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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
5 FLEXÃO SIMPLES – CONCEITOS E DIMENSIONAMENTO
5.1 Solicitações normais
Conforme os conceitos da resistência dos materiais, esforços solicitantes são entes mecânicos aplicados 
na seção transversal da peça ou elemento estrutural referidos ao seu centro de gravidade. Nas peças de 
concreto estrutural, armado ou protendido, os esforços solicitantes atuantes são calculados tomando-se 
como polo de redução dos esforços o centro de gravidade da seção geométrica da peça, sem consideração 
da armadura.
As solicitações normais são os esforços solicitantes atuantes nas seções transversais que produzem 
tensões normais, ou seja, compressão e tração. 
Os esforços que correspondem às solicitações normais são o momento fletor e a força normal.
5.2 Tipos de flexão
No caso das seções sujeitas a esforços de flexão, dividimos o seu estudo, separando-as em dois 
grupos, em função das solicitações normais atuantes, conforme as seguintes denominações:
• Flexão simples: quando a seção está sujeita apenas ao momento fletor.
• Flexão composta: quando a seção está sujeita ao momento fletor e à força normal.
Nesses casos, a flexão simples poderá ser denominada também flexão pura, enquanto a flexão 
composta poderá ser denominada compressão excêntrica – flexo-compressão ou flexo-tração –, em 
função da força normal atuante, seja ela de compressão ou de tração.
A flexão, quer seja simples ou composta, pode ser:
• Reta: quando o plano em que age o momento fletor corta a seção transversal da peça segundo 
um dos eixos principais de inércia.
• Oblíqua: quando a condição de reta não se verifica.
A seguir, será estudado o dimensionamento das peças de concreto armado na flexão simples 
reta, de acordo com os conceitos de segurança abordados anteriormente, de acordo com a NBR 6118 
(ABNT, 2014). Esses conceitos são aplicados no dimensionamento de lajes e vigas.
Unidade II
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Unidade II
Nota-se que, no dimensionamento de seções à flexão simples, os efeitos dos esforços cortantes 
podem ser considerados em separado, quando forem estudadas as solicitações tangenciais. Portanto, 
para a flexão será considerado somente o momento fletor, ou seja, a flexão pura. 
5.2.1 Mecanismo de resistência de uma seção à flexão
Se analisarmos uma seção transversal de largura b e altura h, como a indicada a seguir, sujeita a um 
momento fletor M, nota-se a necessidade de uma armadura de tração, composta por barras de aço, cuja 
área total é As. O centro de gravidade dessa armadura localiza-se a uma distância d da borda comprimida 
do concreto (deve-se observar a necessidade do cobrimento dessa armadura), e d é denominada altura 
útil da seção (h é denominada altura total).
h
d
x x
M
εs
z
Rcc
RstAs
b
εc
Figura 14 – Mecanismo de resistência do concreto à flexão simples (armadura simples)
O cálculo da armadura necessária para resistir a esse momento aplicado à seção é calculado por 
meio do equilíbrio dos esforços na seção. O momento provoca o giro da seção em relação a uma linha 
horizontal, denominada linha neutra, ou LN, em que a tensão é nula – conforme os conceitos de 
resistência dos materiais. A altura da linha neutra é denominada x, medida a partir da borda comprimida.
Como no caso o momento é positivo, acima da LN teremos compressão na seção, e abaixo da LN, 
tração. O concreto responde à compressão com uma reação do concreto à compressão (Rcc). Abaixo da 
LN haverá tração, e admite-se que o concreto não tem condições de resistir. A resistência à tração será 
dada pela armadura tracionada, Rst (a letra s se refere ao aço, e t à tração). 
O valor de Rcc é calculado em função da área comprimida e da resistência do concreto à compressão, 
e o valor de Rst é dado multiplicando-se a área de aço As pela tensão no aço. Os valores das tensões são 
correspondentes às respectivas deformações específicas de concreto e aço. 
O equilíbrio das forças impõe Rcc = Rst. A distância entre o centro das cargas, denominado z, ou 
braço de alavanca, deve ser tal que o binário dessas duas cargas consiga resistir ao momento aplicado. 
Assim, teremos: 
M = Rcc z ∙ Rst z
71
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
A formulação do cálculo é feita a partir dessas duas equações, aplicando as características de cada 
um dos dois materiais e considerando os coeficientes de ponderação preconizados pela NBR 6118 
(ABNT, 2014).
5.3 Estádios do concreto
Para compreender o comportamento de uma seção transversal de uma peça de concreto armado 
sujeita à flexão pura, o procedimento usual consiste em aplicar um momento fletor a partir do valor inicial 
igual a zero e aumentá-lo gradualmente até atingir um valor que provoque a ruptura da peça. Durante 
esse processo, a seção transversal da peça de concreto armado passa por três fases, denominadas estádios. 
1
Deformações
Estádio I Estádio II Estádio III
Deformações DeformaçõesTensões Tensões Tensões
1 1 11 1 1
x1
x2
xu
Z1 Z2
MI MII
Rc1
Rc2
P P Pε1 ε2 εuσ1 σ2 σu
1 1 1 111Q Q Q
M
As As As As Rsu
Zu
Mu
Rcu
Rs1 Rs2
Figura 15 – Comportamento da seção transversal de uma viga de concreto armado na flexão normal simples 
5.3.1 Estádio I 
O estádio I corresponde ao início do carregamento. Nessa fase, as tensões normais que surgem, 
tanto de tração quanto de compressão, são de baixa magnitude, e o concreto ainda é capaz de resistir às 
tensões de tração. As deformações específicas longitudinais são proporcionais às tensões normais, isto é, 
a seção transversal se comporta segundo a lei de Hooke, apresentando um diagrama linear de tensões, 
conforme indicado a seguir. 
d
MIh
Estádio I
Deformações Tensões
Seção transversal Corte lateral εct
εcc σcc
σct ≤ fct
Rct
XI
LN
Rcc
Figura 16 – Seção transversal de concreto no estádio I
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Unidade II
À medida que o carregamento (momento fletor) cresce, as tensões de tração nas fibras mais 
inferiores também crescem, aproximando-se do valor da resistência à tração do concreto. Quando 
essa resistência é ultrapassada, ocorre a fissura da seção transversal na região tracionada e o estádio I 
chega ao fim. 
Uma vez que a resistência do concreto à tração é muito baixa, se comparada com a resistência à 
compressão, não é economicamente viável dimensionar peças de concreto armado nesse estádio. 
5.3.2 Estádio II 
No estádio II a região da seção transversal que se encontra em tração está em grande parte fissurada, 
pois a resistência à tração do concreto já foi superada em quase toda ela. Assim, é comum desprezar a 
contribuição do concreto na resistência à tração no estádio II, ficando o aço das armaduras responsável 
por resistir a sua totalidade de tensões. Na região da seção transversal que se encontra em compressão, 
o concreto ainda se comporta segundo a lei de Hooke, mantendo um diagrama linear de tensões 
conforme indicado a seguir. 
Estádio II
Deformações Tensões
LN (Estádio I)
LN
XIIMII
Rs
Rcc
εcc
εs
σcc
Corte lateralSeção transversal
d
h
Figura 17 – Seção transversal de concreto no estádio II
À medida que o carregamento (momento fletor) cresce, as fissuras caminham no sentido da região 
comprimida (são visíveis), a linha neutra também caminha no sentido da região comprimida (diminuindo 
seu comprimento). Isso significa que a porção de concreto na seção transversal destinada a resistir às 
tensões de compressão se aproxima do limite elástico do concreto. Assim, é usual definir que o estádio II 
termina quando ocorre o início da plastificação do concreto comprimido. Ao final dessa fase, a tensão 
na armadura também é elevada, podendo atingir o escoamento ou não. 
 Observação 
Podemos dizer de forma simplificada que estádios I e II são aqueles que 
correspondem às situações reais de serviço, ou seja, quando ocorrem as 
ações reais.
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
5.3.3 Estádio III 
No estádio III, o concreto situado na região comprimida da seção transversal encontra-se em 
plastificação e na iminência da ruptura. A fibra mais comprimida do concreto começa a escoar a partir 
da deformaçãoespecífica de 2‰, chegando a atingir seu valor máximo de deformação específica, 
3,5‰. Nesse intervalo de deformações, o diagrama de tensões tende a ficar vertical, com a maioria 
de suas fibras trabalhando com sua tensão máxima, ou seja, estão com deformações acima de 2‰. 
A peça está muito fissurada, com essas fissuras se aproximando da linha neutra, dessa maneira, a 
sua profundidade diminui e consequentemente a região comprimida do concreto também diminui. 
Admite-se, como uma simplificação de cálculo, que o diagrama de tensões possa ser substituído pelo diagrama 
simplificado parábola-retângulo, sendo o trecho em parábola correspondente às deformações entre 0‰ 
e 2‰, e o trecho retangular correspondente ao intervalo entre 2‰ e 3,5‰ de deformação específica. 
A figura a seguir apresenta as deformações e tensões na seção transversal da peça de concreto armado no 
estádio III, considerando o diagrama simplificado de tensões para o concreto.
Estádio III
Deformações Tensões
LN (Estádio II)
LN
XIII
MIII
Rs
Rcc
εcc = 0,35%
εs
σcc
Corte lateralSeção transversal
d
h
0,2%
Figura 18 – Seção transversal de concreto no estádio III
 Observação 
Estádio III é aquele que corresponde ao estado-limite último, cujas ações são 
majoradas e as resistências minoradas, e só acontecem em situações extremas.
O dimensionamento de estruturas de concreto armado é feito nesse 
estádio, já que o objetivo principal é que as estruturas resistam aos esforços 
de maneira econômica, porém sem que haja seu colapso.
5.4 Estudo geral do método clássico de cálculo
O método clássico de cálculo é o nome que se dá ao método adotado desde o início da história do 
concreto armado, baseado nas tensões admissíveis dos materiais, em contraposição ao método mais 
recente, baseado na sua ruptura.
74
Unidade II
Para calcular pelo método clássico, adaptamos ao concreto armado as equações deduzidas na 
resistência dos materiais.
5.4.1 Fundamentos
5.4.1.1 Estados últimos
De modo tradicional, a ruptura das peças de concreto estrutural é caracterizada pela ruptura do concreto 
quer tenha havido ou não o escoamento prévio de suas armaduras, atingindo-se um estado último de ruptura. 
Nas formulações mais antigas, o cálculo das seções transversais em regime de ruptura adotava essa 
definição de ruptura, não se impondo nenhuma limitação para o alongamento das armaduras. Isso 
era feito, por exemplo, pela NB-1 (ABNT, 1960), norma antecessora da NBR 6118 (ABNT, 2014), para o 
cálculo do concreto no estádio III.
Ao longo dos tempos, com base em estudos teóricos e análise de casos reais, notou-se a necessidade 
da limitação do alongamento da armadura tracionada das peças submetidas a solicitações normais. Isso 
porque, devido à aderência entre o concreto e o aço, o alongamento excessivo da armadura tracionada 
acarretava uma fissuração exagerada, atingindo assim um estado último, sem que necessariamente 
tenha ocorrido a ruptura do concreto do banzo comprimido da peça.
Por esse motivo, na formulação atual, a verificação da segurança da peça em concreto armado 
é feita admitindo-se que o esgotamento da capacidade resistente tanto possa ocorrer pela ruptura 
do concreto comprimido quanto pela deformação excessiva da armadura tracionada. Então, define-se 
estados últimos de ruptura do concreto do banzo comprimido ou de alongamento plástico excessivo da 
armadura tracionada de peças submetidas a solicitações normais (FUSCO, 1981).
Assim convencionou-se aceitar que o concreto atinge a ruptura quando o seu encurtamento alcança 
os valores experimentalmente verificados, e os estados últimos de ruptura do concreto passam a ser 
substituídos por estados de encurtamento último do concreto. 
5.4.1.2 Estado-limite último
Tendo em vista as dificuldades de caracterização do esgotamento da capacidade resistente das peças 
submetidas a solicitações normais, considera-se um estado-limite último convencional, designado 
por estado-limite último de ruptura ou de deformação plástica excessiva. Esse estado-limite último é 
alcançado quando o encurtamento é igual a um valor último convencional εccu na fibra mais comprimida 
de concreto, ou quando a armadura tracionada à barra de aço mais deformada tem o alongamento igual 
ao valor último convencional εsu = 10‰ (FUSCO, 1981).
Observe que, para ser alcançado o estado-limite último, necessariamente deverá estar satisfeita pelo 
menos uma das duas condições últimas: 
εcc, máx = εccu ou εs, máx = εsu = 10‰
75
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
Desse modo, todos os diagramas de deformação apresentados a seguir correspondem ao 
estado-limite último considerado, já incluída, nesses diagramas, a hipótese de manutenção da 
forma plana da seção transversal.
Na figura a seguir, a ruína ocorre por ruptura do concreto comprimido. Esse caso corresponde à 
existência na peça de um banzo tracionado e outro comprimido, ocorrendo a ruptura convencional do 
concreto com uma deformação última constante e igual a 3,5‰, qualquer que seja o alongamento εs 
da armadura, admitindo-se: εs, máx < εsu = 10‰.
εcc, máx = εccu = 3,5‰
εsu= 10‰
B
Figura 19 – Ruína por ruptura do concreto comprimido
Na figura a seguir, a ruína também ocorre por ruptura do concreto comprimido. Entretanto, nesse 
outro caso, em que se admite a peça totalmente comprimida, o encurtamento convencional último do 
concreto é variável. 
εcc, máax = εccu = variável
2 %
3
7 h
h
C
3,5 %
Figura 20 – Ruína por ruptura do concreto (encurtamento último variável)
Admite-se que seja 2‰ < εccu < 3,5‰, estando agora a situação última caracterizada pela passagem 
do diagrama de deformações pelo ponto C, de abscissa 2‰ e ordenada 3/7 h.
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Unidade II
O caso de ruína caracterizada pelo alongamento plástico excessivo da armadura está indicado 
na figura a seguir. Qualquer que seja a deformação da fibra extrema da borda comprimida da seção 
transversal, mesmo que seja εcc, max. < εccu = 3,5‰, o estado-limite último é caracterizado pela ocorrência 
de deformação εs = 10‰.
εcc, = 3,5‰
εsc = εsu = 10‰
Figura 21 – Ruína por alongamento plástico excessivo da armadura
O valor εsu = 10‰ foi arbitrado com a consideração de que, desprezando-se o alongamento do 
concreto tracionado, essa deformação corresponde a uma fissuração de 10‰, ou seja, corresponde a 
uma fissura de 1 mm de abertura para cada 10 cm de comprimento da peça. Com essa fissuração, é dada 
por esgotada a capacidade resistente da peça.
Conforme está mostrado na próxima figura, não ocorrerá a ruína, ou seja, não será atingido o 
estado-limite último de ruptura ou de alongamento plástico excessivo quando forem simultaneamente 
εs < εsu e εcc, max. < εccu. Desse modo, para que um diagrama de deformações corresponda a uma situação 
última, ele deverá necessariamente passar por uma das situações indicadas nas figuras anteriores.
εccu
εcc, max
εs
εsu = 10‰
Figura 22 – Comportamento sem ruptura de aço e sem ruptura de concreto
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
5.4.2 Hipóteses básicas
No estado-limite último, o estudo da capacidade resistente das peças submetidas a solicitações 
normais é feito com as seguintes hipóteses básicas. Para a compreensão e tratamento do fenômeno 
físico do comportamento dos elementos lineares de concreto submetidos à flexão simples, é necessário 
optar por algumas hipóteses básicas, adotadas pela NBR 6118 (ABNT, 2014), item 17.2.2, conforme 
mostrado a seguir.
• Manutenção da seção plana: admite-se até o estado-limite último, desde que:
0 2,0
d
>

