Cinemática: Aceleração e Movimento Retilíneo

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CINEMÁTICA 
 
ACELERAÇÃO NO MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO 
 
 
 
 
Exercícios resolvidos: 
 
1) Suponhamos que um automóvel esteja percorrendo uma estrada com 
uma velocidade v1 qualquer que seu motorista resolva ultrapassar outro 
veículo. Ele pisará mais fundo no acelerador e o automóvel aumentará a 
velocidade, que passará para um valor v2. Haverá, então, uma variação da 
velocidade 
∆v = v2 - v1 
Suponhamos ainda que esta variação da velocidade tenha ocorrido 
durante um intervalo de tempo ∆t = t2 - t1. 
A aceleração escalar média entre os instantes t1 e t2 é definida, então, 
como sendo a relação entre a variação da velocidade e a variação de 
tempo, assim: 
 
Exemplo: 
Um automóvel, com velocidade de 18m/s em um instante t = 0, passe por 
um ponto t = 5s a uma velocidade de 26 m/s. 
 A variação da velocidade foi: ∆v = 26m/s - 18m/s = 8 m/s 
 A variação do tempo foi: ∆t = 5s - 0s = 5s 
 A aceleração foi: 
 
 * Voltamos a lembrar-lhe que antes unidade resolver qualquer problema, 
as unidades das grandezas devem ser todas convertidas para um mesmo 
sistema. 
 2) Uma moto acelera a partir do repouso, e atinge uma velocidade de 
42m/s num tempo de 6 segundos. 
Determine a aceleração média do motoqueiro. 
 
Resolução: 
 
 
Você já sabe que a aceleração é a relação existente entre a variação da 
velocidade e a variação do tempo: 
 
O denominador desta fração, ∆t, representa um intervalo de tempo e é 
sempre positivo. 
O numerador, ∆v, pode ser positivo ou negativo, portanto a aceleração 
pode ser positiva ou negativa. A variação da velocidade, ∆v, será positiva 
quando o módulo da velocidade final for maior que o módulo da 
velocidade inicial e será negativa quando o módulo da velocidade final for 
menor que o da velocidade inicial. 
 Relacionando as grandezas velocidade e aceleração, chegamos a quatro 
combinações diferentes: 
 Você já sabe que a aceleração é a relação existente entre a variação da 
velocidade e a variação do tempo: 
O denominador dessa fração, t, representa um intervalo de tempo e é 
sempre positivo. 
O numerador, v, pode ser positivo ou negativo, portanto a aceleração 
pode ser positiva ou negativa. 
A variação da velocidade, v, será positiva quando o módulo da velocidade 
final for maior que o módulo da velocidade inicial e será negativa quando 
o módulo da velocidade final for menor que o da velocidade inicial. 
 
 
 
 
Podemos, então, concluir que: 
O movimento é acelerado quando a velocidade e a aceleração têm o 
mesmo sinal, ou seja, quando ambas são positivas ou negativas. 
E que: 
O movimento é retardado quando a velocidade e a aceleração têm sinais 
diferentes, ou seja, quando uma é positiva e a outra, negativa. 
O movimento é acelerado quando o módulo da velocidade aumenta com o 
decorrer do tempo – o móvel tende a andar mais rápido, mesmo que seu 
deslocamento seja em sentido oposto ao convencionado como positivo. 
O movimento é retardado quando o módulo da velocidade diminui com o 
decorrer do tempo – o móvel tende a parar, mesmo que seu deslocamento 
seja em sentido positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME REFERENCIAL 
Quando a posição de um corpo ou partícula varia, em relação a um dado 
referencial, no decurso de um intervalo de tempo qualquer, diz-se que 
há movimento. Por outro lado, se a posição de um corpo não varia, em 
relação a um referencial, durante um intervalo de tempo, diz-se que esse 
corpo está em repouso. 
O caminho percorrido por uma partícula ou corpo em movimento é 
chamado de trajetória. 
 
 
A trajetória de uma partícula em relação a um referencial é dada pela linha 
contínua que une as sucessivas posições ocupadas pela partícula durante o seu 
movimento. 
INTERVALO DE TEMPO 
Para podermos situar um acontecimento em relação a outro, precisamos 
ordenar os fatos em passado, presente e futuro, ou seja, precisamos 
estabelecer um referencial. Assim, em um deslocamento de uma partícula 
qualquer, dizemos que ela passou por um determinado ponto p0 em um 
instante t0 e está no ponto p1 no instante t1. O tempo que a partícula levou 
de sua posição inicial p0 à posição p1, denomina-se intervalo de tempo. 
 
O intervalo de tempo é então definido como a diferença entre o instante 
final e o instante inicial. 
 
O deslocamento dessa partícula pode também ser definido como a 
diferença entre a sua posição final, no ponto p1, e a sua posição inicial no 
ponto p0. Dessa forma, teremos, chamando o deslocamento de 
posição final de Sf a inicial de Si. 
 
Vamos analisar uma simulação de um movimento retilíneo uniforme — 
MRU 
 
VELOCIDADE 
A relação existente entre o deslocamento realizado por um móvel e o 
tempo gasto por esse móvel para realizar esse deslocamento é chamado 
de velocidade média. 
A velocidade média vai, então, indicar a rapidez com que um móvel 
mudou de posição. Representamos a velocidade média (Vm), assim: 
 
 
Observe o exemplo: 
Um ciclista, em estrada plana, desloca-se em uma distância de 600m. 
Durante todo o percurso ele manteve uma velocidade constante. 
Determine qual a velocidade média atingida pelo ciclista, sabendo que o 
tempo gasto para percorrer essa distância foi de 15 segundos. 
 
Resolução 
 
 
Vimos que a velocidade de um corpo é a rapidez com que ele muda de 
posição. Essa mudança de posição pode ser efetuada de diferentes 
maneiras. Cada maneira caracteriza um determinado tipo de movimento. 
Vejamos um desses tipos: o Movimento Retilíneo Uniforme (MRU). 
Chamamos de MRU àquele em que o deslocamento do corpo (em relação a um 
referencial) se dá em uma trajetória retilínea (em linha reta) com o valor da velocidade 
constante. O MRU caracteriza-se por apresentar a velocidade média 
sempre constante, isto é, não variando no intervalo de tempo 
considerado. 
Assim, quando afirmamos que um móvel executa movimento retilíneo 
uniforme com velocidade de 10m/s, isto significa que em qualquer 
instante o valor da velocidade deste móvel será de 10m/s. 
Sabemos que todo corpo em movimento sofre uma variação de posição. 
Para indicar a posição de um corpo em um determinado instante, usamos 
a equação denominada equação horária. 
A equação horária mostra como varia a posição de um corpo em função 
do tempo. 
Veja o exemplo: 
Um móvel está se movendo em MRU. 
 
Como a velocidade do móvel é constante, podemos aplicar a fórmula 
Vm. 
 
Como, pelo enunciado temos ainda que: 
 
Se substituirmos teremos: 
que é a equação horária do Movimento Retilíneo 
Uniforme. 
 
 
 
 
Exemplo 
A posição de um móvel em Movimento Retilíneo Uniforme é 
representada pela equação 
Usando as unidades do sistema MKS, calcule: 
a)a posição inicial do móvel 
 
Resp.: A posição inicial do móvel é 2 metros. 
 b)a posição do móvel no instante t = 3 
 
Resp.: A posição do móvel no instante t = 3 é 17 metros. 
 c)o deslocamento do móvel no instante t = 10 
 
Resp.: O deslocamento do móvel é de 50 metros. 
 d)a velocidade do móvel 
 
Resp.: A velocidade do móvel é de 5m/s. 
 
GRÁFICOS 
 
Os gráficos são de grande valia para análise dos movimentos e a 
resolução de problemas. Sabendo-se interpretar um gráfico, dele 
extraímos um grande número de informações. 
GRÁFICO HORÁRIO DO MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME 
O gráfico horário de um movimento retilíneo uniforme é a representação 
gráfica de sua equação horária, num sistema de coordenadas cartesianas. 
Nele, marcamos os tempos no eixo das abscissas e os espaços no eixo das 
ordenadas. 
 
Vamos fazer uma tabela tempo X posição para equação s = 10 + 5t, 
atribuindo valores para o tempo. Assim teremos: 
 
Vamos transportar os valores da tabela para o gráfico s x t, onde o eixo 
das abscissas terá os valores do tempo e o eixo das ordenadas, os valores 
da posição. 
 
A equação horária do MRU é uma equação do 1° grau em t. Assimsendo, 
seu gráfico sempre será uma reta. Lembre-se sempre de que quaisquer 
funções do 1° grau são representadas por uma reta e é por isso que são 
chamadas de funções lineares. 
No gráfico que acabamos de construir, o movimento é progressivo, pois 
o valor de s aumenta com o aumento de t. O movimento seria regressivo 
se o valor de s diminuísse com o aumento dos valores de t. 
Dizemos que um movimento é progressivo quando seu sentido coincide 
com o sentido convencionado como positivo e que o movimento 
é regressivo quando, em caso contrário, seu sentido é oposto ao 
convencionado como positivo. 
GRÁFICO DA VELOCIDADE DO MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME 
O gráfico da velocidade é o gráfico que obtemos marcando o tempo no 
eixo das abscissas e a velocidade no eixo das ordenadas. 
No caso do MRU, onde a velocidade é constante, a ordenada é a 
mesma para todos os pontos. 
 
 
 
 
Vejamos um exemplo. 
Uma formiga percorre urna escala graduada, em movimento retilíneo 
uniforme, para pegar um grão de açúcar. Sabendo-se que no instante t = 
0 ela se achava na origem da escala, e que após percorrer o espaço 
de 15cm, havia se passado 10 segundos, pede-se: 
a) Calcular a velocidade da formiga; 
b) Fazer o gráfico da velocidade do movimento. 
 
 Dados: 
 
Resp.: A velocidade da formiga é de 1,5cm/s. 
 Observe que: 
1) A velocidade constante é uma paralela ao eixo dos tempos; 
2) A área hachurada, no gráfico, representa o deslocamento da formiga, 
pois ∆s = si + vt e nesse caso si = 0 (ela estava na origem da escala no 
instante t = 0), então ∆s = v . t 
 Isso nos mostra que: 
Ao traçarmos o gráfico de um movimento retilíneo uniforme, o valor 
numérico do espaço percorrido entre dois instantes é igual à área 
delimitada pelo eixo das abscissas, pela reta da velocidade e pelas duas 
perpendiculares a este eixo, traçadas pelos pontos dos dois instantes 
considerados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARREMESSO VERTICAL 
Um corpo arremessado (ou lançado) verticalmente só difere de um corpo 
em queda livre por apresentar velocidade Inicial. 
Arremesso vertical de cima para baixo. 
Como você já viu, a única força que atua sobre um corpo em queda livre 
é a aceleração da gravidade. No arremesso vertical de cima para baixo, há 
uma velocidade Inicial (velocidade de lançamento ou velocidade de 
arremesso). Assim sendo, não existe diferença na resolução dos 
problemas. Verifique. por exemplo, o problema visto anteriormente, ao 
qual vamos acrescentar uma velocidade inicial. 
Vejamos um exemplo. 
Uma pedra é lançada à beira de um poço com uma velocidade de 1m/s e 
gasta exatamente 3 segundos para atingir o nível da água, no fundo do 
poço. Considerando que a gravidade neste local é de 10m/s a que 
profundidade se acha o nível da água? 
 Resolução: 
 Dados: 
v0 = 1m/s 
g = 10 m/s² 
t = 3s 
h = ? 
 
Resp.: O nível da água está a 48m de profundidade. 
Arremesso vertical de baixo para cima 
 
Quando um corpo é arremessado verticalmente de baixo para cima, o 
corpo sobe até uma certa altura e depois cai. Durante a subida, o sentido 
do movimento é oposto ao sentido de atuação da força da gravidade, 
assim sendo, a aceleração da gravidade age como aceleração negativa, 
isto é, esse tipo de movimento é retardado – o corpo vai subindo e sua 
velocidade diminuindo até se anular. 
No ponto mais alto da trajetória, v = 0, o impulso que provocou a subida 
é neutralizado e o corpo fica sujeito apenas à força da gravidade, que é o 
caso da queda livre. Veja uma característica desse movimento. 
Ao fazermos um lançamento vertical de baixo para cima de um corpo, 
com uma velocidade inicial qualquer, o tempo que esse corpo gasta na 
subida é igual ao tempo que gastará para chegar ao solo, em queda livre. 
A velocidade final desse corpo, ao chegar no solo, será igual à velocidade 
inicial do lançamento. 
 Vejamos, agora, algumas aplicações do que estudamos. 
Uma arma lança um projétil, da Terra, verticalmente para cima com 
velocidade inicial de 100m/s. 
Desprezando o cano da arma, a resistência oferecida pelo ar e adotando 
g = 10m/s², determine: 
a) a altura máxima atingida pela bala, 
b) o tempo gasto pela bala para atingir a altura máxima, 
c) a velocidade da bala após 4s do lançamento, 
d) a posição da bala e o sentido do movimento no instante t = 12s, 
e) o tempo gasto pela bala para atingir o solo, após ter sido lançada, 
f) a velocidade da bala ao atingir o solo. 
 Resolução: 
 Dados: 
v0 = 100m/s 
g = 10m/s² 
 
a) v² = v²0 + 2g (∆h) 
Como, ao alcançar a altura máxima, o projétil terá v =0, temos: 
0² = 100² + 2 . -10 . ∆h : : 0 = 10000 - 20∆h : : 20∆h = 10000 : : ∆h = 500m 
b) v = v0 + gt 
Como v = 0, temos que: 
0 = 100 + (-10t) : : 10t = 100 : : t = 10s 
 c) v = v0 + gt 
para t = 4s, teremos: 
v = 100 + (-10 . 4) : : v = 100 - 40 : : v = 60 m/s 
 d) para t = 12s, teremos: 
 como o 
tempo de ascensão foi de 10s, o projétil está em queda livre, ou seja, o movimento, no instante t = 12s é de 
cima para baixo. 
 
e) 
Quando um projétil atinge o solo, h = 0, então: 
 
Resolvendo esta equação do 2º graus teremos dois valores para 
 
Como t=0s não condiz com o problema, temos que t = 20s. 
Poderíamos obter essa solução de outra forma, aplicando v = v0 +gt 
Poderíamos obter essa solução de outra forma, aplicando v = v0 onde v é a velocidade do projétil ao atingir 
o solo, v0 a velocidade do móvel ao iniciar a queda (v0 = 0m/s) e g a aceleração 
Teríamos assim: 100 = 0 + 10t \ t = 10s 
Como o tempo gasto pela bala ao atingir o solo, após ter sido disparada, é igual ao tempo gasto na subida 
somado ao tempo gasto na queda, temos que t = 10s (subida) + 10s (queda) = 20s, o que também poderíamos 
responder usando a propriedade já estudada: "ao fazermos um lançamento vertical de baixo para cima de 
um corpo, com uma velocidade inicial qualquer, o tempo que esse corpo gasta na subida é igual ao tempo 
que gastará para chegar ao solo, em queda livre." 
 
 A velocidade da bala, ao atingir o solo, também pode ser calculada pela 
propriedade do lançamento vertical de baixo para cima, mas vamos 
calculá-la. 
Temos que v0 = 100m/s, g = 10m/s² = e t = 20s, aplicando a equação v = 
v0 + gt : v = 100 + (-10 . 20) . . v = 100 - 200 . . v = -100m/s. 
O valor da velocidade tem sinal negativo porque o movimento, na queda, 
é oposto ao da ascensão. 
 Resumindo temos: 
 a) a altura máxima atingida pela bala é de 500m; 
b) o tempo gasto pela bala para atingir a altura máxima é de 10 segundos; 
c) a velocidade da bala após 4s do lançamento é de 60m/s; 
d) a posição da bala no instante t = 12s é 480m de altura. Como o tempo 
de ascensão foi de 10s, o sentido do movimento é de cima para baixo 
(queda livre). 
e) o tempo gasto pela bala para atingir o solo após ter sido lançada é de 
20 segundos; 
f ) a velocidade da bala ao atingir o solo é de -100m/s (|v| = 100m/s). 
 
Vamos analisar outro exemplo. 
É dos mares que evapora a maior parte da água que constitui as chuvas 
que alimentam os rios. Estes, em seus percursos em direção aos mares, 
podem formar cachoeiras, como mostrada na figura. Sabendo que a 
cachoeira cai de uma altura de h =5m e que a gravidade local é g =10 m/s². 
Determine a velocidade da cachoeira antes de tocar o solo. 
 Resolução 
 
 
EQUAÇÃO DE TORRICELLI 
A equação de Torricelli permite resolver problemas de Movimento 
Retilíneo Uniformemente Variado, sem a utilização da grandeza tempo. 
Analise o exemplo que se segue. 
 
Um carro está desenvolvendo uma velocidade de 20m/s quando o 
motorista aciona o freio, produzindo uma desaceleração (aceleração 
negativa) de 2m/s. Qual a distância que o carro vai percorrer desse 
instante até parar? 
Com a aplicação da equação de Torricelli, que é a seguinte: 
 
 Vejamos, temos os dados: 
 
 Aplicando a equação de Torricelli, temos: 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICOS DO MRUVAssim como os gráficos do Movimento Retilíneo Uniforme, os do 
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado nos fornecem todos os 
dados necessários à análise do movimento. 
 1) Gráfico v x t 
O gráfico da equação da velocidade é uma função do 1° grau: v = v0 + at 
(sempre com a¹0). Vamos construir a tabela e o gráfico para v = 6 + 3t. 
 
 
 
A equação horária do MRUV é uma equação do 2o grau em t: 
 
A representação gráfica de uma equação do segundo grau é sempre uma 
parábola, então, vamos construir o gráfico para um movimento que tenha 
a equação: s = 200 . t - 5 . t²