Aula2

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Movimento em Uma Dimensa˜o
Prof. Elenilson Santos Nery (elenilson.nery@fieb.org.br)
Motivac¸a˜o
I Descrever o movimento retil´ıneo em termos de velocidade me´-
dia,velocidade instantaˆnea, acelerac¸a˜o me´dia e acelerac¸a˜o ins-
tantaˆnea.
I Interpretar gra´ficos de posic¸a˜o versus tempo, velocidade versus
tempo e acelerac¸a˜o versus tempo para o movimento retil´ıneo.
I Solucionar problemas relacionados ao movimento retil´ıneo com
acelerac¸a˜o constante, incluindo questo˜es de queda livre.
Movimento
I Cinema´tica: Parte da f´ısica que estuda o movimento dos corpos
que na˜o leva em conta suas causas.
I Dinaˆmica: parte da f´ısica que estuda o movimento dos corpos
levando em conta as causas que o determinou.
Posic¸a˜o e Deslocamento
I Localizar um objeto significa determinar sua posic¸a˜o em relac¸a˜o
a um ponto de refereˆncia, frequentemente a origem (ou ponto
zero).
Posic¸a˜o e Deslocamento
I Uma mudanc¸a de uma posic¸a˜o x1 para uma posic¸a˜o x2 e´ asso-
ciado um deslocamento ∆x , dado por:
∆x = x2 − x1 (1)
I (i) Mo´dulo: distaˆncia entre as posic¸o˜es inicial e final; (ii) ori-
entac¸a˜o: sinal positivo ou negativo (grandeza vetorial).
Velocidade Me´dia e Velocidade Escalar Me´dia
I Com que rapidez o tatu da imagem se desloca da esquerda para
a direita?
I Podemos responder essa pergunda definindo a velocidade me´dia
vmed (unidade: m/s), como:
vmed =
∆x
∆t
=
x2 − x1
t2 − t1 (2)
Velocidade Me´dia e Velocidade Escalar Me´dia
I Em um gra´fico de x em func¸a˜o de t, vmed e´ a inclinac¸a˜o da
reta que liga dois pontos particulares da curva.
I Ainda podemos definir a velocidade escalar me´dia vs em termos
da distaˆncia total percorrida d , na forma: vs =
d
∆t .
Velocidade Me´dia e Velocidade Escalar Me´dia
I Exemplo 1: Depois de dirigir uma van em uma estrada retil´ınea
por 8, 4 km a 70 km/h, voceˆ pa´ra por falta de gasolina. Nos
30 min seguintes voceˆ caminha por mais 2, 0 km ao longo da
estrada ate´ chegar ao posto de gasolina mais pro´ximo. (a) Qual
e´ o deslocamento total, desde o in´ıcio da viagem ate´ chegar ao
posto de gasolina? (b) Qual e´ o intervalo de tempo ∆t entre
o in´ıcio da viagem e o instante em que voceˆ chega ao posto?
(c) Qual e´ a velocidade me´dia vmed do in´ıcio da viagem ate´ a
chegada ao posto de gasolina? Determine a soluc¸a˜o numerica-
mente e graficamente.
Velocidade Instantaˆnea
I A velocidade instantaˆnea e´ o limite da velocidade me´dia quando
o intervalo de tempo tende a zero:
vx = lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
(3)
Velocidade Instantaˆnea
Tabela : Algumas Derivadas.
Func¸a˜o Derivada
tn ntn−1
et et
ln t 1/t
sent cost
cost −sent
I Exemplo 2: A posic¸a˜o de uma part´ıcula que se move em um
eixo x e´ dada por: x = (7, 8m) + (9, 2m/s)t + (2, 1m/s3)t3,
com x em metros e t em segundos. Qual e´ a velocidade da
part´ıcula em t = 3, 5 s? A velocidade e´ constante ou esta´
variando continuamente?
