Aula_2. Bernoulli

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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SALVADOR 
 INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL 
KELLY ANSELMO DE SOUZA 
kellysouza_12@hotmail.com 
Hidráulica 
Equação da dinâmica dos 
fluidos – Teorema de Bernoulli 
NEAS 
ENG 662 – Hidráulica 
Prof.Ms. Kelly Anselmo de Souza 
kellysouza1210@gmail.com 
 
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SALVADOR 
 INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL 
1.Conceito: 
 
 
 
 Na hidrodinâmica são estudadas as leis que 
regem o comportamento dos líquidos em 
movimento. 
 
 
 
 
 
2. Vazão: 
 A vazão é representada pelo volume de líquido que atravessa 
uma determinada seção transversal na unidade de tempo. 
 
 
 O volume de líquido dVol, que num tempo dt atravessa uma 
seção A normal à direção da corrente, é igual ao volume 
gerado pelo deslocamento ds de A, durante o tempo dt (vide 
figura a seguir). 
 
 
2. Vazão: 
 
 
dVol = A.ds 
 
Se dividirmos os termos da expressão acima por dt, teremos: 
 
dVol/dt = A.ds/dt 
 
Analisando os termos da equação anterior, chegaremos as seguintes conclusões óbvias: 
 
dVol/dt = Q (Q = vazão ou descarga de líquido). 
 
ds/dt = V ( V = velocidade de escoamento do líquido ). 
 
Q = A.V 
 
 
2. Vazão: 
 No SI de medidas, a vazão é expressa em m³/s. 
Também são utilizadas m³/dia; m³/h; l/dia; l/h e l/s; 
 
 Quadro de equivalência entre as principais unidades 
de vazão; 
 
 
 UNIDADE m³/s m³/h m³/dia l/s l/h l/dia 
1 m³/s = 1 3.600 86.400 1.000 3.600.000 86.400.000 
1 m³/h = 1/3.600 1 24 1/3,6 1.000 24.000 
1 m³/dia = 1/86.400 1/24 1 1/86,4 1/ 0,024 1.000 
1 l/s = 0,001 3,6 86,4 1 3.600 86.400 
1 l/h = 1/3.600.
000 
 0.001 0,024 1/3.600 1 24 
1 l/dia = 1/86.400
.000 
1/24.000 0,001 1/86.400 1/24 1 
2. Vazão: 
 
 
 Para os condutos forçados, no qual se utiliza os 
tubos de seção circular, teremos: 
 
 
 Q = _π. D² . V 
 4 
 
 
 
3. Equação da Continuidade: 
 Consideremos o seguinte trecho da tubulação: 
 
 
 
 
Onde: 
V1 = velocidade na seção 1, em m/s. 
V2 = velocidade na seção 2, em m/s. 
A1 = Área da seção 1, em m². 
A2 = Área da seção 2, em m². 
 
 
3. Equação da Continuidade: 
 Adotando-se o princípio de conservação de massas, a massa 
de líquido que entra na seção 1 será igual à massa de líquido 
que sai da seção 2, ou seja: 
 Qm1 = Qm2 
 Se tivermos um líquido incompressível a vazão em massa 
(Qm) é igual à vazão volumétrica (Q). Assim: 
 Q1 = Q2 
 Como: 
 Q1 = A1.V1 e Q2 = A2.V2 
 
 
 
 
 
 
Substituindo as equações, teremos: 
 A1.V1 = A2.V2 
3. Equação da Continuidade: 
 Esta é a Equação da Continuidade para líquidos 
incompressíveis, sendo válida para qualquer seção de 
escoamento. 
 
 Em se tratando de tubos, cuja seção é circular, teremos: 
 
 π.D1
2.V1 = π.D2
2.V2 
 4 4 
 
 
 
 
 
3. Equação da Continuidade: 
 Procedendo às devidas simplificações, obteremos: 
 
 D1
2.V1 = D2
2.V2 
 
 
Onde: 
 
 
D1 = Diâmetro interno do tubo na seção 1, em m. 
D2 = Diâmetro interno do tubo na seção 2, em m. 
 
