Prova III - reposição - 2013.1

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Ca´lculo II 2013.1
Prof. Valdecir A. dos Santos Ju´nior
3o PROVA - REPOSIC¸A˜O - 2a UNIDADE
NOME:
DATA / /
OBSERVAC¸O˜ES:
• Esta avaliac¸a˜o deve ser realizada individualmente e em sileˆncio. Nenhuma
troca de material entre os alunos durante a avaliac¸a˜o sera´ permitida. O
uso de ma´quinas de ca´lculo (entenda como computadores, calculadoras,
re´guas de ca´lculo,...) na˜o e´ permitido. E´ permitido o uso de la´pis ou
grafite em toda a avaliac¸a˜o;
• Na˜o e´ permitido o uso de folhas avulsas;
• Celulares, smartphone, tablet ou quasquer aparelhos semenhantes devem
estar desligados e na mesa do professor (ou dentro das mochilas, bolsas
etc, ao lado da carteira) durante a avaliac¸a˜o;
• Apenas o professor esta´ autorizado a tirar du´vidas sobre a prova;
• O aluno que infringir alguma das regras acima tera´ a sua avaliac¸a˜o consi-
derada com nota nula;
• Questo˜es (ou partes de questo˜es) com resultado, mas sem desenvolvimento
sera˜o consideradas com nota nula. Resoluc¸o˜es desorganizadas ou na˜o iden-
tificadas sera˜o corrigidas com nota nula;
• Se alguma questa˜o for anulada, os pontos desta sera˜o redistribu´ıdos pelas
questo˜es remanescentes.
• A avaliac¸a˜o tera´ a durac¸a˜o de duas aulas. Salvo quando mencionado pelo
professor o contra´rio.
1
1. Dada a func¸a˜o
f(x, y) = ln(x2 + y2)
encontre:
1.1. O domı´nio da func¸a˜o
1.2. Descreva as curvas de n´ıvel da func¸a˜o
1.3. Encontre a fronteiro do domı´nio da func¸a˜o
1.4. Determine se o domı´nio e´ uma regia˜o aberta, fechada ou nenhuma
das duas
1.5. Decida se o domı´nio e´ limitado ou ilimitado
2. Fo´rmula do tamanho do lote de Wilson
Dada a func¸a˜o
A(c, h, k,m, q) =
km
q
+ cm+
hq
2
Encontre as derivadas nas varia´veis c, h, k,m e q.
3. Encontre o valor de ∂z∂x no ponto (1, 1, 1) sabendo que a equac¸a˜o
xy + z3x− 2yz = 0
define z como uma func¸a˜o de duas varia´veis independentes x e y e que a
derivada parcial exista.
Observac¸a˜o: Encontre a derivada
∂z
∂x
pelos dois me´todos estudados em
sala de aula.
4. Coordenadas polares
Suponha que substituamos coordenadass polares x = r cos θ e y = r sin θ
em func¸a˜o diferencia´vel w = f(x, y).
4.1. Mostre que
∂w
∂r
= fx cos θ + fy sin θ
e
1
r
∂w
∂θ
= −fx sin θ + fy cos θ
4.2. Resolva as equac¸o˜es no item (a) para expressar fx e fy em termos de
∂w
∂r
e
∂w
∂θ
.
4.3. Mostre que
(fx)
2 + (fy)
2 =
(
∂w
∂r
)2
+
1
r2
(
∂w
∂θ
)2
2