Introdução e Teoria de Filas

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*
Créditos:
- Prof. Antônio Marcos Alberti
- Prof. José Marcos Câmara Brito
Pós-graduação em Engenharia de Redes
e Sistemas de Telecomunicações
TP315
Análise de Desempenho e Dimensionamento em Redes de Telecomunicações
Prof. Edson J. C. Gimenez
(Campinas/2010 – T62/T74)
*
Nota Final / Conceito
Avaliação
EX - peso 5:
Listas de exercícios
PV - peso 5
Prova individual, com consulta.
Conceito Final
Conceito A:	NF ≥ 90
Conceito B:	70 ≤ NF < 90
Conceito C:	50 ≤ NF < 70
Conceito D:	NF < 50
Conceito E:	NC
*
Introdução à Teoria de Filas:
O que é um Sistema de Filas?
Notação de Kendall
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
Equações de Equilíbrio
Teorema de Little
Sistema de Fila com Servidor Único
Sistema de Fila com N Servidores
Sistema de Fila M/G/1
Sistema de Fila com Prioridades
Sistema de Fila Multidimensional
Redes de Sistemas de Fila
Alocação de capacidades em Redes de Pacotes:
Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
 
*
Bibliografia:
1) KLEINROCK, L. - Queueing Systems - Vol. 1: Theory. John Wiley. 1975.
2) KLEINROCK, L. - Queueing Systems - Vol. 2: Computer Applications. John Wiley. 1976.
3) IVERSEN, V. B. - Teletraffic Engineering and Network Planning. Technical University of Denmark. 2004.
4) SCHWARTZ, M. - Telecommnications Networks - Protocols, Modeling and Analysis. Addison Wesley. 1987.
5) KERSHENBAUM, A. - Telecommunications Network Design Algorithms. McGraw-Hill. 1993.
6) BRITO, J. M. C. - Projeto e Análise de Redes de Computadores - (Cap. 4: Introdução à Teoria de Filas). Inatel, 2004.
 
*
Introdução à Teoria das Filas
A teoria de filas é uma das mais interessantes aplicações da teoria da probabilidade, sendo de grande importância para a análise e dimensionamento de sistemas de comunicações e também em sistemas ligados à ciência da computação. 
Os sistemas de filas aparece em diversas situações do nosso cotidiano, tais como:
Fila de pessoas em supermercados e bancos.
Fila de pessoas para embarcar em um avião.
Fila de carros em um semáforo.
Fila de carros aguardando por conserto em uma oficina.
Fila de containers a serem descarregados em um porto.
 
*
Introdução à Teoria das Filas
Sistemas de fila também são formados em sistemas e redes de comunicações: 
Fila de pacotes aguardando por transmissão.
Fila de pacotes aguardando por roteamento/comutação.
Fila de pacotes recebidos na placa de rede de um terminal.
Fila de chamadas telefônicas aguardando por linha em um PABX.
Fila de amostras de voz recebidas em um telefone IP.
Fila de símbolos a serem codificados em um transmissor de TV Digital.
etc...
 
*
O que é um Sistema de Filas?
Um sistema de filas (Q – Queuing System) é um sistema composto por:
Uma ou mais filas (W – Waiting Line) onde são armazenados os elementos que aguardam por atendimento. 
Um ou mais servidores (S – Servers) que atendem os elementos.
Um processo de chegada, que define como os elementos chegam ao sistema.
Um processo de atendimento, que define como os elementos são atendidos pelo sistema.
O tamanho da população que gera os elementos. 
 
*
O que é um Sistema de Filas?
Exemplo:
	Seja o caso de uma lanchonete, em que o chapista leva em média 5 min para fazer um sanduíche, e que o número médio de clientes que procuram a lanchonete é de 8 clientes/hora.
Pergunta:
	Há formação de fila nesta lanchonete?
Solução:
	Utilização da facilidade 
	
**	Mesmo a carga sendo inferior à carga máxima, provavelmente teremos fila, uma vez que os clientes não chegam à lanchonete de forma ordenada.
 
*
O que é um Sistema de Filas?
Sistema de Filas com 1 Fila e vários Servidores
 
S1
S2
Sm
.
.
.
Fila (W)
População
Processo 
de Chegada
Processo 
de Atendimento
Armazenamento




Servidores (S)
Taxa média de chegada de elementos. Ex.: 5 elementos/segundo.
Taxa média de atendimento de elementos. Ex.: 2 elementos/segundo.
Elemento que chega ao sistema.
Elemento sendo servido. Servidor ocupado.
Sistema de Fila (Q) = Fila (W) + Servidor (S)
*
O que é um Sistema de Filas?
Métricas de Desempenho: Ocupação
 
S1
S2
Sm
.
.
.
Fila (W)
População
Nº Médio de Elementos na Fila



Servidores (S)
Nº Médio de Elementos 
nos Servidores
Nº Médio de Elementos no Sistema de Fila
Nº Médio de Elementos que Chegam ao Sistema
Nº Médio de 
Elementos que 
Saem ao Sistema
*
O que é um Sistema de Filas?
Métricas de Desempenho: Atraso
 
S1
S2
Sm
.
.
.
Fila (W)
População
Tempo Médio de Armazenamento



Servidores (S)
Tempo Médio 
de Serviço
Tempo Médio no Sistema de Fila
*
Notação de Kendall e Notação Expandida
A notação de Kendall (David Kendall) foi desenvolvida em 1951 para descrever o comportamento de um sistema de fila em uma única frase:
 
Disciplina de serviço
Tamanho da população
Nº total de elementos no sistema
Processo de chegada
Processo de atendimento
Número de servidores
*
Notação de Kendall e Notação Expandida
Notação de Kendall Expandida:
 
Disciplina de serviço
Tamanho da população
Nº total de elementos no sistema
Processo de chegada
Processo de atendimento
Número de servidores
Número de elementos na fila
*
Notação de Kendall e Notação Expandida
É comum vermos sistemas definidos com a notação simplificada:
 A/B/m.
Neste caso assume-se que não há limite para o tamanho da fila, a fonte de clientes é infinita, e a disciplina de tratamento é FIFO
A/B/m// /FIFO
 
*
Notação de Kendall e Notação Expandida
Processo de Chegada (A)
Descreve o processo que modela as chegadas de elementos ao sistema.
As seguintes opções são utilizadas:
M	Markoviano (Distribuição Exponencial)
D	Determinístico (Constante)
Ek	Erlang (Erlang-k)
Hk	Hiperexponencial
G	Genérico (Intervalo de tempo entre chegadas é tratado de forma 	genérica, independente da distribuição)
 
*
Notação de Kendall e Notação Expandida
Processo de Atendimento (B)
Descreve o processo que modela o atendimento de elementos no sistema.
As seguintes opções são utilizadas:
M	Markoviano (Distribuição Exponencial)
D	Determinístico (Constante)
Ek	Erlang (Erlang-k)
Hk	Hiperexponencial
G	Genérico (Intervalo de tempo entre chegadas é tratado de forma 	genérica, independente da distribuição)
 
*
Notação de Kendall e Notação Expandida
Tamanho da População (S)
Descreve o tamanho da população que gera elementos para o sistema. Tipicamente é considerada como infinito. Ex. ligações chegando, clientes na lanchonete. 
Disciplina de Serviço (X)
Os elementos que aguardam por serviço na fila podem ser selecionados de acordo com uma regra chamada disciplina de serviço. Dentre as principais disciplinas estão:
FCFS – First Come First Served (**FIFO)
Primeiro elemento que chega é o primeiro a ser atendido.
LCFS – Last Come First Served
Último elemento que chega é o primeiro a ser atendido.
SIRO – Service In a Random Order
Elementos são atendidos em ordem aleatória.
 
