Estatística Aplicada Slides

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MBA EM GESTÃO FINANCEIRA E 
CONTROLADORIA
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DA MAT. 
FINANCEIRA E ESTATÍSTICA APLICADA 
• Graduado em Análise de Sistemas pelo Centro de Estudos 
Superiores de Maceió CESMAC (2001), possui especialização em 
Gestão Estratégica de Sistemas de Informação pela Faculdade de 
Alagoas - FAL (2006). Mestrando em Ciências da Computação –
UFPE(2013...). Atualmente é Professor Especialista Tempo Integral 
da Faculdade Estácio de Alagoas - FAL. 
• Administrador de Redes
• Gerente de Projetos de TI
• Consultor em TI
APRESENTAÇÃO DO PROFESSOR
Acadêmico:
Profissional:
Apresentação da disciplina (2ª parte)
• Disciplina: Fundamento da Matemática Financeira e 
ESTATÍSTICA APLICADA Carga horária: 40h*
• Datas das Aulas: 20/02 e 27/02.
• EMENTA: Estatística descritiva; Probabilidade; 
Distribuições de Probabilidades; Estimação e Intervalos de 
Confiança; Testes de Hipóteses; Correlação e Regressão; 
Coleta de Dados e Métodos de Amostragem.
• Objetivo Geral: 
– Apresentar conceitos fundamentais de Estatística Aplicada.
Objetivos Específicos:
– Apresentar os fundamentos de estatística descritiva.
– Apresentar os conceitos de correlação e regressão e sua 
importância para estabelecer relações entre variáveis.
– Apresentar os fundamentos da teoria de probabilidades.
– Apresentar distribuições de probabilidade úteis na modelagem e 
solução de problemas.
– Apresentar princípios e métodos para coleta e tratamento de 
dados.
– Apresentar métodos de amostragem úteis na modelagem e 
solução de problemas.
– Apresentar princípios e métodos para estimação de parâmetros 
e estabelecimento de intervalos de confiança.
– Apresentar métodos para conduzir Testes de Hipóteses úteis na 
modelagem e solução de problemas.
MAPA CONCEITUAL – ESTATÍSTICA
Referências 
• BIBLIOGRAFIA BÁSICA
– SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books, 1993, 3ª Ed.;
– MORETTIN, L. G. Estatística Básica. Probabilidade. Volume 1. São 
Paulo: Pearson Education do Brasil, 1999, 7ª Ed;
– MORETTIN, L. G. Probabilidades. Probabilidade. Volume 2. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 1999, 7ª Ed;
• BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
– MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e 
Probabilidade.... Rio de Janeiro: LTC, 2009, 4ª Ed.;
– DEVORE, J. L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. 
São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006, 6ª Ed.
– NAZARETH, Helenalda. Curso Básico de Estatística. São Paulo, Editora 
Ática, 1995.
Sistema de Avaliação
• Nota mínima para aprovação na disciplina: 7
• Distribuição dos pontos:
– Será calculada a média de matemática financeira 
com estatística.
• Proposta de Avaliação para a Estatística Aplicada
– Participação nas aulas (2 pontos)
– Pesquisa/Trabalho (5 pontos)
– Exercício de Fixação (3 pontos)
Agenda
• Conceitos introdutórios
• Coleta de Dados e Métodos de 
Amostragem
• Estatística Descritiva e Correlação 
/ Regressão
• Probabilidade e Distribuições de 
Probabilidade
• Estimação e Testes de Hipóteses
Introdução à Estatística
• É fundamental o emprego da Estatística em quase todas as 
áreas do conhecimento, todas as vezes que estiverem 
envolvidas informações na forma de dados coletados em 
pesquisas ou de forma experimental.
• Com o objetivo de alcançar uma melhoria dos processos tanto 
nas áreas industriais como tecnológicas, as ferramentas 
estatísticas tem alcançado um papel importantíssimo nesse 
cenário.
Conceito de Estatística
Estatística é “um conjunto de 
técnicas e métodos de pesquisa 
que, entre outros tópicos, envolve o 
planejamento do experimento a 
ser realizado, a coleta qualificada 
dos dados, a inferência, o 
processamento, a análise e a 
disseminação das informações”. 
Todo profissional hoje em dia deve estar ciente da importância 
da Estatística e ter conhecimento de como utilizá-la, a fim de ter 
um lugar no mercado de trabalho com a capacidade de lhe dar 
com as realidades atuais extremamente competitivas. Dentre 
várias habilidades profissionais, vem crescendo em importância 
o desenvolvimento do pensamento estatístico, tendo em vista 
as necessidades de todas as áreas de conhecimentos de uma 
análise mais apurada durante os processos decisórios.
Estatística na área de Gestão
Observa-se que o controle de qualidade foi criado como uma necessidade 
de resolver problemas na redução de custos, no controle de perdas 
desnecessárias, na uniformização e normalização da produção, auxiliando 
as empresas a controlarem, melhor distribuírem e maximizarem os seus 
recursos, tornando-as assim mais competitivas.
Aplicação da Estatística
Recursos Humanos
• Pessoal / Folha de 
Pagamento.
• Avaliação de 
Desempenho
• Treinamento
• Recrutamento & 
Seleção
Operações
• Logística
• Qualidade Total
• Avaliação de Estoques
• Cadeia de Suprimentos
Aplicação da Estatística
Marketing
• Propaganda
• Pesquisa de Mercado
• Comportamento do 
Consumidor
• Endomarketing
Aplicação da Estatística
TI
• Monitoramento
• Gestão de Recursos
• Suporte
• Banco de dados
• Telecomunicações
• Desenvolvimento de 
software...
Aplicação da Estatística
Finanças
• Risco e Retorno de 
Investimentos
• Financiamento de 
Recursos
• Orçamento Empresarial
• Projeção de Resultados
Aplicação da Estatística
Motivação Estatística
• O objetivo fundamental da
Estatística é extrair informações
confiáveis a partir dos dados
coletados para a tomada de
decisão.
Há muito tempo que o homem 
faz descobertas importantes, 
que originaram muitos dos 
conhecimentos atuais. 
Entretanto muitas dessas 
descobertas foram ao acaso, ou 
em função de uma necessidade 
da época e muitas dessas 
descobertas não seguiram um 
caminho, roteiro ou um método 
específico. 
Método Científico
Hoje em dia os métodos de observação, estudo e análise fazem parte da 
maioria dos aumentos de conhecimentos atuais. Até mesmo os 
conhecimentos obtidos por descobertas ao acaso são desenvolvidos com 
base em métodos específicos, que chamamos de métodos científicos.
Os métodos são as trilhas que nos permite chegar a um objetivo, ou a 
um determinado resultado, sendo um conjunto de passos e 
procedimentos que repetidos fornecem um resultado específico. 
Dentre os métodos científicos destacamos o método estatístico e 
experimental.
Método Científico
Método Experimental
• Quando se realiza um experimento e se deseja 
analisar como se comportam seus resultados 
ao se alterar algum dos elementos 
componentes do experimento, é necessário 
manter constante os demais fatores (causas).
• Quando se usa este tipo de pesquisa, faz-se uma 
análise do problema, montam-se as hipóteses 
necessárias. 
• As alterações nas variáveis tanto em quantidade, 
quanto em qualidade, permite o estudo das 
relações de causas e efeitos do referido 
fenômeno em análise. Todo esse procedimento 
experimental permite que se possa avaliar e 
controlar os resultados obtidos.
Método Experimental
Pontos importantes do método experimental: 
 Indicar o objeto de estudo;
 Determinar as variáveis independentes 
capazes de influenciar o fenômeno em estudo;
 Identificar as ferramentas de análise, controle 
e observação dos efeitos, resultantes da manipulação
das variáveis, sobre o objeto.
Método Estatístico
• No método estatístico, observando suas várias etapas, 
podemos considerar que a mais importante muitas vezes 
não é a análise de dados. 
• Podemos dizer que a etapa que necessita de maior 
atenção e cuidado é o planejamento de como o conjunto 
de dados será coletado. 
• Um mau planejamento, ou mesmouma coleta 
feita de forma inapropriada pode acarretar em 
dados inúteis, de onde não se consegue tirar 
nenhuma informação ou qualquer conclusão 
coerente.
Método Estatístico
• O uso dos métodos estatísticos está praticamente 
em todos os setores e campos de estudo. 
• É possível utilizar o método na avaliação da 
produção, a fim de melhorar o controle de 
qualidade e permitir um produto melhor a 
custos menores; 
• utilizar no controle estatístico de doenças e 
epidemias, permitindo uma ação antecipada 
no controle de doenças;
• ou até mesmo na criação de 
regulamentações e leis, com a finalidade de 
proteger espécies em extinção, verificadas 
através de levantamentos estatísticos da 
população..
Abusos da Estatística
• Não é de hoje que ocorrem abusos com a 
Estatística. Assim é que, há cerca de um século, o 
estadista Benjamin Disraeli disse: 
• “Há três tipos de mentiras: as mentiras, 
as mentiras sérias e as estatísticas”. Já 
se disse também que “os números não 
mentem; mas os mentirosos forjam os 
números” e que “se torturarmos os 
dados por bastante tempo, eles acabam 
por admitir qualquer coisa”.
•O historiador Andrew Lang disse que algumas 
pessoas usam a Estatística “como um bêbado 
utiliza um poste de iluminação – para servir de 
apoio, e não para iluminar”.
• Todas essas afirmações se referem aos abusos 
da Estatística quando os dados são apresentados 
de forma enganosa.
Fases da Pesquisa
Pesquisa Estatística
Planejamento Coleta Crítica Análise Resultados
O que?
Onde?
Como?
Cronograma
Orçamento...
Aplicação
Do
Questionário
Validação
Dos dados
Coletados/
Organização 
Dos
Dados na 
planilha
Aplicação
De técnicas
estatísticas
Apresentação
Do relatório /
Resultados
Estudo da Estatística
Estatística Descritiva, que se preocupa com a
organização e descrição dos dados experimentais;
Estatística Indutiva (Estatística Inferencial), que
cuida da sua análise e interpretação, ou seja, tirar
conclusões sobre populações com base nos
resultados observados em amostras extraídas
dessas populações.
Estatística Probabilística – representa o estudo
de planejar jogadas ou estratégias de jogos de
azar , bem como o risco e o acaso em eventos
futuros.
População e Amostra
• População - Conjunto de
todos os elementos que
possuem pelo menos
uma característica em
comum.
• Amostra - Subconjunto
representativo da
população
Variáveis
• Qualitativa – quando 
seus valores são 
expressos por atributos. 
Exemplo : Sexo , Cor da 
Pele.
• Quantitativa – quando 
seus valores são 
expressos por números. 
Exemplo : altura, 
numero de alunos de 
um colégio.
Variáveis Quantitativas
• Discretas – variáveis 
que só podem assumir 
valores pertencentes a 
um conjunto 
enumerável. Exemplo : 
numero de alunos de 
uma escola. 
• Contínuas – quando 
uma variável pode 
assumir qualquer valor 
entre dois limites. 
Exemplo : Peso de um 
adulto pode ser de 70 
Kg ou 70,1 Kg ou 79,13 
Kg ou 70,134 Kg.
Organização dos dados. 
• Os dados estatísticos podem estar organizados ou desorganizados.
• Quando desorganizados recebem a denominação de “dados 
estatísticos brutos”. Por exemplo: Z = (5, 2, 4, 1, 3)
• Já quando organizados recebem a denominação de “dados 
organizados em Rol”. Por exemplo: Z = (1, 2, 3, 4, 5)
• O Rol pode ser organizado em ordem numérica, alfabética ou 
alfanumérica, de forma crescente ou decrescente.
Por exemplo: Z = (1, 2, 3, 4, 5)
Z = (A, B, C, D, E)
Z = (5, 4, 3, 2, 1) 
Tipologias de variáveis
• Para cada fenômeno existe um número correspondente de 
resultados possíveis. Por exemplo:
• fenômeno - “sexo” dois os resultados possíveis são: masculino e 
feminino;
• fenômeno - “número de filhos” o número de resultados possíveis, é 
expresso através dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n;
• fenômeno “altura” os resultados podem tomar um número infinito 
de valores numéricos dentro de um certo intervalo.
• Neste momento cabe reforçar a definição de Variável: 
 é um conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.
• A partir dos exemplos anteriores podemos afirmar que os dados 
estatísticos também podem ser identificados segundo o seu tipo 
ou espécie, ou seja:
• Dados contínuos – são aqueles em que a variável pode assumir 
qualquer valor dentro de um intervalo, como para o caso do 
exemplo “altura” , em que são aceitos valores desde 1,40 até 2,30. 
Neste caso a variável é dita variável quantitativa contínua. 
• Neste ponto cabe esclarecer algumas regras de aproximação e 
arredondamento de dados segundo a NBR 5891 da ABNT:
Amostragem Não Probabilística
• Acidental ou de conveniência – indicada para
assuntos exploratórios.
• Intencional – Escolhe-se um grupo específico.
• Quotas ou proporcional – É necessário o
conhecimento prévio da população.
Amostragem Probabilística
• Aleatória Simples – é utilizada uma tabela de 
números aleatórios.
• Aleatória Estratificada – Estratifica cada 
subconjunto através de critérios.
• Conglomerado – Por sorteio é indicado um 
conjunto.
Tabelas 
I. Tabelas
• Por definição tabela é um conjunto de observações de alguma 
forma organizadas e distribuídas em um quadro.
II. Séries estatísticas
• Por definição, série estatística é toda a tabela que representa um 
determinado conjunto de dados estatísticos organizados segundo a 
cronologia, o local ou a categoria.
Título 
Variável A Variável B 
Linhas com os Valores da variável A Linhas com os Valores da variável B 
 