Devido a essa hipótese, as deformações normais específicas 
0
∆
ε =


 são, em cada ponto, 
proporcionais a sua distância à linha neutra da seção, inclusive quando a peça atinge o estado-limite 
último. Assim, ao considerar que as seções permanecem planas, é possível estabelecer uma relação 
linear entre a deformação do concreto (εc), a deformação da armadura (εs), a altura da linha neutra 
(x) e a altura útil da viga (d).
• Tensões de tração no concreto: devem ser desprezadas no estado-limite último,ainda que normais 
à seção transversal.
• Solidariedade dos materiais: admite-se entre as barras da armadura e o concreto que as envolve. 
Não há escorregamentos entre a armadura e o concreto. Assim, a deformação específica da 
armadura é igual à deformação específica do concreto que lhe é adjacente.
• Encurtamentos últimos do concreto: será, independentemente da resistência do concreto: 
εcu = 3,5‰ na flexão pura.
εcu = 2,0‰ na compressão axial.
• Alongamento último das armaduras:
εsu = 10‰ nas peças de concreto armado.
Nas peças de concreto protendido, o alongamento específico máximo é limitado ao valor 
de 10‰, contados a partir do estado de neutralização da seção transversal, que é obtido 
anulando-se, em toda a seção transversal, as tensões no concreto decorrentes da aplicação 
isolada dos esforços de protensão.
• Distribuição de tensão no concreto: é feita de acordo com o diagrama parábola-retângulo, com 
tensão de pico igual a 0,85 fcd. Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de profundidade 
y = λx, em que x é profundidade da linha neutra e o valor do parâmetro λ pode ser tomado como:
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Unidade II
( )
0,8 para 20 MPa fck 50MPa
fck 50
0,8 1 para 50 MPa fck 90 MPa
400
≤ ≤
λ =  −  − − < ≤ 
 
E a tensão constante atuante até a profundidade y pode ser admitida como:
c fcdα – no caso de a largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a 
partir desta para a borda comprimida.
0,9 cα – em caso contrário. 
A definição de αc:
( )
0,85 para 20 MPA fck 50 MPa
c fck 50
0,85 1 para 50 MPa fck 90 MPa
200
≤ ≤
α =  −  − < ≤ 
 
• Tensões nas armaduras: deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-deformação, com os valores 
de projeto.
 Observação 
O estado de neutralização é obtido quando, em toda a seção transversal, 
anulam-se as tensões no concreto decorrentes da aplicação isolada dos 
esforços de protensão.
5.4.3 Domínios de deformação na seção transversal 
A ruína da seção transversal, para qualquer tipo de flexão no estado-limite último, é caracterizada 
pelas deformações específicas de cálculo do concreto e do aço, que atingem seus valores máximos 
(últimos) de deformações específicas, podendo acontecer em um dos materiais ou em ambos ao mesmo 
tempo (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2014).
• Alongamento último do aço: armadura tracionada (εcu = 10‰) – para prevenir deformação 
plástica excessiva.
• Encurtamento último do concreto:εcu = 3,5‰ na flexão e εcu = 2‰ na compressão simples. 
Os conjuntos de deformações específicas do concreto e do aço ao longo de uma seção transversal 
com armadura simples submetida a ações normais definem seis domínios de deformação:
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
Tração (+) 0 Compressão (-)
-2‰ -3,5‰
εc
3
7
h
B
C
b
x 
= 
+ 
00
h
A
10‰
-2‰
x 
= 
-0
0
x = 0 (x1)
x = 0,259 . d (x2)
x = xlim(x3)
x=d(x4)
x=n
4a
d
εs
a
1 2
3
4
5
Figura 23 – Domínios de estado-limite último de uma seção transversal (deformações específicas aço e concreto)
É necessário sabermos em qual domínio está situado o diagrama de deformações específicas de 
cálculo do aço e do concreto para podermos determinar a resistência de cálculo de uma seção transversal.
Separando em partes os diagramas da figura, de uma maneira simplificada, vemos que a reta a e 
os domínios 1 e 2 correspondem ao estado-limite último por deformação plástica excessiva, isto é, 
alongamento máximo do aço; os domínios 3, 4, 4a, 5 e reta b correspondem ao estado-limite último 
por ruptura convencional, ou seja, ruptura do concreto por encurtamento limite.
 Saiba mais
Para saber mais sobre domínios de deformação na seção transversal, 
ver capítulo 3, “Ação de Vento e Estabilidade Global das Estruturas de 
Concreto”, do seguinte livro:
CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. de. Cálculo e detalhamento 
de estruturas usuais de concreto armado. 4. ed. São Carlos: Edufscar, 
2014. v. 1.
De maneira resumida, apresentamos um quadro em que estão representados os domínios e suas 
características:
80
Unidade II
Quadro 1 – Domínios de estado-limite último de uma seção transversal
Ruptura convencional por deformação plástica excessiva
Reta a Tração uniforme.
Domínio 1 Tração não uniforme, sem compressão.
Domínio 2 Flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto (εc < εcu e com o máximo alongamento permitido do aço).
Ruptura convencional por encurtamento limite do concreto
Domínio 3 Flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e com escoamento do aço (εs ≥ εyd).
Domínio 4 Flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e escoamento do aço tracionado (εs < εyd).
Domínio 4a Flexão composta armaduras comprimidas.
Domínio 5 Compressão não uniforme, sem tração.
Reta b Compressão uniforme.
 Lembrete
As hipóteses básicas para cálculo são as seguintes: seções transversais 
permanecem planas após o início da deformação até o estado-limite 
último; admite-se que o concreto e a armadura estejam com solidariedade 
perfeita; tensões de tração no concreto, normais às seções transversais são 
desprezadas; a ruína da seção transversal, para qualquer tipo de flexão no 
estado-limite último, fica caracterizada pelas deformações específicas de 
cálculo do concreto (εc) na fibra mais comprimida, e deformação específica 
de cálculo do aço (εs) na fibra mais tracionada.
5.5 Diagramas de tensão para dimensionamento – NBR 6118
5.5.1 Diagramas de tensão × deformação no concreto – estádio III
Para efeito de cálculo, a NBR 6118 (ABNT, 2014) permite simplificar as tensões no concreto comprimido 
por um diagrama retangular cuja a área seja a mesma do diagrama parábola-retângulo, de forma que 
a força resultante de compressão no concreto e o braço de alavanca em relação à linha neutra sejam 
aproximadamente os mesmos nos dois diagramas, conforme mostrado a seguir.
d
x λ = 0,8 
. x
σcd = αc . fcd0,85 . fcdεc = 3,5‰
Figura 24 – Distribuição retangular de tensões de compressão no concreto 
81
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
O dimensionamento das peças de concreto em flexão pura deve ser realizado no estádio III, 
usualmente denominado como “cálculo na ruptura”.
O diagrama parábola-retângulo da figura é formado por um trecho retangular, para deformação de 
compressão variando de 2‰ até 3,5‰, com tensão de compressão igual a 0,85 fcd, e um trecho no 
qual a tensão varia segundo uma parábola do segundo grau. 
O diagrama retangular também é permitido pela NBR 6118 (ABNT, 2014). A altura do diagrama é igual a 0,8 x. 
A tensão no concreto é 0,85 fcd, no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra (não diminuir 
a partir desta para a borda comprimida), e 0,80 fcd no caso da largura da seção diminuir a partir desta para a 
borda comprimida, como acontece nos casos apresentados a seguir. 
LN
Figura 25 – Casos onde a tensão do diagrama retangular de tensões no concreto é de 0,8 fcd
5.5.2 Diagramas de tensão × deformação no aço
Na figura a seguir, vemos as zonas de dimensionamento de aço, para seções transversais que estejam 
entre os domínios 2 e 3 (zona útil), e também para as seções transversais que estejam no domínio 4 em 
diante (seção superarmada).
Superarmadas
Seções
εyd εs10 ‰
Zona Útil
fyd
σs
Figura 26 – Zonas de dimensionamento em função da deformação do aço
Os valores de fyd e εyd para aços estruturais destinados a estruturas de concreto armado estão na 
tabela a seguir.
82
Unidade II
Tabela 20 – Valores das tensões e deformações específicas – aços
Aço fyk fyd εyd
CA-25 250 MPa 217 MPa 1,035‰
CA-50 500 MPa 435 MPa 2,070‰
CA-60 600 MPa 522 MPa 2,484‰
6 FORMULAÇÃO TEÓRICA PARA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES 
SUJEITAS À FLEXÃO
6.1 Introdução
No estudo de uma flexão simples, a seção transversal sujeita ao momento fletor estará trabalhando 
nos domínios 2, 3 ou 4. Se ela estiver trabalhando no domínio 2, isso caracterizará um excesso de 
concreto, ou seja, a seção apresenta uma deformação muito baixano concreto. Pode-se afirmar que ela 
está superdimensionada, o que significa que as dimensões da seção podem ser reduzidas, que ela ainda 
terá capacidade resistente, pois o concreto está “com folga”.
Se, por outro lado, ela estiver trabalhando no domínio 4, o concreto está trabalhando plenamente e 
no seu limite, mas o aço estará abaixo da tensão de escoamento, ou seja, a peça estará superarmada, o 
que não é recomendável, pois caso haja um aumento de esforço, a seção se romperá no concreto. Como 
a ruptura no concreto se dá de forma brusca, essa situação deve ser evitada. Deve-se dimensionar os 
elementos em concreto para que eles funcionem com ductilidade, ou seja, que na situação de limite haja 
um aviso por meio de uma deformação excessiva e que a eventual ruptura não seja brusca.
Portanto a situação mais adequada para o funcionamento da seção é trabalhar no domínio 3, com 
o concreto no limite de compressão, a 3,5‰, e o aço no patamar de escoamento, entre 10‰ e fyd, que 
é a tensão de escoamento.
A NBR 6118 (ABNT, 2014) define uma relação entre a altura da linha neutra e a altura útil para que 
haja o comportamento dúctil na flexão simples. Esse limite é:
• x/d ≤ 0,45 para fck ≤ 50 MPa
• x/d ≤ 0,35 para 50 MPa ≤ fck ≤ 90 MPa
Caso a altura da linha neutra tenha que ser superior aos limites estabelecidos, a seção deverá ter 
armadura dupla, ou seja, uma armadura adicional na parte comprimida que auxilie o concreto a resistir aos 
esforços, impedindo que a peça fique superarmada. Esse mecanismo de resistência será visto mais adiante. 
6.1.1 Seção transversal com armadura simples
Nesta seção está apresentada a formulação básica para o dimensionamento de armaduras simples, 
isto é, quando somente a armadura disposta na parte tracionada do elemento é suficiente para resistir 
às tensões normais provocadas pela ação do momento fletor. 
83
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
Para a determinação da resistência de cálculo de uma dada seção transversal é necessário considerar 
em qual dos domínios está situado o diagrama de deformações específicas de cálculo.
A seguir, com base na figura, apresentam-se as equações de equilíbrio e de compatibilidade 
que permitem a determinação da área de armadura necessária para atender as tensões normais de 
tração provocadas pelo momento fletor, e as deformações atingidas pelo concreto comprimido e pela 
armadura tracionada.
(-)
(+)
As
b
Forças Deformação Alongamento Encurtamento
Domínio
x Rcd
Rsd
Md > 0 z
d
d''
a
2a 2b
1 3
b h
5
x
4a
4
3
2
ξ2,lim
ξ3,lim
ξ4,lim
10
B
4 5
4a10‰
d'
εyd
εsd A
λx
αc fcd εcd εc2 εcu
εcu
(εcu - εc2)h
Figura 27 – Domínios × equilíbrio de uma seção transversal em estado-limite último 
Equação de equilíbrio
Altura da linha neutra: sd2
c w cd
2 Md
x 1 1
b d f
 ⋅
= ⋅ − − λ α ⋅ ⋅ ⋅ 
 
