59307716 Jackson J D Classical Eletrodynamics 02 Em Portugues

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a exigência deas ondas serem emergentes no infinito faz com queA,"' = O na Eq.(16.37). Assim, 
escolhemos fikr) = gdkr) = Irpl(kr) na Eq.(16.46) como a representaçáo de E e de B fora das 
fontes. Em seguida, consideramos a representação de onda esférica (16.22) para a funçiío de 
Green iia Eq.(16.87) e admitimos que o ponto x está fora de urna superfície esférica que envolve 
completamente as fontes. Entáo, nas integrações d a Eq.(16.87), r, = r ' , r, = r. A projeção da 
onda esférica, necessária para a Eq.(16.47), é 
onde os rnoinentos de rnultipolo sáo 
Mediante esta projeçáo, vemos quecl,,il, />I) e ndl , m) são dados em termos dos integrandos na 
Eq.(16.87) por 
O momento e,,,, aparece tendo a mesma Iòrrna que O momento de rnultipolo eletrostáti~oq~,,~, 
Eq.(4.3). O ~nomcntoQ'~,,, é um rnoinento de rnultipolo elétrico indiizido devido à inagnetizac;ão. 
Em geral, é nienor que o momento normal Q,,,, pelo mcnos pelo fator kr . Pura o cocficienttt de 
niultipolo magnéticoa,,,(l, m), a aproximação correspondente de grandes comprimentos de onda 
é 
As expressões na Eq.(16.89) dáo as intensidades dos diversos campos de rnultipolo na 
regi50 externa às fontes, em termos das integrais sobre a s densidades J e A d a s fontes. Estas 
expressões podem ser transformadas em relações maisúteis, mediante as seguintes identiclades. 
Seja A(x) urn campo vetorial bem comportado. Entáo, 
onde os momentos de miiltipolo magnético são 
Estas identidades são conseqüências da definiçiio (16.25) de L e de identidades vetoriais 
simples. Com A =A na primeira equação e A = J na segunda, a integral para adl, rn) na Eq. 
(16.89) fica 
Em contraste com os momentos de multipolo elétrico Q,,, e Q',,,, para um sistema com 
magnetização intrínseca os momentos magnéticos M1, e MrI,, são, em geral, da mesma ordem de 
grandeza. 
No limite dos grandes comprimentos de onda, vemos claramente que os campos de 
multipolo elétricos estão relacionados com a densidade de carga elétricap, enquanto os campos 
de multipolo magnético são determinados pelas densidades de momento magnético, (r x Jjlk e 
A. 
aE(l , m) = -- 1 i l a 4"k3 I j l ( k r ) ~ [ v . (rx&)+- v 2 ( r . J) ---- (rzp)] d3x Jio ck2 k r a r 
onde tisarnos a Eq.(16.82) para exprimir V . J em termos de p. A integraçáo por partes no 
segundo termo substitui V2 por -k" enquanto que uma integração radial por partes no terceiro 
termo transforma a derivada radial numa função esférica de Bessel. O resultado para o coefi- 
ciente tie mirltipolo el6tric.o é 
16.6 ~ad iação de multipolo em sistemas atômicos e nucleares 
.4 
Embora uma discussão completa exija um tratamento quântico apropriado dos estados 
envolvidos, é possível apresentar, com argumentos simples. os traços essenciais da radiacao de 
ni~iltipolo nos átomos e nos núcleos.§ Da Eq.06.78) e dos coeficientes de multipolo (36.93) e 
(16.95), a potência total irradiada por um multipolo de ordem (1, t71) é 
A manipulação anlíloga com a segunda equação em (16.89) leva ao coclficierzte de multipolo 
ttlagtiético, 
Em termos quânticos, estamos interessados na probabilidade de transiçáo (inverso da msia- 
vida), definida como a potência dividida pela energia de um fóton: 
Estes resultados sáo expressões exatas, válidas para freqüências arbitrárias e dimensões da 
fonte também arbitrárias. 
Em muitas aplicações da física atômica e nuclear, a s dimensões da fonte sáo muito 
pequenas em comparaçáo com um comprimento de onda (krma, << 1). Então, os coeficientes de 
multipolo podem ser consideravelmente simplificados. Podemos usar o limite (16.12) para 
pequenos argumentos das funções esféricas de Bessel. Guardando somente as potências mais 
baixas em kr nos termos que envolvem p ou J e d , encontramos o coeficiente aproximado do 
multipolo elétrico, 
PVerBlart e Wcisskopf, págs. 597-599, para as definiçóes quânticas dos momentos de multipolo. Observe os fatores de 2 
que estabelecem uma diferença entre os momentos que definirnos e os que lá são definidos, em virtude dasequac;óesr7.1) e 
(3.2) que estão na pág. 590 da obra, referentes as densidades das fontes, e que sáo diferentes das nossas, Eq. (16.80). Ver o 
Problema 9.1 sobre a relaçfio entre as formas fatorizadas na Eq. (16.80) e as fontes clássicas p(x, r ) , etc. 
Uma vez que estamos preocupados apenas com estimativas de ordem de grandeza, vamos 
f z = r o seguinte modelo esquemático da fonte. A densidade de carga oscilante é, por hipótese, 
Er.t:o, uma estimativa do momento de multipolo elétrico Q l , é 
3 
Qim -- ea' 1+ 3 
independente de 171. Analogamente, para as divergências das magnetizações vamos admitir a 
foma esquemática 
on2c g é o fator g efetivo para os momentos magnéticos das partículas no sistema atômico ou 
nuzlcar, eefilmc é odobro do magneton de Bohr para estas partículas. Assim, uma estimativa da 
~ 0 . ~ 2 dos momentos de rnultipolo magnéticos é 
Da definição Q',, Eq.(16.94), vemos que 
Urr.2 vez que as energias das transições radiativas nos átomos e nos núcleos são sempre muito 
pecctnas em comparação com as energias de repouso das partículas envolvidas, Q',, é sempre 
corzyletamente desprezível em relação a Q,,. 
Para as transições de multipolo elétrico de ordem I , a estimativa (16.100) leva a uma 
probzbilidade de transiçáo (16.98): 
A mcnos de fatores da ordem da unidade, a probabilidade de transição dos multipolos magnéti- 
cos i. de acordo com a Eq.(16.102), 
A presença do fator (ka)?' na probabilidade de transição (16.104) significa que, no limite dos 
grandes comprimentos de onda (kn <c I), a taxa de transição cai rapidamente com o cresci- 
menx da ordem do rnultipolo, sendo a freqüência fixa. Por isso, numa transição atômica ou 
nuclmr, o multipolo mais baixo niio-nulo será, emgeral, oúnicoa ter importância. A razãoentre 
as probabilidades de transição para ordens sucessivas dos multipolos elétrico ou magnético de 
mesma frcqiiéncia é 
onde oniitin~os fatores numiricos de ordem relativa (111). 
Sos sistemas atomicos, são os elétrons as partículas envolvidas nos processos de rxiiação. 
As d!.iiensões da fonte podern ser igiialatlas a n = (a,/Z,J onderro é o raio dc Bohr eZ,,é uma 
cnrm nuclear efetiva (Z,,? 1 para transições dos elétrons de valência;Z,, 5 Z para transições de 
raios SI. Para estimarka, observamos que aenergia da transição atômica é, em geral, da ordem 
de 
de modo que 
Da Eq.(16.106), vemos que os multipolos sucessivos estarão na razão (Z,d137)*. A razão 
entre as taxas de transição de multipolo magnético e as de multipolo elétrico pode ser estimada 
pela Eq.(16.105). O fatorg é da ordem daunidade para elétrons. Com n = n,/Z,, = 137(ti/111cZ,J, 
vemos que a taxa do I-ésimo multipolo magnético é menor, por um fator (Z,,4137)2, que a do 
multipolo elétrico correspondente. Concluímos que, nas transições atõmicas, as de dipolo 
elétrico serão mais intensas, e as de qiiadrupolo elétrico e de dipolo magnético serão mais fracas 
por um fator (Z,,4137)2. Somente nas transições de raios X nos elementos mais pesados haverá 
possibilidade de con~petição entre outros multipolos que não os elétricos de ordem mais baixa. 
Voltainos agora a nossa atenção para as transições radiativas nos núcleos atômicos. Em 
virtude de as energias das transições nucleares radiativas variarem fortemente (desde cerca de 
10 keV até vários MeV), os valores de ka cobrem uma ampla faixa. Isto quer dizer que, para 
uma dada ordem de multipolo, as probabilidades de transição (ou as meias-vidas) estarão numa 
faixa de várias potências de 10, de acordo com a energia libertada, com superposições de 
multipolos em ambas as extremidades dos intervalos correspondentes. Apesar disto, as estima- 
tivas redondas das Eqs.(l6.104) e (16.105) sáo úteis para catalogar as transições de multipolos 
nucleares pois, para uma energia libertada fixa, as estimativas para os diferentes multipolossão muito diferentes. 
A Fig. 16.2 mostra um gráfico log-log da estimativa da Eq.(l6.104)para as meias-vidas das 
Fig. 16.2 Meias-vidas estimadas dos estados nucleares excitados contra a emissão de radiação de multi- 
polo, em função da energia do fóton, para 1 = 1, 2, 3 , 4. 
transições de multipolo elétrico, utilizandoe corno a carga do próton eu = 5,6. 10-l3 cm. Este é 
um raio nuclear apropriado a um número de massa A = 100. Vemos que, embora as curvas 
tendam a convergir nas altas energias, as meias-vidas para diferentes niultipolos na mesma 
energia diferem por fatores que sáo, nos casos típicos, da orderii de 10í. Isto quer dizer que os 
irionientos de multipolo reais nas transições individuais podem desviar-se fortemente das 
nossas estimativas grosseiras, sem que se perca a utilidade destas estimativas como guias para 
determinar as ordens de rnultipolo. Experimentalmente,§ o diagrama de energia contra meia- 
vida mostra faixas largas, porém bem definidas, nas vizinhanças das retas que aparecem na Fig. 
16.2. Há urna tendência geral para usar a estimativa (16.104) como um limite inferior do 
momento de inultipolo, enquanto que a Eq.(16.100) dá um limite superior; porém, para algurnas 
transições de quadnipolo elétrico, denominadas "realçadas". as meias-vidas podem ser até 100 
vezes mais curtas que as dadas na Fig. 16.2. 
Podem-se comparar os miiltipolos magnético e elétrico de mesrna ordem pela Eq.(16.105). 
