matemática apostila

Prévia do material em texto

1 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
 
FATORAÇÃO COMPLETA DE UM 
NÚMERO NATURAL 
 
Todo número natural, não primo, pode ser 
decomposto de forma única em um produto de fatores 
primos. 
 
Exercício. Fatorar o número 480. 
 
DETERMINANDO O CONJUNTO DOS 
DIVISORES NATURAIS DE UM NÚMERO 
 
1º fatoramos o número dado 
 
2º anotamos o número 1, que é divisor de todos os 
números 
 
3º multiplicamos o primeiro fator primo pelo número 1 e 
anotamos o resultado 
 
4º multiplicamos o próximo fator pelos divisores já 
obtidos e anotamos os resultados. (Não repetimos 
resultados). 
 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
 
O MDC de vários números naturais é dado pelo 
produto dos fatores comuns com os menores expoentes. 
 
 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
 
O MMC de vários números naturais é dado pelo 
produto dos fatores comuns e dos não comuns com os 
maiores expoentes. 
 
 
QUESTÕES DE CONCURSO 
 
01. Sabe-se que o número A=2
3
.3
x
 tem 20 
divisores naturais. Nestas condições, x é um 
número: 
a) primo. 
b) divisível por 3. 
c) múltiplo de 5. 
d) quadrado perfeito. 
e) cubo perfeito. 
 
02. Uma senhora possui 3 filhas em idade escolar. 
O produto da sua idade com as idades de suas 
3 filhas é 16555. A diferença entre a idade de 
sua filha mais velha e a idade de sua filha 
mais nova é: 
a) 4 b) 5 
c) 6 d) 7 
e) 8 
 
03. Sistematicamente, dois funcionários de uma 
empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 
dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos 
sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de 
outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, 
uma outra provável coincidência de horários das 
suas horas-extras ocorrerá em 
 a) 9 de dezembro de 2010. 
 b) 15 de dezembro de 2010. 
 c) 14 de janeiro de 2011. 
 d) 12 de fevereiro de 2011. 
 e) 12 de março 2011. 
 
04. No alto de uma torre de uma emissora de 
televisão duas luzes “piscam” com 
frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 
vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 
vezes por minuto. Se num certo instante as 
luzes piscam simultaneamente, após quantos 
segundos elas voltarão a piscar 
simultaneamente? 
a) 12 
b) 10 
c) 20 
d) 15 
e) 30 
 
05. Um colecionador possui mais de 2500 selos e 
menos de 3000. Contando o número de selos 
de 15 em 15, de 25 em 25, e de 35 em 35, 
sempre sobram 13. O número de selos do 
colecionador é: 
a) 2963 
b) 2918 
c) 2715 
d) 2638 
e) 2625 
 
06. Dois sinais luminosos fecham juntos num 
determinado instante. Um deles permanece 10 
segundos fechado e 40 segundos aberto, 
enquanto o outro permanece 10 segundos 
fechado e 30 segundos aberto. O número 
mínimo de segundos necessários, a partir 
daquele instante, para que os dois sinais 
voltem a fechar juntos outra vez é de: 
a) 150 
b) 160 
c) 190 
d) 200 
 
07. Entre algumas famílias de um bairro, foi 
distribuído um total de 144 cadernos, 192 
lápis e 216 borrachas. Essa distribuição foi 
feita de modo que o maior número possível de 
famílias fosse contemplado e todas 
recebessem o mesmo número de cadernos, o 
mesmo número de lápis e o mesmo número de 
borrachas, sem haver sobra de qualquer 
material. Nesse caso, o número de cadernos 
que cada família ganhou foi 
2 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 9 
 
08. Uma escola deverá distribuir um total de 1260 
bolas de gude amarelas e 9072 bolas de gude 
verdes entre alguns de seus alunos. Cada 
aluno contemplado receberá o mesmo número 
de bolas amarelas e o mesmo número de bolas 
verdes. Se a escola possui 300 alunos e o 
maior número possível de alunos da escola 
deverá ser contemplado, qual o total de bolas 
que cada aluno contemplado receberá? 
a) 38 
b) 39 
c) 40 
d) 41 
e) 42 
 
09. No almoxarifado de certa empresa havia dois 
tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta 
azul e 160 com tinta vermelha. Um 
funcionário foi incumbido de empacotar todas 
essas canetas de modo que cada pacote 
contenha apenas canetas com tinta de uma 
mesma cor. Se todos os pacotes devem conter 
igual número de canetas, a menor quantidade 
de pacotes que ele poderá obter é 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
d) 14 
e) 16 
 
10. Num armazém há dois lotes de grãos: um com 
1 152kg de soja e outro, com 2 100kg de café. 
Todo o grão dos dois lotes deve ser 
acomodado em sacos iguais, de modo que 
cada saco contenha um único tipo de grão e 
seja usada a menor quantidade possível de 
sacos. Nessas condições, de quantas unidades 
o número de sacos de café excederá o de soja? 
a) 12 
b) 37 
c) 48 
d) 64 
e) 79 
 
GABARITO 
 
01. 
D 
02. 
C 
03. 
D 
04. 
A 
05. 
D 
06. 
D 
07. 
B 
08. 
D 
09. 
C 
10. 
E 
 
RAZÃO E PROPORÇÃO 
 
 
Chama-se de razão entre dois números racionais a e 
b, com b  0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de 
a para b por 
b
a
. 
 
Exercício1. Na sala da 7ª de um colégio há 20 rapazes e 
25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e 
o número de moças. (lembrando que razão é divisão). 
Resp.: 
5
4
 
 
 
Exercício2. Voltando ao exercício anterior, vamos 
encontrar a razão entre o número de moças e rapazes. 
Resp.: 
4
5
 
 
RAZÕES ESPECIAIS 
 
 
Escala é a razão entre a medida no desenho e o 
correspondente na medida real. 
 
real 
desenho do Medida
 
Medida
Escala  
 
Exercício1. Em um mapa, a distância entre Montes 
Claros e Viçosa é representada por um segmento de 7,2 
cm. A distância real entre essas cidades é de 4320km. 
Vamos calcular a escala deste mapa. 
Resp.: 
000.000.60
1
 
 
 
Velocidade média é a razão entre a distância a ser 
percorrida e o tempo gasto. (observe que neste caso as 
unidades são diferentes) 
Tempo
Distância
 Velocidade 
 
 
Exercício2. Um carro percorre 320km em 4h. Deter-mine 
a velocidade média deste carro. 
Resp.: 80km/h 
 
PROPORÇÃO 
 
Proporção é uma igualdade entre duas razões. 
 
Ex: 2
3
 = 
4
6
 
 
TERMOS DA PROPORÇÃO 
 
antecedentes: 
 
conseqüentes: 
 
extremos: 
 
meios: 
 
 
3 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 
 
1) Em uma proporção, o produto dos extremos é 
igual ao produto dos meios. 
 
2) Em uma proporção, a soma dos antecedentes está 
para a soma dos consequentes, assim como 
qualquer antecedente está para o seu consequente. 
 
3) Em uma proporção, o produto dos antecedentes 
está para o produto dos consequentes, assim 
como o quadrado de qualquer antecedente está 
para o quadrado do seu consequente. 
 
 
DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
1) Duas sequências são diretamente proporcionais 
quando é constante o quociente entre os termos 
correspondentes. 
 
2) Duas sequências são inversamente proporcionais 
quando é constante o produto entre os termos 
correspondentes. 
QUESTÕES 
1- A razão entre o que falta para terminar o dia e o 
que já passou é 
3
2
. Podemos afirmar 
corretamente, que são: 
a) 9h 
b) 12h 
c) 15h 
d) 9h 36min 
e) 14h 24min 
 
2- Um recipiente está preenchido com 500 ml de 
álcool. São retirados 100 ml do conteúdo do 
recipiente, e a mesma quantidade de água é 
adicionada ao recipiente. Em seguida, 200 ml do 
conteúdo do recipiente são retirados, e a mesma 
quantidade de água é adicionada ao recipiente. 
No final, qual a proporção entre as quantidades 
de álcoole de água no recipiente? 
 
 a) 3:5 
 b) 5:7 
 c) 7:12 
 d) 10:12 
 e) 12:13 
 
3- Um trem com velocidade média de 57,4 km/h 
deve fazer certa distância em 5 horas. Depois de 
duas horas a viagem teve que parar por 40 
minutos. A velocidade que o maquinista deve 
acrescentar ao trem para chegar ao final da 
distância no tempo previsto deverá ser de: 
a) 16,4 km/h 
b) 17,2 km/h 
c) 18,0 km/h 
d) 21,2 km/h 
e) 23,1 km/h 
 
4- A capacidade máxima que uma determinada 
caminhonete suporta é 2400 kg de cimento, o que 
equivale a 2000 tijolos. Se a caminhonete está 
carregada com 1434 kg de cimento, quantos 
tijolos, no máximo, ela ainda pode carregar ? 
 a) 1172 
 
 b) 700 
 
 c) 549 
 
 d) 805 
 
 e) 1196 
 
5- Dois Analistas Judiciários - Felício e Marieta - 
foram incumbidos de analisar 56 processos. 
Decidiram, então, dividir o total de processos 
entre si, em partes que eram, ao mesmo tempo, 
diretamente proporcionais aos seus respectivos 
tempos de serviço e inversamente proporcionais 
às suas respectivas idades. Se na ocasião, Felício 
era funcionário há 20 anos e tinha 48 anos idade, 
enquanto que Marieta lá trabalhava há 8 anos, 
então, se coube a Marieta analisar 21 processos, a 
sua idade 
 
a) era inferior a 30 anos. 
b) estava compreendida entre 30 e 35 anos. 
c) estava compreendida entre 35 e 40 anos. 
d) estava compreendida entre 40 e 45 anos. 
e) era superior a 45 anos. 
6- Dois tanques, I e II, são tais que o tanque I 
contém uma mistura homogênea de 50 L de 
gasolina e 25 L de álcool, e o tanque II contém 60 
L de gasolina e 15 L de álcool, homogeneamente 
misturados. Deseja-se obter 40 L de uma mistura 
de álcool e gasolina, contendo 22% de álcool, 
usando-se somente as misturas contidas nos 
tanques I e II. Nessa situação, deve-se usar 
quantos litros da mistura contida no tanque I? 
a) 6l 
b) 7l 
c) 4l 
4 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
d) 5l 
e) 5,5l 
7- Duas jarras contêm misturas de álcool e água nas 
proporções de 3:7 na primeira jarra, e de 3:5 na 
segunda. Juntando-se o conteúdo das duas jarras 
obtém-se uma mistura de álcool e água na 
proporção de: 
a) 9:35 
b) 3:5 d) 21:35 
c) 7:13 e) 27:53 
 