II.A Série cronológica ou temporal ou histórica
• Descreve os valores da variável, em local específico, de acordo 
com intervalos de tempo variáveis.
II.B Série geográfica ou territorial
• Descreve os valores da variável, em determinado instante, 
segundo diversos locais.
PRODUÇÃO MÉDIA DE FEIJÃO NO BRASIL 2007-2008 
ANOS 
PRODUÇÃO 
(1.000 t) 
2007 
2008 
51 138 
52 223 
 
Tempo de espera por um ônibus – 2001. 
Estado Tempo em min. 
Pernambuco 
Bahia 
Sergipe 
Alagoas 
Paraíba 
 
7,5 
7,0 
7,0 
5,9 
Menos de 4 
 
II.C Série especificativa ou categórica
• Descreve os valores da variável, em determinado tempo e local, 
segundo espécies ou categorias.
II.D Série mista
• É uma série conjugada, pois pode variar simultaneamente o 
tempo, o fato e o lugar. 
 O que vai fazer com a participação nos lucros? - 2009 
Opções 
Valor percentual 
(%) 
Pagar dívidas 
Fazer compras 
Investir 
40 
43 
 17 
 
População Urbana do Brasil por Região 
ANO REGIÃO 
N NE SE S CO 
1940 406 3381 7232 1591 271 
1950 581 4745 10721 2313 424 
1960 958 7517 17461 4361 1007 
1970 1.624 11753 28965 7303 2437 
1980 3.037 11567 42810 11878 5115 
GRÁFICO ESTATÍSTICO
• Forma de se apresentar os dados estatísticos.
Objetivos:
• produzir uma impressão mais rápida e viva do
fenômeno em estudo,
• causar melhor impressão visual.
Gráficos Estatísticos e Tabelas facilitam a análise e a
interpretação.
INDICADORES DE CONSUMO 
MELHORAM EM JANEIRO 
Miriam Leitão
TIPOS DE GRÁFICOS
• Diagramas
Gráficos geométricos dispostos em, no máximo, duas
dimensões.
• Cartogramas
Ilustrações relativas a cartas geográficas, utilizadas em
Geografia, História e Demografia.
• Pictogramas
Processo gráfico no qual constam figuras.
• Diagramas 
Gráfico em linha ou em curva.
Gráfico em colunas ou em barras.
Gráfico em colunas ou em barra múltiplas.
Gráfico em setores.
• Cartogramas 
• Pictogramas
TIPOS DE GRÁFICOS
GRÁFICOS EM LINHA OU EM CURVA
• Utiliza uma linha poligonal.
• Utiliza o Sistema de Coordenadas Cartesianas.
GRÁFICOS EM LINHA OU EM CURVA
GRÁFICOEM COLUNAS
• Utiliza retângulos dispostos verticalmente. 
• Os retângulos têm a mesma base e as alturas são 
proporcionais aos respectivos dados.
GRÁFICO EM COLUNAS
GRÁFICOS EM BARRAS
• Utiliza retângulos dispostos horizontalmente.
• Os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos
das bases são proporcionais aos respectivos dados
GRÁFICO EM COLUNAS/BARRAS MÚLTIPLOS
• Representa simultaneamente dois ou mais fenômenos 
estudados com o objetivo de compará-los.
GRÁFICO EM SETORES
• Gráficos de pizza.
• Construído com base em um círculo, dividido em setores, de
acordo com o numero de parcelas.
• Os 3600 disponíveis no círculo são repartidos proporcionalmente.
• Regra de 3 simples, onde a soma de todas as parcelas
corresponde a 3600.
• Ressalta a participação de cada parcela no todo.
GRÁFICO EM SETORES
Exercícios
• A tempe
( ) A temperatura máxima observada foi de 30 °C .
• A tempe
( ) Às 09:00 horas a temperatura era mais elevada do que às 08:00 
horas.
( ) A variação das temperaturas observada foi de 6 °c .
CARTOGRAMA
• Representam a cartas geográficas
• Objetivo: apresentar dados estatísticos relacionados
com áreas geográficas ou políticas.
• Utilizado em Geografia, História e Demografia.
• Dados absolutos (população): pontos em numero
proporcional aos dados.
• Dados relativos (densidade): hachuras ou cores.
CARTOGRAMAS
PICTOGRAMAS
Processo gráfico
no qual constam
figuras.
População Urbana no Brasil 
em 1980 (x10)
PICTOGRAMAS
PICTOGRAMAS
Amostra dos alunos de uma escola sobre os seus desportos preferidos.
Qual a relação entre os alunos que preferem futebol e volei?
Qual foi o aumento de produção entre os anos de 1996 e
1997?
PICTOGRAMAS
Quantos livros de autores portugueses foram vendidos? 
Qual foi o genero de livro menos vendido nesse mês? 
( ) Lúcia tem mais moedas da Austrália do que do Canadá. 
( )O país do qual a Lúcia possui mais moedas é a Suíça. 
( ) Lúcia tem mais 3 moedas do Brasil do que da Africa do Sul 
( ) Lúcia tem menos moedas do Canadá do que do Brasil 
( ) O número de moedas que a Lúcia tem na sua colecção é 84.
(a) Gráfico em linha/curva (d) Grafico em Barras
(b) Grafico em Colunas (e) Grafico em Setores
(c) Pictograma (f) Cartograma 
(a) Gráfico em linha/curva (d) Grafico em Barras
(b) Grafico em Colunas (e) Grafico em Setores
(c) Pictograma (f) Cartograma 
(a) Gráfico em linha/curva (d) Grafico em Barras
(b) Grafico em Colunas (e) Grafico em Setores
(c) Pictograma ( f) Cartograma 
(a) Gráfico em Colunas Multiplas
(b) Grafico em Barras Multiplas
(c) Pictograma (d) Cartograma 
(a) Gráfico em linha/curva (d) Grafico em Barras
(b) Grafico em Colunas (e) Grafico em Setores
(c) Pictograma (f) Cartograma 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA 
DISTRIBUIÇÃO
• Histograma, Polígono de Frequência, Polígono de
Frequência Acumulada (Ogiva de Galton).
• Utilizam o primeiro quadrante do sistema de eixos
coordenados cartesianos ortogonais.
• Eixo das abscissas: valores da variável.
• Eixo das ordenadas: freqüências.
HISTOGRAMAS
Histograma referente à distribuição do número de candidatos
segundo as notas finais acumuladas nas duas etapas, com os
respectivos pesos. 1998 UnB
HISTOGRAMAS
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA
• Gráfico em linha, com as freqüências marcadas sobre
as perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos
pontos médios dos intervalos de classe.
• É a linha poligonal fechada que une ordenadas
traçadas dos pontos médios das classes.
• Sua construção é feita, quase sempre,
acompanhando a do histograma
Polígono de frequências sobre a duração das
comunicações por telefones.
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA
•Ogiva de Galton
•Sir Francis Galton 1822-1911 
•Ogiva: gráfico de uma distribuição
cumulativa
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA 
(OGIVA DE GALTON)
Representa frequência acumulada.
Mantém o eixo das abscissas
Altera a escala do eixo das ordenadas, conforme o tipo
dessa frequência.
Construção: marcamos na abscissa os valores da
variável (limites superiores dos intervalos) e na ordenada
as freqüências acumuladas.
HISTOGRAMA/POLÍGONO DE FREQUÊNCIA
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA
• Questões para revisão de conteúdo: 
- Coloque F para falso e V para verdadeiro:
( ) Estatística é a ciência que estuda quantitativamente os 
fenômenos naturais ou sociais, cuja avaliação está baseada 
em métodos científicos de coleta, organização, 
apresentação e análise de dados.
( ) Amostra é um subconjunto das observações abrangidas 
pela população, através da qual se faz um estudo ou 
inferência sobre as características da população.
- Tomando por base o texto abaixo: 
• Ao chegarmos a uma Empresa em que exista risco de 
acidentes, não precisamos percorrer todos os ambientes de 
