PC 2014 2 AD01 GABARITO

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AD 01 – 2014-2 – GABARITO Pré-Cálculo 
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CEDERJ 
Gabarito da Avaliação a Distância 1 
Pré-Cálculo 
_______________________________________________________________________________ 
1ª. Questão [3,0 pontos]: 
(a) [1,5] Fatore o polinômio ( ) . 
Lembre que fatorar ( ) significa escrever ( ) como produto de fatores lineares (tipo ) 
e/ou quadráticos irredutíveis (tipo , que não possui raízes reais). 
(b) [1,5] Dê o domínio da função ( ) 
 
 ( )
 
 
 
 e analise o seu sinal. 
Lembre que analisar o sinal de uma função de variável real significa responder para quais valores do 
seu domínio , a função se anula, para quais valores a função é positiva e para quais valores a função é 
negativa. 
RESOLUÇÃO 
(a) Um método de fatoração é procurar uma das raízes, denominada por , depois dividir o polinômio 
por ( ) para obter um polinômio de um grau menor que o anterior. Repetir o procedimento até 
encontrar um polinômio de segundo grau. Determinar as raízes do polinômio de segundo grau, se 
existirem. 
As possíveis raízes racionais (inteiras ou não inteiras) são obtidas pelo quociente dos divisores do termo 
independente, no nosso caso igual a , pelos divisores do coeficiente do termo de maior grau, no nosso 
caso igual a 2. 
Logo, no nosso caso as possíveis raízes racionais de ( ) são: 
 
 
 
 
 
 . 
Verificando se é raiz de ( ) ( ) , logo é raiz de ( ). 
Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini para dividir ( ) por ( ), 
 
 
Logo podemos fatorar: 
 ( ) ( )( ) ( ) ( ). 
As possíveis raízes racionais de ( ) são: 
 
 
 
 
 
 . 
 ( ) não é raiz de ( ). 
 ( ) não é raiz de ( ). 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 é raiz de ( ). 
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Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini para dividir ( ) por ( 
 
 
), 
 
 
 
 
 
 ( ) ( 
 ) ( 
 
 
) ( ) (
 
 
) ( ) ( )( ). 
Determinando as raízes de 
 não há solução para . 
Concluímos que é irredutível em e a resposta para a fatoração de ( ) 
 ( ) ( )( )( ) 
OBSERVAÇÃO. Poderíamos ter encontrado a fatoração por outro método, verificando primeiro quais das 
possíveis raízes racionais são de fato raízes de ( ) , como abaixo. 
As possíveis raízes racionais de ( ) são: 
 
 
 
 
 
 ,. Vamos verificar se cada uma é raiz. 
 ( ) é raiz de ( ). 
 ( ) não é raiz de ( ). 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 é raiz de ( ). 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 não é raiz de ( ). 
Logo, as únicas raízes racionais de ( ) são: 
 
 
. 
Fatorando, ( ) ( ) ( 
 
 
) ( ). 
Para encontrar ( ), que é um polinômio de grau 2, vamos aplicar o Algoritmo de Briot-Ruffini duas vezes 
seguidas: 
 
 
 
 
 
 
Logo, ( ) ( ) ( 
 
 
) ( ) ( ) ( 
 
 
) ( ) ( )( )( ). 
Determinando as raízes de 
 não há solução para 
Concluímos que é irredutível em e a resposta para a fatoração de ( ) 
 ( ) ( )( )( ) 
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(b) ( ) 
 
 ( )
 
 
 
 
 
( )( )( )
 
A única restrição para o domínio é que o denominador não pode ser nulo. Observando a fatoração do 
item anterior concluímos: 
 ( ) ( ) 
 
 
 
Colocando a resposta do domínio em forma de intervalo, ( ) ( 
 
 
) (
 
 
 ) ( ) 
Para analisar o sinal devemos começar encontrando os valores de que anulam o numerador e o 
denominador para definir em quais intervalos há mudança de sinal e escrever esses intervalos na primeira 
linha da tabela, na ordem crescente dos extremos dos intervalos. 
Os valores de que anulam o denominador já foram determinados no item anterior, são: 
 
 
 . 
Determinando os valores de que anulam o numerador: 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
Abaixo temos a tabela para analisar o sinal de ( ). 
 ( ) ( 
 
 
) 
 
 
 (
 
 
 
 
 
) 
 
 
 (
 
 
 ) ( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Interpretando a última linha da tabela de sinais concluímos que: 
 A função ( ) não está definida para 
 
 
 ou . 
 A função ( ) para ou 
 
 
. 
 A função ( ) para ( ) (
 
 
 
 
 
) ( ) 
 A função ( ) para ( 
 
 
) (
 
 
 ). 
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2ª. Questão [2,0 pontos]: 
Considere a função ( ) {
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
Uma parte do gráfico da função 
 ( ) está dada ao lado. 
 
