Estruturas de Cobertura - Metalicas 2

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Estruturas de cobertura (2010.2) 
 
Mauro César de Brito e Silva1 
 
1 – Introdução 
 
 Uma cobertura tem primariamente a função de proteger as edificações 
contra a chuva, vento e sol. As características delas vão depender 
basicamente do propósito da edificação, disponibilidade de materiais, 
tradições locais e da grande variedade de concepções arquitetônicas. 
Considera-se então que elementos que compõem uma cobertura são: 
– Elementos de vedação: telhas, lajes, outros 
– Estrutura portante: é o conjunto de elementos que suporta os 
elementos de vedação atendendo as características geométricas do espaço a 
ser coberto. A estrutura pode ser: metálica, concreto armado, madeira, 
estruturas mistas e outras. 
– Acessórios: calhas, condutores, elementos de fixação, peças 
especiais de ventilação e iluminação, etc. 
– Fechamentos laterais: telhas, vidro, alvenaria, outros 
 
1.1 – Elementos de vedação 
 
 Os elementos de vedação mais utilizados nas coberturas estruturadas 
em aço são as telhas de aço (figura 1.1), alumínio e fibrocimento. 
 
 
Figura 1.1 
 
 Nos projetos de telhados devem-se observar as características e 
propriedades das telhas a serem utilizadas, tais como: Inclinação 
recomendada, recobrimentos lateral e longitudinal, vão máximo admissível, 
tipos de fixação, acessórios (cumeeiras, rufos, calhas, etc.). A melhor 
maneira de obter estes dados é consultando os manuais dos fabricantes. É 
importante e indispensável seguir as especificações contidas nos catálogos, 
pois em caso contrário o fabricante fica isento de qualquer responsabilidade. 
 
 
1
 Professor Assistente III, Departamento de Artes e Arquitetura, PUC Goiás, Goiânia, Goiás, Brasil. 
2 
 
1.2 – Estruturas portante 
 
1.2.1 – Elementos de sustentação das telhas – terças 
 
Sua principal função é de servir de apoio das telhas de cobertura e de 
elemento estabilizante das peças em que se apóiam. As seções usuais das 
terças são os perfis do tipo “U” laminado e de chapa dobrada do tipo “U” 
enrijecido como mostra a figura 1.2. Existe a possibilidade de utilização de 
outros perfis e outras configurações dependendo do tipo de telha e cargas 
atuante. As terças quando suportam telhas de aço, alumínio ou fibrocimento 
podem ter vãos de até 6 metros quando utilizam perfis em chapa dobrada; 
vão de até 8 metros para perfis laminados; e vãos maiores que 8 quando são 
concebidas em treliças de banzos paralelos. 
 
 
Figura 1.2 
 
1.2.2 – Estrutura principal 
 
São aquelas que recebem as cargas devidas aos elementos de 
vedação, terças, vento e eventuais cargas suspensas. A seguir uma relação 
de alguns sistemas estruturais comumente utilizados: 
 
1.2.2.1 – “Telhados em uma água” 
 
São estruturas de vãos pequenos que definem superfícies planas, com 
declividade, cobrindo uma pequena área edificada (figura 1.3) ou 
estendendo-se para proteger entradas (figura 1.4). 
 
 
Figura 1.3 
 
3 
 
 
Figura 1.4 
 
1.2.2.2 – “Tesouras de duas águas” 
 
São estruturas treliçadas do tipo trapezoidais, triangulares e especiais 
(figuras 1.5 e 1.6), que suportam duas superfícies planas, com declividades 
iguais ou distintas, unidas por uma linha central denominada cumeeira. O 
espaçamento (4 a 8 m) entre as tesouras (Le) vai depender do tipo terça e 
vedação. As relações econômicas entre o vão e altura das treliças podem ser 
obtidas na tabela 2 da apostila Estrutura de Aço. 
 
 
 Figura 1.5 Figura 1.6 
 
1.2.2.3 – Estrutura espacial 
 
Este sistema é predominantemente usado em coberturas planas de 
grandes vãos, sendo que eles são vencidos em duas direções horizontais 
principais. 
 A estrutura pode ser formada por treliças planas que se interceptam 
como mostrado na figura 1.7. 
 
Figura 1.7 
 
 A figura 1.8 ilustra “Willes, Faber & Dumas Office” localizado em 
Ipswich, Inglaterra, projetado pelo Arquiteto Norman Foster e pelo engenheiro 
estrutural Anthony Hunt. Esta é uma edificação que faz uso de um sistema 
espacial treliçado formado por treliças planas que se interceptam. 
4 
 
 
Figura 1.8 
 
 A estrutura espacial também pode ser idealizada por barras que são 
trianguladas de tal forma que o conjunto destas barras define uma malha 
verdadeiramente espacial como é ilustrado na figura 1.9. Notar que as 
unidades que formam o sistema verdadeiramente espacial podem ter a forma 
piramidal ou tetraédrica. 
 
Figura 1.9 
 
 Um exemplo do sistema verdadeiramente espacial pode ser visto na 
figura 1.10, que é a cobertura do “St. Francis Hospital” projetado por 
“American Building Systems”. 
 
 
Figura 1.10 
 
 É importante saber que no primeiro sistema as treliças podem ser 
dispostas ortogonalmente ou obliquamente e as treliças também podem ser 
de uma camada, que são usadas para vãos de até 30 metros ou com treliças 
de duas camadas, que são recomendadas para vãos maiores que 30 metros, 
estes sistemas são mostrados na figura 1.11. 
 As estruturas espaciais são sistemas de alta eficiência estrutural 
devido basicamente dois fatores: o grau muito alto de indeterminação estática 
e a triangulação interna de suas barras. Entretanto o projeto estrutural e a 
5 
 
construção desse sistema estrutural são muito complicados, fazendo dele um 
sistema estrutural de custo mais elevado do que o das estruturas de treliças 
planas. Para vãos maiores de 20 metros as estruturas verdadeiramente 
espaciais são economicamente competitivas com as estruturas 
convencionais. Já as estruturas espaciais formada por interseção de treliças 
planas normalmente são usadas para vãos variando de 15 a 20 metros. 
 
 
Figura 1.11 
 
 Considerando que o sistema verdadeiramente espacial vence vãos em 
duas direções, a forma do plano quadrada é a mais indicada como mostra a 
figura 1.12. 
 
