Música III-Engenharia Acústica-UFSM

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Ana Laura Felkl Cassiminho
Curso de Engenharia Acústica
Centro de Tecnologia - UFSM
2018
Música para
Engª Acústica III
Música para
Engª Acústica III
Ana Laura Felkl Cassiminho
Curso de Engenharia Acústica
Centro de Tecnologia - UFSM
1.1 Introdução
1.3 Escalas Maiores
1.3.1 Formação das Escalas Maiores com #
1.3.2 Formação das Escalas Maiores com b
1. ESCALAS
03
1.2 Graus e Nomenclatura
1.4 Escalas Menores
1.4.1 Esquema Geral de Formação das
Escalas Maiores e Menores
1.4.2 Formas de Apresentação da
Escala Menor
1.5 Tons Vizinhos
1.5.1 Tons Vizinhos - Modo Maior
1.5.2 Tons Vizinhos - Modo Menor
1.6 Graus Modais e Graus Tonais
1.7 Transposição
05
Cap.1 - Escalas
1.1 INTRODUÇÃO
ESCALA é uma sucessão, ascendente ou descendente, de notas consecutivas e
diferentes. Exemplos:
! ou é uma seqüência de SETE NOTASESCALA NATURAL DIATÔNICA
diferentes e consecutivas (a oitava nota é a repetição da primeira), guardando
entre si, geralmente, o intervalo de 1 Tom ou 1 Semitom:
T T
T
T T
sT
sT
!ESCALA ARTIFICIAL CROMÁTICAou ou é uma seqüência de 12 semitons
consecutivos:
1.2 GRAUS E NOMENCLATURA
GRAU é o nome dado às notas que formam a escala. Os graus são numerados em
algarismos romanos. A primeira nota da escala é o 1º Grau (Grau I). A oitava nota é a
repetição do Grau I, uma oitava acima (e, por conseqüência, com o dobro da
freqüência):
I II III IV V VI VII I VII VI V IV III II I
! graus (ou notas) imediatamente consecutivos.GRAUS CONJUNTOS:
Ex. III e IV, VI e VI.I
! aqueles que têm um ou mais graus intermediários.GRAUS DISJUNTOS:
Ex. I e IV, V e VII.
Os graus da escala recebem NOMES conforme a função que exercem:
! I Grau: TÔNICA– dá nome à escala e ao tom;
! II Grau: SUPERTÔNICA– está acima da Tônica;
! III Grau: MEDIANTE – está exatamente no meio dos dois graus principais, o I e o V;
! IV Grau: SUBDOMINANTE – abaixo da Dominante (Grau V);
! V Grau: DOMINANTE – o mais importante depois da Tônica. Domina todos os outros;
! VI Grau: SUPERDOMINANTE – acima da Dominante;
! VII Grau: SENSÍVEL– quando estiver a 1 Semitom de distância da Tônica;
SUBDOMINANTE – quando estiver a 1 Tom de distância da Tônica.
Engª Acústica - CT - UFSM06
Música para Engª Acústica III
1.3 ESCALAS MAIORES – FORMAÇÃO, ARMADURAS, CICLO DAS QUINTAS
Uma possui as seguintes características:ESCALAMAIOR
!Escala DIATÔNICA;
!Guarda, obrigatoriamente, um intervalo de 3ª M entre os graus I e III;
!Possui intervalos de 1 Semitom (2ª m) entre os graus III e IV e entre os graus
VII e I (VIII). Entre todos os outros graus, o intervalo é de 1 Tom (2ª M).
Ex.: Escala de Dó M –Anota Dó é o I Grau, aquele que dá nome à escala:
AEscala de Dó M é o modelo para a formação de todas as outras escalas maiores.
Uma Escala Maior, portanto, pode ser entendida como sendo composta por 2
TETRACORDES (sucessão de 4 notas diferentes e consecutivas), cada um deles com
a seqüência T – T – sT, sendo 1 T a distância entre o final do 1º Tetracorde (Grau IV) e o
início do 2º Tetracorde (Grau V). Dessa forma, a primeira nota do 2º Tetracorde está uma
5ª Justa acima da primeira nota do 1º Tetracorde.
I II III IV V VI VII I
3ª M 5ª J
5ª J
1º TETRACORDE 2º TETRACORDE
1.3.1 FORMAÇÃO DAS ESCALAS MAIORES COM # - Ciclo das Quintas Ascendentes
As escalas Maiores com # seguem-se por intervalos de Quinta Justa Ascendente,
sempre a partir da Tônica da escala anterior. Em cada nova escala, é necessário fazer
uma alteração ascendente (sempre no grau VII), para garantir a quantidade de tons e
semitons que caracterizam uma Escala Maior.
Cada nova alteração é incorporada à armadura da nova escala, seguindo-se o
processo até encontrar-se a Escala Maior com 7 #, ou seja, com todas as notas
possíveis alteradas.
! ARMADURAé, portanto, um conjunto de alterações constitutivas, ou , que pertencem# b
a uma escala. Deve ser grafada no começo de cada pentagrama, logo após a clave. A
armadura informa quais as notas que serão sempre ou durante um trecho musical,# b
sem necessidade de grafar esses acidentes no decorrer da partitura. Uma alteração na
armadura, por exemplo um Fá #, significa que todas as notas Fá que aparecerem,
independente da sua altura (posição no pentagrama), deverão ser #.
Partindo-se da Tônica da Escala de Dó M, ou seja, da nota Dó, e construindo-se os
intervalos de Quintas Justas Ascendentes, determinam-se as Tônicas de todas as
escalas com #, conforme a seqüência abaixo:
5ªJ
Dó M Sol M Ré M Lá M Mi M Si M Fá# M Dó# M
5ªJ 5ªJ 5ªJ 5ªJ 5ªJ 5ªJ
0 # 1 # 2 # 3 # 4 # 5 # 6 # 7 #
07
Cap.1 - Escalas
CICLO DAS QUINTAS ASCENDENTES
ESCALAS MAIORES COM SUSTENIDOS
I II III IV V VI VII I
1º TETRACORDE 2º TETRACORDE ARMADURA
Dó M:
Dó# M:
Si M:
Fá# M:
Mi M:
Lá M:
Ré M:
Sol M:
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
5ª J
Engª Acústica - CT - UFSM08
Música para Engª Acústica III
RESUMO DO PROCESSO:
Basta copiar o Segundo Tetracorde da escala anterior e reescrevê-lo como
sendo o Primeiro Tetracorde da nova escala. Então, trata-se somente de
completar a escala nova escrevendo o seu Segundo Tetracorde com a devida
fazer a alteração ascendente no Grau VII.
ORDEM DE APARECIMENTO DOS SUSTENIDOS:
FÁ - DÓ - SOL - RÉ - LÁ - MI - SI .(separados por intervalos de 5ª J Ascendentes)
RECONHECIMENTO DA ARMADURA COM SUSTENIDOS:
O nome da escala é determinado pela nota que estiver acima do último
sustenido da armadura, com a respectiva alteração, se houver. Em outras
palavras, a nome da escala é determinado por um intervalo de 2ª m
ascendente em relação à nota que leva o último sustenido da armadura.
Dó M Sol M
Ré M Lá M
Mi M Si M
Fá# M Dó# M
09
Cap.1 - Escalas
1.3.2 FORMAÇÃO DAS ESCALAS MAIORES COM - Ciclo das Quintas Descendentesb
As escalas Maiores com seguem-se por intervalos de Quinta Justa Descendente,b
sempre a partir da Tônica da escala anterior. Em cada nova escala, é necessário fazer
uma alteração descendente (sempre no grau IV), para garantir a quantidade de tons e
semitons que caracterizam uma Escala Maior.
Cada nova alteração é incorporada à armadura da nova escala, seguindo-se o
processo até encontrar-se a Escala Maior com 7 , ou seja, com todas as notasb
possíveis alteradas.
Partindo-se da Tônica da Escala de Dó M, ou seja, da nota Dó, e construindo-se os
intervalos de Quintas Justas Descendentes, determinam-se as Tônicas de todas as
escalas com , conforme a seqüência abaixo:b
5ªJ
Dó M Fá M Si Mb Mi Mb Lá Mb Ré Mb� Sol Mb Dó Mb
5ªJ 5ªJ 5ªJ
0 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 b
5ªJ 5ªJ 5ªJ
Exemplo:
I II III IV V VI VII I
5ª J ↓
1º TETRACORDE 2º TETRACORDE
Dó M:
I II III IV V VI VII I
Fá M:
RESUMO DO PROCESSO:
Basta copiar o Primeiro Tetracorde da escala anterior e reescrevê-lo como
sendo o Segundo Tetracorde da nova escala. Então, trata-se somente de
completar a escala nova escrevendo o seu Primeiro Tetracorde com a devida
alteração descendente no Grau IV.
CICLO DAS QUINTAS DESCENDENTES
ESCALAS MAIORES COM BEMÓIS
I II III IV V VI VII I
1º TETRACORDE 2º TETRACORDE ARMADURA
Dó M:
Dó M:b
Ré M:b
Sol M:b
Lá M:b
Mi M:b
Si M:b
Fá M:
5ª J
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Engª Acústica - CT - UFSM10
Música para Engª Acústica III
ORDEM DE APARECIMENTO DOS BEMÓIS:
SI - MI - LÁ - RÉ - SOL - DÓ - FÁ (separados por intervalos de 5ª J Descendentes).
RECONHECIMENTO DA ARMADURA COM BEMÓIS:
o nome da escala é determinado pela nota que receber o penúltimo bemol da
armadura.
Dó M Fá M
Si Mb Mi Mb
Lá Mb Ré Mb
Sol Mb Dó Mb
11
Cap.1 - EscalasOBSERVAÇÕES IMPORTANTES:
« Todas as escalas com Bemóis levam no nome, com exceção da escala deb
Fá M, que possui 1 Bemol (Si);
« A armadura da escala de Fá M, com um único bemol, não pode ser
reconhecida pela regra do penúltimo bemol, portanto deve ser decorada.
« Aúnica armadura sem alterações é a da escala de Dó M;
« Todas as Escalas Maiores que não levam nenhuma alteração no nome, são
escalas com #, com exceção de Dó M (sem alteração) e Fá M (1 )b ;
« Não existem armaduras com alterações de tipos diferentes (# e ) ao mesmob
tempo.
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Música para Engª Acústica III
1.4 ESCALAS MENORES – FORMAÇÃO, ARMADURAS, ESCALAS RELATIVAS
ESCALA MENOR é uma escala diatônica, cuja principal característica é o intervalo
de 3ª m entre os graus I e III:
!Para cada Escala Maior existe uma Escala Menor, formada com as mesmas
notas porém com tônicas diferentes. São as Escalas Relativas.
!As Escalas Menores existem independentemente das Escalas Maiores, mas são
estudadas a partir dessas para facilitar sua compreensão e memorização.
!Toda Escala Menor possui a mesma amadura da sua Escala Relativa Maior.
I II III IV V VI VII I
3ª m
Dó M:
Lá m:
3ª m
1.4.1 ESQUEMA GERAL DE FORMAÇÃO DAS ESCALAS MAIORES E MENORES
PARA DETERMINAR AS ESCALAS RELATIVAS:
TÔNICA DA ESCALA MAIOR 3ª m ↓ TÔNICA DA ESCALA menor
TÔNICA DA ESCALA menor 3ª m ↑ TÔNICA DA ESCALA MAIOR
iMPORTANTE: a TÔNICA é o primeiro grau de uma escala, ou seja, a nota que
empresta o seu nome a essa escala.
