05 - Org de Computadores - Unidade II - parte 1

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Unidade II – Representação de Dados 
Parte 1 
Slides 05 
Tecnologia em Redes de Computadores 
Paulo do Amaral Costa 
2012/1 
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Organização de Computadores – Unidade II 
 Unidade II - Representação de dados 
◦ 2.1 - Sistemas de numeração 
 Conceitos fundamentais 
 Sistema de numeração 
 Número 
 Numeral 
 Base 
 Algarismo 
 Classificação dos sistemas de numeração 
 
◦ 2.2 - Os sistemas decimal, binário, octal e hexadecimal 
 Importância dos sistemas decimal, binário, octal e hexadecimal 
 Sistema decimal 
 Sistema binário 
 Sistema octal 
 Sistema hexadecimal 
 
◦ 2.3 - Conversão entre os sistemas de numeração 
 Teorema fundamental da numeração 
 Conversão decimal-binário e binário-decimal 
 Conversão decimal-octal e octal-decimal 
 Conversão decimal-hexadecimal e hexadecimal-decimal 
 Conversão binário-octal e octal-binário 
 Conversão binário-hexadecimal e hexadecimal-binário 
 Conversão octal-hexadecimal e hexadecimal-octal 
 
 
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Conceitos fundamentais 
 
 Sistema de numeração (SN): 
◦ Conjunto de símbolos e regras utilizadas para representar números. 
 
 Número: 
◦ Entidade de natureza abstrata e comensurável que expressa 
quantidade. 
 
 Numeral: 
◦ É a representação de um número. 
 
 Base: 
◦ Conjunto ou quantidade de símbolos utilizados na representação de 
números, ou seja, na confecção do numeral. 
 
◦ A base denota o nome do SN. 
Exemplo: 10  sistema decimal, 8  sistema octal, 12  sistema 
duodecimal. 
◦ A base também denota uma referência de contagem. 
 
 Algarismo : 
◦ Símbolo que compõe a base de um SN. 
 
 
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Classificação dos sistemas de numeração 
 SN Não posicional: 
◦ O valor de um símbolo (algarismo) permanece o mesmo, 
independente da posição que ocupe na formação do numeral 
(representação do número). 
 
◦ O algarismo possui um valor absoluto. 
Exemplo: 
 Sistema de numeração romano (I, V, X, L, D, C, M). 
 IV (4 = 5 - 1) VI (6 = 5 + 1) VII (7 = 5 + 1 + 1) 
 
 SN Posicional: 
◦ O valor de um algarismo muda a depender da posição que o mesmo 
ocupe na representação de um número (numeral). 
 
◦ O algarismo possui um valor absoluto e um valor relativo ou 
posicional. 
 
◦ O algarismo possui um valor associado a um peso que corresponde a 
uma potência da “base” do SN. 
Exemplo: 
 Sistema de numeração decimal, base = 10 
 363 = 3 x 102 + 6 x 101 + 3 x 100 
 363 = 3 x 100 + 6 x 10 + 3 x 1 
 363 = 300 + 60 + 3 
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Dado um sistema de numeração posicional de base 
 b 
qualquer, e sendo Sb o conjunto de símbolos (algarismos 
ou dígitos) desse sistema 
 
 Sb = {d0, d1, d2, ..., db-1} 
 
a notação (representação) de um número N qualquer é 
dada por: 
 N = [dn-1 dn-2...d1d0 ]b ou 
 
 N = (dn-1 dn-2...d1d0)b ou ainda 
 
 N = dn-1 dn-2...d1d0 b 
 
Onde: 
n  é a quantidade de dígitos do número. 
n-1, n-2,...,0  é a posição do dígito na representação do número. 
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Importância dos sistemas decimal, binário, octal e 
hexadecimal 
 
 A importância do sistema decimal é inerente à natureza 
do ser humano. (Por quê?) 
 
 O sistemas binário, possui grande importância para a 
computação face à facilidade de representação de 
quantidades por meio de propriedades elétricas. 
 
