Livro UEM AgroZoo Física

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Fundac¸a˜o Universidade Estadual de Maringa´
Centro de Cieˆncias Exatas
Departamento de F´ısica
FI´SICA
Para os Cursos de Agronomia e Zootecnia
Prof. Irineu Hibler
Maringa´ 05 de fevereiro de 2007.
Reviso˜es: outubro de 2008.
fevereiro de 2010.
Suma´rio
1 MEDIDAS E ERROS 4
1.0.1 Experimento: Medidas, algarismos significativos e erros 18
2 GRA´FICOS 20
2.1 Escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Gra´ficos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Identificac¸a˜o da varia´vel dependente e a independente. . . . . 21
2.4 Linearizac¸a˜o de gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Tipos de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Gra´ficos da forma ⇒ Y = b+ aX. . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Ajustamento anal´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8 Determinac¸a˜o gra´fica dos coeficientes. . . . . . . . . . . . . . 31
3 MECAˆNICA 34
3.1 Cinema´tica de translac¸a˜o em uma dimensa˜o . . . . . . . . . . 34
3.2 Velocidade escalar me´dia (v) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Movimento retil´ıneo com acelerac¸a˜o constante . . . . . . . . . 36
3.4 Movimento em queda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Movimento no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6 Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7 Primeira lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8 Segunda lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.9 Terceira lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.9.1 Experimento: Queda livre . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.10 Forc¸as de atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.11 Movimento Circular Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.12 Forc¸a centr´ıpeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.13 Aˆngulo hora´rio ou fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.14 Velocidade angular me´dia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.15 Acelerac¸a˜o angular me´dia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.16 Movimento Circular Uniformemente Variado . . . . . . . . . 47
3.17 Peˆndulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.17.1 Experimento: Peˆndulo simples . . . . . . . . . . . . . 52
3.18 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.19 Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.20 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.20.1 Energia cine´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.20.2 Energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.21 Princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia . . . . . . . . . . . . . . 55
2
4 HIDROESTA´TICA 57
4.1 Princ´ıpio fundamental da hidrosta´tica . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Princ´ıpio de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.1 Experimento: Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5 HIDRODINAˆMICA 67
5.1 Equac¸a˜o de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 Escoamento viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.1 Experimento: Viscosidade. . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 ELETRICIDADE E MAGNETISMO[20] 86
6.1 O ohmı´metro, volt´ımetro e amper´ımetro . . . . . . . . . . . . 86
6.1.1 Experimento: ohmı´metro, volt´ımetro e amper´ımetro . 89
6.2 Elementos resistivos lineares e na˜o lineares . . . . . . . . . . . 91
6.2.1 Experimento: Elementos resistivos lineares e na˜o line-
ares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3 Induc¸a˜o eletromagne´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3.1 Experimento: Induc¸a˜o eletromagne´tica . . . . . . . . . 98
7 TERMODINAˆMICA 100
7.1 Transfereˆncia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.1.1 Experimento: Conduc¸a˜o de calor em so´lidos . . . . . . 104
7.2 Energia adicionada e consumida pelo corpo f´ısico em um dia. 107
7.3 Primeira Lei da Termodinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.4 Segunda Lei da Termodinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8 O´TICA[37] 117
8.1 I´ndice de refrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.1.1 Experimento: I´ndice de refrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . 121
8.2 Espelhos esfe´ricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2.1 Experimento: Espelhos . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.3 Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.3.1 Experimento: Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Refereˆncias 146
I´ndice Remissivo 149
3
1 MEDIDAS E ERROS
Introduc¸a˜o a` medida
Medir e´ algo importante e fundamental. Muitas das realizac¸o˜es da cieˆncia
e da tecnologia dependem ou dependeram em algum esta´gio do seu desen-
volvimento de resultados experimentais obtidos atrave´s de cuidadosas me-
didas. O progresso da tecnologia esta´ diretamente ligado a` possibilidade
de realizar-se medidas cada vez mais e mais apuradas que permitam, por
exemplo, a manufatura em se´rie de aparelhos que ira˜o servir-nos em nossos
lares, indu´strias, hospitais, escolas, etc.
Medida
Entende-se por medida direta o valor obtido por comparac¸a˜o da gran-
deza f´ısica que se quer medir, com outra de mesma espe´cie de valor conhecido
ou pela leitura direta na escala de um medidor ( V, R, i, t, etc.). Por exem-
plo: Medir o comprimento de uma mesa. Medida indireta - Quando o
valor obtido e´ por meio de uma equac¸a˜o f´ısica (leis, definic¸o˜es, modelos) que
relacione valores conhecidos de outras grandezas. Por exemplo: Calcular a
a´rea da superf´ıcie da mesa.
Maneira de exprimir uma medida
G = Xu ( grandeza escalar)
onde:
G = grandeza f´ısica;
u = unidade;
X = valor nume´rico (limitado pelo nu´mero de algarismos significativos).
Esta maneira de escrever seria correta se na˜o houvesse incerteza (erros
ou desvios) na medida; mas sempre ha´. Sendo assim, o sinal de igualdade
colocado entre o G e o produto Xu e´ bastante critica´vel.
O correto seria escrever:
G = (X ± incerteza)u;
onde o sinal ± se impo˜e porque nunca se sabe se o erro cometido foi por
excesso ou por falta. Mas tambe´m essa maneira de escrever e´ critica´vel pois
na˜o se conhece o erro cometido. So´ nos resta enta˜o contornar o problema
da seguinte maneira :
4
Para uma u´nica medida
Faz-se a medida e avalia-se o desvio cometido (incerteza na medida).
Este processo recebe o nome de desvio avaliado, o qual sera´ visto mais adi-
ante.
Para uma se´rie de medidas
• Mede-se va´rias vezes a grandeza.
• Determina-se o seu valor mais prova´vel (M )tambe´m denominado de
valor me´dio.
• Calcula-se o erro que podemos estar cometendo (desvio me´dio, desvio
padra˜o ou desvio padra˜o do valor me´dio ) ( ε ).
G = (M ± ε) (1)
Figura 1: Intervalo que se verifica uma grande probabilidade de ser encon-
trado o valor verdadeiro da grandeza f´ısica.
Algarismos significativos
E´ praxe convencional em F´ısica so´ escrever as grandezas ate´ a u´ltima
casa conhecida. Os algarismos corretos e a u´ltima casa conhecida (algarismo
duvidoso) sa˜o chamados algarismos significativos.
Os algarismos significativos de uma medida devem ser considerados como
sendo os algarismos exatos mais o primeiro algarismo duvidoso. Por exem-
plo: Ao fazermos uma medida do comprimento de qualquer objeto, a escala
graduada do instrumento vai limitar o nu´mero de algarismos significativos.
Algarismo mais significativo - e´ o algarismo na˜o nulo mais a` esquerda.
5
Algarismo menos significativo - na˜o havendo v´ırgula, e´ o algarismo na˜o
nulo mais a` direita. Havendo v´ırgula, e´ o algarismo mais a` direita mesmo
sendo zero.
Entre os algarismos mais e menos significativos, todos sa˜o significativos.
Exemplos e exerc´ıcios:Resultado Algarismos significativos
0,0243 3
1,2340 5
1080 3
1, 080x103
1832,70
2573
Resumo:
O nu´mero de algarismos a conservar, apo´s a v´ırgula, depende da precisa˜o
do processo de medic¸a˜o que produziu o resultado.
Regras ba´sicas
a) Constantes nume´ricas:
Sa˜o fatores como: π = 3, 141592 ; e = 2, 71828 e
√
2 = 1, 4142 , etc., que
aparecem nas fo´rmulas. Por exemplo, o per´ıodo de um peˆndulo e´ dado por
T = 2π
√
l
g . Estes nu´meros sa˜o tidos como exatos, pois sa˜o sempre melhor
conhecidos que as grandezas f´ısicas, e nas contas devem ser tomados
com um algarismo significativo a mais que o fator mais pobre em
significativos.
b) Constantes f´ısicas :
Sa˜o grandezas f´ısicas, em geral obtidas de tabelas de constantes f´ısicas
( como o Handbook of Chemistry and Physics ) e que sa˜o bem precisamente
conhecidas. Elas foram obtidas por medidas f´ısicas e a precisa˜o com que
sa˜o conhecidas e´ limitada, mas em geral e´ muito maior que as que afetam
nossas medidas ( atingem em geral seis ou sete casas decimais ). Devem,
nas contas, como as constantes nume´ricas serem tomadas com um
significativo a mais que a grandeza mais pobre conhecida. Como
exemplo destas constantes, temos:
c = 2,99793 x 108 m/s ( velocidade da luz );
h = 6,6254 x 10−27 erg.s ( constante de Planck );
g = 9,80665 m/s2 ( acelerac¸a˜o da gravidade ).
c) Arredondamento :
6
Depois de verificarmos qual e´ o u´ltimo algarismo significativo de um resul-
tado experimental, devemos eliminar os algarismos situados a` direita deste
algarismo. Entretanto, na˜o se trata de suprimir simplesmente estes algaris-
mos, e sim, de um processo de arredondamento, cuja regra e´ a seguinte :
Examinamos o algarismo situado imediatamente a` direita do
u´ltimo algarismo a ser conservado, ou seja, o primeiro algarismo
da parte a ser suprimida. Se este algarismo for inferior a 5, supri-
mimos o algarismo e todos os subsequentes a ele. Se, entretanto,
ele for igual ou superior a 5, suprimimos este algarismo e todos
os subsequentes a ele, e aumentamos de uma unidade o u´ltimo
algarismo conservado.
Exemplo: Temos o resultado experimental 12,32475, e sabemos que o
u´ltimo algarismo significativo e´ a casa dos cente´simos. Portanto, o alga-
rismo 2 e´ o u´ltimo a ser conservado. O algarismo situado a` sua direita e´ 4.
Sendo este algarismo inferior a 5, suprimimos os algarismos 475, e obtemos
o resultado 12,32.
Exerc´ıcio : Temos o resultado experimental 32,32621, e sabemos que o
u´ltimo algarismo significativo e´ a casa dos cente´simos.
Escreva o resultado experimental na forma correta.
d) Poteˆncia de dez:
Para a notac¸a˜o de grandezas muito grandes ou muito pequenas, se re-
comenda o uso de poteˆncias de dez, sendo o nu´mero registrado com apenas
um algarismo antes da v´ırgula ( notac¸a˜o cientifica ). Outra possibilidade
ainda mais recomenda´vel e´ o uso dos mu´ltiplos e submu´ltiplos ( Mega, Kilo,
mili, micro, etc.).
Exemplos:
0, 00000150A = 1, 50x10−6A = 1, 50µA
11650000mm = 1, 165x107mm = 11, 65km
e) Sistemas de unidades :
O sistema de unidades legalmente vigente no Brasil e´ o Sistema Internacio-
nal de Unidades (SI), que se esta´ estendendo por toda a parte por consenso
universal, sendo oficial no Brasil desde 1962.
Base das Unidades SI
7
Grandeza Nome S´ımbolo
Comprimento metro m
massa quilograma kg
tempo segundo s
intensidade de corrente ele´trica Ampe`re A
temperatura termodinaˆmica Kelvin K
intensidade luminosa candela cd
quantidade de mate´ria mol mol
O uso demu´ltiplos e submu´ltiplos e´ recomenda´vel para evitar ou reduzir
as poteˆncias de dez. Estes mu´ltiplos sa˜o prefixos
Tera = 1012= T ;
Giga = 109= G;
Mega = 106= M;
Kilo = 103= K , escritos com maiu´sculas e como tal abreviados, exceto km
e kg.
Os submu´ltiplos sa˜o tambe´m prefixos
mili = 10−3 = m ;
micro = 10−6= µ;
nano = 10−9= n;
pico =10−12= p, escritos ou abreviados com minu´sculas.
Determinac¸a˜o dos algarismos significativos
Apesar do grande nu´mero de regras, “macetes”e tratados sobre o assunto
de erros e algarismos significativos, este esta´ longe de ser padronizado ou
empregado com uniformidade, pelos va´rios autores. O melhor tratamento
dos dados e´ atrave´s da teoria dos erros e suas leis de propagac¸a˜o, mas as
regras de algarismos significativos sa˜o aproximac¸o˜es mais fa´ceis de utilizar
e aceita´veis em boa parte de trabalhos como os que iremos realizar.