 
 
3. Equação da Continuidade - Exercícios 
• EXERCÍCIO 01. Calcular a vazão de água que circula à velocidade 
de 2,0 m/s por um tubo de 50 mm de diâmetro. Responder em 
todas as unidades de vazão. 
 
• EXERCÍCIO 02. Um conduto de 100 mm de diâmetro tem 
descarga de 6,0 l/s. Qual a velocidade média de escoamento do 
líquido? 
 
• EXERCÍCIO 03. Encontrar o diâmetro de uma canalização para 
conduzir uma vazão de 100,0 l/s, com velocidade média de 
escoamento do líquido em seu interior de 2,0 m/s. 
 
 
 
3. Equação da Continuidade - Exercícios 
• EXERCÍCIO 04. As tubulações 1 e 2 confluem para o ponto “A”, e 
deste, através da tubulação 3, conflui para o ponto “B”, daí 
derivando para as tubulações 4, 5 e 6, indicando as flexas o 
sentido de fluxo de cada uma. No ponto “B” a vazão foi 
fornecida, encontrando-se 40,86 l/s. De acordo com os dados 
fornecidos na figura abaixo, calcular as variáveis solicitadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO DOS LÍQUIDOS: 
 O escoamento dos líquidos se classifica em relação ao 
tempo e ao espaço. 
 
 
 Em relação ao tempo e fixando-se uma seção, o movimento 
dos líquidos se classifica em: 
 
• PERMANENTE 
• NÃO-PERMANENTE 
 
 
 
4.CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO DOS LÍQUIDOS: 
 PERMANENTE: 
• Quando os seus parâmetros hidráulicos de velocidade 
(V), pressão (P) e massa (ρ) não se alteram com o 
tempo. Exemplo: uma tubulação com vazão constante 
ao longo do tempo. 
 
 NÃO-PERMANENTE: 
• Caracterizam-se quando, em um determinado ponto, 
ocorrerem mudanças nestes parâmetros, em qualquer um 
ou em todos, com o tempo. Exemplo: um riacho em fase 
de aumento gradual de vazão. 
 
 
4.CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO DOS LÍQUIDOS: 
 Em relação ao espaço e fixando-se um tempo “t”, tem-se 
seguinte classificação: 
 
• PERMANENTE UNIFORME 
 
• PERMANENTE NÃO-UNIFORME 
 
• NÃO-PERMANENTE UNIFORME 
 
• NÃO-PERMANENTE NÃO-UNIFORME 
 
 
 
4.CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO DOS LÍQUIDOS: 
 PERMANENTE UNIFORME: 
 
 As condições de escoamento não variam com a posição e com o 
tempo. A velocidade e a seção transversal de escoamento 
permanecem constantes em todas as seções da corrente 
líquida. Exemplo: tome-se um líquido escoando por um conduto 
longo, de seção e vazão constantes. 
 
4.CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO DOS LÍQUIDOS: 
 
 PERMANENTE NÃO-UNIFORME: 
 As condições de escoamento mudam espacialmente, mas não com o 
tempo. A velocidade e a área da seção transversal podem variar de 
seção para seção, mas, para uma mesma seção, elas não variam com 
o tempo. Exemplo: escoamento com vazão constante através de uma 
tubulação com diâmetro crescente ou decrescente. 
 
 
4.CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO DOS LÍQUIDOS: 
 NÃO-PERMANENTE UNIFORME: 
 Para um dado instante, a velocidade varia com o tempo, mas é a 
mesma em todos os pontos do conduto. Exemplo: o escoamento 
através de uma tubulação longa, de diâmetro constante, com vazão 
crescente ou decrescente. 
 
 
 
4.CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO DOS LÍQUIDOS: 
 
 NÃO-PERMANENTE NÃO-UNIFORME: 
 
 A velocidade varia no espaço e com o tempo. Exemplo: O 
escoamento com vazão variável em um conduto de seção crescente 
ou decrescente. 
 
 
5. ENERGIA 
 PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DE ENERGIA 
 
A energia não pode ser criada nemdestruída, mas 
apenas transformada, ou seja, a energia total é sempre 
constante. A energia pode apresentar-se em diversas 
formas. Hoje apresentaremos as de maior importância 
no campo da hidrodinâmica. 
 
