Buscar

AP2-CII-2014-2-gabarito

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 3, do total de 4 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Prévia do material em texto

AP2-
���������	�
	
����
��������������
��
�
�	� �
����������
�
���������	
��
����������	������
�����
������������	�
�����
�
��������	������
� 5x < − �����	
��
������
�	��
�
������	�������������	�����
��
5sec
sec
5sec tg5
xx
dx d
θ 

=
=
=
⇒
����� �
2 25
tg 25 5 tg
5
x θ θ− =
���	���
�
2 25 5 tg 5sec tg
(5sec )
x ddx d C
x
θ θ θ θ−
= = =∫ ∫∫
!����
�
2
225 25 5arcsecx xdx x C
x
−
= − − +∫
�
��� �
����������
�
���
�"
�#�
������$%�����	���������� ��
�&
�	���'���
���	����������������	�
���
"
(
���
��%�����
���
��	$%��
�����$)
��
���	�	��� 
�
2 2
( 1)
( 1) ( 1)
x
x x
A B C
x x x
−
+
+
+
+
=
�
*�����
�
��	�������"����
���
�
������������
���	�����
���
�
 
 
- CÁLCULO II-2014/2 Gabarito 
 
���
��������������
���
�
+	�����,�,�
���	
��
����������	������� ����	���
����
��
����
�*	�-�����������
.���
/	
��
�����0�
2 2( 25) 25 | |x x x− + = = ��
����	�
����� 5x > ��
��
���	������� 0x > ��
��%�� | |x x= ��
�����	
��
������
�	�� ( )x− ��
��
��
5sec
5sec tgdx d
θ
θ θ θ
=
���
2tg 25 5 tgxθ θ⇒ − = �
225 1)25 5 tg 5sec tg tg 5tg 5(5sec ) (sec5
x ddx d Cdθθ θ θ θ θ θ θ θ
θ
θ−= − += = =∫ ∫ ∫
25 5arcsec
5
x xdx x C = − − + 
 
��
���
�"
�#�
������$%�����	���������� ��
�&
�	���'���
���	����������������	�
���
"
(
���
��%�����
���
��	$%��
�����$)
��
���	�	��� �
( 1) � � � � � � �
*�����
�
��	�������"����
���
� ,A B �
C �����	
�	������������������������
1
�
��%��
������������
���	�����
���
2 ( 1)x x + ������
����
�
�
�
��
�
�
�
��
�
tg 5tg 5dx d Cθ θ θ θ= − += = =
�
���
�"
�#�
������$%�����	���������� ��
�&
�	���'���
���	����������������	�
��� x �����
������
234���
����	
�	������������������������
1
�
��%��234��
���
�-������55� �*6�7�8����	��� 69,:;6 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
�
��
�
	
�
21 ( 1) ( 1)x x B x CxAx− + + + += � � � � � � � �
2 21x Bx B CxAx Ax− + + + += �
21 () )(x C B x BA x A− ++ + += �
!���� 0, () ) 1 e 1( C B BA A=+ + = = − �
2 2A e C⇒ = = − �
�����	��	����
��234����"����
���
� ,A B �
C �����������-��
�
2 2
( 1)
( 1)
2 1 2
( 1)
x
x x x x x
−
−
+
−
+
= �
���	��
2 2 2
( 1) 2 2( 1)
2 1 2
( 1) ( 1)
x dx dx dx
x x
dx dx dx
x x x x x x
dx− − = −
+
− −
+ +
=∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ �
� � � �
1
22ln | | 2 ln | 1| 2 ln | | 2 ln | 1|
1
x
x x dx x x x C
−
−
= − + = − − + +
−
−∫ �
� � 2
( 1)
( 1)
x dx
x x
−
+∫
1 12ln | | 2 ln | 1 | 2 ln
1
x
x x C C
x x x
= + − + + = + +
+
�
�
���������	��
	
����
��������������
���
�
�	� �
����������
2 2 2 2
00 0 1 1 1( ) ( )(1 ) ( ),
2 2 2
lim lim limx x x t
t
t
t t t
dx dx e ex e x e− − − −
−∞
→−∞ →−∞ →−∞