Por exemplo: Com uma escala milimetrada faz-se a medida do compri-
mento de uma mesa, obtendo-se 930 mm. O erro que afeta a medida e´ de 1
mm.
O resultado deve ser dado com o erro afetando a u´ltima casa, obtendo-se:
= ( 930 ± 1 )mm .
Regras pra´ticas para ca´lculos com algarismos significativos
Regra 1: Quando aparecem constantes f´ısicas ou nume´ricas como fa-
tores nas fo´rmulas basta toma´-las com um significativo a mais que o mais
“pobre”(menos algarismos significativos) dos fatores. Por exemplo: Deter-
minar a circunfereˆncia C de uma polia com diaˆmetro D = 4,25 m . Temos
8
que C = π D. Donde C = 3,142 .4,25 .
Regra 2: Na multiplicac¸a˜o o produto tem o mesmo nu´mero de significa-
tivos que o fator mais pobre, ou, as vezes, um a mais que este. Por exemplo:
3 x 4 = 12; 5 x 5 = 25, etc. O valor da circunfereˆncia do exemplo acima e´
C = 13,35m ou 13,4m. Devemos portanto, fazer as contas normalmente e
arredondar o resultado .
Regra 3: Na divisa˜o o quociente tem o mesmo nu´mero de significativos
que o fator mais pobre, ou as vezes, um a menos que este. Por exemplo
803,407 : 13,1 = 61,3 e´ o resultado ja´ arredondado.
Regra 4: O resultado de uma soma ou subtrac¸a˜o na˜o deve conter mais
algarismos significativos a` direita do que o nu´mero de maior erro absoluto
( de menor precisa˜o ). Por Exemplo: 12441 + 57,91 + 1,987 + 0,0031 +
119,2 = 12620,1001. Como das parcelas o nu´mero de maior erro absoluto
e´ o 12441 ( cujo erro incide na casa das unidades ), arredondando teremos
12620 o resultado final.
Regra geral: Usando calculadoras eletroˆnicas devemos fazer as con-
tas com todos os algarismos significativos ou na˜o e representar o resultado
conforme as regras pra´ticas acima. Em operac¸o˜es sequ¨enciais (seguidas) de-
vemos aplicar as regras pra´ticas acima apo´s cada operac¸a˜o.
Exerc´ıcio
Calcular o per´ıodo de um peˆndulo cujo comprimento e´ 1,000m.
O conceito de algarismo significativo
Um algarismo significativo, num resultado experimental, e´ um algarismo
efetivamente relacionado com a medic¸a˜o feita, e que tem pois, um significado
f´ısico.
Vejamos um exemplo muito simples. Suponhamos que um mo´vel tenha
percorrido a distaˆncia de 10 cm em 3 segundos. Para sabermos a distaˆncia
percorrida em 1 segundo, dividimos 10 por 3. Do ponto de vista matema´tico,
nada nos impede de prosseguirmos a divisa˜o indefinidamente. Portanto, po-
der´ıamos obter os quocientes: 3,3 cm; 3,33 cm; 3,333 cm; 3,3333 cm; 3,33333
cm; etc., ja´ do ponto de vista f´ısico, so´ o resultado 3,33 cm tem sentido pois,
com os me´todos usuais de medic¸a˜o de distaˆncias, obtemos no ma´ximo uma
precisa˜o de de´cimos de mil´ımetros, de modo que so´ ate´ o segundo algarismo
apo´s a v´ırgula sa˜o realmente significativos.
Erros ou desvios de medidas
9
Introduc¸a˜o
Todas as grandezas f´ısicas, que resultaram de medic¸o˜es, esta˜o afetadas
de uma incerteza que se convencionou chamar erro, desvio, imprecisa˜o ou
incerteza da medida. O erro (que conte´m um certo grau de subjetividade),
e´ afetado pela per´ıcia do operador, pela qualidade dos instrumentos uti-
lizados, pelo controle exercido sobre as condic¸o˜es ambientais (tais como:
temperatura, pressa˜o, interfereˆncias ele´tricas ou mecaˆnicas, etc., que afetam
os instrumentos de medidas), pelo nu´mero de reiterac¸o˜es (repetic¸o˜es) das
medidas, e e´ normalmente dado com apenas um algarismo significativo.
Classificac¸a˜o dos errosOs diversos tipos de erros que podem ser cometidos numa medic¸a˜o cos-
tumam ser divididos em treˆs categorias:
• erros grosseiros ( ou enganos );
• erros sistema´ticos (ou constantes);
• erros acidentais( ou fortuitos ).
Erros grosseiros: decorrem da falta de cuidado ou da falta de ex-
perieˆncia do observador. Exemplos: Erros de ca´lculo, erros de leitura, erros
oriundos do manuseio incorreto do instrumento de medic¸a˜o, erros de para-
laxe. De um modo geral os erros grosseiros podem ser evitados pela repetic¸a˜o
cuidadosa das medic¸o˜es.
Erros sistema´ticos: decorrem de imperfeic¸o˜es do observador, do ins-
trumento de medic¸a˜o e do me´todo usado na medic¸a˜o.
a - Erros induzidos pelo observador: Atraso ou adiantamento ao aci-
onar um cronoˆmetro. Erro cometido por deficieˆncia de visa˜o.
b - Erros introduzidos pelo instrumento: Utilizac¸a˜o de uma escala
em temperatura diferente daquela em que foi aferida. Deslocamento
do zero do instrumento.
c - Erros introduzidos pelo me´todo: Determinac¸a˜o do peso de um
corpo no ar, em lugar de fazeˆ-lo no va´cuo ( o empuxo do ar falseia o
resultado ).
Para eliminar os erros pessoais devemos substituir, quando poss´ıvel o
observador humano por outro mecaˆnico ou ele´trico, ou fotoele´trico, ou fo-
togra´fico, etc.) Os erros instrumentais variam geralmente ao longo da escala
10
do instrumento. Por essa raza˜o, antes de usa´-lo, devemos calibra´-lo ( com-
para´-lo com outro padra˜o ).
Erros acidentais: Decorrem de va´rias causas, conhecidas ou na˜o que
se superpo˜em, de maneira imprevis´ıvel. Os erros acidentais na˜o podem ser
evitados, nem corrigidos, nem ao menos diminu´ıdos. Ocorrem sempre, intei-
ramente ao acaso, qualquer que seja o observador, o instrumento e o me´todo.
Erros acidentais, sa˜o tambe´m chamados de erros casuais, erros estat´ısticos,
erros estoca´sticos ou erros aleato´rios. Por sua natureza podem e devem ser
tratados estat´ısticamente ( teoria dos erros ). Por estas razo˜es (erros) que
uma medida nunca e´ exata. ( e´ sempre imprecisamente conhecida ).
Medic¸o˜es e tratamento dos erros acidentais
Vimos que a medic¸a˜o de uma grandeza f´ısica pode ser feita atrave´s dos
me´todos direto ou indireto.
Medic¸o˜es diretas
Para uma u´nica medida
• Com erro fornecido pelo fabricante do instrumento de medic¸a˜o: Por
exemplo: Paqu´ımetros com erro de 0,05 mm, paqu´ımetros com erro de
0,02 mm, microˆmetros com erro de 0,01 mm, etc.
• Com erro avaliado: De acordo com a maioria dos autores, chamamos
de erro avaliado ou desvio avaliado de um instrumento de medic¸a˜o, a`
metade da menor divisa˜o da escala do aparelho utilizado.
Chamando de ∆x o desvio de uma medida da grandeza (x) a mesma devera´
ser expressa da seguinte forma:
(x±∆x) [unidade de medida] (2)
Por exemplo: Se medirmos um comprimento com um paqu´ımetro de
precisa˜o igual a 0,05mm e, encontrarmos 51,50 mm, a forma correta de
apresentar o resultado sera´: (51, 50 ± 0, 05)mm. Desta forma, teremos
mais confianc¸a na medida, pois seu valor verdadeiro estara´ dentro da faixa
(51,45mm e 51,55 mm).
Exerc´ıcio: Fac¸a um esquema gra´fico do resultado obtido neste exemplo.
O desvio avaliado podera´ ser aumentado ou diminu´ıdo, conforme a maior
ou menor confiabilidade que temos, em relac¸a˜o a` resoluc¸a˜o ( precisa˜o ) do
11
instrumento utilizado. O conceito de resoluc¸a˜o de um aparelho se liga ao
menor valor que pode ser estimado de sua escala. Assim uma escala mi-
lime´trica tem resoluc¸a˜o de 1 mm, um volt´ımetro com escala de 0 a 100 V e
com 100 diviso˜es tem resoluc¸a˜o de 1 volt, e assim por diante. A resoluc¸a˜o de
um instrumento e´ importante, pois em geral seu erro e´ tomado como a da
menor divisa˜o. Nos instrumentos digitais, o desvio e´ tomado como
a menor divisa˜o. Normalmente nestes instrumentos, o nu´mero de d´ıgitos
apresentados e´ maior.
Para va´rias medidas
Quando em uma experieˆncia obtemos va´rios dados para o valor de uma
grandeza, e´ frequ¨ente usarmos o valor me´dio como o nu´mero que melhor
representa esta grandeza.
M =
1
N
N∑
i=1
Mi (3)
onde:
Mi = va´rios dados obtidos
N = nu´mero de dados
M = valor me´dio
Como ja´ vimos, ao representar uma grandeza, na˜o estamos interessados
apenas no valor me´dio, que e´ o valor mais prova´vel, mas tambe´m no
erro que podemos estar cometendo.
Para uma se´rie de medidas, a melhor estimativa deste erro e´ obtida
atrave´s do ca´lculo do desvio me´dio, do desvio padra˜o ou do desvio padra˜o
do valor me´dio.
Desvio me´dio (ou erro me´dio): E´ a me´dia aritme´tica dos valores
absolutos dos desvios.
∆x =
∑N
i=1 |Mi −M |
N
(4)
Onde: |Mi −M | = δ e´ chamado de desvio absoluto de uma medida. Sa˜o as
flutuac¸o˜es individuais em torno da me´dia, que ocorrem igualmente numa e
noutra direc¸a˜o. E´ claro que se calcularmos o valor me´dio dos desvios nor-
malmente obteremos zero.
Exemplo: Em treˆs determinac¸o˜es consecutivas da massa de uma amostra
foram obtidos os seguintes valores:
12
m1 = 7,4 g; m2 = 7,7 g; m3 = 7,7 g.
O valor mais prova´vel da massa e´ m = 7,6 g. O desvio dos treˆs resul-
tados individuais da massa sa˜o: δ1 = - 0,2 g; δ2 = + 0,1 g; δ3 = + 0,1 g.
O desvio me´dio sera´ ∆m = 0,1. Portanto o resultado da se´rie de medic¸o˜es
sera´ apresentado na forma:
m = (7, 6± 0, 1)g.
Desvio padra˜o:
σm =
√∑N
i=1(δxi)
2
N − 1 (5)
Este valor mede, o espalhamento das medidas. Ao quadrado de σm ,
da´-se o nome de variaˆncia (σ2m). Quanto menor for o valor de σm, mais
precisa e´ a se´rie de medidas.
Toda medic¸a˜o afetada de erro maior que 3(σm), que seria o erro to-
lera´vel, deve ser rejeitada.
Desvio padra˜o do valor me´dio:
σm =
√∑N
i=1(δxi)
2
N(N − 1 ) (6)
E´ a flutuac¸a˜o do valor me´dio em relac¸a˜o ao valor real da grandeza.
OBS: O valor me´dio das medic¸o˜es diretas e´ que indicara´ o
nu´mero de casas decimais a serem consideradas no erro.
TAREFA:Num laborato´rio, foram efetuadas cinco medic¸o˜es do diaˆmetro
de um fio, por meio de um microˆmetro, tendo sido obtidos os seguintes re-
sultados: 0,1132 mm; 0,1125 mm; 0,1130 mm; 0,1128 mm e 0,1127 mm.
Calcular o desvio padra˜o do valor me´dio e exprimir corretamente o re-
sultado da medic¸a˜o. Respostas: x = (0,1128 0,0001)mm.