5. ENERGIA 
 Energia Potencial ou de Posição(Hz): 
 
As energias serão determinadas por unidade de peso. 
Desta forma terão as dimensões de um comprimento 
(L), fato que torna o seu uso bastante prático na 
hidráulica. 
 
A energia potencial ou de posição de um ponto de um 
líquido por unidade de peso é definida como a cota 
desse ponto em relação a um determinado plano de 
referência. 
 
5. ENERGIA 
 Energia Potencial, Posição ou Geométrica (Hz): 
 
 
 
 
 Hz = Z = m 
5. ENERGIA 
 Energia de Pressão (Hp): 
 
 A energia de pressão pode ser obtida pela equação de pressão 
dos líquidos: 
 P = γ.h 
 A energia de pressão expressa em altura de coluna de líquido 
será: 
 h = P / γ 
 
 Assim: 
 Hp = P / γ 
5. ENERGIA 
 Energia de Pressão (Hp): 
 A energia de pressão ou piezométrica é obtida com o uso dos 
medidores de pressão, tais como, piezômetro, manômetro de 
Bourdon, etc, no ponto desejado. 
 Exemplo: 
5. ENERGIA 
 Energia de Velocidade (Hv): 
 
 Teorema de Torricelli 
 
V2 = V0
2 + 2*g*S 
 
V = Velocidade final do corpo em queda livre, em m/s; 
V0 = Velocidade inicial do corpo em queda livre, no momento que passa pelo 
plano de referência, m/s; 
g = Aceleração da gravidade (constante e igual a 9,81 m/s2) 
S = Espaço percorrido pelo corpo em queda livre, em m. 
 
 
 
5. ENERGIA 
 Energia de Velocidade (Hv): 
 
 Tomemos como exemplo uma gota de água que se condensa 
em uma nuvem que se encontra a uma altura “h”, se 
tomarmos o ponto onde a gota de água se condensa na 
nuvem como referencial, teremos: 
 
 V0 = 0 e S = h 
 Substituindo na expressão do Teorema de Torricelli, teremos: 
V2 = V0
2 + 2*g*S 
V2 = 02 + 2*g*h ou 
V2 = 2*g*h 
 h = V2 / 2*g 
 
5. ENERGIA 
 Energia de Velocidade (Hv): 
 
 Hv = V² / 2 * g 
 
 
 A energia de velocidade ou cinética é obtida com o uso 
conjugado, no mesmo ponto, do medidor de pressão, tais 
como, piezômetro, manômetro de Bourdon, etc, e do tubo 
Pitot, responsável pela medição da soma da energia de pressão 
com a energia de velocidade. 
 
 
 
 
 
5. ENERGIA 
 Energia de Velocidade (Hv): 
 
 Hv = V² / 2 * g 
 
 
 A energia de velocidade ou cinética é obtida com o uso 
conjugado, no mesmo ponto, do medidor de pressão, tais 
como, piezômetro, manômetro de Bourdon, etc, e do tubo 
Pitot, responsável pela medição da soma da energia de pressão 
com a energia de velocidade. 
 
 
 
 
 
5. ENERGIA 
 Energia de Velocidade (Hv): 
 
Assim: 
o Tubo de Pitot = V²/2*g + P/γ 
o Piezômetro = P/γ 
 
 Por diferença de medidas entre o tubo Pitot e o 
piezômetro, tem-se: 
 
 V²/2*g + P/γ - P/γ = V²/2*g 
 
 
6. TEOREMA DE BERNOULLI 
 
 
 O Teorema de Bernoulli é um dos mais 
importantes de hidráulica e representa um caso 
particular onde se aplica diretamente o princípio 
de conservação de energia. Neste particular, para 
fins didáticos, estudaremos o Teorema de 
Bernoulli para líquidos perfeitos e reais. 
 