trabalho, obrigatoriamente, para conseguirmos chegar à 
conclusão, bem próxima à realidade, de que existe o 
cuidado com a proteção do trabalhador. Para tanto, basta 
que seja observado, através de inspeção em alguns setores 
de cada Departamento, por exemplo, se todos possuem e 
estão usando os Equipamentos de Proteção Individual e 
Coletiva, bem como atendendo os procedimentos 
operacionais estabelecidos. 
Podemos afirmar que estamos tratando do conceito de:
a) Amostra;
b) População;
c) Censo;
d) Conjunto Universo.
- Coloque F para falso e V para verdadeiro
( ) Os dados organizados recebem a denominação de 
“dados organizados em Rol”!
( ) Variável é um conjunto de resultados possíveis de um 
fenômeno.
( ) Dados contínuos são aqueles em que a variável pode 
assumir qualquer valor dentro de um intervalo.
Considere uma faculdade com 2.000 estudantes dos quais
1.200 estudam Administração e 800 estudam
Ciências Contábeis. Considerando que 40% dos
alunos de Administração e 30% dos alunos de
Ciências Contábeis possuem bolsas de estudo,
responda:
a) Quantidade de estudantes de Administração que
possuem bolsas de estudo.
b) Quantidade de estudantes de Ciências Contábeis que
não possuem bolsas de estudo.
c) Dentre os bolsistas, qual o percentual de alunos de
Administração ?
d) Dentre os não bolsistas , qual o percentual de alunos
de Ciências Contábeis?
Medidas de Posição Central
• Em uma dada distribuição amostral, é possível fazer várias observações, no 
intuito de entender o comportamento dos seus valores. 
• Podemos, por exemplo, tentar localizar a maior concentração de valores de uma 
determinada distribuição. 
• Revisaremos então as medidas de posição. São elas: as medidas de tendência 
central e as separatrizes. 
Medidas de tendência Central
• As medidas de tendência central são valores 
que, de maneira condensada, trazem 
informações contidas nos dados estatísticos;
• É um valor que tende a melhor representar 
um conjunto de números. Funcionam como 
um resumo, passando a ideia do 
comportamento geral dos dados.
• Resumindo: Representam um valor central em 
torno do qual os dados se concentram e se 
distribuem.
Médias 
MÉDIA ARITMÉTICA
 SIMPLES  a média aritmética, ou média, de um conjunto de N 
números X1, X2, ...., Xn é definido por:
_
X = X1 + X2 + ....... + Xn / n
EXEMPLO :
 {1, 1, 3, 4, 4} X = 1 + 1+ 3 + 4 + 4 = 13 = 2,6
 MÉDIA PONDERADA  Se os valores X1, X2, ...., Xn ocorrerem 
com freqüências f1, f2, ....., fn, então:
_
X = X1 f1 + X2 f2 + ..... + Xn fn =  Xi fi
----------------------------------- ----------
f1 + f2 + ..... + fn fi
MODA
Pode-se definir como moda o valor mas freqüente, quando 
comparada sua freqüência com a dos valores contíguos de um 
conjunto ordenado. A moda pode não existir e, mesmo que exista, 
pode não ser única.
EXEMPLOS : 
 X = 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8
moda = 6 – valor mais freqüente – unimodal
 Y = 2, 3, 4, 5, 6
não tem moda – amodal
 Z = 2, 4, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9
tem duas modas 4 e 8 – bimodal
MODA
FÓRMULA PARA DADOS AGRUPADOS:
Mo =( l * + L * ) / 2 
Ou 
Mo = l* + h ( D1 / D1 + D2) 
Sendo:
l*  Limite Inferior da Classe Modal.
L*  Limite Inferior da Classe Modal.
h  intervalo de classe.
D1  Frequencia Simples – Frequencia Anterior.
D2  Frequencia Simples – Frequencia Posterior
Mediana
Corresponde ao valor do elemento central de uma amostra.
FÓRMULA PARA DADOS AGRUPADOS:
Md = l* + h ( Xm – F(Ant) / f*) 
Sendo:
l*  Limite Inferior da Classe Mediana.
f*  frequencia simples da classe mediana.
h  intervalo de classe.
Xm  Valor Mediano.
Medidas de tendência Central
Medidas de Posição
• Na análise da distribuição de uma variável, há grande interesse de determinarmos 
qual o valor que divide a distribuição em duas partes iguais, quatro partes iguais, 
dez partes iguais e cem partes iguais. A estes valores (separatrizes) chamaremos 
respectivamente de:
 Quartis
 Decis
 Percentis
• O interesse no conhecimento das separatrizes decorre do fato de a partir delas 
poderemos introduzir os índices de Pearson, de uso muito prático na descrição de 
uma variável X.
Medidas de Posição
• QUARTIS  dividem a distribuição em quatro partes 
iguais.
Qnq = X ( nqn / 4 + ½) 
Sendo:
• Qnq  primeiro, segundo e terceiro quartil ( i = 1, 2 
e 3)
• nq  número do quartil que se deseja obter
• X  elemento da série ordenada 
• n  tamanho da amostra
Medidas de Posição
DECIS – Dividem a distribuição ordenada em dez partes 
iguais.
• Dnq = X ( Dqn / 10 + ½) 
• Sendo:
• Dnq  primeiro até o nono decil ( i = 1, 2 ... e 9)
• nq  número do Decil que se deseja obter
• X  elemento da série ordenada 
• n  tamanho da amostra
Medidas de Posição
• PERCENTIS : Dividem a distribuição ordenda 
em cem partes iguais.
• Cnq = X ( Cqn / 100+ ½) 
• Sendo:
• Cnq  primeiro ao nonagésimo nono centil ( 
i = 1, 2 ....e 99)
• nq  número do Centil que se deseja obter
• X  elemento da série ordenada 
• n  tamanho da amostra
Exercícios:
1. Determine a mediana para os dados (1, 5, 8, 9, 10):
a) 3,3 
b) 8 
c) 6,6 
d) 5 
Exercícios:
2. Determine a média para os dados (2, 3, 10, 15, 15):
a) 10 
b) 13 
c) 15 
d) 9
Exercícios:
3. A moda representa:
a) O elemento central da distribuição. 
b) A diferença entre a média e a mediana. 
c) O elemento de maior frequência na distribuição de 
valores. 
d) A soma de todos os valores, dividido pela quantidade de 
dados. 
Exercícios
4) Considere a seguinte amostra de uma pesquisa feita 
com 15 consumidores que atribuíram as seguintes 
notas a uma mercadoria , numa escala de 0 a 100 : 65, 
68, 70, 75, 80, 80 ,82 ,85, 90 ,90, 90, 95, 98, 100, 100.
Calcular :
a) A Média
b) Moda
c) 3º Quartil
Exemplo usando Excel
• Determine a média, a moda, a mediana, Os quartis da 
amostra abaixo, depois Construa uma tabela de 
distribuição de frequências:
44 48 53 54 56 56
56 57 60 60 62 63
63 63 63 65 66 67
68 68 69 69 70 71
72 74 77 78 80 81
82 85 90 93 95 95
97 100 106 107
• As medidas de dispersão dizem como se 
distribuem os valores em torno da média da 
amostra (ou população). Elas são:
– Amplitude
– Variância
– Desvio Padrão
– Coeficiente de Variação
Medidas de Dispersão
• AMPLITUDE
–É a diferença entre o maior e o menor 
dado observado.
–A amplitude não mede bem a 
dispersão dos dados porque, em seu 
cálculo, usam-se apenas os valores 
extremos – e não todos os dados.
Medidas de Dispersão
Aluno Notas Média
Antônio 5 5 5 5 5 5
João 6 4 5 4 6 5
José 10 5 5 5 0 5
Pedro 10 10 5 0 0 5
Exemplo:
Antônio  a = 5-5 =0
João  a = 6-4 = 2
José  a = 10-0 = 10
Pedro  a = 10-0 = 10
Medidas de Dispersão
Medidas de Dispersão
Variância
A variância da amostra, representada por s2, é 
obtida somando-se os quadrados dos desvios, em 
relação à sua média e dividindo o resultado pelo 
número de observações menos um.
1
)( 2
2




