Exercicios Calculo

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Ca´lculo Diferencial e Integral - quinta lista de exerc´ıcios
Q1 - Determine a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em x = a, onde:
a) f(x) = x sen(x), e a = 0 b) f(x) = sen(x)cos(x), e a = pi/2
c) f(x) = x2cos(x) e a = pi d) f(x) = sen(x)x e a = pi/4
e) f(x) = x
2−3x+1
x e a = −2 f) f(x) = 1sen(x) e a = pi/2
Q2 - Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = sen(x) no
ponto de coordenadas (pi2 , 1).
Q3 - Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto de abscissa
a onde:
a)f(x) = sen(x) e a = 3pi2 b)f(x) = xcos(x) e a = 0
c)f(x) = x2sen(x) e a = pi d)f(x) = (cos(x))2 e a = pi/2.
Q4 - Calcule dfdt onde:
a) f(t) = t sen(t) + t cos(t) b) f(t) = (sen(t))2
c) f(t) = t
2
sen(t) d) f(t) =
1
cos(t)
e) f(t) = (t3 + 2)(t2 − 3t+ 1) f) f(t) = 1
tk
, k ∈ {1, 2, 3, ...}
Q5 - Calcule f ′(x) onde:
a) f(x) = sen(x3) b) f(x) = cos(x2 + 3x+ 1)
c) f(x) = cos2(x) d) f(x) = (x3 + 4x2 − 2x+ 1)4
e) f(x) = (sen(x))3 + 3(sen(x))2 + 5 f) f(x) = sen(cos(x))
g) f(x) = sen( 1x3 ) h) f(x) = sen(x
2) + (cos(x))3
i) f(x) = (3x+ 2)5 + (2x− 8)4 j) f(x) = sen(x2)cos(x2)
k) f(x) = (sen(x))2+(cos(x))2 l) f(x) = (sen(x))5+(cos(x))4+ sen(x)x −2
Q6 - Determine os intervalos onde f e´ crescente e os intervalos onde f e´ decres-
cente, sendo:
a) f(x) = x3 − 27x+ 2 b) f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 1
c) f(x) = −2x3 + 15x2 − 36x+ 1 d) f(x) = (sen(x))2 para x ∈ [0, 2pi]
e) f(x) = (sen(x))3 para x ∈ [0, 2pi]
Respostas
Q1 - a) 0 b) − 1 c) − 2pi d) (
√
2/2)(pi/4)−√2/2
(pi/4)2 =
2
√
2(pi−4)
pi2 e) 3/4 f) 0 Q2 - 0
Q3 - a) y = −1 b) y = x c) y = −pi2x+ pi3 d) y = 0
Q4 - a) sen(t) + cos(t) + t(cos(t)− sen(t)) b) 2sen(t)cos(t) c) 2tsen(t)−t2cos(t)(sen(t))2
d) sen(t)cos2(t) e)5t
4 − 12t3 + 3t2 + 4t− 6 f) −k
xk+1
Q5 - a) cos(x3)3x2 b) − sen(x2 + 3x+ 1)(2x+ 3) c) − 2sen(x)cos(x)
d) 4(x3 + 4x2 − 2x+ 1)3(3x2 + 8x− 2) e) 3sen2(x)cos(x) + 6sen(x)cos(x)
f) − cos(cos(x))sen(x) g) − 3cos(x−3)x−4 h) cos(x2)2x− 3cos2(x)sen(x)
i)15(3x+ 2)4 + 8(2x− 8)3 j) 2x(cos2(x2)− sen2(x2)) k) 0
l) 5(sen(x))4cos(x)− 4(cos(x))3sen(x) + cos(x)x−sen(x)x2
Q6 - a) cres: (−∞,−3] e [3,+∞) dec: [−3, 3] b) cres: (−∞,−2] e [1,+∞)
dec: [−2, 1] c) cres: [2, 3] dec: (−∞, 2] e [3,+∞) d) cres: [0, pi/2] e [pi, 3pi/2]
dec: [pi/2, pi] e [3pi/2, 2pi] e) cres: [0, pi/2] e [3pi/2, 2pi] dec: [pi/2, 3pi/2]