 Os sistemas octal e hexadecimal têm a sua devida 
importância pela forma compacta alternativa de 
representação de grandes números binários. 
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 Base: 10 
 
 
 Conjunto de símbolos (algarismos ou dígitos): 
 S10 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 
 
 
 Notação de um número (representação): 
Exemplos: 
 [264]10 (378953)10 203410 1010110 264 
 
 
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 Base: 2 
 
 
 Conjunto de símbolos (algarismos ou dígitos): 
 S2 = { 0, 1} 
 
 
 Notação de um número (representação): 
Exemplos: 
 [101]2 (1011)2 101012 
 
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 Base: 8 
 
 
 Conjunto de símbolos (algarismos ou dígitos): 
 S8 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } 
 
 
 Notação de um número (representação): 
Exemplo: 
 [703]8 (5164)8 101018 4725638 
 
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 Base: 16 
 
 
 Conjunto de símbolos (algarismos ou dígitos): 
 S16 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F } 
 
 
 Notação de um número (representação): 
Exemplo: 
 [703]16 (264)16 10101116 2B16 4A2B6F9316 
 
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Conversão de uma base “b” qualquer para decimal 
 
 Aplicar o Teorema Fundamental da Numeração (TFN) 
 Tanto para a parte inteira como para a parte fracionária. 
 Situações exemplos: 
 Conversão binário  decimal 
 Conversão octal  decimal 
 Conversão hexadecimal  decimal 
 
Conversão de decimal para outra base “b” qualquer 
 
 Parte inteira: Método das divisões sucessivas pela base b. 
 Parte fracionária: Método das multiplicações sucessivas pela 
base b. 
Situações exemplos: 
 Conversão decimal  binário 
 Conversão decimal  octal 
 Conversão decimal  hexadecimal 
 
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Parte inteira e fracionária 
 
 
Teorema Fundamental da Numeração (TFN) 
 Relaciona uma quantidade expressa em qualquer SN com a mesma quantidade 
expressa no sistema decimal. 
 
 
 
 
 
 N10 = dn-1.b
n-1 + ... + d1.b
1 + d0.b
0 + d-1.b
-1 + ... + b-d.b
-d 
 
Onde: 
◦ d = dígito. 
◦ b = base. 
◦ i = índice posicional do dígito em relação à virgula. 
◦ m = nº de dígitos à direita da vírgula. 
◦ n = nº de dígitos à esquerda da vírgula. 
 
Exemplos: 
 
1011,012  n = 4, m = 2
 
 N10 = 1.2
3 + 0.22 + 1.21 +1.20 + 0.2-1 + 1.2-2 = 8,2510 
 
363,1210  n = 3, m = 2 
 N10 = 3.10
2 + 6.101 + 3.100 + 1.10-1 + 2.10-2 = 363,1210 
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Parte inteira: 
Método das divisões sucessivas pela base 
 
 Algoritmo: 
 
 
 
Obs.: O critério de parada também pode ser o dividendo menor que divisor. 
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Parte fracionária 
Método das multiplicações sucessivas pela base 
 
 Algoritmo: 
 
A conversão é obtida multiplicando-se a parte fracionária do número 
decimal pela base desejada; 
 
Enquanto a parte fracionária do produto for diferente de zero (ou não 
atingir a precisão desejada): 
 extrair parte inteira do produto como algarismo e colocá-lo à direita 
do anterior; 
 multiplicar parte fracionária do produtopela base; 
 repetir 
Quando a parte fracionária do produto for igual a zero (ou atingir a 
precisão desejada), parar. 
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Conversão decimalbinário 
◦ Parte inteira: Aplicar método das divisões sucessivas pela base. 
 
◦ Parte fracionária: Aplicar método das multiplicações sucessivas 
pela base. 
 
Conversão bináriodecimal 
◦ Aplicar o TFN 
 
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Exemplo: 
Converter o número 10,82812510
 para a base 2. 
10,82812510 = ?????,?????2 
 
Parte inteira: Aplicar método das divisões sucessivas pela base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1010 = 10102 
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Exemplo: 
Converter o número 10,82812510
 para a base 2. 
10,82812510 = 1010,?????2 
 
Parte fracionária: Aplicar método das multiplicações sucessivas pela 
base. 
 
