calculo exterior & Geometria diferencial

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Formas diferenciais e c�alculo exterior
math�ematiques a l'usage des physicienes...quick and dirty.
F��sica Matem�atica Aplicada 2017
Prof. Roberto E. Lagos
C�alculo ou calculus: diferencial, integral, vetorial (caso particular do c�alculo exterior),
variacional, fracional, exterior...
manifolds ou variedades : de dimens~ao k \embutido" (embedded) no Rn (k � n)
k = 0 ponto: (x1; x2; :::xn) : zero dimensional V0 = P (t) (t = a e t = b; fronteira de C)
k = 1 curva: (x1(t); :::xn(t)) : uni dimensional V1 = C(t) (a < t < b)
k = 2 superf��cie: (x1(t1; t2); :::xn(t1; t2)) : bi dimensional V2 = S(t1; t2) (a1 < t1 < b1; a2 < t2 <
b2)::::praxe (t1; t2)! (u; v)
k = 3 volume: (x1(t1; t2; t3); :::xn(t1; t2; t3)) : tri dimensional V3 = V (t1; t2; t3) (a1 < t1 <
b1; a2 < t2 < b2; a3 < t3 < b3)::::praxe (t1; t2; t3)! (u; v; w)
k > 3 : hiper volume ou hiper superf��cie de dimens~ao k ou k�volume : Vk(t1; ::; tk)
(x1(t1; ::; tk); :::xn(t1; ::; tk)) : (ak < tk < bk) k � n
Breve resumo do c�alculo vetorial em R3
r = (x; y; z); dr = (dx; dy; dz) ds = jdrj : elemento de arco; dS = (dydz; dzdx; dxdy) =
ndS, dS :elemento de superf��cie; dV = dxdydz: Campo B(r) = f�(r) escalar; A(r) vetorial;
T(r) tensorial, etc g.
Diversos tipos de integrais: de linha (1 dim), super�cie (2 dim) e volume (3 dim) (e
quando apropriado)
Z
C
dsB;
Z
C
dr �B;
Z
C
dr�B;
Z
S
dSB;
Z
S
dS �B;
Z
S
dS�B;
Z
V
dVB
Calcula-se o elemento de arco orientado dr na representa�c~ao param�etrica r(t)
1
dr(t) =
�
dx
dt
;
dy
dt
;
dz
dt
�
dt ds =
s�
dx
dt
�2
+
�
dy
dt
�2
+
�
dz
dt
�2
dt
Se t = z tem-se r(z) = (x(z); y(z); z) veri�que
ds =
s
1 +
�
dx
dz
�2
+
�
dy
dt
�2
dz
e o elemento orientado de superf��cie tamb�en na representa�c~ao param�etrica r = (x(u; v); y(u; v); z(u; v))
dS =
�
@r
@u
� @r
@v
�
dudv = Ndudv n =
N
jNj
Caso zero dimensional
R
P
dxB= B(b) � B(a): Nomenclatura: fronteira de uma curva
C � @C = P ; fronteira de uma superf��cie S � @S = C e fronteira de um volume V � @V = S:
Operadores diferenciais gradiente r (usualmente opera sobre campos escalares, caso
opere sobre um campo vetorial teremos um tensor) ; diverge^ncia r� (opera sobre campos
vetoriales); rotacional r� (opera sobre campos vetoriales)
r� =
�
@�
@x
;
@�
@y
;
@�
@z
�
rA =
0BBB@
@Ax
@x
@Ay
@x
@Az
@x
@Ax
@y
@Ay
@y
@Az
@y
@Ax
@z
@Ay
@z
@Az
@z
1CCCA
r �A=@Ax
@x
+
@Ay
@y
+
@Az
@z
r�A=
�
@Az
@y
� @Ay
@z
;
@Ax
@z
� @Az
@x
;
@Ay
@x
� @Ax
@y
�
Identitades not�aveis: r�r� � 0 � r �r�A; e de�ni�c~ao de derivada direcional
df=dn =rf � bn
2
Teoremas Integrais
1) em 1 dim: Teorema fundamental do c�alculo
Z b
a
dx
df
dx
=
Z
C
df = f(b)� f(a) =
Z
@C
f
2) em n dim: Teorema fundamental do c�alculo
Z b
a
drr� = f(b)� f(a)
3) Teorema do rotacional no plano (Green) C = @SZ
S
�
@Q
@x
� @P
@y
�
dxdy =
Z
@S
�
@P
@x
dx+
@Q
@y
dy
�
4) Teorema do rotacional no espa�co (Green, Kelvin, Stokes) . Stokes em Cambridge 1854,
propo^s o teorema como quest~ao numa prova de f��sica matem�atica!.