EXERCI´CIO: Numa experieˆncia de queda livre, atrave´s da utilizac¸a˜o
de um cronoˆmetro que fornecia leituras de ate´ cente´simos de segundos, foram
obtidos os seguintes resultados:
2,35; 2,25; 2,28; 2,32; 2,38; 2,31; 2,32; 2,27; 2,33; 2,30 (s).
Calcular: a) O valor mais prova´vel do tempo;
b) O desvio me´dio;
13
c) O desvio-padra˜o.
Exprimir corretamente o resultado da medic¸a˜o.
Respostas : a) t = 2,31s; b) ∆t = 0,03; c) σm = 0,04; t = (2,31 ± 0,04)s.
Medic¸o˜es indiretas
Sa˜o os resultados obtidos para uma grandeza f´ısica, atrave´s de operac¸o˜es
matema´ticas de duas ou mais medidas diretas.
Propagac¸a˜o de erros: A propagac¸a˜o de erros surge naturalmente
quando vamos calcular a medida indireta de uma grandeza, atrave´s de uma
equac¸a˜o, utilizando as medidas diretas realizadas. Por exemplo: Supo-
nhamos que queremos calcular a intensidade (I) da corrente ele´trica que
atravessa um resistor de resisteˆncia (R), submetido a uma diferenc¸a de po-
tencial (V). Temos que,
I =
V
R
(7)
Sendo a medida da tensa˜o (V ±∆V ) e da resisteˆncia (R ±∆R), as in-
certezas ∆V e ∆R ira˜o acarretar uma incerteza ∆I, no ca´lculo da corrente.
Para o ca´lculo desta incerteza existem va´rios me´todos, nas cieˆncias experi-
mentais. Descreveremos aqui o me´todo das diferenciais logar´ıtmicas, o qual
e´ mais comumente usado e o faremos, atrave´s de um exemplo pra´tico.
Consideremos a medida da superf´ıcie de um retaˆngulo de lados (A) e
(B).
Temos:
S = A×B. (8)
Sendo A = (a±∆a) e B = (b±∆b) as medidas experimentais dos lados.
Enta˜o tomando o logar´ıtmo neperiano da Eq.(8),ln S = lnA+ lnB
Diferenciando, temos:
dS
S
=
da
a
+
db
b
(9)
( da / a ) e ( db / b ) sa˜o os erros relativos cometidos em ( a ) e ( b ) en-
quanto ( da ) e ( db ) sa˜o os erros absolutos. Em uma primeira aproximac¸a˜o
faremos tender os erros infinitesimais ( da ) e ( db ) para os erros finitos
(∆ a ) e (∆ b ).
Pode ocorrer que as parcelas do segundo membro da Eq.(9) sejam po-
sitivas ou negativas ( faz-se um erro para mais ou para menos ), mas como
na˜o se pode calcular sena˜o o erro ma´ximo poss´ıvel que se pode cometer,
colocar-nos-emos na posic¸a˜o mais desfavora´vel em que estes dois erros sejam
14
de mesmo sinal, caso em que se adicionara˜o. Tomaremos, enta˜o a soma dos
valores relativos, em mo´dulo:∣∣∣∣dSS
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣daa
∣∣∣∣ +
∣∣∣∣dbb
∣∣∣∣ (10)
∆S
S
=
∆a
a
+
∆b
b
(11)
Por exemplo se ∆a = ∆b= 0,5 mm, com a = 20,0 mm e b = 40,0 mm,
teremos para o erro relativo ma´ximo de S :
∆S
S
=
0, 5
20
+
0, 5
40
=
1, 5
40
donde
∆S = S · 1, 5
40
= 800 · 1, 5
40
= 30mm2
logo, a superf´ıcie ( S ) estara´ compreendida entre (800− 30)mm2 e (800 +
30)mm2. Teremos, portanto
S = (800 ± 30)mm2.
A representac¸a˜o usual deste resultado e´
S = (80 ± 3)× 10mm2.
Repetindo novos exemplos e, aplicando as diferenciais logar´ıtmicas, chega-
r´ıamos aos seguintes resultados:
Sejam A e B duas grandezas a serem medidas, onde
a ⇒ melhor avaliac¸a˜o de A;
b ⇒ melhor avaliac¸a˜o de B;
∆a ⇒ desvio de A;
∆b ⇒ desvio de B,
ter´ıamos, enta˜o, para :
a ) Soma:
A+B = (a+ b)± (∆ a+∆ b)
b ) Subtrac¸a˜o:
A−B = ( a− b)± (∆ a+∆ b )
c ) Produto :
A · B = (a · b )± ( a · ∆ b+ b · ∆ a )
15
d ) Quociente:
A
B
=
a
b
± ( b · ∆ a + a · ∆ b
b2
)
e ) Poteˆncia :
An = an ± n · an−1 · ∆ a
OBS : Nas medic¸o˜es indiretas, o erro calculado e´ que indicara´ o nu´mero
de casas decimais que deveremos considerar.
Exerc´ıcio: Consideremos uma resisteˆncia R = (100 ± 1)Ω , submetida
a uma tensa˜o V = (20 ± 1)V . Calcular a intensidade da corrente que a
atravessa, com o respectivo desvio.
Exerc´ıcio: Usando uma trena, determine a a´rea do tampo da mesa.
Desvio relativo percentual
Quando comparamos medidas da mesma grandeza ( x ), obtidas em
escalas diferentes, a medida mais precisa sera´ aquela que apresentar menor
desvio relativo percentual (δr). O desvio relativo percentual e´ obtido por:
δr =
∆x
x
100 (12)
Desvio percentual
O desvio percentual e´ calculado quando se conhece o valor verdadeiro
( valor teo´rico ) da grandeza a ser medida, e´ definido como sendo o mo´dulo da
diferenc¸a entre o valor teo´rico e o valor experimental em relac¸a˜o ao teo´rico,
vezes 100%, ou seja
∆ =
∣∣∣∣Vteor. − Vexper.Vteor.
∣∣∣∣× 100. (13)
Exerc´ıcios:
1 - Quantos algarismos significativos existem nas seguintes quantidades ?
a)4, 54 b)2, 21 c)2, 205 d)0, 3937
e)0, 0353 f)1, 00880 g)14, 0 h)9, 3x107
i)1, 118x10−3 j)1030 k)125000 l)10003
2 - Qual e´ o resultado de cada uma dessas operac¸o˜es ?
16
a) 703 + 7 + 0.66 = f) 72,4 x 0,084 =
b) 18,425 + 7,21 + 5,0 = g) 97,52 : 2,54 =
c) 7,26 - 0,2 = h) 14,28 : 0,714 =
d) 34 - 0,2 = i) 32 x 10−8 : 4 x 10−8=
e) 2,21 x 0,3 = j) 9,8 : 9,3 =
3 - Foram efetuadas as seguintes medidas do diaˆmetro de um cabo : 12,2;
12,3; 12,1; 12,2; 12,2; 12,1; 12,4; 12,2 (cm).
Calcule o valor mais prova´vel de sua medida e seu respectivo desvio.
4 - Na medic¸a˜o do comprimento de um objeto com o aux´ılio de um
paqu´ımetro, efetuaram-se as seguintes medidas: 4,11; 4,13; 4,12; 4,11; 4,11;
4,14; 4,12; 4,11; 4,10; 4,12 (cm).
Qual e´ o valor mais prova´vel e seu respectivo desvio ?
5 - Em treˆs medic¸o˜es de distaˆncia entre dois trac¸os foram obtidos os
seguintes valores : 66,473; 66,468; 66,475 (mm).
Achar a maneira correta de apresentar o resultado.
6.- Depois de efetuar uma se´rie de medic¸o˜es da densidade de uma
substaˆncia, um experimentador adotou o valor me´dio 1,34, tendo obtido o
valor 0,07 para o desvio padra˜o.
Pergunta-se: (a) De que maneira deve ser expresso este resultado?
(b) Qual e´ o erro relativo cometido ?
(c) Quanto vale o erro relativo percentual ?
17
1.0.1 Experimento: Medidas, algarismos significativos e erros
OBJETIVOS:
• Familiarizac¸a˜o com o paqu´ımetro e sua utilizac¸a˜o.
• Determinac¸a˜o experimental do nu´mero π.
• Determinac¸a˜o do volume de um cilindro meta´lico.
• Fazer leituras em instrumentos com escalas graduadas, utilizando a
noc¸a˜o de algarismos significativos.
• Aplicar a teoria dos erros.
MATERIAL UTILIZADO:
Paqu´ımetro; re´gua transparente e flex´ıvel e cilindro de metal.
PROCEDIMENTO:
• Determine as dimenso˜es externas do cilindro e registre os valores na
tabela(1).
• Determine as dimenso˜es do vazio (furo) de cada cilindro e registre seus
valores na tabela(2).
DADOS:
Per´ımetro de uma circunfereˆncia: C = π D
Volume de um cilindro:
V =
π D2
4
H (14)
Figura 2: Volume de um cilindro .
18
Tabela 1: Elementos do per´ımetro da circunfereˆncia.
N C Ci − C (Ci − C)2 D Di −D (Di −D)2
(mm) (mm) (mm)2 (mm) (mm) (mm)2
C =
∑
= D =
∑
=
D = ( ± )mm π = ( ± )
h = ( ± )mm d = ( ± )mm
Tabela 2: Cilindro interno - (VAZIO) Vi .
N h hi − h (hi − h)2 d di − d (di − d)2
(mm) (mm) (mm)2 (mm) (mm) (mm)2
h =
∑
= d =
∑
=
Vi = ( ± )mm3
H = ( ± )mm D = ( ± )mm
Vt = ( ± )mm3 V=Vt - Vi = ( ± )mm3
Tabela 3: Cilindro externo - Vt
N H Hi −H (Hi −H)2 D Di −D (Di −D)2
(mm) (mm) (mm)2 (mm) (mm) (mm)2
H =
∑
= D =
∑
=
19
2 GRA´FICOS
Os gra´ficos desempenham na F´ısica Experimental um papel preponde-
rante. Mais facilmente pelos gra´ficos do que pelos nu´meros pode-se tomar
conhecimento de um determinado fenoˆmeno, verificar a validade de uma
certa lei, etc. Por este motivo impo˜e-se o estudo dos mesmos.
2.1 Escalas
Iniciaremos o nosso estudo pelas escalas que veˆm a ser segmentos de
reta sobre os quais vem marcados pequenos trac¸os e aos quais correspondem
nu´meros ordenados. Esses nu´meros sa˜o chamados argumentos da reta e
representam os poss´ıveis valores de uma grandeza f´ısica.
Chama-se PASSO de escala, a distaˆncia, arbitra´ria, medida em unida-
des de comprimento, geralmente em cm, que separa dois trac¸os quaisquer
da escala. Chama-se DEGRAU de escala, a variac¸a˜o da grandeza f´ısica
apresentada na escala correspondente ao passo.
DefinimosMO´DULO DA ESCALA, como o valor absoluto da relac¸a˜o
entre passo e o degrau.
ME =
∣∣∣∣ PASSODEGRAU
∣∣∣∣
ME ≤
∣∣∣∣ Espac¸o dispon´ıvel no papel milimetradoMa´xima variac¸a˜o entre os valores obs. no laborato´rio
∣∣∣∣ .
2.2 Gra´ficos cartesianos
Quando em um determinado fenoˆmeno f´ısico temos a variac¸a˜o de duas
grandezas tal que, para os estados u1, u2, u3, ..., un de uma delas corres-
pondem respectivamente v1, v2, v3, ..., vn da outra, fazemos a utilizac¸a˜o de
gra´ficos cartesianos em que os eixos cartesianos sa˜o suportes de escalas, con-
venientemente escolhidas.
Para a confecc¸a˜o de um gra´fico cartesiano, como mostraremos em um
exemplo adiante, deve-se proceder do seguinte modo:
1. No papel milimetrado que dispomos, devemos saber o comprimento c
dispon´ıvel no eixo dos x e qual o comprimento d dispon´ıvel no eixo dos y.
2. Conhecendo os valores das varia´veis que se deseja lanc¸ar no gra´fico,
determinemos as ma´ximas variac¸o˜es das abcissas e ordenadas, chamando U
e V cada uma dessas variac¸o˜es, portanto:
U = un − u1
20
e
V = vn − v1.
3. Os mo´dulos das escalas devem ser tais que:
Mu ≤
∣∣∣ c
U
∣∣∣
e
Mv ≤
∣∣∣∣ dV
∣∣∣∣ .