n
xx
s
1
)( 2
2
2





n
n
x
x
s
Exemplo: Considere dois bancos com as seguintes taxas de
serviços:
Banco A: 8,9,10,8,6,11,7,13.
Banco B: 7,3,10,6,5,13,18,10.
Calcule a variância desses dois conjuntos.
Banco A:
Medidas de Dispersão
X
8
9
10
8
6
11
7
13
Média
9
9
9
9
9
9
9
9
X - média
-1
0
1
-1
-3
2
-2
4
(X – média)2
1
0
1
1
9
4
4
16
1
)( 2
2




n
xx
s
36
  2)( xx
14,5
7
362 s
Medidas de Dispersão
X
7
3
10
6
5
13
18
10
X2
49
9
100
36
25
169
324
100
72
 x
?2 s
812
 2x
1
)( 2
2
2





n
n
x
x
s
Exemplo: Considere dois bancos com as seguintes taxas de
serviços:
Banco A: 8,9,10,8,6,11,7,13.
Banco B: 7,3,10,6,5,13,18,10.
Calcule a variância desses dois conjuntos.
Banco B:
Medidas de Dispersão
• DESVIO -PADRÃO
–O desvio padrão é a raiz quadrada do 
valor obtido para a variância.
–Ele é o valor que quantifica a dispersão 
dos eventos sob distribuição normal, ou 
seja, a média das diferenças entre o 
valor de cada evento e a média central.
Medidas de Dispersão
Coeficiente de Variação
• Corresponde à relação entre o desvio-padrão e a 
média.
• Ele mede a dispersão relativa em relação à média.
100
x
s
CV
Medidas de Dispersão
• Calcule o desvio-padrão da amostra: 4, 5, 5, 7 e 8 e 
marque a opção correta: 
A) 2,56. 
B) 1,64. 
C) 5,80. 
D) 1,80. 
Medidas de Dispersão
• Calcule o desvio-padrão da amostra: 2, 2, 7, 8 e 9 e 
marque a opção correta: 
A) 5,6. 
B) 3,36. 
C) 7,6. 
D) 1,30. 
E) 1,70. 
• O Desvio Padrão, bem como a Variância, é uma 
medida de dispersão. Uma daquelas que 
medem o quanto cada elemento de uma 
distribuição se desviou de um valor central. No 
caso, este valor central é a média. As notas do 
aluno João ao longo de 6 simulados feitos por 
ele foram: 4,0 - 7,0 - 6,0 - 6,0 - 8,0 - 5,0 
determine o desvio padrão dessas notas.
Medidas de Dispersão
• ENEM 2010 - Questão 170 – Prova Rosa.
• Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no 
concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou 
superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da 
pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos 
obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a 
média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.
• Dados dos candidatos no concurso
• O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no 
concurso, é:
• A) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
• B) Marco, pois obteve menor desvio padrão.
• C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português.
• D) Paulo, pois obteve maior mediana.
• E) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
Medidas de Dispersão
Produto A Produto B
25,5 27,0
26,0 27,0
26,5 27,0
25,0 27,0
26,0 26,0
25,0 27,0
24,0 27,5
25,0 27,0
25,5 28,0
26,0 26,0
Calcule a média e o desvio padrão dos dados 
apresentados na tabela abaixo:
Peso em gramas de um produto.
Medidas de Dispersão (Excel)
100,0 97,5
100,0 85,0
97,5 85,0
80,0 80,0
Calculea variância, o desvio padrão e o 
coeficiente de variação dos dados da tabela 
abaixo:
Conceito de qualidade de uma 
pesquisa a um determinado serviço
Medidas de Dispersão (Excel)
Noções sobre correlação
• Existem situações em que interessa estudar
o comportamento conjunto de duas
variáveis. O comportamento conjunto de
duas variáveis aleatórias contínuas pode ser
observado através do gráfico de dispersão,
no qual cada variável é plotada em cada eixo
cartesiano, ou através de uma medida
estatística denominada coeficiente de
correlação.
Noções sobre correlação
• O termo correlação significa relação nos dois
sentidos: descreve a associação entre duas
variáveis, não fazendo julgamento sobre se uma é
causa ou conseqüência da outra. A correlação é
usada quando se deseja estudar quão
consistentemente duas variáveis mudam em
conjunto. Quando isto ocorre diz-se que há uma
correlação ou covariação, cuja direção e magnitude
podem ser quantificadas.
Diagrama de dispersão
• Para desenhar uma diagrama de dispersão, 1º
se traça o sistema de eixos cartesianos. Depois
se representa uma das variáveis no eixo dos X
e a outra variável no eixo dos Y. Colocam-se,
então, os valores das variáveis sobre os
respectivos eixos e marca-se um ponto para
cada par de valores.
Correlação: Positiva e Negativa
• Correlação positiva – as variáveis X e Y 
crescem no mesmo sentido, isto é, à medida 
que x cresce, em média, Y também cresce.
• Correlação negativa – as variáveis X e Y 
variam em sentidos opostos, isto é, caso X 
cresça, Y em média decresce.
• Correlação nula – não há interação entre as 
variáveis X e Y.
Coeficiente de correlação ( r )
• Sejam X e Y duas variáveis aleatórias de uma população, das 
quais é selecionada uma amostra de pontos (x;y). A correlação 
entre as variáveis X e Y quantifica o grau da relação linear 
entre os resultados.
• A correlação entre as variáveis aleatórias X e Y da população é 
estimada pelo coeficiente de correlação de Pearson, denotado 
por r:
   

























