resolução_prova_1_B2_Prof.Rone_3.2014

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F´ısica Quaˆntica
Prova 1 - turma B2
1) [2,5] Suponha o seguinte arranjo experimental: uma caixa e´ constru´ıda com paredes meta´licas que sa˜o
mantidas na temperatura T = 6000 K. Faz-se um orif´ıcio circular de diaˆmetro d = 10 mm em uma das
paredes, de modo que uma pequena quantidade de radiac¸a˜o escape do interior da caixa (veja a figura
abaixo). Calcule a poteˆncia com a qual a luz e´ irradiada atrave´s do orif´ıcio no intervalo de frequeˆncias de
ν1 = 5, 445 × 10
14 s−1 a ν2 = 5, 455 × 10
14 s−1. Use que
∫ ν2
ν1
RT (ν) dν ≈ RT (ν¯) δν, sendo ν¯ =
ν1+ν2
2
e
δν = ν2 − ν1.
2) [2,5] Um fo´ton de raios X de λ0 = 3 A˚ e´ espalhado por um ele´tron livre em repouso, sendo desviado de
90o. Qual e´ a energia cine´tica de recuo do ele´tron (em eV)?
3) [2,5] No caso do a´tomo de hidrogeˆnio, usando o modelo de Bohr, determine:
(a) [1,0] O raio da o´rbita do estado fundamental.
(b) [0,5] A energia do estado fundamental.
(c) [1,0] O maior comprimento de onda da se´rie de Lyman para este a´tomo.
4) [2,5] Um proje´til de massa 40 g se move a 1000 m/s.
(a) [1,0] Qual e´ o comprimento de onda que podemos associar a este objeto?
(b) [1,5] Por que, para este objeto, a natureza ondulato´ria na˜o se revela por meio de efeitos de difrac¸a˜o?
1
Algumas constantes:
c = 3, 0× 108m/s,
h = 6, 626× 10−34J s = 4, 135× 10−15eV s,
h¯ = h
2pi
k = (4πǫ0)
−1,
ǫ0 = 8, 854× 10
−12C2/(Nm2),
kB = 1, 38× 10
−23 JK−1,
carga do ele´tron: e = 1, 602× 10−19C,
massa do ele´tron: me = 9, 109× 10
−31kg = 0, 5110MeV/c2.
Fatores de conversa˜o:
eV = 1, 602× 10−19J,
1 A˚ = 10−10m; 1mm = 10−3m,
1MeV = 106 eV,
1 g = 10−3Kg.
Fo´rmulas:
λ− λ0 =
h
mc
(1− cosα) , (1)
E = hν, (2)
p =
h
λ
, (3)
λν = c, (4)
RT (ν) =
2πν2
c2
hν
exp
(
hν
kBT
)
− 1
, (5)
L = nh¯ = n
h
2π
, com n = 1, 2, 3, ..., (6)
L = mr
(
kZe2
rm
) 1
2
, (7)
E = −
1
2
kZe2
r
, (8)
p = mv. (9)
2
Resoluc¸a˜o:
1) P = poteˆncia irradiada no intervalo de frequeˆncias entre ν1 e ν2.
ν¯ = ν1+ν2
2
= 5, 45 × 1014 s−1
δν = ν2 − ν1 = 10
12 s−1
P = RT (ν¯) δν π
(
d
2
)2
≈ 7, 6W
2)
α = 90◦
λ0 = 3 A˚
λ = λ0 +
h
mec
(1− cosα) ≈ 3, 024 × 10−10m
Ee = E0 − Eγ = hc
(
1
λ0
−
1
λ
)
≈ 33 eV
3-a) m = me
Z = 1
mr
(
kZe2
rm
) 1
2
= nh¯⇒ rn =
n2h¯2
mkZe2
r1 =
h¯2
mkZe2
≈ 0, 53 A˚
3-b)
En = −
1
2
kZe2
rn
= −k
2Z2e4m
2n2h¯2
E1 = −13, 6 eV
3-c) Maior comprimento de onda da se´rie de Lyman: n = 2 para n = 1.
E2︸︷︷︸
E1
4
−E1 = hν = h
c
λ
⇒
1
λ
=
E1
4
−E1
hc
⇒ λ ≈ 1216 A˚
4-a)
λ = h
p
= h
mv
≈ 1, 66 × 10−25 A˚
4-b)
O comprimento de onda e´ extremamente pequeno. Por exemplo, numa experieˆncia de difrac¸a˜o desta onda
por uma fenda, a abertura da fenda deveria ser da ordem de 10−25 A˚ ou menor, o que e´ impratica´vel mesmo
considerando-se a distaˆncia entre os planos atoˆmicos num cristal, que e´ da ordem de 1 A˚, como a abertura
de uma fenda.
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