CAP_2_-_estatica_das_particulas[1]

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Mecânica I 
Cap 2 - Estática das 
Partículas 
 
Livro texto: Mecânica Vetorial para Engenheiros 
Beer e Johnston 
2 
Introdução 
 Mecânica 
 Ciência que descreve e prediz as condições de 
repouso ou movimento dos corpos sob a ação de 
forças: 
 Aplicações 
 – Cálculo Estrutural 
 – Projeto de Máquinas 
 – Escoamento de Fluídos 
 – Instrumentação Elétrica 
 – etc. 
3 
Conceitos úteis 
 Espaço 
 Região geométrica ocupada por corpos cujas posições são 
descritas por medidas lineares e angulares em relação a um 
sistema de coordenadas. Um ponto é definido no espaço por 3 
coordenadas (x, y, z). 
 Tempo 
 Medida da sucessão de eventos. Além da posição no espaço, o 
instante em que ocorre cada evento deve ser conhecido. 
 Massa 
 Medida da inércia de um corpo. 
 Força 
 Representa a ação de um corpo sobre o outro. Esta ação pode 
ser por contato ou a distância (forças gravitacionais, forças 
eletromagnéticas). A força é uma grandeza vetorial sendo, 
então, representada por seu módulo, direção e sentido. 
 
4 
Conceitos úteis 
 Partícula (ponto material) 
 Porção da matéria que pode ser considerada como 
ocupando um único ponto no espaço (a sua forma e 
dimensão não são consideradas) 
 Corpo Rígido 
 É uma combinação de um grande número de 
partículas que ocupam posições fixas relativamente 
umas às outras. O corpo se desloca como um todo, 
não há movimento relativo entre as partículas, 
portanto não há deformação. 
5 
Princípios Fundamentais da 
Mecânica 
 Lei do paralelogramo para adição de forças 
 Duas forças atuantes sobre uma partícula podem 
ser substituídas por uma única força resultante 
obtida pela diagonal do paralelogramo. 
 Este principio não pode ser demonstrado 
matematicamente, mas é verificado 
experimentalmente. 
 
Revisão de Vetores 
6 
•Operação com vetores 
 
P + (-P) = 0 
P + Q = Q + P 
P – Q = P + (-Q) 
P + Q + S = (P+Q) + S 
 
 
Revisão de Vetores 
7 
•Produto escalar 
 
 P+P = 2P 
 P+P+P = 3P 
 Soma de n vezes o vetor P= nP 
 
Produto de um escalar k (positivo ou negativo) por um vetor P = kP 
Tem a mesma direção 
Tem o mesmo sentido, se k for positivo 
Tem sentido oposto se k for negativo 
Intensidade é igual ao produto da intensidade de P pelo k 
 
angela marquez 8 
)θ 
 cos 
 sen 
0 
sen θ 
cos θ 
· 
 tg 
tg θ 
Revisão de trigonometria 
angela marquez 9 
Arcos Notáveis 
30° 150° 
210° 330° 
45° 135° 
225° 315° 
60° 120° 
240° 300° 
cos 
 sen 
0 
 tg 
90° 
180° 
270° 
0°/360° 
angela marquez 10 
arco 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
rad 0
6

4

3

2


3
2
2
seno 0
2
1
2
2
2
3
1 0 - 1 0
cosseno 1
2
3
2
2
2
1
0 - 1 0 1
tangente


cos
sen 0
3
3
1
3
- - - 0 - - - 0
Tabela de Entes 
Trigonométricos ... 
angela marquez 11 
Relações Trigonométricas no 
Triângulo Retângulo 
Ente 
Trigonométrico 
Relação no Triângulo Retângulo 
Seno de θ 
Cosseno de θ 
Tangente de θ 
HI
CO
sen 
HI
CA
cos 
CA
CO
tg 
)θ 
Hipotenusa 
angela marquez 12 
Lei dos Senos 
Seja um triângulo ABC qualquer 
temos : 


Csen
c
Bsen
b
Asen
a
) ( ^A
^
C
^
B
A B 
C 
a 
c 
b 
angela marquez 13 
Lei dos Cossenos 
Seja um triângulo ABC qualquer 
temos : 






Ccosba2bac
ouBcosca2cab
ouAcoscb2cba
222
222
222
) ( ^A
^
C
^
B
A B 
C 
a 
c 
b 
angela marquez 14 
Lei dos Cossenos 
Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é 
reto, por exemplo, Â= 90°, temos : 
 90coscb2cba 222
Sabe-se que cos 90° = 0, logo ... 
0cb2cba 222 
Temos, portanto ... 
222 cba 
Teorema de Pitágoras 
angela marquez 15 
 P-1 ângulos opostos 
congruentes 
 P-2 lados opostos 
congruentes 
 P-3 as diagonais dividem-se 
ao meio ( ponto médio ) 
M 
Propriedade dos 
Paralelogramos 
 