 
 
 
 
6. TEOREMA DE BERNOULLI 
 TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS 
PERFEITOS 
 
Nestas condições, admite-se como hipótese um 
escoamento em regime permanente, sem receber ou 
fornecer energia e sem troca de calor 
 
 
 
 
 
 
6. TEOREMA DE BERNOULLI 
 TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS PERFEITOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. TEOREMA DE BERNOULLI 
A energia total, ou carga dinâmica (H), é representada 
pela soma de todas as formas de energia em um ponto 
qualquer do circuito hidráulico (energia potencial + 
energia de pressão + energia de velocidade), sendo 
absolutamente constante ao longo deste conduto, ou 
seja: 
 
 H = Z + V²/2*g + P/γ 
Em que: 
 
H = Energia Total ou constante de Bernoulli, em m 
 
6. TEOREMA DE BERNOULLI 
 TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS 
PERFEITOS 
 
 Comparando-se a soma das formas de energia em um 
ponto (1) com a soma das formas de energia em outro 
ponto (2) no circuito hidráulico, teremos: 
 
 
 Z1 + V²1/2*g + P1/γ = Z2 + V²2/2*g + P2/γ 
 
 
 
6. TEOREMA DE BERNOULLI 
 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO TEOREMA DE BERNOULLI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6.TEOREMA DE BERNOULLI 
 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO TEOREMA DE BERNOULLI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. TEOREMA DE BERNOULLI 
 
 O Teorema de Bernoulli, quando expresso em termos de 
energia por unidade de peso admite uma interpretação 
geométrica muito simples. De fato, cada um dos termos 
desta equação tem dimensão linear. Essas grandezas 
lineares recebem o nome de carga ou altura, e a sua 
soma é denominada de carga, altura total ou constante 
de Bernoulli (H) que, representa a altura entra o plano 
de referencia e o plano de energia total (vide figuras 
anteriores). 
 
 
 
6. TEOREMA DE BERNOULLI 
 TERMO P/γ 
 
 Este termo recebe a denominação de altura ou carga 
piezométrica, pois corresponde a altura de uma coluna 
de líquido, água, por exemplo, que pode ser medida por 
um piezômetro; 
 
 Estando o registro fechado (sistema estático), ter-se-á 
apenas energia de pressão e o líquido no piezômetro 
alcançará o nível de água no reservatório, obedecendo 
ao princípio dos vasos comunicantes; 
 
 
6. TEOREMA DE BERNOULLI 
 TERMO P/γ 
 
 Com o registro aberto (sistema dinâmico), o líquido 
circulará pela tubulação e os piezômetros indicarão 
cargas decrescentes, em decorrência do aumento das 
energias de velocidade; 
 Fechando-se gradualmente o registro tem-se a 
diminuição gradual da vazão e, consequentemente, da 
velocidade, implicando numa diminuição também 
gradual da energia de velocidade, aumentando, 
consequentemente, a energia de pressão, já que a 
soma das energias é constante. 
 
6. TEOREMA DE BERNOULLI 
 TERMO V²/2*g 
 É denominado de altura ou carga cinética ou de velocidade. O 
líquido em movimento apresenta certa quantidade de energia 
devido a sua velocidade. Esta energia também pode ser 
relacionada a uma coluna líquida através de um tubo Pitot; 
 
 Em condutos sob pressão, a carga de velocidade é sempre o 
menor dos três componentes de carga total. Normalmente, a 
velocidade da água em tubulações situa-se entre 0,60 e 3,00 m/s. 
Para um valor médio de 1,50 m/s, ter-se-á uma carga cinética de 
aproximadamente 0,11 mca. 
 
 
 
 
6. TEOREMA DE BERNOULLI 
 TERMO V²/2*g 
 Comparada com a carga piezométrica e de posição, a carga de 
velocidade chega a ser insignificante, razão pela qual ela 
normalmente é desconsiderada; 
 
 Em tubulações despejando água livremente na atmosfera, não 
existe carga piezométrica na sua extremidade de saída, pois a 
pressão ali reinante é atmosférica, mas, mesmo assim, aágua 
continua escoando, graças à energia cinética da água; 
 
 Observe que a diminuição da seção do tubo implica no aumento 
da velocidade, resultando numa maior energia de velocidade 
nesta seção, em detrimento da diminuição da energia de 
pressão. 
 
 TERMO Z 
 Corresponde à carga de posição do líquido, tomada em 
relação a um plano de referência, como mostrado na 
figura a seguir. 
 
A linha piezométrica ou linha de pressão (LP) é 
determinada pela soma dos termos (Z + P/γ) em cada 
seção do conduto. 
 