*
Notação de Kendall e Notação Expandida
 
 
S1
S2
Sm
.
.
.
Buffer Infinito
População
Processo 
de Chegada
Processo 
de Atendimento




A
B
m
K
S
X
*
Notação de Kendall e Notação Expandida
 
 
S1
S2
S9
.
.
.
Buffer finito com no 
máximo 5 elementos.
População Infinita
Processo 
de Chegada
Markoviano
Processo 
de Atendimento
Markoviano




A=M
B = M
m=9
K=5+9=14
S=∞
X=FCFS
J=5
*
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
É uma classe especial de processos estocásticos em que são permitidas somente transições aos estados vizinhos.
As probabilidades de transição são determinadas em função do estado atual e das médias das distribuições dos processos de chegada e de atendimento.
 
K+1
K-1
K
Estado do Sistema
*
Processo de Nascimento e Morte e Diagramade Estado
Assim, para um sistema em equilíbrio tem-se:
Onde:
k – Média de chegada de elementos no estado K.
k – Média de saída de elementos no estado K.
 
*
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
Exemplo: 
 
S1
S2
Fila (W)



Servidores (S)
Elemento é recebido no sistema.
Servidor desocupado.
0
*
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
 
 
S1
S2



Elemento é armazenado na fila.
Fila (W)
Servidores (S)
1
0
0
Diagrama
de Estado
*
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
 
 
S1
S2



Servidor inicia serviço.
Outro elemento é recebido no sistema.
Fila (W)
Servidores (S)
1
0
0
Diagrama
de Estado
*
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
 
 
S1
S2



Servidor continua serviço.
Outro elemento é armazenado na fila.
Fila (W)
Servidores (S)
2
0
1
0
1
Diagrama
de Estado
*
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
 
 
S1
S2



Servidor continua serviço.
Outro servidor inicia serviço.
Fila (W)
Servidores (S)
2
0
1
0
1
Diagrama
de Estado
*
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
 
 
S1
S2



Servidor continua serviço.
Servidor continua serviço.
Outro elemento é recebido no sistema.
Fila (W)
Servidores (S)
2
0
1
0
1
Diagrama
de Estado
*
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
 
 
S1
S2



Servidor continua serviço.
Servidor continua serviço.
Outro elemento é armazenado na fila.
Outro elemento é recebido no sistema.
Fila (W)
Servidores (S)
3
0
1
2
0
1
2
Diagrama
de Estado
*
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
 
 
S1
S2



Servidor continua serviço.
Servidor continua serviço.
Outro elemento é armazenado na fila.
Fila (W)
Servidores (S)
4
0
1
2
3
1
0
2
3
Diagrama
de Estado
*
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
 
 
S1
S2


Servidor finaliza serviço.
Fila (W)
Servidores (S)
4
0
1
2
3
Servidor continua serviço.

1
0
2
3
4
Diagrama
de Estado
*
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
 
 
S1
S2


Servidor inicia serviço.
Fila (W)
Servidores (S)
Servidor continua serviço.

4
0
1
2
3
1
0
2
3
4
Diagrama
de Estado
*
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
 
 
S1
S2


Servidor continua serviço.
Fila (W)
Servidores (S)
Servidor finaliza serviço.

4
0
1
2
3
1
0
2
3
4
3
Diagrama
de Estado
*
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
 
 
S1
S2


Servidor continua serviço.
Fila (W)
Servidores (S)
Servidor inicia serviço.

4
0
1
2
3
1
0
2
3
4
3
Diagrama
de Estado
*
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
 
 
S1
S2


Fila (W)
Servidores (S)
Servidor continua serviço.

4
0
1
2
3
Servidor finaliza serviço.
1
0
2
3
4
3
2
Diagrama
de Estado
*
Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado
 
 
S1
S2


Fila (W)

Servidor desocupado.
Servidor finaliza serviço.
Diagrama
de Estado
4
0
1
2
3
1
0
2
3
4
3
2
1
*
Equações de Equilíbrio
Em equilíbrio, a soma dos fluxos que saem de um determinado estado (k), deve ser igual a soma dos fluxos que chegam a este mesmo estado (k+1).
Ou seja:
 
*
Equações de Equilíbrio
Lembre-se que:
Considerando-se esta equação, o sistema de equações pode ser resolvido como:
 
......
*
Em cada estado tem-se  Fluxo de Entrada =  Fluxo de saída
Equações de Equilíbrio
*
Equações de Equilíbrio
*
Equações de Equilíbrio
*
Teorema de Little
Diz que o número médio de elementos no sistema é igual a taxa média efetiva de chegadas no sistema multiplicada pelo tempo médio de permanência no sistema.
	Também é válido para as demais médias de elementos no sistema:
 
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
Este sistema é conhecido como M/M/1, ou na notação expandida M/M/1////FCFS.
 
S1


Fila (W)
Servidor (S)
......


*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
No sistema M/M/1, todas as transições de nascimento tem valor igual a , e como existe somente um servidor, todas as transições de morte são iguais a . Ou seja:
 
K+1
0
1
K








K-1
......




......
K= , para K=0,1,...,
 K= , para K=1,...,

*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
As equações de equilíbrio, neste caso, são:
 
Resolvendo, tem-se:
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
Podemos encontrar P0 fazendo-se:
 
Sabendo-se que:
Tem-se:
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
As equações anteriores podem ser reescritas em função da variável , que é conhecida como utilização: 
Assim, a utilização do sistema é igual a probabilidade de que o sistema não esteja vazio.
Observando a expressão , vemos que  não pode ser maior que , senão a utilização do sistema seria maior que 1.
 
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
Então,  deve estar entre 0 e 1.
Outra passagem importante é a que relaciona a taxa média de chegadas com a probabilidade de que o sistema esteja vazio:
Esta expressão iguala o que entra no sistema com o que sai do sistema.
 
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
Número Médio de Elementos no Sistema
Vamos agora calcular, o número médio de elementos no sistema, .
Pela definição de média para um V.A. discreta temos:
 
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
Número Médio de Elementos no Sistema
Sabendo-se que:
Tem-se:
 
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
Número Médio de Elementos no Sistema
 
()
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
Tempo Médio de Permanência no Sistema
Pode ser obtido utilizando-se o Teorema de Little:
 
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
Tempo Médio de Permanência no Sistema
 
()
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
Probabilidade do tamanho da fila (ou do tempo de permanência no sistema) exceder um dado valor
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito
Exemplo:
Um nó de uma rede de comutação de pacotes recebe em média 3600 pacotes por minuto para um de seus enlaces de saída, de acordo com um processo de chegadas Markoviano. Este enlace de saída possui uma taxa de 300 Kbps. A distribuição do tamanho dos pacotes é exponencialmente negativa com média de 4000 bits. Considerando infinito o buffer desta saída do comutador, determine:
A notação de Kendall expandida.
O diagrama de estados do sistema.
O tempo médio de serviço e a taxa de serviço.
A utilização.
A probabilidade de que o sistema esteja vazio.
A probabilidade de que haja 2 pacotes no sistema.
O tempo médio que um pacote permanece no sistema.
O tempo médio que um pacote permanece no buffer.
O número médio de pacotes no sistema.
O número médio de pacotes no buffer.
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
O que acontece a um sistema M/M/1, se limitarmos o tamanho do buffer a no máximo J elementos?
Teremos um sistema M/M/1/J/J+1//FCFS.
Antes do sistema atingir a sua capacidade total, todo tráfego submetido é acomodado no sistema:
 
S1


Fila (W)
Servidor (S)
J

*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
Quando o sistema atinge a sua capacidade total, todo o tráfego submetido ao sistema é desviado para fora do sistema:
 
S1

Fila (W)
Servidor (S)
J


1
1
2
....
*
Sistemade Fila com Servidor Único e Buffer Finito
Diagrama de Estado
Equações de Equilíbrio
 
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
Solução das Equações de Equilíbrio
 
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
Solução das Equações de Equilíbrio
Tem-se:
 
 Sabendo-se que:
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
Número Médio de Elementos no Sistema
 
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
Número Médio de Elementos no Sistema
Esta expressão nos mostra que o número médio de elementos em um sistema com capacidade finita é sempre menor que o sistema com capacidade infinita (M/M/1), que era:
 
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
Probabilidade de Bloqueio
A taxa média de chegada no sistema depende do estado atual do sistema.
Se o sistema estiver em qualquer estado até J, a taxa média será .
Portanto, a taxa média de entrada será  com probabilidade 1- PB , onde PB é a probabilidade de que o sistema esteja bloqueado.
Por outro lado, como vimos no sistema M/M/1, a taxa média de saída será  com probabilidade 1- P0.
 
