Modulo 5 a INDICE DE CONFIABILIDADE

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Professor
 Jorge Luiz A. Ferreira
Confiabilidade Estrutural
Índice de Confiabilidade – Outros Estimadores
Universidade de Brasília
Departamento de Engenharia Mecânica
Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
Fisicamente, podemos caracterizar o parâmetro b como uma medida da distância entre a média da distribuição de m e zero, medida em termos do desvio padrão.
Probabilidade de ( M(R,S) = R – S < 0)
b∙s
m
M ≤ 0 Falha
M > 0 Seguro
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
Sem perda de generalidade, podemos também analisar o comportamento da função margem de segurança apresentada a seguir 
Na condição de estado limite, essa função margem de segurança toma a forma
O gráfico que descreve a condição de estado limite, segue o comportamento apresentado ao lado. 
MS(F , Sy) = 0
MS(mF, mSy)
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
Com base na figura ao lado, o índice de confiabilidade b pode ser entendido como o afastamento do centro da distribuição da margem de segurança (mF, mSy), em relação a função de estado limite MS(F, Sy) = 0, em unidades de desvio padrão.
MS(F , Sy) = 0
MS(mF, mSy)
b
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
Estudamos anteriormente que o índice de confiabilidade poderia ser estimado utilizando-se de aproximações em Série de Taylor de primeira ordem, tal que:
Em algumas situações, as derivações analíticas da função margem de segurança podem ser substituídas de maneira muito eficaz por aproximações em diferenças finitas.
MS(F , Sy) = 0
MS(mF, mSy)
b
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
O método das diferenças finitas é um método de resolução de equações diferenciais que se baseia na aproximação de derivadas por diferenças finitas. A fórmula de aproximação é obtida da série de Taylor da função derivada.
Aproximações por Diferenças Finitas
Progressiva
Regressiva
Centrada
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
Assim, definindo um grid de mapeamento da função MS, para cada nó, pode-se montar um esquema conforme mostrado abaixo, no qual, um ponto genérico i, do domínio, e seus quatro pontos vizinhos, i1,i2,i3 e i4, encontram-se representados.
Aproximações por Diferenças Finitas
i
i1
i2
i3
i4
ponto genérico i
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
Aproximações por Diferenças Finitas
Sendo MSi = MS(mF, mSy) o valor de MS no i-ésimo ponto, as aproximações ficam iguais a: 
MSi1 = f(mF – k , mSy)
MSi2 = f(mF, mSy + h)
MSi3 = f(mF + k , mSy)
MSi4 = f(mF, mSy - h)
fi
MSi1
MSi2
MSi3
MSi4
h
h
k
k
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
Aproximações por Diferenças Finitas
As aproximações para as derivadas parciais da função margem de segurança, tomadas em torno de MSi = MS(mF, mSy) assumirão as seguintes formas:
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
Aproximações por Diferenças Finitas
Dessa forma, a variância de MS poderá ser aproximada como:
E o índice de confiabilidade será aproximado por:
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
Aproximações por Estimativa de b usando Diferenças Finitas
É uma metodologia fácil de ser aplicada 
Para um problema com N variáveis aleatórias, a implementação desse procedimento implementação exige o cálculo de 2N + 1 amostras.
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Aproximações por Estimativa de b usando Diferenças Finitas
Exemplo 1: Determine a confiabilidade de uma barra utilizando o método de aproximação da Série de Taylor por diferenças finitas (STDF), considerando que a barra tenha resistência ao escoamento Sy (MPa) ≈ N(330, 332), Diâmetro da seção transversal constante com área igual a 322 mm2 e suporta uma força F(N) ≈ N(68000,140002).
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Aproximações por Estimativa de b usando Diferenças Finitas
Exemplo 2: Determine a confiabilidade de uma barra utilizando o método de aproximação da Série de Taylor por diferenças finitas (STDF), considerando que a barra tenha resistência ao escoamento Sy (MPa) ≈ N(330, 332), Diâmetro da seção transversal d(mm) ≈ N(20.25, 22), e suporta uma força F(N) ≈ N(68000,140002).
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
Problemas no Uso de Aproximações de 1ª ordem
Qual a menor distância entre um ponto e uma reta ?
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
md
2sd
2sSy
sym
MS(dm, Sym)
MS(d, Sy) = 0
E entre um ponto e uma função qualquer ?
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Indice de Confiabilidade de Hasofer and Lind
O indice de Confiabilidade de Hasofer-Lind é definido como como a menor distância entre a origem e a superfície de falha no espaço normalizado
MS(X1,X2) = g(X1,X2) = 0
Xi = Variável Aleatória 
xi = Variável Aleatória Padronizada 
 g(x) = 0
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Indice de Confiabilidade de Hasofer and Lind - Calculo
A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º).
Estabelecendo a equação geral da reta como f(x) = ax + by + c = 0 e a coordenada do ponto P(x0,y0), a distância entre o ponto e a reta é calculado pela expressão:
d
 f(x) = 0
P(x0, y0)
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
Indice de Confiabilidade de Hasofer and Lind
 g(x) = 0
Assim, representando a função de estado limite g(x) = 0 na forma da função f(x) = ax + by + c = 0 chega-se a seguinte expressão:
d
P(x0, y0)
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
Indice de Confiabilidade de Hasofer and Lind
 g(x) = 0
Considerando que a coordenada do ponto P(x0,y0) é (0, 0) , a distância entre a origem do sistema coordenado padronizado e a função g(x) = 0 é calculada pela expressão :
d
P(0, 0)
Advanced First-Order Second-Moment (MVFORM) method
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
Como calcularíamos a menor distância entre a origem do sistema coordenado e a função g(x) ?
Poderíamos selecionar um ponto qualquer da curva g(x) = 0 , exemplo o ponto g(x1, x2) 
Calcular a distância do ponto (x1, x2)0 a origem do sistema coordenado, d.
(0, 0)
g(x) = 0
(x1, x2)0
d
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
Logicamente a chance do ponto escolhido ser o ponto de interesse é muito baixa. Poderíamos dar outro chute, mas isso não seria muito inteligente, pois não tem método ! Vamos fazer o seguinte então:
Calcular o gradiente da função no ponto (x1, x2)0.
(0, 0)
g(x) = 0
(x1, x2)0
d
v
Hiper plano tangente a g(x)
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
Normalizar o gradiente da função no ponto (x1, x2)0 de tal forma que v seja um vetor unitário
(0, 0)
g(x) = 0
(x1, x2)0
d
vu
Hiper plano tangente a g(x)
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 Margem de Segurança – Índice de Confiabilidade, b
Calcula o novo ponto de verificação, X*, usando a equação:
(0, 0)
g(x) = 0
(x1, x2)0
d
vu
Hiper plano tangente a g(x)
d1
Executa esses procedimentos até encontrar o valor mínimo de d.
Algoritmo mais eficiente será apresentado a seguir !!!!
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