aula_3_sistemas_lineares_aula_1_2008_AL

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Aula 22/03/2011
Com aij, números reais ou complexos.
Uma solução do sistema é uma n-upla de números (x1, x2, ..., xn ) que
satisfaça simultaneamente esta m equações
Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se, e somente se toda
solução de qualquer um dos sistemas também é solução do outro
1
Sistemas e matrizes
Seja o sistema:
Podemos escrever este sistema , na forma matricial:
A é a matriz dos coeficientes, X é a matriz incógnita e B a matriz
dos termos independentes.
bAx
b
b
b
b
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
A
m
2
1
n
2
1
mn2m1m
n22221
n11211












































 m
2
1
n
2
1
mmn2m1m
2n22221
1n11211
b
b
b
x
x
x
baaa
baaa
baaa





=•
mmn2m1m
2n22221
1n11211
baaa
baaa
baaa




Ou, também podemos associar a matriz ampliada do sistema:
e, através de operações elementares sobre as linhas desta
matriz, obter-se uma matriz simplificada.
Três famílias se reuniram para irem a uma lanchonete. A
primeira família pediu 4 lanches, 2 refrigerantes e 2 sorvetes,
totalizando R$ 22,00. A segunda família pediu 2 lanches, 4
refrigerantes e 4 sorvetes, totalizando R$ 20,00 . A terceira
família pediu 4 lanches, 4 refrigerantes e 2 sorvetes,
totalizando R$ 26,00.Qual é o preço de cada item?
Álgebra Linear
Lanche Refri Sorvete Total
Família 1 4 2 2 R$ 22,00
Família 2 2 4 4 R$ 20,00
Família 3 4 4 2 R$ 26,00
Escrevendo o sistema
Considerando os preços por:
x= lanche
y = refrigerante
z = sorvete
Teremos: 
x+2y+2z=22
2x+4y+4z=20
4x+4y+2z=26
Colocando os coeficiente em uma matriz:
Escalonamento
• 4 2 2 22 L1>L2
• 2 4 4 20
• 4 4 2 26
• 2 4 4 20 L1/2
• 4 2 2 22
• 4 4 2 26
Escalonamento
• 1 2 2 10
• 4 2 2 22 L2 – 4xL1
• 4 4 2 26 L3 – 4xL1
• 1 2 2 10
• 0 -6 -6 -18 L2x(-1)
• 0 -4 -6 -14 L3x(-1)
Escalonamento
• 1 2 2 10
• 0 6 6 18 L2/6
• 0 4 6 14
• 1 2 2 10
• 0 1 1 3
• 0 4 6 14 L3 – 4xL2
Escalonamento
• 1 2 2 10
• 0 1 1 3
• 0 0 2 2 
• 1x + 2y + 2z = 10,00
• y + z = 3,00
• 2z = 2,00 
2z=2 1x + 2y + 2z = 10
z=2/2 1x + 2.2 + 2.1=10
z=1 1x + 6 = 10
x=10 – 6 X = 4
y + z = 3
y =3 – 1
y = 2
• Portanto, o preço de cada item é:
• Lanche: R$ 4,00
• Refrigerante: R$ 2,00
• Sorvete: R$ 1,00
Consistência de Sistemas Lineares
Necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada 10 m2
140 g de nitrato, 190 g de fosfato e 205 g de potássio.
Dispõe-se de quatro qualidades de adubo com as seguintes 
características:
•Cada quilograma do adubo I custa 5 u.m. e contém 10 g de 
nitrato. 10 g de fosfato e 100 g de potássio.
• Cada quilograma do adubo II custa 6 u.m. e contém 10 g 
de nitrato. 100 g de fosfato e 30 g de potássio.
•Cada quilograma do adubo III custa 5 u.m. e contém 50 g 
de nitrato. 20 g de fosfato e 20 g de potássio.
•Cada quilograma do adubo IV custa 15 u.m. e contém 20 g 
de nitrato. 40 g de fosfato e 35 g de potássio.
Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o 
efeito desejado se estamos dispostos a gastar 54 u.m. a cada 
10 m2 com a adubação? 
Sugestão: Monte a tabela
Adulbos Nitrato Fosfato Potássio Custo
I (x)
II (y)
III (z)
IV (w)
total