Os mo´dulos calculados pela relac¸a˜o acima geralmente da˜o nu´meros fra-
ciona´rios. Estes mo´dulos na˜o devem caracterizar a escala, e sim outros,
pouco menores aos obtidos, os quais permitem uma fa´cil localizac¸a˜o das
grandezas a representar.
4. Procedemosa marcac¸a˜o das escalas, mediante sua graduac¸a˜o.
5. Sobre o papel marcamos os pontos: (u1; v1),..., (un; vn), envolvendo-os
por um pequeno c´ırculo.
6. Finalmente procuramos passar uma reta ou curva cont´ınua a mais
pro´xima poss´ıvel por esses pontos.
2.3 Identificac¸a˜o da varia´vel dependente e a independente.
Para identificar qual a varia´vel que e´ a independente e que devera´ ser
disposta no eixo X, observemos alguns casos:
1) A segunda lei de Newton a qual e´ representada pela equac¸a˜o F = ma,
esta´ grafada numa forma de fa´cil memorizac¸a˜o. Entretanto se dispomos de
um corpo de massa ( m ), para que ele se mova ou seja freiado, isto e´, altere
seu estado de movimento, e´ condic¸a˜o fundamental que alguma forc¸a externa
( F ) atue sobre o corpo.
Enta˜o a varia´vel forc¸a (F) e´ a que produz a alterac¸a˜o no movimento do
corpo e produzira´ uma acelerac¸a˜o ou desacelerac¸a˜o.
• F e´ a varia´vel independente ( eixo X );
• ( a ) acelerac¸a˜o, varia´vel dependente ( eixo Y ), conforme a Fig.(3),
a = (
1
m
)F, (15)
onde 1m e´ o coeficiente angular.
2) Um circuito composto de um resistor ( R ) e uma fonte de tensa˜o
( V ), Fig.(4-a), no instante que a chave for fechada Fig.(4-b ), os terminais
21
Figura 3: Identificac¸a˜o da varia´vel independente na segunda lei de Newton
do resistor estara˜o submetidos a uma diferenc¸a de potencial, resultando no
deslocamento de cargas ele´tricas no circuito que e´ denominado de corrente
ele´trica. Este evento e´ representado pela lei de Ohm:
V = R i. (16)
Figura 4: Circuito ele´trico: ( a ) a chave esta´ aberta; ( b ) a chave esta´
fechada e circula corrente
O agente que produzira´ o deslocamento das cargas ele´tricas ( corrente )
sera´ a voltagem ( V ).
• A voltagem ( V ) e´ a varia´vel independente e devera´ ser lanc¸ada no
eixo X.
• A corrente ( i ) e´ a varia´vel dependente e, ira´ para o eixo Y.
A eq.(16) tera´ a seguinte forma:
i =
1
R
V, (17)
22
onde 1R e´ o coeficiente angular.
Exemplo nume´rico
Consideremos a experieˆncia de deslocamento de um l´ıquido em prove-
tas, quando nas mesmas sa˜o introduzidas esferas de diaˆmetros varia´veis,
conforme a tabela(4), onde (V) e´ o volume do l´ıquido deslocado para uma
esfera de diaˆmetro, (D), isto e´ : V = f(D).
N V (cm3) D (cm)
1 0,1 ± 0,1 0,595 ± 0,005
2 0,2 ± 0,1 0,712 ± 0,005
3 0,3 ± 0,1 0,800 ± 0,005
4 0,4 ± 0,1 0,871 ± 0,005
5 0,4 ± 0,1 0,952 ± 0,005
6 0,6 ± 0,1 1,029 ± 0,005
7 0,7 ± 0,1 1,110 ± 0,005
8 0,9 ± 0,2 1,198 ± 0,005
9 1,0 ± 0,2 1,201 ± 0,005
10 1,2 ± 0,2 1,347 ± 0,005
Tabela 4: Volume em func¸a˜o do diaˆmetro das esferas
A folha de papel milimetrado deve ser disposta de forma que o lado maior
corresponda ao eixo das abcissas (D), isto e´, a varia´vel independente e, o
menor ao das ordenadas (V), varia´vel dependente. Deixa-se uma margem a`
esquerda e abaixo dos respectivos eixos. Dispondo no eixo das abcissas 20
cm e, no eixo das ordenadas 15 cm, as ma´ximas variac¸o˜es observadas, no
laborato´rio devem estar dentro das limitac¸o˜es impostas ( 20 x 15 cm ) . Os
respectivos mo´dulos de escala sera˜o:
MD ≤
∣∣∣∣ 20cm(1, 347− 0, 595)cm
∣∣∣∣ ≤ 26, 59cm/cm. (18)
MV ≤
∣∣∣∣ 13cm1, 4cm3
∣∣∣∣ ≤ 9, 20cm/cm3. (19)
onde 1,4=( 1,2 + 0,2 ).
Adotemos como mo´dulo de escala no eixo das abcissas MD = 26cm/cm
e no das ordenadas MV = 9cm/cm
3. A posic¸a˜o de cada ponto no papel
milimetrado sera´ dado por:
xi =MD(Di −D1), (20)
e
yi =MV (Vi − V1). (21)
23
As unidades de xi e yi deste exemplo sa˜o em cm. Assim a posic¸a˜o do 1
o
ponto a partir da origem sera´:
x1 = (26
cm
cm
) . (0, 595− 0, 595)(cm) = 0 cm,
y1 = (9
cm
cm3
) . (0, 1 cm3) = 0, 9 cm.
Os erros correspondentes a este 1o ponto sera˜o dados por:
εD =MD . (Erro do instrumento)D,
εD = (26
cm
cm
). (± 0, 005cm) = ±0, 13 cm
e
εV =MV . (Erro do instrumento)V ,
εV = (9
cm
cm3
) . (±0, 1 cm3) = ± 0, 9 cm.
De forma ana´loga, sera˜o calculados os outros pontos e lanc¸ados no papel
milimetrado. Observe-se que na˜o e´ necessa´rio que todas as graduac¸o˜es nos
eixos sejam numeradas; no presente trabalho faremos de 5 em 5 cm. Feita
esta graduac¸a˜o, escreve-se o significado de cada escala, diaˆmetro em cm e
volume em cm3. Marcar no fim das escalas os seus mo´dulos. Esta marcac¸a˜o
e´ dispensa´vel quando se trata de um gra´fico de simples verificac¸a˜o de lei ou
quando as graduac¸o˜es das duas escalas sa˜o iguais.
Por fim, lanc¸a-se no gra´fico os pontos, envolvendo-os de um pequeno
circulo. Podemos em seguida trac¸ar uma curva (ou reta) que melhor se
adapte a estes pontos, ver Gra´fico(1).
2.4 Linearizac¸a˜o de gra´ficos
Frequ¨entemente nos gra´ficos de um trabalho experimental e´ poss´ıvel pre-
ver a natureza da func¸a˜o matema´tica que une as duas varia´veis, ao inve´s
de trac¸ar uma curva no gra´fico, efetua-se uma transformac¸a˜o em uma das
varia´veis ou em ambas de tal forma a obter uma reta[8]1. Este procedimento
e´ tambe´m utilizado quando se deseja verificar experimentalmente uma lei ja´
conhecida.
Essas transformac¸o˜es podem ser realizadas nas escalas, usando-se escalas
funcionais, as quais sa˜o chamadas anamorfoses ou, o que e´ mais comum
fazer-se alguma operac¸a˜o sobre as varia´veis conforme pode-se verificar nos
Gra´ficos(01),(02) e (03) deste texto.
1O nu´mero entre colchetes representa a refereˆncia bibliogra´fica.
24
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15 15
10
5
0
2015
10
5 100
 V (cm3)
 MV=9 cm/cm
3
 D (cm)
MD=26 cm/cm
 GRÁFICO (01): Volume x Diâmetro
Os gra´ficos anamorfoseados possuem uma importaˆncia fundamental, pois
dessa forma consegue-se ajustar, mais facilmente, uma reta a` pontos ali-
nhados, do que em uma curva nos pontos, ainda mais levando em conta que
os pontos origina´rios de uma determinac¸a˜o experimental na˜o esta˜o rigoro-
samente sobre uma curva.
As operac¸o˜es devem ser realizadas de tal modo que as duas grandezas,
apo´s as operac¸o˜es, sejam diretamente proporcionais, o que consiste numa
operac¸a˜o contra´ria a` lei. Vejamos alguns exemplos:
1o Na verificac¸a˜o da lei do peˆndulo:– O per´ıodo de oscilac¸a˜o de um
peˆndulo simples e´ diretamente proporcional a` raiz quadrada do comprimento
(T = k
√
L
g ); neste caso devemos elevar ambos os membros da equac¸a˜o
ao quadrado e teremos no gra´fico uma reta. Lanc¸ando no eixo dos X, as
variac¸o˜es de (L/g) e, para o eixo do Y, o quadrado dos per´ıodos. 2o Na
verificac¸a˜o da lei de Boyle-Mariotte:– Sob temperatura constante, os volumes
ocupados por uma mesma massa gasosa sa˜o inversamente proporcionais a`s
presso˜es que suportam [V = k( 1P )]; neste caso, devemos fazer um gra´fico
tomando para X o inverso das presso˜es determinadas e, para Y, os volumes.
2.5 Tipos de ajuste
Como ja´ se disse, os pontos representativos dos estados das grandezas
na˜o esta˜o exatamente sobre uma curva. Impo˜e-se pois o problema da deter-
minac¸a˜o da curva que melhor se adapte aos pontos do gra´fico. Estudaremos
apenas o caso do ajuste de uma reta. O ajustamento de uma reta pode
ser gra´fico ou anal´ıtico. O me´todo gra´fico e´ mais ra´pido, tendo no entanto
duas desvantagens: primeiro requer habilidade para melhor ajustar a reta
fazendo uma compensac¸a˜o dos erros e segundo, as determinac¸o˜es que se fa-
zem a partir dessa reta sa˜o sempre grosseiras. O ajustamento anal´ıtico se
faz empregando o processo dos mı´nimos quadrados o qual realiza simulta-
neamente a compensac¸a˜o dos erros. Vejamos no item seguinte o estudo da
reta, que sera´ posteriormente aplicado a estes dois tipos de ajustes.
2.6 Gra´ficos da forma ⇒ Y = b+ aX.Na Geometria Anal´ıtica a expressa˜o acima representa a equac¸a˜o de uma
reta em que a e´ o coeficiente angular e b o coeficiente linear. Na F´ısica
a e b geralmente teˆm um significado perfeitamente definido, raza˜o pela
qual mesmo modificando o passo da escala do gra´fico, os valores para essas
varia´veis devem continuar constantes. Uma vez feito o gra´fico, a e b podem
ser determinados, tanto pelo me´todo gra´fico como pelo anal´ıtico.
Atrave´s da Fig.(5), obteremos os paraˆmetros a e b da func¸a˜o y = (b+ax).
Sejam Mx e My, respectivamente, os mo´dulos das abcissas e ordenadas.
25
Figura 5: Determinac¸a˜o gra´fica da equac¸a˜o da reta
Como ja´ foi dito anteriormente, o mo´dulo representa a raza˜o entre a
distaˆncia de dois pontos da escala e a variac¸a˜o correspondente da varia´vel.
Logo:
Mx =
CP1
xn − x1 e My =
PnC
yn − y1
CP1 = Mx (xn − x1) e PnC = My (yn − y1).
Da Fig.(5) obtemos:
tan θ =
PnC
CP1
=
My (yn − y1)
Mx (xn − x1) =
My
Mx
yn − y1
xn − x1 . (22)
Recordando a Geometria Anal´ıtica, na qual o coeficiente angular de uma
reta e´ dado pela relac¸a˜o
a =
yn − y1
xn − x1 . (23)
Considerando esta expressa˜o e a Eq.(22) podemos escrever:
tan θ =
My
Mx
a, (24)
26
a = tan θ
Mx
My
. (25)
De modo semelhante, determina-se o valor de b
My =
BO
yB
. (26)
A Geometria Anal´ıtica nos assegura que yB = b, logo:
My =
BO
b
, (27)
b =
BO
My
. (28)
Desta forma a equac¸a˜o da reta obtida pelo me´todo gra´fico sera´:
Y =
BO
My
+ (
Mx
My
tan θ)X. (29)
2.7 Ajustamento anal´ıtico
O ajustamento anal´ıtico se faz, de posse dos valores x1, x2, ..., xn para
os quais correspondem respectivamente y1, y2, ..., yn, aplicando o sistema de
equac¸o˜es: {
bN + a
∑N
i=1 xi =
∑N
i=1 yi
b
∑N
i=1 xi + a
∑N
i=1 x
2
i =
∑N
i=1 xi yi
(30)
que permite calcular a e b. Neste sistema N representa o nu´mero de medi-
das.