 
n
y
y
n
x
x
n
yx
xy
r
2
2
2
2
***O coeficiente de correlação ( r )varia entre –1 e +1.
Grau de correlação
• CHADDOCK propôs a seguinte classificação quanto 
ao grau de correlação:
Classificação do grau de correlação
r = 0 Não há correlação
r < 0,5 Correlação Fraca
r > 0,5 Correlação Média
r > 0,75 Correlação Forte
r = 1 Correlação Perfeita
Resumindo...
• O coeficiente de correlação mede o “ajuste” de uma
reta traçada o mais próximo possível dos pontos que
a determinaram, isto é, quão próximos da reta
traçada se encontram os pontos. O gráfico ou
diagrama de dispersão mostra se as duas variáveis
variam no mesmo sentido (r > 0), em sentidos
opostos (r < 0),ou se as duas variáveis não variam
em conjunto (r = 0). Portanto o coeficiente de
correlação varia de -1 a +1, denominando a
correlação para esses valores extremos de:
correlação perfeita e negativa (r = -1) e correlação
perfeita e positiva (r = +1).
Exercício
Exercícios
• 1 - Faça um diagrama de dispersão e avalie se 
existe correlação e qual o seu tipo.
Dia Carros Vendidos
1 10
5 8
10 7
15 6
20 4
25 2
30 1
0
2
4
6
8
10
12
0 5 10 15 20 25 30 35
Q
t 
d
e 
ca
rr
o
s 
ve
n
d
id
o
s 
(y
)
Dias do mês (x)
Exercícios
• 2 - Faça um diagrama de dispersão e calcule o 
coeficiente de correlação para os dados 
apresentados na tabela abaixo:
X Y
3 2
5 2
4 7
2 7
1 2
Dados relativos a duas variáveis X e Y
Exercícios
• Um administrador de entrevistadores aferiu as semanas de experiência 
e o número de entrevistas realizadas numa amostra com 10 
entrevistadores revelando os seguintes dados:
• Determine o coeficiente de correlação.
Semanas de 
experiência
Nº de entrevistas 
realizadas
15 4
41 9
58 12
18 6
37 8
52 10
28 6
24 5
45 10
33 7
15
18
24
28
33
37
41
45 52
58
0
2
4
6
8
10
12
14
15 18 24 28 33 37 41 45 52 58
nº
 d
e 
en
tr
ev
is
ta
s 
re
al
iz
ad
as
Semanas de experiência
Experiência de entrevistadores
Desafio ( Excel )
• 3 – Em um trabalho analisando a produção de uma determinada peça, foi
obtido tanto o tempo quanto a quantidade de peças produzidas. Os
dados estão na tabela abaixo.
Produção (Qt) Tempo (em
horas)
25 2,7
45 2,7
60 3,5
68 3,7
80 5,8
100 5,1
120 4,8
140 11,7
143 11,1
148 14,2
Construa um diagrama de dispersão. Você 
acha que existe correlação entre as medidas?
Noções sobre Regressão Linear
• Todas as vezes que temos duas variáveis com certa 
correlação e desejamos estudar uma variável em 
função da outra, fazemos uma análise de regressão.
• O objetivo principal da análise de regressão é realizar 
a relação entre as duas variáveis, a partir de um 
modelo matemático linear, partindo de n 
observações delas.
• A variável sobre a qual desejamos fazer a estimativa 
é denominada variável dependente e a outra recebe 
o nome de variável independente.
Noções sobre Regressão Linear
• Anteriormente foi estudado o 
comportamento conjunto de duas variáveis, 
agora será estudado como uma variável 
varia em função da outra.
• Quando se estuda a variação da variável Y
em função de uma variável X, diz-se que Y é 
a variável dependente e que X é a variável 
explanatória.
Reta de regressão
• Dada uma nuvem de pontos de configuração
aproximadamente retilínea, é sempre possível interpolar
a esses pontos uma reta – Reta de Regressão - com o
objetivo de produzir uma informação simplificada.
Tempo 
(minutos)
Produtos 
Fabricados
2 4
3 6
5 10
8 16
10 19
12 21
14 28
15 32
y = 2,0073x - 0,3127
R² = 0,9809
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Produtos Fabricados
• Para que esta reta fique bem determinada é necessário que 
se calcule: 
– O coeficiente angular – que dá a inclinação da reta – é representado 
por b.
– O coeficiente linear – que é o ponto que intercepta o eixo dos Y, 
representado por a.
Reta de regressão



 



n
x
x
n
yx
xy
b
2
2
)(
xbya 
x
*Onde e são as médias de Y e X respectivamente.
y
Reta de regressão
• Assim a equação da reta de regressão ficará:
bxaY 
^
são os valores calculados para Y
Agora que já conhecemos as fórmulas, 
ajuste a reta de regressão do primeiro 
exemplo desta apresentação.
Resolução do Exemplo
Tempo (X) 
(minutos)
Produtos 
Fabricados (Y)
X^2 X.Y
2 4 4 8
3 6 9 18
5 10 25 50
8 16 64 128
10 19 100 190
12 21 144 252
14 28 196 392
15 32 225 480
69 136 767 1518



 



n
x
x
n
yx
xy
b
2
2
)(
xbya  bxaY 
^
Fórmulas:
Coeficiente Angular Coeficiente Linear Equação da reta
17y 625,8x
0
5
10
15
20
25
30
35
0 5 10 15 20
Produtos Fabricados
Ajustando a reta – Transformação de Variáveis
Para que uma regressão linear simples possa ser 
ajustada aos dados, muitas vezes se torna necessário 
transformar uma ou as duas variáveis, já que, em 
alguns casos as duas variávies não se distribuem em 
torno de uma reta e sim, de uma curva ou mesmo de 
número muito grande de retas, ocasionando desta 
maneira, uma margem grande de erros, caso não haja a 
TRANSFORMAÇÃO DE VARIÁVEIS.
• Essa transformação pode ser:
– O logaritmo de uma variável
– A extração de raiz quadrada
– A inversão da variável.
Exercícios
• Um administrador de entrevistadores aferiu as semanas de experiência e o 
número de entrevistas realizadasnuma amostra com 10 entrevistadores 
revelando os seguintes dados:
• Ajuste uma reta de regressão aos dados apresentados.
Semanas de 
experiência
Nº de entrevistas 
realizadas
15 4
41 9
58 12
18 6
37 8
52 10
28 6
24 5
45 10
33 7
15
18
24
28
33
37
41
45 52
58
0
2
4
6
8
10
12
14
15 18 24 28 33 37 41 45 52 58
nº
 d
e 
en
tr
ev
is
ta
s 
re
al
iz
ad
as
Semanas de experiência
Experiência de entrevistadores
Resolução



