Lista de Exercícios - Cálculo II

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Cálculo II
Lista 4
1. ([1], §14.5) Use a Regra da Cadeia para determinar dz/dt
ou dw/dt.
(a) z = sen x cos y; x = πt, y =
√
t
(b) w = xey/z; x = t2, y = 1− t, z = 1 + 2t.
2. ([6], Lista 2) Calcule ∂w/∂t e ∂w/∂u pela Regra da Cadeia
e confira os resultados por meio de substituição seguida
de aplicação das regras de derivação parcial.
(a) w = x2 + y2; x = t2 + u2, y = 2tu
(b) w = x
x2 + y2 ; x = t cosu, y = t sen u.
3. ([1], §14.5) Utilize a Regra da Cadeia para determinar as
derivadas parciais indicadas.
(a) z = x2 + xy3, x = uv2 + w3, y = u+ vew;
∂z/∂u, ∂z/∂v e ∂z/∂w quando u = 2, v = 1 e w = 0
(b) Y = w arctg(uv), u = r+ s, v = s+ t, w = t+ r;
∂Y/∂r, ∂Y/∂s e ∂Y/∂t quando r = 1, s = 0 e t = 1
4. ([1], §14.5) Determine dy/dx.
(a) √xy = 1 + x2y (b) cos(x− y) = xey
5. ([1], §14.5) Determine ∂z/∂x e ∂z/∂y.
(a) x2 + y2 + z2 = 3xyz (b) yz = ln(x+ z)
6. ([1], §14.5) A temperatura em um ponto (x, y) é T (x, y),
medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de modo que
sua posição depois de t segundos seja dada por x =
√
1 + t
e y = 2 + 13 t, onde x e y são medidas em centímetros. A
função temperatura satisfaz Tx(2, 3) = 4 e Ty(2, 3) = 3.
Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto
depois de três segundos?
7. ([1], §14.5) O comprimento l, a largura w e a altura h de
uma caixa variam com o tempo. Em certo instante, as
dimensões da caixa são l = 1 m e w = h = 2 m. l e w
aumentam a uma taxa de 2 m/s, ao passo que h diminui
a uma taxa de 3 m/s. Nesse instante, determine as taxas
nas quais as seguintes quantidades estão variando.
(a) O volume.
(b) A área da superfície.
(c) O comprimento da diagonal.
8. ([1], §14.5) Seja z = f(x, y), em que x = r cos θ e
y = r sen θ.
(a) Determine ∂z/∂r e ∂z/∂θ.
(b) Mostre que(
∂z
∂x
)2
+
(
∂z
∂y
)2
=
(
∂z
∂r
)2
+ 1
r2
(
∂z
∂θ
)2
9. ([1], §14.5) Mostre que qualquer função da forma
z = f(x+ at) + g(x− at)
é uma solução da equação de onda
∂2z
∂t2
= a2 ∂
2z
∂x2
.
[Sugestão. Tome u = x+ at e v = x− at.]
10. ([1], §14.5) Suponha que a equação F (x, y, z) = 0 de-
fina implicitamente cada uma das três variáveis x, y e z
como função das outras duas: z = f(x, y), y = g(x, z) e
x = h(y, z). Se F for diferenciável e Fx, Fy e Fz forem
todas não nulas, mostre que
∂z
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
= −1.
11. ([2], §12.1) Seja g(t) = f(3t, 2t2 − 1).
(a) Expresse g′(t) em termos das derivadas parciais de f .
(b) Calcule g′(0) admitindo ∂f
∂x
(0,−1) = 13 .
12. ([2], §12.1) Suponha que, para todo t, f(3t, t3) = arctg(t).
(a) Calcule ∂f
∂x
(3, 1) admitindo ∂f
∂y
(3, 1) = 2.
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
f no ponto (3, 1, f(3, 1)).
13. ([2], §12.1) Admita que, para todo (x, y),
4y ∂f
∂x
(x, y)− x∂f
∂y
(x, y) = 2.
Calcule g′(t), sendo g(t) = f(2 cos t, sen t).
14. ([2], §12.1) Admita que, para todo (x, y),
4y ∂f
∂x
(x, y)− x∂f
∂y
(x, y) = 0.
Prove que f é constante sobre a elipse x
2
4 + y
2 = 1.
15. ([2], §12.1) Seja F (x, y) = f
(
x
y
,
y
x
)
. Mostre que:
x
∂F
∂x
+ y ∂F
∂y
= 0.
16. ([2], §12.1) f(t) e g(x, y) são funções diferenciáveis tais
que g(t, f(t)) = 0 para todo t. Suponha que f(0) = 1,
∂g
∂x
(0, 1) = 2 e ∂g
∂y
(0, 1) = 4. Determine a equação da reta
tangente a γ(t) = (t, f(t)), no ponto γ(0).
17. ([2], §12.1) f(x, y, z) e g(x, y) são funções diferenciáveis tais
que, para todo (x, y) no domínio de g, f(x, y, g(x, y)) = 0.
Suponha que g(1, 1) = 3, ∂f
∂x
(1, 1, 3) = 2, ∂f
∂y
(1, 1, 3) = 5 e
∂f
∂z
(1, 1, 3) = 10. Determine a equação do plano tangente
ao gráfico de g no ponto (1, 1, 3).
18. ([2], §12.1) Seja g(t) = f(3t2, t3, e2t) e suponha
∂f
∂z
(0, 0, 1) = 4.
(a) Expresse g′(t) em termos das derivadas parciais de f .
(b) Calcule g′(0).
19. ([2], §12.2) Mostre que cada uma das equações a seguir
define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
y = y(x). Expresse dy/dx em termos de x e y.
(a) x2y + sen(y) = x (b) y4 + x2y2 + x4 = 3
20. ([2], §12.2) Mostre que cada equação abaixo define impli-
citamente ao menos uma função diferenciável z = z(x, y).
Escreva ∂z/∂x e ∂z/∂y em termos de x, y e z.
(a) ex+y+z + xyz = 1 (b) x3 +y3 +z3 = x+y+z
21. ([2], §12.2) A função diferenciável z = z(x, y) é dada im-
plicitamente pela equação f
(
x
y
, z
)
= 0, em que f(u, v) é
suposta diferenciável e ∂f
∂v
(u, v) 6= 0. Verifique que
x
∂z
∂x
+ y ∂z
∂y
= 0.
22. ([3], §11.4) Encontre os valores de ∂z/∂x e ∂z/∂y nos
pontos indicados.
(a) z3 − xy + yz + y3 − 2 = 0, (1, 1, 1)
(b) 1
x
+ 1
y
+ 1
z
− 1 = 0, (2, 3, 6)
23. ([3], §11.4) Suponha que substituamos coordenadas pola-
res x = r cos θ e y = r sen θ em uma função diferenciável
w = f(x, y).
(a) Mostre que
∂w
∂r
= fx cos θ + fy sen θ
e
1
r
∂w
∂θ
= −fx sen θ + fy cos θ.
(b) Resolva as equações no item (a) para expressar fx e
fy em termos de ∂w/∂r e ∂w/∂θ.
(c) Mostre que
(fx)2 + (fy)2 =
(
∂w
∂r
)2
+ 1
r2
(
∂w
∂θ
)2
24. ([4], §16.5) O raio r e a altura h de um cilindro circular
reto aumentam à razão de 0,01 cm/min e 0, 02 cm/min,
respectivamente.
(a) Ache a taxa de variação do volume quando r = 4 cm
e h = 7 cm.
(b) A que taxa a área da superfície curva está variando
nesse instante?
25. ([4], §16.5) Os lados iguais e o ângulo correspondente de
um triângulo isósceles estão aumentando à razão de 3 cm/h
e 2 °/h. Ache a taxa à qual a área do triângulo está au-
mentando no instante em que o comprimento de cada um
dos lados iguais é de 6 metros e o ângulo correspondente
é 60°.
26. ([4], §16.5) Quando o tamanho das moléculas e suas forças
de atração são levadas em conta, a pressão P , o volume
V e a temperatura T de um mol de gás confinado estão
relacionados pela equação de van der Waals(
P + a
V 2
)
(V − b) = kT
em que a, b e k são constantes positivas. Se t é o tempo,
estabeleça uma fórmula para dT/dt em termos de dP/dt,
dV/dt, P e V .
27. ([4], §16.5) Suponha que u = f(x, y) e v = g(x, y) verifique
as equações de Cauchy-Riemann ux = vy e uy = −vx. Se
x = r cos θ e y = r sen θ, mostre que
∂u
∂r
= 1
r
∂v
∂θ
e ∂v
∂r
= −1
r
∂u
∂θ
.
28. ([2], §11.5) Mostre que f(x, y) = 3
√
x2y é contínua em
(0, 0) e tem todas as derivadas direcionais em (0, 0). A
função f é diferenciável em (0, 0)?
29. ([1], §14.6) Determine a derivada direcional de f no ponto
P dado e na direção indicada pelo ângulo θ.
(a) f(x, y) = x2y3 − y4, P = (2, 1), θ = π/4
(b) f(x, y) = ye−x, P = (0, 4), θ = 2π/3
30. ([1], §14.6) Nos itens (a) - (d):
(i) Determine o gradiente de f .
(ii) Calcule o gradiente no ponto P .
2
(iii) Ache a taxa de variação de f em P na direção de u.
(a) f(x, y) = 5xy2 − 4x3y, P = (1, 2), u =
( 5
13 ,
12
13
)
(b) f(x, y) = y ln x, P = (1,−3), u =
(
− 45 ,
3
5
)
(c) f(x, y, z) = xe2yz, P = (1,−3), u =
( 2
3 ,−
2
3 ,
1
3
)
(d) f(x, y, z) = √x+ yz, P = (1, 3, 1), u =
( 2
7 ,
3
7 ,
6
7
)
31. ([2], §13.4) Calcule Duf(x0, y0), sendo:
(a) f(x, y) = x2 − 3y2, (x0, y0) = (1, 2) e u o versor de
2i + j.
(b) f(x, y) = ex2−y2 , (x0, y0) = (1, 1) e u o versor de
(3, 4).
(c) f(x, y) = arctg x
y
, (x0, y0) = (3, 3) e u =
(
1√
2 ,
1√
2
)
.
32. ([1], §14.6) Determine a derivada direcional da função no
ponto dado e na direção do vetor v.
(a) f(x, y, z) = xey + yez + zex, (0, 0, 0), v = (5, 1,−2)
(b) f(x, y, z) = √xyz, (3, 2, 6), v = (−1,−2, 2)
33. ([5], Lista 4) Considere o vetor unitário u = (
√
3/2, 1/2) e
a função
f(x, y) =

xy2
x2 + y4 , se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
(a) Determine a derivada direcional Duf(0, 0).
(b) Explique por que o produto escalar ∇f(0, 0) · u não
fornece a derivada direcional de f em (0, 0) na direção
de u.
34. ([3], §11.5) Encontre a derivada direcional de f(x, y) =
x2 + y2 na direção do versor tangente da curva
γ(t) = (cos t+ t sen t)i + (sen t− t cos t)j, t > 0
35. ([5], Lista 4) Seja f : R→ R uma função diferenciável de
uma variável. Defina
g(x, y) = f(r), r =
√
x2 + y2.
Calcule a derivada direcional da função g no ponto (x, y) 6=
(0, 0) e na direção do vetor (x, y).
36. ([5], Lista 4) Determine as direções em que a derivada
direcional da função f(x, y) =x2 + sen(xy) no ponto (1, 0)
tem valor 1.
37. ([1], §14.6) Determine a taxa de variação máxima de f no
ponto dado e a direção em que isso ocorre.
(a) f(x, y) = y
2
x
, (2, 4)
(b) f(x, y) = sen(xy), (1, 0)
(c) f(x, y, z) = x+ y
z
, (1, 1,−1)
(d) f(x, y, z) = tg(x+ 2y + 3z), (−5, 1, 1)
38. ([3], §11.5) Existe uma direção u na qual a taxa de varia-
ção de f(x, y) = x2 − 3xy + 4y2 em P = (1, 2) é igual a
14? Justifique sua resposta.
39. ([1], §14.6) Mostre que uma função diferenciável f de-
cresce mais rapidamente em x na direção oposta à do
vetor gradiente, ou seja, na direção de −∇f(x).
40. ([2], §13.4) Em que direção e sentido a função dada cresce
mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e
sentido decresce mais rapidamente?
(a) f(x, y) = x2 + xy + y2 em (1, 1).
(b) f(x, y) = ln ‖(x, y)‖ em que (1,−1).
(c) f(x, y) =
√
4− x2 − y2 em
(
1, 12
)
.
41. ([2], §13.4) Se f(x, y) = x arctg x
y
. Calcule Duf(1, 1), em
que u aponta na direção e sentido de máximo crescimento
de f , no ponto (1, 1).
42. ([1], §14.6) A temperatura T em uma bola de metal é
inversamente proporcional à distância do centro da bola,
que tomamos como a origem. A temperatura no ponto
(1, 2, 2) é de 120℃.
(a) Determine a taxa de variação de T em (1, 2, 2) em
direção ao ponto (2, 1, 3)
(b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direção de
maior crescimento na temperatura é dada por um
vetor que aponta para a origem.
43. ([1], §14.6) A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada
por
T (x, y, z) = 200e−x
2−3y2−9z2 ,
em que T é medido em ℃ e x, y e z em metros.
(a) Determine a taxa de variação da temperatura no
ponto P = (2,−1, 2) em direção ao ponto (3,−3, 3).
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura
em P?
(c) Encontre a taxa máxima de crescimento em P .
44. ([1], §14.6) Suponha que u e v sejam funções de x e y,
diferenciáveis, e a e b sejam constantes. Mostre que:
(a) ∇(au+ bv) = a∇u+ b∇v
(b) ∇(uv) = u∇v + v∇u
(c) ∇
(u
v
)
= v∇u− u∇v
v2
(d) ∇un = nun−1∇u
3
45. ([1], §14.6) Seja f uma função de duas variáveis que te-
nha derivadas parciais contínuas e considere os pontos
A = (1, 3), B = (3, 3), C = (1, 7) e D = (6, 15). A de-
rivada direcional em A na direção do vetor −−→AB é 3, e a
derivada direcional em A na direção −→AC é 26. Determine
a derivada direcional de f em A na direção do vetor −−→AD.
46. ([2], §13.1) É dada uma curva γ que passa pelo ponto
γ(t0) = (1, 3) e cuja imagem está contida na curva de nível
x2 + y2 = 10. Suponha γ′(t0) 6= 0.
(a) Determine a reta tangente a γ no ponto (1, 3).
(b) Ache uma curva γ(t) satisfazendo as condições acima.
47. ([2], §13.1) Determine a equação da reta tangente à curva
γ no ponto γ(t0) = (2, 5) sabendo-se que γ′(t) 6= 0 e que
sua imagem está contida na curva de nível xy = 10. Qual
a equação da reta normal a γ, neste ponto?
48. ([2], §13.2; [1], §13.2) Determine as equações do plano
tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto
dado.
(a) x2 + 3y2 + 4z2 = 8, (1,−1, 1)
(b) 2xyz = 3,
(
1
2 , 1, 3
)
(c) zex−y + z3 = 2, (2, 2, 1)
(d) x2 − 2y2 + z2 + yz = 2, (2, 1,−1)
49. ([2], §13.2) A função diferenciável z = f(x, y) é dada im-
plicitamente pela equação x3 + y3 + z3 = 10. Determine
a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto
(1, 1, f(1, 1)).
50. ([1], §14.6) Se g(x, y) = x2 + y2 − 4x, encontre o vetor
gradiente ∇g(1, 2) e use-o para encontrar a reta tangente à
curva de nível g(x, y) = 1 no ponto (1, 2). Esboce a curva
de nível, a reta tangente e o vetor gradiente.
51. ([2], §13.1) Determine a equação da reta tangente à curva
de nível no ponto P .
(a) x2 + xy+ y2 − 3y = 1;
P = (1, 2)
(b) e2x−y + 2x+ 2y = 4;
P =
( 1
2 , 1
)
52. ([5], Lista 4) Seja g(x, y) = f(x2 +y2), em que f é uma fun-
ção diferenciável. Se f ′(2) = 1, determine a reta tangente
à curva de nível de g que passa pelo ponto (1, 1).
53. ([6], Lista 2) Seja f : R2 → R uma função diferenciável
em R2. Fixado um certo P = (x0, y0) ∈ R2, sabe-se que o
plano tangente ao gráfico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0))
tem equação −2x+2y−z+3 = 0. A curva γ(t) = (t2, t3+t)
pode ser uma curva de nível de f passando pelo ponto P?
Justifique sua resposta.
54. ([6], Lista 2) O gradiente de f(x, y) = x2 + y4 é tangente
à curva γ(t) = (t2, t) em um ponto P = γ(t0) com t0 > 0.
Considere a curva de nível de f que contém P . Encontre
a equação da reta tangente a essa curva no ponto P .
55. ([1], §14.6) Mostre que a equação do plano tangente ao
elipsoide x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 no ponto (x0, y0, z0)
pode ser escrita como
x0
a2
x+ y0
b2
y + z0
c2
z = 1.
56. ([2], §13.1) Determine uma reta que seja tangente à elipse
x2 + xy + y2 = 7 e paralela à reta 4x+ 5y = 17.
57. ([1], §14.6) Existem pontos no hiperboloide x2−y2−z2 = 1
nos quais o plano tangente é paralelo ao plano z = x+ y?
58. ([1], §14.6) Determine a reta tangente à curva formada
pela intersecção do paraboloide z = x2 +y2 com o elipsoide
4x2 + y2 + z2 = 9 no ponto (−1, 1, 2).
59. ([1], §14.6)
(a) Duas superfícies são ditas ortogonais em um ponto
de intersecção se suas normais são perpendiculares
nesse ponto. Mostre que superfícies com equação
F (x, yz) = 0 e G(x, y, z) = 0 são ortogonais em um
ponto P , em que ∇F 6= 0 e ∇G 6= 0, se, e somente
se, em P ,
FxGx + FyGy + FzGz = 0.
(b) Use o item (a) para mostrar que as superfícies
z2 = x2 + y2 e x2 + y2 + z2 = r2 são ortogonais
em todo ponto de intersecção. Você pode ver isso sem
fazer os cálculos?
Referências
[1] STEWART, J. Cálculo, vol. 2, 6ª e 7ª ed. São Paulo,
Pioneira/Thomson Learning.
[2] GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, vol. II, LTC,
5ª edição, 2001.
[3] THOMAS, G. B. Cálculo, vol. 2, 10ª edição, São Paulo,
Addison-Wesley / Pearson, 2002.
[4] SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica,
vol. 2, 2ª edição, Markron Books, 1995.
[5] MA211 - Cálculo II - Unicamp,
http://www2.ime.unicamp.br/~ma211
[6] MAT2454 - Cálculo Diferencial e Integral II - Poli-USP,
https://www.ime.usp.br/~lymber/mat2454/
4
http://www2.ime.unicamp.br/~ma211
https://www.ime.usp.br/~lymber/mat2454/
	Referências