8- Dois funcionários de uma repartição publica 
foram incumbidos de arquivar 164 processos e 
dividiram esse total na razão direta de suas 
respectivas idades e inversa de seus respectivos 
tempos de serviço público. Se um deles tem 27 
anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 
anos e está há 9 anos no serviço público, então a 
diferença positiva entre os números de processos 
que cada um arquivou é: 
a) 48 
b) 50 
c) 52 
d) 54 
e) 56 
 
9- Dois sócios constituíram uma empresa com 
capitais iguais, sendo que o primeiro fundou a 
empresa e o segundo foi admitido 4 meses depois. 
No fim de um ano de atividades, a empresa 
apresentou um lucro de R$ 20.000,00. eles 
receberam, respectivamente: 
a) R$ 10.500,00 e R$ 9.500,00 
b) R$ 12.000,00 e R$ 8.000,00 
c) R$ 13.800,00 e R$ 6.200,00 
d) R$ 15.000,00 e R$ 5.000,00 
e) R$ 16.000,00 e R$ 4.000,00 
 
 
 
10- Quatro técnicos em contabilidade, A, B, C e D, 
vão repartir entre si um total de 220 processos 
trabalhistas, para conferir os cálculos. Os dois 
primeiros receberam 2/5 do total de processos e os 
repartiram em partes inversamente proporcionais 
às suas respectivas idades. Os dois últimos 
repartiram o restante dos processos em partes 
diretamente proporcionais às suas respectivas 
idades. Se as idades de A, B, C e D são, 
respectivamente, 24, 20, 34 e 32 anos, o número 
de processos recebidos por 
a) A foi 44 b) B foi 48 c) C foi 58 
a) D foi 60 e) D foi 68 
 
PORCENTAGEM 
1. Razão Centesimal é a razão cujo consequente é igual 
a 100. 
Ex.:
100
15
 
100
30
 
 
2. Taxa Percentual é a taxa equivalente à razão 
centesimal 
Ex.: 27% 
100
27
 15% 
100
15
 
 
3. Transformação de Porcentagem em Fração 
Irredutível 
Ex.: 25% = 40% = 50% = 
 
4. Transformação de Fração Irredutível em 
Porcentagem 
Ex.: 
2
5
 
4
3
 
5
1
 
 
5. Percentual de uma Quantidade 
 
Exercício. Calcule 45% de 1600 
 Resp.: 720 
 
Exercício. Calcule 20% dos 30% dos 40% dos 50% de 
6000 Resp.: 72 
 
6. Fator de Aumento (100% + i);i  taxa percentual. 
 
Exercício. O preço de uma calça é de R$ 80,00. Se ela 
sofresse um reajuste de 25% qual seria seu novo preço? 
 Resp.: R$ 100,00 
 
7. Fator de Desconto (ou Redução) (100% - i) 
 
Exercício. O preço de um rádio é R$ 150,00. Quanto 
devo pagar por esse rádio se o vendedor concedeu-me um 
desconto de 20%? 
 Resp.:R$ 120,00 
 
 
8. Aumentos Sucessivos 
 
Exercício. Uma mercadoria sofreu um aumento de 20% 
no primeiro mês e, no mês seguinte, um novo aumento de 
40%. Qual foi o aumento acumulado nesses dois meses? 
Resp.: 68% 
 
GABARITO 
1. E 2. E 3. A 4. D 5. B 
6. A 7. E 8. C 9. B 10.B 
5 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício. Três aumentos consecutivos de 20%, 25% e 
30% correspondem a um único aumento de: 
 (Resp.:95%) 
 
 
9. Descontos Sucessivos 
 
 
Exercício. Dando-se um desconto de 20% e, em seguida, 
outro de 40%. Qual será o desconto total acumulado? 
 (Resp.:52%) 
 
 
Exercício. Três descontos consecutivos de 20%, 25% e 
30% equivalem a um só desconto de: 
 (Resp.:58%) 
 
QUESTÕES 
01. Dispondo de certo capital, um investidor fez as 
seguintes aplicações durante um ano: 
- aplicou 25% do capital na bolsa de valores, que lhe 
rendeu 30% de lucro; 
- aplicou um quarto do capital em um fundo de 
investimentos e, nesta aplicação, teve um prejuízo de 
25%; 
- aplicou o restante do capital na poupança, que lhe 
rendeu 10% de lucro. 
Nesse contexto, é correto afirmar que, relativamente 
ao capital aplicado, o investidor: 
a) teve um lucro de 40%. 
b) teve um prejuízo de 5,25%. 
c) teve um lucro de 6,25%. 
d) não teve lucro nem prejuízo. 
e) teve um lucro de 20%. 
 
 
02. No almoxarifado de um órgão público há um lote 
de pastas, x das quais são na cor azul e as y 
restantes na cor verde. Se 
11
9
 
y
x
 , a porcentagem 
de pastas azuis no lote é de: 
a) 55% 
b) 52% 
c) 45% 
d) 41% 
e) 81% 
 
 
 
03. O proprietário de uma loja deu um desconto de 
20% nos preços dos produtos de sua loja. Agora, 
ele pretende baixar os preços pela metade, em 
relação aos preços de antes do desconto. De qual 
percentual deve ser o novo desconto? 
a) 30% 
b) 32,5% 
c) 35% 
d) 37,5% 
e) 40% 
 
04. Numa sala há 100 pessoas, das quais 97 são 
homens. Para que os homens representem 96% 
das pessoas contidas na sala, deverá sair que 
número de homens? 
a) 2 
b) 5 
c) 10 
d) 15 
e) 25 
 
05. Um galão de dez litros está cheio de um 
combustível resultante de uma mistura que tem 
14% de álcool de 86% de gasolina; um outro 
galão de vinte litros está cheio com uma outra 
mistura que tem 20% de álcool e 80% de 
gasolina. Despejando-se o conteúdo dos dois 
galões em um só recipiente, obtém-se uma nova 
mistura cuja porcentagem de gasolina é: 
a)75,0% 
b)77,0% 
c)79,0% 
d)81,0% 
e)82,0% 
 
06. Um depósito de água tem a seguinte propriedade: 
quando está 40% vazio, o volume de água excede 
em 40 litroso volume de quando o reservatório 
está 40% cheio. Qual a capacidade do 
reservatório? 
a)160 litros 
b)180 litros 
c)200 litros 
d)220 litros 
e)240 litros 
 
07. Um comerciante compra um artigo por R$ 80,00 
e pretende vendê-lo de forma a lucrar exatamente 
30% sobre o valor pago, mesmo se der um 
desconto de 20% ao cliente. Esse artigo deverá ser 
anunciado por 
(A) R$ 110,00 
(B) R$ 125,00 (D) R$ 146,00 
(C) R$ 130,00 (E) R$ 150,00 
08. Um funcionário tem aumento semestral. Se em 1
o 
de janeiro ele tem um aumento de 50% e em 1
o
 de 
julho um aumento de 50%, seu aumento anual foi 
de: 
a) 100% 
b) 125% 
c) 110% 
d) 130% 
e) 137% 
 
09. Um sanduíche é constituído de 50% de pão, 30% 
de salada e 20% de atum. Se o pão aumentar 
20%, a salada diminuir 20% e o atum aumentar 
6 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
15%, qual será o aumento percentual do preço de 
custo do sanduíche? 
a) 7% 
b) 6% 
c) 5% 
d) 4% e) 3% 
10. Todos os funcionários que trabalham em uma 
certa empresa ou são casados, ou são solteiros. 
Dos funcionários da empresa, 52% são homens e 
28% são solteiros. Sabe-se ainda que o número de 
mulheres casadas é o dobro do de mulheres 
solteiras. Conclui-se então que 
 
a) 40% dos homens que trabalham na empresa são 
casados. 
b) 32% das mulheres que trabalham na empresa 
são casadas. 
c) 16% dos funcionários da empresa são mulheres 
casadas. 
d) 12% dos funcionários da empresa são homens 
solteiros. 
e) o número de funcionários da empresa que são 
casados é o quádruplo dos que são solteiros. 
 
 
 
Gabarito 
1. A 2. D 3. D 4. E 5. E 
6. C 7. C 8. B 9. A 10. D 
 
JUROS 
 
 Na prática da Matemática Financeira, o juro é o 
elemento que nos permite levar um valor datado de uma 
data para outra, isto é, são os juros que nos permitem 
levar um Valor Presente para um Valor Futuro ou vice-
versa. Enfim, são os juros que nos permitem comparar 
valores e decidirmos pela melhor alternativa de compra, 
venda ou pagamento. 
 
 
ELEMENTOS PARA O CÁLCULO DOS JUROS 
 
Capital (C)  Pode ser chamado de principal, capital 
inicial, valor presente, valor atual, montante inicial, 
valor de aquisição, valor à vista. 
 
Juros (J)  Quando uma pessoa empresta a outra um 
valor monetário, durante certo tempo, é cobrado um valor 
pelo uso do dinheiro. Esse valor é denominado juros. 
 
Taxa de juros (i)  A taxa de juros representa os juros 
numa certa unidade de tempo. A taxa obrigatoriamente 
deverá explicitar a unidade de tempo. 
 
Tempo (n)  Quando falamos em tempo, leia-se 
NÚMERO DE PERÍODOS. 
 
Montante (M)  Pode ser chamado de montante, 
montante final, valor futuro. É o valor de resgate. 
Obviamente o montante é maior do que o capital inicial. 
O montante é, em suma, o capital mais os juros. 
 
 
 
 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO. 
 
Capitalização Simples 
 
NA CAPITALIZAÇÃO SIMPLES os juros 
gerados em cada período são sempre os mesmos, ou 
seja, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. Dessa 
forma, o montante após os 5 anos vale R$ 10.000,00 
(capital aplicado) mais 5 vezes R$ 2.000,00 (juros). 
Conclusão: o montante é igual a R$ 20.000,00 (lembre-
se que o montante é o capital inicial mais o juro). 
 
Capitalização Composta 
 
No regime de capitalização composta, o juro 
gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa 
soma passa a render juros para o próximo período. Daí 
que surge a expressão “juros sobre juros”. 
 