Para núcleons, o fator g efetivo é tipicamente da ordem de 3, em virtude dos seus momentos 
magnéticos nn8n1nlos. Entáo, com urna estimativa das dimensões da fonte a = R = 
1,2A ' I 3 . I O-IJ cm, eticontrarnos 
Os fatores numiricos vão de 4.10-l2 até 0,8.10-"ara 20<A<250. Podemos assim prever 
que, para uma dada ordem de inultipolo, as transições elétricas serão de 25 a 120 vezes mais 
intensas que as transições magnéticas. Para a maior parte dos multipolos, isto é, em geral, 
verdadeiro. Porém, para I = 1, existem circunstâncias especiais nos núcleos (forças intensas, 
atrativas, independentes das cargas) que inibem as transições de dipolo elétrico (pelo menos nas 
energias baixas). Então, a estimativa da Eq.(16.109) não funciona; as transições de dipolo 
magnético são nestes L ~ S O S muito mais comuns, e táo intensas quanto as transiçóes de dipolo 
elétrico. 
Na Seção 16.3, discutimos a paridade e as regras de seleção do momento angular, e ~ 
mencionamos que poderia ocorrer, nas transições entre dois estados quânticos, uma mistura de 
multipolos, como, por exemplo, de multipolos magnéticos I, (I + 2). ... e multipolos elétricos 
(I + I ) , (I + 3), ... No limite dos comprimentos de onda grandes, basta considerar o multipolo de 
ordem mais baixa em cada tipo. As razões (16.105) e (16.106) podem ser combinadas para dar as 
taxas relativas de transição do multipolo elétrico (I + 1) para o multipolo magnético1 (usada mais 
comumente para I = I ) , 
ondeE é a energia do fóton, em MeV. Para as transições energéticas nos elementos pesados, a 
rrniplitrrde do quadrupolo elétrico é da ordem de 5% da amplitude do dipolo magnético. Porém, 
se houver um reforço do momento de quad~upolo efetivo por um fator de 10, como ocorre 
realmente nos núcleos das terras raras e dos elementos transurânicos, a transição do quadrupolo 
elétrico compete favoravelmente com a transição do dipolo magnético. 
Parauma misturade niultipolo magnético (1 + 1) e multipolo elétricol, a raz- ao entre as taxas 
de transiçáo é 
Mesmo em transições energéticas, um multipolo magnético (I + 1) nunca se aproxima competi- 
tivamente de um multipolo elétrico I. 
16.7 Radiação de uma antena linear com alimentação central 
Como ilustração do uso de um desenvolvimento de multipolo para uma fonte cujas dimen- 
sões são comparáveis a um comprimento de onda, vamos considerar a radiação de uma antena 
delgada, linear, com alimentação central, conforme está na Fig. 16.3. Já vimos, no Cap. 9, uma 
- - 
$Ver as Figs. 1 e 2 do artigo de M. Goldhaber e J . Weneser, Annual Review of Nuclear Science, Vol. 5 , J . G. Beckerley 
(ed.), Annual Revieas. Stanford (1955). pág. 1-24. 
Fig. 16.3 Antena linear, com alimentação central. 
solução direta para os campos, no caso em que a distribuição de corrente era senoidd. Isto 
servirá de base de comparaçáo para testar a convergência da expansão de rnultipolo. \-amos 
admitir que a antena esteja no eixo dosz, no intervalo -(d/?) < z 6 (d/2), e tenha uma pzquena 
fenda central, de modo que possa ser convenientemente excitada. A corrente ao longo da antena 
é nula nos pontos terminais, e é uma função par dez. Não vamos, por enquanto, especiticá-Ia 
mais detalhadamente, e escreveremos apenas 
I(z, t) = I(] z 1) e-'"', 
Uma vez que a corrente flui radialmente, (r x J) = O. Além disto, náo há magne?ização 
intrínseca. Por isso, todos os coeficientes de multipolo magnético, a,,(/, nz), seráo nulos. Para 
calcular o coeficiente de multipolo elétrico aE (1, nz), Eq.(16.91), necessitamos de expressões 
para as densidades de carga e de corrente. A densidade de corrente J é uma corrente ~ d i a l , 
confinada no eixo dosz. Em coordenadas esféricas, esta densidade de corrente pode ser escrita, 
para r < (d/2), como 
I(r) J(X) = E , - [ ~ ( C O S o - I) - ~ ( C O S e + i)] 2 r r 2 
onde as funçóes delta determinam que a corrente tenha o fluxo somente para cima (ou para 
baixo) ao longo do eixo dosz. Da equação da continuidade (16.82), verificamos que a dens:dade 
de carga é 
Estas expressões para J e para p podem ser inseridas na Eq.(16.91) para dar 
A integral sobre os ângulos é 
J' d n = ~TS~,~[Y,~(O) - Y,(T)I 
mostrando que ocorrem somente multipolos com tn = O. Este fato é óbvio pela simetria 
cilíndrica da antena. Os polinômios de Legendre são pares (ímpares) em torno de 0 = r12 para1 
par (ímpar). Portanto, os únicos multipolos não-nulos são os que têm I ímpar. Então, a integral 
sobre os ângulos tem o valor-. 
Com uma pequena manipulaçáo, a Eq.(16.115) pode escrever-se 
Para estimar a Eq.(l6.118), devemos especificar a corrente I(z) ao longo da antena. Se não 
hout.esse radiação, a variação senoidal no teriipo, com a freqiiência o, implicaria uma variação 
senoidal no espaço, com o número de onda k = olc. Porérii, conforme se discutiu na Seção 
9.qb) , a emissão de radiaçáo modifica a distribuição de corrente, a menos que a antena seja 
infinitamente delgada. A corrente corretaI(z) s6 pode ser encontrada resolvendo-se um compli- 
cado problema de condições de contorno. Uma vez que o nosso objetivo é comparar o 
desenvolvimento em multipolo com unia forma fechada de solução para urna distribuição 
co~il~eciiia de corrente, fazemos sobre I(z) a mesma hipótese que fizemos na Seção 9.4(a), ou 
seja. que 
onde I é a corrente de pico, e a fase foi escolhida de modo que a corrente se anule nas 
extremidades da antena. Com uma corrente senoidal, a segunda parte do integrando na (16.1 18) 
se anula. A primeira parte é uma diferencial exata. Por isso, obtemos imediatamente, coml(z) 
vindo da Eq.(16.119), 
41 47~(21+1) 
~ ) = ~ [ ~ ] ~ " [ ( ~ ) ~ j ~ ( ~ ) ] , í ímpar 
De vez que queremos verificar a expansl-io em multipolos quando as dimensões da fonte são 
comparáveis a um comprimento de onda, vamos analisar os casos especiais de uma antena de 
meia-onda (kcf = v) e uma antena de onda inteira (kd = 2 ~ ) . Para estes dois valores de kd, o 
coeficiente para 1 = 1 está tabelado, juntamente corn os valores relativos para 1 = 3 e 5. Da 
tabela, é evidente que(u) os coeficientes diminuem rapidamente em m6dulo quando1 cresce, e 
(h) quanto maiores as dimensões da antena, mais importantes são os coeficientes 1 mais 
elevados. Porém, mesmo para a antena de onda inteira é possivelmente adequado manter 
somente1 = 1 e1 = 3 na distribuição angular, e é certamente adequado paraa potência total (que 
envolve os quadrados dos coeficientes).Com apenas os termos de dipolo e de octopolo na distrib;iição angular, vemos que a 
potência irradiada por unidade de ângulo sólido (16.74) é 
Os diversos fatores no quadrado do módulo são 
Com estes fatores angulares, a Eq.(16.121) fica 
onde o fator A é igual a 1 para a antena de meia-onda, e a (n2/4) para a antena de onda inteira. O 
coeficiente de (5 cosZ 0 - I ) na Eq.(16.123) é 0,0463 e 0,304 para a antena de meia-onda e para a 
antena de onda inteira, respectivamente. 
Do Cap. 9, sabe-se que as distribuições angulares exatas (para correntes motrizes senoi- 
dais) são 
cos2 (; cos 8) 
kd= n 
d P - f senZ 8 ' 
COS< (;cor e ) 
sen2 e , kd=2rr 
(a) kd = n ( b ) kd = 27r 
Flg. 16.4 Comparação entre as configurações de radiação exatas (curvas cheias) para antenas de meia- 
onda (kd = r) e de onda inteira (kd = 2n), com alimentação central, e os desenvolvimentos em multipolos, 
com dois termos (curvas tracejadas). Mostra-se também, na configuração de meia-onda, a aproximação de 
dipolo (curva pontilhada). A concordinciaentre a configuração exatae a daaproximação dos dois termosde 
multipolos é excelente, especialmente para kd = n-. 
Uma comparação gráfica das distribuições angulares exata e aproximada aparece na Fig. 16.4. 
As curvas cheias são os resultados exatos, as curvas pontilhadas são os desenvolvimentos em 
multipolos, com dois termos. No caso da meia-onda (Fig. 16.4a), o resultado com apenas o 
dipolo [primeiro termo na Eq.(16.123)] também aparece como curva pontilhada. A expansão em 
multipolo com dois termos é quase indistinguível do resultado exato para kd = rr. Mesmo a 
aproximação de ordem mais baixa não está, neste caso, muito longe da exatidão. Para a antena 
de onda inteira (Fig. 16.46), a aproximação de dipolo é, evidentemente, muito ruim. Porém, a 
expansão em multipolo com dois termos é razoavelmente boa, diferindo em menos de 5% na 
regi50 de radiação apreciável. 
A potência total irradiada é, de acordo com a Eq.(16.79), 
Para determinar os coeficientes a,(l, m) e b,(l, m), utilizamos a ortogonalidade dos harmô- 
nicos esféricos vetoriais X,,. Apenas para termos uma referência, resumimos a seguir a relação 
básica (16.44), além de outras relações úteis: 
Ib( r )~ i~ . , ]* [g[(r)Xi.] da= fT8 8 1 1 . 6 . ~ ~ 1 
Para a antena de meia-onda, os coeficientes na tabela estampada anteriormente mostram que a 
potência irradiadaé maior, por um fator 1,00245, que ado resultado do dipolo, (12Z2/rr2c). Paraa 
antena de onda inteira, a potência é 1,114 vezes maior que a forma do dipolo, (312/c). 
16.8 Desenvolvimento em ondas esféricas de uma onda plana vetorial 
Na discussão do espalhamento ou da absorção de radiação eletromagnética por objetos 
esféricos, ou por sistemas localizados em geral, é útil ter um desenvolvimento de uma onda 
eletromagnética plana em ondas esféricas. 
Para um campo escalar +(x) que satisfaça à equação de onda, a expansão necessária pode 
ser obtida usando-se as propriedades de ortogonalidade da solução esférica básica jl(kr) Yl, 
( O , + ) . uma dedução alternativa utiliza a expansão em onda esférica, Eq.(16.22), da função de 
Green [exp(ikR)/4rrR]. Vamos fazer Ix'l tender param nos dois membros da Eq.(16.22). Então, 
podemos fazer Ix - x'l = r ' - n .x no primeiro membro, onde n é um vetor unitário na direção de 
x'. NO segundo membro, r, = r ' e r, = r. Além disto, podemos usar a forma assintótica 
(16.13) para h{l' (kr'). Então, encontramos 
Nestas relações, fdr) e gdr) são combinações lineares de funções esféricas de Bessel que 
satisfazem à Eq.(16.5). A segunda e a terceira relações podem ser provadas mediante a 
identidade operacional (16.49), a representação 
v,!2-i r x L 
r a r r 
para o operador nabla, e a equação diferencial radial (16.5). 