Onde:
• x é a altura da linha neutra.
• d é a altura útil da viga.
• bw é a largura da viga.
• cdf é a tensão resistente à compressão de projeto do concreto, dado por: ckcd
c
f
f =
γ
• sdM é o momento fletor solicitante de projeto, dado por: sd f skM M= γ ⋅
• skM é o momento fletor solicitante de serviço (valor real devido às cargas atuantes).
• γf é o coeficiente de ponderação das ações. No estado-limite último, para combinações normais, 
γf = 1,4
84
Unidade II
• γc é o coeficiente de ponderação da resistência do concreto. No estado-limite último, para 
combinações normais, γc = 1,4
• cα é o coeficiente que leva em consideração diversos fatores que reduzem a capacidade resistente 
do concreto ao longo tempo e é estabelecido pela NBR 6118 (ABNT, 2014).
Equação de compatibilidade
Valores limites da altura da linha neutra representam o valor para o qual a seção transversal da viga 
passa de um domínio de deformação para outro:
2,3x 0,259 d= ⋅ 
3,4x 0,628 d= ⋅ , válido para o aço CA-50 
cd sd
x
d x
ε = ε ⋅
−
Onde:
• cdε , deformação na fibra mais comprimida de concreto.
• sdε , deformação na armadura tracionada.
Área de aço
Conhecendo-se a altura da linha neutra, pode-se calcular a área de aço necessária através da equação:
Msd
As
fyd d x 
2
=
λ − 
 
Exemplo de aplicação
Determinar a altura da linha neutra e indicar em qual domínio uma viga de concreto armado classe 
C25 está. Sabe-se que sua seção transversal é de 20 × 50 (unidades em centímetro); sua altura útil (d) 
é igual a 45 cm; o cobrimento nominal é igual a 3 cm; o aço utilizado é o CA-50; e o momento fletor 
solicitante característico é de Mk = 10.000 kN ∙ cm.
Resolução
a) Resistência à compressão do concreto – valor de cálculo:
ã
2fck 25fcd 1 7,86MPa 1 ,786 kN / cm
c 1,4
= = = −
85
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
b) Momento fletor de cálculo:
Msd f Mk 1 ,4 .1 0.000 1 4.000 kN.cm= γ = =
c) Delimitação dos limites dos domínios:
O valor de x2lim delimita o fim do domínio 2, sendo:
2limx 0,259 d 0,259 . 45 1 1,66 cm= = =
O valor de x3lim delimita o fim do domínio 3, sendo:
3limx 0,628 d 0,628 . 45 28,26 cm= = = 
d) Delimitação da altura da linha neutra:
Como se trata de uma viga retangular e o concreto pertence ao grupo I, os valores de λ e de αc são:
0,8λ =
c 0,85α =
Dessa forma, a equação de altura da linha neutra assume a forma:
2
Msd
x 1 ,25.d 1 1 
0,425.bw.d .fcd
 
= − − 
 
Substituindo-se os valores na equação, temos:
2
14000
x 1 ,25.45 1 1 1 4,74 cm
0,425.20.45 .1,786
 