Fração: 0,82812510 = ?????2 
 
0,828125 x 2 = 1 ,65625 
0,65625 x 2 = 1 ,3125 
0,3125 x 2 = 0 ,625 
0,625 x 2 = 1 ,25 
0,25 x 2 = 0 ,5 
0,5 x 2 = 1 
 
 0,1101012 
 
 1010 = 1010,1101012 
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Exemplo: 
Converter o número 10,82812510
 para a base 10. 
101101,1012= ?????,?????10 
 
Parte inteira e fracionária: Aplicar o TFN. 
n=6, m=3 
 
 
 
 
Expoente variando de: n-1  ... até ...  -m 
 5 ...  ... até ...  -3 
 
N10 =1.2
5 + 0.24 + 1.23 + 1.22 + 0.21 +1.20 + 
 
 1.2-1 + 0.2-2 + 1.2-3 = 45,62510 
 
 
parte inteira 
parte fracionária 
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 No Visualg 
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 Conversão decimal-octal 
◦ Parte inteira: Aplicar método das divisões sucessivas pela base. 
 
◦ Parte fracionária: Aplicar método das multiplicações sucessivas 
pela base. 
 
 Conversão octal-decimal 
◦ Aplicar o TFN 
 
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Exemplo: 
Converter o número 500,18710
 para a base 8. 
500,18710 = ?????,?????8 
 
Parte inteira: Aplicar método das divisões sucessivas pela base. 
 
 
 
 
 
 
 
 50010 = 7648 
 
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Exemplo: 
Converter o número 500,18710
 para a base 8. 
500,18710 = ?????,?????8 
 
Parte fracionária: Aplicar método das multiplicações sucessivas 
pela base. 
 
Fração: 0,18710 = ?????8 
 
0,187 x 8 = 1 ,496 
0,496 x 8 = 3 ,968 
0,968 x 8 = 7 ,744 
0,744 x 8 = 5 ,952 
 
 
 0,1375...8 
 
 500,18710 = 764,13758 
 
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Exemplo: 
Converter o número 764,218 para a base 10. 
 
764,218 = ?????,?????10 
 
N10 = 7.8
2 + 6.81 + 4.80 + 2.8-1 + 1.8-2 
 = 448 + 48 + 4 + 0,125 + 0,015625 
 = 500,140625 
 
7648 = 50010 
 
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 Conversão decimal-hexadecimal 
◦ Parte inteira: Aplicar método das divisões sucessivas pela base. 
 
◦ Parte fracionária: Aplicar método das multiplicações sucessivas 
pela base. 
 
 Conversão hexadecimal-decimal 
◦ Aplicar o TFN 
 
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Exemplo: 
Converter o número 1000,1210
 para a base 16. 
1000,1210 = ?????,?????16 
 
Parte inteira: Aplicar método das divisões sucessivas pela base. 
 
 
 
 
 
 
 
14  E 
 
 100010 = 3E816 
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Exemplo: 
Converter o número 1000,1210
 para a base 16. 
1000,1210 = ?????,?????16 
 
Parte fracionária: Aplicar método das multiplicações sucessivas 
pela base. 
 
Fração: 0,1210 = ?????16 
 
0,12 x 16 = 1 ,92 
0,92 x 16 = 14 ,72 
0,72 x 16 = 11 ,52 
0,52 x 16 = 8 ,32 
 
14  E, 11 B 
 
 0,1EB8...16 
 
 1000,1210 = 3E8,1EB816 
 
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Exemplo: 
Converter o número 3E8A,1216 para a base 10. 
3E8A,1216 = ?????,?????10 
 
E  14, A  10 
 
N10 = 3.16
3 + 14.162 +8.161 + 10.160+ 1.16-1 + 2.16-2 
 = 12288 + 3584 + 128 + 10 + 0,0625 + 0,0078125 
 = 16010,0703125 
 
3E8,1216 = 16010,070312510 
 
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 Tabela de equivalência 
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Conversão binário-octal e octal-binário 
 
Conversão binário-octal 
◦ Parte inteira: Divide os dígitos em grupos de 3, da direita para a 
esquerda, acrescentando zeros no final, se necessário e, para 
cada grupo substituir pelo octal correspondente. 
 