  
 
 
 +  = 180° 
angela marquez 16 
 P-4 todo paralelogramo que tem 
diagonais congruentes é 
retângulo 
 P-5 todo paralelogramo que tem 
diagonais perpendiculares é 
losango 
 P-6 todo quadrado é retângulo e 
também losango e portanto suas 
diagonais são congruentes e 
perpendiculares 
Propriedade dos 
Paralelogramos 
Exemplo 1 
17 
Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a 
resultante das forças exercidas pelos rebocadores é uma 
força de 22.250 N dirigida ao longo do eixo da barcaça, 
determine a força de tração em cada um dos cabos, 
sabendo que α = 45º e o valor de α para o qual a tração 
no cabo 2 é mínima. 
Exemplo 2 
18 
As forças P e Q agem sobre um parafuso A. Determine a 
sua resultante. 
Componentes retangulares de 
uma força. Vetores unitários 
 Em muitos problemas será desejável 
decompor uma força em dois componentes 
perpendiculares entre si, Fx e Fy, aos quais 
chamaremos de componentes retangulares. 
 
19 
Vetores unitários 
 São dois vetores de intensidade unitária dirigidos ao 
longo dos eixos x e y . Esses vetores são 
respectivamente i e j. 
 Pela definição de produto escalar notamos que os 
componentes Fx e Fy da força F podem ser obtidos 
multiplicando-se respectivamente os vetores i e j pelos 
escalares apropriados. Daí 
 Fx = Fx i 
 
 Fy = Fy j 
 
20 
Componentes 
 Os escalares Fx e Fy são denominados 
componentes escalares da força F, enquanto 
as verdadeiras forças Fx e Fy recebem o 
nome de componentes vetoriais de F. 
 Durante o curso Fx e Fy serão sempre 
denominados simplesmente de 
componentes. 
 
21 
Componentes escalares 
 Representando por F a intensidade da força 
F e por θ o ângulo entre F e o eixo x, medido 
no sentido anti-horário a partir do eixo x 
positivo, pode-se expressar os componentes 
escalares de F como: 
 
Fx = F cos θ Fy = F sen θ 
22 
Exemplo 1 
 Calcule os componentes vertical e horizontal da força F 
de 800 N de intensidade, exercida no parafuso A, 
conforme mostrado na figura. 
23 
Exemplo 2 
 Um homem puxa uma corda com a força de 300 N, 
amarrada a um edifício. Quais são os componentes Fx e 
Fy da força exercida pela corda no ponto A? 
24 
Exemplo 3 
 Quando a força for definida pelos seus 
componentes retangulares Fx e Fy a 
intensidade da força F pode ser obtida 
aplicando-se o teorema de Pitágoras. 
 
 
 A direção da força F é dada pelo ângulo θ 
obtido por: 
25 
26 
Equilíbrio de uma Partícula 
 -Quando a resultante de 
todas as forças que atuam 
sobre uma partícula é zero, 
esta está em equilíbrio. 
 -Uma partícula submetida à 
ação de duas forças estará em 
equilíbrio quando essas duas 
forças tiverem a mesma 
intensidade, a mesma direção 
e sentidos opostos, sendo 
nesse caso a resultante das 
duas forças zero. 
100 N 
100 N 
27 
Equilíbrio de uma Partícula 
 Para exprimir algebricamente as 
condições necessárias de equilíbrio 
de uma partícula usamos: 
 R = ∑ F = 0 
 Decompondo cada força F em 
componentes retangulares temos: 
∑( Fxi + Fyj ) = 0 , ou 
(∑ Fx ) i + (∑ Fy ) j = 0 
 
 Condição necessária e suficiente 
para o equilíbrio da partícula. 
 ∑ Fx =0 e ∑ Fy= 0, 
 
F4 = 1800 N 
F2 = 779,4 N 
F3 = 900 N 
F1 = 1350 N 
Exemplo 
28 
29 
Primeira Lei de Newton 
 “Se a força resultante que atua 
sobreuma partícula tem 
intensidade igual a zero, essa 
partícula permanece em repouso 
ou se move em movimento retilíneo 
uniforme.” 
30 
Problemas que Envolvem o Equilíbrio de 
uma Partícula– Diagrama de Corpo Livre 
 