Ex.: Escala de Dó M e sua relativa, a Escala de Lá m (Forma Primitiva):
7b 6b 5b 4b 3b 2b 1b 0 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7#
Dó Mb� Sol Mb� Ré Mb� Lá Mb� Mi Mb� Si Mb� Fá M�
Lá mb� Mi mb� Si mb� Fá m� Dó m� Sol m� Ré m�
Dó M
Lá m
Sol M� Ré M� Lá M� Mi M� Si M Fá# M� Dó# M
Mi m� Si m� Fá# m� Dó# m� Sol# m Ré# m� Lá# m�
5ªJ↓ 5ªJ↓ 5ªJ↓ 5ªJ↓ 5ªJ↓ 5ªJ↓ 5ªJ↓ 5ªJ↑ 5ªJ↑ 5ªJ↑ 5ªJ↑ 5ªJ↑ 5ªJ↑ 5ªJ↑
5ªJ↓ 5ªJ↓ 5ªJ↓ 5ªJ↓ 5ªJ↓ 5ªJ↓ 5ªJ↓ 5ªJ↑ 5ªJ↑ 5ªJ↑ 5ªJ↑ 5ªJ↑ 5ªJ↑ 5ªJ↑
CICLO DAS QUINTAS ASCENDENTESCICLO DAS QUINTAS DESCENDENTES
B) Escala Menor HARMÔNICA
Por razões ligadas ao estudo da Harmonia, resolveu-se colocar uma alteração
ascendente no Grau VII, para aproximá-lo da Tônica, transformando-o em Sensível.
Essa alteração é ocorrente, não aparece na armadura. Ex.: Lá m Harmônica:
13
Cap.1 - Escalas
I II III IV V VI VII I
Lá m:
SENSÍVEL
1T + 1sT
C) Escala Menor MELÓDICA
Por razões MELÓDICAS, ligadas ao canto vocal, essa escala tem alterações
diferentes nas partes ascendente e descendente da escala:
!Na parte ascendente da escala, para manter a função de Sensível (qual seja
atrair a Tônica), o grau VII permanece com a alteração ascendente ocorrente,
não grafada na armadura. Como essa alteração deixaria um intervalo de
(1T+1sT) entre os graus VI e VII, difícil para a execução do canto vocal,
resolveu-se alterar também o grau VI, igualmente com uma alteração
ascendente, para manter a distância de 1 T.
!Na parte descendente da escala, onde não é mais necessária a função da
sensível de atração da tônica, a Escala Menor Melódica é exatamente igual à
Escala Menor Primitiva.
Ex.: Escala de Lá m Melódica:
I II III IV V VI VII I
SENSÍVEL
1.4.2 FORMAS DE APRESENTAÇÃO DA ESCALA MENOR
A) Escala Menor PRIMITIVA
Possui EXATAMENTE as mesmas notas da Escala Relativa Maior, sem nenhuma
alteração ocasional. O seu Grau VII fica a 1 Tom da Tônica, portanto tem a função de
Subtônica. Ex.: Lá m Primitiva:
I II III IV V VI VII I
Lá m:
SUBTÔNICA
IIIIIIIVVVIVII
Engª Acústica - CT - UFSM14
Música para Engª Acústica III
1.5 TONS VIZINHOS
Toda escala tem, salvo exceções, cinco Tons Vizinhos, cuja armadura difere da
armadura original por ATÉ 1 alteração a mais ou a menos. Desses cinco, três são
chamados Vizinhos Diretos e os outros dois, Vizinhos Indiretos.
1º Vizinho Direto: o Tom Relativo, porque possui as mesmas alterações na armadura;
2º Vizinho Direto: encontrado no IV Grau da escala original (Tom da Subdominante);
3º Vizinho Direto: encontrado no V Grau da escala original (Tom da Dominante);
1º Vizinho Indireto: o relativo do Tom da Subdominante;
2º Vizinho Indireto: o relativo do Tom da Dominante.
Tem também importância outro Tom relacionado ao Tom Principal, que é o chamado
TOM PRÓXIMO. O Tom Próximo é o HOMÔNIMO (mesmo nome) do tom original, em
OUTRO MODO. Ou seja, se o Tom Principal é Maior, o Tom Próximo é menor, e vice-
versa. O Tom Próximo difere do Tom Principal na armadura, por TrêsAlterações.
TOM PRINCIPAL:
Ré M
VIZINHOS DIRETOS VIZINHOS INDIRETOS TOM PRÓXIMO
1 alter. a menos: Sol M
(Tom da Subdominante)
1 alter. a mais: Lá M
(Tom da Dominante)
Mesmo nº de Alterações:
Si m (Relativo menor)
Relativo do Tom da
Subdominante: Mi m
Relativo do Tom da
Dominante: Fá# m
Tom Homônimo: Ré m
(Difere por 3 alterações)
TOM PRINCIPAL:
Fá m
VIZINHOS DIRETOS VIZINHOS INDIRETOS TOM PRÓXIMO
1 alter. a mais: Si mb
(Tom da Subdominante)
1 alter. a menos: Dó m
(Tom da Dominante)
Mesmo nº de Alterações:
Lá M (Relativo Maior)b�
Relativo do Tom da
Subdominante: Ré Mb
Relativo do Tom da
Dominante: Mi Mb�
Tom Homônimo: Fá M
(Difere por 3 alterações)
1.5.1 TONS VIZINHOS - MODO MAIOR
Dó Mb� Sol Mb� Ré Mb� Lá Mb� Mi Mb� Si Mb� Fá M�
Lá mb� Mi mb� Si mb� Fá m� Dó m� Sol m� Ré m�
Dó M
Lá m
Sol M� Ré M� Lá M� Mi M� Si M Fá# M� Dó# M
Mi m� Si m� Fá# m� Dó# m� Sol# m Ré# m� Lá# m�
7b 6b 5b 4b 3b 2b 1b 0 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7#
1.5.2 TONS VIZINHOS - MODO menor
Dó Mb� Sol Mb� Ré Mb� Lá Mb� Mi Mb� Si Mb� Fá M�
Lá mb� Mi mb� Si mb� Fá m� Dó m� Sol m� Ré m�
Dó M
Lá m
Sol M� Ré M� Lá M� Mi M� Si M Fá# M� Dó# M
Mi m� Si m� Fá# m� Dó# m� Sol# m Ré# m� Lá# m�
7b 6b 5b 4b 3b 2b 1b 0 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7#
15
Cap.1 - Escalas
1.6 GRAUS MODAIS E GRAUS TONAIS
GRAUS TONAIS de uma escala são aqueles que, junto com seus respectivos
acordes, caracterizam um TOM.
!TONALIDADE é o conjunto (complexo) de sons e acordes relacionados com um
centro tonal principal, a Tônica;
! TOM é a altura em que se realiza a tonalidade. Tem o mesmo conjunto de notas
que a escala, mas essas notas podem se suceder alternadamente.
Os Graus Tonais de uma escala ou de um Tom, são aqueles que formam com a
Tônica os intervalos Justos, ou seja:
!O Grau I a própria Tônica→ → forma com a Tônica um intervalo de 1ª J (ou 8ª
J);
!O Grau IV a Subdominante→ → forma com a Tônica um intervalo de 4ª J;
I IV V I
Lá m:
I IV V
4ª J
5ª J
8ª J
TÔNICA SUBDOM. DOM. TÔNICA
ACORDES:
GRAUS MODAIS de uma escala são aqueles que definem o MODO ou o CARÁTER
de uma escala. O Modo (MAIOR ou MENOR) varia conforme a posição dos tons e
semitons e sua relação com a Tônica.
Considerando duas escalas, uma Maior e outra Menor, com a mesma Tônica, os
Graus Modais são aqueles que diferem nas duas escalas: o III, o VI e o VII. O III Grau é
um Grau Modal FIXO, pois é sempre diferente do modo Maior para o Menor. O VI e o VII
são Graus Modais Móveis, pois podem diferir ou não, dependendo da forma de
apresentação da escala menor (Primitiva, Harmônica ou Melódica). Considerando a
Escala Menor Harmônica, o VII Grau é igual ao da Homônima Maior e o VI Grau é
diferente.
Lá M:
Lá m Harmônica:
3ª M
3ª m
III
VI VII
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1.7 TRANSPOSIÇÃO
TRANSPORTAR TRANSPORou uma melodia consiste em grafar, ler, tocar ou
cantar essa melodia em outra altura o em outro tom.A transposição não altera o MODO,
ou seja, se a melodia é em modo maior, permanece em modo maior. Se é em podo
menor, permanece em modo menor.
Pode-se pensar em duas formas de transposição:
A) Transposição para um outro Tom, dado o tom original:
Ex.: Tom Original, Lá M. Transpor para Ré M.
B) Transposição para outraAltura, dado o tom original:
Ex.: Tom Original,Dó m. Transpor uma 3ª MAscendente.
Apenas a primeira forma será estudada na disciplina de Música p/ EngªAcústica III.
Exemplo 1: Dada a melodia abaixo, em Sol M, pede-se transportá-la para Lá M.
Sol M:
PROCEDIMENTO:
1º) Determinar a armadura do novo Tom:
Lá M possui 3 # (Fá, Dó, Sol).
2º) Determinar o Intervalo de Transposição:
De SOLpara LÁ, existem duas possibilidades: 2ª M ou 7ª m .↑ ↓
Normalmente escolhe-se o menor intervalo, no caso, 2ª M .↑
3º) Para facilitar a identificação das notas transpostas, pode-se escrever as
duas escalas e relacionar diretamente as notas de uma com as notas da outra,
verificando-se de imediato as notas no novo tom:
2ª M↑
7ª m↓
Lá M:
Sol M:
Lá M:
17
Cap.1 - Escalas
Lá M:
4º) Grafar a nova armadura e escrever as notas correspondentes:
5º) Identificar e escrever as alterações ocorrentes ou ocasionais que não façam
parte da armadura, se for o caso.
Exemplo 2: Dada a melodia abaixo, em Si m, transpor para Lá m.
Si m:
2º) Intervalo de Transposição: 2ª M ↓
2ª m↓
1º) Armadura de Lá m:
3º) Correspondência das Escalas (considerando escala menor harmônica):
Si m:
Lá m:
4º) Melodia transposta (já com a alteração ocorrente do Grau VII):
Lá m:
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Engª Acústica III
Ana Laura Felkl Cassiminho
Curso de Engenharia Acústica
Centro de Tecnologia - UFSM
2.1 Introdução
2.1.1 Formação e Designação dos Acordes
2.1.2 Nomenclatura das Notas do Acorde
2.2 Acordes de Três Sons
2.2.1 Designação e Classificação
2.2.2 Cifragem das Tríades
2.2.3 Tríades da Escala Maior
2.2.4 Tríades da Escala Menor Harmônica
2.2.5 Inversão de Tríades
2.3 Acordes de Quatro Sons
2.3.1 Cifragem das Tétrades
2.3.2 Tétrades da Escala Maior
2.3.3 Tétrades da Escala Menor Harmônica
2.3.4 Quadro Geral das Tétrades
2.3.5 Inversão de Tétrades
2.4 Enarmonia de Acordes e Tonalidades
2.4.1 Enarmonia de Acordes
2.4.2 Enarmonia de Tonalidades
2. ACORDES
19
21
2.1 INTRODUÇÃO
ACORDE é a combinação de TRÊS ou mais sons SIMULTÂNEOS diferentes.
HARMONIA:
!É a ciência que estuda os acordes e as relações entre eles;
!É o aspecto vertical da linguagem musical;
!É a arte e a ciência dos acordes e suas combinações.
2.1.1 FORMAÇÃO E DESIGNAÇÃO DOS ACORDES:
Na Concepção os acordes são formados por :CLÁSSICA TERÇAS SOBREPOSTAS
Os acordes são designados pelo intervalo existente entre as notas extremas QUANDO NA
POSIÇÃO FUNDAMENTAL. Exemplos:
! :ACORDE DE 3 SONS
! :ACORDE DE 4 SONS
! :ACORDE DE 5 SONS
! :ACORDE DE 6 SONS
Esta posição chama-se:
POSIÇÃO FUNDAMENTAL
ACORDE DE QUINTA (5ª)
ACORDE DE SÉTIMA (7ª)
ACORDE DE NONA (9ª)9ª
7ª
5ª
3ª
3ª
Cap.2 - Acordes
ACORDE DE DÉCIMA PRIMEIRA (11ª)11ª
Engª Acústica - CT - UFSM22
Música para Engª Acústica III
2.1.2 NOMENCLATURA DAS NOTAS DO ACORDE:
Na , a nota mais grave é a nota que dá origem ao acordePOSIÇÃO FUNDAMENTAL
e, por conseqüência, empresta o seu nome a ele. Essa nota é denominada
FUNDAMENTAL.
