(iii)
∂
(
f
g
)
∂x
(a, b) =
∂f
∂x
(a, b)g(a, b)− f(a, b) ∂g
∂x
(a, b)
g2(a, b)
.
Demonstrac¸a˜o: Segue-se facilmente das propriedades da derivada das func¸o˜es reais de
uma varia´vel real. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp
4.1.14
Exemplo Seja f : R2 −→ R definida por f(x, y) = √x2 + y2. Se X = (x, y) 6= (0, 0), enta˜o
∂f
∂x
(x, y) =
x√
x2 + y2
e
∂f
∂y
(x, y) =
y√
x2 + y2
.
Entretanto, f na˜o tem derivadas parciais com relac¸a˜o a x nem com relac¸a˜o a y em X0 = (0, 0).
De fato,
Q1(h) =
f(h, 0)− f(0, 0)
h
=
√
h2
h
=
|h|
h
=
{
1, se h > 0
−1, se h < 0 .
Logo, na˜o existe limh→0Q1(h) e, portanto, na˜o existe
∂f
∂x
(0, 0). Analogamente, na˜o existe ∂f
∂y
(0, 0).
Note que o gra´fico de f , a superf´ıcie z =
√
x2 + y2, coincide com a folha superior do cone de
duas folhas mostrado na figura 28, pa´gina 35. O ve´rtice deste cone corresponde ao ponto (0, 0),
onde f na˜o possui derivadas parciais.
Derivadas Parciais 121
4.1.15
Exemplo Consideremos, agora, f : R2 −→ R definida assim:
f(x, y) =
xy
x2 − y2
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
Um ca´lculo direto, usando a proposic¸a˜o 4.1.13, mostra que em X = (x, y) 6= (0, 0) valem
∂f
∂x
(x, y) = y
x2 − y2
x2 + y2
+ 4
x2y3
(x2 + y2)2
e
∂f
∂y
(x, y) = x
x2 − y2
x2 + y2
− 4 x
3y2
(x2 + y2)2
.
Para calcular as derivadas parciais de f em (0, 0), usaremos os quocientes de Newton de f a´ı:
Q1(h) =
f(h, 0)− f(0, 0)
h
=
0− 0
h
= 0 e Q2(k) =
f(0, k)− f(0, 0)
k
=
0− 0
k
= 0.
Logo, ∂f
∂x
(0, 0) = limh→0Q1(h) = 0 e
∂f
∂y
(0, 0) = limk→0Q2(k) = 0. Em resumo, temos que
∂f
∂x
(x, y) =
y
x2 − y2
x2 + y2
+ 4
x2y3
(x2 + y2)2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
∂f
∂y
(x, y) =
x
x2 − y2
x2 + y2
− 4 x
3y2
(x2 + y2)2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
(¶22)
Observac¸a˜o Algumas palavras sobre as notac¸o˜es usadas para derivadas parciais. O s´ımbolo
∂f
∂x
(X0) (ou fx(X0)) conte´m duas informac¸o˜es:
(i) calculamos o limite quando h tende a zero do quociente de Newton Q1;
(ii) estamos indicando a primeira varia´vel de f por x.
Portanto, se indicamos por u e v as coordenadas de um ponto gene´rico do domı´nio de f , a
notac¸a˜o adequada para o limite limh→0Q1(h) e´
∂f
∂u
(X0), o que deve ser chamado de derivada
parcial de f com relac¸a˜o a u em X0. Note, entretanto, que a notac¸a˜o D1f(X0) na˜o depende da
escolha da letra que usamos para indicar a primeira varia´vel de f . O exemplo a seguir indica
os pontos do domı´nio de f por (s, t), e calcula, claro, as derivadas parciais de f com relac¸a˜o a`s
varia´veis s e t.
4.1.16
Exemplo Se f(s, t) = A sen(ks− wt), (s, t) ∈ R2 e A, k, w constantes, enta˜o
∂f
∂s
(s, t) = kA cos(ks− wt) e ∂f
∂t
(s, t) = −wA cos(ks− wt).
