Mecânica dos Fluidos: Exercícios Resolvidos

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Engenharia Civil
Mecânica dos Fluidos 
Aula 03 -13/08/2018
Profa: Vanessa Moraes da Silva Ferreira
2018
Exercício
• Utilizando um tubo plástico transparente, em formato de U, preenchido 
parcialmente com água limpa colorida com pó para refresco, André sopra 
em um dos ramos até que o desnível entre os dois ramos seja de 1,0 m, 
conforme ilustra a figura ao lado. 
• a) Considerando que a adição do pó para refresco praticamente não tenha 
afetado a densidade do líquido, ou seja, que a densidade 
seja 1 g/cm3, em quanto a pressão do ar situado no ramo 
esquerdo do tubo supera a pressão ambiente? 
Use g = 10 m/s2. 
• b) Admita que a secção transversal do tubo seja uniforme e 
que, no ramo direito, o líquido esteja a 10 cm da borda. 
Quanto André precisa aumentar a pressão que ele exerce 
com o sopro para que o líquido fique na iminência de 
transbordar no ramo direito?
Resolução
a) Como a pressão do ar equilibra a pressão de uma coluna de 1,0 m 
de água, temos:
b)Para subir 10 cm no ramo direito, o líquido deverá baixar 10 cm no 
ramo esquerdo, o que acarretará um desnível de 20 cm a mais.
02. As figuras representam três manômetros de tubo aberto para a
atmosfera em um mesmo local, nos quais C1, C2 e C3 são três
reservatórios que contêm um mesmo gás. L1, L2 e L3 são três líquidos
diferentes, que ocupam a mesma altura nos tubos cilíndricos verticais,
com massas específicas que obedecem à relação u1 > u2 > u3.
Sabendo que as áreas transversais dos tubos cilíndricos obedecem à relação A1 5 A3 , A2, responda: 
a) Em qual dos três manômetros a pressão na superfície livre dos líquidos é maior? Justifique. 
b) Qual é a relação entre as pressões manométricas dos gases nos três reservatórios
Resolução
a) Na superfície livre dos líquidos, a pressão é a mesma em todos 
eles e igual à pressão atmosférica no local dos manômetros.
b) A pressão manométrica do gás contido em cada reservatório é 
igual à pressão da coluna de líquido acima dele. Assim: 
A pressão não depende da área transversal do tubo cilíndrico. Como 
g e h são iguais para os três tubos, a pman. é diretamente 
proporcional à massa específica do líquido. Assim, temos: p1 >p2 >
p3.
03. Carolina, enquanto estudava fluidos, inventou um dispositivo para encher 
bexigas sem que ela tenha que soprar, baseada nos manômetros de tubo aberto. 
Inicialmente, ela encaixa a bexiga vazia na extremidade esquerda de um tubo em 
U flexível (figura a), transparente e parcialmente preenchido com água. Depois, 
enquanto ela ergue a extremidade direita, baixa a esquerda, até que o nível de 
água esteja quase chegando ao bocal da bexiga (figura b). O processo é um pouco 
trabalhoso, mas funciona. Considerando que na figura b o desnível atingido entre 
as superfícies livres da água seja de 2,0 m, qual será a pressão efetiva (acima da 
atmosférica) no interior da bexiga
Resolução
• A pressão efetiva, acima da atmosfera, é dada por:
 Fluidos
 Estática dos Fluidos: Pressão, Densidade, Fluido em
Equilíbrio, Princípio de Pascal, Princípio de Arquimedes;
 Dinâmica dos Fluidos: Linhas de Corrente, Equação da
Continuidade, Equação de Bernoulli, Fórmula de Torricelli,
Viscosidade.
Estática dos fluidos
Dinâmica dos fluidos
Estática dos Fluidos 
Estática versos Dinâmica
A Dinâmica dos Fuidos
(Hidrodinâmica) trata o fluido quando
ele está em movimento.
A Estática os Fluidos (Hidrostática)
trata o fluido quando ele está em
repouso.
Fluido
Fluido
AF 




sTangenciai
Normais
Tensão
A
F
 Diferentes tipos de forças atuam no sistema
Diferença fundamental entre sólidos e fluidos está na forma de 
responder a tensões tangenciais.
Densidade
Densidade é a massa por unidade de volume.
V
m