As outras notas têm o nome do intervalo que formam com a nota fundamental.
3ª5ª
QUINTA
TERÇA
FUNDAMENTAL / BAIXO
Outras posições diferentes, formando intervalos diversos das terças sobrepostas,
são também possíveis. Em qualquer posição, a nota mais grave do acorde recebe o
nome de BAIXO.
FUNDAMENTAL
QUINTA
TERÇA / BAIXO
TERÇA
FUNDAMENTAL
QUINTA / BAIXO
TERÇA
QUINTA
FUNDAMENTAL / BAIXO
QUINTA
FUNDAMENTAL
Primeira
Inversão
Posição
Fundamental
Segunda
Inversão
Pos. Fundam.
AFASTADA
1ª Inversão
AFASTADA
TERÇA / BAIXO
23
Cap.2 - Acordes
2.2 ACORDES DE TRÊS SONS
2.2.1 DESIGNAÇÃO E CLASSIFICAÇÃO
Os acordes de formados por recebem oTRÊS SONS TERÇAS SOBREPOSTAS
nome de TRÍADES.
As são designadas e classificadas em função dos intervalos existentesTRÍADES
entre as notas que as compõem, quando na posição FUNDAMENTAL.
! Intervalo entre a Fundamental e a Terça:
3ª M
Tríade MAIORa)
3ª m Tríade MENORb)
! Intervalo entre a Fundamental e a Quinta:
5ª J
Tríade PERFEITAa)
5ª d
Tríade DIMINUTAb)
5ª A Tríade AUMENTADAc)
1: A tríade perfeita pode ser MAIOR (5ª J e 3ª M) ou MENOR (5ª J e 3ª m);
2: A tríade diminuta sempre apresenta-se com a terça menor;
3: A tríade aumentada sempre apresenta-se com a terça maior.
Observações Importantes:
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Música para Engª Acústica III
2.2.2 CIFRAGEM DAS TRÍADES - Cifragem Cordal e Cifragem Gradual
é o conjunto de números, sinais e acidentes que se usa para indicar oCIFRAGEM
estado e a formação dos acordes sem precisar escrevê-los por extenso.
A indica diretamente o acorde, pois baseia-se na sua notaCifragem CORDAL
fundamental e nos intervalos com as notas seguintes. Pode ser feita isoladamente, sem
necessidade de se saber de qual escala (ou tonalidade) se trata. É composta pelos
seguintes elementos:
A) O nome da nota fundamental, na notaçãoALFABÉTICA;
B) Aespecificação do intervalo de Terça:
¤ Se a Terça é Maior, nada precisa ser indicado;
¤ Se a Terça é menor, adicionar a letra ;m
C) Aespecificação do intervalo de Quinta:
¤ Se a Quinta é Justa, nada precisa ser indicado;
¤ Se a Quinta é diminuta, adicionar, na forma de Expoente:
¤ Se a Quinta éAumentada, adicionar, na forma de Expoente:
A baseia-se nos graus da escala, e não pode, portanto, serCifragem GRADUAL
feita sem a indicação da tonalidade. É composta de:
A) Indicação da tonalidade, junto da armadura;
B) Indicação do grau da escala, em numerais romanos:
¤ Maiúsculos, se a Terça for Maior;
¤ Minúsculos, se a Terça for menor;
C) Especificação do intervalo de Quinta:
¤ Se a Quinta é Justa, nada precisa ser indicado;
¤ Se a Quinta é diminuta, adicionar, na forma de Expoente, o sinal “ ;Ο”
¤ Se a Quinta éAumentada, adicionar, na forma de Expoente, “+”.
( 5)
C
Ex.:
Am Bm
( 5) ( 5)
G
i
Ex.:
VI III
+Lá m: ii Ο
(Fá é o 6º Grau
de Lá m)
(Lá é o 1º Grau
de Lá m)
(Si é o 2º Grau
de Lá m)
(Dó é o 3º Grau
de Lá m - Sol # p/
esc. menor harm.)
( 5)
25
Cap.2 - Acordes
2.2.3 TRÍADES DA ESCALA MAIOR
C Dm Em F G Am Bm C
( 5)
2.2.4 TRÍADES DA ESCALA menor HARMÔNICA
TODAS as Escalas Maiores possuem a MESMA seqüência de Tríades.
Dó M: I ii iii IV V vi viiО I
3ªM
5ªJ 5ªJ 5ªJ 5ªJ 5ªJ 5ªJ 5ªd 5ªJ
3ªM 3ªM 3ªM3ªm 3ªm 3ªm 3ªm
TPM TPM TPM Td TPMTPm TPm TPm
TODAS as Escalas menores Harmônicas possuem a MESMA seqüência de Tríades.
Am Dm E F AmG#m
( 5)
Bm
( 5)
C
( 5)
Lá m: i iiО III
+
iv V VI viiО i
5ªJ 5ªJ 5ªJ 5ªJ 5ªJ
3ªM3ªm 3ªm
5ªd
3ªm
Td TA TPM TPM Td
5ªd
3ªm 3ªM
5ªA
3ªm 3ªM 3ªm
TPm TPm TPm
2.2.5 INVERSÃO DE TRÍADES
C
Dó M: I
Estado
Fundamental
C/E
I
6
I
6
4
Primeira
Inversão
Segunda
Inversão
3ª5ª
3ª6ª
4ª6ª
C/G
Na Cifra Cordal indica-se a inversão
acrescentando-se a barra ( / ) e a
notação alfabética para a nota que está
na posição do Baixo.
Na Cifra Gradual, indica-se a inversão
acrescentando-se, como expoentes, os
intervalos com o Baixo quando eles
forem diferentes dos intervalos de 3ª e 5ª
do Estado Fundamental.
Engª Acústica - CT - UFSM26
Música para Engª Acústica III
2.3 ACORDES DE QUATRO SONS
Os acordes de quatro sons formados por terças sobrepostas recebem o nome de
TÉTRADES. As TÉTRADES são também chamadas ACORDES DE SÉTIMA, pois
esse é o intervalo entre as suas notas extremas quando na Posição Fundamental.
( 5)
2.3.1 CIFRAGEM DAS TÉTRADES - Cifragem Cordal e Cifragem Gradual
A nas é composta pelos seguintes elementos:Cifragem Cordal Tétrades
A) O nome da nota fundamental, na notaçãoALFABÉTICA;
B) Aespecificação do intervalo de Terça:
¤ Se a Terça é Maior, nada precisa ser indicado;
¤ Se a Terça é menor, adicionar a letra ;m
C) O número 7 como expoente e a especificação do intervalode SÉTIMA:
¤ Se a Sétima é menor, nada precisa ser indicado;
¤ Se a Sétima é Maior, adicionar a letra ;M
¤ Se a Sétima é diminuta, observar o item seguinte:
D) Aespecificação do intervalo de Quinta:
¤ Se a Quinta é Justa, nada precisa ser indicado;
¤ Se a Quinta éAumentada, adicionar, na forma de Expoente:
¤ Se a Quinta é diminuta, existem dois casos diferentes:
1º) 5ª diminuta com 7ª menor: Acorde de Sétima Meio-Diminuta
Acrescentar o sinal “ ”, como expoente, ao lado do nome da nota fundamental (ouØ
usar o expoente como na tétrade com 5ªA;
2º) 5ª diminuta com 7ª diminuta: Acorde de Sétima Diminuta
Acrescentar o sinal “ ”, como expoente, ao lado do nome da fundamental.Ο nota
A baseia-se nos graus da escala, e não pode, portanto, serCifragem GRADUAL
feita sem a indicação da tonalidade. É composta de:
A) Indicação da tonalidade, junto da armadura;
B) Cifragem gradual da tríade;
C) Colocação do numeral 7, como expoente, indicando acorde de sétima.
Casos Especiais:
1º) Indicar somente o grau da escala (minúsculo) e oTétrade Meio Diminuta:
expoente “Ø”, seguido do numeral 7, também como expoente.
2º) Indicar o grau da escala (minúsculo) eTétrade Completamente Diminuta:
o expoente “ , seguido do numeral 7, também como expoente.Ο”
3º) Tétrade cuja Sétima possui alteração que não consta na Armadura:
indicar o grau (maiúsculo ou minúsculo) e o expoente 7, seguido da
alteração da sétima também como expoente. Isso acontece, por
exemplo, no primeiro grau das escalas menores harmônicas.
Ex.:
Lá m:
E
7
V
7
Dm
7
iv
7
F M
7
VI
7
C M
7 (#5)
III
+7
B
Ø
ii
Ø7
G#
Ο
vii
Ο7
Am M
7
i
7#
( 5)
27
Cap.2 - Acordes
2.3.2 TÉTRADES DA ESCALA MAIOR
C M
7
2.3.3 TÉTRADES DA ESCALA menor HARMÔNICA
TODAS as Escalas Maiores possuem a MESMA seqüência de Tétrades.
Dó M: I
7
3ªM
5ªJ 5ªJ 5ªJ 5ªJ 5ªJ 5ªJ 5ªd 5ªJ
3ªM 3ªM 3ªM3ªm 3ªm 3ªm 3ªm
Dm
7
Em
7
F M
7
G
7
Am
7
Bm
7( 5)
ou
B
Ø
7ªM 7ªM
C M
7
7ªM7ªm 7ªm 7ªm7ªm7ªm
ii
7
iii
7
IV
7
V
7
vi
7
vii
Ø7
I
7
Am M
7
TODAS as Escalas menores possuem a MESMA seqüência de Tétrades.
Lá m: i
7#
C M
7 (#5)
Dm
7
E
7
Bm
7( 5)
ou
B
Ø
III
+7
iv
7
V
7
VI
7
vii
O7
F M
7
G#
O
Am M
7
ii
Ø7
i
7#
5ªJ 5ªJ 5ªJ 5ªJ 5ªJ
3ªM3ªm 3ªm
7ªM 7ªM7ªm 7ªm
3ªm
5ªd 5ªd5ªd
3ªM
7ªM
5ªA
7ªm
3ªm
7ªM 5ªd7ªd
3ªm3ªM
Engª Acústica - CT - UFSM28
Música para Engª Acústica III
2.3.4 QUADRO GERAL DAS TÉTRADES
Como já foi visto, as TÉTRADES são classificadas e, consequentemente,
NOMEADAS e CIFRADAS, em função dos seus intervalos de TERÇA, de QUINTA e de
SÉTIMA, sendo que algumas delas possuem um NOME ESPECIAL.
Com Intervalo de 7ª Maior Com Intervalo de 7ª menor Com Intervalode 7ª diminuta
3ª M 3ª m 3ª M
5ª J 5ª J 5ª A
7ª M 7ª M 7ª M 7ª m 7ª m 7ª m 7ª d
3ª M
5ª J
3ª m
5ª J
3ª m
5ª d
3ª m
5ª d
Fo
rm
aç
ão
Ex
em
pl
o
N
om
e
Não
tem
Não
tem
Não
tem
Acorde de
Sétima da
Dominante
Não
tem
Acorde de
Sétima
Meio
Diminuto
Acorde de
Sétima
Diminuto
QUADRO GERAL DAS TÉTRADES
G
ra
us
 d
a
Es
c.
 M I, IV
G
ra
us
 d
a
Es
c.
 m
 H
ar
m
.
Não
tem
Não
tem
V Não
tem
II, III, VI VII
VI I III V VIIIV II
2.3.5 INVERSÃO DE TÉTRADES
Na Cifra Cordal indica-se a inversão acrescentando-se a barra ( / ) e a notação alfabética para a nota que está na
posição do Baixo, da mesma forma que nas Tríades.
Na Cifra Gradual, indica-se a inversão pela colocação de expoentes que expressam os intervalos das principais
notas do acorde (a Fundamental e a Sétima) com o Baixo.
