Piskunov N. Cálculo diferencial e integral vol I (1988)

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N. P I S K O U N O V
CÁLCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL
V O L U M E I
T R A D U Ç A O D E :
ANTÔNIO EDUARDO PEREIRA TEIXEIRA
Licenciado em Economia (U. P.) 
Contabilista diplomado (I. C. P.)
MARIA JOSÉ PEREIRA TEIXEIRA
Contabilista diplomada (I. C. P.)
12.* EDIÇAO em LiNGUA PORTUGUESA
E D I Ç Õ E S L O P E S D A S I L V A - P O R T O - 1 9 8 8
Título da 4. ^ edição do original russo
H. C. nMCKVHOB
flHOKDEPEHIíHAJIblIOE
H
HIITErPAJIbHOE
HCHHCJIEHHfl
TOM I
II3;iATEabCTBO «HAVKA» 
MOGKBA
Dedicamos este nosso trabalho aos nossos que­
ridos pais e irmãs e duma maneira geral aos fami­
liares que mais de perto nos acompanham,
O tradutor dedica ainda esta tradução, em espe­
cial, aos queridos colegas Maria Luísa e José Alves 
Baptista que sempre o acompanharam nos seus 
estudos superiores, nas matérias versadas na pre­
sente obra e ainda a todos os queridos alunos, que 
directa ou indirectamente, contribuiram para a 
prossecução desta tradução.
o s TRADUTORES
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para todos os paises de expressão Portuguesa, de acordo com as leis em vigor. 
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Dep. Legai N.* 19647 / 88^5.000 ex.
Í N D I C E
Prefácio 11
C A P Í T U L O I 
NóiiMro, voriável, funçd«t
§ 1 . Números reais. Representação dos números reais pelos pontos do
eixo n u m érico ...............................................................................................
§ 2. Valor absoluto de um número r e a l ...................................................
§ 3. Grandezas variáveis e grandezas con stan tes.....................................
§ 4. Domínio de definição duma variável...................................................
§ 5. Variável ordenada. Variável crescente e variável decrescente. Variá
vel l i m i t a d a ...............................................................................................
§ 6. • F u n ç ã o .......................................................................................................
§ 7. Diversas formas de expressão das fu n ç õ e s .....................................
§ 8. Principais funções elementares. Funções elementares . . . .
§ 9. Funções algébricas........................................................................................
§ 10. Sistema de coordenadas p o la r e s ...........................................................
E x erc íc io s .......................................................................................................
13
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21 
23
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32
C A P I T U L O II
Limite e continuidade d ot funçdet
§ 1 . Limite duma grandeza variável. Grandeza variável infinitamente
grande ....................................................................................................................... 34
$ 2. Limite de uma f u n ç ã o .......................................................................................... 37
§ 3. Funções que tendem para o infinito. Funções limitadas . . . 41
§ 4. Infinitamente pequenos e as suas propriedades fundamentais . 45
$ 5. Teoremas fundamentais sobre os limites . • ..............................................4g
sen X
§ 6. Limite da função --------- quando x - > 0 ............................................ 52
X
§ 7. O número e ..................................................... 54
§ 8. Logaritmos n e p e r i a n o s ......................................................................... ........ 59
§ 9. Continuidade das fu n çõ es ..........................................................................................60
§ 10. Propriedades das funções co n tín u a s....................................................................64
§ 1 1 . Comparação de infinitamente p e q u e n o s ...................................................................66
E x erc íc io s .......................................................................................................................69
Í N D I C E
§
§ 8. 
Ô 9. 
§ 10. 
§ 11. 
§ 12.
§ 13. 
§ Í4. 
§ 15. 
§ V6. 
§ 17. 
» 18. 
§ 19. 
§ 20. 
§ 21. 
§ 22. 
§ 23. 
§ 24.
§ 25. 
§ 26.
§ 27.
C A P I T U L O III
Derivado e difereiiciol
Velocidade dum movimento 72
Definição da derivada................................................................................................. 74
Interpretação geométrica da derivada . . . 76
Funções d e r i v á v e i s ................................................................................................. 78
Cálculo da derivada das funções elementares. Derivada da função
y = xn para n inteiro e p o sitiv o ........................................................................... 79
Derivadas das funções >’ = sen a*; y = c o s x .............................................81
Derivadas duma constante, dum produto duma constante por uma 
função, duma soma, dum produto e da divisão de duas funções 83
Derivação duma função lo g a r ítm ic a ............................................................ 88
Derivada duma função com p osta ........................................................................... 89
Derivadas das funções y = Ig a , y = cotg a , y = Log | a | . . 92
Função implícita e sua d erivad a ........................................................................... 94
Derivada duma função potência quando o expoente é um número 
real qualquer, derivada da função exponencial e da função com­
posta exponencial ................................................................................................. 96
Função inversa e sua d e r iv a d a ........................................................................... 98
Funções trigonométricas inversas e suas d erivad as.....................................102
Quadro das principais fórmulas de derivação....................................................106
Funções dadas sobre a forma param étrica ....................................................106
Equações paramétricas de certas c u r v a s ...........................................................110
Derivada duma função dada sob a forma paramétrica . 113
Funções h ip erbólicas.................................................................................................114
Diferencial .............................................................................................................. 118
Interpretação geométrica do diferencial 122
Derivadas de diferentes ordens . . . . 123
Diferenciais de diferentes o r d e n s ..........................................................................125
Derivadas de diferentes ordens das funções implícitas e das funções
dadas sob a forma param étrica........................................................... 127
Interpretação mecânica da derivada segu n d a ....................................................129
Equações da tangente e da normal. Comprimento da sub-tangente
e da su b -n o rm a l....................................................................................................... 131
Interpretação geométrica da derivada do raio vector em relação
ao ângulo polar 134
Exercícios 135
í N D I C K
C A P I T U L O IV
Teoremas relativos às funções deriváveis
§ I. Teorema relativo às raízes da derivada (teorema de Rolle) 148
íj 2. Teorema dos crescimentos finitos (teorema de Lagrange) 150
§ 3. Teorema de Cauchy (relação dos crescimentos de duas funções) 152
$ 4. 1.imite do quociente de dois infinitainente pequenos (verdadeiro valor
das indeterminações da forma 153
$ 5. Limite do quociente de dois inhnitamente grandes (verdadeiro valor
das indeterminações da forma ^ > 156
§ 6. Fórmula de T a y l o r ................................................................................................
162
§ 7. Desenvolvimento das funções :enjr, cos;r, pela fórmula dc Taylor • 166 
Exercícios 170
C A P I T U L O V
Estudo da variação dos funções
§ 1. Posição do p rob lem a .................................................................................
§ 2. Crescimento e decrescimento das fu n çõ es ............................................
§ 3. Máximo e mínimo das f u n ç õ e s .......................................
§ 4. Caminho a seguir para o estudo do máximo e do mínimo duma 
função derivável com o auxílio da derivada primeira . . . .
§ 5. Estudo do máximo e do mínimo das funções com o auxilio da
derivada s e g u n d a ........................................................... ^ . . .
§ 6. Maior e menor valor duma função sobre um segmento 
§ 7. Aplicação da teoria do máximo e do mínimo das funções na reso­
lução de p r o b le m a s .................................................................................
$ 8. Estudo dos máximos e dos mínimos duma função com o auxílio
da fórmula de T a y l o r ..........................................................................
§ 9. Convexidade e concavidade das curvas. Pontos de inflexão
$ 10. A s s í m p t o t a s ................................................................................................
§ 1 1 . Esquema geral do estudo das funções e da construção dos gráficos
ã 12. Estudo das curvas dadas sob a forma p a ra m étr ica ..............................
E x e r c íc io s .............................. . . . . . . .
174
175 
177
183
186
190
191
193
196
202
207
211
215
Í N D I C E
C A P Í T U L O VI 
Curvoturo duiira curva
§ 1. Comprimento do arco e sua derivada
§ 2. Curvatura...............................................................................
§ 3. Cálculo da curvatura................................................................................
§ 4. Cálculo da curva>tura das curvas sob a forma paramétrica .
§ 5. Cálculo da curvatura das curvas em coordenadas polares 
§ 6. Raio e círculo de curvatura. Centro de curvatura. Evoluta e evolvente
§ 7. Propriedades da e v o l u t a ............................. ...........................................
§ 8. Cálculo aproximado das raízes reais duma equaçáo
E x e r c íc io s .......................................................................................................
222
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231 
237 
240 
245
C A P I T U L O VI I 
Númerot complaxot. Polinómios
§ 1. Números complexos. D e fin iç õ e s ...........................................................
§ 2. Principais operações sobre os números complexos . . . .
§ 3. Elevação de um número complexo a uma potência e extracção
da raiz dum número c o m p le x o ...........................................................
§ 4. Função exponencial de expoente complexo e suas propriedades 
§ 5. Fórmula de Euler. Forma exponencial dum número complexo
§ 6. Decomposição dum polinómio em fa c to r e s .....................................
§ 7. Raízes múltiplas do p o l in ó m io ...........................................................
§ 8. Decomposição em factores dum polinómio no caso das raízes
co m p le x a s .......................................................................................................
§ 9. Interpolação. Fórmula de interpolação de Lagrange
10. Melhor aproximação duma função pelos polinómios. Teorema de
Tchébychev ...............................................................................................
E x e r c íc io s .......................................................................................................
249
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C A P Í T U L O VI I I 
Funções de várias variáveis
§ 1. Definição das funções de várias v a r iá v e is .............................
2. Representação geométrica duma função de duas variáveis .
3. Crescimento parcial e crescimento total da função .
§ 4. Continuidade das funções de várias variáveis . . . .
§ 5. Derivadas parciais duma função de várias variáveis 
§ 6. Interpretação geométrica das derivadas parciais duma função
duas variáveis........................................................................................
8 7. Crescimento total e diferencial t o t a l .....................................
li 8. Emprego do diferencial total para os cálculos aproximados .
273
276
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281
283
284 
288
í n d i c e
Emprego do diferencial para avaliar o erro cometido durante os
cálculos n u m é r i c o s ................................................................................