= − − = 
 
A altura da linha neutra é 14,74 cm.
e) Delimitação do domínio:
2lim 3limx 1 1,66 cm x 1 4,74 cm x 28,26 cm = ≤ = ≤ =
Como a linha neutra está no intervalo de 2limx e 3limx , a viga está no domínio 2.
86
Unidade II
6.1.2 Seção transversal com armadura dupla
O cálculo e detalhamento das seções sujeitas à flexão simples com armadura dupla será visto adiante, 
na abordagem de vigas.
6.2 Dimensionamento de seções sujeitas à flexão com uso de tabelas
Com o intuito de facilitar o cálculo manual, há muito tempo no Brasil é comum o ensino do 
dimensionamento de estruturas em concreto armado com a utilização de tabelas k. Para diversas 
posições da linha neutra são tabelados coeficientes k6 e k3 referentes à resistência do concreto e à 
tensão na armadura tracionada.
A tabela é válida para as seguintes condições:
• Flexão normal simples.
• Seção retangular.
• Diagrama de tensões retangular simplificado.
Para a utilização da tabela de k6 e k3 são necessárias as formulações:
2b.d .fc
k6
Mk
=
Onde:
• d é a altura útil do elemento estrutural.
• b é a largura do elemento estrutural.
• cf é a tensão resistente à compressão de projeto do concreto, dada por: ckcd
c
f
0,85 . f 0,85 .=
γ
• kM é o momento fletor solicitante característico, isto é, sem majoração.
• x é a altura da linha neutra.
• y é a altura correspondente ao diagrama retangular simplificado (y = 0,8 x)
• 
x
kx
d
= e ky 0,8 kx=
Os coeficientes de majoração das solicitações estão embutidos na própria tabela, dessa maneira, não 
é necessário majorar o esforço solicitante.
87
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
Tabela 21 – Valores de k6 e k3 para concretos do grupo I
Valores de K3 para aço
Do
m
ín
io
 2
A
Kx Ky K6 εc% εs% CA25 CA50 CA60
0,02 0,016 88,20 0,204 10,000 0,648 0,325 0,270
0,04 0,032 44,46 0,417 10,000 0,654 0,327 0,273
0,06 0,048 29,88 0,638 10,000 0,658 0,330 0,274
0,08 0,064 22,6 0,870 10,000 0,665 0,333 0,277
0,10 0,080 18,23 1,111 10,000 0,668 0,335 0,278
0,12 0,096 15,32 1,364 10,000 0,673 0,338 0,28
0,14 0,112 13,24 1,628 10,000 0,679 0,341 0,283
0,16 0,128 11,69 1,905 10,000 0,685 0,344 0,285
Do
m
ín
io
 2
B 0,18 0,144 10,48 2,195 10,000 0,691 0,347 0,288
0,20 0,160 9,51 2,500 10,000 0,699 0,350 0,291
0,22 0,176 8,72 2,821 10,000 0,706 0,353 0,294
0,24 0,192 8,07 3,158 10,000 0,714 0,356 0,298
Do
m
ín
io
 3
0,26 0,208 7,51 3,500 10,000 0,722 0,359 0,301
0,28 0,224 7,04 3,500 9,000 0,729 0,363 0,304
0,30 0,240 6,63 3,500 8,167 0,736 0,366 0,307
Li
m
ite
 -
 a
rm
ad
ur
a
sim
pl
es
 x
 a
rm
ad
ur
a 
du
pl
a0,32 0,256 6,27 3,500 7,438 0,743 0,369 0,3090,34 0,272 5,96 3,500 6,794 0,750 0,373 0,312
0,36 0,288 5,68 3,500 6,222 0,758 0,376 0,316
0,38 0,304 5,43 3,500 5,711 0,765 0,380 0,319
0,40 0,320 5,21 3,500 5,250 0,722 0,383 0,322
0,42 0,336 5,01 3,500 4,833 0,781 0,387 0,325
0,44 0,352 4,83 3,500 4,455 0,788 0,391 0,329
0,46 0,368 4,66 3,500 4,109 0,796 0,395 0,340
0,48 0,384 4,51 3,500 3,792 0,805 0,399 0,352
0,50 0,400 4,38 3,500 3,500 0,813 0,403 0,364
0,52 0,416 4,25 3,500 3,231 0,821 0,407 0,376
0,53 0,424 4,19 3,500 3,104 0,826 0,409 0,383
0,54 0,432 4,13 3,500 2,981 0,831 0,411 0,390
0,56 0,448 4,03 3,500 2,750 0,840 0,415 0,405
0,58 0,464 3,93 3,500 2,534 0,848 0,419 0,420
0,60 0,480 3,84 3,500 2,333 0,859 0,424 0,438
0,62 0,496 3,75 3,500 2,145 0,868 0,428 0,458
0,64 0,512 3,68 3,500 1,969 0,877 0,433 0,481
0,66 0,528 3,6 3,500 1,803 0,888 0,438 0,513
0,68 0,544 3,54 3,500 1,647 0,898 0,442 0,564
0,70 0,560 3,47 3,500 1,500 0,908 0,447 0,627
0,72 0,576 3,41 3,500 1,361 0,919 0,699
0,74 0,592 3,36 3,500 1,230 0,931 0,783
0,76 0,608 3,31 3,500 1,105 0,942 0,882
88
Unidade II
Determinação da área de aço:
• 
k3 Mk
As . 
10 d
= para unidades em kN e cm.
• MkAs k3 . 
d
= para unidades em tf e cm.
 Observação 
A tabela “Valores de k6 e k3 para concretos do grupo I” é idealizada para 
concretos do grupo I, podendo ser utilizada para quaisquer fck desse grupo. 
Existem outras tabelas do tipo k, similares à tabela de k6 e k3, porém cada 
uma possui a maneira correta de utilização, bem como cada uma delas 
possui sua própria formulação.
6.3 Lajes em concreto armado
São peças de pequena espessura quando comparadas às demais dimensões (estruturas laminares 
planas), sujeitas basicamente a esforços de flexão, em que as cargas atuam normalmente ao seu plano 
médio. Comumente apoiam-se em vigas em seu contorno.
Analisaremos basicamente as lajes retangulares e chamaremos os lados de lx e ly, sendo ly o maior 
lado e lx o menor lado, ou seja, ly ≥ lx. A espessura da laje é h.
h
ly
lx 
Figura 28 – Representação de uma laje
6.3.1 Principais tipos de lajes
Lajes maciças são placas maciças de concreto armado, executadas sobre formas planas. 
São as comumente utilizadas, sendo, portanto, as analisadas neste curso. Podem ser moldadas 
in loco ou pré-moldadas.
89
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
Armadura Concreto
Figura 29 – Laje moldada in loco
Lajes nervuradas são aquelas que apresentam na zona tracionada nervuras de concreto armado, 
podendo ser colocado entre elas material inerte ou não.
Nervura (zona tracionada)
Mesa (zona comprimida)
Figura 30 – Laje nervurada
Uma forma de obter as nervuras na laje é a instalação de formas plásticas, também conhecidas 
como cubetas.
Figura 31 – Laje com formas plásticas (laje cubeta)
Muitas vezes as lajes são feitas com vigotas pré-moldadas, intercaladas com cerâmica ou EPS 
(isopor), formando as lajes conhecidas como pré ou prél, ou mesmo volterrana. 
90
Unidade II
Figura 32 – Laje nervurada com vigotas e material inerte (lajotas em cerâmica)
Vigota treliçada
Vigota "T"
Lajota (tavela)
Figura 33 – Elementos constituintes da laje nervurada pré-fabricada
Lajes caixão são lajes nervuradas que apresentam uma mesa na face inferior e um espaço interno 
preenchido com material inerte ou forma perdida. Atualmente vem sendo pouco utilizadas.
Mesa inferiorNervuraVazio (forma perdida
ou material inerte)
Mesa superior
Figura 34 – Laje caixão
Um exemplo desse tipo de laje é a alveolar, pré-fabricada com placas de concreto protendido, como 
apresentado na figura a seguir, que possui vazios no centro e faces superior e inferior lisas.
91
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
1,20
0,
20 0,
25 0,
28
Figura 35 – Laje alveolar
Lajes mistas são executadas com dois tipos de estruturas, ou seja, conjuntamente em concreto 
armado e blocos cerâmicos capazes de resistir aos esforços de compressão oriundos da flexão quando 
solidários com nervuras de concreto; ou então com perfis metálicos capazes de resistir aos esforços de 
tração, substituindo assim as armaduras no concreto.
Bloco resistente
à compressão
Nervura Nervura
Figura 36 – Laje mista (nervura em concreto e elemento resistente ao esforço de compressão)
Nervura - viga metálica
Mesa - laje de concreto
Figura 37 – Laje mista composta de vigas metálicas e laje de concreto
Outro exemplo desse tipo de laje é a steel deck, que possui nervuras preenchidas com concreto, e a 
armadura principal faz parte da forma, ou é a própria forma, que é em aço corrugado.
92
Unidade II
Armadura adicional
Steel deckConcreto
Figura 38 – Laje mista (steel deck)
Lajes cogumelo (lajes “lisas” ou lajes sem vigas) são lajes que se apoiam diretamente em 
pilares, sem a existência de vigas. Como há uma concentração de cargas nas proximidades 
do pilar, pode haver necessidade de aumento da sua espessura na região que envolve o pilar, 
denominada “capitel”.
Laje cogumelo
Pilar
Figura 39 – Laje cogumelo ou laje sem vigas
Laje
Pilar
Capitel
Figura 40 – Detalhe do capitel em corte
6.3.2 Vãos teóricos
No caso geral, o vão teórico da laje na direção considerada (x ou y) é a distância entre os eixos 
dos apoios.
93
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
Laje
Vão teórico (lt)
Vão livre (l0)
Viga de
apoio
Viga de
apoio
Figura 41 – Vão teórico para lajes
Daqui em diante, os vãos teóricos nas direções x e y serão dexnominados lx e ly (sendo ly o maior dos 
dois, ou seja: ly ≥ lx), em casos em que as vigas de apoio forem muito largas, mas que não representam 
os mais corriqueiros. Não é necessário adotar para o vão teórico valores maiores, conforme o que segue.
a) Em lajes isoladas: 
O vão livre acrescido da espessura da laje no meio do vão:
h/2 h/2l0
h(laje)
lt
Figura 42 – Vão teórico para lajes isoladas
b) Em vão extremo de laje contínua:
O vão livre acrescido da semilargura do apoio interno e da semiespessura da laje no meio do vão.
b
h
2 b/2 l0
lt
h/2
Figura 43 – Vão teórico para lajes comuns
c) Lajes em balanço e lajes contínuas:
O vão livre acrescido da semilargura no apoio.
94
Unidade II
h/2 l0
lt
h
Figura 44 – Vão teórico para lajes em balanço
6.3.3 Disposições construtivas
6.3.3.1 Espessuras mínimas de lajes – lajes maciças
Conforme a NBR 6118 (ABNT, 2014) no item 13.2.4.1, as espessuras das lajes maciças h não devem 
ser inferiores a:
• 7 cm nas lajes de cobertura não destinadas a piso e que não estejam em balanço.
• 8 cm nas lajes destinadas a piso que não estejam em balanço.
• 10 cm para lajes em balanço.
• 10 cm nas lajes destinadas à passagem de veículos de peso total menor ou igual a 30 kN (3 tf).
• 12 cm nas lajes destinadas à passagem de veículos de peso total maior que 30 kN.
No dimensionamento de lajes em balanço, os esforços solicitantes de cálculo devem ser multiplicados 
por um coeficiente adicional γn de acordo com a tabela a seguir.
Tabela 22 – Coeficiente adicional γn para lajes em balanço 
h cm ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10
γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45
Onde:
γn = 1,95 − 0,05 h
h é a altura da laje, expressa em centímetros (cm).
Nota: o coeficiente gn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nas lajes em balanço, quando de 
seu dimensionamento.
Fonte: ABNT (2014, p. 74).
95
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
6.3.3.2 Cargas atuantes
a) Cargas permanentes
Tabela 23 – Valores de peso específico
Peso Específico
tf/m3 kN/m3
Concreto armado 2,5 25
Concreto simples 2,4 24
Alvenaria de tijolos maciços 1,8 18
Alvenaria de tijolos furados 1,3 13
Alvenaria de blocos de concreto 1,4 14
Entulho de obra 1,3 13
Tijolos sílico-calcáreos 2,0 20
Adaptado de: ABNT (1980).
Valores usuais para revestimento de piso: espessura de 5 cm: carga distribuída = 0,08 tf/m² 
(0,8 kN/m²).
b) Cargas variáveis (acidentais)
Tabela 24 – Valores de cargas acidentais
Carga distribuída
tf/m2 kN/m2
Dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro 0,15 1,5
Despensa, área de serviços e lavanderia 0,20 2,0
Escada sem acesso ao público 0,25 2,5
Escadacom acesso ao público 0,30 3,0
Casa de máquinas 0,75 7,5
Forro sem acesso às pessoas 0,05 0,5
Adaptado de: ABNT (1980).
 Saiba mais
Para valores de carregamentos distribuídos, consultar a NBR 6120 
na sua edição mais atualizada (os valores podem ser alterados conforme 
surgirem novas revisões).
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 6120: 
cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: Associação 
Brasileira de Normas Técnicas, 2000.
96
Unidade II
6.4 Classificação das lajes
6.4.1 Quanto às dimensões
Armada em cruz se:
ly 2.lx≤
Armada em uma direção se:
ly 2.lx>
 Observação 
Nas lajes nervuradas, a direção da armadura é dada pela direção da 
nervura, e não pela geometria da laje. Isso acontece também com as lajes 
caixão e lajes mistas.
6.4.2 Quanto ao tipo de apoio
Considera-se um lado engastado quando há continuidade com a laje adjacente, apoiada na mesma 
viga, e ela não está em outro nível de laje rebaixada, por exemplo, ou não é em balanço.
Quando não há continuidade com a laje adjacente, considera-se um lado simplesmente apoiado. 
A convenção a seguir é usada neste livro-texto, e não corresponde a um consenso geral.
Engaste perfeito
Apoio simples
Livre
Figura 45 – Convenção do estilo de linha para vínculos de laje 
 Lembrete
Lajes adjacentes a balanços, considerando o lado da laje sempre apoiado, 
e lajes com espessuras muito diferentes, por exemplo, mais de 2 cm de 
diferença em edifícios residenciais, são casos em que não há continuidade 
entre lajes e não se considera engastamento.
97
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
6.4.3 Sequência de cálculo e detalhamento de lajes maciças
Para o cálculo de lajes maciças, considera-se o seguinte:
• Identificação dos painéis de laje – definição dos vãos e condições de apoio.
• Levantamento das cargas atuantes em cada laje.
• Cálculo dos esforços atuantes em cada laje e das reações de apoio nas vigas.
• Cálculo das armaduras de flexão e verificação das deformações (flechas).
• Detalhamento das armaduras.
6.5 Cálculo de esforços em lajes maciças
6.5.1 Consideração das cargas aplicadas
As cargas que estão aplicadas nas lajes são, na maioria dos casos, cargas uniformemente distribuídas 
em toda a sua área. São elas:
• Peso próprio da laje.
• Peso do revestimento de piso.
• Carga acidental.
• Peso das paredes de alvenaria sobre a laje (não diretamente sobre as vigas).
Na prática, e de uma forma simplificada, na maioria dos casos, quando existem paredes de 
alvenaria diretamente sobre a laje, distribui-se a sua carga total sobre toda a área da laje, recaindo no 
cálculo de cargas distribuídas. Em alguns casos, principalmente em lajes armadas em uma direção ou 
em casos de cargas elevadas, considera-se a carga como concentrada.
Às vezes, outras cargas estão aplicadas nas lajes. São elas:
• Peso do forro do teto, pendurado na laje.
• Peso das camadas de impermeabilização – inclusive proteção mecânica e argamassa para caimento 
de drenagem.
• Peso de material de enchimento sobre a laje.
• Peso de camada de terra sobre a laje (no caso de jardins), ou de água (no caso de piscinas).
98
Unidade II
6.5.2 Lajes armadas em uma direção
Os esforços fletores, as reações de apoio e a flecha máxima nas lajes armadas em uma direção são 
calculados de modo análogo ao de uma viga de largura bw = 1 m, segundo a direção paralela ao menor 
lado (lx).
a) Lajes isoladas
lx lx lx
Figura 46 – Esquemas para cálculo de lajes isoladas armadas em uma direção
