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Nome: Matr´ıcula: Data: Primeira prova de Ca´lculo 3 1) (Peso 1,0) Determine o comprimento da curva com equac¸a˜o vetorial r(t) = (4cost, 4sint, 3t), 0 ≤ t ≤ 4. 2) (Peso 1,5) Calcule a integral de linha,∫ C F · dr. onde F(x, y, z) = −xi + yj + 0k e C e´ a curva parametrizada por r(t) = (cos(t), sen(t), 2t), 0 ≤ t ≤ pi/2. 3) (Peso 1,5) Mostre que o campo vetorial F(x, y, z) = (yz, xz, xy + picos(piz)) e´ conservativo, determine uma func¸a˜o potencial deste campo e use-a para calcular ∫ C F · dr onde C e´ o segmento que liga o ponto (1, 0,−2) ao ponto (4, 6, 3). 4) (Peso 1,5) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha∫ C ( y + ln(4 √ x) ) dx+ ( 2x+ cotgy2 ) dy, onde C e´ a fronteira da regia˜o englobada pelas para´bolas y = x2 e x = y2 orientada positiva- mente. 5) (Peso 1,5) Calcule ∫∫ S rotF · dS onde F(x, y, z) = (2ycos(z), exsen(z), xey) e S e´ o hemisfe´rio x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0 com orientac¸a˜o para cima. 6) (Peso 1,5) Calcule o fluxo de F = exsen(y)i− excos(y)j + yx2k atrave´s da superf´ıcie do so´lido limitado pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 2. 7) (Peso 1,5) Dado o campo vetorial F (x, y, z) = xi+yj+2zk e dada a superf´ıcie S definida como a parte do gra´fico da func¸a˜o z = 4 − x2 − y2 que esta´ sobre o quadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, calcule ∫∫ S F · dS.
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