Acelerac¸a˜o
I Quando a velocidade de uma part´ıcula varia, diz-se que a part´ıcula
sofreu uma acelerac¸a˜o. A acelerac¸a˜o me´dia (m/s2) e´ dada por:
amed =
v2 − v1
t2 − t1 =
∆v
∆t
(4)
I A acelerac¸a˜o instantaˆnea (ou, simplesmente, acelerac¸a˜o) e´ dada
por:
ax = lim
∆t→0
∆v
∆t
=
dv
dt
=
d
dt
(
dx
dt
)
=
d2x
dt2
(5)
Acelerac¸a˜o
I Exemplo 3: Suponha que a velocidade vx de um carro em
qualquer instante t seja dada pela equac¸a˜o: vx = (60m/s) +
(0, 50m/s3)t2. (a) Ache a variac¸a˜o da velocidade me´dia do
carro no intervalo de tempo entre t1 = 1, 0 s e t2 = 3, 0 s. (b)
Ache a acelerac¸a˜o me´dia do carro nesse intervalo de tempo. (c)
Ache a acelerac¸a˜o instantaˆnea do carro para t1 = 1, 0 s, consi-
derando ∆t = 0, 1 s, ∆t = 0, 01 s e ∆t = 0, 001 s. (d) Deduza
uma expressa˜o geral para a acelerac¸a˜o instantaˆnea em func¸a˜o
do tempo e, a partir dela, calcule a acelerac¸a˜o para t = 1, 0 s
e t = 3, 0 s.
Acelerac¸a˜o Constante
I Em muitos tipos de movimento a acelerac¸a˜o e´ constante ou
aproximadamente constante.
Mais sobre Acelerac¸a˜o Constante
Tabela : Equac¸o˜es do Movimento com Acelerac¸a˜o Constante.
Equac¸a˜o Grandeza que Falta
v = v0 + at x − x0
x − x0 = v0t + 12at2 v
v2 = v20 + 2a(x − x0) t
x − x0 = 12 (v0 + v)t a
x − x0 = vt − 12at2 v0
I Exemplo 4: A cabec¸a de um pica-pau esta´ se movendo para
a frente com uma velocidade de 7, 49 m/s quando o bico faz
contato com um tronco de a´rvore. O bico pa´ra depois de pene-
trar 1, 87 mm no tronco. Determine o mo´dulo da acelerac¸a˜o,
em unidades de g , supondo que ela e´ constante.
Mais sobre Acelarac¸a˜o Constante
I As duas primeiras equac¸o˜es da tabela do slide anterior podem
ser obtida por outro caminho: a integrac¸a˜o das equac¸o˜es (3) e
(5).
I Ale´m disso a integrac¸a˜o nos apresenta um caminho interessante
de observar os gra´ficos da acelerac¸a˜o e da velocidade. Observe
as figuras abaixo.
Mais sobre Acelarac¸a˜o Constante
I Exemplo 5: Que distaˆncia percorre em 16 s um corredor cujo
gra´fico velocidade-tempo e´ mostrado na Figura abaixo? A es-
cala vertical do gra´fico e´ definida por vs = 8, 0 m/s.
Acelerac¸a˜o em Queda Livre
I Arremessar um objeto para cima ou para baixo, desprezando a
resisteˆncia do ar, observamos que o objeto sofre uma acelerac¸a˜o
constante para baixo.
Acelerac¸a˜o em Queda Livre
I Exemplo 6: Em 26 de setembro de 1933, Dave Munday foi ate´
o lado canadense das cataratas do Nia´gara com uma bola de
ac¸o, equipada com um furo para entrada de ar, e caiu 48 m
ate´ a a´gua (e as pedras). Suponha que a velocidade inicial era
nula e despreze o efeito do ar sobre a bola durante a queda. (a)
Quanto tempo durou a queda de Munday? (b) Munday podia
contar os treˆs segundos de queda livre, mas na˜o podia ver o
quanto tinha ca´ıdo a cada segundo. Determine sua posic¸a˜o
no final de cada segundo de queda. (c) Qual era a velocidade
de Munday ao atingir a superf´ıcie da a´gua? (d) Qual era a
velocidade de Munday no final de cada segundo? Ele sentiu o
aumento da velocidade?
Refereˆncias Bibliogra´ficas
1. HALLIDAY, D.; RESNICK, R. and KRANE, K.S. Fundamentos
de F´ısica 2: Gravitac¸a˜o, Ondas e Termodinaˆmica. 8◦ Ed. Rio
de Janeiro: LTC, 2004.
2. NUSSENZVEIG, H.M. Curso de F´ısica Ba´sica: Fluidos, Os-
cilac¸o˜es e Ondas, e Calor. Sa˜o Paulo: Edgard Blu¨cher, 2002.
3. TIPLER, P.A. F´ısica para Cientistas e Engenheiros v.1. 7◦ Ed.
Rio de Janeiro: LTC, 2009.