na08 reflexao de ondas planas com incidencia normal

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Reflexão de Ondas Planas – Incidência Normal 
 
Quando uma onda incide na interface entre dois meios diferentes, uma onda 
refletida é produzida e, em geral, uma onda transmitida aparece no segundo meio. 
Juntas, estas ondas satisfazem as condições de fronteira na interface entre os dois 
meios. 
 
Vamos considerar uma onda plana com freqüência angular ω que se propaga no 
meio 1 e que incide normalmente (isto é, a direção de propagação da onda é normal 
à interface) numa interface entre o meio 1 e o meio 2, ambos caracterizados por 
diferentes conjuntos de valores de σ, ε e µ, onde σ ≠ ∞. A interface está no plano 
z=0, o meio 1 está em z<0 e o meio 2 em z>0, conforme mostra a figura 1. 
 
 
 
 Figura 1 – Onda Plana com Incidência Normal 
 
 
Vamos considerar os índices i para onda incidente, r para onda refletida e t para 
onda transmitida. Então, a intensidade do campo elétrico incidente é 
 
 x
z
imi aeEE
r&r 1γ−= (1) 
 
onde é a amplitude da onda incidente e a constante de propagação é imE
 
1
1
11111 1 ωε
σεµωβαγ jjj −=+= 
 
A onda refletida na interface se propaga para trás no meio 1 (isto é, na direção 
negativa de z) e é dada por 
 x
z
rmr aeEE
r&r 1γ+= (2) 
 
Assim, a onda total no meio 1 é dada por 
 
 x
z
rmx
z
im aeEaeEE
rr&r 11
1
γγ +− += (3) 
 1
 
O campo magnético total no meio 1 pode ser então calculado como sendo 
 
 y
zrm
y
zim aeEaeEH rr&
r
11
11
1
γγ
ηη
+− −= (4) 
e 
 
1
1
1
1
1
1 ωε
σ
ε
µ
η
j−
= 
 
O sinal de menos em (4) aparece pelo fato da onda refletida se propagar na direção 
negativa de z (ver a inversão de sentido de H na figura 1). 
 
No meio 2 os campos são dados por 
 
 x
z
tm aeEE
r&r 2
2
γ−= (5) 
e 
 y
ztm aeEH r&
r
2
2
2
γ
η
−= (6) 
onde 
 
2
2
22222 1 ωε
σεµωβαγ jjj −=+= 
e 
 
2
2
2
2
2
1 ωε
σ
ε
µ
η
j−
= 
 
Para satisfazer as condições de fronteira em z=0, note-se que as componentes dos 
campos elétrico e magnético são inteiramente tangenciais à interface e, uma vez 
que a condutividade é finita, não existe densidade de corrente superficial na 
interface. 
 
Assim, em z=0, 
 21 tangencialtangencial EE = 
 21 tangencialtangencial HH = 
que evoluem para 
 
000 === =+ ztzrzi EEE 
 tmrmim EEE =+ (7) 
e 
 
000 === =+ ztzrzi HHH 
 2
 ( ) tmrmim EEE
21
11
ηη =− (8) 
 
Agora podemos definir um coeficiente de reflexão na interface como sendo a razão 
entre o campo elétrico refletido na interface e o campo elétrico incidente na interface: 
 
 
im
rm
E
E=Γ (9) 
 
e um coeficiente de transmissão na interface como sendo a razão entre o campo 
elétrico transmitido na interface e o campo elétrico incidente na interface: 
 
 
im
tm
E
E=Τ (10) 
 
Assim, utilizando (9) e (10) em (7), chega-se a 
 
 imimim EEE Τ=Γ+ 
 
 Τ=Γ+1 (11) 
 
Da mesma forma, utilizando (9) e (10) em (8), 
 
 ( ) imimim EEE Τ=Γ−
21
11
ηη 
 
211
1
ηηη
Τ=Γ− (12) 
 
Resolvendo (11) e (12) para e Γ Τ , temos 
 
 
12
12
ηη
ηη
+
−=Γ (13) 
e 
 
12
22
ηη
η
+=Τ (14) 
 
Os coeficientes de reflexão e de transmissão dados por (13) e (14), 
respectivamente, permitem calcular os campos refletidos e transmitidos para um 
dado campo incidente. 
 