Dois objetos feito com o mesmo material possuem a mesma
densidade, mesmo que tenham massas e volumes diferentes. Isso
acontece porque a razão entre a massa e o volume é a mesma.
0V
m dm
lim
V dV

 
 
  
 
ou
 Densidade de alguns materiais varia de um ponto ao outro no
interior do material.
Corpo humano: gordura possui densidade 940 kg/m3
enquanto os ossos tem densidade de 1 700 kg/m3.
S.I: kg/m3
A unidade S.I é o quilograma por metro cúbico
 Fator conversão
1g/ cm3 1000kg/m3
Densidade
 Densidade relativa de
alguns materiais ou massa
especifica relativa é a razão
entre densidade do material e a
densidade da água a 4° C,
1000 kg/m3.
 É um número puro.
Densidade Relativa
Exemplo 01
 PESO DO AR NO INTERIOR DE UMA SALA ache a massa e o
peso do ar no interior de uma sala de estar com uma altura de 3,0 m e
um piso com uma área de 4,0 x 5,0. Quais seriam a massa e o peso
de um volume igual de água?
360543 mV 
kgVm 7260)20,1(  
NmgP 7008,9*72 
O volume da sala
O Peso
AR
A massa
360543 mV 
kgVm 410*660)1000(   NNmgP 6610*9,58,9*10*6 54 
O volume da sala
O Peso
ÁGUA
A massa
Pressão
F
P
A

Força por unidade de área
(1 Pa = 1 N/m2)
PdAdF 
Se a pressão é variável sobre a área:
 Considere um pistão de área A que pode deslizar em um
cilindro fechado e que está de repouso sobre uma mola.
A pressão do fluido sobre o pistom é
Fluidos em Repouso
As pressões encontradas pelo
mergulhador e pelo montanhista são
chamadas de pressões hidrostáticas,
pois são decorrentes de fluidos
estáticos.
 Queremos encontrar a pressão
hidrostática como função da
profundidade ou altitude.
A Pressão atmosférica (Pa) é a pressão
exercida pela atmosfera terrestre, a pressão no
fundo desse oceano de ar que vivemos. Essa pressão
varia com as condições do tempo e com a altitude.
 Consideremos um tanque cheio de
água, onde colocamos um cilindro
circular de base reto nele.
A água está em equilíbrio estático,
ou seja, as forças se equilibram.
Fluidos em Repouso
 3 forças atuam no meu sistema
peso. força P
cilindro do superfície da base na
cilindro do superfície da topono
2
1





F
F
 Portanto
Fluidos em Repouso
mgFF 

12
Usando algumas definições, encontramos
ghPP  12
que é a LEI DE STEVIN que nos diz “ a pressão depende da
profundidade e não da dimensão horizontal do recipiente.”
ghPP  0
onde P é a pressão absoluta e consiste em duas contribuições:
1. P0: pressão atmosférica aplicada num líquido.
2. gh: pressão devido ao liquido acima do recipiente.
A diferença entre pressão absoluta e a atmosférica é chamada de PRESÃO NANOMÉTRICA.
Exemplo 02
 Um mergulhador novato se exercitando em uma piscina com um
cilindro, inspira de seu tanque ar suficiente para expandir
completamente seus pulmões, antes de abandonar o cilindro a uma
profundidade L e nadar até a superfície. Ele ignora as instruções e
não exala ar durante a subida. Quando ele atinge a superfície, a
diferença entre a pressão externa sobre ele e a pressão do ar em seus
pulmões é de 9,3 kPa. De que profundidade ele partiu? Que risco ele
correu?
gLPP  0
 SOLUÇÃO
m
g
p
L 95,0



