MATERIAL PARA ESTUDOS 2018 1

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Porcentagem
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PORCENTAGEM
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
	A gasolina teve um aumento de 15%
	Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
	O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
	Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
	Dos jogadores que jogam no Avaí, 90% são craques.
	Significa que em cada 100 jogadores do Avaí, 90 são craques.
    
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Porcentagem - Professor Alexandre Faé
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Significado: divida o número por 100
X% = X
 100
SIMBOLOGIA (%)
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Muito usada ela indica a razão centesimal de uma conta. 
Supondo que em um exame um aluno tenha 
acertado 12 de 15 questões:
				12:15 ou 12 = 0,8 x 100 = 80% 
					 	 15 
TAXA PERCENTUAL (%)
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Vimos que a taxa percentual se refere a 100, ou seja:
			 						25 = 25%
								 100
Porém é muito mais prático (e, as vezes, necessário) tomarmos como valor referencial a taxa unitária (simbolizada por um i):
		 			25 =	 i i =	 25 = 0,25 		
				 100 1			 100
						i = 0,25 =	 25 =	 25%
					 				100
TAXA UNITÁRIA
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 Percentual Fracionária Decimal
3500	%
 30%
 70%	
 5%	
220%
30/100
0,30
70/100
0,70
5/100
0,05
220/100	
2,20
 3500/100	
 35
TAXA UNITÁRIA: Percentual, Fracionária ou Decimal
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Porcentagem - Professor Alexandre Faé
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Fator de aumento = 1 + fator simples 
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PALAVRAS: DESCONTO, DECRÉSCIMO, DESÁGIO, 
DEFLAÇÃO, DESVALORIZAÇÃO, ABATIMENTO. 
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Porcentagem - Professor Alexandre Faé
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Fator de desconto = 1 – fator simples
PALAVRAS: DESCONTO, DECRÉSCIMO, DESÁGIO, 
DEFLAÇÃO, DESVALORIZAÇÃO, ABATIMENTO. 
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 PROBLEMAS SIMPLES
	 PROBLEMAS COM AUMENTO
	 PROBLEMAS COM DESCONTO
Valor Inicial . Fator % = Valor Final
TIPOS DE QUESTÕES
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Porcentagem - Professor Alexandre Faé
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Exemplos:
 Quanto é 20% de 60?
 20 é 80% de quanto?
12 é quanto por cento de 30?
PROBLEMAS SIMPLES
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Exemplos:
Aumento de 30% sobre x
1,3∙x
Aumento de 80% sobre x
 1,8∙x
Aumento de 7% sobre x
1,07∙x
Aumento de 320% sobre 	x
 4,2∙x
Aumento de 1300% sobre x
 14∙x
PROBLEMAS COM AUMENTO
PALAVRAS: INFLAÇÃO, ACRÉSCIMO, ÁGIO
REPOSIÇÃO, VALORIZAÇÃO.
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Exemplos:
Desconto de 20% sobre x
0,80∙x
Desconto de 70% sobre x
 0,30∙x
Desconto de 5% sobre x
 0,95∙x
Desconto de 7% sobre x
0,93∙x
Desconto de 130% sobre x
 não existe
PROBLEMAS COM DESCONTO
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PALAVRAS: DESCONTO, DECRÉSCIMO, DESÁGIO, 
DEFLAÇÃO, DESVALORIZAÇÃO, ABATIMENTO. 
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Porcentagem - Professor Alexandre Faé
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MULTIPLICAR OS FATORES
 MÊS INFLAÇÃO
 MAIO 10%
 JUNHO	 20%
QUAL É A INFLAÇÃO ACUMULADA?
FATOR
1,1
1,2
ACUMULADA = 1,1 ∙ 1,2 = 1,32
32% DE INFLAÇÃO ACUMULADA
PORCENTAGENS CONSECUTIVAS
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130% DE x
AUMENTO DE 30% SOBRE x
0,8∙x 
80% DE x
DESCONTO DE 20% SOBRE x
1,3∙x
INTERPRETAÇÃO
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Exemplo: Se a desvalorização de determinado imóvel foi, em maio de 10% e, em junho de 20%, qual a desvalorização acumulada dos dois meses?
Fator de desconto de maio = 
0,9
Fator de desconto de junho = 
0,8
0,9 ∙ 0,8 = 0,72
PORCENTAGENS CONSECUTIVAS
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 Questão 1: Durante a crise do abastecimento de álcool um carro sofreu duas desvalorizações consecutivas de 10%. Que porcentagem do preço original passou a custar?
90%
81%
80%
79%
0%
Fator de desconto 1a desvalorização = 
0,9
Fator de desconto 2a desvalorização = 
0,9
Porcentagem do preço inicial = 
0,9 ∙ 0,9 = 0,81 = 81%
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 Questão 2: Um comerciante aumenta o preço original de uma mercadoria em 60%. Em seguida anuncia essa mercadoria com desconto de 50%, o que resulta em um preço de R$ 24,00. O desconto real sobre o preço original da mercadoria é:
10%
20%
25%
40%
30%
 FATOR DE AUMENTO DE 60% = 1,6
 FATOR DE DESCONTO DE 50% = 0,5
1,6 ∙ 0,5 = 0,8
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Regra de Três
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REGRA DE TRÊS
Regra de três é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
É chamado assim o problema nos quais figura uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.
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A relação entre duas grandezas estabelece a lei de variação dos valores de uma em relação a outra.
 As grandezas proporcionais podem ser:
Diretamente proporcionais
Inversamente proporcionais
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
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Quando valores pequenos da variável a tendem a estar relacionados com valores pequenos de b, enquanto que valores grandes de a tendem a estar relacionados com valores grandes de b.
a
b
Exemplos:
Peso x Altura
Nível socioeconômico x Volume de vendas
Consumo de Álcool x Preval. Cirrose Hepática
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
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Quando valores pequenos da variável a tendem a estar relacionados com valores grandes de b, enquanto que valores grandes de a tendem a estar relacionados com valores pequenos de b.
a
b
Exemplos:
Renda Familiar x Número de Filhos
Escolaridade x Absenteísmo
Volume de vendas x Passivo circulante
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
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- Regra de Três Simples: 
 Trabalha com apenas duas grandezas
- Regra de Três Composta: 
 Envolve mais de duas grandezas
TIPOS DE REGRA DE TRÊS
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São dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra, o qual corresponde a um dos valores da primeira grandeza.
 
Devemos obter o valor da segunda grandeza correspondente ao segundo valor da primeira.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
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Passos utilizados numa regra de três simples
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
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 Exemplo 1
        Com uma área  de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
    Montando a tabela e identificando a relação:
        Solução:
 
1,2/1,5 = 400/x
1,2 x = 1,5 . 400
X = 600 / 1,2 = 500 W/h
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 Exemplo 2
        Para construir uma casa 10 pedreiros levam 30 dias. Se passarmos a contar com 15 pedreiros em quantos dias a casa ficará pronta?
    Montando a tabela e identificando a relação:
        Solução:
 
30/x = 15/10
15 x = 10 . 30
X = 300 / 15 = 20 dias
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Ocorrem três ou mais grandezas relacionadas entre si. 
Nesse caso, para cada grandeza são dados dois valores com exceção de uma delas, que tem apenas um valor, relacionado com um dos valores de cada uma das outras grandezas.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
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 Exemplo 1
        O dono de uma carpintaria sabe que precisa de 50 operários para fazer 10 estantes em 5 dias, mas sabendo ele que para fazer as estantes tem apenas dois dias, de quantos operários vai precisar?
    Montando a tabela e identificando a relação:
        Solução:
 
50/x = 10/10 . 2/5
50/x = 20/50
X = 125 Operários
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 Exemplo 2 
        Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m³?
    Montando a tabela e identificando a relação:
        Solução:
 
20/x = (5/8) . (160/125)
x = 25 Caminhões
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 Exemplo 3 
        Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 min, em que tempo 7 rotativas iguais às primeiras,imprimirão 350.000 desses exemplares?
    Montando a tabela e identificando a relação:
        Solução:
 
56/x = (87.500/350.000) . (7/5)
x = 160 min
x = 2h40min
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 Exemplo 4 
        Quinze operários trabalhando 9 horas por dia, construíram 36 m de muro em 16 dias. Em quanto tempo 18 operários farão 60 m do mesmo muro, trabalhando 8 h por dia?
    Montando a tabela e identificando a relação:
        Solução:
 
16/x = (36/60) . (8/9) . (18/15)
x = 25 dias
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Funções
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FUNÇÕES
Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. 
Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas. 
Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um elemento y, também denotado por ƒ(x).
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 Função Afim (Y=aX+b): 
		 Exemplo: f(x) = 2x+5; f(x)= -x+4; f(x)= 3x.
		 O gráfico da função afim é uma reta.
 Função Linear (Y=aX): 
 É a função afim com b=o.
		 Exemplo: f(x) = 3x; f(x) ½ x; f(x) = -x.
	 O gráfico de uma função linear é uma reta passando pela origem.
Principais Tipos de Funções
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	Função Recíproca: representada por f(x)=1, com x ≠ 0.
													 x	
	O gráfico da função recíproca é uma hipérbole eqüilátera.
	Função Exponencial: é representada por:
	
Quando a>1, a função é crescente;
		Quando 0<a<1, a função é decrescente.
F(x) =ax, com a>0 e a≠1
Outros Tipos de Funções
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Conceitos Iniciais
PAR ORDENADO - conceito primitivo
P(x,y) - ponto no plano cartesiano
 P(x,y)
 P (x,0)
P (0,y)
x
y
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O primeiro número indica a medida do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo). 
O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). 
 Observe no desenho que: 
 (a,b) (b,a) se a b.
Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, a abscissa e a ordenada respectivamente. 
Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.
Plano Cartesiano
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(a,b)
(b,a)
Considere o conjunto A = {2, 4} e B = {1, 3, 5}. 
 Enumerando seus elementos em um gráfico cartesiano.
A x B = {(2;1), (2;3), (2;5), (4;1), (4;3), (4; 5)} 
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Definição: 
Uma relação f : A → B é denominada uma função de A em B (nessa ordem) se a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.
 A B
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Exemplo 1: f : A → B dada por
				 Domínio:
						D(f) = A
					 Contradomínio:
						CD(f) = B
					 Imagem:
						Im(f) = {-3,-1,1,3}
–1
0
1
2
–3
–2
–1
0
1
2
3
B
A
Uma função do 1º grau é toda função f: R  R que pode ser escrita na forma:
em que a e b são números reais e a ≠ 0.
O gráfico de uma função do primeiro grau é sempre uma reta. 
 
a > 0  função crescente.
a < 0  função decrescente.
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Coeficiente angular (a): determina a variação que ocorre em y para cada unidade que x aumenta.
Intercepto (b): é o ponto de encontro do gráfico da função com o eixo vertical y. Coeficiente linear. 
y = ax + b
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Exercício:
Esboçar os gráficos das funções:
f(x) = 3x + 1 
		para x=0 (0;1) 
		para x=2 (2;7) 
b) f(x) = –3x + 1 
			para x=0 (0;1) 
			para x=2 (2;-5) 
*
y = 3x + 1
*
para x=0 (0;1) 
para x=2 (2;7) 
Função Crescente
a > 0
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y = –3x + 1
para x=0 (0;1) 
para x=2 (2;-5) 
Função Descrescente
a < 0
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Atividade
Obtenha a função linear cujo gráfico é uma reta que passa pelos pontos (0,2) e (3,8).
 y = ax + b y = ax + b y = 2x + 2
 2 = a.0 + b	 8 = a.3 + b
 b = 2		 8 = 3a + 2
			 8 - 2 = 3a
		 6 = 3a
			 a = 6/3 
			 a = 2
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 1) Seja f(x) = ax + b uma função linear. 
 Sabe-se que f(-1) = 4 e f(2) = 7. Dê o valor de f(8). (UFSC, 2013)
f(-1) = 4 
f(2) = 7
(-1, 4)
(2, 7)
4 = a(-1) + b
7 = a(2) + b
f(x) = ax + b
f(x) = 1.x + 5
f(x) = x + 5
Logo:
f(8) = 8 + 5
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2) A semi-reta representada no gráfico seguinte expressa o custo de produção C, em reais, de n quilos de certo produto. 
Se o fabricante vender esse produto a R$ 102,00 o quilo, a sua porcentagem de lucro em cada venda será?
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
P1(0,80)
P2(20,180)
80 = a.0 + b
b = 80
180 = a. 20 + 80
20a = 100 a = 5
f(x) = a.x+ b
f(1) = 5.1+ 80  f(1) = 85
R$ 85  100%
R$102  x
x = 120%
LUCRO DE 20%
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3) Em um termômetro de mercúrio, a  temperatura é uma função afim (função do 1o grau) da altura do mercúrio. Sabendo que as temperaturas 0oC e 100oC correspondem, respectivamente, às alturas 20 ml e 270 ml do mercúrio, então a temperatura correspondente a 112,5 ml é:
Função do 1º grau:
f(x) = a.x+ b
P1(0,20)
P2(100,270)
20 = a.0 + b
b = 20
270 = a. 100 + 20
100a = 250
a = 2,5
f(x) = a.x+ b
y = 2,5x + 20
112,5 = 2,5x + 20
92,5 = 2,5x
37°C = x
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O gráfico abaixo representa a curva de calibração de um espectrofotômetro no UV-Vis. A partir da equação da reta, calcule a concentração de uma amostra analisada por esse equipamento apresentou absorbância de 0,135.
RESPOSTA: 4,39
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Dada a função f(x) = 2x/3+ 3, determine: [ f (-3) + f (5)] / f( 5/2)
Um xarope para tosse contém 3 mg de maleato de bromofeniramina em cada dose de 5 ml. Quantos mg, desse fármaco estão contidos num frasco contendo 120 ml do xarope?
Quais são as raízes da função polinomial p(x) = 19x -14?
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Uma grande rede de farmácias utiliza 4 grandes centros de distribuição de produtos medicinais e faz um levantamento gerencial sobre o desempenho da rede. Surgem as questões:
Qual o percentual de fornecimento de produtos para a rede, em relação ao total, do maior centro de distribuição ?
Qual o percentual de movimentos de produtos, em relação ao total, da maior unidade farmacêutica ?
Qual o percentual de movimentos de produtos, em relação ao total, da menor unidade farmacêutica ?
Qual o percentual de fornecimento de produtos para a rede, em relação ao total, que não vem do DISTRIB C ?
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Uma grande empresa brasileira do setor de frigoríficos tem duas unidades fabris (São Paulo e Recife) que abastecem três importantes Centros de Distribuição (CD) regionais do Brasil. A tabela apresenta as seguintes informações: a demanda diária de cada um dos CD, a capacidade produtiva diária de cada uma das fábricas e a quantidade diária que cada CD recebe de cada uma das duas fábricas (todas os valores são medidos em toneladas - TON).
Considerando as informações da tabela, pode-se dizer que em relação ao total produzido pelas fábricas, qual é o percentual de produtos que não tem destino o CD ALFA ?
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Qual será o custo para produção de 100 unidades
Qual será o volume de insumos para um custo de R$ 600,00
Gráf1
		190
		220
		250
		310
		370
		400
		430
		70
Y = 6X + 70
A
B
C
D
Custo (R$)
Insumos (unidades)
Custo (R$)
Plan1
		
		
		
						INSUMOS (uni)		Custo (R$)
						20		190
						25		220
						30		250
						40		310
						50		370
						55		400
						60		430
						0		70
Plan1
		
Y = 6X + 70
Custo (R$)
Insumos (unidades)
Custo (R$)
Porcentagem - Professor Alexandre Faé
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Porcentagem - Professor Alexandre Faé
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Porcentagem - Professor Alexandre Faé
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Porcentagem - Professor Alexandre Faé
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Porcentagem - Professor Alexandre Faé
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Porcentagem - Professor Alexandre Faé
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Porcentagem - Professor Alexandre Faé
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Porcentagem - Professor Alexandre Faé
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Porcentagem- Professor Alexandre Faé
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Porcentagem - Professor Alexandre Faé
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Porcentagem - Professor Alexandre Faé
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