122 Derivadas Parciais em R2
4.1.17
Interpretac¸a˜o Geome´trica
Seja f : D ⊂ R2 −→ R uma func¸a˜o real tendo derivadas parciais, com relac¸a˜o a x e com
relac¸a˜o a y, no ponto X0 ∈ D. Seja
S = G(f) = {(x, y, z); z = f(x, y), (x, y) ∈ D}
o gra´fico de f , conforme definic¸a˜o 1.4.7. A figura
ao lado mostra G(f), os planos x = a e y = b.
Estes planos interceptam G(f) no trac¸o das se-
guintes curvas parametrizadas:
α1(x) = (x, b, g1(x)), x ∈ (a− δ, a+ δ),
e
α2(y) = (a, y, g2(y)), y ∈ (b− δ, b+ δ),
onde g1 e g2 sa˜o as func¸o˜es auxiliares que defi-
nimos em (¶20) e (¶21). A figura abaixo exibe os
Figura 70
�
�	
x
-
y
6
z
�
��
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqq qqq qqqqqqqqq qqqqq q qqq qqqqqqqqq qqqq q qq qqqqqqqqqqqqqqqq qqq qqqqqqqq qqqqqqqqq qq qqq qqqqqqqqqq qqqqqq q qqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qq q qqqqq q qqqqqqqqqqqqqq q q qqq qqqqqqqqqqqqq qqq qqqqqqqqqqqqqq qqqq qqq qqqqqqqq qqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqq qqqqq qq qqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pp ppp pp pp ppp ppp ppp ppp pp pp pppp pp ppppp ppppp ppppp ppppppppp pppppppppppppppppppppppp ppppppp ppp ppp ppp pppppppppppppp ppp ppp ppp ppp pppp ppp ppp ppp ppp pppppp pp ppp pp pp pp pppp ppp ppp pp ppp pppp pp pp ppp pppp pp ppp pp pp pppp
ppppppppppp pppppppppppppppppppppppppp
�
�
���
�
���
HHY
HH
HH
HH
l2
l1
β
α
q
q
T2NP (f)
T1
x = a
y = b
X0
trac¸os de α1 e α2, que sa˜o, respectivamente, os gra´ficos de g1, posto no plano y = b, e de g2,
no plano x = a. Note, tambe´m, a presenc¸a das retas l1 e l2: l1 e´ a reta do plano y = b que e´
tangente
Figura 71:

tg α = g′1(a) =
∂f
∂x
(a, b)
tg β = g′2(b) =
∂f
∂y
(a, b)
ppppppppppppppppppppp pppppppp ppppppp pppp pppp ppppp pppp pppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppppp ppppp pppp pppp pp pp pp ppp ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp ppp pp pp pp pp pp ppp ppp pp p
pppppppppppppp pppppp pppppp pppp ppp ppppppppppppppppppp -
x
6
z
l1
α
z = g1(x)
a
qg1(a)
q
T1@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@R
q
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp -
y
6
z
q
b
qg2(b) z = g2(y)
β
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��q T2
l2
a G(f) no ponto (a, b, f(a, b)), enquanto que l2 e´ a reta do plano x = a que tambe´m e´ tangente
ao gra´fico de f . A reta l1 faz um aˆngulo α com e1, e l2 faz um aˆngulo β com e2. Portanto,
g′1(a) = tgα e g
′
2(b) = tg β, que sa˜o as inclinac¸o˜es de l1 e l2, respectivamente. Isto posto,
podemos interpretar ∂f
∂x
(X0) e
∂f
∂y
(X0) como inclinac¸o˜es de retas tangentes ao gra´fico de f . Em
particular, estas derivadas indicam, respectivamente, a taxa de crescimento de f , a partir de
X0, nas direc¸o˜es de e1 e e2. As retas l1 e l2 sugerem a seguinte definic¸a˜o.
Derivadas Parciais 123
4.1.18
Definic¸a˜o O plano que conte´m as retas l1 e l2, denotado por piP (f), sera´ chamado plano
tangente ao gra´fico de f no ponto P = (a, b, f(a, b)).
Como l1 e´ tangente ao trac¸o de α1 em x = a, vem que esta reta e´ paralela ao vetor
T1 = α
′
1(a) = (1, 0, g
′
1(a)) = (1, 0,
∂f
∂x
(a, b)),
tambe´m mostrado nas figuras 70 e 71. Analogamente, o vetor
T2 = α
′
2(b) = (0, 1, g
′
2(b)) = (0, 1,
∂f
∂y
(a, b))
e´ paralelo a` reta l2. Assim,
piP (f) = {X ∈ R3; X = (a, b, f(a, b)) + u(1, 0, ∂f
∂x
(a, b)) + v(0, 1,
∂f
∂y
(a, b)), (u, v) ∈ R2}
e´ uma representac¸a˜o parame´trica para o plano tangente a G(f) em P .