Apesar de não ser profundo, a diferença de pressão é
suficiente para romper os pulmões do mergulhador e
forçar a passagem de ar dos pulmões para a corrente
sanguínea despressurizada, que então transporta o ar
para o coração matando o mergulhador.
Pela lei de Stevin, a diferença de pressão entre dois pontos em
um líquido homogêneo em equilíbrio é constante, dependendo
apenas do desnível entre os pontos. Portanto se produzimos uma
variação de pressão num ponto de um líquido em equilíbrio essa
variação se transmite a todo líquido, ou seja, todos os pontos
sofrem a mesma variação de pressão.
Princípio de PascalPrincipio de Pascal: “Uma variação de pressão aplicada em um
fluido incompressível é inteiramente transmitido para toda
porção do fluido e para as paredes do recipiente.”
e s
e s
e s
P P
F F
A A


de
de
Ae As
Fe
Fs
Mg
Princípio de Pascal
Ex: Elevador Hidráulico
e
e
S
S F
A
A
F 
Se o pistom da entrada for deslocado por dE o pistom de saída
move-se para cima uma distância dE, de modo que o mesmo
volume do liquido é deslocado pelos dois pistons.
O trabalho realizado da saída é
e
S
e
S
SSee
d
A
A
d
dAdAV


Princípio de Pascal
eee
S
e
e
e
S
SS dFd
A
A
F
A
A
dFW 












Ou seja, o trabalho realizado pelo pistom de entrada pela força aplicada é
igual ao trabalho realizado pelo pistom de saída ao levantar o carga sobre ele.
1 2
2 1
h
h



h1 h2
P0
P0
BA
Vasos Comunicantes
P0 P0 P0 P0
Consideremos um objeto que se encontra
em equilíbrio na água (nem afunda e nem
sobe).
A força gravitacional para baixo deve ser equilibrada por
uma força resultante para cima exercida pela água.
Princípio de Arquimedes
Esta força resultante para cima é uma força chamada de EMPUXO
(Fe). Ela é resultante do aumento de pressão com a profundidade.
Princípio de Arquimedes
     
2 1
2 1
Sendo:
 e 
Então:
f
p p gh
E p A p A gh A
V hA m V
E mgk P



 
  
 
  
Onde é o peso da porção do fluido deslocada.fP
• Em um corpo que se encontra imerso em um líquido,
agem duas forças: a força peso , devida à interação
do corpo com a Terra, e a força de empuxo ,
devida à interação do corpo com o líquido (figura).
Sendo assim, quando um corpo é colocado
totalmente imerso em um líquido, temos as seguintes
condições:
• se ele permanecer parado no ponto onde foi
colocado, a intensidade da força de empuxo é igual à
intensidade da força peso (E = P);
• se ele afundar, a intensidade da força de empuxo é
menor do que a intensidade da força peso (E <P);
• se ele subir para a superfície, a intensidade da força
de empuxo é maior do que a intensidade da força peso (E
> P). Para analisar situações como essas, vamos considerar
o princípio de Arquimedes.
PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES:
“Um corpo total ou parcialmente imerso
num fluido sofre ação de uma força de
módulo igual ao peso do fluido deslocado
pelo corpo e que aponta para cima.”
Exemplos: pedra e madeira.
O raciocínio usado por Arquimedes para elaborar esse
princípio foi altamente engenhoso: se o corpo imerso
não estivesse ocupando uma região do fluido, teríamos
ali um fluido em equilíbrio. Logo, o fluido ao redor
dessa região deve, necessariamente, exercer sobre ela
uma força de intensidade igual à da força exercida pelo
fluido deslocado pelo corpo. Desse modo, o empuxo
não depende da densidade do corpo, mas sim do peso
do fluido que ele desloca.
Quando o bloco de madeira flutua em um liquido, o módulo do empuxo
sobre o corpo é igual ao módulo da força gravitacional sobre o corpo.
gE FF 
Portanto, quando um corpo flutua em um fluido, o módulo da força
gravitacional sobre o corpo é igual ao peso do fluido deslocado pelo
corpo.
Flutuação
PESO APARENTE
Quando pesamos um bloco numa balança obtemos a massa exata do
objeto. No entanto se fizermos isso submerso na água, o empuxo
para cima faz com que essa leitura diminua. Essa leitura é então o
PESO APARENTE.
O peso aparente esta relacionado com o peso real e o empuxo
Flutuação
Eap FPesoP
empuxo
ulo
real
Peso
aparente
Peso


