◦ Parte fracionária: Divide os dígitos em grupos de 3, da esquerda 
para a direita, acrescentando zeros no final, se necessário e, para 
cada grupo substituir pelo octal correspondente. 
 
Conversão octal-binário 
◦ Parte inteira: Substitui cada dígito octal pelos 3 dígitos binários 
correspondente, da direita para a esquerda. 
 
◦ Parte fracionária: Substitui cada dígito octal pelos 3 dígitos 
binários correspondente, da esquerda para a direita. 
 
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Exemplo: 
Converter 1011111101,0101002 = ????,????8 
Usando a tabela de equivalência: 
 
 001011111101,010100 2 
 
 1 3 7 5, 2 4 
 
001=1 011=3 111=7 101=5 010=2 100=4 
 
001011111101,0101002 = 1375,248 
1011111101,0101002 = 1375,248 
 
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Exemplo: 
Converter 1375,248 = ????,????2 
Usando a tabela de equivalência: 
 
 1375,24 8 
 
 001 011 111 101,010 100 
 
1 = 001 3 = 011 7 = 111 5 = 101 2 = 010 4 = 100 
 
1375,248 = 001011111101,0101002 
 =1011111101,0101002 
 
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Conversão binário-hexadecimal e hexadecimal-binário 
 
Conversão binário-hexadecimal 
◦ Parte inteira: Divide os dígitos em grupos de 4, da direita para a 
esquerda, acrescentando zeros no final, se necessário e, para 
cada grupo substituir pelo hexadecimal correspondente. 
 
◦ Parte fracionária: Divide os dígitos em grupos de 4, da esquerda 
para a direita, acrescentando zeros no final, se necessário e, para 
cada grupo substituir pelo hexadecimal correspondente. 
 
Conversão hexadecimal-binário 
◦ Parte inteira: Substitui cada dígito hexadecimal pelos 4 dígitos 
binários correspondente, da direita para a esquerda. 
 
◦ Parte fracionária: Substitui cada dígito hexadecimal pelos 4 
dígitosbinários correspondente, da esquerda para a direita. 
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Exemplo: 
Converter 10110110001,001110102 = ????,????16 
Usando a tabela de equivalência: 
 
 010110110001,00111010 2 
 
 5 B 1 , 3 A 
 
0101=5 1011=B 0001=1 0011=3 1010=A 
 
010110110001,001110102 = 5B1,3A16 
10110110001,001110102 = 5B1,3A16 
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Exemplo: 
Converter 5B1,3A16 = ????,????2 
Usando a tabela de equivalência: 
 
 5B1,3A 16 
 
 0101 1011 0001, 0011 1010 
 
5=0101 B=1011 1=0001 3=0011 A=1010 
 
5B1,3A16 = 010110110001,001110102 
 =10110110001,001110102 
 
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Conversão octal-hexadecimal e Conversão hexadecimal-octal 
 
◦ Usa-se a base binária como intermediária, ou seja, faz-se antes a 
conversão para a base binária, em seguida aplica-se a subdivisão 
em grupos de 3 ou de 4, a fim de se substituir valor 
correspondente pelo seu valor octal ou hexadecimal. 
 
◦ Octal  Binário  Hexadecimal 
 
◦ Hexadecimal  Binário  Octal 
 
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Usa-se a tabela de equivalência 
 
 Octal  Binário  Hexadecimal 
 
 1375,248  001011111101,0101002  2FD,516 
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Usa-se a tabela de equivalência 
 
 Hexadecimal  Binário  Octal 
 
 2FD,516  001011111101, 0101002  1375,248 
 
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