Trabalho de estat+¡stica

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Testes de Hipóteses
0
1 0
: estabelecealgumconhecimentoacerca da populaçao
: Negaçao da H
H
versus
H
�
�
Testes de Hipóteses
Calcula-se uma estatística de teste, que sob o pressuposto da 
veracidade da hipótese nula, segue uma determinada lei de 
probabilidades:
( )1 1 2
2
;
xT D θθ θθ
−=
Testes de Hipóteses
Regra de decisão: Aceitar H0 se:
( );GLT α≤
Prp value T α= >− >
Probabilidade limite
Tabela
Testes de Hipóteses
Decisão H0 Verdadeira H0 Falsa
Aceitar H0 Decisão correcta β=Erro tipo II
Rejeitar H0 α=Erro tipo I Decisão correcta
Testes de Hipóteses
H0: Hoje levo guarda-chuva (Ù Chove)
versus
H1: Hoje não levo guarda-chuva (Ù Não chove)
Testes de Hipóteses
 
Decisão 
 
H0 Verdadeira 
(Chove) 
 
H0 Falsa 
(Não chove) 
 
 Aceitar H0 
(Levo guarda-chuva) 
 
Decisão correcta
 
β=Erro tipo II 
 
 
 Rejeitar H0 
(Não levo guarda-chuva)
 
α=Erro tipo I 
 
Decisão correcta 
 
 
Testes de Hipóteses
( )0 0Pr Rejeitar H |H verdadeiraα =
( ) ( )0 1ˆ 1 Pr Rejeitar H |H verdadeiraPotencia doteste β= − =
Testes de Hipóteses
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
1 8
1
5
2
2
2
9
3
6
4
3
5
0
5
7
6
4
7
1
7
8
8
5
9
2
9
9
1
0
6
1
1
3
1
2
0
-tc tc
α /2 α /2
1-α
Região crítica Região crítica
Região de aceitação de Ho
Etapas num teste de hipóteses
1 – Definir as hipóteses
2 – Definir uma margem de erro (α)
3 – Seleccionar a estatística de teste
4 – Calcular a estatística de teste
4.1 – Calcular a probabilidade limite
5 – Decidir o teste
Teste de Shapiro-Wilk
H0:A amostra provém de uma população Normal
H1:A amostra não provém de uma população Normal
Teste de Shapiro-Wilk
1 – Ordenar as N observações da amostra
2 – Calcular:
1 2 3 Nx x x x≤ ≤ ≤ ≤"
( )
2
2 12 2 2
1 1 1
.
N
iN N N
i
i i i
i i i
x
x x x x N x
N
=
= = =
   − = − = −
∑∑ ∑ ∑
Teste de Shapiro-Wilk
3 – Calcular:
4 – Calcular a estatística de teste:
( )2 1 1
1
.
N
N i N i i
i
b a x x− + − +
=
= −∑
( )
2
2
i
bW
x x
= −∑
Se N é ímpar: desprezar observação mediana
Teste de Shapiro-Wilk
Coeficientes
Teste de Shapiro-Wilk
5 – Decisão:
Rejeitar H0 ao nível de significância α se:
calcW Wα
Teste de Shapiro-Wilk
Valores críticos
Teste de Shapiro-Wilk
Considere a seguinte amostra:
8 12 10 24 12 10 16 19 9 10
Teste se a amostra provém de uma população Normal, isto é:
H0:A amostra provém de uma população Normal
H1:A amostra não provém de uma população Normal
Teste de Shapiro-Wilk
1 - Ordenar a amostra:
8 9 10 10 10 12 12 16 19 24
2 – Calcular:
( )2
1
236
N
i
i
x x
=
− =∑
Teste de Shapiro-Wilk
3 – Calcular b:
b=14.0826
0.079810120.039965
0.244810120.122474
1.284610160.214183
3.29109190.329192
9.18249240.5739101
aN-i+1(xN-i+1-xi)xixN-i+1aN-i+1N-i+1i
Teste de Shapiro-Wilk
4 – Calcular W:
( )
2 2
2
14.0826 0.840
236
i
bW
x x
= = =−∑
Teste de Shapiro-Wilk
( )0.05;100.840 0.842calcW W= =<
5 – Decisão:
Dever rejeitar-se a hipótese de normalidade da amostra.
Teste de Shapiro-Wilk
0.840calcW =
5 – Decisão:
Dever rejeitar-se a hipótese de normalidade da amostra.
( )Pr 0.0443 0.05calcp value W W α− = > = < =
Teste do Chi-quadrado
H0:A amostra provém de uma distribuição D(θ)
H1:A amostra não provém de uma distribuição D(θ)
Teste do Chi-quadrado
( )22 2
( ; 1)
1
( )
k
i i
k p
i i
O E
X se X D
E α
θχ − −
=
−=∑
Teste do Chi-quadrado
Exemplo:
Uma moeda foi lançada 20 vezes, tendo-se registado a 
ocorrência de 7 caras e 13 coroas.
Será a moeda honesta?
H0: A moeda é honesta versus H1: A moeda não é honesta
Teste do Chi-quadrado
0
2
4
6
8
10
12
14
Cara Coroa
Oi
Ei
X2
X2
Teste do Chi-quadrado
0.5
0.5
Pr(x)
0.91013Coroa
0.9107Cara
Ocorrências 
Esperadas
Ei
Ocorrências 
Observadas
Oi
Face ( )2i i
i
O E
E
−
2 1.8calcX =
Teste do Chi-quadrado
Decisão:
( )
2 2
0.05;11.8 3.84calcX χ= < =
Logo, deve aceitar-se a hipótese nula de que a moeda é honesta.
Teste do Chi-quadrado
O número de defeitos por página na impressão de um livro é
suposto seguir uma distribuição de probabilidades de Poisson.
Numa amostra aleatória de 60 páginas desse livro contaram-se as 
ocorrências de defeitos em cada uma das páginas:
Verifique o ajustamento da amostra à distribuição.
Número de defeitos Número de ocorrências
0 32
1 15
2 9
3 4
≥ 4 0
Teste do Chi-quadrado
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4+
x=Nº erros
P
r
(
x
) Oi
Ei
Teste do Chi-quadrado
0.43200.4320.00720≥4
2.02401.9920.033243
0.1329
0.3543
0.4724
Pr(x)
0.13207.97492
1.842321.258151
0.471628.344320
Ocorrências 
Esperadas
Ei
Ocorrências 
Observadas
Oi
Nº de 
defeitos ( )2i i
i
O E
E
−
2 4.9019X =
Teste do Chi-quadrado
Decisão:
( )
2 2
0.05;34.9019 7.82calcX χ= < =
Logo, deve aceitar-se a hipótese nula de que o número de defeitos 
por página na impressão deste livro se ajusta a uma distribuição de 
probabilidades de Poisson de parâmetro λ=0.75
Teste do Chi-quadrado
Decisão: 2 4.9019calcX =
Logo, deve aceitar-se a hipótese nula de que o número de defeitos 
por página na impressão deste livro se ajusta a uma distribuição de 
probabilidades de Poisson de parâmetro λ=0.75
( )2 2Pr 0.1791 0.05calcp value Xχ α− = > = > =
Teste do Chi-quadrado
Numa linha de empacotamento de leite, é pressuposto a 
capacidade dos pacotes siga uma lei de distribuição normal, com 
média 1 litro e variância 0.0004
Feita uma amostragem de 100 embalagens, pretende-se testar a 
validade deste pressuposto.
Teste do Chi-quadrado
Classe Frequência Absoluta
≤ 0.96 4
]0.96 , 0.97] 6
]0.97 , 0.98] 4
]0.98 , 0.99] 16
]0.99 , 1.00] 20
]1.00 , 1.01] 18
]1.01 , 1.02] 16
]1.02 , 1.03] 10
]1.03 , 1.03] 4
>1.04 2
Total 100
Teste do Chi-quadrado
0
5
10
15
20
25
0,955 0,965 0,975 0,985 0,995 1,005 1,015 1,025 1,035 1,045
Oi
Ei
Teste do Chi-quadrado
( ) ( )2 20 1: 1; 0.0004 : 1; 0.0004H X N H X Nµ σ µ σ= = = =/∼ ∼
Se H0 é válida, então:
( )22 2
( ; 1)
1
k
i i
k p
i i
O E
X
E α
χ − −
=
−=∑
Teste do Chi-quadrado
Classe iO ii
xz µσ
−= ( )inf supPr z Z z≤ ≤ iE ( )2i i
i
O E
E
−
 
