1ª Lista de Exercícios Cálculo 2

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Primeira Lista de Ca´lculo II
9 de marc¸o de 2012
1. Calcule
(a)
∫
3tg θ − 4 cos2 θ
cos θ
dθ R: 3 sec θ − 4sen θ + C
(b)
∫ (
1 +
1
x
)−3(
1
x2
)
dx R:
1
2
(
1 +
1
x
)−2
+ C
(c)
∫
(tg 2x+ cotg 2x)2 dx R: −cotg 4x+ C
(d)
∫
y + 3
(3− y)2/3dy R:
3
4
(3− y)4/3 − 18 (3− y)1/3 + C
(e)
∫
(2t2 + 1)1/3t3dt R:
3
56
(2t2 + 1)7/3 +
3
32
(2t2 + 1)4/3 + C
(f)
∫
x
cos2(x2)
dx R:
1
2
tg x2 + C
(g)
∫
(s2 + 1)2ds R:
s5
5
+
2s3
3
+
s2
2
+ C
(h)
∫
(sen x+ cosx)2dx R: x− cos 2x
2
+ C
(i)
∫
sen 4x
cos 2x
dx. R: − cos 2x+ C
(j)
∫
1
2x+ 7
dx R:
1
2
ln |2x+ 7|+ C
(k)
∫
4x
x2 − 9dx R: ln(x
2 − 9)2 + C
(l)
∫
tg 2xdx R: ln(cos 2x)−1/2 + C
(m)
∫
(2 + ln x)10
x
dx R:
(2 + ln x)11
11
+ C
(n)
∫
tg 22x
sec 2x
dx R:
1
2
ln | sec 2x+ tg 2x| − 1
2
sen 2x+ C
1
(o)
∫
cosx sen x
cos2 x− 1 dx R: ln
1
sen x
+ C
(p)
∫
x2 cosh(x3)dx R:
senh x3
3
+ C
(q)
∫
sech 25xdx R:
1
5
tgh 5x+ C
(r)
∫
senh x coshxdx R:
cosh 2x
4
+ C
2. O volume de a´gua em um tanque e´ V m3 quando a profundidade e´ h m. Se a taxa de
variac¸a˜o de V em relac¸a˜o a h for dada por
dV
dh
= pi(2h + 3)2, ache o volume de a´gua
no tanque quando a profundidade for 3m.
R: 117pim3
3. Calcule
∫
csc2 x cotg x dx por dois me´todos: (a) tomando u = cotg x, (b) tomando
v = cscx. (c) Explique a diferenc¸a entre as respostas de (a) e (b).
4. Ache a soluc¸a˜o completa:
(a)
dy
dx
=
sec2 x
tg 2y
R: tg x− tg y + y + C = 0
(b)
du
dv
=
cos 2v
sen 3u
. R:
sen 2v
2
+
cos 3u
3
+ C = 0
(c)
d2u
dv2
= tg v sec2 v R: u =
tg v
2
+
(
C1 − 1
2
)
v + C2
(d)
d2y
dx2
= 5x2 + 1. R: y =
5x4
12
+
x2
2
+ C1x+ C2
5. A inclinac¸a˜o da reta tangente num ponto qualquer (x, y) de uma curva e´ 3
√
x. Se o
ponto (4, 9) esta´ na curva, ache uma equac¸a˜o para ela.
R: y = 2x3/2 − 7.
6. Os pontos (−1, 3) e (0, 2) esta˜o numa curva e em qualquer ponto (x, y) da curva temos
d2y
dx2
= 2− 4x. Ache uma equac¸a˜o da curva. (Sugesta˜o: fac¸a d
2y
dx2
=
dy′
dx
e obtenha uma
equac¸a˜o envolvendo y′, x e uma constante arbitra´ria C1. Dessa equac¸a˜o, obtenha uma
outra envolvendo y, x, C1 e C2. Usando as condic¸o˜es calcule C1 e C2).
R: y = x2 − 2x
3
3
+
2x
3
+ 2
7. Seja f cont´ınua em [−a, a]. Mostre que:
(a) Se f e´ par, enta˜o
∫ a
−a
f(x)dx = 2
∫ a
0
f(x)dx.
Page 2
(b) Se f e´ ı´mpar, enta˜o
∫ a
−a
f(x)dx = 0
8. Use o resultado do Exerc´ıcio anterior para calcular:
(a)
∫ pi
−pi
2sen xdx. R : 0
(b)
∫ 1
−1
(x4 + x2)dx. R :
16
15
9. Mostre que se f(x) e´ cont´ınua e m ≤ f(x) ≤M para todo x ∈ [a, b] enta˜o:
m.(b− a) ≤
∫ b
a
f(x)dx ≤M.(b− a)
10. Sem calcular a integral mostre que −3 ≤
∫ 2
−1
x
x+ 2
dx ≤ 3
2
.
11. Ache o valor me´dio de f e o valor de x onde ocorre o valor me´dio de f e fac¸a um
esboc¸o:
(a) f(x) = 9− x2; [a, b] = [0, 3] R: fm = 6 e x =
√
3
(b) f(x) = 8x− x2, [a, b] = [0, 4] R: fm = 323 e x = 4− 4
√
3
12. Resolva as equac¸o˜es diferenciais sujeitas a`s condic¸o˜es iniciais dadas
(a) y′ = 4e2x + 3e−2x, y = 4 se x = 0
R: y = 2e2x − 3
2
e−2x + 7
2
.
(b) y′′ = 3e−x, y = −1 e y′ = 1 se x = 0
R: y = 3e−x + 4x− 4
13. Calcule
(a)
∫ 2
1
x2 + 1
x2
dx R:
3
2
(b)
∫ pi
2
0
sen 2xdx R: 1
(c)
∫ 1
0
x3 + 1
x+ 1
dx R:
5
6
(d)
∫ 1
0
sen pix cos pixdx R: 0
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(e)
∫ pi
3
0
sen x
cos2 x
dx. R: 1
(f)
∫ e
1
lnx
x
dx R: 1
2
(g)
∫ 2
1
ex
ex + e
dx R: ln e+1
2
14. Resolva as seguintes integrais usando a te´cnica de integrac¸a˜o por partes.
(a)
∫
xsen(5x)dx R:
−x
5
cos(5x) +
1
25
sen(5x) + C
(b)
∫
te4tdt R:
e4t
4
(
t− 1
4
)
+ C
(c)
∫
xln(3x)dx R:
x2
2
[
ln(3x)− 1
2
]
+ C
(d)
∫
excos
x
2
dx R:
2
5
ex
[
sen
x
2
+ 2cos
x
2
]
+ C
(e)
∫
eaxsen(bx)dx R:
beax
a2 + b2
[
−cos(bx) + a
b
sen(bx)
]
+ C
(f)
∫
x3
√
1− x2dx R: −x
2
3
(1− x2)√1− x2 − 2
15
(1− x2)√1− x2 + C
(g)
∫
(x− 1)e−xdx R: −xe−x + C
(h)
∫
xnlnxdx,n natural R:
xn+1
n+ 1
[
lnx− 1
n+ 1
]
+ C
(i)
∫
x2exdx R: ex[x2 − 2x+ 2] + C
(j)
∫
(x− 1)sec2xdx R: (x− 1)tgx+ ln|cosx|+ C
15. Calcule as integrais trigonome´tricas. Se necessa´rio, fac¸a uma substituic¸a˜o trigonome´trica.
(a)
∫
sen
√
x√
x
dx R: −2cos√x+ C
(b)
∫
sen 2x
cosx
dx R: −2cos(x) + C
(c)
∫ cotg(1
x
)
x2
dx R: −ln|sen1
x
|+ C
Page 4
(d)
∫
sen (at+ b)dx R:
−1
a
cos(at+ b) + C
(e)
∫
cos(x).tg(sen(x))dx R: ln|sec(sen(x))|+ C
(f)
∫
cos5(3−3x)dx R: −1
3
sen(3−3x)+ 2
9
sen3(3−3x)− 1
15
sen5(3−3x)+C
(g)
∫
e2xcos2(e2x − 1)dx R: 1
4
(e2x − 1) + 1
8
sen(2e2x − 2) + C
(h)
∫
1
θ
tg3(lnθ)dθ R:
1
2
tg2(lnθ) + ln|cos(lnθ)|+ C
(i)
∫
cos4xdx R:
1
4
cos3xsenx+
3
8
cos(x)sen(x) +
3
8
x+ C
(j)
∫
sen2(x)
cos4(x)
dx R:
1
3
tg3(x) + C
16. Calcule as integrais usando o me´todo das frac¸o˜es parciais.
(a)
∫
2x3
x2 + x
dx R: x2 − 2x+ 2ln|x+ 1|+ C
(b)
∫
x− 1
x3 + x2 − 4x− 4dx R:
1
12
ln|x− 2|+ 2
3
ln|x+ 1| − 3
4
ln|x+ 2|+ C
(c)
∫
x2 + 5x+ 4
x2 − 2x+ 1dx R: x+ 7ln|x− 1| −
10
x− 1 + C
(d)
∫
(x2 + 1)
x4 − 7x3 + 18x2 − 20x+ 8dx R: ln
(
x− 2
x− 1
)2
+
1
x− 2 −
5
2(x− 2)2 +C
(e)
∫
x3 + 2x2 + 4
2x2 + 2
dx R:
(x)2
4
+ x− 1
4
ln(x2 + 1) + arctg(x) + C
(f)
∫
x− 1
(x2 + 2x+ 3)2
dx R:
−x− 2
2(x2 + 2x+ 3)
− 1
2
√
2
arctg
x+ 1√
2
+ C
17. Esboce a regia˜o delimitada pelos gra´ficos das equac¸o˜es e calcule sua a´rea.
(a) y = x2; y = 4x R:
32
3
(b) y = x2 + 1; y + x2 = 3 R:
32
3
(c) y =
1
x2
; y = −x2; x = 1 e x = 2 R: 17
6
(d) y2 = −x; x− y = 4 y = −1 e y = 2 R: 33
2
(e) y2 = 4 + x; y2 + x = 2 R: 8
√
3
Page 5
(f) y = x3 − x; y = 0 R: 1
2
(g) x = y3 + 2y2 − 3y; x = 0 R: 71
6
18. Esboce a regia˜o delimitada pelos gra´ficos das equac¸o˜es e calcule o volume do so´lido
gerado pela revoluc¸a˜o de R em torno do eixo indicado. Usando o me´todo dos discos.
(a) y = x2 y = 2; eixo− y R: 2pi
(b) x = 4y − y2 x = 0; eixo− y R: 512pi
15
(c) y = x2 y = 4− x2; eixo− x R:64pi
√
2
3
(d) y = x x+ y = 4; x = 0; eixo− x R:16pi
(e) y2 = x 2y = x; eixo− y R:64pi
15
(f) x = y2 x− y = 2; eixo− y R:72pi
5
(g) y = sen(2x); x = 0; x = pi; y = 0; eixo− x R:1
2
pi2
19. Esboce a regia˜o R delimitada pelos gra´ficos das equac¸o˜es, e calcule o volume do so´lido
gerado pela rotac¸a˜o de R em torno do eixo indicado. Usando o me´todo dos ane´is
cil´ındricos.
(a) y =
√
x; x = 4; y = 0; eixo− y R:128pi
5
(b) y = x2; y2 = 8x; eixo− y R:24pi
5
(c) 2x− y = 12; x− 2y = 3; x = 4; eixo− y R:135pi
2
(d) 2x− y = 4; x = 0; y = 0; eixo− y R:16pi
3
(e) x2 = 4y; y = 4; eixo− x R:512pi
5
(f) y = 2x; y = 6; x = 0; eixo− x R:72pi
(g) y =
√
x+ 4; y = 0; x = 0; eixo− x R:8pi
20. Esboce a regia˜o delimitada pelos gra´ficos das equac¸o˜es e ache o volume do so´lido gerado
pela revoluc¸a˜o de R em torno da reta dada.Use o me´todo dos discos.
y = x2, y = 4; em torno de; (a)y = 4 (b)y = 5 (c)x = 2 (d)x = 3
R:(a)
512pi
15
(b)
832pi
15
(c)
128pi
3
(d)64pi
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21. Determine se a integral converge ou diverge; no caso de convergeˆncia, ache seu valor.
(a)
∫ ∞
1
1
x
4
3
dx R: Converge; 3
(b)
∫ ∞
−1
1
x
3
4
dx R: Diverge
(c)∫ 2
−∞
1
5− 2xdx R: Diverge
(d)
∫ −1
−∞
1
x3
dx R: Converge;−1
2
(e)
∫ 0
−∞
1
(x− 8) 23 dx R: Diverge
(f)
∫ ∞
0
cos(x)
1 + sen2(x)
dx R: Diverge
(g)
∫ ∞
−∞
xe−(x)
2
dx R: Converge; 0
22. Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, ache o seu valor.
(a)
∫ 8
0
1
3
√
x
dx R: Converge; 6
(b)
∫ 1
−3
1
x2
dx R: Diverge
(c)
∫ pi
2
0
sec2(x)dx R: Diverge
(d)
∫ 4
0
1
(4− x) 32 dx R: Diverge
(e)
∫ 4
0
1
(4− x) 23 dx R: Converge; 3
3
√
4
(f)
∫ 1
0
x.ln(x)dx R: Converge;−1
4
FIM !!!
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