b) Lajes contínuas
L1
L1
V4V3
L2
L2
V5
L3
L3
V6
L4
L4
V7
bw
 =
 1
m
Vista inferior
Corte
Figura 47 – Esquemas para cálculo de lajes contínuas armadas em uma direção
99
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
c) Lajes em balanço
bw
 =
 1
m
bw
 =
 1
m
p
P
p
I
V = PI + pl V = pl
M = - pl
2
2M = - PI +
pl2
2
Carga devida a 
um parapeito 
ou gradil
Figura 48 – Esquemas para cálculo de lajes em balanço armadas em uma direção
6.5.3 Lajes armadas em cruz
6.5.3.1 Momentos fletores
Sequência de cálculo dos momentos fletores em painéis contínuos de lajes:
• Identifica-se cada painel de laje isolado, definindo seus vãos e suas condições de apoio.
• Levantam-se as cargas atuantes na laje.
• Calculam-se os momentos fletores separadamente para cada painel isolado.
• Juntam-se as lajes, com a consideração da continuidade, fazendo-se a compatibilização (ou equilíbrio) 
dos momentos negativos entre as lajes adjacentes.
• Obtêm-se os momentos finais nas lajes, e efetua-se o seu dimensionamento e depois o 
detalhamento das armaduras.
100
Unidade II
Exemplo:
L7L6L5
L1 L1L2
L9
L3
L10
L4
L8A A
L5
L9
L2 L3 L4
L8
L10
L7L6
Figura 49 – Consideração do tipo de apoio para cada 
laje (a hachura em verde está indicando as lajes rebaixadas)
No exemplo anterior, se fizermos um corte AA na estrutura (em outra escala, para melhor 
compreensão), obteremos o seguinte desenho:
Apoio
Apoio
Engaste,
há continuidade
Apoio, não há 
continuidade entre 
a L6 e L7
Engaste, há 
continuidade
L5 L6
L7 L8
Figura 50 – Corte AA
 Observação 
Considera-se engaste quando há continuidade entre os painéis de 
laje adjacentes. Exceções: nas lajes adjacentes a balanços considera-se 
sempre apoio simples; e, quando duas lajes possuem espessuras muito 
diferentes, considera-se engaste apenas na mais esbelta, e apoio na laje 
mais espessa.
Cálculo dos momentos fletores em lajes isoladas
Os momentos fletores nas lajes isoladas podem ser calculados com a utilização das tabelas 
de Czerny (apresentadas mais adiante, iniciando com "Laje apoiada nos quatro lados"), teoria 
da elasticidade (BETON-Kalender 1976, 1976), considerando-se υ = 0,20 (módulo de deformação 
transversal – coeficiente de Poisson). 
As tabelas de Czerny fornecem coeficientes (α, β) que nos permitem calcular os valores dos 
momentos fletores máximos (positivos e negativos) ao longo das direções x e y, paralelas aos lados 
lx e ly, além da flecha máxima da laje, calculada no regime elástico.
101
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
ly
ly
lx lx
My
My
M
x
M
x
Mby
M
by
Figura 51 – Momentos nas lajes de acordo com as tabelas de Czerny
Na convenção dessas tabelas, os valores de Mx e My são os momentos fletores positivos por unidade de 
largura, e Mbx e Mby são os momentos de borda, ou de engastamento, por unidade de largura. Os momentos 
com índice x ocorrem na direção paralela ao lado lx, e os momentos com índice y na direção paralela ao lado y. 
 Observação 
Cabe ressaltar que os lados lx e ly não têm nada a ver com os eixos 
cartesianos x e y, e sim com os vãos teóricos menor e maior. Deve ser 
considerado que a posição da laje no projeto possa ser diferente da posição 
indicada na tabela. Nesses casos, as direções dos momentos devem ser 
adaptadas para serem consideradas da maneira correta.
De forma geral, calculam-se as cargas distribuídas por metro quadrado, e a unidade de largura 
adotada é 1 metro. Portanto os momentos resultam em kNm/m, ou seja, quilo-Newton metros por 
metro de largura.
ly > lxy
ly
lx
x
Mbx Mbx
M
by
M
by
M
y
Mx
Carga distribuída = p
Figura 52 – Convenção para uso das tabelas de Czerny, com v = 0,20
102
Unidade II
Mx = 
2
x
plx
α
 Mbx = 
2
x
plx
β
My = 
2
y
plx
α
 Mby = 
2
y
plx
β
a = 
4plx
E h α⋅ ⋅α
 (flecha)
 Observação 
Beton-Kalendar é um anuário produzido na Alemanha ligado ao 
estudo das construções em concreto, que na versão de 1976 apresenta as 
tabelas elaboradas por Czerny, baseadas no estudo das lajes por meio da 
teoria das placas. 
Professor da Escola Politécnica da USP, o engenheiro John Ulic 
Burke Jr. fez uma adaptação dessas tabelas, considerando o coeficiente 
de Poisson = 0,20. Graças à ampla divulgação no meio técnico, pelo 
Departamento de Livros de Publicações do Grêmio Politécnico, as 
tabelas podem ser consideradas de domínio público. 
A seguir, antecedidas das figuras correspondentes, as tabelas de Czerny para cálculos de momentos 
fletores em lajes isoladas.
103ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
ly
lx
Figura 53
Tabela 25 – Laje apoiada nos quatro lados
ly
lx
αx αy αz
1,00 22,7 22,7 21,4
1,05 20,8 22,5 19,4
1,10 19,3 22,3 17,8
1,15 18,1 22,3 16,5
1,20 16,9 22,3 15,4
1,25 15,9 22,4 14,3
1,30 15,2 22,7 13,6
1,35 14,4 22,9 12,9
1,40 13,8 23,1 12,3
1,45 13,2 23,3 11,7
1,50 12,7 23,5 11,2
1,55 12,3 23,5 10,8
1,60 11,9 23,5 10,4
1,65 11,5 23,5 10,1
1,70 11,2 23,5 9,8
1,75 10,8 23,5 9,5
1,80 10,7 23,5 9,3
1,85 10,4 23,5 9,1
1,90 10,2 23,5 8,9
1,95 10,1 23,5 8,7
2,00 9,9 23,5 8,6
104
Unidade II
ly
lx
Figura 54
Tabela 26 – Laje apoiada em três lados e engastada em um lado menor
ly
lx
αx αy βy αa
1,00 32,4 26,5 11,9 31,2
1,05 29,2 25,0 11,3 27,6
1,10 26,1 24,4 10,9 24,7
1,15 23,7 23,9 10,4 22,3
1,20 22,0 23,8 10,1 20,3
1,25 20,2 23,6 9,8 18,7
1,30 19,0 23,7 9,6 17,3
1,35 17,8 23,7 9,3 16,1
1,40 16,8 23,8 9,2 15,1
1,45 15,8 23,9 9,0 14,2
1,50 15,1 24,0 8,9 13,5
1,55 14,3 24,0 8,8 12,8
1,60 13,8 24,0 8,7 12,2
1,65 13,2 24,0 8,6 11,7
1,70 12,8 24,0 8,5 11,2
1,75 12,3 24,0 8,4 10,8
1,80 12,0 24,0 8,4 10,5
1,85 11,5 24,0 8,3 10,1
1,90 11,3 24,0 8,3 9,9
1,95 10,9 24,0 8,3 9,6
2,00 10,8 24,0 8,2 9,4
105
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
ly
lx
Figura 55
Tabela 27 – Laje apoiada em três lados e engastada em um lado maior
ly
lx
αx αy βx αa
1,00 26,5 32,4 11,9 31,2
1,05 25,7 33,3 11,3 29,2
1,10 24,4 33,9 10,9 27,4
1,15 23,3 34,5 10,5 26,0
1,20 22,3 34,9 10,2 24,8
1,25 21,4 35,2 9,9 23,8
1,30 20,7 35,4 9,7 22,9
1,35 20,1 37,8 9,4 22,1
1,40 19,7 39,9 9,3 21,5
1,45 19,2 41,1 9,1 20,9
1,50 18,8 42,5 9,0 20,4
1,55 18,3 42,5 8,9 20,0
1,60 17,8 42,5 8,8 19,6
1,65 17,5 42,5 8,7 19,3
1,70 17,2 42,5 8,6 19,0
1,75 17,0 42,5 8,5 18,7
1,80 16,8 42,5 8,4 18,5
1,85 16,5 42,5 8,3 18,3
1,90 16,4 42,5 8,3 18,1
1,95 16,3 42,5 8,3 18,0
2,00 16,2 42,5 8,3 17,8
106
Unidade II
ly
lx
Figura 56
Tabela 28 – Lajes com dois lados maiores apoiados e dois lados menores engastados
ly
lx
αx αy βy αa
1,00 46,1 31,6 14,3 45,3
1,05 39,9 29,8 13,4 39,2
1,10 36,0 28,8 12,7 34,4
1,15 31,9 27,7 12,0 30,4
1,20 29,0 26,9 11,5 27,2
1,25 26,2 26,1 11,1 24,5
1,30 24,1 25,6 10,7 22,3
1,35 22,1 25,1 10,3 20,4
1,40 20,6 24,8 10,0 18,8
1,45 19,3 24,6 9,7 17,5
1,50 18,1 24,4 9,5 16,3
1,55 17,0 24,3 9,3 15,3
1,60 16,2 24,3 9,2 14,4
1,65 15,4 24,3 9,0 13,7
1,70 14,7 24,3 8,9 13,0
1,75 14,0 24,3 8,8 12,4
1,80 13,5 24,3 8,7 11,9
1,85 13,0 24,3 8,6 11,4
1,90 12,6 24,3 8,5 11,0
1,95 12,1 24,3 8,4 10,6
2,00 11,8 24,3 8,4 10,3
107
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
ly
lx
Figura 57
Tabela 29 – Lajes com dois lados maiores engastados e dois lados menores apoiados
ly
lx
αx αy βx αa
1,00 31,6 46,1 14,3 45,3
1,05 29,9 46,4 13,8 43,2
1,10 29,0 47,2 13,5 41,5
1,15 28,0 47,7 13,2 40,1
1,20 27,2 48,1 13,0 39,0
1,25 26,4 48,2 12,7 37,9
1,30 25,8 48,1 12,6 37,2
1,35 25,3 47,9 12,4 36,5
1,40 24,8 47,8 12,3 36,0
1,45 24,4 47,7 12,2 35,6
1,50 24,2 47,6 12,2 35,1
1,55 24,0 47,6 12,1 34,7
1,60 24,0 47,6 12,0 34,5
1,65 24,0 47,6 12,0 34,2
1,70 24,0 47,4 12,0 33,9
1,75 24,0 47,3 12,0 33,8
1,80 24,0 47,2 12,0 33,7
1,85 24,0 47,1 12,0 33,6
1,90 24,0 47,1 12,0 33,5
1,95 24,0 47,1 12,0 33,4
2,00 24,0 47,0 12,0 33,3
108
Unidade II
ly
lx
Figura 58
Tabela 30 – Lajes com dois lados adjacentes engastados e dois lados adjacentes apoiados
ly
lx
αx αy βx βy αa
1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,3
1,05 32,1 33,7 13,3 13,8 37,1
1,10 30,1 33,9 12,7 13,6 34,5
1,15 28,0 33,9 12,0 13,3 31,7
1,20 26,4 34,0 11,5 13,1 29,9
1,25 24,9 34,4 11,1 12,9 28,2
1,30 23,8 35,0 10,7 12,8 26,8
1,35 23,0 36,6 10,3 12,7 25,5
1,40 22,2 37,8 10,0 12,6 24,5
1,45 21,4 39,1 9,8 12,5 23,5
1,50 20,7 40,2 9,6 12,4 22,7
1,55 20,2 40,2 9,4 12,3 22,1
1,60 19,7 40,2 9,2 12,2 21,5
1,65 19,2 40,2 9,1 12,2 21,0
1,70 18,8 40,2 8,9 12,2 20,5
1,75 18,4 40,2 8,8 12,2 20,1
1,80 18,1 40,2 8,7 12,2 19,7
1,85 17,8 40,2 8,6 12,2 19,4
1,90 17,5 40,2 8,5 12,2 19,0
1,95 17,2 40,2 8,4 12,2 18,8
2,00 17,1 40,2 8,4 12,2 18,5
109
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
ly
lx
Figura 59
Tabela 31 – Lajes com dois lados menores engastados, um lado maior engastado 
e um lado maior apoiado
ly
lx
αx αy βx βy αa
1,00 44,6 38,1 18,3 16,2 55,4
1,05 41,7 37,3 16,6 15,4 49,1
1,10 38,1 36,7 15,4 14,8 44,1
1,15 34,9 36,4 14,4 14,3 40,1
1,20 32,1 36,2 13,5 13,9 36,7
1,25 29,8 36,1 12,7 13,5 33,8
1,30 28,0 36,2 12,2 13,3 31,7
1,35 26,4 36,6 11,6 13,1 29,7
1,40 25,2 37,0 11,2 13,0 28,1
1,45 24,0 37,5 10,9 12,8 26,6
1,50 23,1 38,3 10,6 12,7 25,5
1,55 22,3 39,3 10,3 12,6 24,5
1,60 21,7 40,3 10,1 12,6 23,6
1,65 21,1 41,4 9,9 12,5 22,8
1,70 20,4 42,7 9,7 12,5 22,1
1,75 20,0 43,8 9,5 12,4 21,5
1,80 19,5 44,8 9,4 12,4 21,0
1,85 19,1 45,9 9,2 12,3 20,5
1,90 18,7 46,7 9,0 12,3 20,1
1,95 18,4 47,7 8,9 12,3 19,7
2,00 18,0 48,6 8,8 12,3 19,3
110
Unidade II
ly
lx
Figura 60
Tabela 32 – Lajes com dois lados maiores engastados, um lado menor engastado 
e um lado menor apoiado
ly
lx
αx αy βx βy αa
1,00 38,1 44,6 16,2 18,3 55,4
1,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,6
1,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,7
1,15 32,0 47,1 14,2 17,6 46,1
1,20 30,7 47,6 13,9 17,5 44,1
1,25 29,5 47,7 13,5 17,5 42,5
1,30 28,4 47,7 13,2 17,5 41,2
1,35 27,6 47,9 12,9 17,5 39,9
1,40 26,8 48,1 12,7 17,5 38,9
1,45 26,2 48,3 12,6 17,5 38,0
1,50 25,7 48,7 12,5 17,5 37,2
1,55 25,2 49,0 12,4 17,5 36,5
1,60 24,8 49,4 12,3 17,5 36,0
1,65 24,5 49,8 12,2 17,5 35,4
1,70 24,2 50,2 12,2 17,5 35,0
1,75 24,0 50,7 12,1 17,5 34,6
1,80 24,0 51,3 12,1 17,5 34,4
1,85 24,0 52,0 12,0 17,5 34,2
1,90 24,0 52,6 12,0 17,5 33,9
1,95 24,0 53,4 12,0 17,5 33,8
2,00 24,0 54,1 12,0 17,5 33,7
111
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
ly
lx
Figura 61
Tabela 33 – Lajes com quatro lados engastados
ly
lx
αx αy βx βy αa
1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,5
1,05 43,1 47,3 18,2 18,8 62,4
1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,6
1,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,4
1,20 35,2 49,3 15,5 17,9 50,3
1,25 33,4 50,5 14,9 17,7 47,6
1,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,6
1,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,6
1,40 29,6 54,8 13,7 17,5 42,0
1,45 28,6 56,4 13,4 17,5 40,5
1,50 27,8 57,3 13,2 17,5 39,5
1,55 27,2 57,6 13,0 17,5 38,4
1,60 26,6 57,8 12,8 17,5 37,6
1,65 26,1 57,9 12,7 17,5 36,9
1,70 25,5 57,8 12,5 17,5 36,3
1,75 25,1 57,7 12,4 17,5 35,8
1,80 24,8 57,6 12,3 17,5 35,4
1,85 24,5 57,5 12,2 17,5 35,1
1,90 24,2 57,4 12,1 17,5 34,7
1,95 24,0 57,2 12,0 17,5 34,5
2,00 24,0 57,0 12,0 17,5 32,0
112
Unidade II
Compatibilização (ou equilíbrio) dos momentos negativos entre as lajes adjacentes
Supondo que Mb2 ≥ Mb1, o valor do momento final M1-2 a considerar será:
2 1
1 2
1 2
1 2 2
Mb Mb
 M
M Máx 2
 M 0,8 Mb
−
−
−
+− == 
− =
, isto é, o maior desses dois valores.
Mbx1
Mbx2 Mbx2
Mx2Mx1
Momentos fletores obtidos 
das tabelas, considerando as 
lajes separadamente
M
bx
1 M
bx
2
M
1-
2
L1 L2
L2L1
M1-2: momento final 
negativo entre as lajes 1 e 2
Figura 62 – Compatibilização dos momentos fletores negativos
Os momentos fletores positivos são corrigidos e aumentados, quando for o caso, conforme indicado 
no esquema mostrado na figura a seguir. Se ocorrer diminuição do momento fletor (alívio), este não 
é considerado, sendo desprezado. Acrescente-se que a compatibilização dos momentos positivos e 
negativos deve ser feita nas duas direções da laje, observando que os momentos a serem compatibilizados 
podem corresponder a diferentes índices, x e y, para cada laje, ou seja, o momento de borda Mbx de uma 
laje pode ser compatibilizado com o momento Mby da outra, bastando que os dois estejam aplicados 
no mesmo lado comum.
113
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
X1 - XA
2
0,8 X3
X2 + X3
2
X3 - XB
2
M1
M1 M2 M3
M
M
XB
XA
M1 +
M3 +M2
>>
X1 X2 X2
X3
M2 M3X1 X2 X2 X3
Momentos fletores não
compatibilizados
Momentos fletores 
compatibilizados
0,8 X1
X1 + X2
2
Figura 63 – Compatibilização dos momentos fletores positivos e negativos
6.5.3.2 Reações de apoio
As cargas nas vigas de apoio das lajes retangulares sujeitas a cargasuniformemente distribuídas 
podem ser calculadas pelas áreas de contribuição decorrentes das cargas dos trapézios ou triângulos 
obtidos pelo traçado de ângulos de 45°, 60° ou 90° a partir dos vértices, da seguinte forma:
• 45° entre dois apoios do mesmo tipo.
• 60° a partir do apoio engastado, se o outro for simplesmente apoiado.
• 90° a partir do apoio vinculado (apoiado ou engastado), quando a borda vizinha for livre.
114
Unidade II
45º 45º
45º
45º
45º
45º
45º 45º
60º 60º
A B C
45º
60º
45º60º
60º
45º
D E
Figura 64 – Condições de apoio para distribuição de reações de apoio de lajes
Quadro 2 – Reações de apoio para lajes armadas em uma direção (NBR 6118)
lx ... lado menor
lx ... lado maior
p ... carga total distribuída uniformemente
ralx ... reação média do lado menor apoiado
relx ... reação média do lado menor engastado
raly ... reação média do lado maior apoiado
rely ... reação média do lado maior engastado 
1 2ly ly
lx lx
raly1 = rely2 = 
p lx
2
⋅
3 ly
lx
 raly = p lx
2
⋅
 rely = p lx
2
⋅
Quadro 3 – Reações de apoio para lajes armadas em duas direções ou em cruz (NBR 6118)
lx ... lado menor
lx ... lado maior
p ... carga total distribuída uniformemente 
ralx ... reação média do lado menor apoiado
relx ... reação média do lado menor engastado
raly ... reação média do lado maior apoiado
rely ... reação média do lado maior engastado
115
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
Laje tipo 1 Laje tipo 2 Laje tipo 3
lx
ly
ralx = p lx
4
⋅
raly = ralx ∙ 
 lx
2
ly
 
