ATIVIDADE 3 A3 - ANÁLISES MATEMÁTICAS DA SIMULAÇÃO

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UNP - UNIVERSIDADE POTIGUAR 
BACHARELADO EM ESTATÍSTICA 
DISCIPLINA: LABORATÓRIOS DE SIMULAÇÃO 
UNIDADE 3 – ANÁLISES MATEMÁTICAS DA SIMULAÇÃO 
DR. EVERTON GOMEDE 
MYLLENA FREITAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 3 A3, apresentada ao curso bacharelado 
em Estatística, ofertado pela Universidade Potiguar, 
como requisito avaliativo complementar da terceira 
avaliação da disciplina: Láboratórios de Simulação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALUNO: EBERSON COSTA – MATRÍCULA 2020201380 
BENEVIDES – PARÁ 
2023 
UNP – UNIVERSIDADE POTIGUAR 
BACHARELADO EM ESTATÍSTICA 
LABORATÓRIOS DE SIMULAÇÃO – ANÁLISES MATEMÁTICAS DA SIMULAÇÃO 
ATIVIDADE 3 – A3 
 
Hoje, a modelagem de sistemas tem muitas aplicações em todo o mundo, em uma 
variedade de campos, desde a fabricação em uma empresa de manufatura até a 
transferência de papel em um escritório. Diz-se que "tudo o que pode ser descrito 
pode ser simulado". 
A simulação da linha de produção apresentou o maior número de aplicações de 
modelagem. Existem muitos cenários adequados para essa operação, como 
empresas de manufatura e mineração. Com esse processo, é possível: 
1 – Analisar mudanças nos sistemas existentes, como os criados em decorrência 
da expansão da produção, modificações de equipamentos ou acréscimos de novos 
produtos que afetam a dinâmica do fluxo de alimentação. É possível prever onde os 
gargalos se formarão como resultado das mudanças no sistema atual. Ao introduzir 
mudanças apropriadas (por exemplo, no processo, na programação, com novos 
recursos), depois de algumas tentativas, é possível chegar ao melhor modelo, 
combinando as mudanças necessárias e as necessidades; 
2 – Projetar uma área de produção, totalmente, nova capturando o melhor fluxo; 
 3 – Obter a melhor política de estoque. O modelo deve incluir uma função de 
"solicitação de material" e uma função de "serviço de fornecedor". Como resultado, 
obtêm-se "pontos do pedido" e "quantidade do pedido". 
Nesse caso, simule os tempos entre a chegada dos clientes e os tempos de serviços 
distribuídos exponencialmente. A distribuição dos tempos de serviço pode ser: 
distribuição gama, distribuição exponencial ou distribuição log-normal. No caso da 
distribuição exponencial, resulta em uma fila M / M / 1. Por exemplo, imagine uma fila 
com 3 atendentes, com um tempo de atendimento de 5 minutos e com 2 clientes 
chegando a cada 2 minutos. Com base nisso, é possível mudar os valores para 
verificar como a distribuição de probabilidade e o comportamento geral do sistema 
vão ser alterados. 
Pode-se utilizar uma ferramenta, como a Simulation of a M/G/1 queue: 
https://www.mathematik.tu-clausthal.de/en/mathematics-interactive/simulation/mg1-
queue/ 
https://www.mathematik.tu-clausthal.de/en/mathematics-interactive/simulation/mg1-queue/
https://www.mathematik.tu-clausthal.de/en/mathematics-interactive/simulation/mg1-queue/
CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
Um sistema de Filas é caracterizado por três componentes: processo de chegada, 
mecanismo de serviço e disciplina de fila. 
 Processo de chegada: descreve como os clientes chegam ao sistema e a 
distribuição da chegada dos clientes. 
 Mecanismo de serviço: é articulado pelo número de servidores, se cada servidor 
tem a própria fila ou se há uma fila alimentando todos os servidores, e pela distribuição 
dos tempos de atendimento ao cliente. 
 Disciplina de fila: refere-se à regra que um servidor usa para escolher o próximo 
cliente da fila quando o servidor concluir o serviço do cliente atual. 
As duas principais entradas para qualquer sistema de las são: 
 λ (lambda): número médio ou chegadas por período de tempo (ou seja, taxa média 
de chegada). 
 µ (mu): número médio de clientes atendidos por período (ou seja, taxa média de 
serviço). 
 
DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 
 
A Fila M/M/1 
 
Caso especial das filas G/G/1 mais comumente estudado 
– Caso clássico 
• O “M” vem de Markoviano ou memoryless 
– Tempos entre chegadas de clientes: distr. exponencial (λ) – Tempos de serviço: 
distr. exponencial (µ) 
– Um único servidor 
 
• Fila M/M/1 pode ser solucionada através de um modelo de Markov simples 
• Processo de Birth and Death: λk = λ e µk = µ , k=0,1,… 
 
Clientes são servidos na ordem de chegada: política FCFS 
Premissa importante: espaço na fila é infinito 
(premissa pode ser relaxada: buffer finito) 
 
A Fila M / M / 1 - SOLUÇÃO 
 
 
λ < µ: condição necessária para cadeia ter estado estacionário 
 
 
 
 
πK = probabilidade de haver k clientes na fila 
πK depende de λ e µ apenas através da razão ρ das duas taxas, isto é, da utilização 
do sistema 
 
E(N) = número médio de clientes no sistema 
 
 
 
σ2 N = variância do número de clientes no sistema 
 
 
 
Probabilidade de haver pelo menos k clientes no sistema 
 
 
 
 
Tempo de resposta médio 
 
 
Tempo de resposta 
 
 
EXEMPLO 1 
Um servidor de arquivos recebe requisições de um processo Poisson à taxa de 30 
req/s. Dados medidos no servidor indicam que o coeficiente de variação do tempo de 
serviço de uma requisição é muito próximo de 1 e que o tempo médio de serviço é de 
15 mseg. 
Qual a utilização e tempo médio de resposta do servidor? 
Qual a probabilidade do tempo de resposta ser superior a 100 mseg? 
Processo Poisson → tempo entre chegadas: exponencial(λ) CV = 1 → tempo de 
serviço ~ exponencial (µ) 
Fila M/M/1 com λ= 30 req/s e µ = 1/0.015=66.67 
Utilização ρ = λ/µ = 30 × 0.015 = 0.45 = 45% 
E(R) = 1/µ(1- ρ) = 0.027 segundos 
Prob (R > 0.1) = 1 – P(R ≤ 0.1) = 1 - (1 - e-µ(1-ρ)0.1) = e-µ(1-ρ)0.1 = e-3.67 
 
EXEMPLO 2 
O pacote R de enfileiramento contém várias funções para analisar sistemas de 
enfileiramento. Para o exemplo a seguir, vamos considerar o sistema de 
enfileiramento mais simples: M/M/1, com uma taxa de chegada de Poisson de três 
clientes por minuto, um tempo de serviço exponencial de quatro clientes por minuto e 
um único servidor. 
 
Vamos dar uma olhada no código R! 
........................................................................................................................................ 
# Importando o pacote queueing 
Library (queueing) 
 
# Aplicando os parâmetros do modelo 
input_mm1 <- NewInput.MM1(lambda = 3, mu = 4, n = 0) 
 
# Criando o modelo 
output_mm1 <- QueueingModel(input_mm1) 
 
# Gerando a saída do modelo 
Report(output_mm1) 
The inputs of the M/M/1 model are: 
lambda: 3, mu: 4, n: 0 
The outputs of the M/M/1 model are: 
The probability (p0, p1, ..., pn) of the n = 0 clients in the 
system are: 
0.25 
The traffic intensity is: 0.75 
The server use is: 0.75 
The mean number of clients in the system is: 3 
The mean number of clients in the queue is: 2.25 
The mean number of clients in the server is: 0.75 
The mean time spend in the system is: 1 
The mean time spend in the queue is: 0.75 
The mean time spend in the server is: 0.25 
The mean time spend in the queue when there is queue is: 1 
The throughput is: 3 
 
# Gerando um resumo do modelo 
summary(output_mm1) 
lambda mu c k m RO P0 Lq Wq X L W Wqq Lqq 
1 3 4 1 NA NA 0.75 0.25 2.25 0.75 3 3 1 1 4 
curve(dpois(x, input_mm1$lambda), 
 from = 0, 
 to = 20, 
 type = "b", 
 lwd = 2, 
 xlab = "Número de clientes", 
 ylab = "Probabilidade", 
 main = "Distribuição de Poisson", 
 ylim = c(0, 0.25), 
 n = 21) 
...................................................................................................................................... 
O código anterior será utilizado para a construção de um gráfico, que nos permitirá 
analisar a distribuição de Poisson para a fila. 
 
 
Figura 3.1 — Distribuição de Poisson 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
#PraCegoVer: a imagem apresenta um gráfico com o eixo na vertical representando 
a probabilidade de um número de clientes estar presente em uma fila. No eixo 
horizontal, está a quantidadede clientes entre 0 e 20. A maior probabilidade de 
encontrar uma quantidade de clientes na la está entre dois e três clientes. Esse é um 
ponto importante para o dimensionamento dos atendentes do sistema 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Existem filas em todas as empresas do setor de serviços, mas o grande desafio é 
buscar o mínimo em capacidade de atendimento do sistema, de modo a não prejudicar 
a qualidade do atendimento e a satisfação do cliente. Essa preocupação se torna 
bastante clara e evidente no mundo empresarial, uma vez que a desistência constante 
de clientes pode acarretar altos prejuízos para as instituições, sejam elas públicas, 
privadas ou de economia mista. 
 
REFERÊNCIAS 
 
GOMEDE, Everton. FREITAS, Myllena. Laboratórios de Simulação – Análises 
Matemáticas da Simulação.Universidade Potiguar. Rio Grande do Norte. 2023. 
 
https://homepages.dcc.ufmg.br/~jussara/anamodes/aula9b-2014.pdf. Acesso em: 27 
abr. 2023. 
 
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=uG9pzQq4%2f4LsLuXN1xGVGQ
%3d%3d&l=8f2bAU91AKAKMn25AtFJMg%3d%3d&cd=4wdbgL5wfainAizJWqtOUQ
%3d%3d&sl=f3rFfqEROq44Jzvg7dL%2f1Q%3d%3d&st=oyApuSHSf%2bX0sulB6t6x
QQ%3d%3d&oi=pJjMwVDO0yENrnqiDKyyWg%3d%3d. Acesso em: 27 abr. 2023. 
 
https://web.fe.up.pt/~jfo/ensino/io/docs/IOP_filasespera.pdf. Acesso em: 27 abr. 2023. 
 
 
 
 
https://homepages.dcc.ufmg.br/~jussara/anamodes/aula9b-2014.pdf.%20Acesso%20em:%2027
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=uG9pzQq4%2f4LsLuXN1xGVGQ%3d%3d&l=8f2bAU91AKAKMn25AtFJMg%3d%3d&cd=4wdbgL5wfainAizJWqtOUQ%3d%3d&sl=f3rFfqEROq44Jzvg7dL%2f1Q%3d%3d&st=oyApuSHSf%2bX0sulB6t6xQQ%3d%3d&oi=pJjMwVDO0yENrnqiDKyyWg%3d%3d
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https://web.fe.up.pt/~jfo/ensino/io/docs/IOP_filasespera.pdf