Lista 1 CIII

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Universidade Federal do Piauí - UFPI
Centro de Ciências da Natureza - UFPI
Departamento de Matemática
Professor: Antonio Wilson Cunha
1a Lista de Cálculo III
Teresina 17/03/2017
1. Expressar o volume V de uma pirâmide quadrangular regular como função de sua altura x e de sua
aresta lateral y .
2. Seja S um tronco de pirâmide hexagonal regular de lados x e y e cuja altura é z. Expressar a área da
superfície lateral desse tronco de pirâmide, como função de x, y e z.
3. Seja f(x, y) = cos(x+ 2y).
(a) Calcule f(2,−1).
(b) Determine o domínio de f .
(c) Determine a imagem de f .
4. Seja f(x, y, z) = x3y2z
√
10− x− y − z.
(a) Calcule f(1, 2, 3).
(b) Determine o domínio de f .
5. Determine e esboce o domínio das funções abaixo.
a)f(x, y) =
√
x+ y b)f(x, y) =
√
xy c)f(x, y) = ln(9− x2 − 9y2)
d)f(x, y)
√
x2 − y2 e)f(x, y) =
√
y−x2
1−x2 f)f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2
6. Esboce o gráfico das funções abaixo.
a)f(x, y) = 1 + y b)f(x, y) = 10− 4x− 5y c)f(x, y) = y2 + 1
d)f(x, y) = e−y e)f(x, y) =
√
4x2 + y2 f)f(x, y) =
√
4− 4x2 − y2
7. Usando a definição de limite com � e δ, prove que lim
(x,y)→(2,1)
(3x− 4y + 1) = 3.
8. Suponha que lim
(x,y)→(3,1)
f(x, y) = 6. O que podemos dizer do valor de f(3, 1)? E se a função f for
contínua?
9. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
a) lim
(x,y)→(1,2)
(53 − x2y2) b) lim
(x,y)→(1,−1)
e−xy cos(x+ y) c) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − x4y4
x2 + 2y2
d) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + sin2 y
2x2 + y2
e) lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
f) lim
(x,y)→(0,0)
x2 sin2 y
x2 + 2y2
10. Seja g(t) = t2 +
√
t e f(x, y) = 2x + 3y − 6. Determine g(f(x, y)) e o conjunto no qual a composta é
contínua.
11. Mostre que a função
f(x, y) =

2xy
x2+y2
se x2 + y2 6= 0
0 se x2 + y2 = 0.
é contínua em cada uma das veriáveis x e y, mas, não é contínua no ponto (0, 0).
12. Determine as derivadas parciais das funções abaixo.
a)f(x, y) = x3 + x2y3 − 2y2 b)f(x, y) = cosx sin y c)f(x, y) = ln y
d)f(x, y) = sin(3y − x) e)f(x, y, z) = xz − 3y2xz + 4xyz f)f(x, y, z) = 2xyz
x2+y2+z2
13. Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções do exercício anterior.
14. Seja f(x, y) = 4− x2 − 2y2. Determine ∂f∂x (1, 1) e ∂f∂y (1, 1).
15. Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto indicado.
(a) z = √xy no ponto P (2,−1,−3).
(b) z = x sin(x+ y) no ponto P (−1, 1, 0).
(c) z = ln(x− 2y) no ponto P (3, 1, 0).
16. Determine a aproximação linear da função f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2 em (3, 2, 6) e use-a para aproxi-
mar o número
√
(3, 02)2 + (1, 97)2 + (5, 99)2.
17. Determine o vetor gradiente das funções abaixo no ponto indicado.
(a) f(x, y) = x2y3 − 4y no ponto P (2,−1).
(b) f(x, y) = sin(2x+ 3y) no ponto P (−6, 4).
(c) f(x, y, z) =
√
x+ yz no ponto P (1, 3, 1).
18. Determine a derivada direcional da função f(x, y) = x2 − y2 no ponto P (1, 2) e na direção do vetor
v = (0, 1).
