Função Quadrática: Definições e Propriedades

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FUNÇÃO QUADRÁTICA
DEFINIÇÃO ALGÉBRICA
Uma função quadrática é uma função polinomial de grau 2 definida por:
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Outra forma de descrevê-la é manipular a expressão acima usando o método de
completar quadrados:
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥2 +
𝑏
𝑎
𝑥 + 𝑐 =
= 𝑎 𝑥2 +
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑏2
4𝑎2
+
4𝑎
4𝑎
𝑐 −
𝑏2
4𝑎
= 𝑎 𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
−
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
A expressão desejada é:
𝑦 = 𝑎 𝑥 − ℎ 2 + 𝑘, ℎ =−
𝑏
2𝑎
, 𝑘 =−
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
O ponto ℎ, 𝑘 é o vértice da função. Se 𝑎 > 0 , o vértice é o mínimo da função; se
𝑎 < 0, o vértice é o máximo da função. Graficamente:
Fonte: STEWART, REDLIN, WATSON, 2016, p. 246
DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA
Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão equidistantes de um ponto
fixo (chamado foco) e de uma reta (chamada diretriz). Quando a parábola é simétrica
em relação ao eixo Y, ela representa uma função quadrática; quando ela é simétrica
em relação ao eixo X, ela não representa nenhuma função.
Da definição, tal qual todos os pontos da parábola, a distância do vértice 𝑉 ℎ, 𝑘 em
relação ao foco e a distância do vértice em relação ao ponto projetado na diretriz
são iguais. Assim, se tivermos o foco localizado 𝑝 unidades acima do vértice, a
diretriz está 𝑝 unidades abaixo do vértice.
Fonte: STEWART, REDLIN, WATSON, 2016, p. 782
A partir destas definições, é possível encontrar uma equação para a parábola. A
distância entre um ponto arbitrário 𝑃 𝑥, 𝑦 e o foco 𝐹 ℎ, 𝑘 + 𝑝 é dada por:
𝑑𝐹
𝑃 = 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 + 𝑝 2
A distância entre um ponto arbitrário 𝑃 𝑥, 𝑦 e a sua projeção 𝐷 𝑥, 𝑘 − 𝑝 na diretriz
é dada por:
𝑑𝐷
𝑃 = 𝑥 − 𝑥 2 + 𝑦 − 𝑘 − 𝑝 2 = 𝑦 − 𝑘 − 𝑝 2
Por definição, o ponto 𝑃 𝑥, 𝑦 é equidistante entre o foco e a sua projeção na
diretriz, ou seja, estas distâncias são iguais.
𝑑𝐹
𝑃 = 𝑑𝐷
𝑃 ⇒ 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 + 𝑝 2 = 𝑦 − 𝑘 − 𝑝 2
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 + 𝑝 2 = 𝑦 − 𝑘 − 𝑝 2
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦2 − 2𝑦 𝑘 + 𝑝 + 𝑘 + 𝑝 2 = 𝑦2 − 2𝑦 𝑘 − 𝑝 + 𝑘 − 𝑝 2
𝑥 − ℎ 2 − 2𝑦𝑝 + 2𝑘𝑝 = 2𝑦𝑝 − 2𝑘𝑝
𝑥 − ℎ 2 = 4𝑦𝑝 − 4𝑘𝑝 ⇒ 𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑘
Graficamente, esta é a posição das parábolas:
Fonte: STEWART, REDLIN, WATSON, 2016, p. 810
Para ver porque a equação da parábola, no caso em que ela é simétrica em relação
ao eixo X, é equivalente à expressão da função quadrática, basta isolar o termo 𝑦 no
lado esquerdo da equação:
𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑘 ⇒ 𝑦 − 𝑘 =
𝑥 − ℎ 2
4𝑝
𝑦 =
𝑥 − ℎ 2
4𝑝
+ 𝑘 =
𝑥2 − 2𝑥ℎ + ℎ2
4𝑝
+ 𝑘
𝑦 =
1
4𝑝
𝑥2 −
ℎ
2𝑝
𝑥 +
ℎ2
4𝑝
+ 𝑘, 𝑎 =
1
4𝑝
, 𝑏 =−
ℎ
2𝑝
, 𝑐 =
ℎ2
4𝑝
+ 𝑘
Finalmente, fica fácil entender porque o parâmetro 𝑎 está envolvido com a posição
do vértice:
𝑎 > 0 →
1
4𝑝
> 0 →
𝑥 − ℎ 2
4𝑝
> 0 → 𝑦 − 𝑘 > 0 → 𝑦 > 𝑘
𝑎 < 0 →
1
4𝑝
< 0 →
𝑥 − ℎ 2
4𝑝
< 0 → 𝑦 − 𝑘 < 0 → 𝑦 < 𝑘
Se todos os pontos diferentes do vértice tem suas ordenadas superiores à ordenada
do vértice, necessariamente o vértice tem a menor ordenada da função, logo ele é o
mínimo da função; analogamente, 𝑎 < 0 → 𝑦 < 𝑘, o que faz com que o vértice seja
o máximo da função.