 
 
 
(a) [0,6] Complete o gráfico da função . 
(b) [0,5] Observe o gráfico e encontre a imagem da função . 
(c) [0,9] Para quais valores de o gráfico da função se situa acima ou sobre o ? 
RESOLUÇÃO 
(a) De acordo com a definição da função, se temos ( ) . 
A equação é de grau 1, seu gráfico é uma reta. Para esboçar a reta basta encontrar dois 
pontos da reta, por exemplo, 
 ( ) , logo o ponto ( ) é um ponto da reta. 
 ( ) , logo o ponto ( ) é um ponto da reta. 
Assim, o gráfico de é a parte da reta de equação para os valores de . 
Como ( ) 
 
 
(( ) ( )) 
 
 
( ) 
 
 
( ) e se para na equação da reta 
 , obtemos o valor de , concluímos que o ponto ( ) é um ponto da reta, 
mas não é um ponto do gráfico, está representado por uma bolinha vazia. 
Ainda de acordo com a definição da função, se temos ( ) . 
O gráfico da equação é uma reta paralela ao eixo onde todas as ordenadas tem valor 1. 
Como ( ) 
 
 
( ) 
 
 
 , o ponto ( ) é um ponto do gráfico e também é um ponto da reta 
de equação 
 
 
 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
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(b) Se projetamos o gráfico no eixo , serão representadas as ordenadas dos pontos do gráfico e 
podemos concluir que: 
Imagem de { } ( ). 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(c) Devemos determinar os valores de para os quais ( ) . 
 Para . 
Observando o gráfico, se e se , ou seja, nesse caso o gráfico está 
sobre ou acima do eixo para os valores de . 
 Para 
Temos que encontrar os valores de onde o gráfico corta o eixo , ou seja, temos que resolver a equação 
 
 
( ) . Resolvendo, 
 
 
( ) ( ) 
Resolvendo a última equação, √ . 
Observando o gráfico, 
 
 
( ) se √ ou √ . 
 Para . 
Nesse caso para todo . 
Reunindo os resultados de cada caso, 
O gráfico está acima ou sobre o eixo , para os seguintes valores de : 
 ou √ ou √ ou . 
Em forma de união de intervalos disjuntos, ( ] [ √ ] √ ). 
_______________________________________________________________________________________ 
3ª. Questão [3,0 pontos]: 
Considere a função ( ) {
√ ( ) 
 
 
 
 
(a) [0,9] Sabendo que o gráfico da função √ ( ) é parte de uma curva 
conhecida, identifique essa curva, dando suas principais características. Escreva sua resolução, 
justifique suas respostas. 
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(b) [0,8] Esboce o gráfico da função . Observe que a parte do gráfico da função relativa 
ao intervalo ] foi justificada no item (a). A parte do gráfico relativa à função 
 
 
 no 
intervalo ( ), deve ser explicada por translação de uma função mais elementar. 
(c) [1,3] Diga qual é o domínio da função . Justifique. Observe o gráfico da função , que 
você encontrou no item (b) e dê a imagem da função . Determine os pontos ( ) onde o 
gráfico da função ( ) encontra a reta √ . 
RESOLUÇÃO: 
 
(a) Consideremos √ ( ) e vamos fazer algumas contas: 
 √ ( ) 
 
 
 
⇒ ( ) (√ ( ) )
 
 ( ) 
 ( ) . Esta é a equação reduzida de um círculo de centro ( ) e raio 
 . 
Observe que, sendo 
 √ ( ) , então e portanto, o 
gráfico da função √ ( ) é o semicírculo 
superior ao lado. 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) 
A função 
 
 
 é uma translação horizontal de 5 unidades para direita da função elementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ 
 
 
 
 
 
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Gráfico da função ( ) {
√ ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(c) 
Do gráfico da função , concluímos que ( ) ) e ( ) ) 
Para determinar os pontos onde o gráfico da função ( ) encontra a reta √ vamos 
fazer a interseção da reta √ com os gráficos das funções: 
 √ ( ) e 
 
 
 . 
Devemos resolver as equações: 
√ ( ) √ e 
 
 
 √ . 
Então, 
 √ ( ) √ 
 
 
 
⇒ ( √ ( ) )
 
 ( √ )
 
 
 ( ) ( ) 
 
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 
 
 
 √ 
 
 √ 
 
√ 
 
 
√ 
 
 ( ) 
Portanto, os pontos de interseção da reta √ com o gráfico da função ( ) são: 
( √ ) ( √ ) (
√ 
 
 √ ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________________ 
4ª. Questão [2,0 pontos]: 
(a) [0,7] Dê o domínio da função ( ) √| | . Justifique sua resposta, fazendo os 
cálculos necessários. Escreva na forma de intervalo. 
(b) [1,3] Esboce o gráfico da função ( ) √| | . Para isso você pode usar apenas 
transformações em gráficos de funções elementares (translações, reflexões, ...) ou usar a 
definição de valor absoluto e transformações em gráficos de funções elementares. Faça sua 
escolha, justifique sua resolução, e explique as transformações usadas. 
RESOLUÇÃO: 
(a) Para encontrar o domínio da função ( ) √| | devemos impor que | | . 
Mas, 
| | | | . 
Logo, ( ) ( ] ) 
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(b) 
Possibilidade 1: 
O gráfico de ( ) √| | : 
 √ 
 
 
 
→ √ 
 
 
 
→ ( ) √| | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ 
 
 
 
 
 
 
→ 
 
Possibilidade 2: 
 
O gráfico de ( ) √| | : 
Da definição de valor absoluto de , temos que: 
 ( ) √| | 
 
 
 | |
⇒ ( ) { √ 
√ 
 
 
 ( ) ( ] )
⇒ ( ) {
√ 
√ ( ) 
 
 
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Assim precisamos fazer as seguintes translações horizontais: 
 
 √ 
 
 
 
→ √ 
 
 
 
 
 
 
 
→ 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
→ √ ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ 
 
 
 
 
Gráfico da função ( ) √| | 
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