Para determinar os coeficientes a,(l, m) e b,(l, m), tomamos o produto escalar dos dois 
membros daEq.(16.13 1) porXS,, e integramos sobre os ângulos. Então, a primeira e a segunda 
relações de ortogonalidade na Eq.(16.132) levam a 
eikr' 
- 
e'"' 4,, e-"""= i k p (-i)'"h(kr) YL(B', 4') yIm(g, 4 ) 
Cancelando o fator exp(ikr1)lr' em ambos os membros e tomando o complexo conjugado, temos 
o desenvolvimento de uma onda plana, r?' 
Com a (16.130) para o campo elétrico, a (16.133) fica 
onde k é o vetor de onda com coordenadas esféricas k, O ' , $I'. O teorema da adição (3.62) pode 
ser usado para tornar a equação mais compacta, 
onde os operadores L, são definidos por (16.26), e os resultados das suas operaçóes por (16.28). 
Assim, obtemos 
onde y é oângulo k e x. Com a Eq.(3.57) paraP, cos(y), esta expressão pode também ser escrita 
como 
Se inserirmos o desenvolvimento (16.129) para exdikz), a ortogonalidade de Y,, leva, eviden- 
temente, ao resultado Queremos agora fazer um desenvolvimento equivalente para uma onda plana circular- 
mente polarizada, incidente ao longo do eixo dos z, 
Das Eq~(16.134) e (16.130), é claro que 
Uma vez que uma onda plana é finita em todos os pontos, podemos escrever a sua expansão em 
multipolos (16.46) envolvendo somente as funções radiais regulares jdkr): 
594 
Então, a expansão da onda plana (16.130) em multipolos é 
595 
Para tal onda circularmente polarizada, os valores de m correspondentes a +- I têm a interpreta- 
ção óbvia de , 1 unidade de momento angular por fóton paralelo à direção de propagação. Isto 
já foi estabelecido nos Problemas 7.20 e 7.21. 
16.9 Espalhamento de ondas eletromagnéticas por uma esfera 
Se uma onda plana de radiação eletromagnética incide sobre um obstáculo esférico,' 
conforme o esquema da Fig. 16.5, ela é espalhada de modo que, nos pontos distantes do centro 
difusor, os campos sejam representados por uma onda plana mais ondas esféricas emergentes. 
Poderá haver absorção pelo obstáculo, além de espalhamento. Então, o fluxo total de energia 
para longe do obstáculo será menor que o fluxo total de energia que incide sobre ele, sendo 
absorvida a diferença entre os dois. O nosso objetivo é analisar o exemplo simples do espalha- 
mento por uma esfera de raio n e condutividade infinita; vamos, porém, de início, manter o 
problema em termos mais gerais. 
Onda 
incidente 
Fig. 16.5 Espalhamento de radiação por um objeto localizado. 
Os campos externos à esfera podem ser escritos como uma soma de ondas incidente e 
espalhada, 
onde E,,, e B,,, sáo dados pela Eq.(16.139). Uma vez que os campos espalhados são ondas 
emergentes no infinito, as suas expansões devein ter a forma 
OS coeficicntes a,(/) c pJ/) serão determinados pelas con&ões de contorno sobre a superfície 
dodifusor. A priori, é preciso manter uma soma completa sobret?~ e sobre1 naEq.(l6. 141), mas, 
para a classe restrita de problemas com simetria esférica que estamos analisando, somente 
ocorrém os valores i~ 1 para r u . 
Podem-se deduzir expressks formais para a potência total espalhada e absorvida eni 
termos dos coeficientes 41) e Byl) a partir dos campos espalhado e total sobre a superfície de uma 
esfera de raioa em torno do difusor, conforme as expressões (9.184) e (9.185). Estas expressões 
podem ser escritas I 
Aqui, n é uma normal externa na direção radial, E,,,e B,,, são dados pela Eq.(16.141), enquanto 
E e B são a soma dos campos de onda plana (16.139). e dos campos espalhados (16.141). Nestas 
equações, entram somente as partes transversais dos campos. Já sabemos que XI,, é transversal. 
O outro tipo de termo nas Eqs.(l6.139) e (16.141) é 
onde f, é qualquer função esférica de Bessel de ordem 1 que satisfaz à (16.5). Quando os 
desenvolvimentos dos campos em multipolos são inseridos nas Eqs.(16.142) e (16.1431, aparece 
uma soma dupla sobre 1 e 1' de diversos produtos escalares da forma X& .X,,,,, XI*, .(nxXlrmt) e 
(n xX],) .(nxXItmt). A integraçiio sobre os ângulos reduz a soma dupla a uma soma simples, em 
virtude das relações de ortogonalidade (16.132). Cadatermo da soma envolve produtos de 
funções esféricas de Bessel e derivadas de funções esféricas de Bessel. O uso dos wronskianos 
(16.15) permite a eliminação de todas as funções de Bessel e leva as seguintes expressões para as 
seçóes totais de espalhamento e de absorção (a potência espalhada ou absorvida dividida pelo 
fluxo incidente, c/4n): 
A seçáo total, ou seção de extinção, é a soma de a,,, e cr,,,. 
Não é surpresa que estas expressões das seções dos processos sejam bastante semelhantes aos 
desenvolvimentos ondulatórios parciais do espalhamento quântico.9 
A seçáo diferencial de espalhamento é obtida calculando-se a potência irradiada num dado 
elemento d a de ângulo sólido ou, de forma equivalente, tomando-se o quadrado absoluto da 
amplitude de espalhamento normalizada f, Eq.(9.188). Usando o resultado do Problema 
16,l ](a), concluímos que a seção de espalhamento para a polarização incidente (E, +1 ie) é 
A radiação espalhada é, em geral, elipticamcntc polarizada. Somente quando adl) = P-.[l) para 
todos os 1, ela seria circularmente polarizada. Isto quer dizer que, se a radiação incidente for 
linearmente polarizada, a radiação espalhada será elipticamente polarizada; se a radiação 
incidente não for polarizada, a radiaçiio espalhada terá uma polarização parcial, dependendo do 
ângulo de observação. No Cap. 9 (ver as Figs. 9.6 e 9.7), descrevemos estes efeitos no limite dos 
grandes comprimentos de onda. 
Os coeficientes adl) e PJl ) na Eq.(16.14 1) sáo determinados pelas condições de contorno 
dos campos em r = a. Normalmente, isto envolveria a solução das equações de Maxwell no 
interior da esfera e o acoplamento apropriado das soluções através der = a . Porém, se o difusor 
for uma esfera de raio a, cujas propriedades eletromagnéticas possam ser descritas por uma 
rd 
80s nossos resultados não sáo completamente gerais. Se se incluísse a soma sobre rn na Eq.(16.141), a seção de 
espalhamcnto teria uma soma sobrei e m com os quadrados absoluios de 41, m) e Hl, fn). A seçáo total ficariacomo está, 
com a(/) -+ 41, rn = +. 112) e p(1) -P B(I. rn = -C 1/2), dependendo do estado de polan7ação da onda incidente (16.130). A 
seçáo de absorção pode ser reduzida fazendo-se a difercric;a entre u, e o,,, 
impedância superficialZ, (para isto, a variação radial dos campos na parte interna da superficie 
deve ser rápida em comparação com o raio), então as condições de contorno assumem a forma 
relativamente simples 
onde E e B são estimados na parte imediatamente externa da superfície esférica. Das Eqs. 
(16.139), (16.141) e (16.144), temos 
t;, 
ondex = ka é o argumentox de todas as funções esféricas de Bessel. A condição de contorno 
(16.148) exige que, para cada valor de I e para cada termo Xl, e n x Xl,, separadamente, os 
coeficientes de E,,, e de n x B sejam proporcionais, de acordo com i 
i(%)!. O I X ( j , + y 
4-r x d x 
(16.149) 
i 
d 
v+ 
Mediante a relação 2j1 = h,(" + hi2), os coeficientes adl) e pdl) podem escrever-se 
com Pdl) tendo a mesma forma, porém comcZ,/4~ substituído pelo seu inverso. Notamos que, 
com a condição de contorno da impedância superficial, os coeficientes são os mesmos para 
ambos os estados de polarização circular. 
Para uma dada impedânciaz,, todos os coeficientes de multipolo são determinados, e , pelo 
menos em princípio, o espalhamento é conhecido. Tudo o que resta é colocar os números. Antes 
de passarmos para um limite determinado, faremos algumas observaçóes. Em primeiro lugar, se 
2, for um imaginário puro (ausência de dissipação) ou seZ, = O ou 2, -+ @, então [a& -t 11 e 
[PJl) + 11 são números com módulo unitário. Istoque dizer que adi) e Pd1) podem ser escritos 
como 
onde os ângulos de fase 61 e 6'1 são denominados os deslocamentos de fase do espalhamento. 
Especificamente, têm-se 
quando 2, = O (esfera perfeitamente condutora) e 61 t, 6'1 para Z , t m. 
A segunda observação é a de que a Eq,(l6.150) pode ser simplificada nos limites de baixa e 
alta freqüência. Para ka <<i, as funções esféricas de Bessel podem ser aproximadas de xo rdo 
com a Eq.(16.12). Obtemos, então, a aproximação dos grandes comprimentos de o n h 
e a mesma forma para &(i), com ( ~ 2 ~ 1 4 ~ ) substituído pelo seu inverso. Para ka >> i, usamos a 
Eq.(16.13) e obtemos 
com Pdl) = -adl) mediante a substituição usual. No limite dos grandes comprimentos dc onda, 
os coeficientes de espalhamento a,(/) e pdl) ficam rapidamente muito pequenos q~ando 1 
cresce, independentemente do valor de 2,. Usualmente, para cada série de multipolos. basta 
guardar o termo de ordem mais baixa (1 = 1). No limite oposto, ka >> 1, a Eq.(16.154) nostra 
que, parai << ka, os coeficientes sucessivos têm módulos comparáveis, mas fases que futuam 
amplamente. Para1 da ordem de irna, = ka, há uma região de transição e , para i >> i,,,. vale a 
Eq.(16.153). O uso de um desenvolvimento em multipolos ou em ondas parciais paraum r.úmero 
tão grande de termos é uma questão complicada, exigindo computadores digiuis ou 
esquemas de aproximação como os que foram discutidos na Seção 9.13. 
Vamos particularizar agora a análise para o limite dos grandes comptimentos de o ~ d a (ka 
<< 1) com uma esfera perfeitamente condutora (2, = O) e deixar para os problemas os ex:mplos 
com complexidade ligeiramente maior. Somente os termos em I = 1, na Eq.(16.147, são 
importantes. Da Eq.(16.153), encontramos 
-1 2i 
a.(l) =2 &(I)= -- (ka)' 3 
,Neste limite, a seção de espalhamento é 
~ ' ( k a ) ~ (Xl..I ~ 2 i n x X , . ~ J ' d a 3 
Da tabela apresentada na Seção 16.4, obtemos os quadrados dos módulos 
3 
I I I X X ~ , ~ , ~ ~ = I x ~ , ~ ~ ~ ~ = - (I+COS~ e) 1 6 ~ (16.156) 
Os termos mistos podem ser calculados com facilidade: 
-3 [f i(nxX,,,,)* Xi,,,]=- cos 8 8rr (16.157) 
Assim, no limite de grandes comprimentos de onda, a seção diferencial de espalhame~io é 
independente do estado de polarização da radiação incidente. A distribuição angular da radia- 
ção espalhada aparece na Fig. 16.6, na forma de um diagrama polar equivalente ao da Fig. 3.7. O 
espalhamento é predominantemente para trás. A assimetria acentuada que aparece nãs vizi- 
nhanças de 90° é provocada pelo termo da interferência dipolo elétrico-dipolo magnétko. 
A seção total no limite dos grandes comprimentos de onda é 
Fig. 16.6 Distribuição angular da radiação espalhada poruma esfera perfeitamente condutora no limite dos 
grandes comprimentos de onda (ka << 1). 
No final do Cap. 9, citaram-se diversos livros sobre antenas e também sobre o espalhamento. Nenhum 
deles, no entanto, discute com rigor os desenvolvimentos em multipolos. 
O espalhamento de radiação por uma esfera perfeitamente condutora está tratado resumidamente em 
Morse e Feshbach, págs. 1882-1886, 
Panofsky e Philiips, Seção 12.9. 
Discussões muito mais completas, com propriedades dielétricas e condutoras arbitrárias para a esfera, são 
as de 
Born e Wolf, Seção 13.5, 
Stratton, Seção 9.25. 
A informação matemática sobre as funções de Bessel, etc. encontra-se em 
Morse e Feshbach, págs. 1573-6. 
Outras referências sobre o espalhamento já foram citadas no final da Seção 16.9. 
PROBLEMAS 
16.1 Três cargas estão localizadas ao longo do eixo dosz. Uma carga +2q está na origem, e duas outras -q 
estão em z = t a cos d. Determinar os momentos de multipolo não-nulos, de ordem mais baixa, a 
distribuição angular da radiação e a potência total irradiada. Admitir que ka é muito menor que 1. 
16.2 Uma superfície quase esférica, definida pela equaçgo 
Este é um resultado bastante conhecido, obtido pela primeira vez por Mie e Debye (1908-1909), 
e já discutido de u m ponto de vista diferente na Seção 9 . q ~ ) . 
O problema geral d o espalhamento de ondas eletromagnéticas por esferas com proprieda- 
de s elétricas e magnéticas arbitrárias, quando ka não é pequeno, é complicado.Foi atacado de 
maneira sistemática pela primeira vez por Mie e Debye, em 1908-1909. Até hoje, há centenas de 
artigos publicados sobre o assunto. Os detalhes d e muitos aspectos deste importante problema 
podem ser encontrados nos livros d e Kerker, King e WU, Bol.r,rnan, Senior e Uslenghi, além de 
outras fontes citadas no final do capítulo. O livro de Bowman, Senior e Uslenghi discute o 
espalhamento por out ros corpos de formas regulares, além dos esféricos. 
Para difusores diferentes de esferas, cilindros, etc., há muito pouco de teona formal. 
Recentemente, houve um progresso interessante no desenvolvimento d e u m esquema d e 
aproximação por Purcell e Pennypacker, no qual s e substitui um difusor com forma e proprie- 
dades eletromagnéticas arbitrárias por uma rede grosseira de difusores dipolares elementares, 
cujas propriedades reproduzem as do difusor. Procura-se uma solução coerente para os campos 
no interior e no exterior d o "difusor" mediante métodos numéricos com computadores digitais 
rápidos. Este trabalho está citado nas sugestões para leitura no final d o Cap. 9. 
16.10 Problemas de contorno com campos de multipolos 
O espalhamento d a radiaçáo por uma esfera condutora é um exemplo de um problema de 
contorno com campos de multipolo. Outros exemplos sã8 a s oscilações livres de uma esfera 
condurora, a cavidade ressonante esférica e o espalhamento por uma esfera dielétrica. A 
possibilidadede perdas resistivas nos condutores aduz novos problemas, como o s dos valores(! 
das cavidades e d a s seções de absorçáo, que j á mencionamos antes. As técnicas gerais para 
enfrentar estes problemas são a s mesmas que já encontramos na Seção 16.9 e no Cap. 8. O 
instrumental matemático necessário foi desenvolvido neste capítulo. Deixamos para o s pro- 
blemas no final do capítulo a discussão destes exemplos. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E SUGESTÓES PARA LEITURA 
A teona dos harmônicos esféricos vetoriais e dos campos vetoriais de multipolo está discutida com 
profundidade em 
Blatt e Weisskopf, Apêndice B, 
hlorse e Feshbach, Seção 13.3. 
As aplicações à radiação de multipolo nuclear estão dadas em 
Blatt e Weisskopf. Cap. XII, 
Siegbahn, Cap. X111, p0r.S. A. Moszkowski e Cap. XVJ (ll) , por M. Goldhaber e A. W. Sunyar. 
tem iio seu interior uma distribuição volumar de carga uniforme e totalizandoQ. O pequeno parárnetro 
/3 varia harmonicamente com o tempo, com afrequência o. istocorresponde a ondas superficiais numa 
esfera. Calcular os momentos de multipolo não-nulos, a distribuição angular de radiação e a poténcia 
total irradiada, guardando somente os termos de ordem mais baixa em /3, e fazendo a aproximação dos 
grandes comprimentos de onda. 
16.3 Substitui-se a densidade uniforme de carga do Problema 16.2 por uma densidade uniforme de magneti- 
zaçáo intrínseca, paralela ao eixo dos z e tendo um momento magnético total M . Com as mesmas 
aproximações que antes, calcular a radiação dos momentos de multipolo não-nulos, a distnbuiçáo 
angular de radiação e a potência total irradiada. 
16.4 Umaantenaé constituída por um aro metálico circular, de raioa. localizado no planoxy, com o centro 
na origem. A corrente no condutor é 
. I = 1, cos o t = Re Ioe-'"' 
(a) Calcularas expressões de E e de B na.zona de radiação sem aproximações quanto i grandeza de ka. 
Determinar a potência irradiada por unidade de ângulo sólido. 
(b) Qual é o momento de multipolo de ordem mais baixa e não-nulo (Q,,, ou M,,,)? Estimar este 
momento no limite ka << 1. 
16.5 Dois dipolos elétricos fixos, de momento de dipolop, estão localizados num plano, separados pela 
distância 2a, tendo os eixos paralelos entre si e perpendiculares ao plano, mas os momentos em 
direções opostas. Os dipolos giram, com velocidade angular constante w , em torno de um eixo 
paralelo, localizado a meia distSncia entre eles (o << cla). 
(a) Calcular as componentes do momento de quadrupolo. 
(b) Mostrar que a distribuição angular de radiaçáo é proporcional a 
e que a potência total irradiada é 
16.6 No limite dos grandes comprimentos de onda, calcular todos os momentos de multipolo elétrico 
não-nulos para a distribuição de carga 
e determinar a distribuição angular e a potência total irradiada para cada multipolo. Esta distribuição 
de carga é apropriada para uma transição entre os estados n = 3 , l = 2 ( 3 4 e n = 2,l = 1 (2p) no átomo 
de hidrogênio. 
16.7 Os campos que representam uma onda magnética transversal se propagando num guia de onda 
cilíndrico, de raio R , são 
onde rn é o índice que determina a dependência angular, /3 é a constante de propagação, = kZ - P2 
(k = olc), onde y é tal que J,(y R) = O. Calcular a razão entre a componente z do momento angular 
eletromagnético e a energia do campo. Pode ser vantqjoso efetuar algumas integraçóes por partes e 
usar a equação diferencial satisfeita por E, para simplificar os cálculos. 
16.8 Um orifício esférico de raioa num meio condutor pode funcionar como uma cavidade eletromagnética 
ressonante. 
(a) Admitindo uma condutividade infinita, determinar as equaçóes transcendentes para as frequên- 
cias caractensticas o,, da cavidade, para os modos TE e TM. 
(b) Calcular os valores numéricos para o comprimento de onda A,, em unidades do raio a , para os 
quatro modos mais baixos das ondas TE e TM. 
(C) Calcular explicitamente os campos elétrico e magnético no interior da cavidade para o modo TE 
mais baixo e para o modo TM mais baixo. 
16.9 A cavidade ressonante esférica do Problema 16.8 tem paredes não-permeáveis de condutividade 
grande, porém finita. Fazendo a aproximação de a profundidade de penetração 6 ser pequena em 
relação ao raio a da cavidade, mostrar que o Q da cavidade, definido pela Eq.(8.86), é dado por 
Q=! 
6 ' para todos os modos TE 
e por 
I ( l t l ) ) , para todos os modos TM 
onde 
para os modos TM. 
16.10 Discutir os modos normais de oscilação de uma esfera maciça perfeitamente condutora, com o raioa, 
no vácuo. (Este problema foi resolvido por J. J. Thomson, na década de 1880.) 
(a) Determinar as equações características para as autofrequências dos modos de oscilação TE e 
TM. Mostrar que as raízes para o têm sempre uma parte imaginária negativa, admitindo uma 
dependência com o tempo da forma exp(-i&). 
(b) Calcular as autofrequências para I = 1 e I,.: 2 dos modos TE e TM. Tabelar o comprimento de 
onda (definido em termos da parte real da frequencia) em unidades do raio a e o tempo de decaimento 
(definido como o intervalo de tempo necessário para a energia cair a I/e do seu valor inicial) em 
unidades do tempo de trânsito (alc) para cada um dos modos. 
16.11 (a) Mostrar que, paraa ondaespalhada(l6.141), aampitude de e~~aihamentonormaizada (9.188) 6 
onde o vetor polarização da onda incidente é (r, -c i r z ) / S 
(b) Deduzir uma expressão para a seção total crt a partir do teorema óptico (9.189) e da expressão 
mencionada para f. 
16.12 Uma onda plana circularmente polarizada, de radiação com a freqüência o = ck, incide sobre uma 
esfera condutora, não-permeável, de raio a. 
(a) Admitindo que a condutividade da esfera seja infinita, escrever expressões explícitas para 0s 
campo: elétrico e magnético nas vizinhanças da esfera e na sua superfície, no limite dos grandes 
compnmentos de onda, ka << 1. 
(b) Usando as técnicas do Cap. 8, calcular a potência da onda incidente absorvida pela esfera, 
admitindo que a condutividade seja grande, porém finita. Exprimir o resultado como uma seção de 
absorção em termos do número de onda k , do raio a e da profundidade dè penetração S. Admitir ka 
<< 1. 
16.13 Discutir O espalhamento de uma onda plana de radiação eletromagnética por uma esfera dielétnca, 
não-permeável, de raio a e constante dielétrica é. 
(a) Determinar os coeficientes de multipolo na onda espalhada mediante O cálculo d ~ s campos no 
interiorda esfera e o acoplamento destes campos A onda incidente mais a onda espalhada no exterior 
da esfera. Definir os deslocamentos de fase apropriados ao problema. 
(b) Considerar0 limite dos grandes comprimentos de onda (ka << I), e determinar explicitamente as 
seçóes diferencial e total de espaihamento. Comparar os resultados com os da Seção 9.6(b). 
(C) No limite c -+ m, comparar os resultados com os de uma esfera perfeitamente condutora. 
16.14 Analisar o espalhamento de uma onda plana por uma esfera não-permeável, de raioa e boa, mas não 
perfeita, condutora. Admitir que ka << 1 e que a profundidade de penetração S é menor que a . 
(a) Mostrar, com a análise da Seção 8.1, que 
(b) No limite dos grandes comprimentos de onda, mostrar que, para1 = 1, os coeficientes adl) e Pdl) 
da Eq.(16.149) são 
(c) Escrever explicitamente a seção diferencial de espalhamento, correta até aprimeira ordem em 
Sla e na ordem mais baixa em ka. 
(d) Estimar, usando a Eq.(16.145), a seção de absorção. Mostrar que, na primeira ordem em 6, ela 
vale 
Como será esta seção se 6 = a ? 
Amortecimento Radiativo, 
Campos Próprios de uma 
Partícula, Espalhamento e 
Absorção de Radiaçao por 
um Sistema Ligado 
17.1 Considerações iniciais 
Nos capítulos anteriores. os problemas da eletrodinâmica foram divididos em duas classes; 
numa delas, as fontes de carga e de corrente eram especificadas e os campos eletromagnéticos 
resultantes eram então calculados: na outra, especificavam-se os campos eletromagnéticos 
externos e calculavam-se os movimentos das partículas carregadas ou das correntes. Exemplos 
do primeiro tipo de problemas são os guias de onda, as cavidades e a radiaçáo de fontes 
determinadas de multipolos, enquanto o segundo tipo é exemplificado pelo movimento de 
cargas em campos elétrico e magnitico e pelos fenomenos de perda de energia. Ocasional- 
mente. como na discussáo da radiação de frcnamento, combinaram-se os dois problemas. O 
tratamerito, no entanto, foi gr:idunl -em primeiro lugar, determinava-se o movimento de uma 
pnr!ícula num campo externo, desprezando-se o emissao de r;idiação; depois, calculava-se a 
radiação a partir da trajetória, como se cstri fosse umii drida distribuição de fontes. 
E evidente que esta maneira de abord~ir os problemas da eletrodinâmica só pode ter 
validade aproximada. O movimento de partícul:is carregadas em campos externos envolve 
nccessari:in~ente a emissáode radiaçrio seriipre que as cargas sáoacelerndas. A radiação emitida 
transporta energia, momento linear e niorncnto angular, e por issodeve influenciar o movin~ento 
subseqüente das partículas carregadas. Portanto, o iiiovin~ento das fontes de radiação é deter- 
minado. em parte, pela fornin de ernissáo da rndiaçáo. Um tratamento correto deve incluir a 
reação da radiiiçáo sobre o movimento das fontcs. 
Por que entáo levamos tanto tempo para, na nossa análise da eletrodinâmica, encarar este 
fato:' Por que muitas das respostas, cnlculadns desta forma aparentemente errônea, concordam 
trio bem com a experiência? Uma resposta parcial da primeira pergunta está contida na segunda. 
E.ristem muitos problemas na eletrodinâmica que podem ser incluídos, com erro desprezív.el, 
numa das dii:is categorias mencionadas no primeiro parágrafo. Por isso, vale a pena discuti-los 
sem as complicaçóes adicionais e desnecessárias decorrentes da inclusáo dos efeitos da reação. 
A pai-te qlJe fiiltii para responder à primeira questão 6 a de que riáo existe unl tratamento 
completamente satisfritório dos efeitos reativos da r2idi;içáo. As dificuldades apresentadas por 
este problema a1canç:irn um dos aspectos niais fundamentais da física, o da natureza de uma 
partíciila elemcntrir. Embora se possam forniular soluc;ões parciais, tratáveis em Areas limita- 
das, o problema básico permanece insolúvel. Podia-se esperar que a tr;insiçáo da abordagem 
clássica para a quâritica removesse as dificuldades. Embora ainda existam esperanças de que 
isto finalmente ocorra, as discussões quânticasatuais estão assoberbadas por dificuldades ainda 
mais complicadas que as clássicas. Um dos triunfos dos anos mais recentes (- 1948-1950) foi o 
de que os conceitos da covariância de Lorentz e da invariância de calibre puderam ser explora- 
dos com suficiente habilidade de forma a evitar estas dificuldades da eletrodinâmica quântica, 
possibilitando assim o cálculo de efeitos radiativos niuito pequenos, com precisão muito alta e 
em completa concordância com os resultados e.\perimentais. De um ponto de vista fundamen- 
tal, porém, as dificuldades ainda subsistem. Neste capítulo. consideraremos somente os aspec- 
tos clássicos, mas indicaremos, de passagem. algumas analogias quânticas. 
A pergunta sobre o motivo de tantos problemas poderem ser, aparentemente, tratados com 
o desprezo dos efeitos radiativos tem a resposta óbvia de que os efeitos devem ter importância 
pequeníssima. Para ver, qualitativamente, quando isto ocorre, e obter estimativas semiquanti- 
tativas dos intervalos de parâmetros para os quais os efeitos radiativos são ou náo são importan- 
tes, precisamos de um critério simples. Um deles pode ser obtido através da análise da energia. 
Se, num campo de forças externo, uma partícula de carga e é acelerada até uma grandeza de 
ordem típica u , durante um período de tempo T. a energia ii-r5diada é da ordem de 
conforme a fórmula de Larmor, Eq. (14.22). Se esta energia, perdida como radiação. for 
desprezível em comparaçáo com a energia E, relevante para o problcrna. podemos esperar que 
os efeitos radiativos sejam desprezíveis. Mas, seE,,,,$E,. os efeitos da reação de i-adiação serão 
apreciáveis. O critério para o ponto em que os efeitos radiativos principiam a ter importância 
pode, assim, ser expresso por 
A especificaçio da energia relevante E. exige um certo cuidado. Vamos distinguir duas 
situações aparentemente diferentes, uma delas em que a partícula está inicialmente em repouso 
e é atuada por uma força, aplicada somente durante urn intervalo de tempo finito T, e outra na 
qual a partícula sofre uma aceleração contínua. por exemplo, o movimento quase-periódico a 
unia freqüência característica a,. Para a partícula inicialmente em repouso, uma energia típica 
é, evidentemente, a sua energia cinktica depois da aceleração. Assim. 
O critério (17.2) fica entáo 
2 e2a2T i n a 2 ~ 2 
--- 
3 c' 
É conveniente definir o tcn~po crir-uctcrístico nesta relação como 
Assim, a conclusão é a de que, para intervalos de tempo T longos em relaç5o a 7, OS efeitos 
radiativos náo são importantes. Somente quando a força é aplicada de maneira tão súbita e 
durante um intervalo de tempo táo curto que T-7. OS efeitos rridiativos modificar50 apreciavel- 
mente o movimento. É útil observar que o tempo caracten'stico mais longo para as partículas 
carregadas é o dos elétrons, e que o seu valoré ;=6,26. 10-"S. Este intervalo de tempo é da 
ordem d e grandeza do necessário para a luz percorrer a distância de l O - I 3 c n ~ . Somente nos 
fenómenos que envolvem estas distâncias ou estes intervalos de tempo, podemos esperar que os 
efeitos radiativos tenham importância clccisivo. 
Se o movimento da partícula carregada é quase-periódico, com uma amplitude típica d e 
uma freqüência característica w,, a energia mecânica do movimento pode ser identificada com 
E,, e é d a ordem de 
As acelerações são, tipicamente, a-wo2d, e os intervalos de tempo, T-(llw,). por isso, o 
critério (17.2) é 
onde7 é dado por (17.3). Uma vez quemo-' é o intervalo de tempo apropriado para o movimento 
mecAnico, vemos de novo que, se o intervalo de tempo que tem relevância mecânica for longo 
em comparação com o tempo caractenstico~dado pela Eq. (17.3), os efeitos da reação radiativa 
sobre o movimento não terão importância. 
Os exemplos dos dois últimos parágrafos mostram que os efeitos reativos da radiaçáo sobre 
o movimento de umapartícula carregada serão, possivelmente, importantes se as forças 
externas forem capazes de provocar modificações apreciáveis do movimento em intervalos de 
tempo da ordem de r OU sobre distâncias da ordem de CT. Este é um critério geral nos quadros da 
eletrodinâmica clássica. Para movimentos menos violentos, os efeitos reativos são bastante 
pequenos para que tenham efeito desprezível sobre o movimento em intervalos curtos. Os 
efeitos cumulativos, a longo prazo, podem ser estimados de forma aproximada, conforme 
veremos imediatamente. 
17.2 Força da reação radiativa a partir da conservação da energia 
Agora temos o problema de saber como incluir os efeitos reativos da radiação nas equações 
do movimento de uma partícula carregada. Principiamos com uiii argumento simplesmente 
plausível, baseado na conservação da energia para uma partícula carregada não-relativística. . 
Uma dedução mais fundamental e a incorporação de efeitos relativísticos serão transferidas 
para seções mais adiante. 
Desprezando-se a emissão de rediação, uma partícula carregada de massa m e carga e, 
sobre que atua uma força externa FeXt, movimenta-se de acordo com a equação do movimento 
de Newton: 
Uma vez que a partícula está acelerada, ela emite radiação a uma taxa dada pela fórmula da 
potência de Larmor, Eq. (14.22): 
Para levar em conta esta perda de energia radiativa e o seu efeito sobre o movimento da 
partícula, modificaremos a equação de Newton (17.5) pela adição de uma força de reação 
radiativa Frad: 
rnv = F,,, + Frnd (17.7) 
Embora Frad nâo esteja, nesta altum, determinada, podemos perceber algumas condições a que 
ela "deve" satisfazer: 
Frad "deve" (1) anular-se para v = 0, pois nesse caso não haverá radiação; 
(2) ser proporcional a e2, pois (a) a potência irradiada é proporcional a e2 e 
(b) o sinal da carga não pode entrar nos efeitos radiativos; 
(3) envolver, na realidade, o tempo característico r (17.3), pois é este 
aparentemente o único parâmetro significativo disponível. 
Determinaremos a forma desta força, Frad. exigindo que o trabalho realizado por elasobre 
a partícula, no intervalo de tempo tl<t<t2, seja igual ao negativo da energia irradiada neste 
intervalo de tempo. Então a energia será conservada, pelo menos no intervalo ( t l , t z ) . Com o 
resultado (17.6) de Larmor, esta exigência escreve-se 
A segunda integral pode ser feita por partes, e da 
Se o movimento for periódico, ou for tal que (v.v)=O em r=t, e em t =i,, podemos escrever 
Assim, é possível identificar a força da reação radiativa como 
2 e 2 F rad =-- C3 V= m ~ v 
A equação do movimerito modificada fica, então, 
m(v-TV)= F,., (17.9) 
A Eq. (17.9) é denominada, as vezes, equação do movimento de Abraham-Lorentz. Pode 
ser considerada como uma equação que inclui, de forma aproximada e promediada no tempo, os 
efeitos reativos da emissão de radiação. A equação pode ser criticada pelo fato de ser de 
segunda ordem no tempo, em lugar de ser de primeira ordem e estar, assim, ao revés das 
exigências bastante conhecidas para uma equação dinâmica do movimento. Esta dificuldade se 
manifesta imediatamente nas chamadas soluções "divergentes". Se a força externa for zero, é 
evidente que a Eq. (17.9) terá duas soluções possíveis: 
onde a é a aceleração no instante t=0. Somente a primeira solução é razoável. O método de 
dedução mostra que a segunda solução é inaceitável, pois ( v . v ) f O em t, e r,. É claro que a 
equação só é útil no domínio em que o termo reativo é uma pequena correção. Então a reação 
radiativa pode ser tratada como uma perturbação que produz modificações lentas ou pequenas 
no,estado do movimento da partícula. O problema das soluções "divergentes" pode ser evitado 
pela substituição da Eq. (17.9) por uma equação íntegro-diferencial (ver a Seção 17.6). 
Para ilustrar o uso da Eq. (17.9) na explicação de efeitos radiativos pequenos, vamos 
analisar uma partícula em movimento num campo de forças centrais, conservativo e atrativo. 
Na ausência de reação de radiação, a energia e o momento angular da partícula conservam-se e 
determinam o movimento. A emissão de radiação provoca modificações destas quantidades. 
Desde que as acelerações não sejam muito violentas, a energia e o momento angular modificar- 
se-ão apreciavelmente apenas durante um intervalo de tempo que seja longo em comparação 
com o período caractenstico do movimento. Assim, o movimento será, instantaneamente, 
essencialmente o mesmo que na ausência da reação da radiaçáo. As modificações em intervalos 
longos podem ser descritas por médias sobre a órbita não-perturbada da partícula. 
Num campo de força central conservativo, descrito por um potencial V(r). a aceleração, 
desprezando-se efeitos reativos, é dada por 
Pela conservação da energia, a taxa de variação da energia total da partícula é dada pelo 
negativo da potência de Larmor: 
Com a definição (17.3) de r, esta fórmula pode ser escrita 
CTma vez que a modifícação de energia é, por hipótese. pequena num ciclo da órbita, o segundo 
membro pode ser substituído pelo seu valor médio no tempo, em termos da órbita newtoniana. 
Obtém-se, assim, 
A variação secular do momento angular pode ser encontrada pela consideração do produto 
vetorial da Eq.(17.9) pelo raio votor r. Uma vez que o momento angular é L = mr x v, 
encontramos 
Como a força externa é central, o torque aplicado se anula. Porém, o termo do torque radiativo 
.pode sei L,.,--~?sso como 
O momento angular, por hipótese, modifica-se lentamente com o tempo, com toda a certeza 
quando o tempo estiver sendo medido em unidades r. Por isso, é coerente omitir, na Eq.(17.15), 
a derivada segunda de L em relação a r e substituir v pelo valor dado na equação do movimento 
sem perturbação (1 7.1 I). Então, a taxa de variação do momento angular pode escrever-se como 
onde se calculou a média sobre o tempo. na órbita instantânea, como na Eq.(17.13). 
As Eqs.(l7.13) e (17.16) determinam como a órbita da partícula varia em função do tempo 
em virtude da reação da radiação. Embora o comportamento detalhado dependa da lei especí- 
fica da força, podemos fazer alguns juízos qualitativos. Se a freqüência característica do 
movimento for w,, o valor médio na Eq.(17.16) pode ser escrito como 
1 ( L 07-T mo"2 = Wo2T 
m r d r m 
com um coeficiente numérico adirnensional da ordem da unidade. Isto mostra que o tempo 
característico durante o qual o momento angular se modifica é da ordem de l/(w,r)w,. Este 
intervalo de tempo é muito longo em comparaçáo com o período orbital 2rrlw0, desde que 
w07<<.1. Argumentos seme1h;tntes podem ser usados em torno das equações da energia. 
Estas equações incluindo efeitos radiativos podem ser usadas para discutir problemas 
práticos como os da tempo de moderação de um múon ou de um rnéson pi no processo de 
cascatear de uma órbita de número quântico muito grande, em torno de um núcleo, até uma 
órbita de ordem baixa. Durante a maior pai-te do tempo, os números quânticos são suficiente- 
mente grandes para que a descrição cl,?ssicu do movimento em forma contínua seja uma 
aproximação adequada. Deixamos para os problemas a discussão de exemplos desta espécie. 
17.3 Cálculo de Abraham-Lorentz para a força própria 
A dedução que fizemos na seçáo anterior da força da reação da,radiação, embora plausível, 
não é, com toda a certeza, nem rigorosa nem fundamental. O problema consiste em explicar 
satisfatoriamente.a reação que, sobre a partícula, exerce o seu próprio campo de radiação. 
Assim, qualquer discussáo sistemática deve levar em contaaestruturadacarga da partícula e os 
seus campos próprios. Abraham (1903) e Lorentz (1904) fizeram a primeira tentativa de 
estabelecer um modelo puramente eletromagnético para uma partícula carregada. A nossa 
discussáo está moldada segundo a de Lorentz, no seu livro Theory of Electrons, Nota 18, pág. 
252. 
Consideremosuma única partícula carregada. com a carga total e e com uma densidade de 
carga p ( x ) nitidamente localizada no referencial de repouso da partícula. A partícula está nos 
campos eletromagnéticos externos E,,,(x,t) e B,,,(x.t). Vimos. nas Seções 6.8 e 12.10, que a taxa 
devariaçãodomomento mecânico maiso momento eletromagnético. nuni dadovolume, se anula 
desde que não haja fluxo de momento para dentro ou para fora do volume. Abraham e Lorentz 
propuseram que o momento aparentemente mecãnico de uma partícula carregada tivesse, na 
realidade, uma origem eletromagnética. Entáo, a lei da conservação do momento pode ser 
parafraseada como 
dG-( , 
-- 
d t 
ou, equivalente, em termos da densidade da força de Lorentz, Eq.(12.121). 
Nesta equação, os campos são os campos totais e a integração se efetua sobre o volume da. 
partícula. 
Para que a Eq.(17.17) assuma a forma da equação do movimento de Newton, 
vamos decompor os campos totais em campos externos e campos próprios E,, e B,, que são 
provenientes das densidades de carga e de corrente da própria partícula, p e J: 
Entáo, a Eq.(17.17) pode ser escrita como as equações do movimento de Newton, com a força 
externa dada por 
e a taxa de variaçáo do moniento da partícula dada por 
Desde que os campos externos variem apenas ligeiramente sobre 3s dimensões da partícula, a 
força externa(l7.19) transfoi-ma-se na força de Lorentz comum sobre uma partículade cargae e 
velocidade v . 
Para calcular af0rç.a própria [airitegral do segundo membro da Eq.(17.20)]. é necessário ter 
um modelo da uartícula carregada. Vamos admitir, por simplicidade, que: w 
(a) A partícula está instantaneamente em repouso; 
( b ) A distribuição de carga é rígida e esferossirnétrica. 
Os nossos resultados serão, portanto. restritos necessariamente aos movimentos não- 
relativísticos e não terio as propriedades transformativas de Lorentz. Estas deficiências pode- 
rão ser remediadas mais tarde. 
Para uma partícula que está instantaneamente em repouso, a Eq.(17.20) fica 
O campo próprio pode ser expresso em termos dos potenciais próprios, A e 4>. de modo que 
*= 1 p(x, 1) [v<P(x, r)+; $ (x, t ) ] d 3 x dt 
Os potenciais são dados por A" = (4, A): 
com .im = ( c p , J) e K = x - x' . 
Na I;q.(17.23), :i qu:iclricorrente deve sei. calculada no instante retardado t ' . Este difere do 
instante I por um intervalo Af da ordem de (nlc), ondc ( I é a diiiiensão da partícula. Para uma 
distribiiiçio de carga riiiiito localizada. ebte intcrvalo de tempo é cxtrernamente curto. Iliirnnte 
este curto intervalo de tempo. o movimento da partícula modifica-se, por hipótese, apenas 
ligeiramente. Poi'isso, é natural fazer um desenvolviniento eni série de Taylor na Eq.(17.23), em 
torno do instantcr' = r. Uma vez que [ I,,, rignifica calcular no instante I ' = 1 - (Rlc), qualquer 
grziiideza retardada tcin o dcsenvolvimento 
- (-1)" R "a" 
[ l r e [ = ~ , - ~ - ( ~ ) arn l t r Z t 
Com este descnvolviriientoapliciido àqiiadricorrcnte retaríiada(17.23). a expressão (17.22) fica 
Consideremos os termos cm 11 = O e ti = I no potencial escalar do segundo membro (o primeiro 
termo entre colchetes). Pnra ti = O, o termo é proporcional a 
Esta é exatamente a força própria eletrostática. Para uma distribuição de carga esferossimé- 
trica, ela se anula. O termo com tl = I é idcnticamente nulo, pois envolve VRn-I. Assim, a 
primeira contribuiçáo náo-nula da parte do potencial escalar provém de r1 = 2. Isto quer dizer 
qiie podemos modificar os índices de somação, de modo que a soma agora fica 
onde 
Com a equação da continuidade para as densidades de carga e de corrente, as chaves que 
aparecem na expressáo ( 17.25) podem ser escritas 
S a integral sobre c l : ! ~ ' , podemos resolver o segundo termo por partes. Temos, então, 
Isto quer dizer que a expresslio entre cha\.es na Eq.(17.25) é efetivamente igual a 
Para uma distribuição rígida de carga. a corrente é 
Se a distribuição de c;irg;i for esferossimétrica, a única direçáo relevante no problema; a de v(() . 
Por isso, na integraçáo sobre d:l~ e d:'xl, Sobrevive somente a componente da Eq.(17.26) na 
direçáo de v(!). Daí a Eq.(17.26) ser equivalente a 
AIPm disto, todas as direçóes de R são igiialmente prováveis. Isto quer dizer cliic o \e:undo 
termo na expressáo aciinn pode ser siibstituído pclo sei1 valor mcdio 113. Corn isto sc chcgaa 
forma final simples para as chaves que aparecem na Eq.(17.25): 
Com ;i Eq.(17.27) na Eq.(17.25). n força pr<ípria sc torna, desprezando-sc termos não-linear-c\ 
nas derivadas de v crn relnçáo ao teinpo (que aparecem para ri r 4), 
Pnra coriipreender o significado da Eq.(17.28). considerenios os pi-iriieiros termos d o 
desenvolviincnto: 
Na terceira expressáo, ( I é um comprimento característico da extensáo da distribuição de crirga 
da partícula. Observamos que, para ti r 2, os termos na expansão anulam-se no limite dc un-ia 
partícula puntiforme (c1 -+ O). Assim. para distribuições de carga muito localizadas, precisamos 
considerar somente as contribuições de n = O e n = I . ,O termo em 11 = 14 exatamente a f~r\ ; ; f da 
reação de radiação que já encontramos na Eq.(17:9). E independente da estrutura da partícula e 
depende somente da sua carga total. A nossa dedução de agora pode ser considerada como uma 
justificativa muito mais fundamental do que a realizada na Seção 17.2. 
O termo em n = O, na Eq.(17.29), merece uma atenção especial. A integral dupla é 
proporcional a auto-energia eletrostática U da distribuição de carga, 
Por isso, o termo em t2 = O pode ser expresso como 
Esta expressão tem a forma geral esigida de uma taxa de variação de momento. A auto-erergia 
eletrostática, dividida porcZ, pode ser identificada com a massa eletromagnética da partícula: 
Então, a equação do movimento, de Newton, para o modelo de Xbraham-Lorentz assume a 
forma, 
desde que se desprezem os termos de ordem mais elevada no desenvolvimento (17.28). Esta 
equaçáo é a mesma que a (17.9). 
els!roniaçnética. 
exceto pelo estranho fator 413 que multiplica a massa 
17.4 As dificuldades do modelo de Abraham-Lorentz 
Embora a abordagem de .4braham-Lorentz seja uni avanço significativo para a descriçáo 
fundamental de uma partícula carregada, ela é deficiente sob vários aspectos. 
1. Uma deficiência evidente é a da natureza não-relativística do modelo. Para o termo da 
força reativa, isoladamente, pode-se fazer uma generalizaçáo relativística (ver o Pro- 
blema 17.4), mas esta correção. em si mesma. náo é suficiente. 
2 . A massa eletr-omagnética aparece com um coeficiente incorreto na Eq.(17.33). Este é 
urn sintoma das propriedades covariantes impróprias inerentes ao modelo, conforme 
ficará mais evidente na seçáo seguinte. 
3. Se quisermos ignorar os termos de ordem superior na expansão da força própria em 
série. devemos tomar a -+ O. Porém, a massa eletromagnética é da ordem de (e21ch). 
Daí, no liriiite n -+ O a massa se tornar infinita. Se quisermos manter a niassa da ordem da 
massa tu observada para a partícula, a extensáo da disti-ibuiçáo de carga deve ser tal que 
<r - r.,,. onde 
Para elctrons, esta distância, denominada oraia clcjssic,o cio elkfro)l, é de 2,82- lO-'%cm. 
Embora este raio seja muito pequeno. pode-se imaginar que os movimentos sejam 
suticientemcnte violentos para que, nesta extensão finita. os termos de ordem superior 
da expansão se tornem importantes.§ Assim, se a partícula tiver uma dimensão finita, a 
teoria com o desenvolvimento em série truncado deve ser considerada, somente, como 
lima descrição aproximada. 
4. A distribuição localizada de carga deve ter- forças de riatureza náo-eletromagnética para 
rn:inter-se estável. Por isso, a idéia de iirn modelo pui.amente eletromagnético para a 
rii;itéria deve ser abandonada nos marcos das equações de Maxnrell e da relatividader-estrita. Sabemos que existem na nattrrezaforr;;~~ intensas. não eletromagnéticas. Estas 
interações atribuem às partículas que as exercem. chamadas hádrons, extensões finitas 
no espaço. A distribuição de carga e de magnetizaçáo podem ser verificadas experimen- 
talmente pelo espalhamento dos elétrons e dos múons. com a hipótese de que estas 
partículas de prova sejam puntiformes e de que as leis da eletrodinâmica tenham 
validade a curtas distâncias. No caso dos nêutrons e dos prcítons, com detalhes, e no dos 
outros hádrons, de forma mais fragmentária, descobriu-se que a extensáo da carga e da 
magnetizac;áo é da ordem de (0.5 a 1 ,O). 10-i"cm. Esta dimensáo é um tanto menor que o 
raio cl,'issico do elétronr,. mas tem a rnesmp ordem de grandeza. Pode ser que exista um 
significado pi-ofundo nestaocori-ência, mas. no nível atual do nosso conhecimento, é um 
frito muito mais relevante o de que o cornpriniento de onda Corilpton do niéson pi, que é 
o qiiantuin mais leve do campo de força nuclear. é hlm&= 1.4. 10-13cm. Presumivel- 
mente ele e outras dimensões dos hiídrons governar11 as dimensões observadas nas 
experiências de espalhamento de elétrons. 
O j Iéptons carregados (elétrons e múons) parecem sofrer exclusivamente interações ele- 
tromagnéticas e intcrnçiies fracas. Sáo por isso candidatos a uma generalização quântica do 
modtlo de Abralian-i-L.orcntz. Conforme se mencionou na Introduçáo, as experiências com 
elétrons mostram. pclo menos, que não há evidências de estruttira ou de extensão finita no nível 
de I O L k m . Este fato é completamente inexplicável no contcxto cliíssico de umadistribuiçãode 
carga estcnsa. Snbemos, naturalmente, que os efeitos quánticos principiam a ser notáveis a 
distâncias da ordem de til~nc = 137ro. Um inotlelo eletromagnético puramente clássico, por- 
tanto. teni pequena importância para o murido real. 
.A existência de forças não-eletromagnéticas implica uma c o n t r i b u i ç ã ~ n ~ ~ i massa de uma 
pnrticul;i. proveniente destas forças. Nos limites tio inodelo de' Abraham-Lor-entz. conforme 
.. . discutimos até agora. esta massa adicional aparece simplesmerite como um coeficiente aposto a 
:iceien$ào na Eq.(17.33). 
a dn+'v 6 0 s i e : ~ . o s sucessivos no dc~envolvimento estão na razio ( c - - d i n , 2 / din+l). Isto quer dizer que o movimento dcve 
modifi:z-$C apreci;iveliiientc tluranic u m intervalo de tempo (a/c). Com n - e 2 / t ~ i c 2 , este intervalo é exataincnte igual a 7, 
dado r,!3 Eq.(17.3) . Retorn;imos. assim. ao mesmo critério inicial. 
17.5 Definições covariantes da energia e do momento eletromagnéticos 
Um problema importante no modelo de Abraham-Lorentz é o da falta da covariância 
apropriada da auto-energia e do automomento elrtroniagnéticos. conforme se percebe pelo 
fator anômalo 413 que aparece na inércia, e que foi encontrado pcla primeira vez por J . J . 
Thomson (1881). A raiz desta dificuldade pode ser localizada no uso acntico das densidades 
usuais de energia e de momento 
É habitual (ver a Seçáo 6.8) definir a energia e o momento eletr.omagnético totais como as 
integrais tridimensionais de volume, destas densidades, em instantes fixos. Istoé permissível na 
discussão d o teorema de Poynting para um obser-vador em repouso no referencial incrcial no 
qual os campos são definidos. mas não é defensável em geral, qiizindo se considera o quadrimo- 
mento eletromagnético total em referenciais inerciais diferentes. As densidades da Eq.(17.34) 
são elementos d o tensor eletromagnético simétrico das tensões, Eq.(l7.115). Conforme j6 
se mencionou na Segão 12. IO(a), a integral tridimensional espacial de @"O e de 0'' num instante 
fixo não se transforma como as componentes de um quadrivetor, ;i menos que o tensor satisfap 
a d,0"4=0, ou seja, que os campos não tenham fontes. Para uma partícula carregada clássica, 
com uma densidade de carga e de corrente não-nula e extensa, o tensor eletromagnético das 
tensões @""não é solenoidal [ver a Eq.(12.1 I$)]. Por isso, as integrais tridimensionais usuais de 
11 e de g não podem representar coerentemente, em todos os referenciais inerciais. a energia e o 
momento eletromagnéticos. 
Em 1906, Poincaré deu uma solução para o problema da covariância da energia e do 
momento da partícula de Abraham-Lorentz e também da sua estabilidade, contornando a 
questào das propriedades transforniativas da energia e do momento c1etrot~lcrg)iiticos separa- 
damente. Poincaré observou que aexistência de uma partíciila carregada puramente eletromag- 
nética e ra impossível (classicamente), pois a distribuição de carga elétiica seria. por si mesma. 
instável. SSo necessárias forças nào-elétricas para manter localizadas as cargas. Poincaré 
postulou, por isso, um tensor de tensões não-eletromagnEtico,Pafi, que deveria ser adicionado a 
O"" para dar o tensor total das aiitotensões, S"": 
O quadrimoincnto total da partícula foi então definido por 
onde a integral sc estende a todo o espaço tridirnensional num instante fixo. Pude-se mostrar que 
a Eq.(17.35) transforma-se como um qundrivetor desde que, no referencial de repouso da 
partícula (P=O), se tenha 
ondei, j = 1,2,3, e o índice superior (0) indica o referencinl de iepoiiso. E\tii e\ig;nciaé n de que 
a autotensão total (no sentido tridimensional) anula-se, o que é exatamente n condiçáo de 
estabilidade mecânica. O anulamento das nutotensões totais no i-efcrencial de rcpoilso pode \er 
relacionado à exigência diferencial 
Voltamos, entáo, à mesma situ;içrio que prira r;idiaçri» livre de fontes. Se o tcnsor das tcnsóes 
covariante de Lorentz tiver iiina qundridivergência nula, entrio as integrais sobre as cor>^-dena- 
das espaciais, num instante fixo, com a forma da (17.35), podem ser reprcscntad:is apropriada- 
mente pelo qiixirivetor energia-momento conservado. 
A solução de Poincaré tem algiimas virtudes, mas tem taml~ém suas deficiincias. Ela exige 
tensóes d e Poincurk, desconhecidas, para que se tenha ;i est;ibilid;idc. Ao me5mo tempo, evita o 
problema das propriedades transforrnativas da parte eletromagnética da energia e do niornento 
de qualquer sistema. 
t 
+ 
O caráter quadrivetorial correto para a energia e o momento eletromagnético, mesmo em 
presença de fontes, pode ser assegurado com um certo cuidado. As expressões 
podem ser consideradas como definindo a energia e o momento num certo referencial inercial 
particular K'. Os integrandos na Eq.(l7.37) são elementos do tensor de segunda ordem OaB. 
Evidentemente, devemos contrair um dos índices do tensor por um quadrivetor, e o quadrivetor 
deve ser tal que se reduza ad.!rt no referencial inercial K t . Definimos o quadrivetor d o gênero i 4 
tempo por h 3 
* ! 
du' = n@d3u (17.38) 
onde d 'u é unl elemento invariante da "área" tridimensional sobre um hiperplano do gênero 
espaço em quatrodimensóes. A normal ao hiperplano, no, tem as componentes (1,0, O, O) em K'. 
O invarianted'ué evidentementedJu = n,dff = d:?Y I . Seo referencial inercial K t move-se com a 
velocidade c.P em relaçáo n iim referencial inercial K , então, em K, o quadrivetor no é 
A definição geral do quadrimomento eletromagnético em qualquer referencial é, portanto, 1 
Em K', r i , tem apenas uma componente temporal. Com d"u = d3,r', esta expressáo covariante se 
reduz a (17.37). Porém, no referencial K. n, = (y, -yB), e a definiçáo covariante tem as 
componentes temporal e espaciais dadas por 
cP,O=? (rc-v-g) d ' u I 
cP,i = (cg' + TY'B') d 'a J 
onde Tij6") é o tensor das tensões de Maxivell 3 por 3, Eq.(6.120). Se se desejar, o elemento 
invariante de volume dJu = d3x' pode ser suprimido em favor do elemento de volume d3x no 
referencial K, mediante a igualdade d3xt = yd% (integração num instante fixo 1 ) . 
As definições (17.40) ou (17.41) do quadrimomento eletromagnético oferecem uma defini- 
ção covariante que parte das expressões simples(17.37) em qualquer referencial K'. Como é 
natural, escolhas diferentes do referencial K' levam a quadrivetores diferentes, mas isto não é 
razáo de alarme.§ Há uma escolha natural do referencial K t se a massa eletromagnética dos 
campos não for nula, ou seja, o referencial de repouso no qual 
Vamos denominar este referencial. onde o momento eletromagnético P,' é igual azero, de K'O', e 
caracterizar pelos índices superiores zero as grandezas neste referencial, para tornar claro que 
se trata de uma escolha especial do referencial K'. De acordo com a Eq.(17.37), a energia de 
repouso eletromagnética é entáo 
$Uma escolha possível para K' é o "laboratório", onde o observador está em repouso. A discussão das leis da 
conservaçáo. no Cap. 6 , pode ser interpretada neste sentido. 
NO referencial K , a energia e o momento eletromagnéticos são dados pela Eq.(17.41). onde 
agora v é a velocidade do referencial de repouso K'O' em K. 
Para configurações eletromagnéticas nas quais todas as cargas estejam em repouso num 
certo referencial (o modelo de Abraham-Lorentz dc uma partícula cai-I-egnda constitui um 
exemplo), a s fórmlilas gerais podem ser reduzidas a formas mais atraentes e transparentes. 
Conforme é evidente, o referencial no qual todas as cargas estão em repouso é K'O', pai\ nele 
todos os campos eletrostáticos e magnéticos se anulam ern todos os pontos clo espaço ti-idirnen- 
sional. Para estas configurações eletrostáticas, o carnpo inagnético é dado sem nproxiniac;io rio 
referencial K por 
Esta equação pode ser verificada pela Eq.( l l . 149). O integrando na primeira equação de (17.4 I) 
é, assim, 
um invariante de Lorentz. Eiitáo, a energia em K é d:ida por 
Analogamente, a segunda equação na (17.41) fica 
Com.0 integrando invariante (E2 - B2), é claro que temos um quadrivetor P:,' = (ynlg. >mpv), 
onde a massa eletromagnética é 
em concordância com a Eq.(17.43) e também com as Eqs(17.30) e (17.32). 
A Eq.(17.45) para a energia foi usada por ButlerP para discutir a experiência de Trouton- 
Noble, que foi um teste sobre a teoria da relatividade restrita, envolvendo o problema de um 
torque sobre um capacitor suspenso, em movimento em relaçáo ao éter. 
Talvez seja instrutivo examinar os termos na expressão de P, para verificar o fator 1:3 e a 
sua remoção. Escrevendo o primeiro termo d o momento na Eq.(17.41), 
encontramos 
No limite não-relativístico, E modifica-se em relação ao seu valor no referencial de repouso 
somente por termos de ordem /I2. Admitindo que o campo seja esferossimétrico no referencial 
de repouso, o segundo termo tem como média 113 do primeiro na integração sobre os ângulos. 
Tem-se, então, o coeficiente numérico (2/3)/47T = ( 4 / 3 ) / 8 ~ , ou P,(') - 4m,v/3. A contribuição do 
5J. W. Butler, Am. J. Phys. 36, 936 (1968) 
inexistência de causalidade inerente ii Eq.(I7.51) não pode ser observada no laboratório. 
Descrevemos esta situação afirmando que, embora a Eq.(17.51) implique a falta de causalidade 
microscópica, o modelo satisfaz às exigências da causalidade macroscópica. Outro ponto 
importante é o de que ele é um modelo clríssico, que seguramente não funciona a distâncias e em 
intervalos de tempo muito maiores que e2/rncZ e r. Em conseqüênciado princípio da incerteza, a 
aplicação de uma força externa num intervalo de tempo AI é acompanhada por incertezas AE na 
energia da ordem de hlAt. Se estas incertezas na energia forem da ordem da energia de repouso 
da partícula, rnc2, o comportamento se14 muito diverso do clrissico. Com isto se estabelece um 
limite quântico sobre os intervalos de tempo, T,, - filnzc2 - 1377. Uma vez que T, >> T, 
chegamos à conclusão de que, no domínio onde a equação clássica presumivelmente se man- 
tém, os movimentos são suficientemente suaves para que (I) os efeitos acausais tenham 
importância bem secundária e (2) a reação radiativa provoque somente pequenas correções ao 
movimento. 
Se a força aplicada F for dada em função da posição, e não em função do tempo, a solução 
da eqiiaçáo íntegro-diferencial fica um tanto mals complicada, embora não seja, em princípio, 
diferente. 
17.7 Largura d a raia e deslocamento de níveis n u m oscilador 
Os efeitos da reação radiativa são de grande importância no coniportamento detalhado dos 
sistemas atômicos. Embora uma discussão completa envolva o formalismo muito elaborado da 
eletrodinâmica quântica, os aspectos qualitativos sáo aparentes no tratamento clríssico. Como 
exemplo típico, vamos considerar uma partícula carregada ligada por uma força restauradora 
linear unidirnensional, com a constante de força k. = mwO2. Na ausência de amortecimento 
radiativo, a partícula oscila com amplitude constante na frequência característi~aw~. Quando se 
incluem os efeitos reativos, a amplitude da oscilação diminui gradualmente, pois a energia do 
movimento converte-se em energia radiante. Este modelo é o análogo clássico da emissão 
espontânea, na qual um átomo faz uma transição de um estado excitado para um estado de 
menor energia pela emissão de um fóton. 
Se o deslocamento da partícula carregada em relação ao equilíbrio for ~ ( t ) , a equação do . 
niovimento (17.51) para este problema é 
Uma vez que a solução, quando T = 0, é x ( t ) - exp(-iod). é natural admitir uma solução da 
forma 
Vamos antecipar. com base em argumentos físicos, que a parte imaginária de cu será muito 
aproximadamente igual a o,, pelo menos para 007 << i , mas que a terá uma parte real positiva 
para descrever o efeito dissipativo da emissão de radiação. Quando a Eq.(17.55) é substituída na 
Eq.(17.54), fica-se com 
xoe-"[a2+ o 0 ~ ~ é - ( l + ~ ds] = O 
A existência da integral exige que se tenha Re(l + a ~ ) > O. Com esta restrição, a fica 
determinado por uma equação cúbica 
Esta é a mesma cúbica que aparece da Eq.(17.9), mas ternos a condição Re(l + a r ) > O para 
eliminar a soluçáo "divergente" [a = -(I + w~~T')/T]. AS duas raizes que têm sentido físico 
podem ser obtidas em forma fechada parar e w,arbitrários, mas as fórmulas são suficientemente 
complicadas para qiie o seu valor seja pouco, exceto quanto à computação numérica. 
Estamos interessados no domínio de parâmetros em que wOr << I. Entáo. é simples mostrar 
diretamente da Eq.(17.56) que, até a ordem (w,~)? inclusive, a é dada corretamente por 
onde 
A constante r é conhecida como a constante. de decaimento, enquanto que Ao é denominado o 
deslocamento de nível. 0 
A energia do oscilador decai exponencialmente, na forma exp(-r[), em virtude do 
amortecimento radiativo. Isto quer dizer que a radiaçáo emitida aparece como um pacote de 
ondacom um comprimento real da ordem decll?. Este pulsofinito de radiação não é exatamente 
monoclromático, mas tem um espectro de frequência que cobre uni intervalo da ordem de r. A 
forma exata do espectro de frequência é dada pelo quadrado da transformada de Fourier do 
campo elétrico ou da aceleraçáo. Desprezando-se um transiente inicial (de duraçáo díi ordem de 
T), a amplitude do espectro é assim proporcional a 
1 E(o) E( 1)- e-"ei" dr = - 
a-iw 
A energia irradiada por unidade dc intervalo de frequência é, portanto, 
onde i, é a energia total irradiada. Esta distribuição espectral é denominada uma crtr-vrr de rtricr 
ressonante. A largura da distribuiçáo na intensidade semimáxima é denominada amcin-lorgurcl 
ou a largura da raia, e é igual a r. Na Fig. 17.2, aparece esta raia espectral. Em virtude dos 
efeitos reativos da radiação, a raia está rrlnrgada e deslocadi em frequência. 
A largura clássica da raia para os osciladores de elétrons é uma constante universal quando 
expressa em termos do comprimento de onda 
Do ponto de vista quântico, as larguras naturais das raias espectrais são variáveis. Para se 
estabelecer uma conexão com o tratamento clássico, a largura quântica da raia é às vezes escrita 
como 
Fig. 17.2 Alargamento