− = − − = −
==∫ ∫
�
�	�
2
2
1lim lim 0t
tt t
e
e
−
→−∞ →−∞
 
=  
 
= ��
�
�����
����������
�
���
�"
�#�
���	��
���������� �����	��
�����	�
�&
�	������
����	��
�"�����%���	�	��������
'��
�#�
�
3
01( )
x
f x >= ���
�
3
1( ) 0
4
g x
x
= >
+
���
��[1, )+∞ �
�
<���
���� �� ��	� �	�� �
� ���
���$%�� ��� �	�	�
� ���� ( )f x � 
 ( )g x � ��	��� �
�	�	������
3
3
3
3
3
1
( ) 4lim lim lim lim 1 1 (0, )1( )
4
4
x x x x
f x x
g x x
x
x
x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
= = = + = ∈ +∞
+
+
�� =��%�� ��� 	��
���	��
	�
�&
�	�����
3
1 4
1
x
dx
+∞
+∫
�
3
1
1
x
dx
+∞
∫ ����
�������
�����
�������
	��������
.���������
���"
��
������������	"
��
���*���������������������������	���
���������
��
�����
����#�
>
�-������55� �*6�7�8����	��� 69,:;6 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
�
��
�
�
1
r
a
dx
x
+∞
∫ ������� 0a > �����"
��
���
�� 1r > ��
���	"
��
���
�� 1r ≤ �?���	���
��
������ 1 0a = > �
3 1
2
r >= ���������
3
1
1
x
dx
+∞
∫ ����"
��
���*�������� 3
1 4
1
x
dx
+∞
+∫
����� �����"
��
��
�
���������	��
	
����
��������������
�����
�
�	� ����������
��
�
'��
� #�
�
2 221 e x yx y = += − �%�� ����� 
��-������ �
� " ��	�
�� 2,�94� 
� 26�94�
�
�
��	"��
��
��*�������������� 0 1y e y= = ��%����
	1�Ox ��
����
������	(������#�
��	����
������	���
����
	1��Ox ����
���$�������
�	%���@�� ��������������
��	��
��	������
�
5�
��	�	�����������$%���������������������
	��� ( )h y ��
�����	��� �	�������������
	��� ( )r y ����
��
2 2 2(2 ) (1 ) 1 2( ) y y yh y + − − = += �
� ( )y yr = ��
����� 0 1y≤ ≤ ��'��
��
�#�
��� 0( )h y ≥ 
�
( ) 0yr ≥ ��
��
�	��
�"������
��"����
� ������
����&������� ( ) ( )2
d
c
yr h y dyV pi= ∫ ������	�����"����
� ���
12 4
2 3
0
1 1
0 0
1 11 2 2 ) 2 ) ) 2
2 4 2 2
[ 2 ( 2 ( 2 (2 ] y yy y ydy y dyV pipi pi pipi + + + = + =

= == ∫ ∫
��	���
���
�"����
��
�
�����
����������
�
3 21 2xy += 
����� 0 1x≤ ≤ ������������ 1 2 1 232 3
2
x xy′ = = �
���	�
2
1 1
0 0
1 ( ( )) 1 9L f x xdx dx′+ += =∫ ∫ �
+�$���������	��	$%��� 1 9 9u x du dx= + ⇒ = ���
�� 0 1x u= ⇒ = �
��
��� 1 10x u= ⇒ = ������
101 2 3 2
1
10
1
1 1 2 2( ) (10 10 1)
9 9 3 27
L u du u  = −= =∫ ���
�
�
���������	�������
��������������
���
�
�-������55� �*6�7�8����	��� 69,:;6 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
�
��
�
�
�
�	� �
��������
2 1dy y
dx
= + ������#�
��� (1) 0y = ��
2 1dy y
dx
= + ⇒ 2 1
dy dx
y
=
+∫ ∫
� � � �
!���� arctg y x C= + � *��� ������ ����� 0y = � #������ 1x = �� ���	��
0
arctg 0 1 0 1 1C C C= + ⇒ = + ⇒ = −
123
�������� arctg 1y x= − ��� tg ( 1)y x= − ��
�
�����
���������
22x y y x′ − = ���� 0x ≠ ���
� ������ 0x ≠ ���	"	�	������
#��$%��
��� x ��
���
"
������
#��$%�����������
���%�����
#��$%���	�
����
�
�	�
	������
���
2y y x
x
′
− = �����
� �
2( )p x
x
= − 
 ( )q x x= ��
���� p 
�
q � ���$)
�� ���������� 
� {0}−R �� � *��
���� ��	�	(��� �� �&������ 
���� �� ����$%�� �
���� ���
��
����� ����������
���
��
�������
��%�� ��
�
��-�	���
���������&��������'��
�#�
�
22( ) 2ln | | ln | | {0}p x dx dx x x x
x
−
= − = − = ∈ −∫ ∫ R �� ���	��� �� ������
	��
�����
� � �
2 2
2 2
( ) ln| | 1 1| | , {0}.| |( )
p x dx x
x x
x x
x e eµ − −= = = ∈ −∫= = R !�����
����	
�	��������
#��$%���	�
�
��	���
��������� ( )xµ ���
�������
2
2 3
1
1 2 1
d y
dx x
dy y
x dx x x
 
 
 
− =
1442443
�
2 2 2
1 1 1 1 1 ln | |d y y dx y x C
dx x xx x x
 
⇒ = ⇒ = ⇒ = + 
  ∫ �� ���
� C � � ����
��������
����	��-�	���
��
2 2 2(ln | | ) ln | | ,y x x C x x Cx⇒ = + = + � � �� ����$%�� �
���� ��� 
#��$%��
�	�
�
��	����	�
�����������
�

Outros materiais