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
Probabilidade de Bloqueio
Temos então:
Igualando-se a taxa média de chegadas, com a de saídas, temos:
 
S1

(1-P0 )
Fila (W)
Servidor (S)
J
PB
(1-PB)
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
Probabilidade de Bloqueio
Isolando-se PB temos:
 
*
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
Tempo Médio de Permanência no Sistema
Também pode ser obtido utilizando-se o Teorema de Little, mas agora considerando a taxa média para qualquer estado:
 
*
Exemplo:
Um nó de uma rede de comutação de pacotes recebe em média 3600 pacotes por minuto para um de seus enlaces de saída, de acordo com um processo de chegadas Markoviano. Este enlace de saída possui uma taxa de 300 Kbps. A distribuição do tamanho dos pacotes é exponencialmente negativa com média de 4000 bits. Considerando o buffer desta saída do comutador com capacidade limitada a 2 pacotes, determine:
A notação de Kendall expandida.
O diagrama de estados do sistema.
O tempo médio de serviço e a taxa de serviço.
A utilização.
A probabilidade de que o sistema esteja vazio.
A probabilidade de que haja 2 pacotes no sistema.
A probabilidade de bloqueio do sistema.
O tempo médio que um pacote permanece no sistema.
O tempo médio que um pacote permanece no buffer.
O número médio de pacotes no sistema.
O número médio de pacotes na fila.
Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Finito
*
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito
O que acontece a um sistema M/M/1, se aumentarmos o número de servidores e mantermos a fila infinita?
Teremos um sistema M/M/m////FCFS ou simplesmente M/M/m.
 
S1
S2
Sm
.
.
.
J=∞




K= ∞+m=∞
*
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito
Diagrama de Estado
Equações de Equilíbrio
 
0
1
m



m
2

m-1
......

(m-1)
m+1

m

m
......

*
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito
Solução das Equações de Equilíbrio
 
*
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito
Solução das Equações de Equilíbrio
 
*
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito
Solução das Equações de Equilíbrio
 
*
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito
Tempo Médio de Permanência na Fila
Utilização
Observe que e . 
 
*
Exemplo:
	Considerando um sistema M/M/2////FIFO, com  = 60 pacotes/seg. e  37,5 pacotes/seg., determine:
O diagrama de estados do sistema.
O tempo médio de serviço.
A utilização.
A probabilidade do sistema estar vazio.
O número médio de elementos esperando na fila.
O número médio de elementos no sistema.
O tempo médio de permanência no sistema.
O tempo médio de permanência na fila.
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Infinito
*
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito
O que acontece a um sistema M/M/1, se aumentarmos o número de servidores e limitarmos o espaço de armazenamento?
Teremos um sistema M/M/m/J/K//FCFS.
 
S1
S2
Sm
.
.
.
J




K=J+m
*
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito
Diagrama de Estado
Equações de Equilíbrio
 
0
1
m



m
2

m-1
......

(m-1)

m
J+m

m
J+m-1
......

m
*
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito
Solução das Equações de Equilíbrio
 
*
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito
Solução das Equações de Equilíbrio
 
*
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito
Solução das Equações de Equilíbrio
Para o caso em que J = 1:
 
*
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito
Número Médio de Elementos no Sistema
Tempo Médio de Permanência no Sistema
 
*
Exemplo:
Um nó de uma rede de comutação de pacotes recebe em média 3600 pacotes por minuto. A taxa de chegada segue uma distribuição Markoviana. Para servir esta fila o nó utiliza dois enlaces de saída, com taxa de 300 Kbps cada um. A distribuição do tamanho dos pacotes é exponencialmente negativa com média de 4000 bits. Considerando o buffer desta saída do comutador com capacidade limitada a 2 pacotes. Determine:
A notação de Kendall expandida.
O diagrama de estados do sistema.
O tempo médio de serviço e a taxa de serviço.
A utilização.
A probabilidade de que o sistema esteja vazio.
A probabilidade de bloqueio do sistema.
O número médio de pacotes no sistema.
O número médio de pacotes na fila.
O tempo médio que um pacote permanece no sistema.
O tempo médio que um pacote permanece no buffer.
Sistema de Fila com Vários Servidores e Buffer Finito
*
Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila
O que acontece a um sistema M/M/1, se aumentarmos o número de servidores e retirarmos a fila?
Teremos um sistema M/M/m/0/m//FCFS.
 
S1
S2
Sm
.
.
.
J=0




K=0+m=m
*
Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila
Quando o sistema atinge a sua capacidade total, todo o tráfego submetido ao sistema é desviado para fora do sistema:
 


S1
S2
Sm
.
.
.
J=0



*
Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila
Diagrama de Estado
Equações de Equilíbrio
 
*
Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila
Solução das Equações de Equilíbrio
 
*
Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila
Solução das Equações de Equilíbrio
 
*
Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila
Solução das Equações de Equilíbrio
 
*
Exemplo:
Um PABX com duas linhas telefônicas de saída recebe em média uma chamada a cada hora de acordo com um processo Markoviano. A duração média das chamadas é de 3 minutos. Este PABX não é capaz de colocar chamadas em espera. A duração média das chamadas segue um distribuição exponencial negativa, sendo a população de telefones que geram as chamadas considera infinita. Determine
A notação de Kendall expandida.
O diagrama de estados do sistema.
O tempo médio de serviço e a taxa de serviço.
A utilização.
A probabilidade de que o PABX esteja vazio.
A probabilidade de bloqueio do sistema.
O tempo médio de permanência das chamadas no sistema.
A ocupação do sistema (o número médio de pacotes no sistema).
Sistema de Fila com Vários Servidores sem Fila
*
Sistema com m Servidores, Sem Fila e População Finita
O que acontece a um sistema M/M/1, se aumentarmos o número de servidores, tirarmos a fila e limitarmos a população que gera elementos. 
Teremos um sistema M/M/m/0/m/S/FCFS (S > m).
 
S1
S2Sm
.
.
.
J = 0




K=m+0=m
População Finita
S
*
Sistema com m Servidores, Sem Fila e População Finita
Diagrama de Estado
Equações de Equilíbrio
 
0
1
(S-1)
S
2

......
m
(S-m+1)
m
m-1
(S-m+2)
(m-1)
*
Sistema com m Servidores, Sem Fila e População Finita
Solução das Equações de Equilíbrio
 
......
*
Sistema com m Servidores, Sem Fila e População Finita
Solução das Equações de Equilíbrio
 
*
Sistema com m Servidores, Sem Fila e População Finita
Solução das Equações de Equilíbrio
 
*
Exemplo:
Um PABX atende a 10 telefones que geram em média 1 chamada por hora, de acordo com um processo Markoviano. O PABX possui três linhas telefônicas de saída e não possui capacidade de manter chamadas em espera. Cada chamada dura em média 3 minutos, de acordo com uma distribuição exponencial negativa. Determine:
A notação de Kendall expandida.
O diagrama de estados do sistema.
O tempo médio de serviço e a taxa de serviço.
A utilização.
A probabilidade de que o sistema esteja vazio.
A probabilidade de bloqueio do sistema.
O número médio de pacotes no sistema.
O número médio de pacotes na fila.
O tempo médio que um pacote permanece no sistema.
O tempo médio que um pacote permanece no buffer.
Sistema com m Servidores, Sem Fila e População Finita
*
Sistema de Fila M/G/1
Vamos agora generalizar o processo de atendimento de elementos utilizando o teorema de Khinchin-Pollaczeck.
Este teorema permite calcular o tamanho médio da fila para um sistema com servidor único para qualquer distribuição de serviço:
 
 é o desvio padrão do tempo de serviço.
 é a média quadrática do tempo de serviço.
*
Sistema de Fila M/G/1
Através do teorema de Little, podemos encontrar o tempo médio de permanência no buffer.
Vale a pena lembrar que:
 
*
Sistema de Fila M/G/1
Para atendimento exponencial temos:
 
*
Sistema de Fila M/G/1
Para atendimento constante temos:
 
*
Sistema de Fila M/G/1
 
 
*
Exemplo:
Um comutador envia pacotes que chegam até ele por uma linha de 64 Kbps. Considere este comutador com buffer de capacidade infinita. Os pacotes que chegam são derivados de dois tipos de tráfego, cujas características são listadas a seguir:
Tráfego 1 – os pacotes possuem tamanho exponencial, com média de 500 bytes, e tempo de atraso de serviço de 62,5 ms, sendo a taxa de chegada de pacotes igual a 8 pacotes/segundo.
Tráfego 2 – os pacotes possuem tamanho fixo de 100 bytes e tempo de atraso de serviço de 12,5 ms, sendo sua taxa de chegadas igaul a 5 pacotes/seg.
	Supondo que não haja prioridade, calcule o tempo médio de espera dos pacotes no buffer.
Sistema de Fila M/G/1
*
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
Até agora consideramos que os elementos que chegam ao sistema de filas sempre pertencem a uma única classe, sendo todos portanto atendidos da mesma forma.
Vamos agora analisar o que acontece quando R classes de elementos chegam ao sistema e são atendidos com ou sem priorização. 
Caso haja priorização, o sistema atenderá os elementos de acordo com a prioridade de cada classe, ou seja, elementos das classes mais prioritárias são atendidas por primeiro.
 
*
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
Sistema com Várias Classes Sem Priorização
Os elementos de cada classe são atendidos de forma diferenciada, porém sem prioridade sobre os demais.
 
S1


Fila (W)
Servidor (S)
S1


Fila (W)
Servidor (S)
=
*
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
Sistema com Várias Classes Com Priorização
Os elementos de cada classe são atendidos de forma diferenciada, porém os de maior prioridade são atendidos 1º.
 
S1


Fila (W)
Servidor (S)
S1


Fila (W)
Servidor (S)
>
*
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
Equacionamento Básico
Seja o conjunto das R classes de elementos existentes no sistema. 
A taxa de chegada média total λ é igual a soma das taxas médias de cada classe:
A intensidade total  é igual a soma das intensidades para cada classe:
 
*
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
Equacionamento Básico (cont.)
O tempo médio de serviço no sistema é:
A média quadrática do tempo médio de serviço no sistema é:
A intensidade de tráfego para cada classe e o tempo médio de serviço se relacionam por:
 
*
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
Equacionamento Para o Caso Com Prioridades
Seja p a prioridade de uma classe r qualquer. Se p = 1 para esta classe, ela é a mais prioritária. O número médio de elementos da classe r na fila será:
O número médio de elementos na fila para todas as classes será:
 
*
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
Equacionamento Para o Caso Com Prioridades (cont.)
Exemplo: R = 3, e a ordem de prioridade dada por: c3 prioridade máxima (p=1), c2 prioridade média (p=2) e c1 prioridade baixa (p=3). 
 
*
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
Equacionamento Para o Caso Com Prioridades (cont.)
Exemplo: (cont.)
 
*
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
Equacionamento Para o Caso Com Prioridades (cont.)
O tempo médio de permanência dos elementos da classe r com prioridade p na fila vale:
O tempo médio de permanência na fila para todas as classes vale:
 
*
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
Equacionamento Para o Caso Sem Prioridades
No caso sem prioridades, continuam existindo r classes de tráfego, mas nenhuma tem prioridade sobre as demais.
Assim, o número médio de elementos de ambas as classes na fila será:
	Com: , e .
 
*
Sistema com Prioridades, Buffer ∞ e Servidor Único
Equacionamento Para o Caso Sem Prioridades
O tempo médio de permanência de elementos de ambas as classes na fila será:
	
 
*
Exemplo:
Um comutador envia pacotes que chegam até ele por uma linha de 64 Kbps. Considere este comutador com buffer de capacidade infinita. Os pacotes que chegam são derivados de dois tipos de tráfego, cujas características são listadas a seguir:
Tráfego 1 – os pacotes possuem tamanho exponencial, com média de 500 bytes, e tempo de atraso de serviço de 62,5 ms, sendo a taxa de chegada de pacotes igual a 8 pacotes/segundo.
Tráfego 2 – os pacotes possuem tamanho fixo de 100 bytes e tempo de atraso de serviço de 12,5 ms, sendo sua taxa de chegadas igaul a 5 pacotes/seg.
	Supondo que os pacotes do Tráfego 2 sejam transmitidos em primeiro lugar, calcule os tempos médios de espera no buffer para ambos os tipos de pacotes.
Sistema de Fila com Prioridades
*
Sistemas Multidimensionais
São sistemas aonde o diagrama de estados utiliza mais de uma variável aleatória discreta relacionada com o número de elementos no sistema. Um exemplo de sistema é o que modela as redes RDSI-FE:
 
S1
S2
Sm
.
.
.
J = 0




K=m+0=m
População Finita  M1 terminais telefônicos; M2 terminais de fax.
S
Chamada Telefônica
Chamada FAX
Dois servidores são alocados para atender uma única chamada de fax.
*
Sistemas Multidimensionais
Para estudarmos o problema, precisaremos das seguintes definições:
L – L-ésima classe de chamada.
Ex: L = 1: chamadas telefônicas, L = 2 chamadas de fax. 
K – Número total de classes de chamadas no sistema.
Ex. K = 2: telefone (L=1) e fax (L=2). 
VL – Número de canais requeridos para a chamada do tipo L. 
Ex. V1 = 1: um canal para atender uma chamada telefônica.
 V2 = 2: dois canais para atender uma chamada de fax.
SL– Número de terminais fonte gerando chamadas do tipo L. 
Ex. S1 = 8: população de terminaisgerando chamadas telefônicas.
	 S2 = 4: população de terminais gerando chamadas de fax.
 
*
Sistemas Multidimensionais
λL – Taxa média de chegada de chamadas (Markoviana) da classe L.
Ex: λ1 = 3 chamadas telefônica/ hora. 
 λ2 = 5 chamadas de fax/ hora. 
µL – Taxa média de atendimento de chamadas (Markoviana) da classe L.
Ex: 1 = 6 chamadas telefônica/ hora. 
 	 2 = 12 chamadas de fax/ hora.
 
*
Sistemas Multidimensionais
Diagrama de Estado
Considere os dados dos slides anteriores e m=4.
 
0,0
1,0
81
1
71
21
2,0
61
31
3,0
51
41
4,0
0,1
1,1
81
1
71
21
2,1
0,2
42
32
2
2
2
22
Chamadas
Telefônicas
Chamadas
de fax
42
42
início
Nº cli voz, Nº cli fax
*
Sistemas Multidimensionais
Equações de Equilíbrio
 
*
Sistemas Multidimensionais
Solução das Equações de Equilíbrio
 
*
Exemplo:
Seja um sistema onde quatro aparelhos telefônicos e dois aparelhos de FAX disputam três canais de 64 kbps de uma rede RDSI-FE. Cada aparelho telefônico ocupa durante a comunicação um canal de 64 kbps, enquanto um aparelho de FAX ocupa dois canais de 64 kbps. A taxa média de chamadas dos telefones é igual a 1 chamada por hora, enquanto a dos aparelhos de FAX é de 1/3 chamada por hora. A duração média das chamadas telefônicas é de 12 minutos e das chamadas de FAX 6 minutos. Pede-se:
O diagrama de estado.
A probabilidade do sistema estar vazio. 
A probabilidade de bloqueio de uma chamada telefônica.
A probabiliadde de bloqueio de uma chamada de FAX.
Sistemas Multidimensionais
*
a) Resolução diagrama de estados:
Sistemas Multidimensionais
0,0
1,0
41
1
31
21
2,0
21
31
3,0
0,1
1,1
4 1
1
1
22
2
2
2
Chamadas
Telefônicas
Chamadas
de fax
22
início
*
b) P0,0
Sistemas Multidimensionais
*
Redes de Sistemas de Filas
Muitos problemas reais são compostos de mais de um sistema de fila.
Para modelar estes problemas, vários sistemas de fila (também chamados de nós) devem ser conectados.
Exemplos de redes de filas são:
Redes de telecomunicações,
Sistemas de computação,
Sistemas de transito,
Etc.
 
*
Redes de Sistemas de Filas
Existem basicamente três tipos de redes de filas:
Redes Abertas
Redes Abertas com Realimentação
 
Ambas possuem número de elementos variável.
*
Redes de Sistemas de Filas
 Redes Fechadas
Em princípio, toda rede aberta pode ser transformada em uma rede fechada acrescentando-se um novo nó para isto.
 
Possui número de elementos constante.
*
Redes de Sistemas de Filas
Redes Abertas Sem Realimentação
Teorema de Burke (1956)
O processo de saída de uma rede de sistemas M/M/m é um processo Poissoniano estatisticamente independente do processo de entrada. 
 
*
Redes de Sistemas de Filas
Redes Abertas Sem Realimentação
Conseqüências do Teorema de Burke
Cada nó da rede é considerado independente dos demais. 
O número médio de elementos e o atraso em cada nó também é independente dos demais.
O número médio de elementos na rede é igual a soma do número médio de elementos em cada nó. 
O tempo médio de permanência dos elementos na rede é igual a soma do tempo médio de permanência dos elementos em cada nó.
Exemplo
 
QS1
QS2
Entrada
Saída
M/M/m
M/M/m
*
Redes de Sistemas de Filas
Redes Abertas Com Realimentação
Teorema de Jackson (1957)
Considere uma rede de filas aberta com M nós que satisfaz as seguintes condições:
Cada nó i é um sistema de filas M/M/m.
O nó i tem servidores e tempo médio de serviço para todos os servidores.
Elementos chegam de “fora” do sistema para o nó i de acordo com um processo Markoviano de intensidade média .
Um elemento servido no nó i vai instantaneamente ao nó j (j = 1,2,...,M) com probabilidade ou deixa a rede com probabilidade:
 
*
Redes de Sistemas de Filas
Redes Abertas Com Realimentação
Teorema de Jackson (cont.)
Para cada nó i (i = 1,2,...,M), a taxa média de chegada é dada por:
Seja a probabilidade de que haja elementos no nó i, então Jackson afirma que:
 
*
Redes de Sistemas de Filas
Redes Abertas Com Realimentação
Exemplo
 
QS1
M/M/1
*
Redes de Sistemas de Filas
Redes Fechadas
Também pode ser utilizado o Teorema de Jackson, mas com:
 
 
 
 
M é o número de nós da rede de filas. 
N é o número médio de elementos na rede de filas.
*
Exemplo:
Considere a rede de sistemas de filas da figura abaixo. A chegada de pacotes na rede obedece um processo Markoviano de taxa  = 0,075 pacotes/segundo. A taxa de atendimento μ é de 1 pacote/segundo (exponencial negativa). Sabendo que p = 0.9, calcule:
O número médio de pacotes na rede de sistema de filas.
O tempo médio de permanência dos pacotes em cada sistema de fila.
Redes de Sistemas de Filas
*
Exemplo:
Redes de Sistemas de Filas
*
Alocação de Capacidade em Redes de Pacotes
*
Tópicos
Introdução
Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
 
*
Introdução
Faremos a partir de agora uma introdução ao problema da alocação da capacidade em redes com o objetivo de responder à seguinte pergunta:
Que capacidade de transmissão, em bps, devemos associar a cada enlace da rede, de modo a alcançarmos um determinado nível de desempenho na rede?
Em nossa abordagem, admitiremos que a estatística de tráfego da rede é conhecida. 
Isto é, o tamanho médio das mensagens e sua taxa de ocorrência, assim como o número de mensagens fluindo entre quaisquer dois pontos da rede são conhecidos. 
 
*
Introdução
Numa primeira abordagem, trabalharemos em cima de um modelo simplificado, em que assumiremos que o custo é linearmente proporcional a capacidade. 
Então, manter o custo global da rede fixo é equivalente a manter a capacidade total fixa. 
O objetivo é determinar qual a melhor alocação de capacidade, link a link, no sentido de minimizar o atraso médio na rede. 
 
*
Introdução
Embora o pressuposto de que existe uma relação linear entre custo e capacidade não seja completamente válido em situações reais, ele provê uma primeira aproximação razoável para a escolha da capacidade. 
Ela permite que possamos responder a questão inicial no processo de alocação de capacidade: aproximadamente, que capacidade será necessária para mantermos o atraso médio das mensagens dentro da faixa desejada?
Iniciaremos o nosso estudo através da análise do caso mais simples possível.
 
*
Introdução
Na rede mostrada a seguir temos sete cidades, cada uma com um determinado número de terminais, que desejam se conectar a um computador central localizado em Washington. 
Cada terminal produz, em média, uma mensagem a cada 30 segundos. 
Cada mensagem tem um tamanho médio de 120 bits.
O nosso objetivo é determinar qual a capacidade dos troncos, em bps, dos sete enlaces da rede. 
A capacidade do i-ésimo tronco é indicada por:
Ci, i = 1,2,...,7. 
 
*
Introdução
 
 
Topologia:
*
Introdução
Cada concentrador possui apenas um enlace de saída conforme mostrado na figura.
Nesta representação, consideramos o tempo de processamento do pacote no nó desprezível frente ao tempo de transmissão do mesmo, facilitando ainda mais a análise.
 
 
*
Introdução
A taxa de mensagem média, i, associada ao enlace i, é a soma de todas as mensagens de entrada que são roteadas para aquele enlace.
Assim, admitindo uma chegada Poissoniana com uma taxa de i mensagens por segundo, em média, com o comprimento das mensagens exponencialmente distribuído, com um valor médio de 1/ bits, podemos escrever que o tempo médio de permanência no sistema é dado por:
Onde Ci é a capacidade do enlace i.
 
*
IntroduçãoComo sabemos, este tempo considera o tempo médio para transmitir uma mensagem acrescido do tempo de enfileiramento da mesma.
Estamos considerando a utilização de buffers com capacidade infinita, o que significa dizer que não há possibilidade de perda de mensagem por falta de espaço para armazenamento da mesma.
Uma abordagem com buffer de tamanho finito seria mais realista. Contudo, um buffer suficientemente grande, de modo que a probabilidade de perdermos uma mensagem seja menor que 10-2 ou 10-3, permite a utilização do modelo com buffer infinito, uma vez que o tempo de permanência no sistema é praticamente idêntico. 
 
*
Introdução
A expressão anterior pode ainda ser escrita em função da utilização da linha, como mostrado abaixo. 
Como sabemos, se a utilização da linha tender para a unidade, o tempo médio de permanência no sistema tende para um número inaceitavelmente grande.
 
*
Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela
Vamos considerar agora a situação em que a capacidade total da rede é fixada em uma determinada quantidade (por limitações de custo, por exemplo). 
O objetivo é determinar a capacidade de cada enlace, de modo que o atraso médio na rede seja minimizado. 
Se  é o tráfego total na rede, então o atraso médio por mensagem pode ser calculado através da taxa total de chegada de mensagens:
 
*
Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela
Chamando de C a capacidade total da rede, e mantendo este valor fixo, podemos determinar os valores de Ci que irão minimizar o valor de T médio.
Para tal, é conveniente utilizarmos uma multiplicador de Lagrange, e a seguir fazermos a diferenciação de T + C, onde  é o multiplicador de Lagrange. 
Não entrando nos detalhes matemáticos, a expressão resultante é:
 
*
Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela
Não entrando nos detalhes matemáticos, a expressão resultante é:
Aqui, a constante C é a representação para (i i), com  sendo um parâmetro que desempenha o papel de intensidade de tráfego equivalente para a rede inteira.
 
*
Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela
Com esta escolha de capacidade para cada enlace, podemos através da expressão (1) determinar o atraso correspondente para cada enlace e, usando a expressão (4), podemos chegar à expressão que nos permite determinar o atraso médio na rede, que é:
 
*
Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela
Note que o parâmetro  definido acima faz, de fato, o papel de um parâmetro de intensidade de tráfego da rede.
Esta designação de capacidade é chamada de regra de alocação da raiz quadrada, uma vez que Ci é um termo proporcional à raiz quadrada de i. 
Verifique que o atraso médio mínimo, Tmin, varia inversamente com a capacidade C da rede. 
Como consideramos que o custo varia linearmente com a capacidade, percebemos que existe uma solução de compromisso entre o atraso médio da rede e o custo de implementação dos enlaces da mesma. 
 
*
Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela
A expressão ii representa o valor absoluto mínimo necessário para que o tráfego possa ser transmitido no enlace. Perceba que esta relação é na verdade o tráfego oferecido ao enlace, em bps. 
Obviamente, a capacidade do enlace deve ser maior do que o tráfego oferecido. 
De fato, como já sabemos, se a capacidade do enlace tende para o tráfego oferecido, a utilização do mesmo tende para um, e o atraso médio tende para infinito.
A segunda parte da expressão de Ci ótimo representa então o incremento necessário à capacidade do canal, de modo que o atraso possua um valor finito aceitável.
Quanto maior o valor deste incremento, menor o valor do atraso resultante
 
*
Exemplo:
A figura ilustra a rede privada de uma empresa XYZ, com filiais em São Paulo, Belo Horizonte e Rio de Janeiro, conectadas à matriz em Sta Rita do Sapucaí. O número de terminais em cada filial é o seguinte: Rio - 20 terminais, SP – 30 terminais e BH – 10 terminais, sendo que cada terminal gera em média 10 mensagens/segundo e o tráfego das filiais é todo enviado para a matriz.
Supondo que as mensagens possuem um comprimento médio de 15000 bits, determine a capacidade a ser alugada para cada enlace da rede, de modo que o atraso em cada enlace não ultrapasse 20 ms.
*
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
Vamos agora investigar o problema da alocação de capacidade em redes distribuídas com topologia em malha irregular, que é um caso bastante comum nas redes WAN. 
A alocação da capacidade neste caso depende da estratégia de roteamento utilizada.
Nós vamos investigar brevemente o efeito do roteamento através da alteração de algumas rotas e da observação da conseqüência disto na alocação da capacidade. 
A rede que utilizaremos para tratar o problema é a mostrada na figura a seguir.
Para determinar a capacidade de cada enlace devemos conhecer o tráfego entre as diversas cidades, bem como a rota utilizada para interconectar cada cidade a todas as outras.
 
*
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
 
 
Topologia:
*
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
A tabela abaixo fornece uma estimativa global de tráfego na rede.
Por simplicidade, estamos admitindo que o tráfego é simétrico (isto é, o tráfego gerado em X para Y é o idêntico ao tráfego gerado em Y para X).
 
*
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
Todos os sete enlaces existentes na rede são full-duplex, o que significa que a capacidade de transmissão em um sentido e em outro é a mesma. 
Vamos considerar as seguintes rotas como exemplo:
Los Angeles para Chicago: passando através de Denver;
Los Angeles para New York: passando através de Houston;
Denver para New York: passando através de Chicago.
 
*
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
Se denominarmos jk como sendo o tráfego, em mensagens por segundo, saindo da cidade j com destino à cidade k, podemos definir, baseado na tabela, o fluxo de mensagens existente em cada um dos sete enlaces da rede:
1 = 45 + 42 = 3.15 mensag/seg
2 = 43 + 41 = 3.55 mensag/seg
3 = 53 = 0.13 mensag/seg
4 = 52 + 42 + 51 = 3.64 mensag/seg
5 = 23 = 0.82 mensag/seg
6 = 31 + 41 = 3.88 mensag/seg
7 = 21 + 51 = 9.95 mensag/seg
 
*
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
O tráfego de mensagens médio total através de todos os enlaces da rede é a soma dos valores obtidos acima:
 = i, que é igual a 25.12 mensagens/segundo. 
O número total de mensagens entrando na rede pode ser obtido diretamente da tabela anterior, somando-se o tráfego gerado em cada cidade (somatório de todos os itens da tabela), e é 38.3 mensag/seg. 
Como nós estamos nos concentrando em uma única direção, temos um tráfego total de 19.15 mensagens/segundo. 
 
*
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
Assim, o número médio de enlaces atravessados por uma mensagem pode ser determinado por 25.12/19.15 = 1.3 enlaces.
Conhecendo-se a demanda de tráfego para cada enlace, i, e o tamanho médio das mensagens fluindo pelo enlace, 1/i, podemos efetuar os cálculos para determinar a capacidade de cada enlace e os atrasos envolvidos, através das equações (1) a (6). 
 
*
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
Admita que todas as mensagens tem o mesmo comprimento médio, 1/, e que a capacidade total da rede é fixada em C = 192 mensagens/segundo. 
Como já vimos, o tráfego total nesta rede é  = 25.12 mensagens/segundo, o que nos leva a uma utilização () de 0.13. 
Este resultado nos mostra que a rede está levemente carregada. 
 
*
Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas
Além da regra da raiz quadrada, dois outros critérios de alocação podem ser utilizados:
Divisão Igualitária
A capacidade total fixada para a rede é simplesmente dividida igualmente entre todos os enlaces, independentemente do tráfego em cada enlace. 
Ou seja, a capacidade associada a cada enlaceé 192/7 = 27.4 mensagens/segundo.
Divisão Proporcional
A divisão da capacidade é feita proporcionalmente ao tráfego existente em cada enlace. 
Ou seja, Ci = Ci/.
 
*
Exemplo:
Uma cadeia de lojas deseja implantar uma rede ligando a sua matriz em São Paulo a várias filiais Brasil afora, como mostra a figura. As mensagens possuem um comprimento médio de 80000 bits. O tráfego médio de mensagens gerado em cada cidade é dado na Tabela 1. Considerando μC = 800 mensagens/segundo, pede-se:
O tráfego médio total da rede;
O número total médio de mensagens entrando na rede;
A capacidade ótima em cada enlace;
O atraso médio em cada enlace;
O atraso mínimo médio das mensagens;
Ajuste as capacidades ótimas de cada enlace encontradas para o valor inteiro mais próximo de múltiplos de 2,048 Mbps (Taxa E1)
*
PROVA!!! eba!
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Ocupação tem que estar entre 0 e 1
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M = número de servidores que processam as entradas
J = entradas na fila
K = M + J
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p = E(n) * E(Ts)
YP0 = uP1 -> P1 = (Y/u) * P0 -> P1 = p * P0
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λ = 3600 pacotes / minutos = 60 pacotes/seg
C = 300 Kbps = 300000
L = TamanhoPacotesMedios = 4000 bits
J = ∞ (infinito)
m = 1
M / M / 1 / ∞ / ∞ / ∞ / FIFO
 λ -> λ -> λ -> λ ->
(0) (1) (2) (3) (...)
 µ<- µ<- µ<- µ<-
Tempo médio de serviço: E(ts) = L / C = 4000 / 300000 = 13,33 ms
Taxa de serviço: µ = 1 / E(ts) = 1 / 13,33 = 75 pacotes/seg
Utilização: ρ = 60 / 75 = 0,8
Probabilidade que o sistema esteja vazio: Po = 1 – ρ = 1 -0,8 = 0,2 (obs: para M/M/1) 
Probabilidade 2 pacotes no sistema: P2 = ρ2 * Po = 0,82 * 0,2 = 0,128
Tempo médio que o pacote permanece no sistema: E(tq) = 1 / (µ - λ) = 1 (75-60) = 0,0667 = 66,67 ms
Tempo médio que o pacote permanece no buffer: E(tw) = E(tq) – E(ts) = 66,67 – 13,33 = 0,05334 = 53,34 ms
Número médio de pacotes no sistema: E(q) = λ * E(tq) = 60 * 0,0667 = 4 pacotes/seg
Número médio de pacotes no buffer: E(w) = λ * E(tw) = 60 * 0,05334 = 3,2 pacotes/seg 
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λ = 3600 pacotes/min = 60 pacotes/seg
C = 300 Kbps = 300000
L = TamanhoPacotesMedios = 4000 bits
J = 2 (finito)
m = 1
M / M / 1 / 2 / 3 / ∞ / FIFO
 λ -> λ -> λ ->
(0) (1) (2) (3)
 µ<- µ<- µ<- 
Tempo médio de serviço: E(ts) = L / C = 4000 / 300000 = 13,33 ms
Taxa de serviço: µ = 1 / E(ts) = 1 / 13,33 = 75 pacotes/seg
Utilização: ρ = λ / µ = 60 / 75 = 0,8
Probabilidade que o sistema esteja vazio: Po = (1 – ρ) / (1 – ρJ+2) = (1 – 0,8) / (1 – 0,82+2) = 0,33857 
Probabilidade 2 pacotes no sistema: P2 = ρ2 * Po = 0,82 * 0,33857 = 0,21682
Probabilidade de bloqueio: Pb = P3 = ρ3 * Po = 0,17344
Número médio de pacotes no sistema: E(q) = [ ρ / (1- ρ) ] – [ ((j+2) * ρJ+2)/ (1 - ρ J+2) ] = 1,2249 pacotes
Tempo médio que o pacote permanece no sistema: E(tq) = Eq / (λ * (1-Pb)) = 1,2249 / [ 60 * (1-0,17344) ] = 24,7 ms
Tempo médio que o pacote permanece no buffer: E(tw) = E(tq) – E(ts) = 24,7 – 13,33 = 11,37ms = 0,01137
Número médio de pacotes no buffer: E(w) = λ * E(tw) * (1 - Pb) = 0,1137 * 60 * (1- 0,17344) = 0,5639 pacotes/seg 
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Diagrama de estados:
 λ -> λ -> λ -> λ ->
(0) (1) (2) (3) (4) . . . .
 µ<- 2µ<- 2µ<- 2µ<- 
µ = 37,5 pacotes/seg
Tempo médio de serviço: E(ts) = 1 / µ = 1 / 37,5 = 26,67 ms
Utilização: ρ = 60 / 37,5 = 1,6 (média de 80% por servidor)
Probabilidade que o sistema esteja vazio: Po = 1 / { (ρ0 / 0!) + (ρ1 / 1!) + [ρ2 / (1 – ρ/2)] } = 0,1111
Número médio de pacotes no buffer: E(w) = [(1,62 * 0,1111) / 2!] * [ρ/2 / ( 1 - ρ/2)2] = 2,844 pacotes
Tempo médio que o pacote permanece no buffer (slide 71): E(tw) = E(w) / λ = 2,844 / 60 = 47,4 ms
Tempo médio que o pacote permanece no sistema: E(tq) = E(ts)+ E(tw) = 74,07 ms
Número médio de pacotes no sistema: E(q) = E(tq) * λ = 0,07407 * 60 = 4,44 pacotes
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L = 4000 bits
C = 300000 bits 
Tempo médio de serviço: E(ts) = L / C = 4000 / 300000 = 13,33 ms
µ = 1 / E(ts) = 75 pacotes/seg
Utilização: ρ = λ * E(ts) = 0,8
Probabilidade que o sistema esteja vazio: Po = 1 / { 1 + (ρ1 / 1!) + (ρ2 / 2!) + (ρ3 / 2! m3-2) + [ρ4 / (2! M4-2] } = 0,4349
Probabilidade de bloqueio: Pb = Pm + J = P4 = [ρ2+2/ (2! 22)] * Po = 0,0223
Número médio de pacotes no sistema: E(q) = { [(1 x ρ1) / 1!] + [(2 x ρ2) / 2!] + [(3 x ρ3) / (2! x 23-2)] + [(4 x ρ4) / (2! x 24-2)] } * Po = 0,8823 pacotes
Tempo médio que o pacote permanece no sistema: E(tq) = E(ts) / [λ * (1-Pb)] = 0,8823 / [ 60 * (1-0,0223)] = 15,04 ms
Tempo médio que o pacote permanece no buffer: E(tw) = E(tq) – E(ts) = 1,171 ms
Número médio de pacotes no buffer: E(w) = E(tw) * λ * (1 – Pb) = 0,1003 pacotes
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λ = 1 chamada/hora
m = 2
J = 0
Tempo médio de serviço: E(ts) = 3 min = 0,05h
M / M / 2 / 0 / 2 / ∞ / FIFO
 λ -> λ -> 
(0) (1) (2) 
 µ<- 2µ<-
µ = 1 / E(ts) = 1 / 0,05 = 20 chamadas/hora
Utilização: ρ = λ / µ = 1 / 20 = 0,05
Probabilidade que o sistema esteja vazio: Po = 1 / [ (ρ0 / 0!) + (ρ1 / 1!) + (ρ2 / 2!) ] = 0,9512
Probabilidade de bloqueio: Pb = P2 = (ρ2 / 2!) * Po = 0,0012
Tempo médio que o pacote permanece no sistema: E(tq) = E(tw) + E(ts) = 0 + 3m = 0,05h (tempo de fila é zero)
Número médio de pacotes no sistema: E(q) = E(tq) * λ * (1 – Pb) = 0,05 * 1 * (1 – 0,0012) = 0,05 chamadas
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λ = 1 chamada/hora
m = 2
J = 0
Tempo médio de serviço: E(ts) = 3 min = 0,05h
M / M / 2 / 0 / 2 / ∞ / FIFO
 λ -> λ -> 
(0) (1) (2) 
 µ<- 2µ<-
Taxa de serviço: µ = 1 / E(ts) = 1 / 0,05 = 20 chamadas/hora
Utilização: ρ = λ / µ = 1 / 20 = 0,05
Probabilidade que o sistema esteja vazio: Po = 1 / [ (ρ0 / 0!) + (ρ1 / 1!) + (ρ2 / 2!) ] = 0,9512
Probabilidade de bloqueio: Pb = P2 = (ρ2 / 2!) * Po = 0,0012
Tempo médio que o pacote permanece no sistema: E(tq) = E(tw) + E(ts) = 0 + 3m = 0,05h (tempo de fila é zero)
Número médio de pacotes no sistema: E(q) = E(tq) * λ * (1 – Pb) = 0,05 * 1 * (1 – 0,0012) = 0,05 chamadas
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G = genérico
1 = um servidor de saída
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Tipo1
====
L = 500 bytes
Tempo médio de serviço: E(ts) = 62,5 ms
Taxa de chegada: λ1 = 8 pacotes / segundo
Taxa de serviço: µ1= 1 / E(ts) = 16 pacotes/seg
Utilização: ρ = λ1 / µ2 = 8 / 16 = 0,5
E(t2s)1 = 2 / µ2 = 2 / (16*16) = 7,8125x10-3
Tipo2
====
L = 100 bytes
Tempo médio de serviço: E(ts) = 12,5 ms
Taxa de chegada: λ2 = 5 pacotes / segundo
Taxa de serviço: µ2 = 1 / E(ts) = 80 pacotes/seg
Utilização: ρ = λ1 / µ2 = 5 / 80 = 0,0625
E(t2s)1 = 2 / µ2 = 2 / (80*80) = 156,25x10-6
λ = λ1 + λ2 = 13 pac/seg
ρ = ρ1 + ρ2 = 0,5625
E(t2s) = { (λ1 / λ) * E(t2s)1 } + { (λ2 / λ) * E(t2s)2 } = { (8/13) * 7,8125x10-3 } + { (5/13) * 156,25x10-6 } = 4,86 x 10-3
Tempo médio que o pacote espera no buffer: E(tw) = { λ * E(t2s) } / {2 * (1 – ρ) } = { 13 * (4,86 x 10-3) } / { 2 * (1 – 0,5625 ) } = 72,32ms
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Telefone:
V1 = 1 canal/chamada
S1 = 8
λ1 = 3 chamadas/hora
µ1 = 6 chamdas
Utilização: ρ = λ / µ = 6 / 3 = 0,05
Fax:
V2 = 2 canal/chamada
S1 = 4
λ1 = 5 chamadas/hora
µ1 = 12 chamadas
Utilização: ρ = λ / µ = 5 / 12 = 0,4167
Cada chamada de voz usa 1 canal, e de FAX usa 2 canais.
Temos no total 4 canais, então posso ter 2 fax | 4 voz | 1 voz + 1 fax | 2 voz + 1 fax
Na horizontal é chamadas de voz, e na vertical é fax.
No inicio não temos chamadas de voz e nem fax (0,0) – rosa. Passamos a ter uma de voz e nenhuma de fax (1,0); depois duas de voz e nada de fax (2,0) e por ai adiante (na horizontal).
No inicio também podemos ter uma chamada de FAX e nenhuma de voz (0,1) na vertical (laranja), nesse estado podemos ter outro fax e nada de voz (cinza). Mas eu também posso ter 1 fax e 1 voz (azul), eu ainda tenho 1 canal que suporte mais 1 de voz (verde).
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m = 3
FONE:
S1 = 4 aparelhos
V1 = 1 canal
λ1 = 1 cham/hora
E(ts)1 = 12min
µ1 = 6 chamdas
Utilização: ρ1 = λ1 / µ1 = 6 / 3 = 0,05
FAX:
S2 = 2 aparelhos
V2 = 2 canais
λ1 = 1/3 cham/hora
E(ts)2 = 6min
P0,0 + P1,0 + P2,0 + P3,0 + P0,1 + P1,1 = 1
P0,0 * (1 + 0,8 + 0,24 + 0,032 + 0,066 + 0,0528) = 1
P0,0 = 1 / (2,1908) = 0,4565
(c) A probabilidade de bloqueio de uma chamada telefônica:
PbTelefone = P3,0 + P1,1 = 0,0387
PbFax = P0,1 + P1,1 + P2,0 + P3,0 = 
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δ = 0,075 pac/seg
μ = 1 pac/seg
ρ = 0,9
E(q) = ρ / (1 – ρ)
 E(tq) = 1 / (μ - λ)
Servidor único: M / M / 1
δ = 0,075 pac/seg
μ = 1 pac/seg
ρ = 0,9
E(q) = ρ / (1 – ρ)
 E(tq) = 1 / (μ - λ)
Servidor único: M / M / 1
ρ1 = λ1 / μ1 = 0,75 / 1 = 0,75
ρ2 = λ2 / μ2 = 0,675 / 3 = 0,225
E(q) = E(q1) + E(q2) = [ ρ1 / (1 – ρ1) ] + [ ρ2 / (1 – ρ2) ] = 3 + 0,29 = 3,29 pacotes
E(tq) = E(tq1) + E(tq2) = [ 1 / (μ1 - λ1) ] + [ 1 / (μ2 - λ2) ] = [ 3/0,75 ] + [ 0,29 / 0,675 ] = 4,43 seg
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A transparência mostra o que os participantes estarão hábeis a fazer no final do curso.
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BH: 10 terminais
SP: 30 terminais
RJ: 20 terminais
γ/terminal = 10 msg/s
L = 15000 bits
Ci = ? -> Ti < 20 ms
μ = 1 / L = 6,6 x 10-5
Enlace1: BH – SRS
γ1 = 10 x 10 = 100 msg/s
T = 1 / μ C1 - γ1 
1 / (1/15000) x C1 -100 ) <= 20x10-3
(1/(20x10-3) + 100) * 15000 <= C1
C1 >= 2,25 Mbps
Enlace2: SP - SRS
γ2 = 30 x 10 = 100 msg/s
T = 1 / μ C1 - γ2 
1 / (1/15000) x C2 -300 ) <= 20x10-3
C2 >= 5,25 Mbps
Enlace3: RJ - SRS
γ3 = 20 x 10 = 200 msg/s
T = 1 / μ C3 – γ3 
1 / (1/15000) x C3 - 200 ) <= 20x10-3
C3 >= 3,75 Mbps
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A transparência mostra o que os participantes estarão hábeis a fazer no final do curso.
A transparência mostra o que os participantes estarão hábeis a fazer no final do curso.
A transparência mostra o que os participantes estarão hábeis a fazer no final do curso.
A transparência mostra o que os participantes estarão hábeis a fazer no final do curso.
A transparência mostra o que os participantes estarão hábeis a fazer no final do curso.
A transparência mostra o que os participantes estarão hábeis a fazer no final do curso.
A transparência mostra o que os participantes estarão hábeis a fazer no final do curso.
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Nos dois sentidos:
L = 80000 bits
μ = 1 / L = 1 / 80000 = 1,25 x 10-5 
μC = 800 msg/s
C = 800 / μ = 800 / (1/80000) = 800 * 80000 = 64 Mbps
ρC = Σ (γi / μi ) 
ρ = Σ (γi / μiC) = 0,48
γ1 = 7 + 10 + 10 + 20 = 47 *2 msg/s
γ2 = 1 + 10 + 6 + 8 = 25 * 2 msg/s
γ3 = 7 + 1 + 3 + 5 = 16 * 2 msg/s
γ4 = 3 + 7 + 1 + 20 + 8 + 16 = 110 msg/s * 2 
γ5 = 5 + 20 + 8 + 16 = 51 * 2 msg/s
T = (1 / δ) γi Ti
Ti = 1 / (μi Ci - γi)
T1 = 1 / 800 – 94 = 1,42 ms
T2 = 1 / 800 – 50 = 1,33 ms
T3 = 1 / 800 – 32 = 1,30 ms
T4 = 1 / 800 – 110 = 1,45 ms
T5 = 1 / 800 – 98 = 1,42 ms
	 	
a) T = (1 / 172) γ1 T1 + γ2 T2 + γ3 T3 + γ4 T4 + γ5 T5 = ( 1/172 ) * 0,54024 = 3,14ms
b) γ = 172 (somatória de toda a tabela)
c) Capacidade ótima de cada enlace: Ci (slide 144)
C1 = 94 / (1/80000) + [ 64x106 * ( 1 – 0,48) * √(γ1 / (1/80000)) ] / [√(γ1 / (1/80000)) + √(γ2 / (1/80000)) + √(γ3 / (1/80000)) + √(γ4 / (1/80000)) + √(γ5 / (1/80000)) ]
C1 = 94 / (1/80000) + [ 64x106 * ( 1 – 0,48) * √(94 / (1/80000)) ] / [√(94 / (1/80000)) + √(50 / (1/80000)) + √(32 / (1/80000)) + √(110 / (1/80000)) + √(98 / (1/80000)) ]
C1 = 15,0569 Mbps
C2 = 9,50 Mbps
C3 = 6,96 Mbps
C4 = 16,96 Mbps