 



n
x
x
n
yx
xy
b
2
2
)(
xbya  bxaY 
^
Fórmulas:
Coeficiente Angular Coeficiente Linear Equação da reta
Semanas de 
experiência (X)
Nº de entrevistas 
realizadas (Y)
15 4
41 9
58 12
18 6
37 8
52 10
28 6
24 5
45 10
33 7
x^2
225
1681
3364
324
1369
2704
784
576
2025
1089
X.Y
60
369
696
108
296
520
168
120
450
231
351 77 14141 3018
7,7y
1,35x
Desafio ( Excel )
• Em um trabalho analisando a produção de uma determinada peça, foi
obtido tanto o tempo quanto a quantidade de peças produzidas. Os
dados estão na tabela abaixo.
, Tempo (em
horas)
25 2,7
45 2,7
60 3,5
68 3,7
80 5,8
100 5,1
120 4,8
140 11,7
143 11,1
148 14,2
Utilizando o Excel, Construa um diagrama de 
dispersão e Ajuste uma reta de regressão 
aos dados apresentados.
Conteúdo Programático desta aula
 Conhecer a definição de 
probabilidade e seus principais 
teoremas;
 Aprender o significado e aplicação 
dos eventos complementares, dos 
eventos independentes, bem como os 
eventos mutuamente exclusivos;
 Entender a definição dos conceitos 
de experimento aleatório e do espaço 
amostral, assim como suas 
finalidades, utilizações e aplicações 
no campo da teoria da probabilidade 
em estatística.
• O estudo de probabilidades diz respeito a experiências 
aleatórias, cujo resultado não pode ser conhecido "a 
priori" antes que a experiência seja efetivamente 
realizada e o seu resultado observado. Embora o 
resultado de uma experiência aleatória seja imprevisível 
existe certo tipo de regularidade presente neste tipo de 
experiência, e isto nos permite criar modelos para 
representar fenômenos aleatórios.
O estudo da probabilidade vem da necessidade 
de em certas situações, prevermos a 
possibilidade de ocorrência de determinados 
fatos.
• Ao começarmos o estudo da probabilidade, 
normalmente a primeira ideia que nos vem à mente 
é a da sua utilização em jogos, mas podemos utilizá-
lo em muitas outras áreas. Um bom exemplo é na 
área comercial, onde um site de comércio eletrônico 
pode dela se utilizar, para prever a possibilidade de 
fraude por parte de um possível comprador.
Experimento Aleatório 
Experimentos cujos resultados podem 
apresentar variações, mesmo quando 
realizados em condições
praticamente iguais.
Ex.: Lançamento de um dado
Observação do sexo de recém-nascidos
Lançamento de uma moeda
Jogar duas moedas
Espaço Amostral ( S )
Conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento aleatório.
Ex.: S1 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } (lançamento de um dado)
S2 = { M, F }
S3 = { C , K } onde, C = cara K= coroa
S4 = { 0 , 1 , 2 , 3 ,... } (números naturais)
S5 = { CC, CK, KC, KK } (Lançamento de duas moedas)
Evento
É qualquer subconjunto do espaço amostral, 
geralmente denotado por letras maiúsculas.
Quando lançamos um dado ou uma moeda, 
chamamos a ocorrência deste fato de evento. 
Qualquer subconjunto de um espaço amostral 
é um evento.
E = lançamento de um dado
S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
A = sair face par
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
Suponha que uma experiência aleatória tem 
apenas um número finito de resultados possíveis.
Seja A um evento associado a essa experiência 
aleatória. Então a probabilidade do evento A é 
dada por:
P(A) – probabilidade de ocorrer o evento A
f – número de casos FAVORÁVEIS à 
ocorrência de A
p – Número de casos POSSÍVEIS
 
p
f
AP 
Importante:
A probabilidade varia entre 0 e 1:
Caso seja igual a um chama-se EVENTO CERTO.
Caso seja igual a zero chama-se EVENTO IMPOSSÍVEL. 
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
A probabilidade de um evento ocorrer (Luís voltar para 
casa primeiro) considerando-se um espaço amostral 
(Pedro, João e Luís) é igual a razão do número de 
elementos do evento (1, apenas Luís) para o número de 
elementos do espaço amostral (3, o número de irmãos 
que foram brincar na rua), desde que espaço o amostral 
seja um conjunto equiprovável, ou seja, todos os seus 
elementos tenham a mesma possibilidade de ocorrer (as 
condições de retorno para casa são as mesmas para os 
três irmãos).
Probabilidade condicional
É a probabilidade de ocorrer determinado 
evento sob uma dada condição. Indica-se a 
probabilidade condicional de ocorrer o 
evento A sob a condição de ter ocorrido B 
por P(A/B), que lê-se probabilidade de A 
dado B.
Exemplo: Joga-se um dado e sabe-se que 
saiu um número ímpar. Qual a 
probabilidade desse número ter sido o 
número 3?
Eventos independentes
Dois eventos são independentes
quando a probabilidade de ocorrer um 
deles não é modificada pela ocorrência 
do outro.
Teorema do produto
Para eventos independentes:
P(A e B) = P(A). P(B)
Para eventos dependentes:
P(A e B) = P(A). P(B/A)
Exemplo: Em um saco temos dez bolas, quatro brancas e 
seis vermelhas. Iremos fazer o sorteio de 2 bolas (com 
reposição), qual a probabilidade de sair uma bola branca e 
uma bola vermelha desse sorteio?
P(B e V)= P(B) . P(V)= 4/10 . 6/10 = 24/100
Teorema da Soma
Para eventos independentes:
P(A ou B) = P(A) + P(B)
Para eventos dependentes:
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
Exemplo: Suponha que tenhamos uma urna com quatro 
bolas, duas pretas, uma azul e uma verde. Qual a 
probabilidade de sair uma bola azul ou verde do primeiro 
sorteio?
P(A) = ¼
P(V) = ¼
P(A ou V) = ¼ + ¼ = ½ = 0,5 = 50%
TEOREMA DA SOMA
Exemplos
1)Ao lançarmos um dado, qual é a probabilidade 
de obtermos um número menor que 3 e maior 
que 4?
Como sabemos neste exemplo o espaço 
amostral é composto de seis elementos:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
TEOREMA DA SOMA
Chamemos de A o evento que representa a ocorrência de 
um menor que 3:
A = { 1, 2 }
Vamos chamar de B o evento que representa a ocorrência 
de um número maior que 4:
B = { 5, 6 }
Como o número de elementos de S é 6, temos que n(S) = 6.
Para A temos n(A) = 2 e para B temos também n(B) = 2.
Portanto: A probabilidade de obtermos um número menor 
que 3 e maior que 4 é igual a 4/6 ou 2/3.
AXIOMAS
Exemplos
1)Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos 
um número divisor de 6? 
Como vimos acima, o espaço amostral do lançamento de 
um dado é:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Como estamos interessados apenas nos resultados divisores
de 6, o evento E é representado por:
E = { 1, 2, 3, 6 }Então n(E) = 4 e n(S) = 6, portanto:
Podemos também apresentar o resultado na forma de uma 
porcentagem: A probabilidade de se obter um número 
divisor de 6 é 2/3 ou 66,67%.
EXERCÍCIOS
Ao lançarmos um dado, qual é a probabilidade 
de obtermos um número menor que 2 e maior 
que 4?
a) 2/3
b) 1/3
c) 1
d) 1/2
EXERCÍCIOS
Ao lançarmos um dado, qual é a probabilidade 
de obtermos um número primo ou um 
número ímpar?
a) 2/3
b) 1/3
c) 1
d) 1/2
EXERCÍCIOS
• Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores, 
registrou que 650 deles trabalham com cartões de 
crédito da bandeira MasterCard, que 550 
trabalham com cartões de crédito da bandeira 
VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito 
de ambas as bandeiras. Qual a probabilidade de 
ao escolhermosdeste grupo uma pessoa que 
utiliza a bandeira VISA, ser também um dos 
consumidores que utilizam cartões de crédito da 
bandeira MasterCard?
EXERCÍCIOS
No lançamento de um dado qual é a 
probabilidade de obtermos um 3 ou um 5?
X
Em lançamentos sucessivos de um dado qual 
é a probabilidade de obtermos um 3 e 
depois um 5?
Objetivos:
 Conhecer a definição dos modelos teóricos de 
distribuição de probabilidade ;
 Aprender o significado e aplicação das 
variáveis aleatórias;
 Entender a definição dos conceitos de 
distribuição normal.
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Distribuição discreta
Variável Aleatória
Quando uma variável é influenciada pelo acaso, resultando de 
uma soma de fatores não controlados, diz-se que é uma variável 
aleatória.
As variáveis aleatórias são indicadas por letras minúsculas, 
podem ser discretas ou contínuas.
• Variável aleatória discreta – só assume valores que podem ser 
associados a números naturais (1, 2, 3.....).
• Variável aleatória discreta binária – só assume um de dois 
valores possíveis. Exemplo: Ao jogarmos uma moeda, temos 
como resultado cara ou coroa. Podemos assumir que Cara é o 
número Zero e que Coroa é o número Um.
• Variável aleatória contínua – assume infinitos valores em um 
dado intervalo. Exemplo: Peso corporal.
Distribuição discreta
É todo o conjunto de valores que podem ser assumidos 
pela variável aleatória discreta, com as suas respectivas 
probabilidades.
Exemplo: Distribuição dos resultados de um jogo de dado.
X P(X)
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
Total 1
Atenção: A soma das 
probabilidades associadas a 
todos os valores possíveis de 
uma variável aleatória é 
sempre igual a 1
PROBABILIDADES
Distribuição de Probabilidade
Consideremos a distribuição de frequências relativas ao 
número de acidentes em um estacionamento :
Em um dia a possibilidade de:
a) Não ocorrer acidente
b) ocorrer um acidente
c) ocorrerem dois acidentes
d) ocorrerem três acidentes
Numero de Acidentes Frequência
0 22
1 5
2 2
3 1
30
PROBABILIDADES
Distribuição de Probabilidade
Podemos escrever:
Essa tabela é denominada distribuição de 
probabilidade.
Numero de Acidentes Probab.
0 0,73
1 0,17
2 0,07
3 0,03
1
Distribuição Binomial
É uma distribuição discreta que resulta da soma de variáveis 
aleatórias binárias.
A distribuição binomial fica definida quando são dados dois 
parâmetros:
n – número de variáveis aleatórias binárias observadas
p – probabilidade de ocorrer valor 1 em uma única observação.
Dados n e p temos:
xnxqp
x
n
xP 