 
 
 
6. TEOREMA DE BERNOULLI 
5. TEOREMA DE BERNOULLI 
 TERMO Z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CONCLUSÕES: 
 
 Os manômetros registram a soma da carga piezométrica e de 
posição; não registrando, porém, a carga de velocidade, o que é 
feito pelo tubo Pitot; 
 Não existe carga cinética ou de velocidade em sistemas 
estáticos, somente em sistemas onde existe fluxo de líquido; 
 
 Em sistemas onde o diâmetro da tubulação permanece 
constante, a carga de velocidade é a mesma para todos os seus 
pontos. Para uma mesma vazão, ela somente se altera quando 
ocorrem mudanças no diâmetro da tubulação. Isto decorre da 
equação da continuidade (Q = Ai.Vi). 
 
 
6. TEOREMA DE BERNOULLI 
EXERCÍCIOS 
• EXERCÍCIO 01. Em um conduto transportando água, é conectado 
um tubo piezométrico “A” e um tubo Pitot “B”. Lido o desnível 
entre ambos, encontrou-se ∆h = 4,0 cm. Sabendo-se que o 
conduto tem 4” Ø, pede-se: 
• a) a velocidade média da água. 
• b) a vazão, em l/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
• EXERCÍCIO 02. Um conduto é constituído de dois trechos de 100 
e 75 mm de diâmetro. Calcular a pressão no ponto 2, sabendo-
se que no ponto 1, 10,0 m acima do ponto 2, a pressão é de 2,0 
kgf/cm². A velocidade em 1 é de 0,60 m/s. Desprezar as perdas 
de energia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. TEOREMA DE BERNOULLI 
 TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS REAIS 
 
 Leva-se em conta o efeito das perdas de energia por 
atrito do líquido com as paredes do conduto e entre as 
partículas do próprio líquido (viscosidade ou atrito 
interno), causas principais da dissipação dessa energia 
sob a forma irreversível de calor. 
 
 Em hidráulica, esta perda de energia é denominada de 
perda de carga (hf), sendo uma variável importante no 
dimensionamento de circuitos hidráulicos. 
 
 
5. TEOREMA DE BERNOULLI 
 TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS REAIS 
 Considerando agora líquidos reais, faz-se necessária a 
adaptação do Teorema de Bernoulli, introduzindo-se a 
variável perda de carga (hf), resultando em: 
 
 Z1 + V²1/2*g + P1/γ = Z2 + V²2/2*g + P2/γ + hf(1-2) 
 
Em que: 
hf(1-2) = Perda de carga , em mca, quando o líquido 
transportado flui do ponto 1 para o ponto 2 no 
circuito hidráulico. 
 
5. TEOREMA DE BERNOULLI 
 TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS REAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. TEOREMA DE BERNOULLI 
 TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS REAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. TEOREMA DE BERNOULLI 
 TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS REAIS 
 
 J = hf/ L 
 
 
 
 
 
 
 
J = Perda de carga unitária ou gradiente de declividade, em m/m; 
hf= Perda de carga contínua, em m.c.a; 
L = Comprimento do conduto, em m. 
 
5. TEOREMA DE BERNOULLI 
 TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS REAIS 
 
 Considerações importantes: 
 
• A energia total em 1 é maior que a energia total em 2; 
 
• Existe uma relação inversa entre energia de pressão e 
perda de carga 
 
 
 
 
 Exercícios 
1) Uma tubulação horizontal transporta 850 l/seg de água. Em 
2 tem ela o diâmetro de 450 mm e a pressão de 0,700 
Kg/cm2; em 1, o seu diâmetro é de 900 mm e a pressão de 
0,763 Kg/cm2. Calcular a perda de carga entre os dois 
pontos. 
 
3) Um conduto hidráulico de 1000 m de comprimento, 
apresenta uma perda de carga contínua de 30 cm. Qual a 
sua perda de carga unitária? 
 
 
4) Um circuito hidráulico apresenta uma perda de carga 
unitária de 5 cm/m. Qual a perda de carga contínua se o 
tubo apresentar um comprimento de 360 m? 
 
 
5) Um circuito hidráulico apresenta um gradiente de 
declividade de 0,4 m/100 m. Qual a perda de carga 
contínua se o conduto apresentar um comprimento de 600 
m?