considere a função f(x) =1/x-1 e o intervalo de integraçao [1,4] dados no sistema cartesiano a seguir qual é a alternativa que apresenta a integral...

Para calcular a área da região delimitada pela função \( f(x) = \frac{1}{x} - 1 \) no intervalo \([1,4]\), precisamos resolver a integral imprópria. A integral imprópria é dada por: \[ \int_{1}^{4} \left( \frac{1}{x} - 1 \right) dx \] Para resolver essa integral, primeiro calculamos a primitiva de \( \frac{1}{x} - 1 \), que é \( \ln|x| - x \). Em seguida, aplicamos os limites de integração: \[ \left[ \ln|x| - x \right]_{1}^{4} \] Substituindo os limites de integração, obtemos: \[ \left( \ln|4| - 4 \right) - \left( \ln|1| - 1 \right) \] \[ = \left( \ln(4) - 4 \right) - \left( 0 - 1 \right) \] \[ = \ln(4) - 4 + 1 \] \[ = \ln(4) - 3 \] Portanto, a integral imprópria para o cálculo da área da região delimitada é \( \ln(4) - 3 \).