 
JUROS SIMPLES 
 
 
Juros simples são aqueles calculados sempre sobre 
o capital inicial, sem incorporar à sua base de cálculo os 
juros auferidos nos períodos anteriores. Ou seja, os juros 
não são capitalizados. 
 
O juro produzido no primeiro período de 
aplicação é igual ao produto do capital inicial (C) pela 
taxa de juros (i), como foi feito no nosso exemplo. E, 
consequentemente, o juro produzido em n períodos de 
aplicação será: 
 
J C i n   
 
E, lembrando também que o montante é a soma do 
capital com os juros produzidos, temos a seguinte 
fórmula abaixo: 
 
M C J  
 
(1 )M C i n    
 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
1) Sobre o tema Capitalização Simples e Composta 
assinale a alternativa incorreta. 
7 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
a) Na capitalização composta os juros produzi-
dos ao final de um dado período “n” se agre-
gam ao capital, passando ambos a integrar a 
nova base de cálculo para o período subse-
qüente n+1 e assim sucessivamente. 
b) Uma aplicação financeira que rende 12% ao 
ano irá gerar o maior montante quando 
aplicado segundo o regime de capitalização 
simples, em comparação com o regime de 
capitalização composta. 
c) Capitalização simples é o regime segundo o 
qual os juros produzidos no final de cada 
período têm sempre como base de cálculo o 
capital inicial empregado. 
d) Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à 
taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, 
no regime de capitalização simples, gera um 
montante de $1.300,00. 
e) Uma aplicação de um capital de $1.000,00 à 
taxa de juro de 10% a.m., durante três meses, 
no regime de capitalização composta, gera 
juros de $331,00. 
 
2) Quais são os juros simples de R$ 12.600,00, à taxa 
de 7,5% ao ano, em 4 anos e 9 meses? 
a) R$ 4.488,75 
b) R$ 1.023,75 
c) R$ 3.780,00 
d) R$ 1.496,25 
e) R$ 5.386,50 
 
3) Analise o cabeçalho da questão abaixo, faça o 
cálculo e em seguida, assinale a alternativa correta: 
Em quanto tempo um capital de R$ 15.000,00, 
aplicado a 26,4% a.a., renderá R$ 6.930,00 de 
juros, calculado pela fórmula dos juros simples? 
a) 21 meses. 
b) 22 meses. 
c) 20 meses. 
d) 23 meses. 
e) 18 meses. 
 
4) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros 
simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja 
obtido um montante de R$ 19.050,00, o prazo 
dessa aplicação deverá ser de: 
a) 1 ano e 10 meses 
b) 1 ano e 9 meses 
c) 1 ano e 8 meses 
d) 1 ano e 6 meses 
e) 1 ano e 4 meses 
 
 
5) Assinale a alternativa correta. A quantia de R$ 
1.000,00, aplicados por 6 meses a uma taxa de 
juros de 24% ao ano, perfazem um total (capital + 
juros) de: 
a) R$ 120,00 
b) R$ 1.100,00 
c) R$ 1.102,00 
d) R$ 1.120,00 
e) R$ 1.200,00 
 
6) A fim de produzir os bens de que necessita no seu 
dia-a-dia, o Homem combina recursos naturais, 
trabalho e capital. Pode-se dizer que os 
organizadores dos sistemas produtivos recebem 
lucros e os proprietários do capital recebem 
remuneração, na forma de juros. Os juros simples 
podem ser calculados, usando-se a relação: juros 
simples = capital × taxa unitária × no de períodos 
Neste contexto, assinale a alternativa correta. 
Fórmulas: j = Cin e M = C(1 + in) 
 
a) Se colocarmos o capital de R$ 10.000,00 a 
juros simples, durante 5 meses, à taxa de 2% 
ao mês, teremos em cada mês R$ 250,00 de 
juros. 
b) O montante de R$ 10.000,00, a 2% ao mês, 
durante cinco meses, é exatamente igual ao 
montante de R$ 10.000,00 a 5% ao mês, 
durante dois meses. 
c) Se colocarmos o capital de R$ 10.000,00 a 
juros simples, durante 1 semestre, à taxa de 
5% ao mês, vamos duplicar o capital. 
d) O montante de R$ 10.000,00, a 5% ao mês, 
durante 2 meses, é exatamente igual a R$ 
10.100,00. 
e) R$ 120,00 representa os juros da capitalização 
de R$ 10.000,00, no decorrer do primeiro 
mês, quando a taxa é de 10% ao mês. 
 
7) Ao comprar um automóvel, Mário precisou fazer 
um empréstimo de R$ 6.000,00, a ser pago em 3 
parcelas mensais. A financeira trabalha com uma 
taxa de juros simples de 2% ao mês. Assinale a 
alternativa que representa o valor total que será 
pago por Mário ao final dos 3 meses. 
a) R$ 6.480,00 
b) R$ 6.360,00 
c) R$ 6.240,00 
d) R$ 6.120,00 
e) R$ 6.000,008) Um banco concedeu a um cliente um empréstimo a 
juros simples por 18 meses. Se o montante (capital 
inicial + juro) é igual a 190% do capital 
emprestado, então a taxa mensal do empréstimo é: 
a) 2% 
b) 5% 
c) 7% 
d) 10,5% 
e) 20% 
 
 
 
9) Um capital de R$ 5.500,00 foi aplicado a juros 
simples com uma taxa trimestral de 6% a.t. Se o 
montante obtido for de R$ 10.450,00, assinale a 
alternativa que representa o prazo desta aplicação. 
a) 40 meses 
b) 1 ano e 3 meses 
c) 3 anos e 6 meses 
8 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
d) 3 anos e 9 meses 
e) 5 anos e 5 meses 
 
10) Indique qual o capital que aplicado a juros simples 
à taxa de 3,6% ao mês rende R$96,00 em 40 dias. 
a) R$2.000,00 
b) R$2.100,00 
c) R$2.120,00 
d) R$2.400,00 
e) R$ 2.420,00 
 
 
GABARITO 
 
01. B 02. A 03. A 04. D 05. D 
06. B 07. B 08. B 09. D 10. A 
 
 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
 
No regime de capitalização composta, o juro 
gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa 
soma passa a render juros para o próximo período. Daí 
que surge a expressão “juros sobre juros”. 
 
Para calcular o montante de uma capitalização 
composta utilizaremos a seguinte fórmula básica: 
 
𝑀 = 𝐶 ∙ (1 + 𝑖)𝑛 
 
 
COMPARAÇÃO ENTRE JUROS SIMPLES E 
COMPOSTOS 
 
Em resumo, temos as seguintes relações 
 
 
 𝑛 = 1 
O montante simples é igual ao montante 
composto. 
 
0 < 𝑛 < 1 
O montante simples é maior do que o 
montante composto. 
 
 𝑛 > 1 
O montante simples é menor do que o 
montante composto. 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS 
 
1) O valor de um investimento de R$ 20 000,00, a 
uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao 
final de dois anos é 
a) R$ 45.000,00 b) R$47.500,00 
c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 
e) R$ 50.000,00 
 
2) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB 
com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa 
composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa 
operação foi, em reais, de (Nota: efetue as 
operações com 4 casas decimais) 
a) 20.999,66 b) 21.985,34 
c) 22.111,33 d) 22.400,00 
e) 22.498,00 
 
3) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no 
valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma 
taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais 
aos da aplicação de um outro capital no valor R$ 
10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. 
O tempo em que o segundo capital ficou aplicado 
foi igual a 
a) 22 meses b) 20 meses 
c) 18 meses d) 16 meses 
e) 15 meses 
 
4) Uma pessoa recebe uma proposta de investimento 
para hoje, quando uma quantia de R$ 200,00 fará com 
que, no final do segundo ano, o valor do montante 
seja R$ 242,00. No regime de juros compostos, a taxa 
de rentabilidade anual desse investimento é de: 
a) 5% 
b) 7,5% 
c) 10% 
d) 12,5% 
e) 15% 
 
5) Uma pessoa aplicou metade de seu capital, durante 
um ano, a uma taxa de juros compostos de 8% ao 
semestre. Aplicou o restante do capital, também 
durante um ano, a uma taxa de juros simples de 4% 
ao trimestre. A soma dos juros destas aplicações foi 
igual a R$ 4.080,00. O montante referente à parte 
do capital aplicado a juros compostos apresentou o 
valor de 
a) R$ 14.400,00. b) R$ 14.560,00. 
c) R$ 14.580,00. d) R$ 16.000,00. 
e) R$ 16.400,00. 
 
6) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro 
simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O 
montante obtido nessa aplicação foi aplicado a 
juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. 
Ao final da segunda aplicação, o montante obtido 
era de 
a) R$ 560,00 b) R$ 585,70 
c) R$ 593,20 d) R$ 616,00 
e) R$ 617,40 
 
7) Metade de um capital foi aplicada a juros 
compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de 
doze meses enquanto a outra metade foi aplicada à 
taxa de 3,5% ao mês, juros simples, no mesmo 
prazo de doze meses. Calcule o valor mais próximo 
deste capital, dado que as duas aplicações juntas 
renderam um juro de R$ 21.144,02 ao fim do 
prazo. (Considere que 1,03
12
 = 1,425760) 
a) R$ 25 000,00. b) R$ 39 000,00. 
c) R$ 31 000,00. d) R$ 48 000,00. 
e) R$ 50 000,00. 
 
8) João tomou um empréstimo de R$ 900,00 a 
juros compostos de 10% ao mês. Dois meses 
9 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
depois, João pagou R$ 600,00 e, um mês após 
esse pagamento, liquidou o empréstimo. O 
valor desse último pagamento foi, em reais, 
aproximadamente, 
a) 240,00 
b) 330,00 
c) 429,00 
d) 489,00 
e) 538,00 
 
9) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 
meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela 
convenção linear, é igual a: 
a) R$ 370,00 b) R$372,00 
c) R$ 373,00 d) R$375,10 
e) R$ 377,10 
 
10) O gráfico a seguir representa as evoluções no 
tempo do Montante a Juros Simples e do Montante 
a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. 
M é dado em unidades monetárias e t, na mesma 
unidade de tempo a que se refere à taxa de juros 
utilizada. 
 
 
Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o 
credor é mais vantajoso emprestar a juros 
a) compostos, sempre. 
b) compostos, se o período do empréstimo for 
menor do que a unidade de tempo. 
c) simples, sempre. 
d) simples, se o período do empréstimo for maior 
do que a unidade de tempo. 
e) simples, se o período do empréstimo for 
menor do que a unidade de tempo. 
 