Z
S
dS �r�A =
Z
@S
dr �A
5) Teorema da diverge^ncia (Lagrange, Laplace, Green, Ostrogradskii, Gauss)
Z
V
dV r �A =
Z
@V
dS �A
6) A partir de 4) e 5) com as substitu�c~oes A =�C eA = B�C, sendo C vetor constante
arbitr�ario Z
S
(dS�r)�B =
Z
@S
dr�B;
Z
S
dS�r�=
Z
@S
dr�
Z
V
dV r�B =
Z
@V
dS�B;
Z
V
dV r�=
Z
@V
dS�
e para tensores, com as substitu�c~oes A =TC ou A = CyT (problema proposto no cap��tulo
�nal da disciplina, sobre Matrices)
3
Sobre Jacobianas e Determinantes
Considere R2 x = x(u; v), y = y(u; v) elemento in�nitesimal de �area dxdy
(orientada)
dxdy = det J dudv
(n~ao orientada �! jdet J j), sendo a matriz Jacobiana de�nida como
J =
0@ @x@u @x@v
@y
@u
@y
@v
1A
o det J �e representado como
det J =
@(x; y)
@(u; v)
= �@(x; y)
@(v; u)
= �@(y; x)
@(u; v)
sendo a representa�c~ao acima muito operacional, por exemplo a regra da cadeia e o inverso,
respectivamente : u = u(p; q); v = v(p; q) tem-se
@(x; y)
@(p; q)
=
@(x; y)
@(u; v)
@(u; v)
@(p; q)
=
�
@(p; q)
@(x; y)
��1
Veri�que
N =
�
@(y; z)
@(u; v)
;
@(z; x)
@(u; v)
;
@(x; y)
@(u; v)
�
dS = Ndudv= (dydz; dzdx; dxdy) = ndS dS = jNj dudv
Se u = x e v = y e r(x; y) = (x; y; z(x; y)) veri�que
dS =
s
1 +
�
@z
@x
�2
+
�
@z
@y
�2
dxdy
Em Rn considere um vetorV =(v1; v2; :::; vn) o quadrado do comprimento ou o quadrado
do 1-volume �e
G(V) = V �V =
X
j
�
vj
�2
Pit�agoras n dimensional
4
Considere agora dois vetores Vj=(v
1
j ; v
2
j ; :::; v
n
j ) j = 1; 2: O quadrado da �area subtendida pelo
paralelogramo V1 e V2 (a^ngulo �) �e
G(V1;V2) = (V1)
2 (V2)
2 sin2 � = det
������ V1 �V1 V1 �V2V2 �V1 V2 �V2
������
sendo U �W =Pj ujwj:
Considere agora n vetores Vj=(v
1
j ; v
2
j ; :::; v
n
j ) j = 1; n: O volume orientado subtendido
pelo hiper-paralelep��pedo �e o determinate
Vol = det
������������
v11 � � v1n
� � � �
� � � �
vn1 � � vnn
������������
= [V1; :::;Vn]
Lembrando que detAB = detA � detB o quadrado do volume subtendido �e
[V1; :::;Vn] � [V1; :::;Vn] = det
������������
V1 �V1 � � V1 �Vn
� � � �
� � � �
Vn �V1 � � Vn �Vn
������������
= G(V1; :::;Vn)
O quadrado do hiper-volume subtendido por k vetores fVj; j = 1; :::; k; 1 � k � ng �e o de-
terminante da matriz grameana (do matem�atico Gram)
G(V1; :::;Vk) = det
������������
V1 �V1 � � V1 �Vk
� � � �
� � � �
Vk �V1 � � Vk �Vk
������������
Teorema generalizado de Pit�agoras para k vetores em Rn .
5
Produto externo ^
Para cada dimens~ao n � 3 existem n teoremas integrais b�asicos , e parecem muito par-
ticulares a cada dimens~ao. Existe uma forma de compactar as f�ormulas e generalizar para
dimens~oes n > 3?