4.1.19
Definic¸a˜o O vetor
NP (f) = T1 × T2 = (− ∂f
∂x
(a, b),− ∂f
∂y
(a, b), 1)
sera´ chamado vetor normal ao gra´fico de f em P .
Observando que NP (f) e´ perpendicular a piP (f) obtemos, via proposic¸a˜o 1.3.9, uma
equac¸a˜o cartesiana para este plano:
piP (f) = {(x, y, z) ∈ R3; z = f(a, b) + ∂f
∂x
(a, b)(x− a) + ∂f
∂y
(a, b)(y − b)}. (¶23)
4.1.20
Exemplo Seja z = f(x, y) = 4−x2−2y2, (x, y) ∈ R2,
cujo gra´fico,
G(f) = {(x, y, z); z = 4− x2 − 2y2, (x, y) ∈ R2},
e´ um parabolo´ide el´ıptico, como mostra a figura 72. O ve-
tor normal de G(f) em um ponto arbitra´rio (x, y, f(x, y))
e´ dado por
N(f) = (− ∂f
∂x
(x, y),− ∂f
∂y
(x, y), 1) = (2x, 4y, 1).
Figura 72: z = 4−x2 − 2y2
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqq qqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
-
y
qP2
q
6
z
P1
�
�
�
�	
x
piP2(f)
piP1(f)
Para X0 = (0, 0), obtemos P1 = (0, 0, 4) ∈ G(f), ponto no qual o plano tangente e´
piP1(f) = {(x, y, z) ∈ R3; z = f(0, 0) +
∂f
∂x
(0, 0)(x− 0) + ∂f
∂y
(0, 0)(y − 0)}
= {(x, y, z); z = 4},
124 Derivadas Parciais de Ordem Superior
que e´ paralelo ao plano-xy, como podemos ver na figura 72. Se tomamos X0 = (1, 1), obtemos
P2 = (1, 1, 1) ∈ G(f), onde o plano tangente e´
piP2(f) = {(x, y, z) ∈ R3; z = f(1, 1) +
∂f
∂x
(1, 1)(x− 1) + ∂f
∂y
(1, 1)(y − 1)}
= {(x, y, z); 2x+ 4y + z = 7}.
4.1.21
Exemplo Consideremos o elipso´ide S = {(x, y, z); x2 + 2y2 + 3z2 = 21}. Esta superf´ıcie
definida implicitamente pode ser olhada como a unia˜o dos dois gra´ficos das func¸o˜es
f(x, y) =
√
21− x2 − 2y2
3
e g(x, y) = −
√
21− x2 − 2y2
3
,
ambas definidas na regia˜o D envolvida pela elipse
x2 + 2y2 = 21.
O objetivo deste exemplo e´ determinar, caso existam,
pontos de S onde o plano tangente e´ paralelo ao plano pi
dado por x+ 4y+ 6z = 0. Vejamos se em G(f) podemos
encontrar algum desses pontos, o qual indicaremos por
(x, y, f(x, y)). Neste ponto o vetor normal de G(f) e´
N(f) = (−fx(x, y),−fy(x, y), 1)
= (
x
3f(x, y)
,
2y
3f(x, y)
, 1),
Figura 73
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqq qqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqq qqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq q qqqqqqqqqqq qqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
6
z
qP1
-
y
�
��	
x
se f(x, y) > 0. Logo, 3f(x, y)N(f) = (x, 2y, 3f(x, y)) deve ser paralelo ao vetor (1, 4, 6), normal
ao plano pi. Este paralelismo se da´ quando x = 1, y = 2 e, portanto, f(x, y) = 2. Portanto,
o plano tangente a S em P1 = (1, 2, 2) e´ paralelo ao plano dado. O leitor pode agora verificar
que o outro plano tangente a S que e´ paralelo a pi e´ o que passa por P2 = (−1,−2,−2). Como
resultado, temos os dois planos tangentes a S que sa˜o paralelos a pi:
piP1(f) = {(x, y, z); x+ 4y + 6z = 21} e piP2(g) = {(x, y, z); x+ 4y + 6z = −21}.