Exemplo 01
Determinar a equac¸a˜o do volume, relativo aos dados da Tabela(4), a qual
sera´ representada por:
V = b + a (D3),
e os coeficientes a serem determinados a e b sera˜o obtidos do sistema:{
bN + a
∑N
i=1(D
3
i ) =
∑N
i=1 Vi
b
∑N
i=1 (D
3
i ) + a
∑N
i=1 (D
3
i )
2 =
∑N
i=1 D
3
i Vi.
(31)
Obs.: A demonstrac¸a˜o da obtenc¸a˜o do sistema acima sera´ visto em
Ca´lculo Nume´rico.
27
D3i (cm
3) Vi(cm
3) (D3i )
2(cm6) D3i Vi(cm
6)
0,210 0,1 0,044 0,02
0,360 0,2 0,129 0,07
0,512 0,3 0,262 0,15
0,660 0,4 0,435 0,26
0,862 0,4 0,743 0,34
1,089 0,6 1,185 0,65
1,367 0,7 1,868 0,95
1,719 0,9 2,954 1,54
1,732 1,0 2,999 1,73
2,444 1,2 5,973 2,93
Tabela 5: Volume x Diaˆmetro3
Sendo
N∑
i=1
D3i = 10, 955;
N∑
i=1
Vi = 5, 8;
N∑
i=1
(D3i )
2 = 16, 597 e
N∑
i=1
DGi3Vi = 8, 677.
Substituindo os resultados da tabela no sistema, obtemos:{
10 b + 10, 955 a = 5, 8
10, 955 b + 16, 597 a = 8, 677.
(32)
Resolvendo o sistema pelo me´todo de Cramer:
detA =
∣∣∣∣ 10 10, 95510, 955 16, 597
∣∣∣∣ = 45, 958;
det∆1 =
∣∣∣∣ 5, 8 10, 9558, 677 16, 597
∣∣∣∣ = 1, 199;
det∆2 =
∣∣∣∣ 10 5, 810, 955 8, 677
∣∣∣∣ = 23, 237;
b =
det∆1
detA
= 0, 0261; (33)
a =
det∆2
detA
= 0, 5056. (34)
28
Assim a equac¸a˜o da reta que reprentara´ o V = f(D), sera´:
VC = 0, 0261 + 0, 5056D
3
i . (35)
O ca´lculo dos desvios sera´ obtido
δV = VE. − VC.. (36)
D3i (cm
3) VE.(cm
3) VC.(cm
3) δV (cm
3) δ2V (cm
6)
0,210 0,1 0,031 + 0,069 0,005
0,360 0,2 0,208 - 0,008 6,586−5
0,512 0,3 0,285 + 0,015 2,259−4
0,660 0,4 0,360 + 0,040 0,002
0,862 0,4 0,462 - 0,062 0,004
1,089 0,6 0,577 + 0,023 0,001
1,367 0,7 0,717 - 0,017 2,977−4
1,719 0,9 0,895 + 0,005 2,279−5
1,732 1,0 0,902 + 0,098 0,010
2,444 1,2 1,262 - 0,062 0,004
Tabela 6: Ca´lculo dos desvios do V = f(D3).
A soma dos desvios:
N∑
i=1
δVi = 0, 101 cm
3.
N∑
i=1
δ2Vi = 0, 027 cm
6.
Ca´lculo do desvio padra˜o:
σV =
√∑N
i=1 δ
2
Vi
(N − 1) = ± 0, 0544 cm
3.
Ca´lculo do desvio padra˜o do valor me´dio:
σV =
√ ∑N
i=1 δ
2
Vi
N(N − 1) = ± 0, 0172 cm
3.
29
-
5
-
4
-
3
-
2
-
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-
3
-
2
-
101234567891011121314
15 10 5 0
20
15
10
5
0
 
 
 
 
 
 
 
 
V 
(cm
3 )
M
V=
10
 
cm
/c
m
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D
3 
(cm
3 )
 
M
D
3=
 
8 
cm
/c
m
3
 
G
R
ÁF
IC
O
 
(02
): 
Vo
lu
m
e
 
x 
D
iâ
m
e
tro
3
Exemplo 02
Construir em papel milimetrado, um gra´fico, referente aos dados experi-
mentais da Tabela(5) (V x D3 ), observe que os pontos esta˜o relativamente
alinhados. Isto nos leva a trac¸ar uma reta por estes pontos, conforme pode
se ver pelo Gra´fico(2). Supondo que a func¸a˜o que se deseja descobrir[32]
tenha a seguinte forma:
V = k Dα. (37)
Aplicando o desenvolvimento logar´ıtmico a ambos os membros da equac¸a˜o
acima, teremos:
log V = log k + α log D. (38)
Comparando esta u´ltima equac¸a˜o com a da reta y = b + a x, obteremos:
y = log V,
b = log k,
a = α,
x = log D.
Ajustando pelo me´todo dos mı´nimos quadrados:{
N b + a (
∑N
i=1 log Di) =
∑N
i=1 log Vi
b (
∑N
i=1 log Di) + a
∑N
i=1 (log Di)
2 =
∑N
i=1 log Di · log Vi.
(39)
Utilizando-se os valores da Tabela(4) e, aplicando o logar´ıtmo conforme
os elementos da Eq.(39), obte´m-se a Tabela(7).
log Di (log Di)
2 log Vi log Vi · log Di
- 0,225483 0,050843 - 1,0 + 0,225483
- 0,147520 0,021762 - 0,69897 + 0,103112
- 0,096910 0,009392 - 0,522879 + 0,050672
- 0,059982 0,003598 - 0,397940 + 0,023869
- 0,021363 0,000456 - 0,397940 + 0,008501
+ 0,012415 0,000154 - 0,221849 - 0,002754
+ 0,045323 0,002054 - 0,154902 - 0,007021
+ 0,078457 0,006155 - 0,045757 - 0,003590
+ 0,079543 0,006327 0,0 0,0
+ 0,129368 0,016736 + 0,079181 + 0,010243
Tabela 7: Ca´lculo de paraˆmetros do sistema.
30
10-1 100 101
10-2
10-1
100
101
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V
 
(
c
m
3
)
 D (cm)
 GRÁFICO (03): Volume x Diâmetro
N∑
i=1
log Di = − 0, 206152;
N∑
i=1
(log Di)
2 = 0, 117477;
N∑
i=1
log Vi = − 3, 361056;
N∑
i=1
log Vi · log Di = 0, 408516.
{
10 b − 0, 206152 a = − 3, 361056
− 0, 206152 b + 0, 117477 a = 0, 408516. (40)
O sistema tem por soluc¸a˜o:
a = 2, 99599
mas como a = α enta˜o α = 2, 99599, e b = −0, 27434 mas como b =
log k, enta˜o k = 10b, isto e´, k = 0, 53169.
A func¸a˜o que representa os dados experimentais sera´:
V = 0, 53169D2,99599. (41)
Veja o Gra´fico(3).
2.8 Determinac¸a˜o gra´fica dos coeficientes.
Utilizando o transferidor, mec¸a o aˆngulo no gra´fico do Exemplo 2, que tu
o fizeste. O aˆngulo θ sera´ de aproximadamente 33o. Aplicando na Eq.(25),
os mo´dulos de escala e o aˆngulo, obte´m-se o valor do coeficiente angular.
a =
MD
MV
tan θ,
a =
8 cm
cm3
10 cm
cm3
tan 33o ; a = 0, 5195;
b =
BO
MV
=
0, 24cm
10
cm
cm3
= 0, 024 cm3.
V = 0, 024 + 0, 5195 D3.
31
Figura 6: Pontos auxiliares sobre o Gra´fico(3).
Observe-se a precisa˜o entre os valores de “a”determinados pelos dois
processos com o teo´rico (a = pi
6
).
EXERCI´CIOS:
1) Usando o Gra´fico(3) , determine os paraˆmetros “k”e “α”daeq(37).
Sugesta˜o: Marque dois pontos P1 e P2, conforme a figura(6), sobre a
reta que passa pelos pontos experimentais. Determine o coeficiente angular
a =
logA− logB
logC − logD , (42)
a = α.
Usando a eq.(38), isole o coeficiente linear log k = b,
b = log V − α log D. (43)
Novamente sobre a reta do gra´fico, marque um ponto P e substitua os valores
correspondentes,
b = log E − α log F. (44)
como log k = b, enta˜o k = 10b.
Dado a tabela
Supondo que a lei que rege o fenoˆmeno seja do tipo:
Q = A expαt . (45)
32
Q(c) 10,0 6,0 3,5 2,0 1,1
t(s) 0,0 16,0 32,0 48,0 64,0
Tabela 8: Observac¸o˜es relativo a calorimetria.
2) Determine os paraˆmetros “A”e “α”da equac¸a˜o(45), utilizando papel
mono-log.
3) Fac¸a a mesma coisa do item 2, utilizando papel milimetrado. Lem-
brete: Para determinar o “α’ e o “A”, use as equac¸o˜es(25 e 28).
33
3 MECAˆNICA
Introduc¸a˜o
A Mecaˆnica se ocupa com o estudo do movimento de corpos materiais.
A parte que se dedica ao movimento e´ denominada de Cinema´tica; a que
estuda o movimento e suas causas chama-se Dinaˆmica e a que estuda os
corpos so´lidos em equil´ıbrio e´ a Esta´tica.
3.1 Cinema´tica de translac¸a˜o em uma dimensa˜o
Uma bola de futebol, ao ser lanc¸ada em determinada direc¸a˜o, podera´
girar em torno de um eixo. Uma gota de chuva ao cair pode vibrar. As
dificuldades causada pelo ato do corpo girar ou vibrar, podera˜o ser elimi-
nados, considerando-se como se toda a sua massa estivesse concentrada em
um pequeno corpo, que tende a um ponto. Denominado de ponto material.
Para descrever o movimento retil´ıneo de um objeto, utilizaremos um
ponto como referencial sobre um eixo e, medidas diretas e indiretas.
Supondo que um corpo, em determinado instante se encontre no ponto A
de um eixo OX, conforme a figura(7) e, em instante posterior se encontre em
B, sobre a reta OX. O deslocamento do objeto de A ate´ B, sera´ representado
pela diferenc¸a de coordenadas (x2−x1) e o tempo necessa´rio para se deslocar
de A ate´ B, sera´ (t2 − t1).
3.2 Velocidade escalar me´dia (v)
Definimos a velocidade escalar me´dia, como sendo:
Figura 7: Localizac¸a˜o de um objeto no instante t1 no ponto A e no instante
t2 em B na sua trajeto´ria retilinea
34
v =
xi+1 − xi
ti+1 − ti =
∆x
∆t
(46)
A unidade da velocidade no Sistema Internacional e´ metro por segundo
(ms ).
Observac¸o˜es:
1) Se o movimento do objeto em sua trajeto´ria for para a direita, teremos:
x2 > x1 ⇒ ∆x > 0 e v > 0.
2)Se eixo estiver orientado como o da figura(7) e, o movimento do objeto
em sua trajeto´ria for para a esquerda, teremos:
x2 > x1 ⇒ ∆x = (x1 − x2) < 0 e v < 0.
A equac¸a˜o (46), pode ser simplificada escrevendo:
x2 − x1 = v(t2 − t1) (47)
Quando se conhece a velocidade v poder-se-a´ determinar a nova posic¸a˜o do
objeto atrave´s da relac¸a˜o:
x2 = x1 + v(t2 − t1) (48)
Pode-se simplificar a equac¸a˜o(48), supondo que ponto material esta´ na ori-
gem do referencial e nesse instante t1 = 0 e x1 = 0 e substituindo x2 por x,
teremos:
x = vt (49)
Exerc´ıcio
Considerando os dados da tabela(9), determine as velocidades me´dias
correspondentes aos intervalos.