19. Se f(x, y, z) = x sin yz, determine o gradiente de f e a derivada direcional de f no ponto P (1, 3, 0) na
direção do vetor v = i+ 2j− k.
20. Seja f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 e seja γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) uma curva diff. cuja imagem está contida
na superfície de nível x2 + y2 + z2 = 1. Seja γ(t0) = (x0, y0, z0). Prove que γ′(t0) e ∇f(x0, y0, z0) são
ortogonais. Interprete geometricamente.
21. Calcule dzdt usando a regra da cadeia.
(a) z = cos(xy), x = 2t, y = t3.
(b) z = ln(1 + x2 + y2), x = sin 3t, y = cos 3t.
22. Suponha que f(t2, 2t) = t3 − 3t para todo t. Mostre que
∂f
∂x
(1, 2) = −∂f
∂y
(1, 2).
23. Se z = F (u, v) = f(g(u, v), h(u, v)), mostre que
(a)
∂F
∂u
=
∂f
∂x
∂x
∂u
+
∂f
∂y
∂y
∂u
(b)
∂F
∂v
=
∂f
∂x
∂x
∂v
+
∂f
∂y
∂y
∂v
24. Seja z = f(u− v, v − u). Verifique que
∂z
∂u
+
∂z
∂v
= 0.
25. Considere a função F (x, y) = f(x/y, y/x). Mostre que
x
∂F
∂x
+ y
∂F
∂y
= 0.
26. Calcule a derivada deirecional da funções abaixo.
(a) f(x, y) = x2 − 3y2, (x0, y0) = (1, 2) e −→u o versor de 2−→i +−→j ;
(b) f(x, y) = ex2−y2 , (x0, y0) = (1, 1) e −→u o versor de (3, 4);
(c) f(x, y) = xy, (x0, y0) = (1, 1) e −→u o versor de −→i +−→j ;
27. Calcule a derivada direcional de f(x, y) =
√
1 + x2 + y2 no ponto (2, 2) e na direção de −→v = (1, 2).
28. Seja f(x, y) diff. e sejam −→u e −→v dois vetores de R2, unitários e ortogonais. Prove que
∇f(x, y) = ∂f
∂−→u (x, y)
−→u + ∂f
∂−→v (x, y)
−→v .
29. Considere a função dada pela regra f(x, y, z) = xy+ yz+ zx. Pergunta-se: em termos de crescimento,
no ponto P (1, 2, 3) na direção dada pelo vetor v = (1, 1, 1), como a função se comporta?
30. Dada a função z =
√
2xy − y2, determine ∂2z∂y∂x .
31. A equação da onda
∂2f
∂t2
= λ2
∂2f
∂x2
descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma
corda vibrante. Verifique se a função f(x, t) = sin(x− λt) satisfaz a equação da onda.
32. A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é dada por E = 12mv
2. Prove que
∂E
∂m
∂2E
∂v2
= E.
33. Verifique se a função u = 1/
√
x2 + y2 + z2 é solução da equação de Laplace tridimensional uxx+uyy +
uzz = 0.
34. A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T , pressão P e volume
V é dada por PV = mRT , onde R é a constante do gás. Mostre que
∂P
∂V
∂V
∂T
∂T
∂P
= −1.
35. Sabe-se na Física, que o período P de oscilação do pêndulo se calcula pela fórmula
P = 2pi
√
`
g
.
onde ` é o comprimento do pêndulo e g , a aceleração da gravidade. Determine o erro que comete
ao determinarmos P , como um resultado dos erros ∆` = α e ∆` = β , os quais foram cometidos ao
medirmos o comprimento do pêndulo e a aceleração da gravidade.
36. Determine a menor distância entre o ponto P (2, 0, 3) e o plano x+ y + z = 1.
37. Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos
de suas 12 arestas seja uma constante.
38. Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximos e mínimos da função f(x, y) =
x2 + y2 sujeita à restrição xy = 1.
Bom Trabalho!