 Grande número de problemas que envolvem 
estruturas reais pode ser reduzidos 
efetivamente, a problemas referentes ao 
equilíbrio de uma partícula. 
 Isto é feito escolhendo-se uma partícula 
conveniente e esquematizando-se um diagrama 
separado, mostrando todas as forças que sobre 
ele são exercidas. Este diagrama é chamado 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE. 
31 
Exemplo 1 
 Tem-se um caixote de 
75kg que estava em 2 
prédios e está agora 
sendo colocado sobre um 
caminhão. O caixote é 
suportado por um cabo 
vertical, unido no ponto 
A a duas cordas que 
passam por roldanas 
fixadas nos prédios em B 
e C. Deseja-se 
determinar a tração nas 
2 cordas AB e AC. 
32 
Solução 
Diagrama de Corpo Livre 
Triangulo de 
Forças 
33 
Exemplo 2 
 Numa operação de 
descarregamento de um 
navio, um automóvel de 
15750N é sustentado 
por um cabo. Uma corda 
é amarrada ao cabo em 
A e puxada para centrar 
o automóvel para a 
posição desejada. O 
ângulo entre o cabo e a 
vertical é de 2º, 
enquanto o ângulo entre 
a corda e a horizontal é 
de 30º. Qual é a tração 
na corda? 
34 
Solução 
15750 N 
15750 N 
Diagrama de Corpo Livre 
35 
Forças no espaço: 
Componentes Cartesianas 
Consideremos uma força F aplicada na origem O de um 
sistema de coordenadas cartesianas x,y,z. Para definir a 
direção de F, podemos desenhar o plano vertical OBAC 
que contém F. 
Esse plano contém o eixo 
vertical y e a sua orientação 
é definida pelo ângulo ø que 
forma com o plano xy, 
enquanto a direção de F 
dentro desse plano é 
definida pelo ângulo θy que 
F forma com o eixo y. 
36 
A força pode ser decomposto em uma 
componente vertical Fy e uma 
componente horizontal Fh. As 
componentes escalares são: 
Fy=Fcosθy 
Fh=Fsenθy 
Mas Fh pode ser decomposta em 
duas componentes cartesianas Fx e 
Fz, segundo os eixos x e z 
respectivamente. Essa operação é 
efetuada no plano xz. Obtemos então 
as seguintes expressões para as 
componentes escalares: 
Fx=Fhcosφ= F senθy cosφ 
Fz=Fhsenφ= F senθy senφ 
Forças no espaço: 
Componentes Cartesianas 
Componentes retangulares de 
uma força no espaço 
37 
38 
Forças no espaço: 
Componentes Cartesianas 
 Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e 
OCD escrevemos: 
 Triângulo OAB: (OA)2 = (OB)2 + (BA)2 = 
 F2= Fy2 + Fh2 
 Triângulo OCD: (OC)2 = (OD)2 + (DC)2 = 
 Fh2 = Fx2 + Fz2 
Eliminando Fh2 dessas duas equações e calculando F 
obtemos: 
 F2= Fx2+ Fy2 + Fz2 
39 
Forças no espaço: 
Componentes Cartesianas 
 Se considerarmos os ângulos entre F e os 
respectivos eixos θx, θy e θz, que definem a 
direção da força F, concluímos que: 
 
Fx=Fcosθx , Fy=Fcosθy, Fz=Fcosθz 
 
 São chamados de cossenos diretores de F os 
cos θx, cos θy e cos θz são chamados de 
cossenos diretores 
40 
Forças no espaço: 
Componentes Cartesianas 
Fy=Fcosθy Fx=Fcosθx Fz=Fcosθz 
41 
Forças no espaço: 
Componentes Cartesianas 
 Introduzindo os vetores unitários i, j, k, 
orientados segundo os eixos x, y e z, 
respectivamente, podemos exprimir F na 
forma: 
 F = Fx i + Fy j + Fz K 
•O angulo que a força F 
forma com um eixo deve ser 
medido a partir do lado 
positivo do eixo e será 
sempre entre 0o e 180º . 
42 
 
Forças no espaço: 
Componentes Cartesianas 
 Sejam i, j e k os vetores unitários 
orientados segundo os eixos x, y e 
z respectivamente, então: 
 
 F = Fx i + Fy j + Fz k 
 e 
 F = F (cosθx i + cosθy j + cosθz k) 
 
 Seja λ um vetor de módulo unitário 
na mesma direção e sentido de F: 
 
 λ = cosθx i + cosθy j + cosθz k 
 λx λy λz 
 
 Como o módulo de λ é igual a 1, 
tem-se que: 
 λx2 + λy2 + λz2 = 1 
cosθx2 + cosθy 2 + cosθz2 = 1 
43 
Forças no espaço: 
Componentes Cartesianas 
 Quando os componentes Fx, Fy e Fz de uma força são 
dados , a intensidade F da força é obtida de F2= Fx2+ 
Fy2 + Fz2. Pode-se então resolver as relações para os 
cossenos diretores: 
cosθx = Fx/F 
cosθy = Fy/F 
cosθz = Fz/F 
 
 
 
Vetor posição 
44 
O vetor posição é definido como um vetor fixo que localiza 
um ponto do espaço em relação a outro. 
 O vetor posição pode ser escrito na forma cartesiana. 
Em muitas aplicações, a direção de uma força F é definida pelas 
coordenadas de dois pontos , M (x1, y1, z1) e N (x2, y2, z2), 
localizados sobre sua linha de ação. 
45 
Força definida por um módulo e 
dois pontos de sua linha de ação 
 Considerando o vetor MN, que liga os pontos M e N e que 
tem o mesmo sentido que F. Representando suas 
componentes escalares por dx, dy e dz, respectivamente 
escrevemos: 
 MN = dx i + dy j +dz K 
 O vetor unitário λ ao longo da linha de ação de F pode ser 
obtido dividindo-se o vetor MN por seu módulo MN 
 λ = MN / MN 
 MN = (dxi + dyj + dzK) MN = d 
 logo, 
 λ = (dx i + dy j +dz K ) X 1/d 
 
46 
Força definida por um módulo e 
dois pontos de sua linha de ação 
 Lembrando que F é igual ao produto de F pelo vetor 
unitário λ tem-se: 
 F λ = F/d (dx i + dy j +dz K ) 
 Segue-se então que as componentes escalares de F 
são, respectivamente: 
 cosθx = (dx / d) 
 cosθy = (dy / d) 
 cosθz = (dz / d) 
Problema 2.75 
47 
Para estabilizar uma árvore 
parcialmente arrancada durante 
uma tempestade, os cabos AB e 
AC são amarrados na parte 
superior do tronco da árvore e 
depois são presos a hastes de 
aço ancoradas no chão. Sabendo 
que a tração no cabo AB é de 4,2 
kN, determine os componentes 
da força exercida por esse cabo 
na árvore e os ângulos θx, θy e 
θz que a força forma com os 
eixos em A paralelos aos eixos 
coordenados. 
48 
Exemplo 1 
 Um cabo de sustentação de 
uma torre está ancorado por 
meio de um parafuso em A. A 
tração no cabo é de 2500N. 
Determine 
a) Os componentes, Fx, Fy e 
Fz da força que atua sobre o 
parafuso. 
b) Os ângulos θx, θy e θz que 
definem a direção da força. 
49 
Solução 
Problema 2.87 
50 
Uma torre de transmissão é 
sustentada por 3 cabos de 
sustentação ancorados por 
parafusos em B, C e D. Se a 
tração no cabo AB é de 
2100N, determine os 
componentes da força 
exercida pelo cabo no 
parafuso em B. 
51 
Adição de Forças 
Concorrentes no espaço 
 Determinaremos a resultante R de duas ou mais 
forças no espaço pela soma de duas componentes 
cartesianas. Os métodos gráficos e trigonométricos 
geralmente não são práticos no caso de forças no 
espaço. Neste caso, R = ∑ F, decompondo cada força 
em suas componentes cartesianas e escrevemos 
 R = Rx i + Ry j + Rz k = Σ (Fx i + Fy j + Fz k) 
 R = (ΣFx) i + (ΣFy) j + (ΣFz) k 
Da qual decorre que: 
Rx =ΣFx Ry =Σ y Rz =ΣFz 
52 
Adição de Forças 
Concorrentes no espaço 
 Módulo de R: 
R = √ Rx2 + Ry2 + Rz2 
 
 Cossenos diretores de R: 
 cos θx = (Rx / R) 
 cos θy = (Ry / R) 
 cos θz = (Rz / R) 
53 
Equilíbrio de um Ponto 
Material no Espaço 
 Como já é conhecido, um ponto material 
estará em equilíbrio se a resultante de 
todas as forças atuantes for zero. 
 A componentes Rx, Ry e Rz devem ter 
resultante zero, e para que isso ocorra: 
 ∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑Fz=0 
 Isso representa as condições necessárias 
e suficientes para o equilíbrio de um ponto 
material no espaço. 
 
 
54 
Exemplo 2 
 Umaseção de um muro de 
concreto pré moldado é 
temporariamente segura 
pelos cabos mostrados. 
Sabendo que a tração é de 
3780N no cabo AB e 5400N 
no cabo AC, determine a 
intensidade e a direção da 
resultante das forças 
exercidas pelos cabos AB e 
AC na estaca A. 
8,1 m 
4,8 m 
3,3 m 
2,4 m 
55 
Solução 
OBS: O desenho serve somente como informação os valores estão e outra unidade. 
Exercícios (BEER 7ª edição) 
 2.5 
 
 2.7 
56 
Exercícios 
 2.19 
57 
 2.17 
Exercícios 
 2.25 
58 
59 
Exercicios 
60 
Exercicios 
61 
Exercicios 
62 
63 
64 
65