OBS.: Se o corpo percorre espac¸os iguais em tempos iguais, diz-se que
ele possui velocidade constante, conforme pode-se canstatar pela figura(8).
Exerc´ıcio
Considerando os dados da tabela(10), determine as velocidades me´dias
correspondentes aos intervalos.
a) Construa o gra´fico [ v × t ], determine a equac¸a˜o da reta que passa pelos
pontos.
35
Tabela 9: Deslocamento de objeto com velocidade uniforme.
i t x v
( s ) ( m ) m/s
1 0 0
2 1 5
3 2 10
4 3 15
5 4 20
6 5 25
7 6 30
Figura 8: Movimento retil´ıneo em relac¸a˜o a um referencial
3.3 Movimento retil´ıneo com acelerac¸a˜o constante
Ao afirmarmos que a velocidade me´dia de um objeto e´ de 100 km/h,
isto na˜o quer dizer que, durante todo o intervalo de tempo ele se mantivesse
com esta velocidade.
Quando a velocidade muda uniformemente com o tempo, a velocidade
me´dia em qualquer intervalo de tempo e´ igual a` me´dia aritme´tica das velo-
cidades no in`ıcio e no fim do intervalo. De forma que a velocidade me´dia v
entre t1=0 e t2=t e´,
v =
v0 + v
2
(50)
Quando a velocidade de um corpo varia durante o seu deslocamento.
36
Figura 9: Movimento retil´ıneo com velocidade na˜o uniforme
Diz-se que o corpo possui uma acelerac¸a˜o. A acelerac¸a˜o de um corpo e´ de-
finida pela variac¸a˜o da velocidade dividido pela variac¸a˜o do tempo.
a =
v2 − v1
t2 − t1 =
∆v
∆t
(51)
A equac¸a˜o(50) na˜o seria correta se a acelerac¸a˜o na˜o fosse constante, por-
que, enta˜o, o gra´fico v=f(t ), na˜o seria uma linha reta.
Se a raza˜o entre a variac¸a˜o da velocidade pelo intervalo de tempo perma-
necer constante, para quaisquer intervalos de tempo, diz-se que a acelerac¸a˜o
Tabela 10: Deslocamento de objeto com velocidade na˜o uniforme.
i t x v
( s ) ( m ) m/s
1 0,0 0,00
2 0,5 2,75
3 1,0 7,00
4 1,5 12,75
5 2,0 20,00
6 2.5 28,75
7 3,0 39,00
8 3,5 50,75
9 4,0 64,00
10 4,5 78,75
37
e´ constante.
Sejam t1 = 0 e t2 um valor arbitra´rio qualquer do tempo t. Sejam
v0 a velocidade escalar quando t=0, e v, a velocidade no tempo t. A v0
chamamos velocidade inicial. Com essas convenc¸o˜es, nossa equac¸a˜o anterior
se transforma em
a =
v − v0
t− 0 (52)
Ou seja
v = v0 + at (53)
Atrave´s da equac¸a˜o(49), pode-se obter o deslocamento x em qualquer
tempo t de um ponto material que esta´ em movimento, substitu´ındo a
equac¸a˜o(50)
x = (
v0 + v
2
) t (54)
Isolando o t da equac¸a˜o(53) e substitu´ındo na equac¸a˜o(54), obteremos
v2 = v20 + 2 a x (55)
Para completar nosso sistema de equac¸o˜es, substitu´ındo v da equac¸a˜o(53)
na equac¸a˜o(54), teremos;
x = v0 t +
a
2
t2 (56)
Exerc´ıcios
1) Construa um gra´fico usando os dados da tabela(10) (Deslocamento ×
t ) e, usando o me´todo gra´fico, determine a velocidade para ( t = 1,5 s ) e (
t = 4,0 s ). Lembrete: (v = MtMx tanα )
Estas velocidades pontuais sa˜o denominadas de velocidades instantaˆneas.
2) Construa um gra´fico usando os dados da tabela(10) (v × t ) e, determine
os coeficientes linear e o angular da reta, correspondente. Quais sa˜o as
respectivas unidades ?
3.4 Movimento em queda livre
Todo corpo em queda livre, a sua velocidade escalar varia uniformemente
com o tempo e diz-se de que ele esta´ em de movimento acelerado. A ace-
lerac¸a˜o e´ constante.
38
As equac¸o˜es para um eixo Y orientado para cima sa˜o semelhantes as
anteriores vistas para o eixo X
vy = vy0 − gt (57)
v2y = v
2
y0 − 2 g y (58)
y = vy0 t −
g
2
t2 (59)
Se o eixo Y aponta para baixo, tem-se:
vy = vy0 + gt (60)
v2y = v
2
y0 + 2 g y (61)
y = vy0 t +
g
2
t2 (62)
3.5 Movimento no plano
Um ponto material que descreve uma trajeto´ria curva num plano, a
velocidade resultante em qualquer ponto desta trajeto´ria tera´ valor diferente,
devido a mudanc¸a de direc¸a˜o que o ponto material assume. A velocidade
resultante num ponto qualquer sera´ dada por:
v =
√
v2x + v
2
y (63)
Sendo a componente das velocidades segundo o eixo X dado por
vx = vx0 + axt, (64)
e a componente da velocidade segundo o eixo Y
vy = vy0 + ayt. (65)
Exerc´ıcios
1)As a´guas de um rio de 200m de largura - ver figura(10), deslocam-se
para a direita com velocidade de 0,25 m/s. Um barco com velocidade de 5
m/s, devera´ atravessar o rio no menor tempo.
a) Qual o aˆngulo que devera´ estar orientado o barco; b) Quando tempo de-
morara´ a travessia?
Respostas: a) 2,86o no sentido oposto ao deslocamento do rio; b) t = 40 s.
2) Um projetil e´ disparado com uma velocidade inicial de 5000 m/s.
Deseja-se acertar um alvo no mesmo plano horizontal e que esta´ 1000 m de
distaˆncia. Supondo a na˜o existeˆncia de correntesde ar na horizontal e na
vertical.
a) Qual a altura h acima do centro devera´ estar a arma apontada para
acertar no centro ?
b) Quanto tempo demorara´ para atingir o alvo ?
Respostas: a) 19,6 cm; b) t= 0,2s.
39
Figura 10: Travessia do rio
3.6 Leis de Newton
Massa e´ uma propriedade da mate´ria, a qual se opo˜e a` mudanc¸a do seu
estado de movimento.
Forc¸a e´ toda ac¸a˜o, capaz de provocar perturbac¸a˜o no estado de um corpo
de massa m.
3.7 Primeira lei de Newton
Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento re-
til´ıneo uniforme a menos que uma ou mais forc¸as externas atuem sobre ele.
3.8 Segunda lei de Newton
A resultante de uma ou mais forc¸as que atuam sobre uma massa m,
na mesma direc¸a˜o do deslocamento produzira´ uma acelerac¸a˜o ou, desace-
lerac¸a˜o se a forc¸a resultante, tiver a mesma direc¸a˜o, pore´m sentido oposto
ao movimento do corpo.
a =
1
m
F (66)
Quando sobre massas diferentes sa˜o aplicadas a mesma forc¸a F, pode-se
concluir que: quanto maior a massa, menor sera´ a acelerac¸a˜o do corpo de
massa m. Pode-se tambe´m representar a segunda lei de Newton por:∑−→
F =
−→
F resultante. (67)
A soma das componentes das forc¸as na direc¸a˜o de um eixo e, aplicadas
sobre a massa m, e´ igual a forc¸a resultante, isto e´:
Fx1 + Fx2 + Fx3 + ... = max. (68)
40
Figura 11: Massa suspensa
3.9 Terceira lei de Newton
Pode-se enuncia´-la assim:
A toda ac¸a˜o corresponde uma reac¸a˜o de mesmo mo´dulo de mesma direc¸a˜o
pore´m de sentido oposto.
Exemplo: Nosso corpo f´ısico, aplica sobre a Terra, uma forc¸a P=mg,
de cima para baixo. A Terra reage aplicando sobre nossos pe´s uma forc¸a de
mesmo valor com mesma direc¸a˜o e de sentido oposto.
Exerc´ıcios
1) Uma massa de 50 kg, esta´ suspensa por dois fios conforme a figura(11).
Determine as forc¸as FA e FB
2) O esquema da figura(12) representa um conjunto de treˆs blocos A, B, e
C, de massas 4 kg, 3 kg e 2 kg, respectivamente. Deslizam em um plano
horizontal, sem atrito. Sobre o bloco A e´ aplicado uma forc¸a horizontal F,
de intensidade 20 N, que movimentara´ o sistema. a) Determine a acelerac¸a˜o
do sistema;
b) A intensidade das forc¸as que os corpos exercem um sobre o outro.
41
3.9.1 Experimento: Queda livre
OBJETIVOS
• Construir e interpretar os gra´ficos que expressam a lei do movimento
dos corpos.
• Expressar matematicamente as leis de Newton.
PROBLEMA
Determinar experimentalmente a acelerac¸a˜o da gravidade aplicando a 2a
lei de Newton.
MATERIAL UTILIZADO
Tripe´ para queda livre; faiscador ele´trico; fitas termo-sens´ıvel; trena.
Tabela 11: Queda livre.
i t y vy
( s ) ( m ) ( m/s )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1) Com os dados da tabela(11), construa em papel milimetrado, o gra´fico
do [deslocamento x ti].
2) Fac¸a o gra´fico da [velocidade × ti ].
3)Pelo me´todo gra´fico, determine a acelerac¸a˜o respectiva.
42
Figura 12: Deslocamento de blocos
3.10 Forc¸as de atrito
A interac¸a˜o entre duas superf´ıcies produz uma forc¸a que se opo˜e ao
deslocamento de um dos corpos sobre o outro. Esta forc¸a e´ denominada de
forc¸a de atrito. Antes de o corpo entrar em movimento e´ dito forc¸a de
atrito esta´tico. E´ representado pela equac¸a˜o:
fe ≤ µeN (69)
sendo µe o coeficiente de atrito esta´tico e, N o mo´dulo da forc¸a normal.
Quando em movimento e´ dito forc¸a de atrito cine´tico. E´ representado
pela equac¸a˜o:
fc ≤ µcN (70)
Observa-se experimentalmente que fe > fc, isto e´, µe > µc.
Exerc´ıcio
Figura 13: Forc¸a de atrito entre duas superf´ıcies.
43
Figura 14: Determinac¸a˜o do coeficiente de atrito entre duas superf´ıcies.
1) Um bloco acha-se em repouso sobre um plano inclinado em relac¸a˜o
a horizontal, conforme a figura(14). Este aˆngulo θ e´ varia´vel e faz que o
bloco entre em movimento. Qual o coeficiente de atrito esta´tico entre o
bloco e o plano ?
3.11 Movimento Circular Uniforme
Quando um ponto material percorre uma trajeto´ria circular, com veloci-
dade constante em mo´dulo e se repetem na mesma unidade de tempo, diz-se
que ele possue um MCU.
O tempo dispendido pelo ponto material para realizar uma volta com-
pleta e´ denominado de per´ıodo ( T ). O nu´mero de vezes que se repete na
unidade de tempo e´ denominado de frequ¨eˆncia ( f ), assim
f =
1
T
(71)
A unidade da frequ¨eˆncia e´: ( s−1= Hz) =⇒ (Hertz).
3.12 Forc¸a centr´ıpeta
Um corpo que se move numa trajeto´ria circular e com mo´dulo da velo-
cidade v constante, a sua acelerac¸a˜o estara´ em qualquer instantes dirigida
para o centro do c´ırculo Fig.(15). E´ dada por ar =
v2
R . Esta acelerac¸a˜o
e´ denominada de radial. A forc¸a que atua sobre a massa m, e´ a causa-
dora da acelerac¸a˜o e, esta´ orientada para o centro. Recebe o nome de forc¸a
centr´ıpeta. De acordo com a segunda lei de Newton, o mo´dulo desta forc¸a
sera´:
F =
mv2
R
(72)
44
Figura 15: Movimento circular uniforme
Nesse caso a velocidade muda continuamente de direc¸a˜o, pore´m seu
mo´dulo permanece constante.
Segundo a terceira lei de Newton, o elemento f´ısico que produz a forc¸a
centr´ıpeta sobre a massa m, estara´ vinculado a ac¸a˜o de uma forc¸a de reac¸a˜o
produzida pela massa sobre ele. Esta forc¸a de reac¸a˜o tera´ sentido oposto a`
centr´ıpeta, deste modo, ela aponta para fora, segundo o raio de curvatura.
E´ chamada de forc¸a centr´ıfuga.
A a forc¸a centr´ıpeta e´ utilizada em aparelhos mecaˆnicos, para: secar
roupas nas centrifugadoras; nas pesquisas qu´ımicas e biolo´gicas com as ul-
tracentrifugadoras; no rotor, nos parques de diversa˜o.
As forc¸as centr´ıpetas dos casos mencionados, variam somente em direc¸a˜o,
assim como a acelerac¸a˜o, apontando sempre para o centro do circulo.
3.13 Aˆngulo hora´rio ou fase
Um objeto percorrendo uma trajeto´ria circular de raio R, conforme a
figura(16). A origem das posic¸o˜es e´ 0 e, P e´ a posic¸a˜os do objeto num
instante t qualquer.
Define-se como aˆngulo hora´rio ou fase - φ , a relac¸a˜o entre o arco da
trajeto´ria OP pelo raio R.
φ =
S
R
(73)
onde: φ e´ medido em radiano
S e´ o arco da trajeto´ria.
45
Figura 16: Aˆngulo hora´rio ou fase
3.14 Velocidade angular me´dia
Um objeto percorrendo uma trajeto´ria circular de raio R, conforme
figura(17) descreve em relac¸a˜o a origem O, um aˆngulo φ1 no instante t1
e no instante t2 o deslocamento angular φ2.
Figura 17: Trajeto´ria circular de um objeto.
A velocidade angular me´dia e´ definida pela relac¸a˜o:
ω =
φ2 − φ1
t2 − t1 (74)
A unidade de ω e´ radiano por segundo ( rad/s).
46
3.15 Acelerac¸a˜o angular me´dia
Um objeto percorrendo uma trajeto´ria circular, conforme figura(17) no
ins-tante t1 possue a velocidade angular ω1, e no instante t2 a velocidade
angular ω2. Define-se a acelerac¸a˜o angular me´dia pela relac¸a˜o:
α =
ω2 − ω1
t2 − t1 (75)
A unidade da acelerac¸a˜o angular e´ ( rad/s2).
3.16 Movimento Circular Uniformemente Variado
Relac¸a˜o entre a velocidade: linear e a angular
A equac¸a˜o(73)podera´ ser reescrita por:
S = φR
Quando o objeto material se desloca na trajeto´ria de um comprimento
muito pequeno ∆S, implica tambe´m um deslocamento angular ∆φ.
∆S = R∆φ (76)
Como este deslocamento aconteceu em um pequeno intervalo de tempo ∆t,
divide-se a equac¸a˜o(76) pelo respectiva variac¸a˜o do tempo.
∆S
∆t
= R
∆φ
∆t
(77)
onde:
lim
∆t→0
∆S
∆t
=
dS
dt
= v, ( velocidade tangencial ) e
lim
∆t→0
∆φ
∆t
=
dφ
dt
= ω ( velocidade angular ).
Finalmente:
v = ωR (78)
Relac¸a˜o entre as acelerac¸o˜es: angular e a tangencial.
A relac¸a˜o entre a acelerac¸a˜o tangencial no movimento circular at e an-
gular α, quando o ponto material sofre uma pequena variac¸a˜o da velocidade
tangencial ∆v e consequente variac¸a˜o davelocidade angular ∆ω.
∆v = ∆ωR (79)
47
Sendo que estas variac¸o˜es aconteceram em pequeno intervalo de tempo ∆t,
tem-se:
∆v
∆t
=
∆ω
∆t
R (80)
sendo:
lim
∆t→0
∆v
∆t
=
dv
dt
= at ( acelerac¸a˜o tangencial ) e
lim
∆t→0
∆ω
∆t
=
dω
dt
=
d
dt
[
dφ
dt
] =
d2φ
dt2
= α ( acelerac¸a˜o angular ).
at = αR (81)
O mo´dulo a acelerac¸a˜o resultante e´ dado por:
Figura 18: Movimento circular uniformemente variado
a =
√
a2r + a
2
t (82)
3.17 Peˆndulo simples
E´ o sistema constitu´ıdo por uma massa presa na extremidade de um fio
inextens´ıvel e de massa desprez´ıvel, que ao ser afastado de sua posic¸a˜o de
equil´ıbrio, oscila verticalmente, sem atrito, em torno do eixo que passa pela
outra extremidade.
Analisaremos as componentes das forc¸as que atuam nos pontos A, B e
C, conforme a figura(19).
48
Figura 19: Peˆndulo simples
No ponto A, segundo a direc¸a˜o do raio:
T −mgcos(θ
2
) = Fc (83)
Quando a massa pendular atinge a elongac¸a˜o ma´xima, ela ira´ parar, isto
e´, v=0, implica que a forc¸a centr´ıpeta em A e´ nula, ver equac¸a˜o(72). Somente
a componente de trac¸a˜o ( T ), resultante na decomposic¸a˜o do peso segundo
raio existira´. Substitu´ındo Fc = 0, na equac¸a˜o(83),obte´m-se:
TA = mgcos(
θ
2
) (84)
Perpendicular ao raio, ou tangenciando a trajeto´ria no ponto A, temos:
Ft +mgsen(
θ
2
) = 0 (85)
Observa-se que a forc¸a tangencial (Ft) e´ uma forc¸a restauradora,
aponta sempre segundo o ponto de equil´ıbrio do sistema que e´ o ponto B.
Substitu´ındo Ft = mat, na equac¸a˜o(85),obte´m-se:
at = −gsen(θ
2
) (86)
No ponto B, se substituirmos na equac¸a˜o(86), ( θ
2
) por φ e este por 0o,
teremos a acelerac¸a˜o tangencial (at = 0).
49
Figura 20: Forc¸as que atuam no ponto A, no peˆndulo simples.
Assim que a massa pendular iniciar o seu movimento oscilato´rio, a ve-
locidade v tangencial a trajeto´ria ira´ crescer em mo´dulo, ate´ atingir um
ma´ximo em B.
As forc¸a que atuam no ponto ( B )- ponto de equil´ıbrio do sistema, sera˜o:
Segundo a vertical:
TB −mgcos(0o) = Fc (87)
TB = m
v2
L
+mgcos(0o) (88)
Na horizontal em B, qual sera´ a resultante ?
Comparando as equac¸o˜es (81) com (86), substitu´ındo R por L, teremos:
αL = −gsen(θ
2
) (89)
como α = d
2θ
dt2
L
d2θ
dt2
+ gsen(
θ
2
) = 0 (90)
50
A soluc¸a˜o aproximada, para aˆngulos menores que 15o e´:
θ = θ0 cos(
√
g
L
t), (91)
resultando:
T = 2π
√
L
g
(92)
e a soluc¸a˜o exata depende do aˆngulo, e sua deduc¸a˜o podera´ ser encontrada
em[3, 33].
T = 2π
√
L
g
{1 + (1
4
) sin2(
θ0
2
) + (
9
64
) sin4(
θ0
2
) + ...} (93)
51
3.17.1 Experimento: Peˆndulo simples
OBJETIVOS
• Verificar atrave´s de gra´ficos a dependeˆncia da oscilac¸a˜o do peˆndulo
simples;
• Expressar matematicamente a lei do peˆndulo.
PROBLEMA
Determinar a as influeˆncias da massa e o comprimento e do aˆngulo
na oscilac¸a˜o do peˆndulo simples.
MATERIAL UTILIZADO
Suporte fixo; fio; cronoˆmetro; trena.
Tabela 12: Peˆndulo Simples.
L constante
i T L T θ
2
( s ) ( m ) ( s ) (o)
1 5
2 10
3 15
4 20
5 25
6 30
7 35
8 40
1) Com os dados da tabela(12), construa em papel milimetrado, o gra´fico
do [Ti × Li ].
2)Pelo me´todo gra´fico, determine a acelerac¸a˜o da gravidade.
3)Fac¸a o gra´fico da [Ti × θ2 ].
4) O per´ıodo depende da massa pendular ?
5) O per´ıodo depende do aˆngulo ?
52
3.18 Trabalho
Trabalho e´ definido pelo produto da componente da forc¸a aplicada sobre o
ponto material pela distaˆncia que o mesmo foi deslocado.
W = Fd cos(θ) (94)
Para:
θ < 90o, o trabalho e´ positivo;
θ = 90o, o trabalho e´ nulo;
θ > 90o, o trabalho e´ negativo.
A unidade do trabalho no Sistema Internacional e´ o joules (J).
Figura 21: Trabalho.
1 J = N * m
3.19 Poteˆncia
Define-se a poteˆncia como o trabalho realizado por uma forc¸a no inter-
valo de tempo.
P =
W
∆t
(95)
Poteˆncia tem por unidade W (watt)
W =
J
s
.
Usa-se tambe´m o quilowatt (kW)
kW = 103W
53
Figura 22: Energia cine´tica.
A poteˆncia tambe´m pode ser calculada por:
P =
Fd
t
= Fv (96)
3.20 Energia
Diz-se que um corpo ou um sistema tem energia, quando tem capacidade
de realizar trabalho. Existem va´rias formas de energia, tais como: energia
te´rmica, energia ele´trica, energia potencial. Estudaremos energias sob a
forma de:
• energia cine´tica ou de movimento;
• energia potencial.
3.20.1 Energia cine´tica
Consideremos um corpo de massa m, inicialmente em repouso, atua sobre
ele uma forc¸a de intensidade F constante, durante um intervalo de tempo t.
Decorrido esse tempo, possue velocidade v e, foi deslocado de uma distaˆncia
d.
O trabalho e´:
W = Fd = mad (97)
Substitu´ındo x por d na equac¸a˜o(56), tem-se:
d =
a
2
t2. (98)
Substitu´ındo a equac¸a˜o (98) na (97), tem-se:
W =
1
2
mv2 = K (99)
54
Sendo K a energia cine´tica. Sua unidade tambe´m e´ o joule ( J ).
Tomando a equac¸a˜o(55) e, substituindo x por d, isolando ad, teremos:
ad = (
v2 − v2o
2
) (100)
substitu´ındo na equac¸a˜o(97)
W = Fd = m(
v2 − v2o
2
)d (101)
W = Fd =
1
2
mv2 − 1
2
mv2o (102)
“ O trabalho realizado pela forc¸a resultante que atua sobre um ponto ma-
terial e´ igual a` variac¸a˜o da energia cine´tica do mesmo.”[26, cap. 8]. Esta
equac¸a˜o e´ conhecida por teorema da energia cine´tica.
3.20.2 Energia potencial
O trabalho necessa´rio para deslocar um corpo na vertical de um referen-
cial a outro diferente, e´ dado pela equac¸a˜o(97). Substitu´ındo a por g e, d
por h, teremos
W = mgh = U (103)
Exemplo: Para deslocar a massa pendular, figura(19), de B ate´ A, o deslo-
camento vertical e´ dado por:
h = L− Lcos(θ
2
),
substitu´ındo na equac¸a˜o(103), tem-se:
W = mgh = mgL(1− cos(θ
2
)) = U. (104)
A energia potencial de uma mola e´ dado por
U =
1
2
kx2 (105)
3.21 Princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia
Um sistema e´ dito conservativo quando sua energia permanece constante.
Depende somente do ponto inicial e o ponto final. Independe da trajeto´ria
percorrida. A equac¸a˜o da energia mecaˆnica, para um ponto inicial e´ dada
por:
Ei = Ki + Ui (106)
e para o ponto final
Ef = Kf + Uf (107)
55
isto e´,
Ef = Ei
Kf + Uf = Ki + Ui (108)
Somente na auseˆncia de forc¸as na˜o conservativas, ou quando se pode des-
prezar o trabalho por elas realizado, e´ que podemos admitir a conservac¸a˜o
da energia mecaˆnica.
56
4 HIDROESTA´TICA
Densidade
A relac¸a˜o entre a massa de qualquer material com o seu volume, e´ de-
nominado de densidade ou massa espec´ıfica. Um material e´ dito ho-
mogeˆneo quando possui a mesma densidade em qualquer lugar no seu corpo.
ρ =
m
V
(109)
A unidade da densidade e´
g/cm3 = 103kg/m3
Tabela 13: Densidade de algumas substaˆncias a 0oC e 1 atmosfera.
MATERIAL DENSIDADE (kg/m3)
Ar 1,293
A´lcool et´ılico 0,81 x 103
Benzeno 0,90 x 103
Gelo 0,92 x 103
A´gua 1,00 x 103
A´gua do mar 1,03 x 103
Glicerina 1,26 x 103
Alumı´nio 2,7 x 103
Cobre 8,9 x103
Madeira (pinho) 0,42 x 103
Mercu´rio 13,6 x 103
Pressa˜o em um fluido
Um ga´s ou um l´ıquido em repouso em um recipiente, exerce forc¸a per-
pendicular na superf´ıcie que o conte´m. Reciprocamente podemos dizer que
todo corpo imerso em fluido, sua superf´ıcie esta´ submetido a forc¸as perpen-
diculares a ela no ponto considerado. Pela terceira lei de Newton, no lado
oposto a superf´ıcie existira´ uma forc¸a de mesmo mo´dulo e direc¸a˜o pore´m de
sentido oposto.
Considerando-se uma pequena superf´ıcie de a´rea A e uma forc¸a F
perpendicular a esta superf´ıcie. A ac¸a˜o desta forc¸a sobre a superf´ıcie do
fluido exercera´ uma pressa˜o p, a qual e´ definidapor:
p =
F
A
(110)
57
Figura 23: Pressa˜o nas superf´ıcies de um cilindro, constitu´ıdo do pro´prio
l´ıquido
A unidade de pressa˜o no SI, e´ o pascal
1pascal = 1Pa = 1N/m2
outras unidades ainda em uso, relativo a` pressa˜o[35, Apeˆndice E].
1Pa = 1, 450x10−4lb/in.2 = 0, 209lb/ft2
1bar = 105Pa
1atm = 1, 013x105Pa = 1, 013bar
1mmHg = 1torr = 133, 3Pa
Na meteorologia e´ muito usado o bar = 105 Pa, e o milibar = 100 Pa.
Observa-se que pressa˜o e´ uma grandeza escalar.
4.1 Princ´ıpio fundamental da hidrosta´tica
“A diferenc¸a de pressa˜o entre dois pontos de um l´ıquido em equil´ıbrio
e´ igual ao produto da diferenc¸a de n´ıvel entre os dois pontos pelo peso
espec´ıfico do l´ıquido e pela gravidade.”[11, p.312], ver Fig.(24).
p2 − p1 = hρg (111)
Supondo-se um l´ıquido em equil´ıbrio. Isto e´, uma porc¸a˜o do l´ıquido de
forma cilindrica dentro do pro´prio l´ıquido e que na˜o esteja em movimento
58
de translac¸a˜o ou de rotac¸a˜o, ver figura(23).
Como o l´ıquido esta´ em equil´ıbrio, pela segunda lei de Newton, a resul-
tante das forc¸as que agem sobre ele, e´ nula:
As componentes das forc¸as verticais que atuam sobre ele sera˜o:
F2 − F1 − P = 0 (112)
onde:
F1 −→ forc¸a aplicada no lado superior do cilindro;
F2 −→ e´ forc¸a de reac¸a˜o aplicada no lado inferior do cilindro;
P −→ peso do cilindro.
F2 − F1 = P (113)
Dividindo os dois membros pela a´rea da sec¸a˜o reta do cilindro ( supondo
suficientemente pequena para que as bases horizontais possam ser tomadas
por pontos), resulta:
F2
S
− F1
S
=
P
S
(114)
resultando:
p2 − p1 = mg
S
(115)
Isolando m na equac¸a˜o(109) e substitu´ındo na equac¸a˜o acima, tem-se:
p2 − p1 = ρ(Sh)g
S
(116)
sendo h a altura do cilindro
p2 − p1 = ρgh (117)
∆p = ρgh (118)
Por outro lado:
“Dois pontos situados no mesmo n´ıvel de um l´ıquido em equil´ıbrio suportam
presso˜es iguais”[11].
Consideremos um l´ıquido em equil´ıbrio e duas forc¸as horizontais, tal
como as da figura(23). Considerando ainda que a a´rea onde esta˜o aplicadas
tendem para um ponto.
Logo, a resultante das forc¸as horizontais que atuam no mesmo n´ıvel,
deve ser nula para o sistema em equil´ıbrio.
FA = FB (119)
Dividindo esta equac¸a˜o pela a´rea onde as forc¸as esta˜o aplicadas
FA
S
=
FB
S
, (120)
59
Figura 24: Pressa˜o em dois pontos quaisquer no l´ıquido
e usando a definic¸a˜o de pressa˜o equac¸a˜o(110), resulta:
pA = pB. (121)
Conclui-se que: em todos os pontos de mesmo n´ıvel em um l´ıquido, a pressa˜o
e´ a mesma.
Logo a diferenc¸a de pressa˜o entre os pontos 1 e 2 sera´:
p2 − p1 = ρgh (122)
Se considerarmos o ponto p1 na superf´ıcie do l´ıquido, ele assumira´ o valor
da patm e a pressa˜o p2 sera´:
p2 = patm + ρgh (123)
Exerc´ıcios
1) Consideremos dois l´ıquidos imisc´ıveis em dois vasos comunicantes,
figura(25), que conte´m mercu´rio (ρ = 13, 6g/cm3) e uma resina l´ıquida. O
mercu´rio esta´ 3 cm da superf´ıcie de separac¸a˜o dos dois l´ıquidos; a superf´ıcie
da resina l´ıquida esta´ 25 cm acima do mesmo n´ıvel de separac¸a˜o. Qual a
densidade deste produto ?
Soluc¸a˜o:
Como os pontos A e B esta˜o no mesmo n´ıvel de refereˆncia, temos:
pA = pB
pA = p0 + ρ1gh1 (124)
60
Figura 25: Pressa˜o em dois l´ıquido que na˜o se misturam
Figura 26: Pressa˜o em l´ıquido que na˜o se misturam.
e
pB = p0 + ρ2gh2 (125)
Comparando e simplificando, resulta:
ρ1h1 = ρ2h2 (126)
Calcule o valor de ρ1.
61
Figura 27: Um corpo cil´ındrico dentro de um l´ıquido
2) Um tubo em U, figura(26-a), conte´m mercu´rio( ρ = 13, 6g/cm3). Os
dois ramos do tubo possuem a mesma sec¸a˜o reta ( A= 1 cm2). No ramo da
esquerda foi introduzido 25 cm3 de a´gua e tambe´m 15 cm3 de benzeno - ver
tabela(13).
a) Qual o desn´ıvel do mercu´rio ?
b) Se fosse colocado benzeno em um dos ramos da figura(26-b)e a´gua no
outro?
4.2 Princ´ıpio de Arquimedes
“Todo corpo mergulhado em um l´ıquido fica submetido a` ac¸a˜o
de uma forc¸a vertical, orientada de baixo para cima, de mo´dulo
igual ao peso do l´ıquido deslocado, cujo suporte passa pelo ponto
onde se encontrava o centro de gravidade do l´ıquido deslocado.”[11,
p.324]
Um corpo de forma cilindrica, imerso em um l´ıquido, conforme a figura(27),
suas faces superior e inferior ficam submetidas a uma diferenc¸a de pressa˜o
dada por:
p2 = p1 + hρg (127)
sendo ρ a densidade do l´ıquido deslocado pelo corpo. Multiplicando a
equac¸a˜o(127) pela a´rea A da sec¸a˜o reta do cilindro
Ap2 = Ap1 +Ahρg (128)
onde Ap2 = F2, Ap1 = F1 e A h e´ o volume do l´ıquido deslocado.
F2 − F1 = V ρg. (129)
62
F2 − F1 e´ denominado de empuxo E, isto e´
E = V ρg (130)
onde:
V ρ g representa o peso do l´ıquido deslocado pelo corpo e,
V e´ o volume do corpo que se encontra submerso.
Todo corpo mergulhado em um l´ıquido esta´ sujeito a ac¸a˜o de duas forc¸as:
o pro´prio peso e o empuxo efetuado pelo l´ıquido. Aplicando a segunda lei
de Newton, teremos as seguintes situac¸o˜es:
a) O peso do corpo e´ maior que o empuxo
F = P − E (131)
implica que ρcorpo > ρliq.
b) O peso e´ menor que o empuxo
F = E − P (132)
implica que ρcorpo < ρliq.
c) O peso e´ igual ao empuxo
P = E (133)
e ρcorpo = ρliq.
63
4.2.1 Experimento: Densidade
OBJETIVOS
• Determinar a densidade de alguns so´lidos e l´ıquidos.
PROBLEMA
A constante ela´stica de uma mola e´ dada por:
k =
P
∆l
(134)
6
?
l0
?
−→
Pa
Liqu´ıdo
6
−→
E
6
?
l2
6
?
l1
?−→
P1
6
−→
F
Figura 28: Aplicac¸a˜o do Princ´ıpio de Arquimedes
Um corpo suspenso por uma mola, exerce uma forc¸a vertical
−→
P1 sobre a
mola e cujo mo´dulo e´:
P1 = k(l1 − l0) (Peso real do corpo) (135)
O corpo suspenso quando mergulhado na a´gua tera´ um peso aparente (Pa)
e sera´ dado por:
Pa = k(l2 − l0) (136)
64
sendo (l2 ) a deformac¸a˜o da mola apo´s a introduc¸a˜o do corpo dentro do
l´ıquido e (l0 ) o comprimento inicial da mola, conforme pode-se ver pela
figura(28).
Dividindo a equac¸a˜o(136) pela (135), obtemos:
Pa
P1
=
k(l2 − l0)
k(l1 − l0) (137)
Pa = P1
(l2 − l0)
(l1 − l0) (138)
O peso aparente e´ resultado de
Pa = P1 − E (139)
onde
P1 = m1g, e´ o peso real do corpo;
E e´ o empuxo exercido pelo l´ıquido sobre o corpo.
Por definic¸a˜o o empuxo E e´ igual o peso do volume do l´ıquido deslocado,
ver equac¸a˜o(130).
E = mliqg (140)
mas a massa do l´ıquido sera´ obtido da eq.(109),
mliq = ρV (141)
assim o peso aparente dado pela equac¸a˜o(139), sera´:
Pa = m1g − (ρV )g (142)
Substitu´ındo a equac¸a˜o(138)
m1g(
(l2 − l0)
(l1 − l0)) = m1g − (ρV )g (143)
Simplificando e isolando ρ, obte´m-se:
ρ =
m1
V
(1− l2 − l0
l1 − l0 ) (144)
onde:
ρ e´ a densidade do l´ıquido;
m1
V = ρ1 e´ a densidade do corpo.
ρ = ρ1(1− l2 − l0
l1 − l0 ) (145)
Finalmente isolando ρ1, encontramos a equac¸a˜o para determinar a den-
sidade do corpo mergulhado no l´ıquido:
ρ1 = ρ(
l1 − l0
l1 − l2 ) (146)
65
MATERIAL UTILIZADO:
Suporte para prender a mola, mola, trena, massas, balanc¸a, proveta,
a´gua, a´gua com sal, a´lcool.
PROCEDIMENTOS:
1) Mec¸a o comprimento inicial da mola:
l0= ( ± ) cm.
2) Mec¸a o comprimento da mola quando o corpo esta´ suspenso:
l1= ( ± ) cm.
3) Determine o volume inicial do l´ıquido na proveta:
V0= ( ± )cm3.
4) Mec¸a o comprimento da mola quando o corpo esta´ imerso:
l2= ( ± ) cm.
5) Determine o volume final na proveta (com o corpo dentro do l´ıquido):
V1= ( ± )cm3.
6) Determine a densidade (ρ1) do so´lido atrave´s da equac¸a˜o(146):
ρ1= ( ± )g/cm3.
7) Determine o peso do l´ıquido deslocado ( empuxo ). Usar g = 978,9 cm/s2.
E = ( ± )dina.
8) Substitua a a´gua da proveta por a´gua salgada (soluc¸a˜o 6:1 em peso).
9) Repita os itens 2 a 7, e preencha a tabela(14).
10) Substitua a a´gua