 
 3
Reflexão em Interface entre Dielétrico Perfeito e Condutor Perfeito 
 
Neste caso, 01 =σ e ∞=2σ , fazendo com que 02 →η , 1−=Γ e . Assim, 
sendo o meio 2 um condutor perfeito, a onda incidente é inteiramente refletida, 
conforme esperado, pois não pode haver campos variantes no tempo dentro de um 
condutor perfeito. 
0=Τ
 
Assim, o campo elétrico no meio 1 é dado por 
 x
z
rmx
z
im aeEaeEE
rr&r 11
1
γγ +− += (3) 
 zjim
zj
im eEeExE 111
ββ +− Γ+=&
 )( 111
zjzj
im eeExE
ββ +− −=&
 )(2 11 zsenEjxE im β−=&
que no tempo é escrita como 
 )()(2 11 tsenzsenEEx im ωβ= (15) 
 
O campo magnético no meio 1 é dado por 
 y
zrm
y
zim aeEaeEH rr&
r
11
11
1
γγ
ηη
+− −= (4) 
 zjimzjimy e
EeEH 11
11
1
ββ
ηη
+− Γ−=& 
 )( 11
1
1
zjzjim
y ee
E
H ββη
+− +=& 
 )cos(2 1
1
1 z
EH imy βη=& 
que no tempo é dado por 
 )cos()cos(2 1
1
1 tz
E
H imy ωβη= (16) 
 
A onda formada pelos campos (15) e (16) é única pelo fato de que não se propaga, 
isto é, conforme z varia, a amplitude varia, mas não há propagação no espaço. Esta 
onda recebe o nome de onda estacionária. 
 
Por inspeção, podemos notar que: 
 
1. A amplitude da onda (15) varia de zero a um máximo de , dependendo de z 
(lembrando que 
imE2
λπβ 2= ): 
 em 01 =xE 2
1λnz −= , ,...2,1,0=n 
 em imx EE 21 = 42
11 λλ −−= nz , ,...2,1,0=n 
 
A amplitude da onda é zero em pontos chamados nós, conforme mostrado na 
figura 2. 
 4
 
 Figura 2 – Onda Estacionária de Campo Elétrico com Reflexão Total 
 
 
2. A amplitude da onda de campo magnético (16) varia deslocada no espaço por 
90º (um quarto de onda) da onda de campo elétrico (15). Assim, a intensidade do 
campo magnético é máxima quando a intensidade do campo elétrico é mínima. 
 em 01 =yH 42
1 λλ −−= nz , ,...2,1,0=n 
 
1
1
2
η
im
y
E
H = em 
2
1λnz −= , ,...2,1,0=n 
. Estas relações estão mostradas na figura 3. 
. 
 Figura 3 – Onda Estacionária de Campo Magnético com Reflexão Total 
 
 
Quando o meio 2 é um material com perdas, mas não um condutor perfeito, a onda 
estacionária é dita incompleta, pois é a soma de uma onda estacionária e de uma 
onda propagante, tendo sua amplitude variando entre um valor mínimo (maior que 0) 
e um máximo (menor que ), que depende das amplitudes da onda incidente e 
refletida (ver figura 4). A razão entre a amplitude máxima e a mínima da onda 
estacionária é chamada de razão de onda estacionária (SWR). 
imE2
 
 
 Figura 4 – Onda Estacionária Incompleta 
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	Reflexão de Ondas Planas – Incidência Normal
	Reflexão em Interface entre Dielétrico Perfeito e Condutor P