 mod
Logo o corpo que flutua tem peso aparente igual a zero.
 Num fluido a força aplicada deve exceder apenas o peso
aparente, já que o empuxo para cima ajudaria a levantar o corpo.
Exercícios 
01. Um estudante de Geologia, durante um trabalho de campo, encontrou uma 
rocha e, para dar sequência às suas atividades, precisou descobrir sua 
densidade, utilizando-se de seus conhecimentos de Hidrostática. Pendurou a 
rocha num dinamômetro com um barbante, e leu sua indicação duas vezes: com 
a rocha pendurada e imersa no ar e, depois, com ela pendurada e totalmente 
imersa em água, cuja densidade pode ser considerada 1 g/cm3. As figuras, fora 
de escala, mostram os resultados obtidos.
Desconsiderando a massa do barbante utilizado, o 
valor encontrado pelo estudante para a densidade 
da rocha, em g/cm3, foi de: 
a) 1,5. b) 2,4. c) 3,6. 
d) 4,2. e) 6,3.
02. Uma prancha de madeira com 2 m de comprimento, 50 cm de
largura e 15 cm de espessura flutua na água, conforme mostra a figura
a seguir (sem escala e em cores fantasia).
Suponha que uma pessoa se deite
sobre a prancha e que esta fique com a
face superior tangente à superfície da
água. Nessas condições, qual é a massa
da pessoa?
Resolução
Fluidos ideais em Movimento
Fluidos ideais em Movimento
CONSIDERAÇÕES:
 O fluido é estacionário : v = constante.
A fumaça de cigarro.
 O fluido é incompressível:  é a mesma.
 O fluido não viscoso: resistência ao escoamento.
Mel é mais resistente ao escoamento do que a água.
Linhas de Corrente
 Todas as partículas que passarem por P
seguirão a mesma trajetória, chamada
LINHA DE CORRENTE.
 Tornar visível o escoamento de um
fluido.
As linhas de corrente nunca se cruzam.
A velocidade da partícula é sempre
tangente a trajetória.
Equação da Continuidade
1 1 2 2Av A v
P
Q
A1
A2
v1 v2
A velocidade do escoamento aumenta quando reduzimos a área
de seção transversal da qual o fluido flui.
A vazão do fluido é
constAvR 
A equação da continuidade
Volume que passa através de uma
dada seção por unidade de tempo.
Equação de Bernoulli
 Relação entre pressão, velocidade e altura no escoamento –
Equação de Bernoulli.
 Aplicações:
 escoamento em sistemas
de escoamento;
 voos de aeronaves;
usinas hidroelétricas.
Equação de Bernoulli
1. Calcular o trabalho realizado sobre o
sistema pelas forças não
conservativas (pressão).
 VPPdW 21 
2. Calcular o trabalho realizado sobre o
sistema pelas forças conservativas
(cinética + potencial).
  
 12
2
1
2
2
2
1
zzVgdU
VdK



 ∆l1
∆l2
Equação de Bernoulli
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
21 constante
2
p v gy   
Equação de Bernoulli afirma que o trabalho realizado pelo fluido
das vizinhanças sobre uma unidade de volume de fluido é igual a
soma da energia cinética e potencial ocorridas na unidade de
volume durante o escoamento.
 Ou a equação de Bernoulli é a soma das pressões devido a
diferença de velocidade e altura.