− 
 
 
lx
ly lx
ly
ralx = 0,732 ∙ p lx
4
⋅
raly = ralx ∙ 
 lx
2 0,732
ly
 
− ⋅  
 
rely = 1,732 ∙ raly
0,5 ≤ 
lx
ly
 ≤ 0,732
ralx = p lx
4
⋅
relx = 1,732 ∙ ralx
raly = ralx ∙ 
 lx
2 1,366
ly
 
− ⋅  
 
lx
ly
 > 0,732
raly = 0,732 ∙ p lx
4
⋅
ralx = raly ∙ 
 ly
2 1,366
lx
 − ⋅  
 
relx = 1,732 ∙ ralx
Laje tipo 4 Laje tipo 5 Laje tipo 6
lx
ly
ralx = 0,732 ∙ p lx
4
⋅
raly = ralx ∙ 
 lx
2
ly
 
− 
 
 
rely = 1,732 ∙ raly
relx = 1,732 ∙ ralx
lx
ly lx
ly
ralx = 0,577 ∙ p lx
4
⋅
rely = p lx
4
⋅ ∙ 
 lx
2 0,577
ly
 
− ⋅  
 
0,5 ≤ 
lx
ly
 ≤ 0,577
relx = 1,732 ∙ p lx
4
⋅
raly = p lx
4
⋅ ∙
 
 lx
2 1,732
ly
 
− ⋅  
 
lx
ly
 > 0,577
relx = p lx
4
⋅
 ∙ 
 ly
2 0,577
lx
 − ⋅  
 
raly = 0,577 ∙ 
p lx
4
⋅
Laje tipo 7 Laje tipo 8 Laje tipo 9
lx
ly
relx = p lx
4
⋅
rely = relx ∙ lx2 0,79
ly
 
− ⋅  
 
ralx = 0,577 ∙ relx
lx
ly
lx
ly
relx = p lx
4
⋅
rely = relx ∙ 
 lx
2
ly
 
− 
 
 
0,5 ≤ 
lx
ly
 ≤ 0,79
relx = 0,268 ∙ p lx
4
⋅
ely = relx ∙ 
 lx
2 1,268
ly
 
− ⋅  
 
raly = 0,577 ∙ rely
lx
ly
 > 0,79
rely = p lx
4
⋅
relx = rely ∙ 
 ly
2 0,79
lx
 − ⋅  
 
raly = 0,577 ∙ rely 
116
Unidade II
Flecha máxima no centro da laje
4
e
3 
p.lx
a
E.h . α
=
Sendo:
E = módulo de elasticidade do concreto.
h = espessura da laje.
6.6 Cálculo e detalhamento de lajes maciças
6.6.1 Cálculo das armaduras de flexão necessárias
O cálculo das armaduras necessárias para resistir aos momentos fletores nas lajes em cada direção é 
feito para uma seção de um metro de largura, de forma análoga a de uma viga com bw =100 cm sujeita 
a um momento fletor característico Mk. Isso se deve ao fato de que os momentos calculados nas lajes 
são para uma largura unitária, como visto anteriormente.
As
d h
b = 100 cm
Figura 65 – Distribuição de armadura em um metro de laje
Assim sendo, podemos usar as tabelas para o dimensionamento de seções à flexão simples, como, 
por exemplo, a tabela “Valores de k6 e k3 para concretos do grupo I”, deste livro-texto.
6.6.2 Disposições construtivas segundo a NBR 6118
a) Armaduras mínimas.
Asmín = rs bw h, com bw = 100 cm
Tabela 34 – Taxas mínimas de armaduras de flexão para seções retangulares 
Forma da 
seção
Valores de ρmín 
a (Asmín/Ac)
%
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
Retangular 0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256
a Os valores de ρmín estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, d/h = 0,8 e γC = 1,4 e γS = 1,15. Caso esses fatores 
sejam diferentes, ρmín deve ser recalculado.
Fonte: ABNT (2014, p. 130).
117
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
Comentários adicionais – taxas de armaduras mínimas para as lajes
• Armaduras negativas: ρs ≥ ρmín
• Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções: ρs ≥ 0,67 ρmín
• Armaduras positivas de lajes armadas em uma direção: ρs ≥ ρmín
Nas lajes armadas em uma só direção e nas lajes nervuradas, a armadura de distribuição por metro 
quadrado de laje deve ter seção transversal de área igual ou superior a um quinto da armadura principal, 
e com um mínimo de 0,9 cm2/m, sendo composta por pelo menos três barras, ou seja:
principal
2
distribuição
1/ 5. As
As 0,9 cm / m
3 barras

≥ 


Comentários adicionais sobre taxas de armaduras mínimas
Os valores da armadura mínima para seções retangulares foram calculados para os concretos dos 
grupos I e II, considerando a relação d/h = 0,8, γc = 1,4 e γs = 1,15. Para outros valores de coeficientes 
de minoração dos materiais e para relações d/h inferiores a 0,8, as armaduras mínimas deverão ser 
calculadas, aplicando-se a definição de momento fletor mínimo:
d,mín 0 ctk,supM 0,8 W f=
Onde:
• W0 é o módulo resistente da seção bruta de concreto, relativo à fibra mais tracionada.
• fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração.
Exemplo de aplicação
Seja uma laje com seção de h = 0,12 m, d = 0,09 m, concreto classe C45, γc = 1,4 e γs = 1,15. 
Determinar a armadura mínima e a taxa de armadura.
Resolução
a) Resistência característica à compressão.
Para concreto classe 45, tem-se:
ck ckf 45 MPa f 45000 kN / m²= ⇒ =
118
Unidade II
b) Resistência de cálculo à compressão.
ck
cd cd
f 45
f 32,143 MPa f 32143 kN / m²
c 1,4
= = = ⇒ =
γ
c) Resistência média à tração.
Deve-se lembrar que o valor de ckf deve ser utilizado em MPa na equação de ct,mf , e só depois 
convertido. Assim, tem-se:
( )
2 2
3 3ct,m ct,mckf 0,3 f 0,3 45 3,795 MPa f 3795 kN / m²= ⋅ = ⋅ = ⇒ =
d) Resistência característica à tração superior.
ctk,sup ct,m ctk,supf 1,3 f 1,3 3,795 4,933 MPa f 4933 kN / m²= ⋅ = ⋅ = ⇒ =
e) Módulo resistente da seção bruta de concreto.
2 2
3
0
bh 1 . 0,12
W 0,0024 m
6 6
= = =
f) Cálculo do momento fletor mínimo.
d,mín 0 ctk,supM 0,8 . W . f 0,8 . 0,0024 . 4933 9,471 kN.m= = =
g) Determinação da profundidade da linha neutra.
2
9,471
x 1 ,25.0,09 1 1 0,00492m
0,425.1,00.0,09 .32143
 
= − − = 
 
h) Determinação da armadura mínima.
( ) ( )
2Msd 9,471As 2,47 cm 
50fyd . d 0,4 x . 0,09 0,4 . 0,00492
1,15
= = =
− −
i) Determinação da taxa de armadura mínima.
As 2,47
 0,0020 0,20%
b . h 100 .1 2
ρ = = = =
Observa-se que o valor obtido é diferente do da tabela citada anteriormente, pois adota a relação 
d/h diferente.
119
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
A expressão do momento mínimo refere-se ao momento de fissuração de elementos de concreto 
armado sem força normal.
b) Diâmetro das barras.
φ ≤ 
h
8
c) Espaçamento entre as barras.
φ
s
c
d h
(cobrimento) 
Figura 66 – Disposições construtivas das lajes
smáx ≤ 
2 h
20 cm



smín = valor recomendado = 7cm
O valor de espaçamento mínimo entre as barras indicadas, de 7 cm, é normalmente utilizado 
como recomendação, no sentido de facilitar a concretagem; em tese o espaçamento mínimo pode ser 
determinado de forma que sobre uma distância livre entre as barras para a passagem do concreto igual 
a 3 cm. Assim o valor de smín seria:
smín = φ barra + 3 cm
6.6.3 Determinação do número, formato e dimensões das barras
a) Armadura positiva – para resistir aos momentos nos vãos das lajes.
120
Unidade II
lo lo
h - 2c
bviga 1 bviga 2 bviga 3
l = lo + bviga1 +
+ bviga2- 2c
l = lo + bviga2 +
+ bviga3- 2c
c = cobrimento da armadura da viga
Figura 67 – Disposição e dimensões das armaduraspositivas em desenho
Apoios extremos ou sem continuidade Apoios intermediários
h-2c
c
A B
cviga cviga
(viga)
Dispõe-se o gancho na
extremidade por motivos
construtivos
Figura 68 – Detalhes das extremidades dos ferros na região dos apoios (recomendação)
b) Armadura negativa – para resistir aos momentos entre as lajes (após sua compatibilização).
Figura 69 – Disposição e dimensões das armaduras negativas em desenho
121
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
Quando b < 40 cm
Quando b > 40 cm
Ganchos
construtivos
Ganchos
construtivos
h - 2c
h - 2c
a
A
B
a b
b
a
a
b
Figura 70 – Detalhes e dimensões das armaduras negativas
Sendo:
lx maior
 
a 4
lb 2h
=

 ≥ +
lx maior = maior dos lados menores.
(lx) das duas lajes.
lb = comprimento de ancoragem.
Exemplo de aplicação
Dadas as plantas de arquitetura e de formas do pavimento tipo de um edifício residencial, dimensionar 
e detalhar as lajes (moldadas no local).
Dados de materiais e cargas:
Concreto classe C25
Classe de agressividade ambiental ll
Alvenaria de tijolos furados – g alv = 13 kN/m³
Pé-direito de piso a piso = 2,90 m
Revestimento de piso = 5 cm g rev = 0,8 kN/m²
122
Unidade II
Gradil na extremidade da varanda – carga = 1,0 kN/m
4.95
Quarto
Sala
Varanda
CozinhaBanho
3.
45
6.
45
2.
80
2.
40
3.30
1.40
3.001.80
Figura 71 – Planta de arquitetura (medidas em metros)
P1
20/30
P4
20/30
P6
20/30
P2
20/30
P5
20/30
P7
20/30
P8
20/30
P3
20/3020/40
20/50
20/40 20/30
20
/3
0
20
/3
0
20
/7
0
24
0
20/30V1
V2
V3
V4 V5 V6
20 20 20495
L1
h=10
L3
h=10 L4
h=9
L2
h=10
330
140
20
20
28
0
20 20
34
5
20
64
5
Figura 72 – Planta de formas (medidas em centímetro)
123
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
P1
P4
P6 P7 P8
P5
P2 P3V1
V2
V3
V4
515
36
5
30
0
23
0
V5 V6
66
5
L1
L3
L2
L4
150
350
Figura 73 – Esquema unifilar da estrutura (eixos dos elementos)
L1 – Esquema
lx
ly
Figura 74 – Lajes isoladas (cálculo dos momentos)
lx= 20
2
 + 345 + 20
2
 = 365 cm
ly= 20
2
 + 495 + 20
2
 = 515 cm
ly
lx
 = 1,41 
Laje armada em cruz – tabela “Lajes com dois lados adjacentes engastados e dois lados adjacentes 
apoiados” (laje engastada em dois lados adjacentes).
124
Unidade II
Carga distribuída na L1:
Peso próprio: glaj = 0,10 × 25 = 2,50 kN/m²
Revestimento piso: grev = 0,80 kN/m²
Carga acidental: q = 1,5 kN/m² – sala – NBR 6120 (ABNT, 2000)
Total: p = 2,50 + 0,80 + 1,50 = 4,80 kN/m² 
Da tabela “Lajes com dois lados adjacentes engastados e dois lados adjacentes apoiados”, para ly
lx
 = 1,40 (mais próximo):
αx = 22,2 αy = 37,8 βy = 10,0 βy = 12,6 
p lx² 4,80. 3,65²
Mx 2,88 kNm / m
x 22,2
= = =
α
p lx² 4,80. 3,65²
My 1,69 kNm / m
y 37,8
= = =
α
p lx² 4,80. 3,65²
Mbx 6,39 kNm / m
x 10,0
= = =
β
p lx² 4,80. 3,65²
Mby 5,08 kNm / m
y 12,6
= = =
β
lx
ly
M
bx
M
bx
M
bx
My
Mby
Figura 75
125
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
L2 – Esquema
ly
lx
Figura 76
lx = 20
2
 + 330 + 20
2
 = 350 cm
ly = 20
2
 + 645 + 20
2
 = 665 cm
ly
lx
 = 1,90 
Laje armada em cruz – tabela “Laje apoiada em três lados e engastada em um lado maior” (laje engastada 
em um lado – lado maior).
Carga distribuída na L2:
Peso próprio: glaj = 0,10 × 25 = 2,50 kN/m²
Revestimento piso: grev = 0,80 kN/m²
Carga acidental: q = 1,5 kN/m² –sala – NBR 6120 (ABNT, 2000)
Total: p = 2,50 + 0,80 + 1,50 = 4,80 kN/m² 
Da tabela “Laje apoiada em três lados e engastada em um lado maior”, para ly
lx
 = 1,90:
αx = 16,4 αy = 42,5 βx = 8,3 
p lx² 4,80. 3,50²
Mx 3,59 kNm / m
x 16,4
= = =
α
p lx² 4,80. 3,50²
My 1,38 kNm / m
y 42,5
= = =
α
126
Unidade II
p lx² 4,80. 3,50²
Mbx 7,08 kNm / m
x 8,3
= = =
β
lx
ly
Mx
M
y
Mbx
Figura 77 – Esquema dos momentos na laje isolada
L3 – Esquema
lx
ly
Figura 78
lx = 20
2
 + 290 + 20
2
 = 300 cm
ly = 20
2
 + 495 + 20
2
 = 515 cm
ly
lx
 = 1,72 
Laje armada em cruz – tabela “Lajes com dois lados adjacentes engastados e dois lados adjacentes 
apoiados (assim como a L1). 
127
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
Carga distribuída na L3:
Peso próprio: glaj = 0,10 × 25 = 2,50 kN/m²
Revestimento piso: grev = 0,80 kN/m²
Carga da parede central (peso da parede distribuído na laje: Gparede = 0,15 × (2,90 − 0,10) × 2,80 × 13 = 15,29 kN
gpar = 15,29/(3,00 × 5,15) = 0,99 kN/m²
Carga acidental: q = 1,5 kN/m² (cozinha e banheiro)
Total: p = 2,50 + 0,80 + 0,99 + 1,50 = 5,79 kN/m²
Da tabela “Lajes com dois lados adjacentes engastados e dois lados adjacentes apoiado, para ly
lx
 = 1,70 (mais próximo):
αx = 18,8 αy = 40,2 βy = 8,9 βy = 12,2 
p lx² 5,79. 3,00²
Mx 2,77 kNm / m
x 18,8
= = =
α
p lx² 5,79. 3,00²
My 1,30 kNm / m
y 40,2
= = =
α
p lx² 5,79. 3,00²
Mbx 5,86 kNm / m
x 8,9
= = =
β
p lx² 5,79. 3,00²
Mby 4,27 kNm / m
y 12,2
= = =
β
ly
lx
M
x
My
Mby
M
bx
Figura 79 
128
Unidade II
L4 – Esquema 
lx
ly
Figura 80 
Laje em balanço: lx = 
20
2
 + 140 = 150 cm
Carga distribuída na L4:
Peso próprio: gl = 0,09 × 25 = 2,25 kN/m²
Revestimento piso: gr = 0,80 kN/m²
Carga acidental: q = 1,5 kN/m² (varanda)
Total – carga distribuída: 
p = 2,25 + 0,80 + 1,50 = 4,55 kN/m²
Cargas na extremidade do balanço
Gradil = 1,0 kN/m (parapeito)
Cargas acidentais sobre o gradil – NBR 6120 (ABNT, 2000):
Vertical = 2,0 kN/m (carga adicional sobre a gradil)
Horizontal = 0,8 kN/m (considerado a 1 m da laje, na falta de dados, ou seja, 1 m + 1
2
 espessura da laje)
129
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
Momento de engastamento: 
Mbx = 4,55 × 
21,5
2
 + (1,0 + 2,0) × 1,5 + 0,8 × 1,045 = 10,45 kNm/m
Compatibilização dos momentos negativos
Momentos finais entre as lajes
L1
L2
: M1-2 = máx = 6,08 kNm/m 
L1
L3
: M1-3 = máx = 6,13 kNm/m 
L2
L3
: M2-3 = máx = 5,68 kNm/m 
L3
L4
: não é feita a compatibilização – o momento a ser considerado é o do engastamento do balanço.
h = 10
1,69
3,59
h = 10
h = 9
10,45
6,08
1,30
5,68
2,
77 h = 10
6,
13
2,
88
1,
38
Figura 81 – Esquema dos momentos finais nas lajes (kNm/m)
130
Unidade II
Cálculo das armaduras nas lajes:
Tabela 35 – Dimensionamento
fck = 25 MPa fc = 1,52 kN/cm2
M h d k6 k3 Asnec Asmin Armadura
adotada
OBS
kNm/m cm cm cm2/m cm2/m
1,69 10 6,5 37,95 0,33 0,86 1,01 φ 6,3 C/ 20 0,67 ρmin
2,88 10 6,5 22,27 0,335 1,48 1,01 φ 6,3 C/ 20 0,67 ρmin
1,3 10 6,5 49,33 0,327 0,65 1,01 φ 6,3 C/ 20 0,67 ρmin
2,77 10 6,5 23,15 0,333 1,42 1,01 φ 6,3 C/ 20 0,67 ρmin
3,59 10 6,5 17,86 0,338 1,87 1,01 φ 6,3 C/ 16 0,67 ρmin
1,38 10 6,5 46,47 0,327 0,69 1,01 φ 6,3 C/ 20 0,67 ρmin
6,08 10 6,5 10,55 0,347 3,25 1,50 φ 8 C/ 15
5,68 10 6,5 11,29 0,347 3,03 1,50 φ 8 C/ 16
6,13 10 6,5 10,46 0,347 3,27 1,50 φ 8 C/ 15
10,45 9 5,5 4,39 φ C/ kx<0,45*
10,45 10 6,5 6,14 0,373 6,00 1,50 φ 10 C/ 13 altura 10
*Há necessidade de aumentar a espessura.
5
5 18 ø 6,3 C/20 - CT = 534
40 ø 6,3 C/16 - CT = 369
5
5 5
55
529
364
529
31
4
14 ø 6,3 C/20 - CT = 534
25
 ø
 6
,3
 C
/2
0 
- 
CT
 =
 3
19
67
9
- 
CT
 =
 3
84
25
 ø
 6
,3
 C
/2
0
17
 ø
 6
,3
 C
/2
0 
- 
CT
 =
 6
89
37
9
Figura 82 – Detalhamento das lajes (armadura positiva). Desenho (armação positiva)
Cobrimento da armadura das lajes: 2,5 cm
Cobrimento da armadura das vigas: 3 cm
131
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
23 ø 8 C/15 - CT=194
1845 5
18 ø 8 C/16 - CT=186
1765 53
3 
ø 
8 
C/
15
 -
 C
T=
19
4
18
4
5
5
19 ø 10 C/13 - CT=270
2305 530
Figura 83 – Detalhamento das lajes (armadura negativa). Desenho (armação negativa (armaduras principais))*
Cobrimento da armadura das lajes: 2,5 cm
*Observar recomendações de armaduras complementares
 Resumo
Vimos sobre o comportamento do concreto em seções sujeitas à flexão 
simples, e o mecanismo de resistência das peças de concreto armado, que 
permitem o estudo e as formulações para a verificação do concreto e das 
armaduras necessárias. Foi estudado o comportamento de uma seção 
transversal sujeita à flexão conforme o momento atuante vai crescendo, 
que define os estádios do concreto. 
O estudo do método clássico de cálculo doconcreto permite a 
formulação das equações de dimensionamento das seções considerando 
o estado-limite último de ruptura, que pode ser quando o concreto 
atinge o encurtamento último convencional, ou quando a armadura 
tracionada chega a seu alongamento máximo convencional, de 10‰.
Os domínios de deformação na seção transversal indicam as condições 
de deformações que correspondem a faixas de funcionamento do concreto 
e do aço, permitindo visualizar as situações ligadas ao comportamento 
desses dois materiais. O dimensionamento de uma seção sujeita a flexão 
132
Unidade II
simples deverá estar entre os domínios 2 e 3, na chamada zona útil, 
procurando a ductilidade da seção, por meio do alongamento máximo da 
armadura. Nesses casos, a peça é denominada subarmada, que é a situação 
desejada. A ruptura de uma seção, quando sujeita a um momento superior 
ao previsto, por exemplo, deverá proporcionar um aviso da estrutura por 
meio da deformação excessiva da armadura, e nunca pelo esgotamento da 
capacidade do concreto, uma vez que a ruptura seria por este, portanto 
brusca, sem aviso. Isso ocorreria caso a seção estivesse trabalhando no 
domínio 4, onde ela é superarmada.
Abordamos a formulação para o dimensionamento das seções retangulares 
sujeitas à flexão simples, utilizando armadura simples e dupla, onde é colocada 
uma armadura de compressão para auxiliar o concreto a resistir a esse tipo 
de esforço. Apresentamos uma tabela para o dimensionamento prático de 
seções retangulares sujeitas à flexão simples.
As tabelas de Czerny fornecem coeficientes que nos permitem calcular 
os valores dos momentos fletores máximos (positivos e negativos) ao longo 
das direções x e y, paralelas aos lados lx e ly, além da flecha máxima da laje, 
calculada no regime elástico.
Apresentamos a abordagem prática do estudo das lajes maciças, bem 
como as considerações dos tipos de laje em função de sua geometria, as 
disposições construtivas segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014), e a sequência 
de cálculo, dimensionamento e detalhamento das lajes, usando como 
exemplo um caso prático baseado em situações reais. 
Cabe ressaltar que os lados lx e ly não têm nada a ver com os eixos 
cartesianos x e y, e sim com os vãos teóricos menor e maior. Acrescente-se que 
a compatibilização dos momentos positivos e negativos deve ser feita nas duas 
direções da laje, observando que os momentos a serem compatibilizados podem 
corresponder a diferentes índices, x e y, para cada laje, ou seja, o momento de 
borda Mbx de uma laje pode ser compatibilizado com o momento Mby da 
outra, bastando que os dois estejam aplicados no mesmo lado comum.
 Exercícios
Questão 1. (Simulado UNIP 2019) Domínios de deformações na ruína são situações em que pelo 
menos um dos materiais, o aço ou o concreto, atinge o seu limite de deformação:
• alongamento último do aço (εcu = 1,0%);
• encurtamento último do concreto (εcu = 0,35% na flexão e εcu = 0,2% na compressão simples).
133
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
O primeiro caso é denominado ruína por deformação plástica excessiva do aço; o segundo, ruína por 
ruptura do concreto.
Duas considerações devem ser feitas: a primeira refere-se à perfeita aderência entre o aço e o 
concreto e a segunda diz respeito à Hipótese de Bernoulli, de que seções planas permanecem planas 
durante sua deformação.
Sabe-se que, para que o aço atinja seu alongamento máximo, a seção deve ser solicitada por tensões 
de tração capazes de produzir na armadura uma deformação específica de 1% (εs = 1%). Essas tensões 
podem ser provocadas por esforços, como:
• tração (uniforme ou não uniforme);
• flexão (simples ou composta).
Considerando o texto apresentado, a figura a seguir, que representa parte do diagrama de domínios 
de estado limite último de uma seção transversal, de acordo com a NBR 6118:2014, e considerando a 
área representada pelo triângulo ABC, podemos afirmar que:
0,20%CB d'
d
A 1%
AlongamentoEncurtamento
Figura 84 
A) Trata-se de domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto 
(εc < 3,5‰ e com o máximo alongamento permitido) e a posição da linha neutra varia de 
zero a 0,259 d.
B) Trata-se de domínio 1: tração não uniforme, sem compressão e a posição da linha neutra varia 
de −∞ a zero. 
C) Trata-se de domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto (εc < 
3,5‰ e com o máximo alongamento permitido) e a posição da linha neutra varia de 0,259 d a 
[3,50 d (3,50 + (fyd/Es))].
D) Trata-se de domínio 3: flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão 
do concreto e aço tracionado sem escoamento (εs < εyd) e a posição da linha neutra varia de 
0,259 d a [3,50 d (3,50 + (fyd/Es))]. 
134
Unidade II
E) Trata-se de domínio 1: tração não uniforme, sem compressão e a posição da linha neutra varia de 
zero a + ∞. 
Resposta correta: alternativa B.
Análise da questão
A linha correspondente ao alongamento constante e igual a 1% é denominada reta a (indicada 
também na figura a seguir). Ela pode ser decorrente de tração simples, se as áreas de armadura As e 
A’s forem iguais, ou de uma tração excêntrica em que a diferença entre As e A’s seja tal que garanta o 
alongamento uniforme da seção.
N
1%
0,35%
Re
ta
 a
A'S ε'S
εSAS
Figura 85
Para a notação utilizada, a posição da linha neutra é indicada pela distância x até a borda superior da 
seção, sendo essa distância considerada positiva quando a linha neutra estiver abaixo da borda superior, 
e negativa no caso contrário.
Como para a reta a não há pontos de deformação nula, considera-se que x tenda para −∞.
Para diagramas de deformação em que ainda se tenha tração em toda a seção, mas não uniforme, 
com εs = 1% na armadura, e as deformações na borda superior variando entre 1% e zero, tem-se os 
diagramas de deformação num intervalo denominado domínio 1 (figura a seguir). Nesse caso, a posição 
x da linha neutra varia entre −∞ e zero. O domínio 1 corresponde à tração excêntrica.
N
x
d
1%
0,35%
Re
ta
 a
A'S ε'S
εSAS
Figura 86 – Domínio 1
135
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
0,2% 0,35%
C
Bd'
d
A
a
1
2
3
3
7
h
h
b
4
4a
5
1%
Alongamento Encurtamento
εyd
Figura 87 – NBR 6118/2014
Questão 2. (Fepese 2018) Quando a estrutura é projetada sem a consideração automática da 
ação conjunta entre lajes e vigas, esse efeito pode ser considerado mediante a adoção de uma largura 
colaborante da laje associada à viga, compondo uma seção transversal “T”. Elas podem ser encontradas 
nas estruturas de concreto armado sob a forma de:
I – Vigas com lajes maciças.
II – Vigas com mísula com lajes maciças.
III – Vigas com lajes nervuradas com a linha neutra passando pela mesa.
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas corretas.
A) É correta apenas a afirmativa I.
B) São corretas apenas as afirmativas I e II.
C) São corretas apenas as afirmativas I e III.
D) São corretas apenas as afirmativas II e III.
E) São corretas as afirmativas I, II e III. 
Resposta correta: alternativa E.
Análise da questão 
Segundo a norma NBR 6118 (ABNT, 2014), “a consideração da seção T pode ser feita para estabelecer 
as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos na estrutura, de uma forma 
mais realista”.
136
Unidade II
A figura a seguir mostra a contribuição da laje para a zona comprimida da viga no momento máximo 
positivo. Essa contribuição entre laje e viga implica em aumento de rigidez. 
Seção S 
da viga
S
compressão
tração
Figura 88 – Contribuição para a rigidez entre laje e viga.
Fonte: https://docs.wixstatic.com/ugd/04b136_254e9cb3da574572bd03445b2794be4e.pdf.
Pode-se adotar a seção T para vigas que se solidarizam com lajes maciças. Se existirem mísulas, serão 
necessárias adaptações para que sejam determinadas as larguras efetivas. 
A NBR 6118 (ABNT, 2014) estabelece, ainda, que as considerações das lajes nervuradas são similares 
às das lajes maciças, salvo quando não atenderem condições previstas na norma, tais