4.2
Derivadas Parciais de Ordem Superior
Seja f : D ⊂ R2 −→ R, D aberto. Suponhamos que as derivadas parciais de f , com relac¸a˜o
a x e a y, existam em D. Isto da´ origem a duas novas func¸o˜es definidas em D:
∂f
∂x
: D −→ R e ∂f
∂y
: D −→ R.
Derivadas Parciais 125
Se estas func¸o˜es teˆm derivadas parciais em X = (x, y), dizemos que f tem derivadas parciais de
segunda ordem em X. Usaremos as seguintes notac¸o˜es para indicar estas derivadas:
∂2f
∂x2
(x, y) =
∂
(
∂f
∂x
)
∂x
(x, y),
∂2f
∂y∂x
(x, y) =
∂
(
∂f
∂x
)
∂y
(x, y),
∂2f
∂x∂y
(x, y) =
∂
(
∂f
∂y
)
∂x
(x, y) e
∂2f
∂y2
(x, y) =
∂
(
∂f
∂y
)
∂y
(x, y).
Alternativamente, com a notac¸a˜o que indica a derivac¸a˜o parcial por um ı´ndice,
fxx(x, y) = (fx)x(x, y), fxy(x, y) = (fx)y(x, y),
fyx(x, y) = (fy)x(x, y) e fyy(x, y) = (fy)y(x, y).
Observe que em ∂
2f
∂y∂x
a ordem de derivac¸a˜o, indicada no “denominador”, se da´ da direita para
esquerda: primeiro com relac¸a˜o a x, e depois com relac¸a˜o a y. Ja´ na notac¸a˜o alternativa fxy
esta ordem, indicada no “´ındice”, se da´ da esquerda para a direita. Em resumo,
∂2f
∂y∂x
= fxy,
significando: derivar primeiro com relac¸a˜o a x, e depois com relac¸a˜o a y.
As derivadasparciais de terceira ordem sa˜o definidas a partir da existeˆncia daquelas de
segunda ordem. Caso existam em D as quatro derivadas parciais de segunda ordem, obtemos
oito derivadas parciais de terceira ordem, conforme tabela que segue.
∂
∂x
∂
∂y
∂2f
∂x2
∂3f
∂x3
=
∂
(
∂2f
∂x2
)
∂x
∂3f
∂y∂x2
=
∂
(
∂2f
∂x2
)
∂y
∂2f
∂y∂x
∂3f
∂x∂y∂x
=
∂
(
∂2f
∂y∂x
)
∂x
∂3f
∂y2∂x
=
∂
(
∂2f
∂y∂x
)
∂y
∂2f
∂x∂y
∂3f
∂x2∂y
=
∂
(
∂2f
∂x∂y
)
∂x
∂3f
∂y∂x∂y
=
∂
(
∂2f
∂x∂y
)
∂y
∂2f
∂y2
∂3f
∂x∂y2
=
∂
(
∂2f
∂y2
)
∂x
∂3f
∂y3
=
∂
(
∂2f
∂y2
)
∂y
Mais geralmente, podemos definir as derivadas parciais de ordem k para f , a partir, e´
claro, da informac¸a˜o de que f tenha, em D, aquelas de ordem k − 1. Neste caso, por exemplo,
126 Derivadas Parciais de Ordem Superior
se k1, k2, k3 ∈ N sa˜o tais que k1 + k2 + k3 = k, o s´ımbolo
∂fk
∂xk3∂yk2∂xk1
= fxk1xk2xk3
indicara´ que a k-e´sima derivada parcial de f obtida derivando f , k1 vezes com relac¸a˜o a x, k2
vezes com relac¸a˜o a y e, por fim, k3 vezes com relac¸a˜o a x, outra vez.
4.2.1
Exemplo Seja f(x, y) =
y
x
+ x log y, onde y > 0 e x 6= 0. As derivadas parciais de f , ate´
terceira ordem, sa˜o mostradas na tabela abaixo.