} 0.96 4 } -2 0.0228 2.28 1.298 
]0.96 , 0.97] 6 ]-2.0 , -1.5] 0.0440 4.40 0.582 
]0.97 , 0.98] 4 ]-1.5 , -1.0] 0.0919 9.19 2.931 
]0.98 , 0.99] 16 ]-1.0 , -0.5] 0.1498 14.98 0.069 
]0.99 , 1.00] 20 ]-0.5 , 0.0 ] 0.1915 19.15 0.038 
]1.00 , 1.01] 18 ] 0.0 , 0.5 ] 0.1915 19.15 0.069 
]1.01 , 1.02] 16 ] 0.5 , 1.0 ] 0.1498 14.98 0.069 
]1.02 , 1.03] 10 ] 1.0 , 1.5 ] 0.0919 9.19 0.071 
]1.03 , 1.03] 4 ] 1.5 , 2.0 ] 0.0440 4.40 0.036 
>1.04 2 > 2.0 0.0228 2.28 0.034 
Total 100 1.000 100 2 5.197X = 
 
Teste de Kolmogorov-Smirnov
H0:A amostra provém de uma distribuição N(µ,σ2)
H1:A amostra não provém de uma distribuição N(µ,σ2)
Teste de Kolmogorov-Smirnov
1sup ,obs esp obs espi i i iDN fra fra fra fra− = − − 
Teste de Kolmogorov-Smirnov
Os seguintes dados referem-se à quantidade de malte (% sobre a 
matéria seca) de 14 amostras de cevada:
73.9 74.2 74.6 74.7 75.4 76.0 76.0
76.0 76.5 76.6 76.9 77.3 77.4 77.7
Verificar se o teor de malte segue uma distribuição normal.
Teste de Kolmogorov-Smirnov
Teste de Kolmogorov-Smirnov1sup , 0.1614obs esp obs espi i i iDN fra fra fra fra− = − − = 