)(
)!(!
!
xnx
n
x
n






onde
Combinação de n, x a x
Distribuição Binomial (Exemplo 1)
Uma moeda é lançada cinco vezes seguidas. 
Calcule a possibilidade de serem obtidas três 
caras nessas cinco provas
F(X) = P(X = k) = 5 . p3 . q5-3
3
P(X = k) = 10 * (1/2)3 * (1/2)2 = 10*1/8*1/4 = 10/32 = 5/16
Exemplo: 
Distribuição Binomial (Exemplo 2)
Dois times de futebol , A e B, jogam entre si seis 
vezes. Encontre a possibilidade do time A 
ganhar quatro jogos.
F(X) = P(X = 4) = 6 . p4 . q6-4
4
P(X = 4) = 15 * (1/3)4 * (2/3)2 = 15*1/81*4/9 = 20/243 
Exemplo: 
Exemplo: 
Sabe que na fabricação de uma peça ela pode ser boa ou apresentar 
defeito. Qual é a probabilidade de ocorrem 3 peças boas em 5 peças 
fabricadas?
n=5
x=3
A probabilidade de ser peça boa em uma fabricação é ½  p = ½
Assim q = 1 – ½ = ½ teremos:
3125,0
32
1
10
4
1
8
1
)!35(!3
!5
2
1
2
1
3
5
)3(
23




















P
Em porcentagem P(3) = 0,3125 X 100 = 31,25%
Média e Variância em distribuição 
binomial
Média 
np
Variância 
npq2
Exemplo: Calcule a média e a variância para a 
fabricação de peças boas em 1000 peças fabricadas.
500
2
1
1000  np
250
2
1
2
1
10002  npq
Exercícios
1 – Um exame é constituído de dez testes tipo 
certo-errado. Quantos testes acertam, em média, 
um aluno que nada sabe sobre a matéria do 
exame? Qual a variância da distribuição?
2 – Seja X a variável aleatória que indica o número 
de meninos em uma família com 5 crianças. 
Apresente a distribuição de X em uma tabela.
• O pesquisador estuda variáveis. O estatístico diz 
que essas variáveis são aleatórias porque elas 
têm um componente que varia ao acaso. 
• Por exemplo, a variabilidade dos pesos ao nascer 
de nascidos vivos de mesmo sexo, raça, idade 
gestacional e filhos de mães em condições 
similares de alimentação é explicada pelo acaso. 
Então o peso ao nascer é uma variável aleatória.
Distribuição Normal
• As grandes amostras de certas variáveis aleatórias 
permitem construir gráficos que têm aparência 
típica como o ilustrado abaixo.
Distribuição Normal
Peso ao nascer
• As medidas de produtos fabricados em série e os 
erros de medidas dão origem a gráficos 
semelhantes ao apresentado acima. Essas são 
variáveis que têm distribuição que se aproximam 
da distribuição normal.
CARACTERÍSTICAS GERAIS
1. Variável aleatória pode assumir qualquer valor real;
2. Curva em forma de sino simétrica em torno da 
média;
3. Área total sob a curva vale 1
4. Igual probabilidade de ocorrer valores maiores ou 
menores que a média
5. A configuração da curva é dada por dois 
parâmetros: a média e o desvio padrão. 
CARACTERÍSTICAS GERAIS
Zc 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 *0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 *0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,49840,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,10 ou + 0,4999
TABELA - Distribuição Normal Padrão Z~N(0,1)
• Distribuição normal de média zero e variância 1, 
probabilidades facilmente encontradas em 
tabelas.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA
Exemplo: 
1 - Qual a probabilidade de 
ocorrer valor entre zero e 1,56?
Por tabela é ----->>> ?????
2 – Qual a probabilidade de 
ocorrer valor maior do que 
z=1,56?
1,56
• Suponha que a quantidade de aditivo em 100ml 
de gasolina tem distribuição normal com média 
200mg e desvio padrão 20mg. Qual a 
probabilidade de uma amostra apresentar entre 
200 e 225mg de aditivo por 100ml de gasolina?
PROBABILIDADES NA DISTRIBUIÇÃO 
NORMAL
20
200