INTERCEPTOS DA FUNÇÃO
Os interceptos são os pontos 𝑥, 0 e 0, 𝑦 . Conhecendo estes valores e o vértice da
função, é possível esboçá-la graficamente. Quando 𝑥 = 0:
𝑦 0 = 𝑎 × 02 + 𝑏 × 0 + 𝑐 = 𝑐
𝑦 0 = 𝑐 =
ℎ2
4𝑝
+ 𝑘
Quando 𝑦 = 0:
0 = 𝑎 𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
−
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
⇒ 𝑎 𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
=
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
=
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
⇒ 𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
=
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
=
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑥 +
𝑏
2𝑎
=
𝑏2 − 4𝑎𝑐
±2𝑎
⇒ 𝑥 =−
𝑏
2𝑎
±
𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Há 3 possibilidades, a depender do sinal de ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐1. Se ∆ > 0, há dois valores
reais e distintos de 𝑥 que satisfazem a equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; se ∆ = 0 , há apenas
um valor real, que é a abcissa do vértice; se ∆ < 0 , há dois valores complexos, ou
seja, a função não intercepta o eixo X das abcissas.
∆ > 0 ⇒ 𝑥1 =
−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑒 𝑥2 =
−𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
∆ = 0 ⇒ 𝑥 =
−𝑏 ± 0
2𝑎
=
−𝑏 ± 0
2𝑎
=−
𝑏
2𝑎
∆ < 0 ⇒ 𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−𝑏 ± −1 4𝑎𝑐 − 𝑏2
2𝑎
=
−𝑏 ± 𝑖 4𝑎𝑐 − 𝑏2
2𝑎
∆ < 0 → 𝑥1 =
−𝑏 + 𝑖 4𝑎𝑐 − 𝑏2
2𝑎
𝑒 𝑥2 =
−𝑏 − 𝑖 4𝑎𝑐 − 𝑏2
2𝑎
TAXAMÉDIA DE VARIAÇÃO
Sabendo que 𝑦 depende de 𝑥, é lícito perguntar o que ocorre com 𝑦 quando o valor
de 𝑥muda. Para perceber o resultado, calcula-se o quociente das variações:
𝛥𝑦
𝛥𝑥
=
𝑦𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑦𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑥𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑥𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
=
𝑎𝑥𝑓
2 + 𝑏𝑥𝑓 + 𝑐 − 𝑎𝑥𝑖
2 + 𝑏𝑥𝑖 + 𝑐
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
=
=
𝑎𝑥𝑓
2 − 𝑎𝑥𝑖
2 + 𝑏𝑥𝑓 − 𝑏𝑥𝑖 + 𝑐 − 𝑐
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
=
𝑎 𝑥𝑓
2 − 𝑥𝑖
2 + 𝑏 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
=
=
𝑎 𝑥𝑓 + 𝑥𝑖 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 + 𝑏 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
=
𝑎 𝑥𝑓 + 𝑥𝑖 + 𝑏 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
= 𝑎 𝑥𝑓 + 𝑥𝑖 + 𝑏
𝛥𝑦
𝛥𝑥
= 𝑎 𝑥𝑖 + 𝛥𝑥 + 𝑥𝑖 + 𝑏 = 𝑎 2𝑥𝑖 + 𝛥𝑥 + 𝑏
Se a variação de 𝑥 for tão pequena a ponto de ser bastante próxima de 0, a taxa
média de variação tem um comportamento linear, ou seja, a taxa média de variação
depende de 𝑥 numa função linear:
𝛥𝑥 = 0 ⇒
𝛥𝑦
𝛥𝑥
= 𝑎 2𝑥𝑖 + 0 + 𝑏 = 2𝑎𝑥𝑖 + 𝑏
1 O símbolo ∆ denota o determinante da função quadrática: ele determina a quantidade e a qualidade dos
interceptos-x da função. O mesmo símbolo é usado para denotar a mudança no valor de uma variável, ou seja, a
diferença entre um valor final e um valor inicial. Este segundo significado será usado na seção posterior e não
pode ser confundido com o primeiro significado.
EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Suponha que 𝐶 𝑥 seja o custo total que uma empresa incorre na produção de 𝑥
unidades de certo produto. A função é dada por
𝐶 𝑥 = 0,01𝑥2 + 5𝑥 + 10.000
Represente graficamente a função.
𝐶 0 = 10.000
∆ = 52 − 4 × 0,01 × 10.000 = 25 − 400 =− 375
𝐶 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 =
−5 ± −375
2 × 0,01
=
−5 ± 𝑖 3 × 53
0,02
=−
−5 ± 5𝑖 15
0,02
𝐶 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 =− 250 ± 250𝑖 15
ℎ =−
5
2 × 0,01
=−
5
0,02
=−
500
2
=− 250
𝑘 =−
−375
4 × 0,01
=
375
0,04
=
37.500
4
= 9.375
REFERÊNCIA
STEWART, James; REDLIN, Lothar; WATSON, Saleem. Precalculus: Mathematics for
Calculus. 7 ed. Boston: Cengage Learning, 2016. ISBN 978-1-305-07175-9.