GABARITO 
 
01. 
A 
02. 
E 
03. 
D 
04. 
 C 
05. 
C 
06. 
E 
07. 
E 
08. 
E 
09. 
D 
10. 
E 
 
 
Progressão Aritmética 
 
É uma sequência em que cada termo a partir do 
segundo é igual ao anterior somado a uma constante r 
chamada razão. 
 
Exemplo: (2,5,8,11,14,17) 
 
Notações 
 
Primeiro termo: 1 2a  
Razão: 3r  
Número de termos: 6n  
 
Termo geral: 
na 
Soma dos termos: 57nS  
 
 Para calcular a razão em uma progressão 
aritmética subtraímos qualquer termo do seu 
antecedente. 
 
5 2 8 5 11 8 3r        
 
 
PROPRIEDADES 
 
● Em uma P.A. limitada, a soma de dois termos 
equidistantes dos extremos é igual a soma dos 
extremos. 
 
● Em uma P.A., qualquer termo, com exceção dos 
extremos, é média aritmética entre o antecedente e o 
consequente. 
 
 Termo Geral 
 
 
 an = a1 + (n - 1).r 
 
 
 
Soma dos n primeiros termos 
 
1( )
2
n
n
a a n
S
 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO ESPECIAL 
 
3 termos  (x – R, x, x + R) razão = R 
 
4 termos  (x – 3y, x – y, x + y, x + 3y) razão = 2y 
 
5 termos  (x – 2R, x – R, x, x + R, x + 2R) razão = R 
 
 
 
 
1- O valor de x, de modo que x2, (x + 1)2 e (x + 3)2 
formem, nessa ordem, uma P.A., é: 
a) 3 
b) -5 
c) -7/2 
d) 3/4 
e) 
2
1
 
10 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- As idades de quatro irmãos somam 74 anos e 
formam uma P.A. ( progressão aritmética). Se o 
mais novo, Antônio, tem 9 anos menos que o 
mais velho, Pedro, quantos anos tem Pedro? 
a) 21 
b) 23 
c) 24 
d) 25 
e) 26 
 
3- O número de múltiplos de 7, entre 1000 e 
10000, é: 
a) 1280 
b) 1284 
c) 1282 
d) 1286 
e) 1288 
 
4- Três números estão em P.A. A soma deles é 15 
e o produto é 105. Qual a diferença entre o 
maior e o menor? 
 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
5- Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela 
primeira hora. A partir da segunda hora, os 
preços caem em progressão aritmética. O valor 
da segunda hora é R$ 4,00 e o da sétima é R$ 
0,50. Quanto gastará o proprietário de um 
automóvel estacionado 5 horas nesse local? 
a) R$ 12,80 
b) R$ 15,00 
c) R$ 16,20 
d) R$ 16,80 
e) R$ 17,80 
 
6- Numa P.A. de 7 termos; a soma dos dois 
primeiros é 14 e a soma dos dois últimos é 54. 
A soma dos outros três termosdessa P.A. vale: 
a) 42 
b) 45 
c) 48 
d) 51 
e) n.r.a. 
 
 
 
7- Você vê abaixo os números triangulares: 
1,3,6,... . 
 
O 60º número triangular é: 
a) 1830 
b) 1885 
c) 1891 
d) 1953 
e) 2016 
8- Considere todos os números inteiros e 
positivos dispostos, sucessivamente, em linhas 
e colunas, da forma como é mostrado abaixo. 
 
 
Se fosse possível completar essa tabela, então, na 
terceira coluna e na tricentésima quadragésima 
sexta linha apareceria o número: 
a) 2326 
b) 2418 
c) 2422 
d) 3452 
e) 3626 
 
 
 
 GABARITO 
01. C 02. B 03. D 04. A 
05. E 06. C 07. A 08. B 
 
 
11 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
 
 
É uma seqüência em que qualquer termo, a partir 
do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma 
constante q, chamada razão da P.G. 
 
Razão: q = 
1
2
a
a
2
3
a
a
 
 
CLASSIFICAÇÃO (com a1 > 0) 
 
1) Crescente. 
2) Decrescente. 
3) Constante. 
4) Alternante. 
 
 
REPRESENTAÇÃO ESPECIAL 
 
3 termos  





xq,x,
q
x
 razão = q 
 
4 termos  








3
3
xq , xq ,
q
x
 ,
q
x
 razão = q
2 
 
5 termos  








2
2
xq ,xq ,x ,
q
x
 ,
q
x
 razão = q 
 
 
 
Ex.: A soma de três números em P.G. é 39 e o 
produto entre eles é 729. Calcular os três 
números. 
 
 
PROPRIEDADES 
 
1º) Em uma P.G. limitada, o produto de dois termos 
eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos 
extremos. 
 
 (a1, a2, a3, a4, a5) 
 
 a1 . a5 = a2 . a4 = a3 . a3 
 
 
2º) Em uma P.G., qualquer termo com exceção dos 
extremos, é média geométrica entre o antecedente e o 
consequente. 
 
 (a1 , a2 , a3)  a2
2
 = a1 . a3 
 
 
Ex.: Determine o valor de x, de modo que os números 
x + 1, x + 4 e x + 10 formem, nesta ordem, uma 
P.G. 
 
 
FÓRMULA DO TERMO GERAL 
 
a2 = a1 . q 
a3 = a2 . q = a1 . q . q = a1 . q
2
 
a4 = a3 . q = a1 . q
2
 . q = a1 . q
3
 
. 
. 
. 
 
an = a1 . q
n – 1 
 
 
 
Ex.: Numa P.G. de razão 4, o primeiro termo é 8 e o 
último é 2
31
. Quantos termos tem essa P.G. ? 
 
 
 
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. 
 
1º) Limitada  Sn = 
 
1q
1q.a n
1


 
 
 
Ex.: Dar o valor de x na igualdade x + 3x + ... + 729x 
= 5465, sabendo se que os termos do 1º 
membro formam uma P.G. 
 
2º Ilimitada  –1 < q < 1, n   , q
n
  0 
 
 S = 
q1
a1

 
 
 
 
Ex.: Resolva a equação 80x + 40x + 20x + ... = 320 
sabendo-se que os termos do 1º membro 
formam uma P.G. infinita. 
 
TESTES 
 
01. Se (2, x, y, 54) é uma P.G., então: 
a) x + y = 56 
b) x + y = 24 
c) x + y = 26 
d) x + y = 54 
e) x + y = 20 
 
02. Hoje uma editora está produzindo 20.000 livros, e 
cada dia, deve produzir 30% a mais do que 
produziu no dia anterior. Quanto deverá produzir 
daqui a 5 dias? 
 
03. Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 
prestações crescente, de modo que a primeira 
prestação é de R$ 100,00 e cada uma das 
seguintes é o dobro da anterior. Qual é o preço do 
automóvel? 
 
04. Uma bola é lançada na vertical, de encontro ao 
solo, de uma altura h. Cada vez que bate no solo, 
ela sobe até a metade da altura que caiu. 
Determine a distância total percorrida pela bola 
em sua trajetória, até atingir o repouso. 
 
12 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
05. A solução da equação 
 x + 
3
x
 + 
9
x
 + 
27
x
 + ... = 60 é: 
a) 37 
b) 40 
c) 44 
d) 50 
e) 51 
 
06. Os frutos de uma árvore, atacados por uma 
moléstia, foram apodrecendo dia após dia, 
segundo os termos de uma progressão 
geométrica, isto é, no primeiro dia apodreceu 1 
fruto, no segundo dia 3 outros, no terceiro dia 9 
outros, e assim sucessivamente. Se, no sétimo 
dia, apodreceu os últimos frutos, o número de 
frutos atacados pela moléstia foi: 
a) 363 
b) 364 
c) 729 
d) 1092 
e) 1093 
07. Dada a equação: x.
4
27
...
5
1
5
3
5
9






 
podemos afirmar que 30% do valor de x é igual a: 
a) 1 
b) 
8
45
 
c) 
2
5
 
d) 
4
3
 
e) 
3
2
 
 
08. Em certo tipo de Jogo, o prêmio pago a cada 
acertador é 18 vezes o valor de sua aposta. Certo 
apostador resolve manter o seguinte esquema de 
jogo: aposta R$ 1,00 na primeira tentativa e, nas 
seguintes apostas sempre o dobro do valor da 
posta anterior. Na 11ª tentativa ele acerta. 
Assinale a alternativa que completa a frase: “o 
apostador...” 
a) Nessa tentativa apostou R$ 1000,00 
b) Investiu no jogo R$ 2.048,00 
c) Recebeu de prêmio R$ 18.430,00 
d) Obteve um lucro de R$ 16.385,00 
e) Teve um prejuízo de R$ 1.024,00 
 
09. Numa P.G de 5 termos, a soma do terceiro 
termo com o quinto é 60, e a soma do 
segundo com o quarto é 30. O produto do 
primeiro termo pela razão é: 
a)15 
b)10 
c)3 
d)2 
e) n.r.a 
10. Três números cuja soma vale 15 formam uma 
Progressão Aritmética crescente. 
Adicionando 2 ao primeiro, 5 ao segundo e 13 
ao terceiro, teremos uma Progressão 
Geométrica também crescente. O maior 
número dessa Progressão Geométrica vale: 
a) 20 
b) 25 
c) 30 
d) 18 
e) 24 
 
 
GABARITO 
 
01. B 02. 57.122 03. 
R$12.700,00 
04. 3h 
05. B 06. E 07. D 08. D 
 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
OBJETIVOS DA COMBINATÓRIA 
 
Formação de agrupamentos 
 
Contagem de agrupamentos 
 
 
Tipos de Agrupamentos 
 
Arranjo 
 
Permutação 
 
Combinação 
 
 
Critério Diferenciador 
 
Quando a ordem dos elementos é importante na 
formação do agrupamento, este agrupamento é um 
arranjo. 
Em caso contrário, é uma combinação. 
 
Observação: 
Permutação é um caso particular de arranjo quando 
m = p. 
 
m é o número de elementos disponíveis. 
 
p é o número de elementos de cada agrupamento. 
 
13 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
Fatorial de um número natural n 
 
Fatorial de um número natural n é o produto de 
todos os fatores naturais de 1 a n. 
 
n! = n(n – 1) (n – 2)...1 
 
Ex: 
 
3! = 
 
4! = 
 
0! = 
 
 
Cálculo Combinatório 
 
Arranjos simples (sem repetição do elemento) 
 
)!(
!
,
pm
m
A pm

 
 
 
Ex: A6,4 = 
 
 
 
Arranjos completos: 
 
p
pm mAr , 
 
 
Ex: Ar6,3 = 
 
 
Permutações simples: 
 
Pm = m! 
 