Dó M: I
7
Est. Fundamental
F=B
7ª
C M
7
7
1ª Inversão
7=B 2ª6ª5ª
B
7
F
B
3ª 4ª
7
C M/E
7
C M/G
7
F
C M/B
7
F
2ª Inversão 3ª Inversão
I 5
6 4
I 3 I
2
29
Cap.2 - Acordes
2.4 ENARMONIA DE ACORDES E TONALIDADES
2.4.1 ENARMONIA DE ACORDES
são acordes formados por notas diferentes, porém deACORDES ENARMÔNICOS
mesmo som no Sistema de Temperamento Igual.Aenarmonia do acorde pode ser:
quando substitui-se uma ou mais notas do acorde peloA) ENARMONIA PARCIAL:
correspondente enarmônico, mas NUNCATODAS as notas. Exemplos:
¤ Enarmonia Parcial de 1 Nota:
¤ Enarmonia Parcial de 2 Notas:
( ... )
quando substitui-se TODAS as notas do acorde peloB) ENARMONIA TOTAL:
correspondente enarmônico. Exemplos:
( ... )
2.4.2 ENARMONIA DE TONALIDADES
Seguindo-se o processo de formação das Escalas Maiores através do Ciclo das
Quintas Justas, além das escalas com 7 alterações, encontram-se ESCALAS
TEÓRICAS, cujas armaduras possuirão acidentes duplos (Dobrado Sustenido ou
Dobrado Bemol. Na prática, essas escalas não são utilizadas, sendo substituídas por
suas TONALIDADES ENARMÔNICAS. Exemplo:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Dó# M
Sol# M
Lá M
Sol# M e Lá M são Tonalidades Enarmônicas
( ) ( )
( ) ( )
( )
Música para
Engª Acústica III
Ana Laura Felkl Cassiminho
Curso de Engenharia Acústica
Centro de Tecnologia - UFSM
3.1 Introdução
3.2 Série Harmônica - Definição e Formação
3.3 Série Harmônica da Nota Dó
3.3.1 No Pentagrama
3.3.2 No Teclado do Piano
3.3.3 Visualização das Amplitudes
3.4 Série Harmônica x Timbre
3. SÉRIE HARMÔNICA
31
3.5 Consonância e Dissonância
3.5.1 As Sensações de Consonância e Dissonância
3.5.2 Consonância e Dissonância na Série Harmônica
3.5.3 Consonância e Dissonância de Intervalos
3,5,4 Consonância e Dissonância - Como explicar
3.1 INTRODUÇÃO
Um som musical não se constitui de apenas uma nota. Juntamente com o som
principal, denominado FUNDAMENTAL, soam sons secundários, bem fracos e quase
imperceptíveis, denominados HARMÔNICOS.
Isso pode ser explicado facilmente quando se analisa a formação de Ondas
Estacionárias em uma corda tensa e fixa nas duas extremidades, como as cordas dos
instrumentos musicais.
«Uma corda ao vibrar em toda a sua extensão produz uma determinada nota.
Enquanto a corda vibra por inteiro, ao mesmo tempo ela vibra dividindo-se em duas
metades, produzindo um som uma oitava acima do som original. Além disso, ela vibra
também, simultaneamente, dividindo-se em terços, em quartos, em quintos, etc.,
produzindo as vibrações secundárias.»
Cap.3 - Série Harmônica
f
2f
3f
4f
5f
FUNDAMENTAL
(1º Harmônico)
2º Harmônico
3 Harmônico
4º Harmônico
5º Harmônico
3.2 SÉRIE HARMÔNICA - DEFINIÇÃO E FORMAÇÃO
Denomina-se SÉRIE HARMÔNICA, então, ao conjunto de sons que acompanham
um som fundamental (gerador ou principal).
Uma Série Harmônica é constituída por uma série de intervalos digressivos (ou seja,
que vão ficando cada vez menores), na seguinte ordem (até o 16º harmônico):
8J - 5J - 4J - 3M - 3m - 3m - 2M - 2M - 2M - 2M - 2m - 2m - 2M - 1A - 2m
33
Engª Acústica - CT - UFSM34
Música para Engª Acústica III
3.3 SÉRIE HARMÔNICA DA NOTA DÓ
2 3 4 5 6 7 8
8J 4J5J 3M 3m 3m
1
2M
4
8
2M 2M 2M 2m 2m 2M 1A 2m
169 10 11 12 13 14 15
3.3.1 NO PENTAGRAMA
3.3.2 NO TECLADO DO PIANO
b5
-
7
C
2 
- f
C
3 
- 2
f
G
3 
- 3
f
C
4 
- 4
f
E4
 - 
5f
G
4 
- 6
f
D
5 
- 9
f
C
5 
- 8
f
B
4 
- 7
f
b�
E5
 - 
10
f
B
5 
- 1
4f
b�
F#
5 
- 1
1f
�
G
5 
- 1
2f
C
6 
- 1
6f
3.3.3 VISUALIZAÇÃO DAS AMPLITUDES
A
5 
- 1
3f
b�
3.4 SÉRIE HARMÔNICA x TIMBRE
O TIMBRE é a característica que permite distinguir dois sons emitidos por
instrumentos ou vozes distintas mas com a mesma freqüência fundamental.
Há muitos séculos já se sabe que o timbre de umsom
pode ser modificado reforçando-se certos harmônicos.
Na realidade, a verdadeira síntese sonora foi feita pela
primeira vez por construtores de órgãos de tubos nos
séculos XIII e XIV. Nos órgãos dessa época cada tecla
fazia soar um número fixo de tubos chamados
Blockwerk, que eram constituídos por um ou vários
tubos na freqüência fundamental da nota escrita, mais
uma série de tubos afinados, respectivamente, na
oitava, décima segunda, décima quinta, etc., seguindo a
Série Harmônica (com exceção do sétimo harmônico).A
combinação particular de intensidades escolhidas para
cada tubo componente determinava a qualidade
particular do som do instrumento.
Embora saiba-se que a percepção de altura e de
timbre de sons musicais (complexos) depende de vários
fatores, que não serão abordados neste estudo,
inclusive o treinamento auditivo a que foi (ou não)
submetido o ouvinte, sabe-se que a intensidade dos
harmônicos que acompanham o som fundamental é
parte importante da composição do timbre. Dessa
forma, intensidades diferentes para mesmos
harmônicos tornam distintos dois sons soando na
mesma freqüência fundamental.
Como já foi visto, o harmônico de ordem um (1º) é o som fundamental, e geralmente
(mas nem sempre, haja visto o oboé do exemplo acima) é um som de intensidade maior
que os demais e determina a altura do complexo sonoro que ele integra.
! O 2º harmônico, a OITAVA, reforça o som fundamental, conferindo
precisão às sensações de altura. Os harmônicos de 4ª, 8ª e 16ª ordem
intensificam as qualidades apresentadas pelo 2º harmônico.
! O harmônico de 3ª ordem, comunica ao complexo sonoro um timbre
nasal. O 6º bem como o 12º harmônico, acentuam ainda mais essa
característica.
! O 5º harmônico é importantíssimo por apresentar, no complexo sonoro,
um timbre «cálido» e «redondo». Forma um acorde perfeito maior
juntamente com o 3º harmônico e o som fundamental. O 10º harmônico
intensifica as qualidades apresentadas pelo 5º harmônico.
! Os harmônicos 11º, 13º e 15º são dissonantes e comunicam aspereza ao
conjunto, especialmente os dois primeiros. Suas intensidades, contudo,
são geralmente fracas.
Um complexo sonoro de timbre mais cálido é obtido juntando-se os seis primeiros
harmônicos, pois eles formam um acorde perfeito maior admiravelmente equilibrado.
Os harmônicos superiores ao sexto, mesmo quando consonantes com o som
fundamental, conferem ao timbre um caráter metálico.
Cap.3 - Série Harmônica
35
Intensidade diferente dos
harmônicos de uma mesma nota,
tocada pelo oboé e pela trompa.
Sons Fundamentais
Oboé Trompa
Engª Acústica - CT - UFSM36
Música para Engª Acústica III
3.5 CONSONÂNCIA E DISSONÂNCIA
3.5.1 AS SENSAÇÕES DE CONSONÂNCIA E DISSONÂNCIA
Consonância Dissonânciae são sensações subjetivas associadas a dois ou mais
sons soando simultaneamente.
De modo geral, associa-se CONSONÂNCIA às sensações de REPOUSO,
ESTABILIDADE, CONCLUSÃO.
Da mesma forma, associa-se DISSONÂNCIA com as sensações de MOVIMENTO,
INSTABILIDADE ou TENSÃO e TRANSITORIEDADE.
As sensações de Consonância e Dissonância não são perfeitamente definidas. Elas
dependem da época, da estética, do estilo musical, da cultura e até do treinamento
auditivo do ouvinte. Para se ter uma ideia, basta verificar que:
! Na Idade Média: somente intervalos justos eram considerados consonantes;
! Nos séculos XII e XIII, as terças e sextas aparecem como consonâncias
imperfeitas;
! No século XIX, 2ªM, 7ªM, 4ªA, 5ªd foram consideradas dissonâncias suaves;
! A4ª Justa nem sempre foi considerada consonante.
De qualquer maneira, verifica-se que em todas as épocas e culturas, o ouvido
humano parece ter uma «preferência» por certos intervalos, principalmente os
intervalos justos, a 8ª, a 5ª e a 4ª.
3.5.2 CONSONÂNCIAE DISSONÂNCIANASÉRIE HARMÔNICA
Considerando a ordem de aparecimento dos intervalos na Série Harmônica, pode-
se classificá-los em Consonâncias Perfeitas, Consonâncias Imperfeitas e
Dissonâncias.
:
2 3 4 5 6 7
8J 4J5J 3M 3m 3m
1 4
8
2M 2M 2M 2M 2m 2m 2M 1A 2m
16
9 10 11 12
1413 15
CONSONÂNCIAS PERFEITAS CONSONÂNCIAS IMPERFEITAS
7
DISSONÂNCIAS
Cap.3 - Série Harmônica
37
3.5.3 CONSONÂNCIA E DISSONÂNCIA DE INTERVALOS
A) Consonâncias Perfeitas
São todos os intervalos JUSTOS. São denominados Consonâncias Perfeitas porque
não mudam a sua qualificação na inversão do intervalo. Ex.:
1J 8J 4J 5J 5J 4J 8J 1J
Intervalo
Invertido
Intervalo
Original
Intervalo
Original
Intervalo
Original
Intervalo
Original
Intervalo
Invertido
Intervalo
Invertido
Intervalo
Invertido
B) Consonâncias Imperfeitas
São as Terças e Sextas Maiores e Menores. São denominadas Consonâncias
Imperfeitas porque a sua qualificação quando invertidas. Ex.:mudam
3M 6m 3m 6M 6M 3m 6m 3M
Intervalo
Invertido
Intervalo
Original
Intervalo
Original
Intervalo
Original
Intervalo
Original
Int. Invertido Int. Invertido Int. Invertido
C) Dissonâncias Neutras
São os intervalos conhecidos
como TRÍTONOS, ou seja, as
Quartas Aumentadas e as Quintas
Diminutas. Ex.: 4A 5d 5d 4A
Intervalo
Original
Intervalo
Original
Int. InvertidoInt. Invertido
D) Dissonâncias Suaves
São as Segundas Maiores e as
suas inversões, ou seja, as Sétimas
Menores. Ex.:
2M 7m 7m 2M
Intervalo
Original
Intervalo
Original
Int. Invertido Int. Invertido
E) Dissonâncias Fortes
São as Segundas Menores e as
suas inversões, ou seja, as Sétimas
Maiores. Ex.:
2m 7M 7M 2m
Intervalo
Original
Intervalo
Original
Int. Invertido Int. Invertido
Engª Acústica - CT - UFSM38
Música para Engª Acústica III
F) Dissonâncias Condicionais
São todos os intervalos Aumentados e Diminutos, com exceção da 4A e da 5d
(Dissonâncias Neutras). São assim denominados porque podem ser classificados
como consonâncias após a Enarmonia de UMAdas notas do intervalo. Ex.:
5A 6m
Intervalo
Enarmônico
Intervalo
Original
a)
6m é Consonância Imperfeita,
logo a 5A também é.
3A 4J
Intervalo
Enarmônico
Intervalo
Original
b)
4J é Consonância Perfeita,
logo a 3A também é.
8d 7M
Intervalo
Enarmônico
Intervalo
Original
c)
7M é Dissonância Forte,
logo a 8d também é.
G) Resumo:
CONSONÂNCIAS
PERFEITAS
IMPERFEITAS
Todos os Intervalos JUSTOS
3ª M / 6ª m
3ª m / 6ª M
DISSONÂNCIAS SUAVES
NEUTRAS
FORTES
4ª A / 5ª d - «O TRÍTONO»
2ª M / 7ª m
2ª m / 7ª M
DISSONÂNCIAS
CONDICIONAIS
OS INTERVALOS AUMENTADOS E DIMINUTOS
(Com exceção da 4ªA e da 5ª d)
Cap.3 - Série Harmônica
39
3.5.4 CONSONÂNCIA E DISSONÂNCIA - COMO EXPLICAR
A) Helmholtz e os Batimentos de Primeira Ordem
Hermann Helmholtz (1821-1894), foi um notável médico e físico alemão, tendo
contribuído de forma muito relevante para o desenvolvimento da Acústica como
ciência. Sua importante obra «On the Sensations of Tone as a Physiological Basis
for the Theory of Music», infelizmente sem tradução para o Português, relata seus
estudo e experimentos visando, entre outras coisas, estudar a consonância e a
dissonância com base nas sensações que temos ao ouvirmos sons musicais.
Helmholtz confirmou, em suas experiências, a concepção de Pitágoras de que sons
consonantes correspondem a intervalos caracterizados por razões simples de números
inteiros e pequenos, como a 8ª J (2:1), a 5ª J (3:2) e a 4ª J (4:3).
Foi também Helmholtz quem lançou a hipótese de que a dissonância está
relacionada à existência dos Batimentos de Primeira Ordem, fenômeno acústico que
resulta em uma modulação de amplitude do som resultante.
Ex.: Imagine-se dois sons senoidais com freqüências 500 Hz e 502 Hz, inicialmente
em fase, com mesma amplitude e ouvidos simultaneamente. O resultado é que,
auditivamente falando, ouvem-se pulsos de som que acontecem com uma certa
regularidade. A cada um desses pulsos dá-se o nome de batimento.O número de
batimentos por segundo é igual a diferença entre as freqüências das duas ondas que
estão sendo somadas:
f = 502-500 = 2 batimentos/sBat
Segundo José Vasconcelos, em o que«Acústica Musical e Organologia (2002)»,
nos desagrada ao ouvir batimentos é um fenômeno fisiológico, causado, em parte, pela
irritação mental ao se seguir uma rápida sucessão de mudanças abruptas.Aoutra parte
vem da irritação puramente física, produzida pela sucessão alternada de rápidos
estímulos nervosos.
Engª Acústica - CT - UFSM40
Música para Engª Acústica III
Considerando-se que os sons musicais não são sons senoidais (puros) e sim sons
compostos, a verificação da consonância ou dissonância entre dois sons poderia ser,
então, verificada pela análise das freqüências dos seus parciais (harmônicos). Quanto
mais harmônicos coincidentes entre os dois sons que compusessem o intervalo, maior
seria a consonância.
Ex.1)AOitava Justa - entreA4 (440Hz) eA5 (880 Hz):
A4 = 440 Hz
f = 440 Hz1
f = 2f = 880 Hz2 1
f = 3f = 1320 Hz3 1
f = 4f = 1760 Hz4 1
f = 5f = 2200 Hz5 1
f = 6f = 2640 Hz6 1
f = 7f = 3080 Hz7 1
f = 8f = 3520 Hz8 1
P
ri
m
ei
ro
s 
8 
H
ar
m
o
n
ic
o
s
A8 = 880 Hz
f’ = 880 Hz1
f’ = 1760 Hz2
f’ = 2640 Hz3
f’ = 3520 Hz4
P
ri
m
ei
ro
s 
4 
H
ar
m
o
n
ic
o
s
Como se vê, todos os parciais da notaA8 são correspondentes a parciais da notaA4,
o que torna, sob essa ótica, a 8ª Justa um intervalo perfeitamente consonante. Não há a
produção de batimentos em nenhuma situação, pois não há parciais com freqüências
diferentes e próximas o suficiente para que esse fenômeno ocorra.
Ex.2)AQuinta Justa - entreA4 (440Hz) e E5 (660 Hz):
A4 = 440 Hz
f = 2f = 880 Hz2 1
f = 3f = 1320 Hz3 1
f = 4f = 1760 Hz4 1
f = 5f = 2200 Hz5 1
f = 6f = 2640 Hz6 1
f = 7f = 3080 Hz7 1
f = 8f = 3520 Hz8 1
P
ri
m
ei
ro
s 
8 
H
ar
m
o
n
ic
o
s
E5 = 660 Hz
f’ = 660 Hz1
f’ = 1320 Hz2
f’ = 2640 Hz4
f’ = 3300 Hz5 P
ri
m
ei
ro
s 
5 
H
ar
m
o
n
ic
o
s
f = 440 Hz1
f’ = 1980 Hz3
Nesse caso, ocorrem dois parciais coincidentes até o 8º harmônico da nota A4. Os
harmônicos de E5 que não coincidem com A4, ficam exatamente na média dos
harmônicos de A4, não estando próximos o suficiente para que ocorram batimentos. A
5ª Justa é, ainda, extremamente consonante.
Cap.3 - Série Harmônica
41
Ex.3)AQuarta Justa - entreA4 (440Hz) e D5 (586,67 Hz):
Como no exemplo anterior, ocorrem dois parciais coincidentes entre os dois sons,
mas esses parciais já estão no 4º e no º harmônicos de A4, portanto mais distantes do
som gerador do que no caso da 5ª Justa. Ainda há consonância, mas em menor grau.
Como se pode ver, entre cada parcial de D5 coincidente com um parcial de A4, existem
dois parciais que não coincidem, mas ainda estão distantes o suficiente dos parciais de
A4 para causarem batimento.
Ex.3)ATerça Maior - entreA4 (440Hz) e C#5 (550 Hz):
No caso da Terça Maior, para que ocorram dois parciais coincidentes, é preciso
chegar ao 10º harmônico da notaA4. ,Agora existem 3 harmônicos de C#5 que não são
coincidentes com harmônicos de A4 entre as duas coincidências. As freqüências já
estão mais próximas, gerando alguma «aspereza», embora ainda não próximas o
suficiente para que ocorra batimento.
A medida que se diminuem os intervalos, ocorrem mais parciais perigosamente
próximos (<= 16 Hz para causar batimentos). Nessa teoria, quanto mais parciais em
batimento, mais dissonante será o intervalo.
A4 = 440 Hz
f = 440 Hz1
f = 2f = 880 Hz2 1
f = 3f = 1320 Hz3 1
f = 4f = 1760 Hz4 1
f = 5f = 2200 Hz5 1
f = 6f = 2640 Hz6 1
f = 7f = 3080 Hz7 1
f = 8f = 3520 Hz8 1
P
ri
m
ei
ro
s 
8 
H
ar
m
o
n
ic
o
s
D5 = 586,7 Hz
f’ = 1760 Hz3
f’ = 2933,3 Hz5
f’ = 3520 Hz6
P
ri
m
ei
ro
s 
6 
H
ar
m
o
n
ic
o
s
f’ = 2346,7 Hz4
f’ = 1173,3 Hz5
f’ = 586,7 Hz1
P
ri
m
e
ir
o
s
 8
 H
a
rm
o
n
ic
o
s
f’ = 4400 Hz8
A4 = 440 Hz
f = 2f = 880 Hz2 1
f = 3f = 1320 Hz3 1
f = 4f = 1760 Hz4 1
f = 5f = 2200 Hz5 1
f = 6f = 2640 Hz6 1
f = 7f = 3080 Hz7 1
f = 8f = 3520 Hz8 1
P
ri
m
ei
ro
s 
10
 H
ar
m
o
n
ic
o
s
C#5 = 550 Hz
f’ = 550 Hz1
f’ = 1100 Hz2
f’ = 2200 Hz4
f’ = 3300 Hz6
f = 440 Hz1
f’ = 1650 Hz3
f = 9f = 3960 Hz9 1
f = 10f = 4400 Hz10 1
f’ = 2750 Hz5
f’ = 3850 Hz7
Engª Acústica - CT - UFSM42
Música para Engª Acústica III
B) Análise de Banda Crítica e Limite de Discriminação de Freqüências
Consideremos a emissão de um som puro, senoidal, com uma determinada
freqüência.
Essa freqüência origina uma onda que é captada pelo (orelha),Pavilhão Auricular
segue pelo (ou conduto auditivo, um canal que amortece as ondasMeato Acústico
sonoras) e chega ao , uma membrana muito fina. Essa onda causa umaTímpano
pressão no tímpano, que, ao vibrar, transmite o movimento a três pequenos ossos
(ossículos), o , a e oMartelo Bigorna Estribo.
Os ossículos, por sua vez, estimulam a (caracol), um órgão cheio de líquido.Cóclea
Ouvido Externo
Ouvido
Médio
Ouvido
Interno
Ouvido Externo
Ouvido
Médio
Ouvido
Interno
A cóclea, através das decodifica aCélulas Ciliadas da Membrana Basilar,
freqüência do som e o transmite para o cérebro através do NervoAuditivo.
A onda que percorre a membrana basilar tem
um máximo de amplitude num determinado
ponto, função da freqüência em causa,
correspondendo a uma crista na membrana
basilar. Essa crista da membrana basilar não
corresponde ao envolvimento de uma única
terminação nervosa, mas abrange um certo
número de terminações nervosas numa
vizinhança em torno desse máximo. Os pontos da
membrana basilar assim afetados, correspondem
a uma banda de freqüências denominada Banda
Crítica.
A Banda Crítica varia bastante em função da
zona de freqüências: para a freqüência de 200 Hz
a Banda Crítica é de 90 Hz, para a freqüência de
5000 Hz a Banda Crítica é de 900 Hz.
Segundo Roederer (1995) a Banda Crítica corresponde a uma zona da Membrana
Basilar de largura constante e igual a 1,2 mm, contendo em torno de 1300 células
sensoriais.
4000
3000
500
600
400
2000
1500
20000
7000
5000
1000
200
Localização Aproximada das
Freqüências (Hz) na Cóclea
Cap.3 - Série Harmônica
43
Discriminação das Freqüências na Membrana Basilar
Quando dois sons puros têm freqüências de tal modo próximas que as curvas
envolventes da Membrana Basilar se sobrepõem substancialmente, diz-se que
pertencem à mesma Banda Crítica.
A largura da Banda Crítica varia de 90 Hz nas freqüências baixas até 1/3 de oitava
nas altas freqüências. Dentro da gama de freqüências audíveis (20 a 20000 Hz) existem
em torno de 24 Bandas Críticas. Na realidade não se tratam de 24 filtros independentes:
assim como ouvimos continuamente qualquer freqüência audível, para qualquer som o
ouvido encontra uma Banda Crítica centrada nele (Houtsma et al., 1987).
Quando o intervalo entre duas
freqüências diminui, seus
respectivos envelopes de
amplitudes (curvas envolventes)
se sobrepõem cada vez mais na
Membrana Basilar.
Engª Acústica - CT - UFSM44
Música para Engª Acústica III
Gráfico 1: REGIÕES DE DISCRIMINAÇÃO DOS INTERVALOS ENTRE
DUAS FREQÜÊNCIAS SENOIDAIS - Henrique, 2001
Suponhamos dois sons puros de mesma freqüência inicial f , em uníssono, portanto.1
! Mantendo um deles fixo e fazendo variar a freqüência do outro, verificamos o
aparecimento de batimentos, primeiro lentos e em seguida mais rápidos.
! Continuando o afastamento de freqüências, deixamos de poder contar os
batimentos e sentimos uma sonoridade dura, agressiva, semelhante a um ruído.
! Afastando ainda mais as freqüências, começamos a ouvir doissons, mas a
sonoridade agressiva mantém-se.
! Continuando o afastamento das freqüências, a sonoridade dura desaparece.
! Esta situação é simétrica, isto é, verifica-se o mesmo quer o afastamento da
freqüência fixa se faça para cima ou para baixo do seu valor (Roederer, 1995).
A zona de freqüências em que o ouvido apreende batimentos e sonoridade dura ou
áspera, denomina-se Largura da Banda Crítica ou Intervalo da Banda Crítica.
Considere que esteja a ouvir dois sons simultâneos pertencentes à mesma Banda
Crítica (sonoridade áspera). Se passar a ouvir cada som por cada um dos ouvidos, a
sonoridade dura desaparece e as duas freqüências podem ser distinguidas num
intervalo muito menor. No primeiro caso, que é a maneira como habitualmente ouvimos,
há uma certa sobreposição entre as duas zonas da Membrana Basilar que estão sendo
excitadas. No segundo caso cada som excita a Membrana Basilar do seu lado e deixa
de haver sobreposição. Esta situação é a prova evidente de que há interferência na
percepção auditiva dos dois sinais quando as envolventes se sobrepõem.
Diferença das Freqüências
∆f = f2 – f1
+∆f-∆f
0
Fr
eq
üê
nc
ia
da
Se
ns
aç
ão
 S
on
or
a
f1
Som f1
(Freqüência Fixa)
Som f2
(Freqüência Variável)
Som de Fusão
f = (f1 + f2) /2
Limites de
Discriminação
∆fD
10Hz
Batimento
Freqüência de Batimento
fBat = |f2 – f1|
Banda Crítica
∆fBC
∆fD
∆fBC
Sensação de 1 Som
AsperezaAspereza
Suavidade Suavidade
Diferença das Freqüências
∆f = f2 – f1
+∆f-∆f
0
Fr
eq
üê
nc
ia
da
Se
ns
aç
ão
 S
on
or
a
f1
Som f1
(Freqüência Fixa)
Som f2
(Freqüência Variável)
Som de Fusão
f = (f1 + f2) /2
Limites de
Discriminação
∆fD∆fD
10Hz
BatimentoBatimento
Freqüência de Batimento
fBat = |f2 – f1|
Banda Crítica
∆fBC∆fBC
∆fD∆fD
∆fBC∆fBC
Sensação de 1 Som
AsperezaAsperezaAsperezaAspereza
SuavidadeSuavidade SuavidadeSuavidade
Cap.3 - Série Harmônica
45
A análise de Banda Crítica permite verificar como são entendidos pelo ouvido dois
sons puros (senoidais) ouvidos simultaneamente. Para isso, é necessário consultar o
gráfico seguinte, que mostra o Limite de Discriminação de Freqüências e a Banda
Crítica para dois sons senoidais f e f .1 2
50
0
10
00
20
00
30
00
40
00
50
00
Freqüência Central (HZ)
A4 A5 A6 A7
D
ife
re
nç
a 
de
Fr
eq
üê
nc
ia
: f
2
- f
1
(H
z)
100
200
300
400
500
600
700
800
Freq. Central =
(f1 + f2) / 2
∆f D∆f BC
Limite de Discriminação de Freqüências (∆fD)
Banda Crítica (∆fBC)
Semito
m
Tom
 Inte
iro
Ter
ça 
Me
no
r
50
0
10
00
20
00
30
00
40
00
50
00
Freqüência Central (HZ)
A4 A5 A6 A7
D
ife
re
nç
a 
de
Fr
eq
üê
nc
ia
: f
2
- f
1
(H
z)
100
200
300
400
500
600
700
800
Freq. Central =
(f1 + f2) / 2
∆f D∆f BC
Limite de Discriminação de Freqüências (∆fD)
Banda Crítica (∆fBC)
Semito
m
Tom
 Inte
iro
Ter
ça 
Me
no
r
Gráfico 2: LIMITE DE DISCRIMINAÇÃO DE FREQÜÊNCIAS E BANDA CRÍTICA
PARA DOIS SONS SENOIDAIS f E f1 2
Ex. 1) Som 1, de freqüência f = 2996 Hz e Som 2, de freqüência f = 3004 Hz1 2
Freqüência Central: (2996+3004)/2 = 3000Hz
∆f = 3004 – 2996 = 8 Hz
Limite de Discriminação: ∆f = ?D
a) No gráfico 2, para Freq. Central = 3000 Hz, ∆f = 325 Hz;D
b) Conforme o gráfico 1, como ∆f ∆f , os dois sons serão< D
ouvidos como um único som, com freqüência 3000 Hz;
c) Ainda conforme o gráfico 1, como ∆f 10 Hz, serão<
percebidos Batimentos de 1ª Ordem com freqüência 8 Hz,
ou sejam 8 batimentos por segundo: DISSONÂNCIA
Análise de Banda Crítica:
Não é necessária, pois ∆f > ∆f .BC D
Engª Acústica - CT - UFSM46
Música para Engª Acústica III
Ex. 2) Som 1, de freqüência f = 2900 Hz e Som 2, de freqüência f = 3100 Hz1 2
Freqüência Central: (2900+3100)/2 = 3000Hz
∆f = 3100 – 2900 = 100 Hz
Limite de Discriminação: ∆f = ?D
a) No gráfico 2, para Freq. Central = 3000 Hz, ∆f = 325 Hz;D
b) Conforme o gráfico 1, como ∆f < ∆f , os dois sons serão ouvidos como umD
único som, com freqüência 3000 Hz;
c) Ainda conforme o gráfico 1, como ∆f > 10 Hz, não se podem perceber os
Batimentos de 1ª Ordem, mas sim, uma sensação de aspereza: DISSONÂNCIA
Análise de Banda Crítica:
Não é necessária, pois ∆f > ∆f .BC D
Ex. 3) Som 1, de freqüência f = 2800 Hz e Som 2, de freqüência f = 3200 Hz1 2
Freqüência Central: (2800+3200)/2 = 3000Hz
∆f = 3100 – 2900 = 400 Hz
Limite de Discriminação: ∆f = ?D
a) No gráfico 2, para Freq. Central = 3000 Hz, ∆f = 325 Hz;D
b) Conforme o gráfico 1, como ∆f > ∆f , os dois sons serão ouvidos como sons distintos;D
Análise de Banda Crítica: ∆f = ?BC
a) No gráfico 2, para Freq. Central = 3000 Hz, ∆f = 435 Hz.BC
b) Conforme o gráfico 1, como ∆f < ∆f , os dois sons serão ouvidos com umaBC
sensação de aspereza: DISSONÂNCIA
Ex. 4) Som 1, de freqüência f = 2700 Hz e Som 2, de freqüência f = 3300 Hz1 2
Freqüência Central: (2700+3300)/2 = 3000Hz
∆f = 3300 – 2700 = 600 Hz
Limite de Discriminação: ∆f = ?D
a) No gráfico 2, para Freq. Central = 3000 Hz, ∆f = 325 Hz;D
b) Conforme o gráfico 1, como ∆f > ∆f , os dois sons serão ouvidos como sons distintos;D
Análise de Banda Crítica: ∆f = ?BC
a) No gráfico 2, para Freq. Central = 3000 Hz, ∆f = 435 Hz.BC
b) Conforme o gráfico 1, como ∆f > ∆f , os dois sons serão ouvidos com umaBC
sensação de suavidade: CONSONÂNCIA
Cap.3 - Série Harmônica
47
CONCLUSÕES:
1) Para sons COMPLEXOS, pode-se repetir a análise do Limite de Discriminação e
da Banda Crítica para cada par de Harmônicos próximos.
2) Quanto mais resultados de CONSONÂNCIApara os PARCIAIS dos dois sons em
análise, mais agradável (CONSONANTE) será o som percebido pelo ouvido.
3) Essas análises não são completas, pois outros efeitos influenciam na percepção
dos sons ouvidos simultaneamente, como por exemplo o Efeito de Máscara, pois
quando ouvimos dois ou mais sons simultaneamente pode acontecer que um
deles mascare os outros. O Efeito de Máscara pode ser considerado como
resultante de uma elevação do limiar de audibilidade do som que é mascarado. O
estudo do Efeito de Máscara é feito a partir de sons puros, como aliás acontece
com outros fenômenos psicoacústicos, mas os resultados são aplicáveis aos
sons complexos que ouvimos habitualmente, porque se considera o Efeito de
Máscara relativo aos componentes desse som (Howard & Angus, 1996). O Efeito
de Máscara não será objeto de nosso estudo, mas algumas conclusões podem
ser citadas:
! Sons puros de freqüências próximas mascaram-se mais facilmente
do que sons de freqüências substancialmente afastadas;
! Um som puro mascara mais eficazmente sons de alta freqüência do
que sons de baixa freqüência. Um som grave mascara o agudo,
mas o contrário não acontece;
! Quanto maior a intensidade de um som, maior a gama de
freqüências que ele pode mascarar;
! Em certas condições, o Efeito de Máscara num ouvido pode ser
causado por ruído no outro ouvido. Esse fenômeno denomina-se
Efeito de Máscara Central;
! Se dois sons tiverem freqüências muito separadas não provocam
Efeito de Máscara ou, eventualmente, provocam um efeito muito
leve.
! Maiores esclarecimentos podem ser encontrados na obra
«Acústica Musical (2001)», do autor português Luís L. Henrique.
Música para
Engª Acústica III
Ana Laura Felkl Cassiminho
Curso de Engenharia Acústica
Centro de Tecnologia - UFSM
4.1 Introdução
4.1.1 Afinação x Escala - Definições
4.1.2 A Divisão da Oitava e os Temperamentos
4.SISTEMAS de AFINAÇÃO
49
4.2 Afinação Pitagórica
4.2.1 O Monocórdio de Pitágoras
4.2.2 O Procedimento Pitagórico
4.2.3 Intervalos Principais
4.2.4 Vantagens e Desvantagens
4.3 Afinação Natural ou Gama de Zarlino
4.3.1 SérieHarmônica da Nota Dó
4.3.2 Análise dos Intervalos com a Tônica
4.3.3 Intervalos entre as Notas da Escala
4.4 Temperamento Igual
4.4.1 Introdução
4.4.2 Cálculo do Semitom Temperado
4.5 Quadro Comparativo entre as Freqüências
4.6 Escala Geral
4.1 INTRODUÇÃO
4.1.1 Afinação x Escala - Definições
Ao se afinar ou construir um instrumento como o piano, é necessário adotar-se uma
freqüência de referência (em geral, A=440 Hz) e decidir o critério para o espaçamento
de cada uma das notas da escala cromática, a fim de determinar todas as freqüências.
Esta distribuição de freqüências é chamada de afinação e geralmente reflete as
particularidades de uma determinada época e dos instrumentos utilizados.
! Afinação: organização discriminatória das alturas (notas) disponíveis em
um certo âmbito de freqüências, cujos intervalos, sem exceção, podem ser
expressos por números racionais.
! Escala ou Gama: organização discriminatória de determinadas notas
disponíveis em uma dada afinação, uma vez que, em geral, não se
pretende fazer uso de todas as notas constituintes da afinação em que se
baseia.
! Exemplo: A escala de Dó M usa apenas 7 notas (Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá,
Si), todas naturais, escolhidas dentre as 12 notas disponíveis no sistema
de afinação temperada (Dó - Dó#/Ré - Ré - Ré#/Mi - Mi - Fá - Fá#/Sol -b b b
Sol - Sol#/Lá - Lá - Lá#/Si - Si).b b
Cap.4 - Sistemas de Afinação
51
Observação Importante:
Muitas vezes os termos são usadosAFINAÇÃO, ESCALA GAMAou
indiscriminadamente, visto que inicialmente estudou-se a determinação de
freqüências das notas da escala natural, estendendo-se depois para a
construção de um sistema de afinação que englobasse também as notas
alteradas.
4.1.2 A Divisão da Oitava e os Temperamentos
Desde que se começou a utilizar a escala heptatônica (ou seja, de 7 notas) na
música ocidental, o que está historicamente associado ao matemático grego Pitágoras
(570 a.C. a cerca de 490 a.C.), admitiu-se que a 8ª nota da escala teria o dobro da
freqüência da nota inicial, recebendo, portanto, o mesmo nome e estando um intervalo
de oitava justa acima. Restava encontrar uma maneira de dividir a oitava, determinando
as freqüências de cada uma das 6 notas intermediárias.
DóDó Ré Mi Fá Sol Lá DóSi
f 2f? ? ? ? ? ?
Engª Acústica - CT - UFSM52
Música para Engª Acústica III
Diante da dificuldade em organizar o domínio das freqüências de modo a constituir
intervalos mínimos iguais entre cada nota, o que foi acontecer somente no século XVIII,
foram muitas as tentativas de dividir a oitava, umas com algum sucesso, outras nem
tanto.
Da Idade Média ao Renascimento, vigoraram os sistemas de afinação denominados
JUSTOS, onde os intervalos entre as notas podiam ser representados SEMPRE por
relações de números inteiros: [2:1], [3:2], [5:4], etc. Principais expoentes:
! Afinação Pitagórica, baseada no intervalo de 5ª justa;
! Afinação Natural (ou Gama de Zarlino), baseada na Série Harmônica;
Estes sistemas de afinação eram baseados em uma nota inicial, a tônica, e as
freqüências das outras notas derivavam da freqüência da tônica. Em função disso, não
era possível fazer-se modulações (trocar de tonalidade no decorrer da música), pois
uma nota Fá determinada a partir de uma tônica Dó, ou seja, da tonalidade de Dó M,
teria uma freqüência diferente da mesma nota Fá determinada a partir de uma tônica Ré
(da tonalidade de Ré M, por exemplo). Para trocar de tonalidade, seria necessário afinar
novamente o instrumento.
A partir do período Barroco (que, na música, está situado entre os séculos XVII e
XVIII), passou-se a utilizar sistemas de afinação que incluíam alguns intervalos
TEMPERADOS, ou seja, intervalos cuja relação entre as freqüência das notas
extremas é representada por uma proporção que envolve números irracionais, como
por exemplo [2 :1].1/2
No período barroco apareceram, portanto, os ,“Temperamentos Mesotônicos”
que possibilitaram modulações restritas, usando alguns intervalos temperados e outros
não.
Os do século XVIII disponibilizaram o uso de todas as“Bem-Temperamentos”
tonalidades, porém, por serem desiguais, cada tonalidade possuía uma distribuição
própria de intervalos. Essa propriedade fazia com que houvesse uma variação do grau
de consonância e dissonância dos intervalos de cada tonalidade, sendo que as mais
próximas de Dó Maior tinham sonoridades mais consonantes. Muito interessante é a
“Teoria dos Afetos”, que relacionava cada tonalidade a um sentimento: amor, raiva,
ternura, etc., o que só poderia ser entendido se cada tonalidade realmente tivesse um
caráter diferente da outra.
Ao final do século XIX, os temperamentos elaborados tornaram-se cada vez menos
desiguais, em função da prática de modulações para tonalidades cada vez mais
distantes. Isso culminou na padronização do temperamento que possibilita a
modulação para todos os tons, sendo que todos possuem a mesma distribuição
intervalar (i.e. o ). O Temperamento Igual surgiu ainda noTEMPERAMENTO IGUAL
século XVIII, tendo como grande entusiasta o compositor Johann Sebastian Bach
(1685-1750), mas só posteriormente tornou-se uma unanimidade, representando o
sistema de afinação de uso corrente nos dias de hoje.
TEMPERAR implica, de algum modo, a atenuação ou
a moderação de alguns intervalos.
4.2 AFINAÇÃO PITAGÓRICA
4.2.1 O Monocórdio de Pitágoras
Pitágoras de Samos foi um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos, entre
571 a.C. e 570 a.C., e morreu em Metaponto, entre 497 a.C. ou 496 a.C.
Muito se pode falar a respeito de Pitágoras, que fundou uma escola filosófica que
leva o seu nome e que fez muitas observações importantes no ramo da Matemática,
como o Teorema de Pitágoras que rege as relações entre os lados de um triângulo
retângulo.
Pitágoras também teve interesse em
Acústica, tendo encontrado relação entre a
freqüência de vibração de uma corda e o seu
comprimento, experiências levadas a efeito em
um instrumento denominado MONOCÓRDIO,
dotado de uma só corda, presa nas duas
extremidades e com um apoio móvel no meio,
de modo a poder variar o seu comprimento.
A partir da experiência da subdivisão da
corda do monocórdio, Pitágoras chegou à
conc lusão de que as combinações
correspondentes ao que hoje designamos por
8ª, 5ª, 4ª e uníssono estão, respectivamente,
nas proporções 2:1, 3:2, 4:3, 1:1.
Pode-se melhor entender a experiência de Pitágoras analisando dois monocórdios
tocando simultaneamente:
Cap.4 - Sistemas de Afinação
O MONOCÓRDIO DE PITÁGORAS
1
12
34
1 - Extremidades de Fixação
2 - Corda Sonora
3 - Dispositivo Móvel (Traste)
4 - Base de Apoio
SITUAÇÃO 1:
2 Monocórdios iguais tocando
a nota de freqüência f:
Relação f:f = 1:1 = UNÍSSONO
f
LL
f
LL
53
SITUAÇÃO 2:
2 Monocórdios iguais tocando as notas
de freqüência f e 2f, respectivamente:
Relação 2f:f = 2:1 = OITAVA JUSTA
f
LL
2f
L L/2
Engª Acústica - CT - UFSM54
Música para Engª Acústica III
Essas proporções foram consideradas por Pitágoras como muito harmoniosas, mas
ele entendeu que a proporção de 3/2 entre freqüências fundamentais (a Quinta Justa ou
Quinta Perfeita), é a mais harmoniosa relação entre duas notas de classe de alturas
diferentes. Mais harmoniosa que a Quinta Justa, somente a Oitava Justa, mas ela
(oitava) é uma relação entre duas notas de mesma classe de alturas.
A harmonia representada pela Quinta Justa parece ter sido a razão pela qual
Pitágoras escolheu esse intervalo (juntamente com a Oitava Justa) como base do seu
sistema de afinação.
4.2.2 O Procedimento Pitagórico
Arigor, a elaboração da afinação por Pitágoras ancorou-se na 8ª e na 5ª, ou seja, nos
dois primeiros intervalos da série harmônica, sendo a 4ª (inversão da 5ª) e o uníssono
decorrências naturais desses intervalos de base.
Considerando a nota Dó Central como início da Escala de Dó Maior, o objetivo é
calcular asfreqüências das outras notas da escala:
SITUAÇÃO 3:
2 Monocórdios iguais tocando as notas
de freqüência 2f e 3f, respectivamente:
Relação 3f:2f = 3:2 = QUINTA JUSTA
L
2f
L L/2
L
3f
L L/3
SITUAÇÃO 4:
2 Monocórdios iguais tocando as notas
de freqüência 3f e 4f, respectivamente:
Relação 4f:3f = 4:3 = QUARTA JUSTA
L
3f
L L/3
4f
L/4
f 2f? ? ? ? ? ?
Cap.4 - Sistemas de Afinação
55
x 3/2 ÷ 29
4 f
27
16 f
81
32 f
81
64 f
9
8 f
243
128f
3
2 f
5ªJ ↑ 5ªJ ↑ 8ªJ ↓ 5ªJ ↑ 5ªJ ↑ 8ªJ ↓ 5ªJ ↑
x 3/2
f
x 3/2 x 3/2 ÷ 2 x 3/2
729
256f
5ªJ ↑
243
128f
x 3/2
A partir de Si, uma
5ª J ascendente
leva à nota Fá #,
que não pertence
à escala de DóM.
2f
4
3 f
5ªJ ↓
÷ 3/2
Para encontrar Fá,
basta descer uma
5ª J a partir do Dó
de freqüência 2f:
f 9f/8 81f/64 4f/3 3f/2 27f/16 243f/128 2f
9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243
O Intervalo entre duas notas consecutivas pode ser
calculado dividindo-se a freqüência da nota mais
aguda pela freqüência da nota mais grave, ou seja:
I = f / f onde f f2-1 2 1 2 1≥
Ex.: O intervalo entre as notas Mi e Fá, na escala
acima, é dado por:
I = (4f/3) / (81f/64) = 256/243Fá-Mi
As freqüências de cada nota da escala são calculadas criando-se intervalos de
QUINTA JUSTA, cuja relação de freqüências é 3/2, a partir da nota original, como
mostra o procedimento a seguir. Quando é necessário descer a nota uma oitava abaixo,
basta dividir a freqüência por dois.
Colocando as freqüências em ordem, pode-se escrever a escala, tendo cada nota a
sua freqüência equacionada em função da freqüência «f» da nota inicial (tônica da
escala). Esses relações valem para qualquer escala maior.
f 9f/8 81f/64 4f/3 3f/2 27f/16 243f/128 2f
4.2.3 Intervalos Principais
A) Intervalos entre as Notas da Escala
Engª Acústica - CT - UFSM56
Música para Engª Acústica III
B) Tom Inteiro, Semitons e Coma Pitagórica
! Tom Inteiro:
Pode ser dado pela relação de freqüências das duas primeiras notas da Escala:
f 9f/8
9/8
! Semitom Diatônico:
Encontrado emtre o III e o IV e entre o VII e o I Graus da Escala:
81f/64 4f/3
256/243
Semitom Diatônico
é aquele formado
por notas de
nomes diferentes.
! Semitom Cromático
Pode ser determinado pelas freqüências de Fá e Fá#:
4f/3
2187/2048
O Semitom Cromático
(1,06787...) é maior
do que o Semitom
Diatônico (1,05349...)
729
256f
2÷ 729
512f 729f/512
! Coma Pitagórica
É a diferença entre o Semitom
Cromático e o Semitom Diatônico de
Pitágoras. Pode ser entendida como
a diferença entre um Mi (mais grave)b
e um Ré # (mais agudo).
= St Cromático - St Diatônico, ou:
= 2187/2048 ÷ 256/243
= 531441 / 524288
= 1,01364
Coma Pitagórica:
4.2.4 Vantagens e Desvantagens
O sistema de Pitágoras tem como principal vantagem a sua simplicidade, mas nem
todas as combinações são harmoniosas, como é o caso dos semitons.
A coma Pitagórica foi a responsável pelas limitações que a escala Pitagórica
demonstrou possuir ao longo da História, incompatibilizando seu uso sistemático no
decorrer da evolução da própria musical pela incongruência das notas supostamente
enarmônicas (nomes diferentes mas que soam da mesma forma).
Cap.4 - Sistemas de Afinação
57
4.3AFINAÇÃO NATURAL OU GAMADE ZARLINO
Gioseffo Zarlino (1517-1590), italiano, foi um teórico musical e compositor
renascentista. Trouxe importante contribuição para o estudo do contraponto e da
afinação dos instrumentos musicais. Seu sistema de afinação, também conhecido
comoAfinação Justa, embora não seja o único a usar somente intervalos justos, baseia-
se, como o de Pitágoras, em uma nota inicial: a tônica.
AAfinação Natural relaciona os intervalos formados entre as notas da escala com a
Série Harmônica, ou seja, as razões dos seus intervalos estão diretamente
relacionadas às razões entre os primeiros harmônicos de um som tônico, como será
demonstrado a seguir, para a afinação na tonalidade de Dó Maior.
4.3.1 Série Harmônica da Nota Dó
2 3 4 5 6 7 81 4
8ªJ 5ªJ 4ªJ 3ªM 3ªm 3ªm 2ªM
8 169 10 11 12 13 14 15
2ªM 2ªM 2ªM 2ªm 2ªm 2ªM 1ªA 2ªm
4.3.2Análise dos Intervalos com a Tônica
Para determinar as freqüências das notas da tonalidade de Dó Maior, partindo da
tônica Dó, é necessário analisar os intervalos formados por cada nota com a tônica, e
localizar esses intervalos na Série Harmônica da nota Dó, verificando então a relação
de freqüências entre as notas que os formam (extremos do intervalo).
8ªJ 2/1→
7ªm ?→
6ªm ?→
5ªJ ?→
4ªJ ?→
3ªm ?→
2ªm ?→
8ªJ 2/1→
7ªM ?→
6ªM ?→
5ªJ ?→
4ªJ ?→
3ªM ?→
2ªM ?→
f
2f
Engª Acústica - CT - UFSM58
Música para Engª Acústica III
Sabe-se, a priori, que a relação intervalar da 8ª Justa é 2:1, deve-se então procurar
na Série Harmônica, as outras relações intervalares.
A) Intervalos Formados por Harmônicos Consecutivos
! 8ª J: Entre o 1º e o 2º Harmônicos. Relação de freqüências: 2/1.
! 5ª J: 3/2.Entre o 2º e o 3º Harmônicos. Relação de freqüências:
! 4ª J: 4/3.Entre o 3º e o 4º Harmônicos. Relação de freqüências:
! 5/4.3ª M: Entre o 4º e o 5º Harmônicos. Relação de freqüências:
! 6/5.3ª m: Entre o 5º e o 6º Harmônicos. Relação de freqüências:
! 2ª M :(Tom Grande) 9/8.Entre o 8º e o 9º Harmônicos. Relação de freqüências:
! 2ª M :(Tom Pequeno) 10/9.Entre o 9º e o 10º Harmônicos. Relação de freqüências:
! 2ª m :(Semitom Diatônico) 16/5.Entre o 15º e o 16º Harmônicos. Relação de freqüências:
Observação Importante:
Não são usados os intervalos formados com as notas (7º e 14º Harmônicos),Si Bemol Fá
Sustenido Lá Bemol(11º Harmônico) e (13º Harmônico) para afinar a escala de Dó M, porque,
na realidade, esses harmônicos não coincidem exatamente com essas notas, ficam próximos
delas. Como no sistema de notação musical ocidental não são usados intervalos menores do que
um semitom, só se pode indicar essas notas por aproximação. Inclusive, alguns autores, como
Luís Henrique (Lisboa), costumam grafar os harmônicos 7º, 11º, 13º e 14º através de duas notas,
indicando que a nota real estaria entre as duas.
2 3 4 5 6 7 81 4
8ªJ 5ªJ 4ªJ 3ªM 3ªm 3ªm 2ªM
8 169 10 11 12 13 14 15
2ªM 2ªM 2ªM 2ªm 2ªm 2ªM 1ªA 2ªm
Cap.4 - Sistemas de Afinação
59
! 7ª M: Entre o 8º e o 15º Harmônicos. Relação de freqüências: 15/8.
Na Série Harmônica encontra-se o intervalo de 7ª Maior existente na parte
ascendente da escala de Dó M, ou seja, entre as notas Dó e Si:
7ªM
8 169 10 11 12 13 14 15
2ªM 2ªM 2ªM 2ªm 2ªm 2ªM 1ªA 2ªm
! 7ª m: Entre o 9º e o 16º Harmônicos. Relação de freqüências: 16/9.
Na Série Harmônica encontra-se o intervalo de 7ª menor existente na
parte descendente da escala de Dó M, ou seja, entre as notas Ré e Dó:
7ªm
8 169 10 11 12 13 14 15
2ªM 2ªM 2ªM 2ªm 2ªm 2ªM 1ªA 2ªm
B) Intervalos Formados por Harmônicos NÃO Consecutivos
! 6ª M: Entre o 3º e o 5º Harmônicos. Relação de freqüências: 5/3.
2 3 4 51
8ªJ 5ªJ 4ªJ 3ªM
6ªM
Uma 6ªM pode ser
entendida como
uma soma entre
4ªJ e 3ª M →
! 6ª m: Entre o 5º e o 8º Harmônicos. Relação de freqüências: 8/5.
8ªJ 5ªJ 4ªJ 3ªM
5 6 7 84
6ªm
Na Série Harmônica encontra-se
exatamente o intervalo de 6ªm
existente na parte descendente
da escala de DóM →
Engª Acústica - CT - UFSM60
Música para Engª Acústica III
Reunindo todas as relações intervalares encontradas, pode-se então mostrar, na
escala de Dó Maior, todos os intervalos com a tônica:
8ªJ 2/1→
7ªm 16/9→
6ªm 8/5→
5ªJ 3/2→
4ªJ 4/3→
3ªm 6/5→
2ªm 16/15→
8ªJ 2/1→
7ªM 15/8→
6ªM 5/3→
5ªJ 3/2→
4ªJ 4/3→
3ªM 5/4→
2ªM 9/8→
f
2f
4.3.3 Intervalos Entre as Notas da Escala
A partir dos intervalos com a Tônica podem-se determinar as freqüências de cada
nota da escala em função da freqüência f. Assim, podem ser determinados também os
intervalos entreas notas da escala:
f 2ff98 f
5
4 f
4
3 f
3
2 f
5
3 f
15
8
9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15
Semitom Diatônico
Tom Pequeno
Tom Grande
A diferença entre o Tom Grande e o Tom
Pequeno é chamada COMA SINTÔNICA:
Coma
Sintônica =
9/8
10/9 =
9
8
x 9
10 =
81
80
Observações Importantes:
I) O grande problema do Sistema Natural é a diferença entre os intervalos de 2ª Maior, a Coma Sintônica;
II) O Sistema Natural pode incluir todas as 12 notas pela divisão de cada tom inteiro por 2, embora isso não
fosse usual, pois normalmente devia-se afinar o instrumento a cada mudança de tonalidade. Chegaram
a ser construídos teclados de órgãos muito complicados, que permitiam a execução em Afinação
Natural em diversas tonalidades. Contudo, para usar aAfinação Natural em todas as tonalidades em um
instrumento de teclado, implicaria a existência de pelo menos 53 teclas por oitava.
III) O Sistema deAfinação Natural é considerado o mais agradável ao ouvido humano.
Cap.4 - Sistemas de Afinação
61
4.4 TEMPERAMENTO IGUAL
4.4.1 Introdução
Ao longo dos séculos, foram propostos mais de 100 sistemas de temperamento
musical, ou seja, esquemas diferentes para dividir ou temperar a oitava. Desses, não
mais de 20 terão sido realmente usados com mais generalidade. Os vários sistemas
ecoam os vários estilos e gostos musicais das suas épocas. E estes estilos e gostos,
por sua vez, também influenciaram os tipos de afinações (ou temperamentos)
adotados.
O temperamento de uma escala é, como já foi visto, exatamente o ajuste dos
intervalos entre as notas, afastando-os do seu valor natural «harmônico».
O Sistema de Afinação Pitagórico, o Sistema de Afinação Natural, bem como tantas
outras tentativas de temperamento, apesar de baseados em princípios lógicos, têm os
seus próprios problemas, pois impõem restrições muito sérias de transposição e
modulação. Já no século XVI esse problema havia sido reconhecido.
Era necessário um novo Sistema de Afinação, que, abrindo mão de um pouco de
“justeza”, levasse a intervalos igualmente espaçados.
Em outras palavras, um semitom teria sempre a mesma razão de freqüência, fosse
ele Dó-Dó#, Mi-Fá, ou Lá-Si .b
Isso foi conseguido com a escala igualmente temperada, ou simplesmente
Temperamento Igual, entusiasticamente patrocinada por J. S. Bach, que compôs a
série de prelúdios e fugas de “O Cravo Bem Temperado” com o propósito específico de
explorar ao máximo as possibilidades irrestritas de mudança de tonalidade.
Embora conhecido desde o século XVI, passaram-se em torno de três séculos para
que o Temperamento Igual tivesse aceitação e aplicação generalizadas. Para alguns
autores, como Gaínza (1992), o tamanho da 3ªM, maior do que a 3ªM do Sistema
Natural, bem como o fato dos semitons serem todos iguais, o que empobrecia a
expressão musical, seriam as principais razões para toda essa demora no uso do
Temperamento Igual. Outros autores, porém, como Randel (1986), os obstáculos foram
outros: relutância em admitir intervalos irracionais, uma vez que a tradição pitagórica
era muito forte; dificuldade para os músicos no cálculo do semitom temperado (2 ),1/12
apesar de existirem diversos métodos numéricos e geométricos para esse fim, mas não
tão difundidos que permitissem a sua utilização por todos.
4.3.2 Cálculo do Semitom Temperado
No Sistema Temperado, a razão de freqüência é a mesma para todos os semitons de
Dó a Dó dentro de uma 8ª.
Chamando essa razão de « , tem-se:s»
C4 C5D4 D#4 E4 F4 F#4 G4 G#4 A4 A#4C#4 B4
f
s s s s s s s s s s ss
2f
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Música para Engª Acústica III
Adeterminação de , com as ferramentas matemáticas atuais, é bem simples:«s»
4.5 QUADRO COMPARATIVO ENTREAS FREQÜÊNCIAS
Tomando como base a notaA4, de freqüência conhecida e igual a 440Hz, podem ser
calculadas todas as freqüências das notas da tonalidade de Dó Maior usando os três
sistemas de afinação estudados:
C4 =
C#4 =
D4 =
D#4 =
(...)
C5 =
f.s
f.s.s = f.s2
f.s .s = f.s2 3
f.s = 2f12
f
Com o valor de «s» podem
ser calculadas todas as
freqüências desejadas.
Logo: s = 2 ou s = 212 1/12
s = 1,0594631
SISTEMA DE AFINAÇÃO
PITAGÓRICA NATURAL TEMPERAMENTO IGUAL
Relação
Intervalar (*) f (Hz)
Relação
Intervalar (*) f (Hz)
Relação
Intervalar (*) f (Hz)
1
9/8
81/64
4/3
3/2
27/16
243/128
2
NOTA
C4
D4
E4
F4
G4
A4
B4
C5
260,74
293,33
330
347,65
391,11
440
495
521,48
440 440
1
2
1
2
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8
264
297
330
352
396
495
528
s2
s4
s5
s7
s9
s11
261,63
293,66
329,63
349,23
392,00
493,88
523,25
(*) Em relação à Tônica (1ª Nota, Dó) de cada Sistema
A título de experimentação, seria possível também atribuir uma mesma freqüência
para a nota C4, por exemplo 262 Hz, e calcular as freqüências para as outras notas nos
três sistemas, verificando com mais facilidade as diferenças entre os intervalos com a
Tônica.
O Temperamento Igual permite a modulação, ou seja, a troca de tonalidade quantas
vezes se desejar, sem necessidade de reafinar o instrumento. Por outro lado, todas as
tonalidades passam a ter o mesmo «caráter». Nada há que as diferencie, portanto a
antiga Teoria dos Afetos, que atribuía a cada tonalidade um sentimento, deixa de ser
válida. Nos Temperamentos Desiguais, ou mesmo nos Sistemas Justos (Pitagórico e
Natural), haveria diferença entre de caráter pela diferença entre os tons ou semitons,
que não eram considerados iguais.
Cap.4 - Sistemas de Afinação
63
4.6 ESCALAGERAL
Fazendo A4 = 440 Hz e usando o fator s = 1,059463, é possível calcular as
freqüências de todas as notas no Sistema Temperado e construir a chamada Escala
Geral, ou seja, o conjunto de todos os sons musicais que o ouvido humano pode
identificar.
O Grande Órgão (órgão de tubos) é o único instrumento musical capaz de produzir
todas as notas da Escala Geral.
Considerando somente as notas Dó da Escala Geral, tem-se:
C0 16,4 Hz – Som mais Grave (Grande Órgão)→
C1 32,7 Hz→
C2 65,4 Hz→
C3 130,8 Hz→
C4 261,6 Hz – Dó Central→
C5 523,3 Hz→
C6 1046,5 Hz→
C7 2093,0 Hz→
C8 4186,0 Hz – Som mais Agudo (Flautim)→
Piano:
A0 a C8