XX
Z


25,1
20
200225


z
Como x=225 teremos:
Por tabela 1,25 corresponde a 39,44%.
• 01. Através de levantamentos anteriores, 
verificou-se que o tempo médio gasto por um 
candidato a supervisor de vendas, em 
determinado teste, é aproximadamente 
normal com média de 60 minutos e desvio 
padrão de 20 minutos. Que porcentagem de 
candidatos levará menos de 60 minutos para 
concluir o teste?
Exercícios
• 02. A vida útil de lavadoras de pratos 
automáticas é de 1,5 anos, com desvio padrão 
de 0,3 anos. Se os defeitos distribuem-se 
normalmente, que percentagem das lavadoras 
vendidas necessitará de conserto antes de 
expirar o período de garantia de um ano?
Exercícios
• 03. Latas de conservas são fabricadas por uma 
indústria com média de 990 g e variância de 
100. Uma lata é rejeitada pelo controle de 
qualidade dessa indústria se possuir peso 
menor que 975g. Qual a probabilidade de uma 
lata ser rejeitada. 
Exercícios
04. Uma população com características normais 
tem peso médio de 75 kg e desvio padrão de 3 
kg. Calcule o percentual de pessoas que tem 
peso acima de 79,5 Kg a) 10% b) 6,68% c) 
43,32% d) 34,13% e) 5,87% 
Exercícios
05. O levantamento do custo unitário de 
produção de um medicamento revelou que 
sua distribuição é normal com média R$ 56,00 
e desvio padrão R$ 5,00. Um item da 
produção é escolhido ao acaso. Calcular a 
probabilidade do custo desse item ser menor 
que R$ 51,00;
a) 16,67% b) 6,68% c) 13,32% d) 34,13% e) 
15,87% 
Exercícios
Amostragem
• Distribuições de Amostragem
• Intervalos de Confiança para a Média
Amostragem
Zentgraf (2007) aponta que os métodos de amostragem 
podem apresentar alguns problemas em sua 
aplicação quando :
• Quando a população foi muito pequena
• Quando os dados da população apresentarem 
volatilidade alta
• Casos de necessidade de previsão absoluta
• Dados da população já estiverem disponíveis
Amostragem
• Em uma pesquisa, buscamos uma amostra que seja 
representativa da população analisada. Porém, uma média 
amostral quase nunca será a mesma de uma média 
populacional, bem como o desvio-padrão. Esse erro amostral
existe independente da forma ou critérios de como uma 
determinada pesquisa foi elaborada.
Exemplo : Considere que ao analisar 10.000 notas de Estatística 
do nosso EAD , verificamos uma nota média de 6 , com 
desvio-padrão de 1,2. Porém ao retirar uma amostra de 50 
alunos verificamos uma nota média e desvio-padrão 
diferentes do que o mensurado pela população.
Amostragem
Se repetirmos essa amostragem por 100 vezes , teremos 
diferentes médias e desvios-padrões para cada amostra 
coletada. Podemos chegar desta forma a uma distribuição 
amostral de médias. A distribuição amostral de médias , de 
acordo com Levin & Fox (2004) possuem algumas 
características :
• “A medida que o tamanho das amostras cresce, as médias 
dessas amostram vão se aproximando a uma distribuição 
limite que é a distribuição normal.Este é o teorema do Limite 
Central.
• A média de uma distribuição amostral de médias ( média das 
médias ) é igual a uma verdadeira média populacional.
• O desvio-padrão de uma distribuição amostral de médias é 
menor do que a da população.”
Amostragem
• Na prática , uma pesquisa dificilmente é realizada com mais de uma ou 
duas amostras. Seria difícil, desta forma, chegar a chamada média das 
médias. O erro padrão da média é calculada pela divisão do desvio-padrão 
da população pela raiz quadrada do tamanho da amostra.
s x = s / √ n
Vamos utilizar como exemplo um exercício do nosso material didático :
O valor médio em dólar das vendas de um determinado produto no último 
ano é conhecida como seguindo a distribuição normal com média de R$ 
3.400,00 por revendedor a varejo com desvio-padrão de R$ 200,00. Se um 
grande número de revendedores comercializar o produto, determine o 
erro padrão da média para uma amostra de tamanho n=25
s x = s / √ n = 200 /√ 25 = 200 / 5 = 40
Conteúdo Programático desta aula
Aprender a aplicar o teste de hipóteses
Compreender e analisar os resultados do Teste.
Teste T (Student)
TESTE T 
• O Teste T é utilizado para determinar se 
duas amostras poderão ser provenientes de 
duas populações subjacentes (ou amostras) 
que possuem a mesma média, ou seja: que 
as médias das duas populações (ou 
amostras) não sejam significativamente 
diferentes.
Quando utilizar o Teste T?
Pode ser utilizado em três situações distintas:
1ª) Quando as amostras são apresentadas em 
pares de valores, (amostras emparelhadas).
2ª) Quando as amostras, que podem ter 
números diferentes de dados, possuem 
variâncias iguais, (homoscedástica).
3ª) Quando as amostras, que podem ter 
números diferentes de dados, possuem 
variâncias desiguais, (heteroscedástica).
Utilizando o Teste T
• O Teste T de Student é ainda determinado 
utilizando a distribuição unicaudal ou 
bicaudal. Neste caso o Teste T retornará o 
dobro da probabilidade obtida pela 
distribuição unicaudal, correspondente à 
probabilidade de um valor mais alto da 
estatística-t sob a suposição de que as duas 
séries de dados sejam amostragens de 
populações com a mesma média.
Executando o Teste T
Para executar o Teste T entre duas amostras listadas em uma 
planilha, devem ser seguidos os passos descritos a seguir:
1º) Clique no menu “Ferramentas”, fazendo descer a cortina 
correspondente onde se deve clicar na última opção: 
“Análise de dados...”.
2º) Na janela “Análise de dados” escolha a ferramenta de 
análise desejada para o Teste T:
Teste T: duas amostras em par para médias
Teste T: duas amostras presumindo variâncias equivalentes 
Teste T: duas amostras presumindo variâncias diferentes. 
3º) Na janela correspondente à análise selecionada, 
entre com as opções de “Entrada”, tais sejam:
Intervalo da variável 1
Insira a referência de células para o primeiro intervalo de dados que 
você deseja analisar. O intervalo deve consistir em uma única coluna 
ou linha de dados. Ex.: A1:A10.
Intervalo da variável 2
Insira a referência de células para o segundo intervalo de dados que você deseja analisar. O 
intervalo deve consistir em uma única coluna ou linha de dados. Ex.: B1:B10.
Hipótese da diferença de média
Insira o número que você deseja para a mudança nas médias das amostras. O valor 0 (zero) 
indica que as médias das amostras são hipoteticamente iguais.
Rótulos
Selecione esta opção se a primeira linha ou coluna dos intervalos de entrada contiver rótulos. 
Desmarque esta opção se os intervalos de entrada não contiverem rótulos; o Microsoft 
Excel gera os rótulos de dados adequados para a tabela de saída.
Alfa
Insira o nível de confiança para o teste. Este valor deve estar no intervalo entre 0 e 1. O nível 
alfa é um nível de significância relacionado à probabilidade de ocorrência de um erro tipo 
I (rejeição de uma hipótese verdadeira). Ex.: 0,05 (ou 5%).
São três as opções de “Saída”:
Intervalo de saídaInsira a referência para a célula superior esquerda
da tabela de saída. O Excel determinará automaticamente o 
tamanho da área de saída e exibirá uma mensagem se a 
tabela de saída estiver prestes a substituir os dados 
existentes.
Nova planilha
Clique nesta opção para inserir uma nova planilha na pasta de 
trabalho atual e colar os resultados começando pela célula A1 
da nova planilha. Para nomear a nova planilha, digite um 
nome na caixa.
Nova pasta de trabalho
Clique nesta opção para criar uma nova pasta de trabalho e colar 
os resultados em uma nova planilha na nova pasta de 
trabalho.
O Resultado
O resultado apresentado em uma tabela contém:
- Os parâmetros estatísticos média, variância e número de 
dados de cada amostra;
- Coeficiente de correlação de Pearson para amostras emparelhadas ou a 
variância agrupada para amostras presumindo variâncias equivalentes;
- Hipótese da diferença de média (valor de Entrada); geralmente 5%.
- Graus de liberdade: igual a (n-1) para amostras emparelhadas ou a (n1 + 
n2 – 2) para os demais tipos;
- Stat t: Valor calculado para a estatística t. 
- P(T <= t) unicaudal: Probabilidade obtida com a distribuição Student 
unicaudal.
- t crítico unicaudal: Valor crítico para a estatística t, correspondente à 
distribuição Student unicaudal.
- P(T <= t) bicaudal: Probabilidade obtida com a distribuição Student 
bicaudal.
- t crítico bicaudal: Valor crítico para a estatística t, correspondente à 
distribuição Student bicaudal.
Análise do resultado
• Compara-se o valor da estatística t obtida para os dados 
das amostras (Stat t) com o valor crítico (tc) 
correspondente à distribuição teórica (Student) 
unicaudal ou bicaudal. Se t < tc, a hipótese nula não pode 
ser rejeitada, ou seja: “As duas amostras podem ser 
provenientes de duas populações subjacentes (ou 
amostras) que possuem a mesma média”, ou, em outras 
palavras: “As médias das duas amostras não são 
significativamente diferentes”.
Atividade de Avaliação (3 pontos)
• Disponibilizamos uma planilha no portal do curso 
(http://www.estacioarapiraca.com.br/mbagfc2015/) para a atividade 
avaliativa da disciplina.
• A planilha foi dividida em 08 equipes que serão compostas 
por no máximo 06 alunos.
• Cada equipe deve analisar a sua pasta de trabalho (os dados 
foram simulados para uma pesquisa sobre a taxa efetiva de 
juros entre dois bancos). Cada equipe deve apresentar a 
estatística descritiva, um gráfico comparando os resultados 
entre os dois bancos, como também aplicar o teste T e 
analisar o resultado obtido informando se há ou não uma 
diferença significativa entre as médias .
OBRIGADO E 
BONS ESTUDOS!