Ex: P5 = 
 
 
Permutações com elementos repetidos: 
 
!...!!
!...,,


a
m
Pa
m  
 
 
Combinações simples: 
 
)!(!
!
,
pmp
m
C pm

 
 
 
Ex: C8,3 = 
 
 
QUESTÕES 
1. Álvaro, Benedito, Cléber e outros dois amigos 
participam de uma corrida. Se apenas os cinco 
participaram dessa corrida, o número de 
possibilidades diferentes de maneira que Álvaro 
chegue antes que Benedito e este, por sua vez, 
chegue antes de Cléber é igual a 
a) 20. b) 24. c) 18. d) 22. e) 26 
 
2. Um grupo de amigos formado por três meninos - 
entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre 
elas Ana e Beatriz, compram ingressos para nove 
lugares localizados lado a lado, em uma mesma 
fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se 
juntas porque querem compartilhar do mesmo 
pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, 
precisam sentar-se juntos porque querem 
compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. 
Além disso, todas as meninas querem sentar-se 
juntas, e todos os meninos querem sentar-se 
juntos. Com essas informações, o número de 
diferentes maneiras que esses amigos podem 
sentar-se é igual a: 
a) 1920 
b) 1152 
c) 960 
d) 540 
e) 860 
 
3. Quer-se formar um grupo de danças com 6 
bailarinas, de modo que três delas tenham menos 
de 18 anos, que uma delas tenha exatamente 18 
anos, e que as demais tenham idade superior a 18 
anos. Apresentaram-se, para a seleção, doze 
candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a 
idade, em anos, de cada candidata, diferente das 
demais. O númerode diferentes grupos de dança 
que podem ser selecionados a partir deste 
conjunto de candidatas é igual a 
 
a) 85. 
b) 220. 
c) 210. 
d) 120. 
e) 150. 
 
4. Em uma assembleia existem 8 deputados de 
um partido A e 9 de um partido B, quantas 
comissões bipartidárias podem ser constituídas 
com 5 desses elementos e com maioria do 
partido A? 
 
 
5. Uma palavra tem 5 consoantes e 3 vogais, 
todas distintas. Quantos são os anagramas que 
podemos obter de modo que: 
 
a) As vogais fiquem juntas? 
b) As consoantes fiquem juntas: 
c) As vogais fiquem juntas e as consoantes 
14 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
também? 
6. Os pintores Antônio e Batista farão uma 
exposição de seus quadros. Antônio vai expor 3 
quadros distintos e Batista 2 quadros distintos. 
Os quadros serão expostos em uma mesma 
parede e em linha reta, sendo que os quadros 
de um mesmo pintor devem ficar juntos. Então, 
o número de possibilidades distintas de montar 
essa exposição é igual a: 
 a)5 b) 12 c) 24 d) 6 e) 15 
7. Para abrir um cofre eletrônico deve-se digitar 
uma sequência formada por quatro algarismos 
distintos, sendo que o primeiro é o triplo do 
segundo. Uma pessoa que desconhece essa 
sequência pretende abrir o cofre. Qual é o 
maior número possível de sequências que ela 
deve digitar? 
 
 
 
8. A quantidade de números inteiros 
compreendidos entre 30.000 e 65.000 que 
podemos formar utilizando somente os 
algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que não 
figurem algarismos repetidos, é: 
 
 
a) 48 
b) 66 
c) 96 
d) 120 
e) ndra 
 
9. Quantos números de 7 dígitos, maiores que 
6.000.000, podem ser formados com os 
algarismos 0, 1, 3, 4, 6, 7 e 9, sem repeti-los? 
 
a) 1.800 
b) 720 
c) 5.400 
d) 5.040 
e) 2.160 
 
10. Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa 
eletrônico de um banco mas, na hora de digitar 
a senha, esquece-se do número. Ela lembra 
que o número tem 5 algarismos, começa com 
6, não tem algarismos repetidos e tem o 
algarismo 7 em alguma posição. O número 
máximo de tentativas para acertar a senha é: 
a) 1.680 
b) 1.344 
c) 720 
d) 224 
e) 136 
 
PROBABILIDADE 
 
Experimento Aleatório 
 
Experimento aleatório é todo experimento que, 
mesmo repetido várias vezes sob condições 
semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis. 
Exemplos: 
1) Lançamento de uma moeda. 
2) Extração de uma carta de baralho. 
 
Observação: 
 
O experimento cujo resultado é previsível é 
denominado experimento determinístico. 
 
Exemplos: 
1) Velocidade com que um corpo em queda livre 
toca o solo. 
2) Temperatura em que o leite ferve. 
 
Espaço Amostral 
 
Espaço amostral de um experimento aleatório é 
conjunto de todos os resultados possíveis deste 
experimento. 
Notação: U 
 
Exemplos: 
No lançamento de um dado, temos: 
 
U = 
 
No lançamento de uma moeda temos: 
 
U = 
 
 
 
Evento 
 
Evento é o conjunto dos resultados desejados no 
experimento aleatório. Consequentemente, evento 
é qualquer subconjunto do espaço amostral. 
 
Notação: A 
 
 
Exemplo1: 
 
No lançamento de um dado, o evento obter um 
número menor que 4 é: 
 
A = 
 
 
 
OBS: Um espaço amostral é equiprovável 
quando seus elementos têm a mesma chance 
de ocorrer. 
 
Probabilidade 
 
A probabilidade de ocorrer um evento A é o 
15 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
quociente entre o número de casos favoráveis o 
número de casos possíveis. 
 
 
 
)(
)(
)(
Un
An
AP  
 
 
Observações: 
1) 0  P(A)  1 
2) A =  → P(A) = 0 
3) A = U → P(A) = 1 
 
Exemplo2: 
Tirando-se, ao acaso, uma carta de um baralho 
comum de 52 cartas, calcular a probabilidade de 
sair um rei. 
 
 
 
Probabilidade de não ocorrer um evento 
 
A é o evento “não ocorrer A”. 
 
P(A) + P (A) = 1 
 
 
Exemplo 3: 
 
No lançamento simultâneo de dois dados, calcular a 
probabilidade de obter soma diferente de 11. 
 
 
 
Adição de Probabilidades 
 
A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento 
B é igual à probabilidade de ocorrer A mais a 
probabilidade de ocorrer B menos a probabilidade 
de ocorrer A e B. 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
Se A  B =  → A e B são chamados de eventos 
excludentes. 
 
Exemplo 4: 
 
Em uma comunidade de 300 pessoas, 120 leem o 
jornal A, 200 leem o jornal B e 70 os dois. Calcular 
a probabilidade de escolhendo uma pessoa, ao 
acaso, ler A ou B. 
 
 
 
Multiplicação de Probabilidade 
 
A probabilidade de ocorrerem os eventos A e B é 
igual à probabilidade de ocorrer A vezes a 
probabilidade de ocorrer B, depois que A ocorreu. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
5- Se retirarmos sucessivamente e sem reposição 
duas cartas de um baralho, qual é a 
probabilidade de obtermos duas cartas de 
ouro? 
 
 
6- Uma urna tem 30 bolas sendo dez brancas e 
vinte pretas. Se sorteamos duas bolas, uma de 
cada vez e sem reposição, qual será a 
probabilidade de a primeira ser branca e a 
segunda ser preta. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Um casal pretende ter três filhos. Qual é a 
probabilidade de serem dois homens e uma 
mulher? 
 
 
 
2. Em uma sala de aula estão 10 crianças sendo 6 
meninas e 4 meninos. Três das crianças são 
sorteadas para participarem de um jogo. A 
probabilidade de as três crianças sorteadas serem 
do mesmo sexo é: 
a) 15% 
b) 20% 
c) 25% 
d) 30% 
e) 35% 
 
 
3. Ana tem o estranho costume de somente usar 
blusas brancas ou pretas. Por ocasião de seu 
aniversário, Ana ganhou de sua mãe quatro 
blusas pretas e cinco brancas. Na mesma 
ocasião, o pai de Ana a presenteou com quatro 
blusas pretas e duas brancas. Vítor, namorado de 
Ana, a presenteou com duas blusas brancas e 
três pretas. Ana guardou todas essas blusas - e 
apenas essas - em uma mesma gaveta. Uma 
tarde, arrumando-se para ir ao parque com Vítor, 
Ana retira, ao acaso, uma blusa dessa gaveta. A 
probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma 
das blusas pretas que ganhou de sua mãe ou uma 
das blusas brancas que ganhou de seu pai é igual 
a: 
16 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
a) 4/5 
b) 7/10 
c) 3/5 
d) 3/10 
e) 2/3 
 
 
4. No lançamento simultâneo de dois dados, 
determinar a probabilidade de termos números 
pares nas duas faces sabendo que a soma é 6. 
a) 2/5 
b) 1/18 
c) 3/18 
d) 1/4 
e) 3/5. 
 
5. Sabendo-se que a face sorteada de um dado é 
maior que 2, descubra a probabilidade de o 
número ser par. 
 
 
 
6. Numa empresa trabalham 10 homens e 5 
mulheres. Para formar uma comissão de 4 
pessoas é feito um sorteio. Qual é a 
probabilidade da comissão ser formada por 2 
homens e 2 mulheres? 
 
 
7. A figura indica três das seis faces de um dado 
não convencional. Esse dado não é 
convencional porque em suas seis faces 
aparecem apenas marcações com os números 
3, 5 e 6. 
 
 
Em um lançamento ao acaso, a probabilidade 
de sair o número 6 nesse dado é 1/3, e a de 
sair o número 3 é 1/2. Nas condições 
descritas, a soma dos números indicados nas 
seis faces desse dado é igual a 
a) 23. 
b) 29. 
c) 26. 
d) 28. 
e) 27. 
 
8. Numa urna existem 25 bolas numeradas de 1 a 
25. Extraindo-se uma bola, ao acaso, qual é a 
probabilidade de se obter um número que seja 
divisor de 15 ou divisor de 20? 
a) 3/25 
b) 10/25 
c) 8/25 
d) 4/25 
e) 1/25 
9. Dos 40 alunos de uma classe, 8 foram 
reprovados em Matemática, 10 em Física e 4 
em Matemática e Física. Se um aluno é 
escolhido aleatoriamente, sabendo que ele foi 
reprovado em Física, qual é a probabilidade de 
ter sido reprovado também em Matemática? 
 
a) 1/5 
b) 1/10 
c) 3/5 
d) 2/5 
e) 1/4 
10. Numa turma de estudantes têm-se 15 rapazes 
e 10 moças. Se escolhermos, ao acaso, dois 
dos estudantes, qual é a probabilidade de que 
sejam um rapaz e uma moça? 
a) 25% 
b) 50% 
c) 40% 
d) 20% 
e) 15% 
 
11. Uma escola comprou computadoresdas 
empresas X e Y. Quarenta por cento dos 
computadores foram comprados da empresa X 
e os demais da empresa Y. A probabilidade de 
um computador fabricado por X apresentar4 
defeito no primeiro ano de uso é 0,10 e se 
fabricado por Y é de 0,15. Se um destes 
computadores é escolhido aleatoriamente, qual 
a probabilidade percentual de ele não 
apresentar defeito no primeiro ano de uso? 
a) 85% 
b) 87% 
c) 45% 
d) 65% 
e) 34% 
 
 
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA 
 
01. Uma pesquisa coletou o preço de determinada 
mercadoria em 10 estabelecimentos e verificou 
que: 
- a média dos quatro maiores preços era R$ 36,40; 
 
- a média dos outros seis preços era R$ 34,60. 
 
A média dos 10 preços coletados nessa pesquisa 
foi: 
17 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) R$ 35,64; 
b) R$ 35,50; 
c) R$ 35,46; 
d) R$ 35,32; 
e) R$ 35,28. 
 
02. Os dados a seguir são uma amostra de 11 
salários mensais (aproximados) em reais: 
 
2.080; 1.830; 2.480; 3.010; 1.450; 1.650; 2.500; 
1.740; 3.600; 1.900; 2.840 
 
A mediana desses salários, em reais, é 
a) 1.990. 
b) 2.080. 
c) 1.650. 
d) 2.000. 
e) 2.220. 
 
 
03. A sequência a seguir mostra o número de gols 
marcados pelo funcionário Ronaldão nos nove 
últimos jogos disputados pelo time da empresa 
onde ele trabalha: 
 
2, 3, 1, 3, 0, 2, 0, 3, 1. 
 
Sobre a média, a mediana e a moda desses valores 
é verdade que: 
a) média < mediana < moda; 
b) média < moda < mediana; 
c) moda < média < mediana; 
d) mediana < moda < média; 
e) mediana < média < moda. 
 
04. A média das idades de um grupo de 4 amigos é 
de 36 anos, e o desvio padrão é igual a 2. Daqui 
a cinco anos, a média e a variância das idades 
desse grupo serão iguais a: 
a) 41 e 4. 
b) 41 e 50. 
c) 56 e 2. 
d) 56 e 50. 
e) 56 e 200. 
 
 
05. No setor A de uma empresa foi feita uma 
auditoria para descobrir quantas vezes cada 
pessoa fazia ligações pessoais do seu celular no 
período de trabalho de 14 às 17 horas de um 
único dia. 
 
O resultado está no gráfico a seguir. 
 
 
 
O número de pessoas que trabalham no setor A 
dessa empresa é 
 
a) 15. 
b) 22. 
c) 27. 
d) 29. 
e) 42. 
 
06. A média das idades de cinco agentes é 28 anos. 
 
O mais velho desses cinco agentes é Marcos, que 
tem 40 anos. 
 
A média das idades dos outros quatro agentes, em 
anos, é: 
 
a) 26; 
b) 25; 
c) 24; 
d) 23; 
e) 22. 
 
07. A média de cinco números de uma lista é 19. A 
média dos dois primeiros números da lista é 16. 
 
A média dos outros três números da lista é: 
 
a) 13; 
b) 15; 
c) 17; 
d) 19; 
e) 21. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
D(f) = [2,9] 
e 
Im(f) = [0,6] 
 
Função 
 
Definição 
 
Dados dois conjuntos A e B não vazios , chama-se 
função (ou aplicação) de A em B, representada por 
f : A  B ; y = f(x) , a qualquer relação binária 
que associa a cada elemento de A , um único 
elemento de B . 
Portanto , para que uma relação de A em B seja 
uma função , exige-se que a cada x  A esteja 
associado um único y  B , podendo entretanto 
existir y  B que não esteja associado a nenhum 
elemento pertencente ao conjunto A. 
 
 
 
 Nomenclatura 
 
Se f é uma função de A em B , então : 
 podemos escrever f : A  B 
 o conjunto A é chamado domínio da função – 
D(f). 
 o conjunto B é chamado contradomínio da função 
CD(f) 
 
Observe o gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
01.Sejam os conjuntos A = {-1,0,1,2} e B = {-
1,0,1,2,3,5,,8}. A relação g, de A em B, definida 
pelo diagrama de flechas abaixo é uma função de A 
em B. 
 
Determine: 
D(f) = { } = A 
CD(f) = { } = B 
Im(f) = { } 
 
É importante notar que uma relação de A em B não 
será função sempre que ocorrer pelo menos uma 
das seguintes situações: 
 
 algum elemento de A não faz qualquer 
correspondência em B; 
 
 
 algum elemento de A faz duas ou mais 
correspondência em B. 
 
 
 
 
 Interpretação de Gráficos 
 
Pode-se obter muitas informações a partir de um 
gráfico cartesiano. A seguir , mostraremos alguns 
casos: 
 
 Reconhecimento de funções 
 
Através do gráfico cartesiano podemos reconhecer 
se uma relação é ou não função para tanto, 
traçamos retas perpendiculares ao eixo x por 
valores pertencentes ao domínio que é o conjunto 
19 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio= [-2,4]. 
Domínio= [2,6]. 
Domínio= [-5,3]. 
partida. Se todas as perpendiculares cortarem o 
gráfico em apenas um ponto, ele representa uma 
função. 
 
Exemplos: 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
Se traçamos retas perpendiculares ao eixo x por 
valores pertencentes ao domínio que é o conjunto 
partida. Se todas as perpendiculares cortarem o 
gráfico em mais de um ponto, ele NÃO 
REPRESENTA UMA FUNÇÃO. 
Exemplos: 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercícios de Revisão 
 
01. O gráfico representa a vazão 
resultante de água, em m
3
/h, em 
um tanque, em função do tempo, 
em horas. Vazões negativas 
significam que o volume de água 
no tanque está diminuindo. 
 
 
 
São feitas as seguintes 
afirmações: 
 
 
20 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
I. No intervalo de A até B, o 
volume de água no tanque é 
constante. 
II. No intervalo de B até E, o 
volume de água no tanque está 
crescendo. 
III. No intervalo de E até H, o 
volume de água no tanque está 
decrescendo. 
IV. No intervalo de C até D, o 
volume de água no tanque está 
crescendo mais rapidamente. 
V. No intervalo de F até G, o 
volume de água no tanque está 
decrescendo mais rapidamente. 
 
É correto o que se afirma em: 
 
a) I, III e V, apenas. 
b) II e IV, apenas. 
c) I, II e III, apenas. 
d) III, IV e V, apenas. 
e) I, II, III, IV e V. 
 
 
02. O gráfico abaixo, publicado na 
Folha de S. Paulo, mostra os 
gastos (em bilhões de reais) do 
Governo Federal com os juros da 
dívida pública no período de 2004 
a 2010. 
 
 
 
Analisando o gráfico, podemos 
afirmar que o item CORRETO é: 
 
a)Em 2006, o gasto foi maior do 
que em 2005. 
b)O menor gasto foi em 2006. 
c)Em 2006, houve redução de 
20% nos gastos, em relação a 
2005. 
d)A média dos gastos nos anos de 
2009 e 2010 foi de R$ 63,7 
bilhões. 
e)Os gastos decresceram de 2006 
a 2008. 
 
03. Nos processos industriais, como na indústria de 
cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de 
produzir elevadas temperaturas e, em muitas 
situações, o tempo de elevação dessa temperatura 
deve ser controlado, para garantir a qualidade do 
produto final e a economia no processo. 
Em uma indústria de cerâmica, o forno é 
programado para elevar a temperatura ao longo do 
tempo de acordo com a função 
 
 
 
em que T é o valor da temperatura atingida pelo 
forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, 
decorrido desde o instante em que o forno é ligado. 
Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a 
temperatura for 48°C e retirada quando a 
temperatura for 200°C. 
 
O tempo de permanência dessa peça no forno é, 
em minutos, igual a 
a) 100. 
b) 108. . 
c) 128. 
d) 130. 
e) 150. 
 
04. Suponha que o número P de indivíduos de uma 
população, em função do tempo t, possa ser 
descrito de maneira aproximada pela expressão 
 
 
 
Sobre essa expressão, considere as seguintes 
afirmativas: 
 
1. No instante inicial, t = 0, a população é de 360 
indivíduos. 
2. Com o passar do tempo, o valor de P aumenta. 
3. Conforme t aumenta, a população se aproxima 
de 400 indivíduos. 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. 
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
 
 
 
 
2
7
t 20, para0 t 100
5
T t
2 16
t t 320, para t 100
125 5

   
 
   

t
3600
P .
9 3 4

 
21 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
05. O gráfico fornece os valores das ações da 
empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num 
dia em que elas oscilaram acentuadamente em 
curtos intervalos de tempo. 
 
 
 
Neste dia, cinco investidores compraram e 
venderam o mesmo volume de ações, porém em 
horários diferentes, de acordo com a seguinte 
tabela. 
 
Investidor Hora da Compra Hora da Venda 
1 10:00 15:00 
2 10:00 17:00 
3 13:00 15:00 
4 15:00 16:00 
5 16:00 17:00 
 
Com relação ao capital adquirido na compra e 
venda das ações, qual investidor fez o melhor 
negócio? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
06. Analise o gráfico a seguir. 
 
 
Crescimento dos voos domésticos 
no Brasil, por ano, 
em relação ao ano anterior, no 
período de 2006 a 2011. 
ENTRE O CÉU E O INFERNO. 
Veja, São Paulo, 
n. 2159, 7 abr. 2010, p. 70. 
[Adaptado] 
 
Analisando-se os dados 
apresentados, conclui-se que o 
número de voos 
 
a) diminuiu em 2007 e 2008. 
b) sofreu uma queda mais 
acentuada em 2008 do que em 
2007. 
c) teve aumento mais 
acentuado em 2009 do que em 
2010. 
d) é mais que o dobro em 
2010, comparado a 2009. 
e) é mais que o dobro em 
2011 (estimativa), comparado a 
2009. 
 
 
Função Polinomial do 1° Grau (ou 
Função Afim) 
 
Sejam a e b números reais e a  0. Dizemos que 
uma função f : lR  lR é função polinomial do 1º 
grau ou função afim quando está definida pela lei: 
baxxfy  )( 
 
em que: 



linearecoeficientoéb
angularecoeficientoéa
 
 
Se: 
 
 a > 0, a função y = ax + b é crescente 
 
 
 
 a < 0, a função y = ax + b é decrescente 
 
 
22 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b é a ordenada do ponto onde a reta encontra o eixo 
0y. 
 
 Propriedades da Função Afim 
 
1.O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta . 
 
2. Na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se 
b  0 f é dita função afim . 
3.O gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x)=0 e, 
portanto, no ponto de 
abscissa x = - b/a . 
4.O gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é 
chamado coeficiente linear . 
5.O valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação 
da reta . 
 
6. se a > 0 , então f é crescente . 
 
7. se a < 0 , então f é decrescente . 
 
Exemplos: 
 
01.Na função f, definida por 22)(  xxf tem-
se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O coeficiente angular da reta é a = -2, portanto 
decrescente, seu coeficiente linear é b = 2 
 
02.Seja a função afim definida por f : lR  lR : 
42)(  xxf . 
 
a = > 0 crescente 
b = 4 
 
 
 Exemplos Resolvidos 
 
01.Uma empresa fabrica componentes eletrônicos; 
quando são produzidas 1 000 unidades por mês, o 
custo de produção é R$ 35.000,00. Quando são 
fabricadas 2000 unidades por mês, o custo é . 
Admitindo que o custo mensal seja uma função 
polinomial de 1º grau em termo do número de 
unidades produzidas, podemos afirmar que o custo 
(em reais) de produção de 0 (zero) unidade é: 
A) 1 000 
B) 2 000 
C) 5 000 
D) 3 000 
E) 4 000 
 
Solução: 
 



mêsporproduzidasunidadesdenúmerox
realemmensalcustoC
:
:
 
C(x)= ax + b 
 





ba
ba
2000.000.65
1000.000.35
 
 
Resolvendo esse sistema, obtemos: 
 a = 30 e b = 5.000. 
Logo, C(x)= 30x +5.000. 
Se x = 0, então C(0)= 30.0+ 5.000 = 5.000. 
Portanto, o custo de produção de 0 (zero) unidade é 
R$ 5.000,00. 
Alternativa c. 
 
02.(Upe/03)Uma dose de certa droga é injetada em 
um paciente e, às 8h, a concentração sanguínea da 
droga é de 1,0 mg/ml. Passadas quatro horas a 
concentração passa a ser de 0,2 mg/ml. Admitindo 
que a concentração seja uma função linear do 
tempo, em quantos minutos, contados a partir das 
12h, a concentração da droga será zero? 
Solução 
Seja y a concentração (mg/mL) e x o tempo (h). 
De acordo com o enunciado, y = ax + b, em que a e 
b são constantes, tais que: 





2,012
1.8
ba
ba
 
 
 
(1, 0) 
y 
x 
(0, 2) 
 
0 
23 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo esse sistema, obtemos a =-0,2 e b =2,6. 
Então, y= 0,2x + 2,6. 
Se a concentração é zero, temos: 
0,2x = 2,6= 0  x=13 
Logo, isso acontece às 13 horas e o tempo 
decorrido 
a partir das 12 horas será : 
13 h - 12 h = 1 h = 60 min 
Portanto, a concentração da droga será zero após 
60 minutos contados a partir das 12 h. 
 
 
Exercícios de Revisão 
 
01.(UPE/2010/MAT I)O gráfico da função f : RR 
(R representa o conjunto dos números reais) é uma 
reta contendo os pontos (1,1) e (5,-7). É 
CORRETO, nessas condições, afirmar que 
 
I II 
0-0) o ponto (0,3) pertence ao gráfico de f , mas o 
ponto (2,-1) não pertence a esse gráfico. 
1-1) f é função decrescente de x. 
2-2) f(1)=1. 
3-3) f é função crescente de x. 
4-4) não existe função f com gráfico, sendo uma 
reta que contém os pontos (1,1) e (5, -7). 
 
 
02.As curvas de oferta e de demanda de um 
produto representam, respectivamente, as 
quantidades que vendedores e consumidores estão 
dispostos a comercializar em função do preço do 
produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser 
representadas por retas. Suponha que as 
quantidades de oferta e de demanda de um produto 
sejam, respectivamente, representadas pelas 
equações: 
 
QO = –20 + 4P 
QD = 46 – 2P 
 
em que QO é quantidade de oferta, QD é a 
quantidade de demanda e P é o preço do produto. 
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, 
os economistas encontram o preço de equilíbrio de 
mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam. 
Para a situação descrita, qual o valor do preço de 
equilíbrio? 
a) 5 
b) 11 
c) 13 
d) 23 
e) 33 
 
03.Como consequência da construção de futura 
estação de Metrô, estima-se que uma casa que 
hoje vale R$280000,00 tenha um crescimento linear 
com o tempo (isto é, o gráfico do valor do imóvel 
em função do tempo é uma reta), de modo que a 
estimativa de seu valor daqui a 3 anos seja de 
R$325000,00. Nessas condições, o valor estimado 
dessa casa daqui a 4 anos e 3 meses será de: 
A)R$346000,00 
B) R$345250,00 
C) R$344500,00 
D)R$343750,00 
E) R$343000,00 
04. As seguradoras de automóveis A e B 
cobram um valor anual (prêmio) mais um valor 
que o usuário deve pagar em caso de acidente 
(franquia). Paulo quer fazer um seguro para 
seu automóvel e recebeu as seguintes 
propostas das seguradoras: Seguradora A : 
Prêmio anual de R$1500,00 e franquia de 
R$1400,00 Seguradora B : Prêmio anual de 
R$1700,00 e franquia de R$ 700,00 Para valer 
a pena Paulo contratar a Seguradora A, ele não 
deve se acidentar com o carro por pelo menos 
N anos. O valor de N é: 
a) 2 
b) 4 
c) 3 
d) 5 
05.A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro 
quadrado de tela, 15 reais por metro linear de 
moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. 
Uma artista plastica precisa encomendar telas e 
molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros 
retangulares (25 cm x 50 cm). Em seguida, fez uma 
segunda encomenda, mas agora para 8 quadros 
retangulares (50 cm x 100 cm). O valor da segunda 
encomenda sera: 
a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque 
a altura e a largura dos quadros dobraram. 
b) maior do que o valor da primeira encomenda, 
mas não o dobro. 
c) a metade do valor da primeira encomenda, 
porque a altura e a largura dos quadros dobraram. 
d) menor do que o valor da primeira encomenda, 
mas não a metade. 
e) igual ao valor da primeira encomenda, porqueo 
custo de entrega será o mesmo. 
 
06.(UPE/2011) Sobre a equação reduzida da reta 
que intercepta o eixo y no ponto (0,4) e o eixo x no 
ponto (2,0), é CORRETO afirmar que o coeficiente 
angular 
A) da reta será um número positivo ímpar. 
B) da reta será um número positivo par. 
C) da reta será um número negativo cujo módulo é 
um número ímpar. 
D) da reta será um número negativo cujo módulo é 
um número par. 
E) da reta é nulo. 
24 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
Função polinomial do 2º grau 
(ou Função Quadrática) 
 
A função quadrática também chamada função 
polinomial do 2º grau, é toda função f, da forma 
cbxaxxf  2)( , onde, a, b e c são números 
reais, sendo a  0. 
 A representação gráfica da função 
quadrática é uma curva denominada parábola. 
 Considerações importantes sobre o gráfico 
da função quadrática. 
 
 Interseção da curva com o eixo das 
ordenadas (0y).Fazendo x=0 em 
cbxaxy  2
, obtemos y = c, logo a função 
quadrática intercepta o eixo dos y no ponto ( 0, c ). 
Observe: 
 
 
Concavidade 
A concavidade da parábola depende do sinal do 
coeficiente a como a  0, tem-se que: 
 
1° caso: Se a > 0, a concavidade é voltada para 
cima. 
 
 
 
2° caso :Se a < 0 , a concavidade da parábola é 
voltada para baixo. 
 
 
 
Raízes 
 
Diz-se que x1 é raiz de f(x) se, e somente se f(x1) = 
0. 
A função quadrática y = ax
2
 + bx + c apresenta 
raízes quando ax
2
 + bx + c = 0. 
Como a equação obtida é do 2º grau, suas raízes 
são dadas por: 
1x = 
a
b
2

 e 2x = 
a
b
2

, 
onde 
 = b
2
 –4ac (discriminante) 
i) Se  > 0, existem duas raízes são reais e 
distintas. 
ii) Se  = 0, existem duas raízes reais e iguais. 
iii) Se  < 0, não existem raízes reais ( existem 
raízes complexas ). 
 
 
 
 Quadro Resumo 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Convém observar que as raízes da função 
quadrática são as abscissas dos pontos em que o 
gráfico intercepta o eixo dos x. 
 
 
 
a > 0
y
x
y
x
25 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo do sinal da Função 
Quadrática 
 
 
No estudo do sinal da função quadrática, devemos 
considerar três casos: 
 
1º Caso:  > 0 
neste caso, a função admite duas raízes reais 
diferentes: x’  x’’. Observe: 
 
 
m/a:quer dizer: y tem o mesmo sinal de a; 
c/a: quer dizer: y tem o sinal contrário ao sinal de a. 
 
2º Caso:  = 0 
Neste caso, a função admite um zero real duplo: x’ 
= x’’. 
 
 
3º Caso:  < 0 
Neste caso a função não admite raiz real: 
 
Exemplos resolvidos 
 
01.Vamos discutir a variação de sinal de cada uma 
das funções abaixo: 
a) 86)( 2  xxtf 
 
• Raízes de f : 
 
420862  xouxxx 
Logo, a parábola intercepta o eixo Ox nos pontos 
de abscissas 2 e 4. 
• Concavidade voltada para cima, pois o coeficiente 
de x2 é positivo. 
Esquematizando, temos: 
 
 
Logo: 
Se x =2 ou x = 4, então f (x) = 0; 
Se 2 < x < 4, então f (x) < 0; 
Se x < 2 ou x > 4, então f (x) > 0. 
 
b) 322  xxy 
 
• Raízes de f : 
130322  xouxxx 
 
Logo, a parábola intercepta o eixo Ox nos pontos 
de abscissa -3 e 1. 
• Concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente 
de x2 é negativo. 
Esquematizando, temos: 
 
Logo: 
Se x=- 3 ou x = 1, então f (x) = 0; 
Se -3 < x < 1, então f (x) > 0; 
Se x <-3 ou x > 1, então f (x) < 0. 
 
c) 32
3
2
 x
x
y 
• Raízes de f : 
)(3032
3
2
duplaRaízxx
x
 
Logo, a parábola intercepta o eixo Ox no ponto 
de abscissa 3. 
• Concavidade voltada para cima, pois o coeficiente 
de x2 é positivo. 
Esquematizando, temos: 
 
 
 
Logo: 
Se x=3, então f (x) = 0; 
Se x  3, então f (x) > 0. 
 
 
 
 
26 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
Soma e Produto 
 
As raízes da função quadrática estão também 
relacionadas entre si. Vejamos duas importantes 
fórmulas que nos dão a soma e produto das raízes 
da função quadrática. 
Considere a função f(x )= ax
2
 + bx + c, temos que: 
 
 
Soma das raízes 
S =  21 xx 
 
 
Produto das raízes 
 P =  21 xx 
 
 
 
Exemplos 
 
01.As raízes da equação x
2
 – 2px + 8 = 0 são 
positivas e uma é o dobro da outra. Qual é o valor 
de p? 
 
 
 
 
02.Qual é o valor de m na equação x
2
-(m+5)x + m 
+1 = 0 , para que as raízes sejam simétricas? 
 
 
 
Eixo de Simetria 
 
É uma reta vertical que divide a parábola em duas 
partes simétricas. 
É portanto uma reta paralela ao eixo dos y.A média 
aritmética entre as raízes, ou seja, 
2
21 xx 
, nos 
fornece a abscissa do ponto M onde o eixo de 
simetria intercepta o eixo dos x. Como já vimos 
 
a
b
xx  21 , resulta daí que: 
a
bxx
22
21 

 
 
Observe o gráfico: 
 
 
Assim sendo, 





 0,
2a
b
M é o ponto de interseção 
do eixo de simetria com o eixo dos x. A equação do 
eixo de simetria é: 
a
b
x
2
 
 
 
 
 
Coordenadas do Vértice 
 
É o ponto V do menor (ou maior) valor da função y 
= ax
2
 + bx + c pode atingir e coincide com o ponto 
de interseção do eixo de simetria com o gráfico da 
função (parábola). 
Sendo xv e yv, as coordenadas do vértice e tendo 
em vista que: 
a
b
xv
2
 e 
a
yv
4

 , logo 





 

aa
b
V
4
,
2
é o vértice da parábola. 
 
 
 
Valor máximo (ou mínimo) da 
função 
A ordenada do vértice V, ou seja, -
a4

, representa 
o valor mínimo ou máximo da função quadrática, 
dependendo de sua concavidade. 
 
Assim, 
 
1.se a > 0 (concavidade para cima), tem-se que, 
 
a
yV
4

 é o valor mínimo da função. 
 
 
2.Se a < 0 (concavidade para baixo), tem-se que 
a
yV
4

 é o valor máximo da função. 
 
Valor
mínimo
x
y
ym
xm
Ponto de
mínimo
V
27 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Revisão 
 
 
01. A parte interior de uma taça foi gerada pela 
rotação de uma parábola em torno de um eixo z, 
conforme mostra a figura. 
 
 
 
A função real que expressa a parábola, no plano 
cartesiano da figura, é dada pela lei 
 onde C é a medida da altura 
do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se 
que o ponto V, na figura, representa o vértice da 
parábola, localizado sobre o eixo x. 
 
Nessas condições, a altura do líquido contido na 
taça, em centímetros, é 
a) 1. 
b) 2. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
 
02.A empresa WQTU Cosmético vende um 
determinado produto x, cujo custo de fabricação de 
cada unidade é dado por 3x
2
 + 232, e o seu valor 
de venda é expresso pela função 180x − 116. A 
empresa vendeu 10 unidades do produto x, contudo 
a mesma deseja saber quantas unidades precisa 
vender para obter um lucro máximo. A quantidade 
máxima de unidades a serem vendidas pela 
empresa WQTU para a obtenção do maior lucro é 
A) 10 
B) 30 
C) 58 
D) 116 
E) 232 
 
03.(UPE/2010)/MAT I) A função quadrática de x, f 
(x)= 2mx
2
+ mx+1, possui duas raízes distintas, uma 
das quais é igual a -1. Nessas condições, a outra 
raiz é igual a 
A) -1/2 
B) 1 
C) -1 
D) 1/2 
E) 0 
 
04.(UPE/04)Um laboratório farmacêutico, após 
estudo do mercado, verificou que o lucro obtido 
com a venda de x milhares do produto A era dado 
pela fórmula: L(x) =100.(12 000– x).(x – 4 000). 
Analisando-se as afirmações, tem-se que o lucro 
máximo será: 
 
 
05. A temperatura T de um forno (em graus 
centígrados) é reduzida por um sistema a partir do 
instante de seu desligamento (t = 0) e varia de 
acordo com a expressão com t 
em minutos. Por motivos de segurança, a trava do 
forno só é liberada para abertura quando o forno 
atinge a temperatura de 39°. 
 
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após 
se desligar o forno, para que a porta possa ser 
aberta?a) 19,0 
b) 19,8 
c) 20,0 
d) 38,0 
e) 39,0 
 
06.(UPE/2011) Se o valor mínimo de 5x
2
-6x+m é 
estritamente maior 3, então é CORRETO afirmar 
que necessariamente: 
A) m>4 
B) m>5 
C) m<4 
D) m<5 
E) 4<m<5 
 
Valor
máximo
x
y
yM
xM
Ponto de
máximo
V
23
f(x) x 6x C,
2
  
2t
T(t) 400,
4
  
28 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
POTÊNCIAS 
 
1) Todo número elevado a zero é igual a 1. 
 
2) Todo número elevado a um é igual a ele 
mesmo. 
 
3) Todo número, diferente de zero, elevado a um 
expoente negativo equivale a uma fração cujo 
numerador é a unidade e o denominador é a 
mesma potência com o expoente positivo. 
 
4) Todo número elevado a um expoente 
fracionário equivale a um radical sendo o 
numerador o expoente do radicando e o 
denominador o índice da raiz. 
 
5) Para se multiplicar potências de mesma base, 
conserva-se a base e somam-se os expoentes. 
 
6) Para se dividir potências de mesma conserva-
se a base e subtrai-se o segundo expoente do 
primeiro. 
 
7) Para se elevar uma potência a outra potência, 
conserva-se a base e multiplicam-se os 
expoentes. 
 
Observação:  ( )72 3 723
 
 
8) A potenciação é distributiva em relação à 
multiplicação e à divisão. 
 
9) Quando a base é positiva, a potência é sempre 
positiva. Quando a base é negativa, a potência 
é negativa, se o 
 
 
expoente for ímpar; e é positiva, se o expoente for 
par. 
 
 
 
Observação:  (-3)
2
  -3
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
 
 
01. 
22729
546754
)3x 2(
)3x (2x )3 x (2
 
 
 
 
 
 02. 
3/1
8
27






 = 
 
 
 
 
03. A expressão (4%) -1/2 é um dos modos de 
se indicar o número: 
 
 
 
 
04. Quanto vale 26 + 26 + 26 + 26 – 44: 
 
 
 
 
 
05. Se 100,3729 vale 2,36. Quanto vale 103,3729? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Características da Função Exponencial 
 
Tipo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfico: 
 
 
 
Ex:  y = 2
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex:  y = (1/2)
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação Exponencial 
 
É aquela em que a incógnita aparece no 
expoente. 
 
 
 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
Resolver as Equações: 
 
01. 4
x + 2
 = 8
x + 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. 37
3x - 6
 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. 4 - x 
5 - 2X
0,6 = 
3
5





 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. 5
x
27 = 
9
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05. 
x5232 = 512 
 
 
 FUNÇÃO EXPONENCIAL 
30 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06. 2
x 
 + 2
x + 1
 + 2
x + 2
 = 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
07. A expressão C(t) = A 1,5t nos dá o 
montante de um capital inicial A, à taxa 
anual de 50%, após um período t de 
anos de aplicação. Nessas condições, 
após quanto tempo um capital de R$ 
1.500,00 produzirá o montante de R$ 
3.375,00? 
 
a) 1 ano e 8 meses 
b) 2 anos 
c) 2 anos e 4 meses 
d) 3 anos 
e) 3 anos e 6 meses 
 
 
08. A população de uma região era de 500 
000 habitantes. Durante 5 anos de seca, 
a população decresceu 10% a cada ano. 
Indique a soma dos dígitos da população 
ao final da seca (0,90)5 = 0,5905 
 
 
09. Uma pequena empresa expande suas 
vendas em 20% ao ano. Se num 
determinado ano ela vendeu 500 
unidades, t anos, terá vendido: 
 
a) 500 x (0,2)
t
 
b) 500 x (1,2)
t
 
c) 500 x (0,02)
t
 
d) 500 x 2
t
 
e) 500 x (1,02)
t
 
 
 
10. O preço de um automóvel, P(t), 
desvaloriza-se em função do tempo t, 
dado em anos, de acordo com uma 
função de tipo exponencial P(t) = b.at, 
com a e b e sendo constantes reais. Se, 
hoje (quando t = 0), o preço do automóvel 
é de 20.000,00 reais, e valerá 16.000,00 
reais daqui a 3 anos (quando t = 3), em 
quantos anos o preço do automóvel será 
de 8.192 reais? (Dado: 8.192/20000 = 
0,84) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição 
 
 Logaritmo de um número N, em relação a uma 
base a (a > 0 e a  1), é o número a que se 
deve elevar a para obter N. 
 
 
 
 
 
 
 
a: 
 
N: 
 
x: 
 
 Exemplos: 
 
 log3 81 = 
 
 log2 32 = 
 
 log 100.000 = 
 
 
Consequências da definição 
 
01. O logaritmo de um em relação a qualquer 
base é igual a zero. 
 
02. O logaritmo da base é igual a um. 
 
03. Só existe logaritmo de número positivo. 
 
 
Sistemas de logaritmos mais utilizados. 
 
01. Sistema de logaritmos decimais ou vulgares. 
 
 
 
02. