Exemplo de determinação da máxima carga de cálculo de uma vig a contínua

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Uel-CTU Depto de Estruturas Concreto Estrutural I Prof. Roberto Buchaim 12/09/2012 pag. 1 
 
Exemplo de determinação da máxima carga de cálculo de uma viga contínua 
Dados: ��� = 30	�	
, ���
 =
�,�����
��
= 18,21	�	
, aço CA-50 ��� =
���
��
= 435	�	
 
Seção transversal: �; ℎ; ; ! = 250; 850; 784; 66	$$ 
Armadura: %&,'ã) = %&* = 1448	$$+ 
Tipo de carga e geometria da viga contínua: 
 
 
 
 
 
Figura 1 
 
Solução: 
(a) Determinação do momento resistente de cálculo para flexão simples, com armadura 
simples 
Para a taxa mecânica ,� =
�
�
=
-���.
/���.0
=
11�×13�
+��×4�1×
�,+
= 0,1763 < 0,8 × 0,45 = 0,36, a 
seção é dúctil. O momento resistente vale: 6� = ,�71 − 0,5,�9 = 0,1608, e, portanto, 
 �� = 6�� 
+���
 = 0,1608 × 250 × 784
+ × 18,21 × 10:; = 450	<=$. 
Este momento do Estádio III no diagrama momento-curvatura, na situação de cálculo, é 
constante, como mostra a Figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Momento-curvatura para as resistências de cálculo ���
 e ��� 
 
(b) Cálculo da carga para a formação da 1ª. rótula plástica 
Na viga contínua da Figura 1, a 1ª. rótula plástica se forma no apoio B, pois aí se localiza o 
máximo momento da distribuição elástica, o qual vale ���
 =
>.�0?
@
�
, enquanto o máximo 
% 
A 
% B = 10	$ B = 10	$ 
C� = D�C� 
��7<=$9 
7
1
E
9	$:
 
450 
F = GHíJGK 
	 K	LMJK
$LHNK 
O�� = 2,07/1000 
 
Q = L�KE$
çãK 
	BG$GNL	
NGHSG 
 
O�T =
3,5
1000
KU	O&,?VW = 80/1000 
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momento solicitante no vão é menor que este valor e igual a $
X��,'ã) =
Y>.�0?
@
+�
=
Z
0@[
0
[
>.�0?
@
�
= 0,5625 × 450 = 253,1	<=$. Note-se que no vão o momento resistente é maior 
que este valor e igual a 450	<=$. Portanto, não foi ainda atingido. 
Como em B �� = ���
 = 450	<=$, esta carga vale C��
 =
�×1��
�@
= 36	<=/$. Nesta etapa 
forma-se uma rótula plástica em B (ponto Y da Figura 2), que passa a ter rotação plástica, sem 
que o momento nela se altere, para aumento do carregamento. 
(c) Cálculo do acréscimo de carga até a formação da segunda rótula plástica 
A partir desta etapa, dá-se um acréscimo ∆C� na carga para que seja atingido no vão o momento 
de plastificação, que no exemplo é também igual a �� = ��� = 450	<=$, pois a seção e a 
armadura são iguais às do apoio. Como o momento em B não mais se altera, a viga se comporta 
como isostática para o acréscimo de carga ∆C�, com um par de momentos conhecidos 
aplicados em B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Cálculo da carga que leva à formação da rótula plástica no vão 
 
 
A reação em A é ^- = 5C��+ −
_.�
�
= 5C��+ − 45, e o ponto onde o cortante é nulo decorre de 
^- − C��+X̅ = 0, ou X̅ = 5 −
1�
>.�@
. Usando esta abscissa, calcula-se o máximo momento no vão, 
conhecido e dado por 450 = 75C��+ − 459X̅ − C��+
a̅@
+
. Como são duas incógnitas,	7X̅, C��+9, 
insere-se	X̅	nesta equação e resolve-se por tentativas, obtendo-se C��+ = 52,456	<=/$, e, 
portanto, X̅ = 4,142	$. 
Logo, a partir da formação da 1ª. rótula (em B), foi possível aumentar a carga em ∆C� = C��+ −
C��
 = 52,46 − 36 = 16,46	<=/$. Este acréscimo de carga constitui a redistribuição dos 
B = 10	$ B = 10	$ 
C��+ 
% 
A 
% 
��� = 450	<=$ 
X 
% 
A ��� = 450	<=$ ��� = 450	<=$ 
% 
X̅	
	Rótula	sem	momento 
 Rótula com momento 
 
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esforços solicitantes, típico apenas das estruturas hiperestáticas. Com isto, chega-se a um 
estágio em que não é mais possível nenhum acréscimo de carga na viga contínua, pois nos dois 
vãos há três rótulas em cada qual, formando um mecanismo. Ou seja, a estrutura transformou-se 
em hipostática. Assim, a máxima carga a que a viga resiste é C��+ = 52,456	<=/$, e em valor 
característico, C��� =
�+,1�;
,1
= 37,47 ≅ 37,5
�n
W
. Nas Figuras 4 e 5, confere-se os resultados 
pelo Ftool. 
A redistribuição de momentos fletores é feita com referência à solução elástica, através do 
coeficiente o = _.,pq.r�sprtuí.v
_.,qwá�sr�r.y.q	wrzqyp
=
1��
�+,1�;×
�@/�
=
1��
;��,4
= 0,69. Isto quer dizer que 31% do 
momento elástico em B foi redistribuído para o vão, aumentando-o de Y
+�
52,456 × 10+ =
368,8	<=$ para 450	<=$, com uma alteração na posição de cortante nulo, na elástica igual a 
0,375B e na atual 0,4142B. 
Na verdade, é preciso controlar a rotação plástica na rótula B, que gira desde a sua formação 
até o início da formação da segunda rótula plástica (no vão), para que não seja ultrapassada em 
B nenhuma deformação limite, seja a do concreto, seja a da armadura. Isto será visto em outra 
parte do curso. 
Como sugestão, o leitor pode repetir este exercício, escolhendo, por exemplo, %&* =
1,5%&,'ã) = 1,5 × 1448 = 2172	$$
+
.
 
Figura 4: Momentos fletores de cálculo �� 
 
X̅=4,142 m 
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Figura 5: Diagrama de força cortante }� e reações de apoio ^� 
 
Finalmente, note-se que: 
(1) Houve redistribuição também na força cortante e nas reações de apoio, que na solução 
elástica seria, p.ex., ^-,~?&€V�V��~	?V~‚ = 0,375C��+B = 196,7	<= e na atual 
^-,‚~�V&€‚V/Tí�) = 0,4142C��+B = 217,3	<=. 
(2) Se houvesse no apoio B um recalque diferencial em relação aos apoios A, o seu efeito 
praticamente desapareceria na formação do mecanismo, quando a estrutura transforma-
se em isostática, e em seguida hipostática, perdendo sua rigidez. 
X̅=4,142 m