Existe uma contradi�c~ao aceitamos a transforma�c~ao Jacobiana das integrais e a de�ni�c~ao
de diferencial total:
Em n dimens~oes tem-se xi = xi(u1; :::un) i = 1; :::n
dx1:::dxn =
@(x1; :::xn)
@(u1; :::un)
du1:::dun
dxi =
X
j
@xi
@uj
duj
Tem-se assim (motiva�c~ao para de�nir produto exterior)
dx1:::dxn 6= @(x1; :::xn)
@(u1; :::un)
du1:::dun ??????!!!!!
Sugest~ao do Chef: de�na um produto exterior ou cunha (wedge, Grassmann 1844) de
dois diferenciais da^ db com a regra anticomutativa da^ db = � db^ da (da^ da � 0): Assim
tem-se
dx ^ dy = @(x; y)
@(u; v)
du ^ dv
segue
dx1 ^ ::: ^ dxk = @(x1; :::xk)
@(u1; :::uk)
du1 ^ ::: ^ duk
O produto de Grassmann �e formalmanete de�nido como o produto tensorial anti-
simetrizado de dois vetores dados a e b gerando o \bivetor"
a ^ b = a
 b� b
 a
6
Exemplo em R3 : a = (a1; a2; a3) ; b = (b1; b2; b3)
a
 b =
0BBB@
a1
a2
a3
1CCCA� b1 b2 b3 � =
0BBB@
a1b1 a1b2 a1b3
a2b1 a2b2 a2b3
a3b1 a3b2 a3b3
1CCCA
(e b
 a ai ! bi), resultando em
a ^ b =
0BBB@
0 a1b2 � b1a2 a1b3 � b1a3
a2b1 � b2a1 0 a2b3 � b2a3
a3b1 � b3a1 a3b2 � b3a2 0
1CCCA
=
0BBB@
0 (a� b)3 � (a� b)2
� (a� b)3 0 (a� b)1
(a� b)2 � (a� b)1 0
1CCCA
Q1 =
0BBB@
0 0 0
0 0 1
0 �1 0
1CCCA ; Q2 =
0BBB@
0 0 �1
0 0 0
1 0 0
1CCCA Q3 =
0BBB@
0 1 0
�1 0 0
0 0 0
1CCCA
logo (e apenas em 3 dimens~oes)
a ^ b =(a� b) �Q
De�nem-se as k�formas em Rn x = (x1; :::xn) como !k (k � n)
!k(x) =
X
K
AK(x)dK
K = (l1; :::lk) l1 < ::: < lk e dK = dxl1 ^ ::: ^ dxlk
Exemplo: uma 2�forma em R3 : x = (x; y; z)
!2(x) = Adx ^ dy +Bdx ^ dz + Cdy ^ dz + Edy ^ dx+ Fdz ^ dx+Gdz ^ dx
= (A� E)dx ^ dy+ (B � F )dx ^ dz + (C �G)dy ^ dz
= Hdx ^ dy + Idx ^ dz + Jdy ^ dz
7
Derivada Exterior
Dada uma k�forma !k(x) de�ne-se como a derivada exterior a (k+1)�forma d!k(x)
!k(x) =
X
K
AK(x)dK d!k(x) =
X
K
dAK(x) ^ dK
sendo K = f(i1; :::ik); i1 < ::: < ikg e dK = fdxi1 ^ ::: ^ dxik ; i1 < ::: < ikg. Ambas formas
s~ao somas de mono^mios (valor de K �xo). A derivada externa �e linear: d(�!k(x) + ��k(x)) =
�d!k(x)+�d�k(x), sendo � e � escalares. Portanto; nas demonstra�c~oes �e su�ciente operar com
mono^mios. Dadas duas formas !p e !q;veri�que:
d(!p ^ !q) = d!p ^ !q + (1)p!p ^ d!q
(considere apenas mono^mios e considere os casos p; q < 2: Pode generalizar?)
Em R : x = x
0�forma: !0(x) = A(x)
d!0(x) = dAd!0(x)(x) =
dA(x)
dx
dx
dd!0(x) = d
dA(x)
dx
^ dx = d
2A(x)
dx2
dx ^ dx � 0
1�forma: !1(x) = B(x)dx
d!1(x) = dB(x) ^ dx = dB(x)
dx
dx ^ dx � 0
Em R2 : x = (x; y)
8
0�forma: !0(x) = A(x)
d!0(x) = dA(x) =
@A
@x
dx+
@A
@y
dy =rA � dx
dd!0(x) = d
@A
@x
^ dx+ d@A
@y
^ dy
veri�que
dd!0(x) =
�
@2A
@x2
dx+
@2A
@y@x
dy
�
^ dx+
�
@2A
@x@y
dx+
@2A
@y@y
dy
�
^ dy = 0
1�forma: !1(x) = P (x)dx+Q(x)dy
d!1(x) = dP (x) ^ dx+ dQ(x) ^ dy
veri�que
d!1(x) =
�
@Q
@x
� @P
@y
�
dx ^ dy
2�forma: !2(x) = C(x)dx ^ dy
d!2(x) = 0
Em R3 : mudan�ca de nomenclatura: r = (x1; x2; x3), @A=@xj = @jA
0�forma: !0(x) = A(x)
9
d!0(x) = dA(x) =
X
j
@jAdxj =rA � dr
dd!0(x) =
X
j
d(@jA) ^ dxj =
X
ij
@i@jAdxidxj = 0 (veri�que)
1�forma: !1(x) = A1(x)dx1 + A2(x)dx2 +A3(x)dx3 = A � dr
dS =(dx2 ^ dx3; dx3 ^ dx1; dx1 ^ dx2)
d!1(x) =
X
i
dAi ^ dxi
= r�A � dS (veri�que)
dd!1(x) = 0 (veri�que)
2�forma: !2(x) = R1(x)dx2 ^ dx3 +R2(x)dx3 ^ dx1 +R3(x)dx1 ^ dx2 = R � dS
d!2(x) = r �R(x)dV
dd!2(x) = 0
As identidades r�r� � 0 � r �r�A podem ser compactadas respectivamente no
famoso Lema de Poincar�e:
Pk = d(d!k) = 0 k = 0; 1
e os Teoremas integrais podem ser compactados respectivamente no Teorema de Stokes
generalizado: dada uma uma forma diferencial !k numa variedade Mk+1 com fron-
teira @Mk; tem-se que \m�edia " da forma diferencial na fronteira �e igual a \m�edia
" da derivada externa da forma diferencial no interior da fronteira.
10
Sk =
Z
M
d!k =
Z
@M
!k k = 0; 1; 2
k = 1! teorema fundamental do c�alculo ou de Stokes(0! 1) = S1; k = 2! teorema do
rotacinal ou de Stokes(1! 2) = S2 e k = 3 ! teorema diverge^ncia ou de Stokes(2! 3) = S3
sendo M uma variedade (k + 1)�dimensional, compacta e orientada (volume ou superf��cie
por exemplo, k < n) com fronteira @M uma variedade k�dimensional, tamb�em compacta e
orientada (superf��cie ou curva fechada).
Para Rn;o Lema de Poincar�e e o Teorema de Stokes s~ao, respectivamente
Lema de Poincar�e e Teorema de Stokes em Rn
Pk = d(d!k) = 0 k = 0; :::; n� 2
Sk =
Z
M
d!k =
Z
@M
!k k = 0; :::; n� 1
Explicite todas as identidades not�aveis e os teoremas integrais para n = 4.
11
Refere^ncias
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10- L. Auslander e R. E. MacKenzie; Introduction to Di�erentiable Manifolds, Dover 1977.
11- M. L. Boas; Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3 ed., John Wiley & Sons Inc.
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13- L. Brand; Vector and Tensor Analysis, John Wiley & Sons Inc. 1953.
14- L. Brand; Vector Analysis, Dover 2006.
15- L. Brand; Advanced Calculus, Dover 2006.
16- W. Burke; Applied Di�erential Geometry, Cambridge University Press 1987.
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18- D. G. B. Edelen; Applied Exterior Calculus, Dover 2005.
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34- L. A. Santal�o; Vectores y Tensores con sus Aplicaciones, 6 ed., EUDEBA, Buenos Aires
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35- D. H. Sattinger e O.L. Weaver; Lie Groups and Algebras with Applications to Physics,
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37- M. R. Spiegel; Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis, Schaum Publising
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13