∂f
∂x
= − y
x2
+ log y
∂f
∂y
=
x
y
+
1
x
∂2f
∂x2
=
2y
x3
∂2f
∂y∂x
=
1
y
− 1
x2
∂2f
∂x∂y
=
1
y
− 1
x2
∂2f
∂y2
= − x
y2
∂3f
∂x3
= −6y
x4
∂3f
∂y∂x2
=
2
x3
∂3f
∂x∂y∂x
=
2
x3
∂3f
∂y2∂x
= − 1
y2
∂3f
∂x2∂y
=
2
x3
∂3f
∂y∂x∂y
= − 1
y2
∂3f
∂x∂y2
= − 1
y2
∂3f
∂y3
=
2x
y3
Note, nesta tabela, as seguintes coincideˆncias:
(i)
∂2f
∂y∂x
=
∂2f
∂x∂y
=
1
y
− 1
x2
;
(ii)
∂3f
∂x2∂y
=
∂3f
∂x∂y∂x
=
∂3f
∂y∂x2
=
2
x3
;
(iii)
∂3f
∂y2∂x
=
∂3f
∂y∂x∂y
=
∂3f
∂x∂y2
= − 1
y2
,
Derivadas Parciais 127
que mostra, neste caso, que o resultado na˜o depende da ordem que executamos a derivac¸a˜o
parcial mista: as derivadas segundas mistas coincidem; as terceiras, obtidas derivando f duas
vezes com relac¸a˜o a x coincidem; e as terceiras obtidas derivando f duas vezes com relac¸a˜o a y
tambe´m sa˜o iguais. Infelizmente, em geral, isto na˜o e´ verdadeiro, como verificaremos no pro´ximo
exemplo.
4.2.2
Exemplo Retomemos o exemplo 4.1.15, pa´gina 121, a saber:
f(x, y) =
xy
x2 − y2
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0),
cujas primeiras derivadas parciais sa˜o, conforme (¶22),
∂f
∂x
(x, y) =
y
x2 − y2
x2 + y2
+ 4
x2y3
(x2 + y2)2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
∂f
∂y
(x, y) =
x
x2 − y2
x2 + y2
− 4 x
3y2
(x2 + y2)2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
Temos que
∂2f
∂y∂x
= lim
k→0
∂f
∂x
(0, 0 + k)− ∂f
∂x
(0, 0)
k
= lim
k→0
∂f
∂x
(0, k)− ∂f
∂x
(0, 0)
k
= − lim
k→0
k
k
= −1
e
∂2f
∂x∂y
= lim
h→0
∂f
∂y
(0 + h, 0)− ∂f
∂y
(0, 0)
h
= lim
h→0
∂f
∂y
(h, 0)− ∂f
∂y
(0, 0)
h
= lim
h→0
h
h
= 1,
Resulta da´ı que fxy(0, 0) 6= fyx(0, 0). Entretanto, fora da origem estas derivadas parciais coinci-
dem, como podemos verificar diretamente, usando a proposic¸a˜o 4.1.13. O resultado e´ o seguinte:
∂2f
∂x∂y
(x, y) =

x2 − y2
x2 + y2
+ 8x2y2
x2 − y2
(x2 + y2)3
, se (x, y) 6= (0, 0)
1, se (x, y) = (0, 0)
∂2f
∂y∂x
(x, y) =

x2 − y2
x2 + y2
+ 8x2y2
x2 − y2
(x2 + y2)3
, se (x, y) 6= (0, 0)
−1, se (x, y) = (0, 0).
Estudando o comportamento de ∂
2f
∂x∂y
ao longo de eixo-y−{(0, 0)}, vemos que a´ı esta derivada e´
constante e vale −1, o que, em particular, mostra que ∂2f
∂x∂y
na˜o e´ cont´ınua na origem. O mesmo
128 Derivadas Parciais de Ordem Superior
argumento, agora considerando o eixo-x, mostra que ∂
2f
∂y∂x
tambe´m na˜o e´ cont´ınua em (0, 0).
E´ exatamente este o defeito de f que e´ responsa´vel pela na˜o-coincideˆncia destas derivadas em
(0, 0). Pensando na situac¸a˜o geral, isto sugere que devemos pedir pelo menos a continuidade das
derivadas parciais ate´ ordem dois, para obter uma poss´ıvel igualdade entre fxy e fyx. A pro´xima
sec¸a˜o se encarregara´ desta tarefa.
