16. Funções contínuas

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16. Func¸o˜es cont´ınuas
Uma func¸a˜o y = f(x) e´ cont´ınua em um ponto interior c de seu domı´nio
quando
limx→cf(x) = f(c).
Uma func¸a˜o y = f(x) e´ cont´ınua na extremidade esquerda a ou e´
cont´ınua na extremidade direita b de seu domı´nio quando
limx→af(x) = f(a) ou limx→bf(x) = f(b), respectivamente.
Se uma func¸a˜o f na˜o e´ cont´ınua em um ponto c, dizemos que f e´ de-
scont´ınua em c e que c e´ um ponto de descontinuidade de f .
Uma func¸a˜o f sera´ cont´ınua a` direita de um ponto x = c em seu domı´nio
se limx→c+0f(x) = f(c). Sera´ cont´ınua a` esquerda de c se limx→c−0f(x) =
f(c).
Teste de continuidade
Uma func¸a˜o f(x) sera´ cont´ınua em x = c se e somente se ela obedecer a`s
treˆs condic¸o˜es seguintes:
1. f(c) existe (c esta´ no domı´nio de f)
2. limx→cf(x) existe (f tem um limite quando x→ c)
3. limx→cf(x) = f(c) (o limite e´ igual ao valor da func¸a˜o)
Um ponto c se chama uma descontinuidade remov´ıvel da func¸a˜o f(c) se
limx→c−0f(x) = limx→c+0f(x) 6= f(c). Este tipo de descontinuidade da´ pra
remover fazendo f(c) igual a seu limite.
Um ponto c se chama uma descontinuidade de salto da func¸a˜o y = f(x)
se os limites laterais em c existem, mais teˆm valores distintos.
Um ponto c se chama uma descontinuidade na˜o remov´ıvel da func¸a˜o
f(x) se um dos limites laterais e´ infinito ou na˜o existe.
Uma func¸a˜o e´ cont´ınua em um intervalo se e somente se for cont´ınua em
cada ponto do intervalo. Uma func¸a˜o cont´ınua e´ aquela que e´ cont´ınua em
cada ponto de seu domı´nio.
1
Teorema 1 Propriedades de func¸o˜es cont´ınuas
Se as func¸o˜es f e g sa˜o cont´ınuas em x = c, enta˜o as seguintes combinac¸o˜es sa˜o
cont´ınuas am x = c:
1. Somas: f + g
2. Diferenc¸as: f − g
3. Produtos: f · g
4. Multiplicac¸a˜o por constantes: k · f, k ∈ R
5. Quocientes: f/g, uma vex que g(c) 6= 0
6. Potenciac¸o˜es: fr/s, uma vez que ela e´ definida num intervalo
aberto contendo c, onde r e s sa˜o inteiros.
Teorema 2 Composta de func¸o˜es cont´ınuas Se f e´ cont´ınua em c e g e´
cont´ınua em f(c), enta˜o a composta g ◦ f e´ cont´ınua em c.
Teorema 3 Se g e´ cont´ınua no ponto b e limx→cf(x) = b, enta˜o
limx→cg(f(x)) = g(b) = g(limx→cf(x))
Se f(c) na˜o e´ definida, mas limx→cf(x) = L existe, podemos definir uma
nova func¸a˜o F (x) pela regra:
F (x) =
{
f(x), se x esta´ no domı´nio de f
L, se x = c
A func¸a˜o F (x) cont´ınua em x = c e´ conhecida como a extensa˜o cont´ınua de
f em x = c.
Teorema 4 O teorema do valor intermedia´rio para func¸o˜es cont´ınuas
Uma func¸a˜o y = f(x) que e´ cont´ınua em um intervalo fechado [a; b] assume
cada valor entre f(a) e f(b). Em outras palavras, se y0 for qualquer valor entre
f(a) e f(b), enta˜o y0 = f(c) para algum c em [a; b].
Aplicac¸o˜es de limites
1. Suponha que fac¸amos um investimento de capital inicial C, uma taxa de
juros anual de r quanto dinheiro vamos ter decorrido k anos?
Resposta depende de como os juros sa˜o pagos. Se for utilizado juros simples
o total de juros sera´ aplicado ao final investimento, de modo que o acre´scimo
total produzido pelos juros e´ Crk, e o capital final sera´ igual C(1 + rk).
No entanto, o mais comum e´ que os juros sejam pagos em per´ıodos mais
curtos de tempo. Dessa forma cada vez que esses interesses sa˜o pagos eles
aumentam o capital inicial e produzira˜o, por sua vez, mais capital quando novos
interesses forem pagos. Isto e´ conhecido como juros compostos.
Por exemplo, se os juros sa˜o pagos n vezes por ano (Trimestral (n = 4),
mensal (n = 12), etc). No final do primeiro per´ıodo, teremos C(1 + r/N), final
2
do segundo C(1 + r/n)2; no final do exerc´ıcio C(1 + r/n)n, fim do k-e´simo ano
teremos C(1 + r/n)nk.
Quando n e´ grande, o nu´mero (1 + r/n)n e´ aproximadamente igual a er.
Precisamente, se os juros sa˜o aplicados acumulam, instantaneamente ao capital
o que conhecido como compostos continuamente, em seguida, o capital no final
do k e´simo ano e´ dado pela Cerk.
2. Se denotarmos por P0 a populac¸a˜o mundial atual, e por λ a taxa anual
de crescimento, a qual suporemos que se mante´m constante. Denotaremos por
P (t) a populac¸a˜o mundial passados t anos.
Passado um ano, temos que a populac¸a˜o mundial sera´
P (1) ∼ P0 + λP0 = (1 + λ)P0.
Utilizamos o sinal de aproximac¸a˜o ∼ e na˜o o = porque calculamos o crescimento
da populac¸a˜o λP0 como se esta fosse constantemente igual a P0 em todo o ano,
o que na˜o e´ correto. Obter´ıamos um resultado mais exato se consideramos o
crescimento da populac¸a˜o mensalmente. Como a taxa de crescimento mensual
e´ λ/12, passado um meˆs a populac¸a˜o sera´ (1 + λ/12)P0, e passados doze meses
P (1) ∼ (1 + λ/12)12 P0.
O ca´lculo segue sendo aproximado, pois a populac¸a˜o cresce continuamente.
Para obter uma melhor aproximac¸a˜o poder´ıamos considerar dias em vez de
meses. Em general, se dividimos o ano em n per´ıodos, obter´ıamos como aprox-
imac¸a˜o:
P (1) ∼ (1 + λ/n)n P0.
Quanto maior seja n menor sera´ o erro que cometemos. Se fazemos que n
cresc¸a indefinidamente, enta˜o o nu´mero (1 + λ/n)n se converte em eλ, pelo que
P (1) = eλP0. Se o per´ıodo de tempo e´ de t anos, enta˜o P (t) = P0e
λt.
Observa que tanto o juro composto cont´ınuo como o crescimento demogra´fico
sa˜o, matematicamente, o mesmo. Em ambos casos o que temos e´ uma magnitude
que se incrementa de forma proporcional a sua quantidade em cada momento.
Outro processo que entra nesta descric¸a˜o e´ o decaimento radioativo, a u´nica
diferencia e´ que a masa de mate´ria radioativa va´ diminuindo, ou seja, que a
constante de proporcionalidade e´ negativa.
3. Sa˜o va´rios os fatores que interferem no crescimento populacional, como,
por exemplo, o aparecimento de epidemias. Pensando nisso, foram criadas as
curvas de log´ıstica para serem usadas na definic¸a˜o de modelos de crescimento
populacional quando fatores ambientais impo˜em restric¸o˜es ao tamanho poss´ıvel
da populac¸a˜o. Vamos verificar a seguinte situac¸a˜o hipote´tica.
Foi constatada uma epidemia de uma nova forma de gripe numa dada pop-
ulac¸a˜o e, apo´s t semanas o nu´mero N de pessoas contaminadas (em milhares) e´
aproximadamente
20
1 + 19 · 10−0,5t
3
De acordo com esta estimativa e´ poss´ıvel determinar o nu´mero de pessoas con-
taminadas passadas 4 semanas apo´s a constatac¸a˜o da doenc¸a.
limt→4N(t) = limt→4
20
1 + 19 · 10−0,5t ∼ 16, 8
Podemos tambe´m encontrar o nu´mero de pessoas que haviam contra´ıdo a doenc¸a
quando foi constada a gripe.
limt→0N(t) = limt→0
20
1 + 19 · 10−0,5t ∼ 1
Como esta´vamos calculando em milhares, enta˜o, seriam aproximadamente 16800
pessoas infectadas no decorrer de 4 semanas e 1000 pessoas infectadas quando
foi detectada a gripe.
4. A a´gua de um reservato´rio com 100 000 litros evapora-se a` taxa de 10ao
meˆs. O que acontecera´ com a a´gua ao longo do tempo? Qual sera´ o volume de
a´gua limite?
O volume da a´gua sera´ expresso pela func¸a˜o V = 100000 · 0, 9t. No decorrer
do tempo, isto e´, quando t tende ao infinito, teremos:
limt→∞V (t) = limt→∞100000 · 0, 9t = 100000 · 0 = 0
Ou seja, o volume de a´gua acabara´ com o tempo.
5. Uma montadora de computadores determina que um empregado apo´s x
dias de treinamento, monta n computadores por dia, onde:
n(t) =
20x2
x2 + x+ 5
O que acontece com x apo´s treinamentos longos?
limx→∞n(x) = limx→∞
20x2
x2 + x+ 5
= 20
Ou seja, apo´s um longo treinamento o empregado montara´ 20 computadores
por dia.
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Exerc´ıcios
1. Ache os pontos de continuidade da func¸a˜o f(x) =
√
4− x2.
2. Ache os pontos de descontinuidade da func¸a˜o f(x) = intx.
3. Mostre que as seguintes func¸o˜es sa˜o cont´ınuas em qualquer ponto de seus
respectivos domı´nios:
3.1 y =
√
x2 − 2x− 5 3.3 y = x2/31+x4
3.2 y =
∣∣∣ x−2x2−2 ∣∣∣ 3.4 y = ∣∣∣xsenxx2+2 ∣∣∣
5
4. Ache o limite:
4.1 limx→1arcsen 1−x1−x2 4.2 limx→0
√
x+ 1etgx5. Mostre que
f(x) =
x2 + x− 6
x2 − 4 , x 6= ±2
tem uma extensa˜o cont´ınua em x = ±2 e determine essa extensa˜o.
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