ME Problema Portico 2

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O O 
O O 
O O 
O O 
O O 
# (Exame 1, 2010/11-SV)
restart;
# Trata-se de um pórtico isostático.
# Para pórticos (e apenas contabilizando o efeito das tensões normais), tem-se:
 
# U=>
i = 1
n
0
L
i
Mi
2
2$EI dxC>i = 1
n
0
L
i
Ni
2
2$EA dx 
 
# Adicionalmente, atendendo à alínea (c), e aplicando o teorema de Castigliano:
# yc =
vU
vP1 = >i = 1
n
0
L
i
Mi
EI
vMi
vP1 dxC>i = 1
n
0
L
i
Ni
EA
vNi
vP1 dx 
# Dados - não introduzir o valor de P1 propositadamente, atendendo à alínea (c):
 
Lacd sqrt 1.82C2.42 ; # m
Lcdd sqrt 0.92C1.22 ; # m
Ldbd 1.5; # m
 
αd arctan 0.9
1.2
; # Note-se que é o mesmo ângulo que α = arctan 1.8
2.4
;
EId 210e9$ 150eK3
4
12
; # N.m2
EAd 210e9$ 150eK3 2; # N
P2d 50e3; # N
Lac := 3.000000000
Lcd := 1.500000000
Ldb := 1.5
α := 0.6435011088
(1)(1)
O O 
O O 
O O 
(3)(3)
(2)(2)
O O 
(4)(4)
EI := 8.859375000 106
EA := 4.725000 109
P2 := 50000.
# Cálculo das reacções Ax, Ay e By, em função de P1 (conhecido):
 
SMad P1$1.8KP2$1.5KBy$3 = 0;
SFxd AxKP2 = 0;
SFyd AyCByKP1 = 0;
solve SMa, SFx, SFy , Ax, Ay, By ;
assign % :
SMa := 1.8 P1K75000.K3 By = 0
SFx := AxK50000. = 0
SFy := AyCByKP1 = 0
Ax = 50000., Ay = 0.4000000000 P1C25000., By = 0.6000000000 P1K25000.
# Esforço axial, esforço transverso e momento flector em cada membro:
 
# Membro AC:
 
NacdKAy$cos α K Ax$sin α ;
Vacd Ay$sin α KAx$cos α ; 
Macd Ay$sin α KAx$cos α $x1; 
Nac :=K0.3200000000 P1K50000.00000
Vac := 0.2400000000 P1K25000.00000
Mac := 0.2400000000 P1K25000.00000 x1
# Membro CD:
 
Ncdd Ay$sin α KAx$cos α KP1$sin α ;
Vcdd Ay$cos α CAx$sin α KP1$cos α ;
Mcdd subs x1 = Lac, Mac C Ay$cos α CAx$sin α KP1$cos α $x2;
Ncd :=K0.3600000000 P1K25000.00000
Vcd :=K0.4800000000 P1C50000.00000
O O 
O O 
O O 
O O 
(8)(8)
(6)(6)
(4)(4)
(7)(7)
O O 
O O 
O O 
O O 
(5)(5)
(10)(10)
O O 
(9)(9)
O O 
Mcd := 0.7200000000 P1K75000.00000C K0.4800000000 P1C50000.00000 x2
# Membro DB:
 
Ndbd AyKP1;
Vdbd AxKP2;
Mdbd subs x2 = Lcd, Mcd C AxKP2 $x3;
Ndb :=K0.6000000000 P1C25000.
Vdb := 0.
Mdb := 0.
# Resolução expedita em Maple:
# Energia elástica de deformação, em função de P1 (conhecido):
 
Ud simplify 1
2$EI
$ int Mac2, x1 = 0 ..Lac C int Mcd2, x2 = 0 ..Lcd Cint Mdb2, x3 = 0
..Ldb C 1
2$EA $ int Nac
2, x1 = 0 ..Lac C int Ncd2, x2 = 0 ..Lcd C int Ndb2, x3 = 0
..Ldb ;
U := 4.399593651 10-8 P12K0.009134603174 P1C477.1825397
# Deslocamento vertical em C, em função de P1 conhecido :
 
ycd diff U, P1 ;
yc := 8.799187302 10-8 P1K0.009134603174
# Dados - após realizadas as devidas derivadas em relação a P1:
 
P1d 125e3;
P1 := 1.25 105
# Reacções:
 
Axd Ax; # N
Ayd Ay; # N
Byd By; # N
Ax := 50000.
Ay := 75000.00000
By := 50000.00000
# Alínea (a)
# Distribuição de esforço axial:
 
Nacd Nac; # N
Ncdd Ncd; # N
Ndbd Ndb; # N
Nac :=K90000.00000
Ncd :=K70000.00000
Ndb :=K50000.00000
# Alínea (b)
# Distribuição de momento flector:
O O 
(11)(11)
(12)(12)
O O 
O O 
 
MacdMac; # N.m
McddMcd; # N.m
MdbdMdb; # N.m 
Mac := 5000.00000 x1
Mcd := 15000.00000K10000.00000 x2
Mdb := 0.
# Alínea (c)
# Deslocamento vertical em C:
 
 ycd yc; # m
 ycd yc$1e3; # mm
yc := 0.001864380956
yc := 1.864380956