Derivada duma função composta. Derivada total . . . .
Derivação das funções im p l í c i t a s ...................................................
Derivadas parciais de diferentes o r d e n s ............................................
Superfícies de n í v e l ................................................................................
Derivada segundo uma dada d i r e c ç ã o ............................................
G ra d ien te ......................................................................................................
Fórmula de Taylor para uma função de duas variáveis 
Máximo e mínimo duma função de várias variáveis 
Máximos e mínimos das funções de várias variáveis submetidas 
a certas condições (máximos e mínimos ligados) . . . .
Pontos singulares duma c u r v a ..........................................................
E x e r c íc io s ......................................................................................................
289
293
295
298
303
304 
306 
310 
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321
327
332
C A P I T U L O IX
Aplicações do cálculo diferencial na geometria do espoço
Equação duma curva no e s p a ç o ....................................................................... 337
Limite e derivada duma função vectorial duma variável escalar inde­
pendente. Equação da tangente a uma curva. Equação do plano normal 340
Regras de derivação dos vectores (funções vectoriais) . . . . 347
Derivadas, primeira e segunda, dum vector em relação ao compri­
mento do arco. Curvatura da curva. Normal principal . . . . 349
Plano osculador. Binormal. Torção duma curva empenada 356
Plano tangente e normal a uma su perfície ....................................................361
E x e r c íc io s .....................................................................................................................365
C A P Í T U L O X 
Integral indefinido
Primitiva ç integral in d e f i n i d o ........................................................................ 368
Quadro de i n t e g r a i s .............................................................................................. 371
Algumas propriedades do integral in d e f in id o ........................................... 373
Integração por mudança de var iáve l................................................................. 375
Integração de certas expressões contendo o trinómio ajc* + òx + c 378
Integração por p a r te s .............................................................................................. 381
Fracções racionais. Fracções racionais elementares e sua integração 385
Decomposição das fracções racionais em elementos simples 389
Integração das fracções racionais................................................... : . 394
Método de Ostrogradsky....................................................................................... 396
Integração das funções ir r a c io n a is ................................................................. 400
Integrais do tipo / R (x, V ax* + òx + r) d x .....................................401
Integração dos binómios diferenciais................................................................. 405
Integração de certas classes de funções trigonométricas .
. . . 408
10 I N D I c f:
§ 15. Integração de certas funções irracionais com o auxílio de transfor­
mações tr ig o n o m é tr ic a s ....................................................................................... 413
§ 16. Funções cujos integrais não podem ser expressos por funções ele­
mentares ..................................................................................................................... 415
Exercícios 417
C A P Í T U L O XI
Integral definido
§ 1 . Posição do problema. Somas integrais inferior e superior 429
§ 2. Integral d e f i n id o .......................................................................................................431
$ 3. Propriedades fundamentais do integral d e f in id o ............................................ 437
§ 4. Cálculo do integral definido. Fórmula de Newton-Leibniz . . 441
§ 5. Mudança de variável num integral d e fin id o ....................................................445
§ 6 Integração por p a r te s ................................................................................................447
§ 7. Alargamento da noção de i n t e g r a l .................................................................. 450
§ 8. Cálculo aproximado dos integrais d e fin id o s ....................................................457
§ 9. Fórmula de T c h é b y c h e v ........................................................................................ 463
§ 10. Integrais que dependem dum parâm etro........................................................... 468
E x e r c íc io s ..................................................../ ................................................... 472
C A P Í T U L O XI I
A plicações geom étricas e mecônicas do integral definido
§ 1. Cálculo das áreas em coordenadas rectangúlares............................................ 477
§ 2. Área dum sector curvilíneo em coordenadas polares . . . . 480
§ 3. Comprimento dum arco de c u r v a ...................................................................482
§ 4. Cálculo do volume dum corpo em função das áreas das secções
p a r a le l a s ...............................................................................................................488
§ 5. Volume dum corpo de r e v o lu ç ã o ...................................................................490
§ 6. Área dum corpo de r e v o lu ç ã o ..........................................................................490
li 7. Cálculo do trabalho por meio do integral d e fin id o ..................................... 492
§ 8. Coordenadas do centro de gravidade..................................... 494
E x e r c íc io s ...............................................................................................................498
Anexo I
Estabelecimento duma dependência funcional a partir dos dados 
experimentais pelo método dos mínimos quadrados . . 505
Anexo H
Fórmula de Inteipolação de Newton. Derivação numérica 
índice alfabético ..........................................................................
510
513
P R E F Á C I O
A 3 / edição em língua francesa conserva como essencial o 
conteúdo da 2.' edição. Certos capítulos foram profundamente revistos 
e completados, em especial aqueles que tratam de certos ramos das 
matemáticas modernas, cujo conhecimento é nos nossos dias indis­
pensável a todo o engenheiro, Na parte «Exercícios» aumentou-se o 
número de problemas, insistindo sobre aqueles que, mais difíceis, exi­
gem mais ref/exão. O material desta nova edição é apresentado em 
dois volumes.
No primeiro volume, os capítulos iniciais «Número, variável, função» 
e «Limite e continuidade das funçòes» foram resumiJos na medida 
do possível. Cerías questões, habitualmente tratadas nestes capítulos, 
foram conscientemente reportadas aos capítulos seguintes. Isto permitiu 
abordar mais ràpidamente a derivada, noção fundamental do cálculo 
diferencial; esta necessidade foi-nos ditada pelas exigências das outras 
disciplinas do ensino técnico superior. O bom fundamento duma tal 
disposição foi felizmente confirmado pela experiência de vários anos.
No f m do primeiro volume inseriu-sc os anexos 1 e II expondo 
problemas muito importantes para o engenheiro: «Estabelecimento duma 
dependência funcional a partir de dados experimentais pelo método 
dos mínimos quadrados» e «Fórmula de interpolação de Newton. 
Derivação numérica».
No segundo volume, para assegurar aos estudantes uma prepa­
ração matemática que lhes permita aboalar as disciplinas ligadas à 
automação e aos métodos de cálculo automático, que sào hoje ensi­
nadas nos estabelecimentos Je cn^ino técnico superior, vários desen­
volvimentos, tratando em detalhe destas questões, foram in.seridos: 
«Integração numérica das equações diferenciais c sistemas de equações 
diferenciais» (*), «Integração de sistemas diferenciais lineares», «Nc\'ão 
sobre £i teoria da estabilidade de Liapounov», «Operador hamiltóniano», 
«Integral de Fourier», etc.
(*) Os métodos de cálculo numérico habítualmente tratados nos cursos 
de análise são igualmente exposios neste manual.
Esta edição foi também completada por dois novos capítulos 
«Equações da física matemática» (capítulo XVIII) e «Cálculo opera­
cional e aplicações» (capítulo XIX).
O capítulo XVIII passa em revista as equações fundamentais 
da física matemática. Tem-se dado uma importância particular à 
análise da natureza dos fenómenos físicos que conduzem às equações de 
diferentes tipos e aos problemas de limites correspondentes. Uma grande 
importância foi igualmente concedida aos métodos numéricos de reso­
lução das equações diferenciais às derivadas parciais.
No capítulo XIX expôs-se as noções fundamentais do cálculo 
operacional e o método operacional de resolução das equações dife­
renciais. Elas são indispensáveis para o estudo de numerosas disciplinas 
aplicadas, em especial as ligadas à electrotécnica.
Um grande número de problemas e de exercícios, que esclarecwn 
a maior parte dos vínculos que existem entre as matemáticas e 
as outras disciplinas, foram incluídos neste manual. Os problemas e 
os exercícios foram especialmente escolhidos para cada capítulo do 
curso a fim de contribuir para a assimilação da parte teórica. Alguns 
foram resolvidos e comentados a título de exemplos. Isto torna o 
uso deste manual particularmente precioso para o estudo auto- 
-didáctico.
Devo exprimir a minha profunda gratidão às Edições Mir que 
aceitaram a tradução e a publicação desta obra.
O autor
NOTA SOBRE A PRESENTE EDIÇÃO
Esta edição, a 4.* em francês, reproduz a 3.\ que se esgotou 
ràpidamente.
Procedemos, no entanto, às correcçòes que o autor julgara neces­
sárias para esta nova edição, a fim dc apresentar aos leitores uma 
obra ainda mais digna da sua confiança.
O EDITOR
Ckpftnio I
NÜMERO, VARIAVEL, FUNÇÕES
§ 1. Números reais. Representação dos números reais 
pelos pontos do eixo numérico
A noção de número é uma das mais fundamentais das mate­
máticas. Elaborada na Antiguidade, ela sofreu no decurso dos séculos 
um longo processo de extensão e de generalização.
Os números inteiros, os números fraccionários positivos e nega­
tivos, compreendendo o número zero, são chamados números racionais.
Todo o número racional pode ser posto sob a forma de quociente y
de dois números inteiros p e q- Por exemplo:
J-. 1 .2 5 =
Em particular, todo o número inteiro p pode ser considerado 
como quociente de dois números inteiros p c 1: y . Por exemplo:
Os números racionais podem ser postos sob a forma de fracções 
decimais limitadas ou ilimitadas.
Os números expressos pelas fracções decimais ilimitadas não 
periódicas, são denominados números irracionais: tais são, por exemplo, 
os números 1/2, 1/3, 5 - y i , etc.
O conjunto dos números racionais e irracionais formam o con­
junto dos números
reais. Os números reais constituem um conjunto 
ordenado, isto é, que para cada par de números reais x e y, uma e 
somente uma das relações seguintes
x C y , x = y , x > y
é satisfeita.
Os números reais podem ser representados pelos pontos do eixo 
numérico. Chama-se eixo numérico a uma recta infinita sobre a qual 
se escolheu: 1) um ponto O chamado origem, 2) um sentido positivo, 
que se indica por uma seta, e 3) uma unidade de medida. A maior 
parte das vezes, disporemos o eixo horizontalmente e escolheremos 
a direcção da esquerda para a direita como sentido positivo.
14 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Se O número Xi é positivo, representá-lo-emos pelo ponto 
Ml situado à direita da origem e distante de O de OMi = jCi; da 
mesma forma se o número é negativo, nós representá-lo-emos pelo 
ponto Mi situado à esquerda de O e distante de O de OM2 = X2
(fig. 1).
O ponto O representa o número zero. É evidente que todo o 
número real é representado por um só ponto do eixo numérico. A dois 
números reais distintos correspondem dois pontos diferentes (fig. 1) 
do eixo numérico. A afirmação seguinte é verdadeira: cada ponto 
do eixob numérico é a imagem dum só número real (racional ou 
irracional).
Assim existe uma correspondência biunívoca entre todos os 
números reais e todos os pontos. do eixo numérico: a cada número
H—f- -f—I—H Mf
-Z-1 í 2 3
Fig. 1
corresponde um ponto único e inversamente a cada ponto corresponde 
um só número de que ele é imagem. Isso permite em numerosos 
raciocínios empregar indiferentemente a noção de «número x» ou a 
de «ponto x». Neste manual teremos frequentemente a ocasião de 
tirar partido desta observação.
Indiquemos, sem a demonstrar, a propriedade seguinte, relativa 
ao conjunto dos números reais: entre dois números reais quaisquer, 
existem' sempre números racionais e números irracionais. Geomètrica- 
mente isto significa: entre dois pontos quaisquer do eixo numérico, 
existem sempre pontos racionais e pontos irracionais,
À guisa de conclusão, citamos o seguinte teorema que representa, 
de qualquer modo, o papel de um «ponto lançado entre a teoria e 
a prática)».
Teorema — Todo o número irracional a pode ser expresso com 
o grau de precisão desejado com o auxílio dos números racionais.
Com efeito, seja a um número irracional positivo. Propunhamo-nos
1
calcular o valor aproximado de a a menos de — (por exemplo, a
menos de ^ , a menos de 100 etc.).
Qualquer que seja o número a, ele está incluso entre dois números 
inteiros consecutivos e + 1. Dividamos o segmento compreendido 
entre A^ e A^ + 1 em n partes iguais. Então a encontrar-se-á incluso
entre dois números racionais N + — e N + A diferença entre
^1 ^estes dois números, sendo igual a — . cada um deles exprimirá a
com a precisão desejada, o primeiro por defeito, o segundo por excesso.
NÚMERO. VARIAVBL», FUNÇÕES 15
Exemplo — O número irracional cxprime-sc com a ajuda dos números 
racionais;
1
1,4 e 1,5 a menos de —10
1,41 e 1,42 a menos de lüü
4
1,414 e 1,415 a menos de 1000
e lc .
§ 2. Valor absoluto dum número real
Introduzamos agora a noção de valor absoluto de um número real.
Definição — Chama-se valor absoluto (oii módulo) de um número 
real x (notáção | jc|) ao número real não negativo, que satisfaz as 
seguintes condições:
\x\ = x se z ^ 0;
\x\ = — X SC X < 0.
Exemplos: | 2 | = 2 ; | —5 | = 5 ; | 0 | --= 0.
Resulta desta definição que para todo x se tem x < | jc | . 
Vejamos algumas propriedades do valor absoluto.
1. O valor absoluto da soma algébrica de vários números reais não 
é superior à soma dos valores absolutos dos componentes,
l^ + y | < l ^ l + |y |-
Demonstração — Seja jc + y > 0, então
í^ + / y | = ^ + y < l ^ í + l í / l (porque x < | x | e ! / < | y | ) . 
Seja j: + y < 0, então
i + y I = — ( ^+ «/) = (— ar) + (— í / X I a:l + I y I,
c. q. d.
A demonstração pode ser fàcilmente alargada a um número qual­
quer de termos.
Exemplos:
| - 2 + 3 | < | - 2 | l-i3i-^2-i-3 = 5 ou 1 < 5 ,
1 - 3 —51 = 1 -3 1 + 1 -5 1 = 3 + 5 = 8 ou 8 = 8.
2. O valor absoluio da diferença não é inferior à diferença dos 
valores absolutos:
|ar — y |< |a r | —|y |.
Demonstração — Façamos x — y = z. então x = y -f- z e segundo 
a propriedade precedente.
|ari = |y + 2 | < | y | + Iz| = I y l+ ' |x — yl.
16 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
donde
c. q. d.
k l — í y i < k —y|.
3. O valor absoluto do produto é igual ao produto dos valores 
absolutos,
\xyz\ = \ x \ \ y \ \ z \ .
4. O valor absoluto do quociente é igual ao quociente dos valores 
absolutos do dividendo e do divisor:
y \ y\
As duas últimas propriedades resultam imediatamente da defi­
nição do valor absoluto.
§ 3. Grandezas variáveis e grandezas constantes
Quando medimos certas grandezas físicas, tais como o tempo, o 
comprimento, a superfície, o volume, a massa, a velocidade, a pressão, 
a temperatura, etc., estabelecemos os valores numéricos destas gran­
dezas físicas. As matemáticas estudam as grandezas sem ter em conta 
o seu conteúdo concreto. No que se segue, quando falarmos de grandeza, 
teremos em vista os seus valores numéricos. No decurso de diferentes 
fenómenos certas grandezas variam, quer dizer, que são susceptíveis 
de tomar diversos valores numéricos; pelo contrário, outras podem 
conservar um mesmo valor numérico. Assim, se um ponto material 
se desloca segundo um movimento uniforme, o tempo e a distância 
variam, enquanto que a velocidade permanece constante.
Chama-se grandeza variável ou variável uma grandeza susceptível 
de tomar diferentes valores numéricos. A uma grandeza cujos valores 
numéricos não mudam chama-se grandeza constante ou constante. No 
seguimento, designaremos as grandezas variáveis pelas letras x, y, z, 
u, ..., etc., e as grandezas constantes pelas letras a, b, c, ..., etc.
Nota — Em matemáticas considera-se muitas vezes as grandezas 
constantes como um caso particular das grandezas variáveis: uma 
constante é uma variável cujos diversos valores numéricos são todos 
iguais.
Notemos, todavia, que no decurso do estudo de diversos fenó­
menos físicos pode acontecer que uma mesma grandeza seja constante 
em certos casos e variável noutros. Por exemplo, a velocidade de 
um corpo animado dum movimento uniforme é uma grandeza cons­
tante, mas a velocidade de um movimento uniformemente acelerado é
NÚMERO, VARIAVEtt., FUNÇÕES 17
uma grandeza variável. As grandezas que conservam um mesmo valor 
qualquer que seja o fenómeno considerado são chamadas constantes 
absolutas. Assim, a relação do comprimento duma circunferência com o 
seu diâmetro é uma constante absoluta cujo valor 6 ir ^ 3,14159.
Veremos, no seguimento que a noção de grandeza variável é 
fundamental para o cálculo integral e diferencial. Em «A dialéctica 
da natureza» Engels escreve: «A grandeza variável de Descartes marcou 
uma reviravolta na matemática. É com ela que o movimento e a 
dialéctica entraram na matemática o que fez sentir imediatamente a 
necessidade do cálculo diferencial e integral».
§ 4. Domínio de definição duma variável
Uma variável é susceptível de tomar valores numéricos dife­
rentes. O conjunto destes valores pode variar segundo o carácter 
do problema considerado. Por exemplo, a temperatura da água aquecida 
nas condições normais pode variar desde a temperatura ambiente,
15 a IS^ C^, até à do ponto de ebulição, 
100‘’C. Pelo contrário, a variável x = cos a 
pode tomar todos os valores compreendidos 
entre — 1 e + 1.
O valor de um variável exprime-se 
geomètricamente por um ponto do eixo 
numérico. Assim, o conjunto os valores que 
toma a variável x = cos a para todos os 
valores de a é representado pelo conjunto 
dos pontos do eixo numérico compreendido 
entre — 1 e + 1, estando inclusos os pon­
tos — 1 e 4- 1 (fig.
2).
Fip:. 2
Definição — Chama-se domínio de definição de uma variável ao 
conjunto dos valores numéricos que ela é susceptível de tomar.
Citemos os domínios de definição de certas variáveis que encon­
traremos frequentemente, no decorrer da matéria.
Chama-se intervalo aberto ou intervalo de extremidades a q b, ao 
conjunto de todos os números x compreendidos entre a t b {a < b)\ 
os números a e b não pertencem a este conjunto. Designa-se, quer 
pela notação (a, b), quer pelas desigualdades a < x < b.
Chama-se segmento ou intervalo fechado de extremidades a t b, 
ao conjunto de todos os números x compreendidos entre os dois 
números a e 6; os números a c b pertencem ao conjunto. Designa-se, 
quer pela notação [a, b], quer pelas desigualdades
18 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Se um dos números a ow b, a por exemplo, pertence e o outro 
não pertence a este intervalo, tem-se então um semNntervalo aberto 
em 6; pode-se defini-lo pelas desigualdades
a <^ x Ci b
e designa-se pela notação [a, 6). Se o número b pertence e o a não 
pertence a este intervalo, tem-se então um semNntervalo aberto em 
a (a, b\ que se pode definir com o auxilio das desigualdades
a<C,x ^ b.
Se a variável x toma todos os valores maiores que a, designa-se 
este intervalo pela notação (a, + oo), que se pode igualmente definir
Fig. 3
com o auxílio das desigualdades convencionais
a < ^ + oo.
Considerar-se-á igualmente os intervalos e os semi-intervalos infi­
nitos, definidos pelas seguintes desigualdades convencionais:
oo; — oo<ix<^c; — oo<C.x^c; —
Exemplo — O domínio de definição da variável .r = cos a, para todos 
os valores de a, é o segmento [— 1 , 1]; pode-se exprimi-lo com o auxílio 
das desigualdades — 1 < a: < 1 .
Pode-se substituir nas definições precedentes a palavra «número» 
pela palavra «ponto». Assim, chama-se segmento ao conjunto de 
todos os pontos x situados entre os pontos a q b {a t b como sendo 
as extremidades do segmento), os pontos a q b estão inclusos neste 
conjunto.
Chama-se vizinhança dum ponto Xo, a todo o intervalo aberto {a, b) 
contendo este ponto, isto é, um intervalo (a, h) para o qual sejam 
verificadas as desigualdades a < Xo < b. Escolhe-se muitas vezes a 
vizinhança de modo que o ponto jco se encontre no meio. O ponto
jCo é então chamado o centro de vizinhança e o número o raio
de vizinhança.
A figura 3 representa a vizinhança (xo — e, Xo + e) de centro Xo 
e de raio e.
NOMBBO, VARIAVBL. FUNÇÕES 19
§ 5. Variável ordenada. Variável crescente 
e variável decrescente. Variável limitada
Diz-se que a variável x está ordenada se se conhece o seu 
domínio de definição e se, para cada par dos seus valores, se pode 
indicar o que é antecedente e o que é consequente. Aqui a noção de 
«antecedência» ou de «consequência» não está ligada ao tempo. Ela 
exprime uma certa maneira de ordenar os valores da variável.
Um caso particular de grandeza variável ordenada é a de uma 
grandeza variável cujos valores formam uma sucessão numérica Xu 
X2, JC3, ..., Xn, ... Neste caso, para k' < k o valor Xh' 6 «antecedente» 
e o valor xt, «consequente», independentemente do facto de qual destes 
dois valores é o maior.
Dejinição — 1. Uma variável diz-se crescente se cada valor con­
sequente é maior que cada valor antecedente. Uma variável diz-se 
decrescente se cada valor consequente é menor que cada valor ante­
cedente.
As variáveis crescentes e as variáveis decrescentes são chamadas 
variáveis de variação monótona ou simplesmente variáveis monótonas.
Exemplo — Quando se duplica o número de lados dum polígono regular 
inscrito num círculo, a área 5 deste polígono é uma variável crescente. D o 
mesmo modo, quando se duplica o número de lados dum polígono circunscrito 
a um círculo, a área deste polígono é uma variável decrescente. Notemos que 
uma variável não é necessariamente crescente ou decrescente. Por exemplo, a 
variável x = sen a não é uma variável monótona quando a cresce sobre o 
segmento [0, 2 -tt]. Ela cresce primeiro de 0 a 1, depois decresce de 1 a — 1, 
cresce de novo de — 1 a 0.
Definição — 2. Uma variável x diz-se limitada se existe uma 
constante M > 0 tal que para todos os valores consequentes da variá­
vel a partir dum certo valor, as desigualdades
isto é.
são satisfeitas.
Por outras palavras, uma variável diz-se limitada se existe um 
segmento [— M, M] tal que a partir de um certo valor todos os 
valores consequentes da variável pertencem a este segmento. Todavia, 
existem variáveis cujos valores não preenchem o segmento [— Af, M], 
Por exemplo, uma variável susceptível de tomar diferentes valores racio­
nais do segmento [— 2,2] é limitada, mas, é evidente que ela não 
toma todos os valores deste segmento (precisamente, os valores 
irracionais).
20 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
§ 6. Função
O estudo dos diferentes fenómenos da natureza e a resolução 
dos diversos problemas técnicos e, por conseguinte, das matemáticas, 
levam-nos a considerar a variação de uma grandeza em correlação 
com a variação de uma outra grandeza. Assim quando estudamos 
um movimento, considerámos o caminho percorrido como uma variável 
que depende do tempo. Aqui o caminho percorrido é uma função 
do tempo.
Tomemos um outro exemplo. A área do círculo em função do 
raio é dada pela fórmula bem conhecida Q = ttR^. Se o raio R 
toma diferentes valores, a área Q tomará igualmente diferentes valores. 
Assim a variação de uma destas variáveis provoca a variação da 
outra. Aqui a área do círculo Q é uma função do raio R. Dêmos a 
definição da noção de «função».
Definição— 1. Diremos que y é uma função de jc e escreve­
remos y = / (x), y = <p (x), etc., se a cada valor da variável x per­
tencendo a um certo domínio, corresponde um valor da variável y,
A variável x é chamada variável independente, A dependência 
entre as variáveis x c y chama-se dependência funcional. A letra /, 
que entra na notação simbólica da dependência funcional y = f (x), 
indica que é necessário aplicar certas operações a x para obter o 
valor correspondente de y. Escreve-se por vezes y ~ y (x), u = u (x), 
em vez de y=^f{x), u = <p{x)\ neste caso, a letra y exprime ao 
mesmo tempo o valor da função e o símbolo das operações aplicadas a x, 
A notação y = onde C é uma constante, exprime uma função 
cujo valor é igual a C qualquer que seja x.
Definição — 2. O conjunto dos valores x para os quais o valor 
da função y é dada pela lei / ( jc) é chamado domínio de existência 
da função (ou domínio de definição da função).
Exem plo— 1. A função y = sen jc é definida para todos os valores de jc. 
Logo, o seu domínio de existência é o intervalo infinito — oo < ^ < oo.
Nota— 1. Se existe uma dependência funcional entre as duas 
variáveis jc e y = / (jc) e se se considera jc e y = / (jc) como variáveis 
ordenadas, diremos então que para os dois valores y* = f (jc*) e y** = 
= / (jc**) da função / (jc) correspondendo aos valores jc* e jc** da 
variável jc, o valor consequente da função é o que corresponde ao 
valor consequente da variável independente. É por isto que somos 
naturalmente levados a enunciar a definição seguinte.
NÚMERO. VARIAVBL. FUNÇÕES 21
Definição — 3. A função y = f(x) diz-se crescente se a um maior 
valor da variável independente corresponde um maior valor da função. 
Define-se duma maneira análoga a função decrescente.
Exemplo — 2. A funçSo Q = 'n-R- é uma função crescente para 0 < JR < 
< + 00; porque a um maior valor de R corresponde um maior valor de Q.
Nota — 2. Quando se define a noção de funçãò, admite-se por 
vezes que a cada valor de x tomado num certo domínio corresponde 
não a um valor de y, mas vários ou mesmo uma infinidade. Neste 
caso, a função diz-se multívoca, ao passo que a função anteriormente 
definida diz-se unívoca, No seguimento convir-nos-á chamar funções üni-
camente às que são unívocas. Se em certos casos tivermos de recorrer 
a funções multívocas, especificá-lo-emos todas as vezes para evitar 
qualquer confusão.
§ 7. Diversas formas de expressão das funções
I. Funções dadas com a ajuda de tábuas
Neste processo dispõe-se numa certa ordem os valores da variável 
independente Xi, Xz .... Xn e os valores correspondentes da função 
yi, j 2, .... yn.
X ^ 2 X n
y y \ y 2 y n
Tais são, por exemplo, as tábuas das funções trignométricas, 
as tábuas de logaritmos, etc.
Pode-se obter no decurso do estudo experimental de certos fenó­
menos tábuas que exprimam a dependência funcional existente entre 
as grandezas m^idas. Assim, por exemplo, as variações da temperatura 
do ar registados numa estação metereológica durante um dia dá-nos 
0 quadro seguinte:
Valor da temperatura T (em graus) em função do tempo t 
(em horas).
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
T 0 -1 - 2 - 2 -0 ,5 1 3 3,5 4
Este quadro define T em função de t.
22 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
II. Representação gráfica das funções
Consideremos no plano um sistema de coordenadas rectangulares. 
Um conjunto de pontos M{x, y), tal que nenhum par de pontos se 
encontre sobre uma recta paralela ao eixo Oy, define uma certa função 
unívoca y = f (x). Os valores da variável independente são as abcissas 
destes pontos, os valores da função as ordenadas correspondentes, 
(fig. 4).
O conjunto dos pontos do plano (xOy) cujas abcissas são os 
valores da variável independente e as ordenadas os valores corres­
pondentes da função chama-se gráfico desta função.
III. Representação analítica das funções
Precisemos em primeiro lugar o que entendemos por «expressão 
analítica». Chamaremos expressão analítica à notação simbólica do 
conjunto das operações matemáticas conhecidas que se deve aplicar 
numa certa ordem aos números e às letras que exprimem grandezas 
constantes ou variáveis.
Notemos que por conjunto das operações matemáticas conhecidas 
nos referimos não sòmente às operações matemáticas aprendidas no 
decurso dos estudos secundários (adição, subtracção, raiz quadrada, etc.) 
mas igualmente todas as operações que serão definidas à medida que 
sejam expostas no curso.
Consideremos exemplos de expressões analíticas:
10g£-SÇD£ 2’ - V J + t o . etc.
5x^ + 1
Se a dependência funcional y = f(x) é tal que / é uma expressão 
analítica, dizemos que a função y de x é dada analiticamente. Eis
NÚMERO, VARIAVEL, FUNCOES 23
alguns exemplos de expressões analíticas:
\ ) y = x'‘ -2 - 2) = 3) í/ = 1/ i~ 7 ^
X — i
4) y = se n :r ; 5) Q = nR^, etc.
Nestes exemplos as funções estão expressas analiticamente por 
uma única fórmula. (Chama-se fórmula à igualdade entre duas expres­
sões analíticas). Nestes casos pode-se falar do 
domínio natural de definição da uma função.
O domínio natural de definição de uma função 
dada por uma expressão analítica é o conjunto 
dos valores de x para os quais a expressão do 
segundo membro tem um valor bem determinado. 
Assim o domínio natural de definição da função 
y = — 2 é o intervalo infinito — oo < x < oo,
pois que esta função é definida para todos os
X ^ 1valores de jc. A função y = é definida para
todos os valores de x excepto para o valor JC = 1, 
porque para este valor o denominador se anula. 
O domínio natural de definição da função y = yj \ — x^ é o segmento 
— 1 < JC < 1, etc.
'Nota — Importa por vezes considerar não todo o domínio natural 
de definição de uma função, mas uma parte deste domínio. Assim, a 
superfície Q do' círculo exprime-se em função do raio R pela função 
Q = TT o domínio de definição desta função para este problema 
geométrico concreto é evidentemente o intervalo infinito 0 < /? < + oo. 
Contudo, o domínio natural de definição desta função é o intervalo 
infinito — oo < R < 00.
Uma função y = f (jc) de que se conhece a expressão analítica 
pode ser representada gràficamente no plano das coordenadas JcOy. 
Assim, o gráfico da função y = jc^ é a parábola representada na figura 5.
§ 8. Principais funções elementares.
Funções elementares
As principais funções elementares são funções cuja expressão ana­
lítica é uma das seguintes:
I. A função potência: y = jc« em que a é um número real (♦).
{*) Para a irracional, esta função calcula-se tornando o logaritmo e a
exponencial: log y = a log x. Supõe-se que jc > 0.
24 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
n . A função exponencial: y = o® em que a é um número positivo 
diferente de 1.
III. A função logarítmica: y = Ioga x em que a base do logaritmo 
é um número positivo a diferente da unidade.
IV. As funções trigonométricas:
y == sen X, 1/ = COS X, y = igx, y = ctg x, y = sec x,
y = cosec X,
V. As funções trigonométricas inversas:
y = arc sen x, y = arc cos x, y = arc tg x,
y = diTC ctg o:, y = arc seca:, ^ = arc cosec a:.
Determinemos os domínios de definição e tracemos os gráficos 
das principais funções elementares:
A função potência, y = xa,
1. a é um inteiro positivo. A função é definida em cada 
ponto do intervalo infinito — o o < a : < + oo. Os gráficos desta função 
para diferentes valores de a estão representados sobre as figuras 6 e 7.
Fig. 7
2. a é um inteiro negativo. Neste caso a função é definida 
para todos os valores de x excepto o valor x = 0. Os gráficos desta 
função para diferentes valores de a estão representados sobre as figuras 
8 e 9.
As figuras 10, 11, 12 representam os gráficos das funções potência 
para a racionais fraccionários.
A função exponencial, y = a^, a > 0 e a ^ \ . Esta função é 
definida para todos os valores de x. O gráfico desta função está 
representado sobre a figura 13.
NÚMERO, VARIAVEL, FUNÇÕES 25
A função logarítmica, y = Ioga x, a > 0 e a= ^l. Esta função 6 
definida para jc > 0. O gráfico desta função está representado sobre a 
figura 14.
As funções trigonométricas. Nas fórmulas y = sen jc, etc., a variável 
independente jc está expressa em radianos. Antes de dar a definição
de função periódica notemos que todas as funções circulares enume­
radas são periódicas.
Definição— 1. A função y = f(x) diz-se periódica se existe um 
número constante C tal que o valor da função não se altere quando 
se junta (ou se subtrai) o número C à variável independente: f (jc) = 
= f (x + C),
O menor destes números chama-se período da função. Designa- 
-lo-emos no seguimento por 21.
Resulta imediatamenle desta definição que a função y = sen jc é 
uma função periódica de período l-n: sen jc = sen (jc + 2tt). O período 
da função y = cos jc é também igual a I tt, O período das funções 
y = tg JC e y = cotg jc é igual a tt.
As funções y = sen jc e y = cos jc são definidas para todos os
26 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
valores de x; as funções y = tg e y = sec são definidas para todos
os valores, excepto nos pontos x = {2k + V) {k = 0, 1, 2, ...): as
funções y — cotg x c y = cosec x são definidas para todos os valores 
de X excepto nos pontos x = kv (k = 0, 1, 2, ...). Os gráficos das 
funções trigonométricas estão representados sobre as figuras 15 a 19.
No decorrer das lições estudaremos em pormenor os gráficos 
das funções trigonométricas inversas. v.
Introduzamos a noção de função de“função. Se y é uma função 
de u, e M uma função da variável x, y depende então de x. Seja
ç y = F(u)
M = f (X)
Deduzimos uma função y dé x : y = F [^ i (x)].
Esta última chama-se função de função ou função composta.
Exemplo — 1. Seja y = sen u c w = x*. A função y = sen (x*) é uma 
função composta de x.
Nota — O domínio de definição da função y = F [(p (jc)] é ou 
o domínio de definição completo da função u = <p (jc). ou a parte 
deste domínio no qual os valores de w pertencem ao domínio de 
definição da função F (u).
Exemplo -^2. O domínio de definição da função
y = V 1 — {y = yfut 
í / = 1 — x‘) é o segmento [— 1 , 1], visto que quando | x | > I , zi < 0, e por 
conseguinte, a função \Ti7 não é definida (embora a função zz = 1 — x' seja 
definida para todos os valores de x). O gráfico desta função é a metade 
superior da circunferência de raio 1 , cujo centro é a origem das coordenadas.
NOHERO, VARIAVSS/, FDNCOBS 27
28 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
A operação «função de função» pode ser executada não sòmente 
uma vez, mas um número arbitrário de vezes. Por exemplo, obtém-se 
a função composta y = Log [sen (jc^ + 1)] executando as operações 
seguintes (em definindo as funções seguintes):
U=StTiv, y = hogU.
Dêmos a definição duma função elementar.
Definição — 2. Qiama-se função elementar toda a função que pode 
ser dada com a ajuda de uma só fórmula do tipo y == f (jc), onde a 
função /(x) é o resultado das combinações de funções elementares 
principais e de constantes realizadas com a ajuda das operações de adição.
de subtracção, de multiplicação, de divisão e de função de função; todas 
as operações devem ser efectuadas um númerp finito de vezes. Resulta 
desta definição que as funções elementares fazem parte das funções 
definidas analiticamente.
etc.
Exemplos de funções elementares:
i / = : y ‘l4 -4 s c n 2 x ; y = 
Exemplo de função não elementar:
log X + x-\-2 íg X
ICF — a: + l()
A função y = 1.2.3. ... -n (y = f (n)) não é uma função elementar visto 
que o númsro de operações que se deve éfectuar para obter y cresce com n, 
isto é, não é um número finito.
'Nota — A função representada sobre a figura 20 é uma função 
elementar se bem que ela seja dada com a ajuda de duas fórmulas:
f{x) = x, sé j{x) = 2 x ~ \ , sé
Pode-se mostrar que esta função pode ser dada com a ajuda de 
uma única fórmula y = f (jc), como indicada na definição 2. C(j)m efeito, 
pode-se escrever:
/ W = | - ( a : —y ) + y “ 1) = K + (a-— 1)-
para 0 2: 2.
NOMERO, VARIAVia^ ÍUNÇOBS 29
§ 9. Fansoes algébricas
As funções algébricas compreendem as funções elementares 
seguintes:
I. Função racional inteira ou polinómio
y = ooa:” + + . . . + a„,
em que ao, au .... cin são números constantes chamados coeficientes; 
n é um inteiro positivo que se chama grau do polinómio. É evidente 
que esta função é definida para todos os valores de x, isto é» que ela 
é definida num intervalo infinito.
Exemplos— I. • y = ax + b é uma função linear, Quando 6 = 0, esta 
função exprime uma dependência entre jc e tal que estas duas variáveis sfto 
proporcionais. Quando a = 0, y = b a função é constante.
2. y = ax ^ + bx + c é uma função do segundo grau, O gráfico desta 
função é uma parábola (fig. 21). O estudo pormenorizado destas funções é o 
objecto da geometria analítica.
II. Fracções racionais, Esta função é definida como o quociente 
de dois polimónios:
Apa:" + a^x" ^ . -j-
Um exemplo de fracção racional é-nos fornecido pela função
a
y = ^
que exprime uma dependência inversamente proporcional.
O gráfico desta função é dado sobre a figura 22. É evidente que 
a fracção racional é definida para todos os valores de x excepto. os 
valores para os quais o denominador se anula.
III. Função irracional. Diz-se que a função y = f(x) é irracional, 
se f(x) 6 o resultado das operações de adição, de subtracção, de multi*
30 CALCÜLO DIFERENCIAL B INTEGRAL
plicação, de divisão e de elevação a uma potência racional não inteira. 
Eis exemplos de funções irracionais:
+ ~\íxy = - y = = ; y = V x ,
V í + 5x^
etc.
Nota— 1. Os três tipos de funções algébricas que acabamos de 
citar não esgotam todas as funções algébricas. Chama-se função algébrica 
toda a função y = f(x) que satisfaz uma equação do tipo
P o y"" + Pi{x)y'^ ^+ . . . + (x) = 0,
onde Po (a:), Pi {x), . . Pn (x) são polinómios de x.
(1)
Pode-se demonstrar que toda a função pertencente a um dos três 
tipos citados verifica uma equação do tipo (1), mas entre as funções 
que verificam as equações do tipo (1), existem funções que não 
pertencem a nenhum dos três tipos precedentes.
Nota — 2. Chama-se funções transcendentes as funções que não 
são funções algébricas.
Eis exemplos de funções transcendentes:
y = cosx, ^ = 10 ,^ etc. §
§ 10. Sistema de coordenadas polares
Pode-se determinar a posição dum ponto do plano com a ajuda 
de um sistema chamado de coordenadas polares.
Seja no plano um ponto O que se chama pólo e uma semi-recta 
saída deste ponto que se chama eixo polar. A posição dum ponto 
arbitrário M do plano pode ser determinada com a ajuda de dois números: 
o número p que dá a distância do ponto M ao pólo, e o número y 
que .é igual ao ângulo formado pelo segmento OAÍ e o eixo polar.
NOMERO, VARIAVBIU FUNÇÕES 31
Adopta-se o sentido contrário aos ponteiros dum relógio como sentido 
positivo.
Os números p e ^ chamam-se coordenadas polares do ponto M 
(fig. 23).
O raio vector p será sempre um número não negativo, Se o ângulo 
polar <p varia entre os limites 0 < ^< 27t, então a cada ponto do plano, 
que não seja o pólo, corresponde um par bem determinado de números 
P t (p, Para o pólo p = 0 e é arbitrário.
Fig. 23
Estabeleçamos as relações que existem entre as coordenadas polares 
e as coordenadas ortogonais. Suponhamos que a origem do sistema 
de coordenadas ortogonais coincide com o pólo e o sentido positivo do 
eixo Ox com o eixo polar.
Resulta directamente da figura 24 que
x=pcosq) , ^ = psenq)
e inversamente
p = V x * + 2/®,
y
tg 9 = - .
Nota — Para determinar ,^, é necessário tomar em consideração 
o quadrante onde se encontra o ponto e escolher o valor apropriado 
de ip, No sistema de coordenadas polares a equação p = F (^) determina 
uma curva.
Exemplo— 1. A equação p = a, em que a é uma constante, define no 
sistema de coordenadas polares um círculo, cujo centro está no pólo e o raio 
é a. A equação deste círculo (fig. 25) num sistema de coordenadas ortogonais, 
disposta como indica a figura 24, é:
'Yx^ - \ - y ^ = a ou x^-^y^ = a^.
32 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Exemplo — 2.
P = Qfpi onde a = const.
Dispúnhamos sob a forma de quadro os valores de p para certos 
valores de 9 :
0
Jt
T
n
"2
3
T " JX
3
2 ^ 2zi 331 4.T
p 0 0,78 a 1,57 a ^ 2,36 a 3,14 a 4,71 a ^ 6,28 a 9,42 a =^12,56 a
A curva correspondente está representada sobre a figura 26. Esta curva 
chama-se Espiral de Arquimedes.
Fig. 26
Exemplo — 3.
p = 2a COS cp.
É a equação dum círculo de raio a, cujo centro se encontra no ponto 
Po = a, ç) = 0 (fig, 27). Escrevamos a equação deste círculo no sistema de 
cordenadas rectangulares.
Substituindo nesta equação p = l / z 2+ ^ , cos(p = -
tem-se
ou
Y x i + !/íi = 2a-
a;2_[_y2 — 2ax = 0.
E xercícios
1 . Seja dada a função f (jc) = + 6jc — 4. Verificar as igualdades / (1) = 3,
/ (3) = 23.
2 . / (Jf) = + 1 . Calcular os valores: a) / (4). Resposta 17.
i / (<» + !)• a* + 2 a + 2 . d) / (a) + 1 . Resp. a2+ 2 .
e) / (a*). Resp. a« + 1 . f) [/ (a)p. Resp. a« + 2a» + 1 . g ) / (2a).Resp. 4 a ^ + l .
3. »P (j:)= Formar as espressOes: q>í— 1 e —í— .R esp . g, ^ _ L ^ _
l - x I 3 .4 - 5 f ' * '_3x + 5 
3 + 5 i ’ <p(*) X— 1
4. t|)(j) = V x g + 4. Formar as espressões:; ,|,(2x) é ij)(0). Resp. ib(2x) =
= 2 y Í H ^ ; ,f(0) = 2.
NÚMERO, VARIAVBÍU FUNC0B8
/ (0) = tg 0. Verificar a igualdade de / (28) = .
( p ( i ) = = l o g |^ í .Verificar a igualdade de < p (a )+ 9 (ò )= (p ,
/ ( í) = log X ; 9 (x) = X*. IFonnar as espressOes: : a) / [9 (2)J.Reap. 3 log 2 . 
I>) / [<P (a)l- Resp. 3 log a. c) 9 [ / (a)j. Resp. [log ol*.
Indicar o domínio natural de definição da função y = 2a ^ 1.
Resp. — oo a X < + oo .
Indicar os domínios naturais de definição das funções:
a) V l — x-2. Resp. b) - \ / T ^ - \ - Y T ^ x . Resp. - 3 < x < 7 .
c) Y x + o — { / ' i — 6. Resp — o o < x < + o o . d) ^ .Resp. x =>= a.
a — X
e) arc sen 2 x. Resp. — 1 <; a: 1. f) y = log x. Resp. a: ^ 0.
g) y = a * ( a > 0 ) . Resp. — o o < x < + oo.
Construir o gráfico das funções seguintes:
10.
13.
16.
19.
22.
25.
11. í/ = —a:2 + l.
14. U-- 1
y = — 3a: + 5.
!/--^2 + 2x —1. ...
y = c o s 3 a : . 17. y = x ^— 4a:- f 6.
12. y = 3 — 2a:2.
15. y = sen 2 x .
118. y-- 1 —x2
yrr-sen j . 20. y = cos —^ j . 21. y = ig
y --- ctg ^ X. 23. y = 3*. 24. y = 2"**.
y-rlogo — . 26. y = a:3--l. 27. y = 4 — x .^
28.
32.
35.
37.
39.
40.
41.
42.
43. 
45.
y = ^ ^ 29. í/ = x4. 30. y = x .^ 31. í/ = x^
_ 1 1
i j ^ x 33. y = x^. 34. y = \ x\ .
í/i-:log2 I ^ |. 36. !/ — logo (1—^).
y^Stén ^2x-[- . 38. y = Acos ) •
A função / (x) é definida sobre o segmento [— 1; 1] da seguinte maneira:
/ (x) = 1 -r X para — 1 < x < 0 ;
/ (x) = 1 — 2x para 0 < x < 1.
A função / (x) é definida sobre o segmento [0; 2] da seguinte maneira: 
/ (x) = x3 para 0 < x < 1 ;
/ (x) - X para 1 < x < 2.
Construir as curvas dadas, em coordenadas polares.
p = — (espiral hiperbólica), 
p = (espiral logarítmica).
p = a Vcos 2q) (lemniscata). 44. p = a (1 — cos (p) (cardioíde). 
p = í7 sen 3(p.
LIMITE E CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES
Capitulo n
§ 1. Limite dilma grandeza variável.
Grandeza variável inflnitamente grande
Vamos considerar neste parágrafo variáveis ordenadas de variação 
específica que se define pela expressão «a variável tende para um 
limite». No decorrer deste curso, a noção de limite duma variável vai 
representar um papel fundamental, estando intimamente ligada às noções 
de base da análise matemática: a derivada, o integral, etc.
Definição — 1. O número constante a chama-se o limite da 
grandeza variável x, se, para todo o número arbitràriamente. pequeno
__ 2 í —_
a. '
-Ix-fll
Fig. 28
e > 0, se pode indicar um valor da variável x tal que todos os valores 
consequentes da variável verifiquem a desigualdade
|a: — a | < e .
Se o número a é o limite da variável jc, diz-se que jc tende para 
o limite a e escreve-se:
x - ^ a ou \ i mx = a . (♦),
Pode-se definir igualmente a noção de limite partindo de consi­
derações geométricas.
O número constante a é o limite da variável x, se para toda a 
vizinhança dada, por mais pequena que seja, de centro a e de raio e, 
se pode encontrar um valor de x tal que todos os pontos correspon­
dentes aos valores seguintes da variável pertençam a esta vizinhança 
(fig. 28). Citemos alguns exemplos: (*)
(*) climi abreviatura do latim limes que significa limite.
LIMITE E CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES 35
Exemplo — 1. A variável x toma sucessivamente os valores Xi = í - \ - í \
^2— ^3— •••» = 1 • • •
Mostremos que esta grandeza variável tem um limite igual à unidade. 
Temos
Para c arbitrário, todos os valores consequentes da variável a partir
1 1de n definido pela relação — < e ou n verificam a desigualdade« e
I^n—l | < e , c.q.d.
Notemos que no caso presente a variável tende para o seu valor 
limite decrescendo.
Exemplo — 2. A variável x toma sucessivamente os valores
4 1 . 1 1= 1— ^2= i+ - p - : 2 3 = 1 - ^ :2S
14^= l + - 55-; . . . : I„ = l + ( _ l ) n ^ ;24 ' " ’ ‘ ' * ' 2^
Esta variável tem um Umite igual à unidade. Com efeito,
U/i 1271 •
Para e arbitrário a partir de n satisfazendo a relação
1
2^ < e,
donde
2» > - ,
n log 2 > log —
'<>
lo g l
log 2 ’
todos os valores seguintes de x verificam a desigualdade I — 1 I < e.
Notemos que neste caso o valor da variável é tanto maior, quanto 
menor for o do valor limite. A variável tende para o seu limite «oscilando à 
volta dele».
Nota— 1. Como foi indicado no § 3 do Capitulo I, a grandeza 
constante c pode ser considerada como uma variável onde todos os 
valores são iguais: jc = c.
É evidente que o limite duma grandeza constante é igual a 
essa constante, visto que a desigualdade | jc — c | = |c — c | = 0 < e 
é sempre satisfeita para e arbitrário.
36 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Nota — 2. Resulta da definição de limite que uma grandeza 
variável não pode ter dois limites. Com efeito, se lim jc = a e 
lim jc = 6 (a< b), x deve satisfazer simultâneamente às duas desi­
gualdades seguintes:
b — a
|a: — a | < e e \x — b \ < E
para c arbitràriamente pequeno; más isto é impossível se c <
(fig. 29).
Nota — 3. Não é necessário imaginar-se que cada variável deve 
necessàriamente ter um limite. Seja x uma variável que toma suces­
sivamente os valores
1 ; 1 1
X\ j »^2 — ^ -- •
2 4 8 XiU = 1 — n2A
_ 1 
+ 1 22^ +1
(fig. 30). Para k suficientemente grande, o valor de ^ 2^ e todos os 
valores consequentes correspondentes aos índices pares serão tão vizi-
a i /
2 í
£< b-a
2z
2
Fig. 21) Fig. 30
nhos da unidade quanto se queira, mas o \a\orJ^2 h + \ e todos os 
valores que seguem correspondendo aos índices ímpares serão tão 
vi/.inhos de zero quanto se queira. Portanto, a variável x não tende 
para um limite.
Sobressai dá definição do limite que se uma variável tende para 
um limite a, a é uma grandeza constante. Mas a expressão «tende 
para^ podc-sc empregar igualmente para caracterizar um outro modo 
de variação de uma variável, o que transparece na definição seguinte.
Definição — 2. A variável x tende para o infinito, se para cada 
número positivo dado M se pode indicar um valor de jc a partir do 
qual todos os valores consequentes da variável verificam a desigual­
dade I ;c I > M.
Se a variável x tende para o infinito, diz-se que é uma variável 
infinitamente grande e escreve-se JC-> oo.
LrIMITB B CJONTINUroADB DAS FUNÇOBS 3 7
Exemplo — 3. A variável x toma os valores
X1 ■ 1 \ ^2 = 2 y Xg --- 3 í • • • ) ^ » • • •
É uma variável infinítamente grande visto que para M > 0 arbitrário 
todos os valores da variável a partir de um de entre eles são todos maiores 
que M em valor absoluto.
A variável x «tende para mais infinito» ou x -» + oo se para
M > 0 arbitrário, a partir de um certo valor, todos os valores con­
sequentes da variável verificam a desigualdade M < x,
Um exemplo de variável tendendo para mais infinito é dada pela variável x 
que toma os valores xi = 1 , X2 = 2 , . . = ^, . . .
A variável x «tende para menos infinito» ou jc — oo se para
M > 0 arbitrário, a partir de um certo valor, todos os valores seguintes
da variável verificam a desigualdade jc < — Aí.
Assim, por exemplo, a variável que toma os valores = — 1, X2 = — 2, . . . 
• ‘2/ — ~ • tende para menos infinito.
§ 2. Limite de uma função
Neste parágrafo estudaremos certos casos particulares de variação 
de uma função quando a variável independente x tende para um 
limite a ou para infinito.
Definição — 1. Seja y = f (x) uma função definida numa vizi­
nhança do ponto a ou em certos pontos desta vizinhança. A função 
y = f (x) tende para o limite b (y b) quando x tende para a {x-^ a), 
se para cada número positivo e, por mais pequeno que seja, se pode 
indicar um número positivo 8 tal que para todos os x diferentes de a 
e verificando a desigualdade (*)
1 X — a | < 0
a desigualdade
\f{x) — b\< :e
é satisfeita. Se 6 é o limite da função f(x) quando escreve-se
então
lim/(:r) = h
x-> a
O U f (x)-> b quando x -^ a .
(*) No caso presente, temos em vista os valores de x que verificam a 
desigualdade i jc — | < ô e pertencendo ao domínio de definição da função. 
No seguimento encontraremos frequentemente casos análogos. Assim, quando 
estudarmos o comportamento duma função para x oo , pode acontecer que 
a função seja definida para os valores inteiros e positivos de x. Por conseguinte, 
nesre caso a: oo , tomando valores
positivos inteiros. N o seguimento suporemos
que esta condição é sempre realizada.
38 CALCULO DIFERENCIAL B INTEGRAL
O facto dc / (x) 6 quando x - ^ a traduz-se no gráfico da
função y = f(x) da seguinte maneira (fig. 31); visto que da desigualdade 
1 jc — a I < 8 resulta a desigualdade | / (jc) — A | < e, então os pontos M 
do gráfico da função y = f (x), correspondentes a todos os pontos x
cuja distância até ao ponto a é 
interior a 8, estão contidos numa 
faixa de largura 2c delimitada pelas 
rectas y = b — c e y = b + c.
Fig. 31
N o t a — 1. Pode-se igualmente 
definir o limite da função / (x), 
quando jc n, da seguinte maneira.
Seja uma variável x tomando 
valores tais que (ordenados de tal 
maneira que) se
\x — a\,\x* — a\
então o::* * é um valor consequente e x* um valor antecedente. Se
\x — a\ \ x — a\ e x <ix ,
então í* * é consequente e antecedente.
Doutro modo, de dois pontos da recta numérica o ponto conse­
quente é aquele que está mais perto de a. Se os pontos eslào a igual 
distância de a, o ponto consequente será aquele que se encontra à 
direita de n.
Seja uma variável x ordenada desta maneira e tendendo para o 
limite a \ x - ^ a ou lim jc = a].
Consideremos a variável y = f (x), Além disso, admitamos duma 
vez para sempre que de dois valores da função o valor consequente 
é o que corresponde ao valor consequente da variável x.
Se uma grandeza variável y, definida como foi acima indicado, 
tende para um limite b, quando jc->a, escreveremos então
lim /(.r) = b
e diremos que a função y = f{x) tende para o limite b para j c a.
Ddmonslra-se fàcilmente que estas duas definições de limite são 
equivaléntes.
Nota ^ 2 , Se f(x) tende para o limite bi quando j c tende para 
um número a tomando apenas valores menores que a, escreveremos 
então lim / ( j c ) = 6i e chamaremos 6i o limite à esquerda da função
f{x) no ponto a. Se x toma valores maiores que a escreveremos
l i m it e e c o n t t n u id a d b d a s f u n ç õ e s 39
então lim / (;c) = &3 e chamamos K o limite à direita da função no
ponto a (fig. 32). . j- •*
Pode-se demonstrar que se os limites à esquerda e a dueita exis­
tirem e forem iguais, isto é, bx = é* = b, enUio b é o limite desta 
função no ponto a no sentido definido acima. Inversamente, se uma 
função tem um limite b no ponto a, os limites desta função no 
ponto a à esquerda e à direita existem e 
são iguais.
E x e m p l o — 1. M o s t r e m o s q u e 
lim (3jc + 1) = 7. 
x->2
Com efeito, seja c > 0 um número 
arbitrário dado; para que a desigualdade
| ( 3 x - f l ) - 7 1 < e
seja satisfeita, é necessário que sejam satis­
feitas as seguintes desigualdades:
| 3 x - 6 | < e ,
Assim para c arbitrário e para todos os valores da variável x verificando a
0
desigualdade | a: — 2 | < y = ô o valor da função 3jc + 1 difere de 7 pelo
menos de c. Isto significa justamente que 7 é o limite desta função para 
jc-»2.
Nota — 3. Para a existência do limite de uma função quando 
jc a, nào é necessário que a função seja definida no ponto jc = a. 
Quando calculamos um limite, devemos considerar os valores da função 
na vizinhança do ponto a, mas diferentes de a. Isto é claramente 
ilustrado pelo exemplo seguinte.
x2—4= 4. Aqui a função
x — 2
_4
Exemplo — 2. Mostremos que l i m -------—
x->>2 ^ 2
não é definida para x = 2.
Devemos demonstrar que para e arbitrário se pode indicar um a tal 
que seja satisfeita a desigualdade
x 2 — 4 , I ^
7I T2— (1)
desde que I x — 2 | < 6. Mas para x ^ 2, a desigualdade ( 1) é equivalente à 
desigualdade
( x - 2) (x + 2) 
x — 2
= l ( x + 2 ) - 4 | < e ( 1)
| x — 2 | < e . (2)
Assim, a desigualdade (1) será satisfeita qualquer que seja e se a desi­
gualdade (2) é satisfeita (aqui ò = c). Isso significa que o limite desta função 
é igual a 4 quando x tende para 2.
40 CALCULO DIFBRBNCIAL B INTEGRAL
Consideremos ainda certos casos de variação duma função 
quando x tende para o infinito.
Definição — 2. A função f(x) tende para o limite b quando 
X -> 00 se para cada número positivo c por mais pequeno que seja 
se pode indicar um número positivo N tal que para todos os valores 
de X verificando a desigualdade | x | > a desigualdade |/ (x) — ú | < e 
6 satisfeita.
Exemplo — 3. Mostremos que
on que li m ( 1 1 .
É necessário demonstrar que, qualquer que seja e, a desigualdade
| ( l + i ) — l | < e (3)
será satisfeita desde que | jc | > ^ , onde N é definido pela escolha de c. 
A desigualdade (3), é equivalente à desigualdade seguinte: | J - 1 < c, que é 
satisfeita se se tiver
| x | > l = iV.
Isso significa que lim ( l + — ) — lirn ^ —— i (fig. 33).
.v-voo V ^ ^
A significação dos símbolos x->oo e x - > — oo torna evidente 
a das expressões
«/(x) tende para b quando x-> + oo» e 
€/(x) tende para b quando x -» — oo»,.
que se nota simbòlicamente por
lim f(x) = b; lim / (x) = b.
X-^ + oo x-^—oo
LIMITE E CONTINUIDADE DAS PUNÇÕES 41
§ 3. Funções qne tendem para o infinito.
Funções limitadas
Estudámos os casos em que a função f(x) tende para um certo 
limite b quando x - ^ a ou jc-»oo.
Consideremos agora o caso em que a função y ^ f(x) teiide para 
infinito quando a variável x varia duma certa maneira.
Definição— 1. A função f(x) tende para ó infinito quando 
x - ^ a , isto é, / (x) é infinitamente grande quando x -^ a , se para cada 
número positivo M, por maior que «eja, se pode encontrar um número 
8 > 0 tal que para todos os valores de x diferentes de a e verifi­
cando a condição \ x — a \ < S, a desigualdade | / (jc) | > Aí é satisfeita.
Se f(x) tende para infinito quando x - ^a , escreve-se:
lim f (x) = oo,
x-*-a
OU f (x) -^oo quando x a,
Se / (;c) tende para o infinito quando x-> a, tomando apenas 
valores positivos ou valores negativos, escreve-se respectívamente 
lim f ( x ) = + oo e lim / (jc) = — 00.
E xem plo— \. Mostremos que lim - ----- - = + oo. Com efeito, qualquer
(1 —
que seja Af > 0 tem-se: 
desde que
1
(1 — z)2
(1—
1l - x l < ò.
A função 1(1 - 1)2
y M
apenas toma valores positivos (fig. 34).
Exemplo — 2. Mostremos que lim ( ------- oo. Com efeito qualquer que
ar-vO V ^ '
seja M > 0 4em-sc
desde que
--- i- > M
X
^ ® P®” * < ® « ( — r ) P**"» * > ® 35).
42 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Se a função f(x) tende para infinito quando oo, escreve-se:
\ i m f { ü c ) = oo
e. etn particular, pode-se ter
lim /(z) = oo, lim f { x ) = o o , lim f { x ) = — oo.
a:->- + cx) —oo +
Por exemplo,
lim a:*=-f-oo, lim x^ = — oo.
0C-»-oo Y-^ —oo
Nota — 1. Pode acontecer que a função y = f(x) não tenda nem 
para um limite finito nem para infinito quando ou x-> oo.
E x e m p l o — 3. A funçSo y = sen x é definida no intervalo infinito 
— 00 < X < -i- 00, mas nSo tende para um limite finito ou para infinito 
quando Jt-» + oo (fig. 36).
y ^^ y = s e n x
Fig. 36
4
Exemplo — 4. A função y = sen _ que é definida para todos os valores
X
de excepto x = 0, não tende para nenhum limite finito ou infinito quando 
X -> 0. O gráfico desta função está representado na figura 37.
Definição — 2. A função y = j{x) diz-se limitada no domínio 
de definição da variável x, se existe um número positivo M tal que
L IM IT E E C O N TIN U ID A D E DAS PUNÇÕES 43
para todos os valores de x pertencentes a este domínio a desigualdade 
I / (jc) I < M é verificada. Se tal número não existe, diz-se que a função 
f(x) não é limitada neste domínio.
E x e m p l o — 5. A função y = sen jc, definida no intervalo infinito 
“ 0 0 <J C< + «>, é limitada, visto que para todos os valores de jc
I sen a: I < 1 = 71/.
Definição — 3. A função / ( j c ) diz-se limitada quando x -> a , se 
existe uma
vizinhança de centro a na qual a função é limitada.
Definição — 4. A função y = f (x) diz-se limitada quando oo, 
se existe um número N > 0 tal que, para todos os valores de x verifi­
cando a desigualdade j jc | > a função f (x) é limitada.
O teorema seguinte permite concluir se a função /(x), quando 
tende para um limite, é limitada ou não.
Teorema— 1. Se Um i{x) = h e se h é um número finito, a
x-^ a
função f (x) é limitada quando x -» a.
Demonstração — Resulta da desigualdade Im f(x) = b que para
todo e > 0, existe um número 8 tal que na vizinhança c — 8 < x < a + 8 
a desigualdade
Í/(x) — 61< e
OU
I / (x) I < 1 6 1 + e
é satisfeita.
Isto exprime justamente que a função / (x) é limitada quando 
X -> a.
fÇQia — l. Resulta da definição de uma função limitada f (x) 
que se
lim/(x) = oo ou l im/(x) = oo»
x-^ a
44 CALCULO D IF E R E N C IA L E IN TE G R A L
isto é, se f(x) é infinitamente grande, a função não é limitada. A pro­
priedade inversa não é verdadeira: uma função não limitada pode 
não ser infinitamente grande.
Por exemplo, a função y = x sen jc não é limitada quando 
jc->oo, visto que para todo Aí > 0 se pode indicar valores de x 
tais que | jc sen jc [ > Aí. Mas a função >^ = jc sen jc não é infinita-
mente grande visto que ela se anula nos pontos jc = 0. tt, I tt 
O gráfico da função >^ = jc sen jc é dado na figura 38.
1
Teorema — 2. Se Um f (x) = b ^ 0 , a furrção y =
/(^ )
é Umi~
tada quando x a .
Demonstração — Resulta das condições do teorema que qualquer 
que seja o número e > 0 se tem numa certa vizinhança do ponto 
X = a\ f (x) - b \ < c ou !! / (x) I - I 6 II < e ou - e < | / (jc) | - | 6 | < c 
ou I A I — E < I / ( j c ) I < I A I H- e.
Resulta destas desigualdades:
I & I — e 1 / (:r) I 1 61 + e
1
Tomando, por exemplo, e = jq |6 1 temos: 
10 í_ ^ 10
7 / ( x ) | l l | 6 l
hto exprime que a função 1
/ w
é limitada.
L IU IT B B C O N TIN U ID A D B DAS FUNÇOBS 45
§ 4. Infinitamente pequenos e as suas 
propriedades fundamentais
Neste parágrafo vamos estudar as funções que tendem para zero 
quando o argumento x varia duma certa maneira.
Definição — Diz-se que a = a (jt) é um infinitamente pequeno 
quando Jt -> a ou quando x-> oo se lim « (jc) = 0 ou lim o (x) = 0.
Resulta da definição de limite que se. por exemplo, se tem 
lim a (x) = 0, então para todo número positivo e arbitràriamente
x-*n
pequeno, existe um 8 > 0 tal que para todos os x satisfazendo a 
desigualdade | jc — a [ < 8 se tem | a (x) | < e.
Exemplo— I. A função a = (a‘ — 1)2 é um infinitamente pequeno quando 
A -> 1, porque lim a = lim ( a — 1)2 = 0 (fig. 39).
X-^ 1 1
1Exemplo — 2. A função a = — é um infinitamente pequeno, quando 
A —> oc (fig. .40) (ver Exemplo — 3. § 2).
Demonstremos agora a importante proposição seguinte.
Teorema — 1. Se a função y = f (x) puder ser posta sob a forma 
da soma dum número constante b e dum infinitamente pequeno a :
y ^ b + a, (1)
então
lim y = b (quando x - ^ a ou x - ^ oo).
Inversamente, se lim y = b pode-se escrever y = b + a onde a é 
um infinitamente pequeno.
Demonstração — Resulta da igualdade (1) que | y — 6 | = |a | . Mas 
qualquer que seja e, todos os valores de a a partir de um certo 
valor verificam a desigualdade | a | < e, e, por conseguinte, todos os 
valores de y a partir dum certo valor verificarão a desigualdade 
1 y — 6 I < e. Isso significa justamente qué lim y = 6.
46 CALCULO D IF E R E N C IA L E IN TE G R A L
Inversamente: se lim y = b, então qualquer que seja c para todos 
os valores de y a partir de um deles tem-se | y — 6 | < e. Façamos 
y — b = a, então para todos os valores de a a partir de um deles 
tem-se | a | < e, e a é um infinitamente pequeno.
Exemplo — 3. Seja a função (fig. 41)
então
Inversa mente, se
Í / - 1+ - ,
lim y = \ .
.V-+00
lim í/~ 1,
.v->-oo
podemos exprimir a variável y sob a forma da soma do seu valor limite 1
e de um infinitamente pequeno a = — , isto é
y ^ l + a.
Teorema — 2. Se a = a (x) tende 
para zero para x - » a (ou para x-> ooj
e não se anula, então y = tende
Fig. 41
para o infinito.
Demonstração—^^ Para todo Af > 0 
arbítràriamente grande a desigualdade
> M é verificada desde que a desi-
1 1^1 
gualdade ^ satisfeita. Esta última desigualdade é satisfeita
para todos os valores de « a partir de um deles, visto que a (x) 0.
Teorema — 3. A soma algébrica de um número finito de infinita- 
mente pequenos é um infinitamente pequeno.
Demonstração — Estudaremos o caso de dois infinitamente peque­
nos. pois para um número maior de infinitamente pequenos a demons­
tração é a mesma.
Seja u(x) = a (jc) + p (x) onde lim « (x) = 0. lim p (.x) = 0. De-
x - * a x-^a
monstremos que para e > 0 arbitràriamente pequeno se pode encon­
trar um 8 > 0 tal que a desigualdade | jc — a | < 8 implica a desi­
gualdade j w I < e. Sendo a ( j c ) um infinitamente pequeno pode-se 
encontrar um 8 tal que na vizinhança de centro a e de raio 8i se tenha
8
ia (x ) l< - 2 •
l iu it b b continuidadb das funçobs 47
Sendo (jc) um infinitamente pequeno, numa vizinhança de centro
a e de raio 82 ter-se-á: | )8<x) | < -^ .
Tomemos 8 igual ao menor dos dois números 8i e 82. Então para
8 8uma vizinhança de centro a e de raio 8 tem-se | « | < - ^ ; | p 
Por conseguinte, teremos nesta vizinhança
lu I = I a (x) -1- p (x) K I a (x) I + I p (i) | < • |--f y = e,
isto é, I w I < € , c. q. d.
Demonstra-se duma maneira análoga o caso
lim a {pí) = 0, lim P (z:) = 0.
Hota — Com o decorrer das lições, teremos de considerar somas 
de infinitamente pequenos tais que o número de termos aumenta para­
lelamente ao decréscimo de cada um deles. Neste caso o teorema 
precedente pode ser tomado por defeito. Consideremos, por exemplo,
1 1 1a soma de x termos u = ----1-------- [-•• -[- — onde x apenas toma
X X X
valores inteiros positivos (jc = 1, 2, ..., n, ...). É evidente que cada 
termo é um infinitamente pequeno quando jc-> oo, mas a soma u = I 
não o é.
Teorema — 4. O produto dum injinitamente pequeno a = a(x) 
por uma função limitada z = z (a) é um injinitamente pequeno quando 
X —> a (ou X oo>.
Demonstração — Daremos a demonstração para o caso de x -^ a . 
Pode-se indicar um número M > 0 tal que numa certa vizinhança 
do ponto X = a 2i desigualdade | z | < Aí é satisfeita. Para cada e > 0,
g
pode-se encontrar uma vizinhança onde a desigualdade I« I < ^ ^
satisfeita. Para todos os pontos da mais pequena destas vizinhanças 
ter-se-á
lazl < — Aí = 8.
M
O que exprime que az é um infinitamente pequeno. A demons­
tração é idêntica para o caso em que oo. Do teorema demonstrado 
resulta:
Corolário— 1. Se lim a = 0, lim = 0, então lim a/3 = 0, por­
que p (x) é uma função limitada. Este resultado estende-se ao caso 
dum número finito qualquer de infinitamente pequenos.
48 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Corolário — 2. Se lim « = 0 e c = const, então lim ca ~ 0.
a (a;)
Teorema — 5. O quociente — de um infinitamente pequeno
a (x) e duma função cujo limite é diferente de zero é um infinitamente 
pequeno.
Demonstração — Seja lim a (jc) = 0, lim z(x) = Resulta
1
do teorema 2 § 3 que z j - r é uma variável limitada. Eis porque a 
ct ix\ ^ ' 'fracção — ^ = a (ar) — t t é o produto dum infinitamente pequeno z\x) Z(X)
por uma grandeza limitada; logo é um infinitamente pequeno.
§ 5. Teoremas fundamentais sobre os limites
Néste parágrafo bem como no parágrafo precedente teremos 
de considerar funções que dependem duma mesma variável indepen­
dente X e para as quais x - ^ a ou j c - > o o .
Daremos a demonstração para um destes casos, visto que a 
demonstração do outro caso é semelhante. Por vezes não escrevemos 
já