4.2.3
O Teorema de Schwarz
Seja f : D ⊂ R2 −→ R, definida no aberto D, com derivadas parciais ate´ a ordem dois
definidas em D. Fixado X0 = (a, b), uma tentativa natural de se obter uma prova da igualdade
∂2f
∂y∂x
(a, b) =
∂2f
∂x∂y
(a, b),
seria aplicando diretamente a definic¸a˜o de derivada parcial. Primeiro escrever´ıamos:
∂2f
∂y∂x
(a, b) = lim
k→0
∂f
∂x
(a, b+ k)− ∂f
∂x
(a, b)
k
= lim
k→0
(
lim
h→0
f(a+ h, b+ k)− f(a, b+ k)− f(a+ h, b) + f(a, b)
hk
)
.
Depois escrever´ıamos:
∂2f
∂x∂y
(a, b) = lim
h→0
∂f
∂y
(a+ h, b)− ∂f
∂y
(a, b)
k
= lim
h→0
(
lim
k→0
f(a+ h, b+ k)− f(a, b+ k)− f(a+ h, b) + f(a, b)
hk
)
.
Agora, se definimos
φ(h, k) = f(a+ h, b+ k)− f(a, b+ k)− f(a+ h, b) + f(a, b),
a desejada demonstrac¸a˜o resultaria da igualdade
lim
k→0
(
lim
h→0
φ(h, k)
hk
)
= lim
h→0
(
lim
k→0
φ(h, k)
hk
)
,
se tive´ssemos em ma˜os algum resultado que garantisse igualdade de limites iterados, como e´ o
nosso caso. Infelizmente, isto nem sempre e´ verdadeiro, como mostra o pro´ximo exemplo. Logo,
devemos trabalhar um pouco mais, para achar uma prova da igualdade proposta.
Derivadas Parciais 129
4.2.4
Exemplo Seja g(h, k) =
h2 − k2
h2 + k2
, (h, k) 6= (0, 0). Temos que
lim
k→0
(
lim
h→0
g(h, k)
)
= − lim
k→0
k2
k2
= −1
e
lim
h→0
(
lim
k→0
g(h, k)
)
= lim
h→0
h2
h2
= 1,
o que mostra que a inversa˜o da ordem no ca´lculo de limites iterados pode produzir resultados
diferentes.
Obteremos a seguir uma sequ¨eˆncia de resultados que culminara˜o no teorema de Schwarz.
Iniciamos fazendo uma adaptac¸a˜o do teorema do valor me´dio (teorema 2.2.9) para func¸o˜es de
duas varia´veis, via derivadas parciais.
4.2.5
Proposic¸a˜o Sejam f : D ⊂ R2 −→ R e X = (u, v) ∈ D. Se f tem derivadas parciais ate´
segunda ordem na bola aberta B(X, δ) ⊂ D e ‖(h, k)‖ < δ, enta˜o valem as
seguintes identidades:
(i) f(u+ h, v) = f(u, v) +
∂f
∂x
(u+ θ1h, v)h, para algum θ1, 0 < θ1 < 1;
(ii) f(u, v + k) = f(u, v) +
∂f
∂y
(u, v + θ2k)k, para algum θ2, 0 < θ2 < 1;
(iii)
∂f
∂x
(u, v + k) =
∂f
∂x
(u, v) +
∂2f
∂y∂x
(u, v + θ21k)k, para algum θ21, 0 < θ21 < 1;
(iv)
∂f
∂y
(u+ h, v) =
∂f
∂y
(u, v) +
∂2f
∂x∂y
(u+ θ12h, v)h, para algum θ12, 0 < θ12 < 1.
Demonstrac¸a˜o: Seja g1(x) = f(x, v), v fixo. O
teorema 2.2.9 aplicado a g1 no intervalo [u, u + h] (se
h > 0, claro) produz c ∈ (u, u+ h) tal que
g1(u+ h)− g1(u) = g′1(c)(u+ h− u) = g′1(c)h.
Como c esta´ entre u e u+h, vem que existe θ1, 0 < θ1 < 1,
tal que c = u+ θ1h. Logo,
g1(u+ h) = g1(u) + g
′
1(u+ θ1h)h,
Figura 74
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq