Teoria Microscópica dos dielétricos

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Universidade Federal de Uberlândia 
 Instituto de Física – INFIS – UFU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arthur A. Mascarenhas 
Bruno S. Silva 
Ciro A. Justino, 
 
 
 
 
 
 
Uberlândia - MG 
Teoria Microscópica dos dielétricos 
 
 
1 – Campo Molecular em um Dielétrico 
 
Cavendish (em 1773) e Faraday, independentemente, em 1837, descobriram 
que a capacitância de um capacitor aumenta quando se coloca um isolante entre as 
placas. Se o espaço entre as placas estiver totalmente preenchido pelo isolante, a 
capacitância aumenta por um fator K que só depende da natureza do material isolante, 
e não da forma ou tipo do capacitor, conforme mostra a experiência. Esse fator 
chama-se constante dielétrica do isolante, e este também é chamado de dielétrico: 
 
 
0C C
 
 
onde 
0C
 se refere ao vácuo (para o qual k=1). 
Por que C aumenta? Antes de colocarmos o dielétrico tínhamos, 
 
 
0
0
A
Q C V V
d

 
 
 
onde consideramos um capacitor plano. 
 
 
 
 
 
 
Com o dielétrico, a carga Q das placas não mudou, mas 
0 0C C 
.Logo é a 
diferença de potencial que deve ter caído por um fator 
1

: 
0
0
V
V


 
 
Mas 
.V E dl 
 
. Logo é o campo que deve ter-se reduzido: 
0
0
E
E


. 
Analisando através da lei de Gauss deve haver uma densidade superficial de 
carga na base da lamina dielétrica, sendo uma densidade positiva na base superior e 
uma densidade de carga negativa na base inferior de forma que a lamina como um 
todo mantenha-se neutra. 
Vemos que o efeito é análogo ao da indução eletrostática, que ocorreria se a 
lamina fosse condutora.Entretanto, num condutor, os elétrons se deslocam livremente, 
explicando o efeito de indução, ao passo que num isolante não há elétrons livres. 
Porem a aplicação de um campo elétrico a um sistema neutro tende a produzir 
momento de dipolo elétrico numa molécula polar. Para ver de que maneira isso da 
origem às densidades de carga superficiais consideremos as conseqüências da 
polarização. O efeito total do ponto de vista macroscópico, é mais facilmente 
visualizado como um deslocamento no dielétrico de toda carga positiva em relação a 
carga negativa. Dizemos então que o dielétrico esta polarizado, no entanto 
gostaríamos de examinar agora a natureza molecular do dielétrico e ver como se 
relaciona com o campo elétrico macroscópico. 
Supomos uma amostra delgada de dielétrico que se polarizou ao ser colocada 
num campo elétrico uniforme entre duas placas paralelas carregadas com cargas 
opostas, de tal forma que: 
 
. ( , ) 0P r t 
 
 
Isto significa que a densidade de carga de polarização deve ser nula 
( , ) . ( , )p r t P r t 
 
O campo microscópico(campo molecular) em um determinado ponto no interior 
deste dielétrico é: 
 
 
 
 
em que Ex é o campo elétrico devido às placas paralelas, o campo Ed é o 
campo devido às cargas de polarização que geram-se na interface do dielétrico, Es é 
devido a carga de polarização na superfície da cavidade S e E é devido a todos os 
dipolos no interior de S. 
 
0
1
( )xE 

 
 
Onde: 

é a densidade superficial de carga. 
 
O campo de despolarização é também produzido por dois planos paralelos de 
carga, desta vez com densidade 

(p). Como: 
 
p nP P   
 
0
1
dE P
 
 
 
Notemos o campo elétrico macroscópico dentro do dielétrico E sem o índice. 
Temos: 
 
 
Logo combinando as equações fica: 
 
 
 
 Que relaciona o campo molecular com o campo macroscópico no material 
dielétrico. 
 
 
 
 O campo provem da densidade de carga de polarização 
p nP P   
, 
sobre a superfície S. Logo temos: 
 
 
 
 Portanto a equação se reduz a: 
 
 
 
 O momento de dipolo de uma molécula por unidade de campo polarizante é 
chamado de sua polarizabilidade α. Em outras palavras, 
 
 
 
 Se houver N moléculas por unidades de volume, a polarização e 
combinando os resultados obtemos: 
 
 
 
 Que é conhecida como equação de Clausius-Mossotti e pode ser expressa em 
termos da constante dielétrica, K , como – fica: 
 
 
 
2 – Dipolos Induzidos 
 
 Um material dielétrico que não possui momentos de dipolo intrínseco também 
pode sofrer a influência de campos elétricos externos. Devido ao fato de não ter 
moléculas ou outros constituintes polares, ele é formado por apolares, ou seja, quando 
o centro “geométrico” das cargas positivas coincide com o centro das cargas 
negativas, portanto o momento dipolar é zero. 
 Quando é aplicado um campo elétrico externo, as cargas negativas e positivas 
que se encontravam na “mesma posição”, tendem a separar por uma distância, devido 
a ação do campo e da força elétrica. Como a carga dos elétrons é negativa, eles são 
deslocados no sentido oposto ao do campo. Nesse caso, é dito que o momento dipolar 
é induzido pelo campo e que o átomo ou molécula é polarizado pelo campo. Essa 
separação não aumenta indefinidamente, pois existe a força elétrica entre cargas, que 
é o fator responsável pela existência das moléculas do dielétrico. Se o campo não é 
mais aplicado, as cargas voltam para o mesmo lugar. Quanto mais intenso for o 
campo, mais distantes as cargas ficarão, e se o valor deste for muito grande, as 
moléculas são partidas, e o material pode ser destruído. 
 No estudo dos dipolos induzidos, consideramos inicialmente que o dielétrico é 
formado por átomos neutros esféricos, que têm um núcleo positivo no centro, com 
uma carga Ze, onde Z é o número atômico e “e” a carga do próton (também do elétron, 
só que com sinal negativo), e por uma carga eletrônica –Ze, distribuída de forma mais 
ou menos homogênea dentro do volume esférico de raio Ro. 
 Ao se aplicar um campo elétrico externo, esse gera um campo molecular que 
age sobre o átomo, levando a uma separação entre os centros das cargas positiva e 
negativa. O núcleo positivo do átomo é deslocado de uma distância X em relação ao 
centro da nuvem de cargas negativas, na direção e sentido do campo aplicado, até 
que as forças elétricas entre as cargas negativas e o núcleo do átomo equilibrem a 
força elétrica gerado pelo campo molecular, ou seja: 
 
 
 
 A força elétrica gerado pelo campo molecular sobre o núcleo do átomo é: 
 
 
 
Sendo Ze a carga do núcleo. E para se obter a força produzida pelas cargas 
negativas, precisa-se achar o valor do campo elétrico gerado por essas cargas na 
posição ocupada pelo núcleo, traçando assim uma superfície gaussiana esférica S de 
raio X, cujo centro coincide com o centro das cargas negativas. 
Pela lei de Gauss: 
 
 
 
 
 A densidade volumétrica é constante, assim num volume, temos uma carga 
negativa Q = - Ze, de modo a densidade é: 
 
 
 Substituindo os valos de Q e V, temos a densidade: 
 
 
 
 Achado o valor da densidade, o substituímos na lei de Gauss e achamos o 
campo: 
 
 
 
 Este campo produz sobre a carga nuclear uma força: 
 
 
 
 Sendo: 
 
 
 Substituímos os valores das forças: 
 
 
 
 
 
 E comparando com a expressão: 
 
 
 
 Obtemos assim o termo para polarizabilidade “induzida” ou “forçada”: 
 
 
3 – MoléculasPolares. Fórmula de Langevin - Debye 
 
 Uma molécula polar é aquela que possui um momento de dipolo permanente, 
isto é, na qual os centros de carga positiva e negativa não coincidem, formadas por 
duas ou mais espécies atômicas. 
 Na ausência de um campo elétrico externo, uma amostra do dielétrico polar 
não é polarizada, pois as entidades fundamentais de dipolos elétricos estão 
distribuídas aleatoriamente, e na soma vetorial das mesmas, no todo a polarização 
será nula. Mas caso o pedaço de dielétrico seja colocado imerso em um campo, os 
dipolos tenderão a se alinhar ao campo, devido a um toque nos mesmos, e se for 
suficientemente intenso, então os dipolos se alinharão completamente, e haverá a 
saturação da polarização: 
 
mpNP


 
 
sendo P o módulo da polarização, N o número de moléculas por unidade de volume e 
p o módulo do momento de dipolo. 
 Como a distribuição das moléculas interfere diretamente sua polarização, é de 
se supor que quando seu estado de agitação é mais complexo, o alinhamento dos 
dipolos será mais improvável, ou seja, quando maior for a temperatura da amostra, 
menor será a probabilidade de encontrar uma polarização efetiva, devido à 
aleatoriedade das partículas. 
 Usando, então, métodos estatísticos, é possível verificar que a energia média 
das moléculas assume a forma: 
 






0
0
)(
)(
dvvf
dvvfU
U 
 
em que f(v) é uma função que associa a distribuição das velocidades das partículas 
que compõe o dielétrico. 
 A energia interna U do corpo deverá ser uma soma das energias cinética e 
potencial das moléculas, e, se lembrar-se que o dielétrico está imerso em um campo 
elétrico, só se considerará a energia potencial proveniente do mesmo, visto que as 
energias cinéticas não dependerão dele. Como a energia potencial é: 
 
)cos(00 mm EpEpU  
 
 
para o momento de dipolo permanente p0 , e θ o seu ângulo com Em, pode-se obter o 
momento de dipolo efetivo utilizando a média da energia potencial da seguinte forma: 
 
mE
U
p )cos(0 
 
 
Assim: 
 






0
0
0
0
)(
)()cos(
)cos(
dvvf
dvvfEp
EE
U
p
m
mm

 

 






0
0
0
0
)(
)()cos(
)cos(
dvvf
dvvfp
p

 
 
Na qual f(v) é, de acordo com a distribuição das velocidades Maxwell: 
 
kTUve
kT
U
vf /
2/1
4)( 








 
e 





dsene
dsenep
p
kTEmp
kTEmp
)(2
)(2)cos(
)cos(
0
/)cos(0
0
/)cos(0
0
0





 
 
Para k a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta, o que deverá dar 
como resultado: 
 













m
m
Ep
kT
kT
Ep
pp
0
0
00 coth)cos(
 
 
Que é a fórmula de Langevin, e mostra o aspecto do momento de dipolo efetivo 
num dielétrico imerso num campo elétrico, e dependente da temperatura, a qual 
explicita que realmente deverá haver um efeito de saturação para a polarização, à 
medida que se aumenta a intensidade do campo elétrico, e será aproximadamente 
linear para campos menos intensos. Isso permite estudá-las por uma aproximação em 
séries, tomando apenas os primeiros membros. Assim: 
 
kT
Ep
p m
3
)cos(
2
0
0 
 
 
Ou seja, um material dielétrico polar, em geral, deve ser linear. E a polarização 
tornará 
mE
kT
p
P
N

3
1
2
0
 
 
 Isso permite escrever a razão entre o momento de dipolo molecular e o campo 
polarizando (a polarizabilidade) da seguinte maneira: 
kT
p
3
2
0
 
 
o que representa aquilo que se pode chamar de polarizabilidade orientacional, pois 
decorre de uma orientação dos dipolos elétricos. No caso geral, usando o que se viu 
anteriormente: 
kT
p
3
2
0
0 
 
 
na qual a parcela acrescentada representa a polarizabilidade de deformação, isto é, a 
polarizabilidade se considerando os efeitos de dipolos induzidos. Esta expressão é 
conhecida como equação de Langevin-Debye.