Figura 1.12 
 
 Via de regra as barras das estruturas espaciais são pequenas e leves, 
fazendo delas estruturas de fácil transporte e montagem; freqüentemente as 
barras dessas estruturas são ligadas umas as outras através de parafusos no 
nível do terreno da obra, e na seqüência o conjunto estrutural é içado até sua 
posição final. 
 A principal desvantagem das estruturas espaciais é sua complexidade. 
Em particular, a dificuldade de elaboração do projeto e da fabricação dos nós 
por conta do alto grau de complexidade de sua geometria, e a tolerância de 
fabricação dos componentes deve ser pequena devido ao alto grau de 
indeterminação estática. 
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 Existem algumas estruturas espaciais que os elementos de ligação 
das barras, os nós, são patenteados. A estrutura espacial “Mero” e “Nodus” 
são exemplos desses sistemas. As dimensões aproximadas, como altura e 
módulo, da estrutura espacial do tipo “Mero” podem ser obtidas na tabela 1. 
 
Tabela 1 
Vão (m) Modulo (m) Altura da treliça (m) 
Até 15 2 a 3 Até 1,5 
15 a 27,5 2,4 a 3 1,5 a 2,1 
27,5 a 36 2,4 a 3,6 2,1 a 2,5 
36 a 50 3,6 a 4,8 2,5 a 4,0 
50 a 100 4,8 a 6,0 3,6 a 4,8 
 
1.2.2.4 – “Shed” 
 
São estruturas em que os vãos são de no máximo a 40 metros, e onde 
é necessária uma iluminação mais ou menos uniforme no plano de trabalho. 
São estruturas formadas por estruturas principais em forma de treliças de 
banzos paralelos (vigas mestras), que recebem as traves (peças de alma 
cheia ou treliçadas) com vãos em torno de 5 metros e que por sua vez 
recebem as terças (figuras 1.13 e 1.14). 
 
 
 
 Figura 1.13 Figura 1.14 
7 
 
1.2.2.5 – “Arcos” 
 
São estruturas de grandes vãos e que suportam grandes cargas 
verticais. Espaçamento entre arcos(Le) em torno de 6 metros e alturas 
econômicas dos arcos podem ser obtidas na tabela 2 da apostila Estrutura de 
Aço. É uma estrutura muito flexível, e constituída normalmente por treliças de 
banzos paralelos de pequena altura (figuras 1.15 e 1.16). 
 
 
 Figura 1.15 Figura 1.16 
 
1.3 – Contraventamentos 
 
 As estruturas metálicas são formadas por elementos muito esbeltos e 
é necessário que sua estabilidade seja garantida. Uma das maneiras de 
garantir esta estabilidade é através de elementos secundários que diminuem 
os seus comprimentos de flambagem e absorvem possíveis cargas fora do 
plano de trabalho das estruturas principais. As figuras 1.17 e 1.18 mostram 
as diagonais de contraventamento de um sistema de cobertura. 
 
 
Figura 1.17 
 
 
 
Figura 1.18 
8 
 
1.4 – Tirantes (Linhas de correntes) 
 
 Os tirantes das terças garantem a estabilidade e absorvem a 
componente de carga permanente no plano do telhado, diminuindo o vão da 
terça neste plano, como mostram as figuras 1.19 e 1.20. 
 
Figura 1.19 
 
 
Figura 1.20 
 
 
1.5 – Cargas na cobertura 
 
1.5.1 – Cargas permanentes (G) 
 
São constituídas pelos pesos próprios: da estrutura [terças, estrutura 
principal, contraventamentos, etc.] + telhas + peças especiais (calhas, rufos, 
lanternim) + instalações penduradas na estrutura + forro + outras. 
 - O peso próprio das telhas é obtido nos catálogos dos fabricantes 
 - As outras cargas segundo projetos específicos 
 
1.5.2 – Cargas acidentais – ação do vento (W) 
 
As cargas de vento são obtidas conforme determinação da NBR 
6123/80 (NB 599/87). 
 
1.5.3 – Cargas tecnológicas 
 
São decorrentes da fixação de equipamentos de movimentação de 
cargas na estrutura de cobertura conforme projeto específico, tais como: 
guinchos em monovias, correia transportadoras, pontes rolantes, outras. 
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1.5.4 – Sobrecargas em coberturas 
 (NBR 8800/86) 
 
Nas coberturas comuns, não sujeitas a acúmulos de quaisquer 
material, e na ausência de especificação em contrário, deve ser prevista uma 
sobrecarga nominal mínima de 0,25 kN/m2, em projeção horizontal. 
 
2 – Telhados de “duas águas” 
 
2.1 – Introdução 
 
 Os telhados de “duas águas” são normalmente estruturados através 
de tesouras, que recebem as cargas devidas ao material de cobrimento, peso 
das terças, vento, peso próprio e eventuais cargas suspensas. 
 A distância entre tesouras é geralmente dada pelos espaçamentos 
entre colunas, que dependem, basicamente, da função a que se destina a 
edificação. Quando o espaçamento entre colunas é muito grande, torna-se 
mais econômico o uso de tesouras intermediarias. 
 A corda ou banzo superior das tesouras treliçadas é projetado paralelo 
à cobertura. A inclinação da cobertura vai depender do material utilizado ou 
do efeito arquitetônico que se deseja obter, dentro dos limites da declividade 
mínima permitidas pelo material. Já a corda ou banzo inferior das treliças 
geralmente são horizontais. 
 
1 – Tesoura de alma cheia com altura variável (figura 2.1) 
 
 As tesouras de alma cheia apresentam algumas vantagens, tais como: 
pequena altura, facilidade de limpeza, pintura e conservação, entretanto são 
estruturas mais pesadas que as tesouras treliçadas. 
 
Figura 2.1 
 
2 - Tesoura trapezoidal (figura 2.2) 
 
 Resultam em tesoura mais alta que as triangulares e obviamente com 
esforços axiais menores nos banzos. 
 Resolvem melhor os detalhes de apoio no que diz respeito o encaixe das 
calhas. 
 Podem ser articuladas ou engastadas. 
 
Figura 2.2 
10 
 
3 - Tesoura triangular (figura 2.3) 
 
 Elas só podem ser articuladas, o que resulta em esforços elevados nos 
banzos junto aos apoios, entretanto elas são tesouras com menores alturas 
totais de construção se comparada com as trapezoidais. 
 
 
Figura 2.3 
 
4 - Tesouras especiais (figura 2.4) 
 
 Para grandes inclinações podem-se usar treliças com banzo inferior não 
horizontal ou treliças de banzos paralelos. 
 Estas estruturas são muito flexíveis e os apoios devem ser rígidos e fixos. 
 A rigidez da estrutura pode ser melhorada com adição de tirantes ligando 
os apoios. Entretanto esta solução tem dois inconvenientes: o tirante só 
trabalha a tração e a obstrução do espaço interno. 
 
 
Figura 2.4 
 
 
 
 
11 
 
2.2 – Determinação do esquema geral dos telhados 
 
 O esquema geral dos telhados de “2 águas” é determinado a partir dos 
seguintes dados: 
 - vão da tesoura (L); 
 - inclinação do telhado; 
 - tipo de telha (espaçamento entre apoios, recobrimentos, largura útil, 
fixações); 
 - tipo de apoio; 
 - altura econômica da treliça (L/7 a L/20) 
 - disposição das diagonais; 
 - fechamento lateral 
 - calhas e outros 
 
2.2.1 – Distribuição de telhas e espaçamento entre terças 
 
 O recobrimento longitudinal mínimo das telhas faz parte das 
especificações técnicas contidas nos catálogos fornecidos pelos fabricantes. 
Portanto, é necessário verificar se o espaçamento entre terças estabelecido 
no esquema geral do telhado respeita este recobrimento. Em função da 
inclinação do telhado, tipo de calha e dos detalhes de fixação, a equação 2.1 
pode ser usada para fazer esta verificação como ilustra a figura 2.5. 
 
d = L (comprimento da telha) – c (recobrimento) (2.1) 
 
 
Figura 2.5 
 
2.2.2 – Exemplo 
 
Determinação do esquema geral de uma cobertura de “2 águas”, figura 2.6, 
usando como vedação telha trapezoidal de aço zincado: 
 
Dados: 
 - Largura da edificação = 24,9 m 
 - Comprimento da edificação = 73 m 
 - Altura da coluna = 5 m (CS 300 x 32 kg/m) 
Solução - considerando que a face das colunas está no limite da largura da 
edificação e o apoio da estrutura de cobertura esta no eixo das colunas, 
teremos: 
12 
 
Figura 2.6 
 
 Vão: L = 24900 – 300 = 24600 mm 
 
 Telha aço galvanizado trapezoidal GR40 (trapézio de 40 # 0,5 mm) da 
Gravia (http://www.gravia.com/) 
- Espaçamento entre apoios (terças) = 2500 mm (Quatro apoios) 
- Sobreposição longitudinal para inclinação maior que 10% = 200 mm 
- Largura útil = 970 mm 
 
 Terças em perfil chapa dobrada com vão máximo de 6 m 
- Perfil adotado: U enrijecido 150 mm de altura 
 
 Pode-se determinar o comprimento (L1), usando teorema de Pitágoras 
(figura 2.7): 
 
 
Figura 2.7 
 
L1
2
 = 12300
2
 + 1845
2
 = 12437,6 mm 
 
 Espaçamento entre terças (figura 2.8): 
 
Como a distância entre apoios (terças) = 2500 mm, o número de espaçamentos 
deverá ser maior ou igual: 
 
12437,6 / 2500 ≥ 4,98, adotar = 5 espaçamento 
 
Portanto, o espaçamento deverá ser igual: 
 
12437,6 / 5 = 2487,52, adotar = 2490 mm, portanto: L1 = 2490 x 5 = 12450 mm 
 
 
Figura 2.8 
13 
 
2.2.3 – Possíveis tipos de treliças 
 
 Lembrando que as treliças são estruturas constituídas por barras de 
eixo retilíneo, articuladas entre si em suas extremidades, formando malhas 
triangulares. Essas articulações são designadas NÓS e as cargas externas 
devem ser sempre aplicadas nestes pontos. 
 
– Triangular (figuras 2.9 e 2.10) 
 
 
Figura 2.9 
 
 
Figura 2.10 
 
 
– Trapezoidal (figuras 2.11 e 2.12) 
 
 
Figura 2.11 
 
 
Figura 2.12 
 
 
14 
 
– Especial – Banzos paralelos (figura 2.13) 
 
 
Figura 2.13 
 
 
2.3 – Cargas no telhado 
 
2.3.1 – Cargas permanentes (G) 
 
São constituídas pelos pesos próprios: da estrutura [terças (tabela 1), 
tesouras (tabela 2), contraventamentos (tabela 3), etc.] + telhas + peçasespeciais (calhas, rufos, lanternim) + instalações penduradas na estrutura + 
forro + outras 
 
Tabela 2 
Peso próprio das terças = gt (kN/m
2
) 
 Vão da terça (m) 
Tipo 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 
Chapa dobrada 0,020 0,023 0,026 0,029 0,033 0,040 
Laminada 0,023 0,026 0,030 0,034 0,038 0,046 
 
Tabela 3 
Peso próprio das tesouras = gT (kN/m
2
) 
 Vão da tesoura (m) 
Tipo 15 20 25 30 
Soldada 0,040 0,048 0,056 0,064 
Parafusada 0,050 0,058 0,066 0,074 
 
 Tabela 4 
Peso próprio dos contraventamentos = gctv (kN/m
2
) 
Vão da tesoura (m) 
15 20 25 30 
0,010 0,013 0,016 0,020 
 
 - O peso próprio das telhas é obtido nos catálogos dos fabricantes 
 - As outras cargas segundo projetos específicos 
 
 
2.3.2 – Cargas acidentais – ação do vento (w) 
 
As cargas de vento são obtidas conforme determinação da NBR 
6123/80 (NB 599/87). 
 As cargas devido à ação de vento podem ser obtidas na tabela 4. Esta 
tabela considera apenas “Terreno plano ou fracamente acidentado”, as 
categorias II, III e IV, o grupo 2 e a classe A. Portanto, ela estabelece 
valores de carga de vento necessário para avaliação de pré-
dimensionamento das barras das treliças de coberturas de “2 águas” nos 
projetos de arquitetura. 
15 
 
 a) Velocidade básica do vento, Vo, varia no Brasil entre 30 a 50 m/s, 
sendo que o valor estabelecido pela norma NBR 6123/80 para a cidade de 
Goiânia igual a 33 m/s. 
 
 b) A altura “z” considera o nível acima do terreno 
 
 c) A rugosidade do terreno é classificada em 5 categorias: 
 
 - Categoria I - superfícies lisas: lagos e rios; pântanos sem 
vegetação 
 - Categoria II - terrenos abertos em nível, obstáculos máximos a 
1 m de altura: pântanos com vegetação rala; campos de aviação; pradarias e 
charnecas; fazendas sem sebes ou muros 
 - Categoria III – terrenos planos, obstáculos com altura média 
de 3 m: granjas e casas de campo, com exceção das partes com matos; 
fazendas com sebes e/ou muros; subúrbios a considerável distância do 
centro, com casas baixas e esparsas 
 - Categoria IV – terrenos cobertos por obstáculos numerosos e 
pouco espaçados, com obstáculos de média altura igual a 10 m: zonas de 
parques e bosques com muitas árvores; subúrbios densamente construídos; 
áreas industriais plena ou parcialmente desenvolvidas 
 - Categoria V – terrenos cobertos por obstáculos numerosos, 
obstáculos com altura mínima de 25 m: centro da cidade; complexos 
industriais bem desenvolvidos; florestas com árvores altas de copas isoladas 
 
 d) A classe das edificações é dividida em: 
 
 - Classe A: toda edificação com a maior dimensão horizontal ou 
vertical menor que 20 m 
 - Classe B: toda edificação com a maior dimensão horizontal ou 
vertical da superfície frontal esteja entre 20 e 50 m 
 - Classe C: toda edificação com a maior dimensão horizontal ou 
vertical da superfície frontal maior que 50 m 
 
 
 e) Os grupos são classificados nas seguintes edificações: 
 
 - Grupo 1: hospitais, quartéis de bombeiros e de forças de 
segurança, centrais de comunicação, etc. 
 - Grupo 2: hotéis e residências 
 - Grupo 3: depósitos, silos, construções rurais, etc. 
 - Grupo 4: telhas, vidros, painéis de vedação, etc 
 - Grupo 5: estruturas dos grupos 1 a 3 durante a construção 
 
Tabela 5 
 
 
 
3 6 9 12
II 0,59 0,60 0,54 0,69
III 0,52 0,53 0,58 0,62
IV 0,42 0,43 0,48 0,52
2
Pressão dinâmica "q" (kN/m
2
) - Terreno plano ou fracamente acidentado
CATEGORIA GRUPO
Classe A
16 
 
2.3.3 – Cargas tecnológicas 
 
 São decorrentes da fixação de equipamentos de movimentação de cargas 
na estrutura de cobertura conforme projeto específico, tais como: guinchos 
em monovias, correia transportadoras, pontes rolantes, outras. 
 
 
2.3.4 – Sobrecargas em coberturas 
 (NBR 8800/86) 
 Nas coberturas comuns, não sujeitas a acúmulos de quaisquer material, e 
na ausência de especificação em contrário, deve ser prevista uma 
sobrecarga nominal mínima de 0,25 kN/m2, em projeção horizontal. 
 
2.4 – Determinação das cargas nos nós 
 
2.4.1 – Cargas permanentes 
 
São cargas concentradas aplicadas nos nós onde as terças estão 
conectadas e sua intensidade é igual à carga permanente total (G) 
multiplicada por: comprimento de influência (d) do nó, espaçamento entre 
tesoura (Le) e co-seno do ângulo de inclinação do telhado ( ). Ver ilustração 
2.16 e equação 2.2. 
 
Figura 2.16 
 
G2 = Le x d x cos x G (2.2) 
 
 
2.4.2 – Cargas de vento 
 
Também são cargas concentradas aplicadas nos nós onde as terças 
estão conectadas e sua intensidade é igual às cargas de vento (W) 
multiplicadas por: comprimento de influência (d) do nó e o espaçamento entre 
tesoura (Le). Ver figura 2.17 e equação 2.3. 
 
Figura 2.17 
 
W2 = Le x d x W (2.3) 
 
2.4.3 – Outras cargas 
 
Serão determinadas de maneira análoga as anteriores. 
17 
 
 
 2.4.4 – Exemplo 
 
 A figura 2.18 ilustra o esquema geral de uma cobertura, sendo que as 
terças estão posicionadas nos nós do banzo superior da treliça. 
 
Dados: 
- Telha de aço galvanizada com peso de 0,0495 kN/m2 
- Aço MR-250 – Laminado e soldado 
- Terças em chapa dobrada com vão = 5 m 
- Localização: no subúrbio de Goiânia 
- Edificação para indústria 
- Altura máxima da edificação = 6 m 
 
 
 Figura 2.18 
 
 Determinação dos carregamentos atuantes: 
 
A – Permanente: 
 
gtelha = 0,0495 kN/m
2
 
gterça = 0,033 kN/m
2 
gtesoura = 0,056 kN/m
2
 
gctv = 0,016 kN/m
2 
 
G = 0,0495 + 0,033 + 0,056 + 0,016 = 0,155 kN/m
2
 
 
B – Acidental - Vento: (segundo tabela 4) 
 
W = 0,43 kN/m
2
 
 
 Determinação das cargas nos nós da treliça: 
 
A – Permanente: 
 
Usando a formula 2.2 (Gi = Le x d x cos x G): 
 
Nós 1 e 21 (figura 2.19): 
 
G1 = G21 = Le x d x cos x G = 5 x 1,25 x (12300/12450) x 0,155 = 0,96 kN 
Nós 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 e 19 (figura 2.19): 
 
G3 ... G19 = Le x d x cos x G = 5 x (2.1,25) x (12300/12450) x 0,155 = 1,91 kN 
18 
 
 
 
Figura 2.19 
 
B – Acidental - Vento: 
 
Usando a formula 2.3 (Wi = Le x d x W): 
 
 
Nós 1, 11 (x2) e 21 (figura 2.20): 
 
W1 = W11 = W21 = Le x d x W = 5 x 1,25 x 0,43 = 2,69 kN 
 
Nós 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17 e 19 (figura 2.20): 
 
W3 ... W9 = W13 ... W19 = Le x d x W = 5 x (2.1,25) x 0,43 = 5,38 kN 
 
 
Figura 2.20 
 
2.5 – Cálculo isostático dos esforços nas barras da treliça 
 
 Os esforços nas barras que compõem uma treliça, devido às 
solicitações dos diversos carregamentos, poderão ser encontrados 
algebricamente usando o “Método dos Nós”, que será utilizado neste 
exemplo, ou graficamente usando o “Processo de Cremona”. 
 
 
2.5.1 – Carga permanente 
 
 Cálculo das reações de apoio (figura 2.21): 
 
 
Figura 2.21 
 
19 
 
A - aplicando as equações da estática (Ver apostila – Análise Estrutural): 
 
Fx = 0 RxA = 0 
Fy = 0 RyA + RyB – (2x0,96) - (9x1,91) = 0 RyA + RyB = 19,11 kN 
MA = 0 RyB.24,6 – 1,91x2,46x45 – 0,96x24,6 = 0 RyB = 235,05/24,6 = 9,56 kN 
 
B – substituindo o valor de RyB na segunda equação: 
 
RyA + 9,56 =19,11 RyA = 9,56 kN 
 
Devido à simetria da estrutura e do carregamento a solução considerará somente 
um dos lados da tesoura como ilustrado na figura 2.22: 
 
 
Figura 2.22 
 
C – começando por um nó com no máximo duas barras com esforços 
desconhecidos, o nó “A” por exemplo: 
 
 
 
- Usando as equações de equilíbrio: 
 
Fx = 0 FAB = 0 
 
Fy = 0 9,56 + FAM = 0FAM = -9,56 kN 
 
D – outro nó com no máximo duas barras com esforços internos 
desconhecidos, o nó “M” por exemplo: 
 
 
 
 = 81,097º e = 67,878º 
 
 
20 
 
- Usando as equações de equilíbrio: 
 
Fx = 0 FMN sen81,097+ FMBsen67,878 = 0 FMN = - FMBsen67,878/sen81,097 (I) 
 
Fy = 0 9,56 – 0,96 - FMBcos67,878 + FMNcos81,097 = 0 (II) 
 
Substituindo (I) em (II): 
 
8,6 - FMBcos67,878 – (FMBsen67,878/sen81,097)cos81,097 = 0 FMB = 16,49 kN 
 
Substituindo o valor FMB em (I): 
 
FMN = - 16,49sen67,878/sen81,097 FMN = - 15,46 kN 
 
E – outro nó com no máximo duas barras com esforços internos 
desconhecidos, o nó “B” por exemplo: 
 
 
 
 = 67,878º 
 
- Usando as equações de equilíbrio: 
 
Fx = 0 FBC – 16,49sen67,878 = 0 FBC = 15,28 kN 
 
Fy = 0 FBN + 16,49cos67,878 = 0 FBN = - 6,21 kN 
 
 
F – outro nó com no máximo duas barras com esforços internos 
desconhecidos, o nó “N” por exemplo: 
 
 
 
 = 81,097º e = 60,614º 
 
- Usando as equações de equilíbrio: 
 
Fx = 0 FNP sen81,097+ FNCsen60,614 + 15,46sen81,097 = 0 
 
FNP = – (15,46 + 0,882FNC) FNP = -24,19 kN 
21 
 
 
Fy = 0 6,21 + 15,46cos81,097 + FNPcos81,097 - FNCcos60,614 = 0 
 
8,603 + 0,155FNP – 0,491FNC = 0 (I) 
 
Substituindo o valor FNP em (I): 
 
FNC = - (15,46 + 0,882FNC)0,155/0,491 + 17,532 FNC = 9,90 kN 
 
G – outro nó com no máximo duas barras com esforços internos 
desconhecidos, o nó “C” por exemplo: 
 
 
 
 = 60,614º 
 
- Usando as equações de equilíbrio: 
 
Fx = 0 FCD – 9,90sen60,614 - 15,28 = 0 FCD = 23,91 kN 
 
Fy = 0 9,90cos60,614 + FCP = 0 FCP = - 4,86 kN 
 
H – outro nó com no máximo duas barras com esforços internos 
desconhecidos, o nó “P” por exemplo: 
 
 
 
 = 81,097º e r = 54,254º 
 
 
- Usando as equações de equilíbrio: 
 
Fx = 0 FPR sen81,097+ FPDsen54,254 + 24,19sen81,097 = 0 
 
FPR = – (24,19 + 0,822FPD) FPR = -27,59 kN 
 
Fy = 0 4,86 – 1,91 + 24,19cos81,097 + FPRcos81,097 – FPDcos54,254 = 0 
 
6,694 + 0,155FPR – 0,584FPD = 0 (I) 
 
 
Substituindo o valor FPR em (I): 
 
FPD = - (24,19 + 0,822FPD)0,155/0,584 + 11,462 FPD = 4,14 kN 
 
22 
 
 
I – Utilizando o mesmo procedimento anterior os valores dos esforços das 
outras barras podem ser encontrados: 
 
Banzo superior: 
 
FRS = -29,93 kN, FST = -30,05 kN, FTU = -30,15 kN, FUV = -28,94 kN, 
 
FVX = -27,95 kN, FXY = -26,07 kN e FYZ = -24,50 kN; 
 
Banzo inferior: 
 
FDE = 27,23 kN, FEF = 29,57 kN, FFG = 29,69 kN, FGH = 29,78 kN, 
 
FHJ = 28,59 kN, FJK = 27,62 kN e FKL = 25,76 kN; 
 
Montantes: 
 
FRD = -2,42 kN, FSE = -2,05 kN, FTF = -0,13 kN, FUG = -0,11 kN, 
 
 FVH = 1,61 kN, FXJ = 1,46 kN, FYK = 3,07 kN, FZL = 5,67 kN; 
 
Diagonais: 
 
FRE = 3,11 kN, FSF = 0,18 kN, FTG = 0,14 kN, FUH = -2,01 kN, 
 
FVJ = -1,76 kN, FXK = -3,60 kN e FYL = -3,23 kN 
 
 
2.5.2 – Carga acidental - vento 
 
 Cálculo das reações de apoio (figura 1.23): 
 
 
 
Figura 2.23 
 
A - aplicando as equações da estática (Ver apostila – Análise Estrutural): 
 
Fx = 0 RxA = 0 
 
Fy = 0 RyA + RyB – (4x2,69xsen81,097) - (8x5,38xsen81,097) = 0 
 
 RyA + RyB = 53,152 kN 
 
MA = 0 RyB.24,6 – (5,38x2,46x40 + 2,69x2x24,6)sen81,097 = 0 
 
 RyB = 653,77/24,6 = - 26,576 kN 
23 
 
B – substituindo o valor de RyB na segunda equação: 
 
RyA + 26,576 = 53,152 RyA = - 26,576 kN 
 
 
Devido à simetria da estrutura e do carregamento a solução considerará somente 
um dos lados da tesoura como ilustrado na figura 2.24: 
 
 
 
Figura 2.24 
 
C – começando por um nó com no máximo duas barras com esforços 
desconhecidos, o nó “A” por exemplo: 
 
 
 
- Usando as equações de equilíbrio: 
 
Fx = 0 FAB = 0 
 
Fy = 0 -26,58 + FAM = 0 FAM = 26,58 kN 
 
D – outro nó com no máximo duas barras com esforços internos 
desconhecidos, o nó “M” por exemplo: 
 
 
 
 = 81,097º e = 67,878º 
 
- Usando as equações de equilíbrio: 
 
Fx = 0 FMN sen81,097+ FMBsen67,878 – 2,69cos81,087 = 0 
 
 FMN = - 0,938FMB + 0,421 (I) 
24 
 
Fy = 0 2,69sen81,097 – 26,58 - FMBcos67,878 + FMNcos81,097 = 0 (II) 
 
Substituindo (I) em (II): 
 
– 23,922 - FMBcos67,878 + (- 0,938FMB + 0,421)cos81,097 = 0 FMB = -45,72 kN 
 
Substituindo o valor FMB em (I): 
 
FMN = - 0,938(-45,72) + 0,421 FMN = 43,31 kN 
 
E – Utilizando o mesmo procedimento anterior os valores dos esforços das 
outras barras podem ser encontrados: 
 
Banzo superior: 
 
FNP = 67,45 kN, FPR = 77,58 kN, FRS = 84,04 kN, FST =85,02 kN, FTU = 85,12 kN, 
 
FUV = 82,37 kN, FVX = 79,46 kN, FXY = 74,86 kN e FYZ = 70,29 kN; 
 
Banzo inferior: 
 
FBC =- 42,28 kN, FCD =-66,22 kN, FDE =-75,40 kN, FEF =-81,77 kN, FFG =-81,91 kN, 
 
FGH = -82,00 kN, FHJ = -78,46 kN, FJK = -75,59 kN e FKL = -70,21 kN 
 
Montantes: 
 
FNB = 17,21 kN, FPC = 13,48 kN, FRD = 6,60 kN, FSE = 5,60 kN, FTF = 0,14 kN, 
 
FUG = 0,11 kN, FVH = -4,77 kN, FXJ = -4,33 kN, FYK = -8,91 kN e FZL = -16,42 kN 
 
Diagonais: 
 
 FNC = -27,47 kN, FPD = -11,31 kN, FRE = -8,48 kN, FSF = -0,20 kN, FTG = -0,14 kN, 
 
FUH = 5,94 kN, FVJ = 5,20 kN, FXK = 10,43 kN e FYL = 9,35 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
2.5.3 – Resumo dos esforços atuantes 
 
 Barras Perm. (kN) Vento (kN) P. + V. (kN) 
B
a
n
zo
 S
u
p
er
io
r
 
FMN - 15,46 43,31 27,85 
FNP -24,19 67,45 43,26 
FPR -27,59 77,58 49,99 
FRS -29,93 84,04 54,11 
FST -30,05 85,02 54,97 
FTU -30,15 85,12 54,97 
FUV -28,94 82,37 53,43 
FVX -27,95 79,46 51,51 
FXY -26,07 74,86 48,79 
FYZ -24,50 70,29 45,79 
 
 Barras Perm. (kN) Vento (kN) P. + V. (kN) 
B
a
n
zo
 I
n
fe
ri
o
r
 
FAB 0 0 0 
FBC 15,28 - 42,28 - 27,00 
FCD 23,91 - 66,22 - 43,31 
FDE 27,23 - 75,40 - 48,17 
FEF 29,57 - 81,77 - 52,20 
FFG 29,69 - 81,91 - 52,22 
FGH 29,78 - 82,00 -52,22 
FHJ 28,59 - 78,46 - 49,87 
FJK 27,62 - 75,59 - 47,97 
FKL 25,76 - 70,21 - 44,45 
 
 Barras Perm. (kN) Vento (kN) P. + V. (kN) 
M
o
n
ta
n
te
s 
FMA -9,56 26,58 17,02 
FNB -6,21 17,21 11,00 
FPC -4,86 13,48 8,62 
FRD -2,42 6,60 4,18 
FSE -2,05 5,60 3,55 
FTF -0,13 0,14 0,01 
FUG -0,11 0,11 0 
FVH 1,61 -4,77 - 3,16 
FXJ 1,46 -4,33 - 2,87 
FYK 3,07 -8,91 - 5,84 
FZL 5,67 -16,42 - 10,75 
 
 Barras Perm. (kN) Vento (kN) P. + V. (kN) 
D
ia
g
o
n
a
is
 
FMB 16,49 -45,72 - 29,23 
FNC 9,90 -27,47 - 17,57 
FPD 4,14 -11,31 - 7,17 
FRE 3,11 -8,48 - 5,37 
FSF 0,18 -0,20 - 0,02 
FTG 0,14 -0,14 0 
FUH -2,01 5,94 3,93 
FVJ -1,76 5,20 3,44 
FXK -3,60 10,43 6,83 
FYL -3,23 9,35 6,12 
 
 
 
 
26 
 
2.6 – Pré-dimensionamento das barras críticas da treliça 
 
2.6.1 – Banzo superior 
 
Solução: Considerando as informações contidas na apostila “Elementos 
estruturais de aço para projetos de arquitetura: Pré-dimensionamento” pode-
se obter um perfil adequado: (Aço ASTM A-36 e cantoneira de abas iguais): 
 
a O esforço máximo de tração no banzo superior, barra ST = 54,97 kN 
 
ft = P / A ≤ 146 Mpa 
 
A ≥ 54970 / 146 ≥ 376,5 mm2 = 3,77 cm2 
 
2xL 1 1/4” x 1 1/4” # 1/8” (3,00 kg/m) Ag = 3,86 cm
2
, rx = 0,98 cm, ry = 1,45 cm 
 
 
É recomendável que as barras apresentem rigidez suficiente para evitar deformações 
ou vibrações Lx/rx = 125/0,98 = 128 < 300; Ly/ry = 250/1,45 = 172 < 300 
 
b O esforço máximo de compressão no banzo superior, barra TU = 30,15 kN 
 
1º Passo: Adotar um perfil (pode ser o anterior): 
 
2xL 11/4” x 1 1/4” # 1/8” 
 
2º Passo: Calculando o parâmetro de esbeltez: 
Lflx = 125 cm, Lfly = 250 cm (considerando o BS contraventado a cada terça), 
 
 = 125 / 0,98 = 128 
 = 250 / 1,45 = 172 
 
3º Passo: Em função do maior parâmetro , determina-se o valor da tensão 
admissível de flambagem: 
 
Para = 172 ffl = 35 Mpa 
 
4º Passo: Calcula-se a tensão atuante e compara-se com a tensão 
admissível de flambagem: 
 
fat = 30150 / 386 = 78,1 Mpa > ffl = 63 Mpa O perfil não é suficiente 
 
5º Passo: Adotar outro perfil: 
 
2xL 1 3/4” x 1 3/4” # 1/8” (A = 5,42 cm2, rx = 1,39 cm, ry = 1,96 cm ) 
 
6º Passo: Calculando o parâmetro de esbeltez: 
 
Lflx = 125 cm, Lfly = 250 cm (considerando o BS contraventado a cada terça), 
 
 = 125 / 1,39 = 90 
 = 250 / 1,96 = 128 
27 
 
7º Passo: Em função do maior parâmetro , determina-se o valor da tensão 
admissível de flambagem: 
 
Para = 128 ffl = 63 Mpa 
 
8º Passo: Calcula-se a tensão atuante e compara-se com a tensão 
admissível de flambagem: 
 
fat = 30150 / 542 = 55,6 Mpa < ffl = 63 Mpa O perfil é suficiente 
 
Perfil adotado para o Banzo superior: 2xL 1 3/4” x 1 3/4” # 1/8” 
 
 
2.6.2 – Banzo inferior 
 
Solução: Fazendo as mesmas considerações anteriores: 
 
a O esforço máximo de tração no banzo inferior, barra GH = 29,78 kN 
 
ft = P / A ≤ 146 Mpa 
 
A ≥ 29780 / 146 ≥ 204 mm2 = 2,04 cm2 
 
2xL 7/8” x 7/8” # 1/8” (2,08 kg/m) Ag = 2,64 cm2, rx = 0,66 cm, ry = 1,05 cm 
 
Verificando a esbeltez da peça: 
 
Lflx/rx = 123/0,66 = 186 < 300; Lfly/ry = 246/1,05 = 234 < 300 
 
b O esforço máximo de compressão no banzo inferior, barra GH = 52,22 kN 
 
 
1º Passo: Adotar um perfil (pode ser o anterior): 
 
2xL 7/8” x 7/8” # 1/8” 
 
 
2º Passo: Calculando o parâmetro de esbeltez: 
 
Lflx = 123 cm, Lfly = 246 cm (considerando o BI contraventado na direção da terça), 
 
 = 123 / 0,66 = 186 
 = 246 / 1,05 = 234 > 200 (adorar outro perfil) 
 
3º Passo: Adotar outro perfil: 
 
2xL 2” x 2” # 3/16” (A = 9,16 cm2, rx = 1,58 cm, ry = 2,32 cm ) 
 
 
4º Passo: Calculando o parâmetro de esbeltez: 
Lflx = 123 cm, Lfly = 246 cm (considerando o BI contraventado na direção da terça), 
 
 = 123 / 1,58 = 77 
 = 246 / 2,32 = 106 
28 
 
5º Passo: Em função do maior parâmetro , determina-se o valor da tensão 
admissível de flambagem: 
Para = 106 ffl = 92Mpa 
6º Passo: Calcula-se a tensão atuante e compara-se com a tensão 
admissível de flambagem: 
 
fat = 52220 / 916 = 57 Mpa < ffl = 92 Mpa O perfil é suficiente 
 
Perfil adotado para o Banzo inferior: 2xL 2” x 2” # 3/16” 
 
2.6.3 – Montante 
 
Solução: Fazendo as mesmas considerações anteriores: 
 
a O esforço máximo de tração no montante, barra MA = 17,02 kN 
 
ft = P / A ≤ 146 Mpa 
 
A ≥ 17020 / 146 ≥ 116,6 mm2 = 1,17 cm2 
 
2xL 7/8” x 7/8” # 1/8” (2,08 kg/m) Ag = 2,64 cm
2
, rx = 0,66 cm, ry = 1,05 cm
 
 
Verificando a esbeltez da peça: L/rmin = 50/0,66 = 76 < 300 
 
b O esforço máximo de compressão no montante, barra ZL = 10,75 kN 
 
1º Passo: Adotar um perfil (pode ser o anterior): 
 
2xL 7/8” x 7/8” # 1/8” 
 
2º Passo: Calculando o parâmetro de esbeltez: 
 
Lflx = Lfly = 243 cm 
 
 = Lfl / rmin = 243 / 0,66 = 368 > 200 (adotar outro perfil) 
 
3º Passo: Adotando outro perfil: 
 
2xL 1 3/4” x 1 3/4” # 1/8” (A = 5,42 cm2, rx = 1,39 cm, ry = 1,96 cm ) 
 
4º Passo: Calculando o parâmetro de esbeltez: 
 
Lflx = Lfly = 243 cm 
 
 = Lfl / rmin = 243 / 1,39 = 175 
 
5º Passo: Em função do maior parâmetro , determina-se o valor da tensão 
admissível de flambagem: 
 
Para = 175 ffl = 34 Mpa 
 
6º Passo: Calcula-se a tensão atuante e compara-se com a tensão 
admissível de flambagem: 
 
fat = 17020 / 542 = 31,4 Mpa < ffl = 34 Mpa O perfil é suficiente 
 
 
Perfil adotado para o Montante: 2xL 1 3/4” x 1 3/4” # 1/8” 
29 
 
2.6.4 – Diagonal: 
 
Solução: Fazendo as mesmas considerações anteriores: 
 
a O esforço máximo de tração na diagonal, barra MB = 16,49 kN 
 
ft = P / A ≤ 146 Mpa 
 
A ≥ 16490 / 146 ≥ 112,9 mm2 = 1,13 cm2 
 
2xL 7/8” x 7/8” # 1/8” (2,08 kg/m) Ag = 2,64 cm
2
, rx = 0,66 cm, ry = 1,05 cm
 
 
Verificando a esbeltez da peça: L/rmin = 133/0,66 = 202 < 300 
 
b O esforço máximo de compressão no montante, barra MB = 29,23 kN 
 
1º Passo: Adotar um perfil (pode ser o anterior): 
 
2xL 7/8” x 7/8” # 1/8” 
 
2º Passo: Calculando o parâmetro de esbeltez: 
 
Lflx = Lfly = 133 cm 
 
 = Lfl / rmin = 133 / 0,66 = 201 > 200 (adotar outro perfil) 
 
3º Passo: Adotando outro perfil: 
 
2xL 1 3/4” x 1 3/4” # 1/8” (A = 5,42 cm2, rx = 1,39 cm, ry = 1,96 cm ) 
 
4º Passo: Calculando o parâmetro de esbeltez: 
 
 = Lfl / rmin = 133 / 1,39 = 96 
 
5º Passo: Em função do maior parâmetro , determina-se o valor da tensão 
admissível de flambagem: 
 
Para = 96 ffl = 99 Mpa 
 
6º Passo: Calcula-se a tensão atuante e compara-se com a tensão 
admissível de flambagem: 
 
fat = 29230 / 542 = 53,9 Mpa < ffl = 99 Mpa O perfil é suficiente 
 
 
Perfil adotado para a Diagonal: 2xL 1 3/4” x 1 3/4” # 1/8” 
 
2.6.5 - Resumo dos perfis adotados: 
 
Banzo Superior 2xL 1 3/4” x 1 3/4” # 1/8” 
Banzo inferior 2xL 2” x 2” # 3/16” 
Montante 2xL 1 3/4” x 1 3/4” # 1/8” 
Diagonal 2xL 1 3/4” x 1 3/4” # 1/8” 
30 
 
Observações: 
1 – Não existe a possibilidade de utilização de perfis flexíveis (cabos) na composição da treliça, pois 
os esforços finais, ver item 2.6.3, nas barras são tanto de tração como de compressão; 
2 – Apesar de ter sido utilizado dupla cantoneira laminada como seção transversal das peças que 
compõem a treliça é possível a utilização de outros tipos de perfil, tais como perfil “U” em chapa 
dobrada; 
3 – Os perfis adotados anteriormente devem ser utilizados somente como referencia para definição do 
projeto de arquitetura da estrutura; 
4 – Carga de vento adotada, que foi estabelecida na tabela 4, tem como referencia a cidade de 
Goiânia. 
 
3 – Exercícios Propostos 
 
1 - Determinar treliças (triangular, trapezoidal e especial) de uma cobertura 
de “2 águas” da edificação da figura 3.1. 
 
 
Figura 3.1 
Dados: 
- Telha trapezoidal de aço zincado segundo catálogo da figura 3.2; 
- largura da edificação = 25 m 
- Altura dos pilares = 5 m (CS 300 x 32 kg/m) 
 
2 - Determinar treliças (triangular, trapezoidal e especial) de uma cobertura 
de “2 águas” da edificação da figura 3.1, considerando que existe uma 
platibanda suportada por um sistema de vigas conectadas aos pilares, ou 
seja, é necessário pré-dimensionar calhas nas extremidades das treliças. 
 
3 - Esboçar uma treliça trapezoidal de uma água considerando que sua altura 
mínima seja de 600 mm. 
Esta treliça é suporte de uma cobertura com os seguintes dados: 
- Telha trapezoidal de alumínio com vão máximo admissível de 2100 mm; 
- Comprimento da edificação de 60000 mm; 
- Largura da edificação de 10000 mm (face externa dos pilares); 
- Inclinação mínima de 10%; 
- Pilares de 4000 mm de altura com seção de 300 x 300 de concreto armado; 
- A treliça deve estar apoiada no eixo da seção transversal do pilar; 
- Considerar uma calha trapezoidal de dimensões mínimas: 
(base maior = 500 mm; base menor = 250 mm e altura = 250 mm); 
- Existe uma treliça horizontal conectada à face externa do pilar que tem 
como objetivo obstruir a visão da cobertura da edificação; 
- Os comprimentos de flambagem das diagonais não devem ser superiores a 
2000 mm em relação ao plano da treliça. 
 
4 – Em que situações as treliças de cobertura dos tipos trapezoidais, 
triangulares e especiais seriam mais apropriadas nos projetosarquitetônicos. 
31 
 
 
5 – A determinação do sistema estrutural no projeto de arquitetura de uma 
edificação é feita segundo a linguagem do material estrutural, e cabe ao 
arquiteto projetar também os elementos arquitetônicos da estrutura. Explique. 
 
6 – Um sistema estrutural utilizando treliças espaciais do tipo “Mero” tem vão 
livre de 80 metros. Qual devem ser as medidas dos módulos e altura das 
treliças? 
 
7 – Uma cobertura em arco, apoiada em pilares laminados de 6 metros, tem 
40 metros de vão livre. Qual deveria ser a altura da treliça do arco se a 
distância entre arcos fosse de 5000 mm e telha ondulada de alumínio com 
onda de 15 mm e 5 mm de espessura? Faça um esboço deste arco. 
 
8 – Uma cobertura industrial deve ser estruturada utilizado um “Shed”. Faça 
um esboço da estrutura da edificação, considerando que o vão livre da viga 
mestra é de 30 metros e as traves treliçadas, com distâncias de 6 metros 
entre elas, em banzos paralelos com vão livre de 8 metros. Usar a telha do 
catálogo da figura 3.2; 
 
 
Figura 3.2 
32 
 
4 – Referencias bibliográficas 
 
1 – Rebello, Y.C.P., Estruturas de Aço, Concreto e Madeira – Atendimento da Expectativa 
Dimensional, Zigurate Editora, São Paulo, 2005. 
 
2 – MacDonald, A.J., Structural Design for Architecture, Reed Educational and Professional 
Publishing Ltd., Great Britain, 1997. 
 
3 – Robbin, T., Engineering a New Architecture, Yale University Press, New Haven and 
London, 1996. 
 
4 – McCormac, J.C., Structural Steel Design-LRFD Method, Harper Collins College 
Publishers, New York, 1995. 
 
5 – Thornton, C. H., Exposed Structure in Building Design, McGraw-Hill Inc., U.S.A., 1993. 
 
6 – Queiroz, G., Elementos das Estruturas de aço, Belo Horizonte, 1991. 
 
7 – Pfeil, W., Estruturas de Aço – Dimensionamento prático, Livros Técnicos e Científicos 
Editora Ltda., Rio de Janeiro, 1988. 
 
8 – MIC, Manual Brasileiro para Cálculo de Estruturas Metálicas, Rio de Janeiro, 1986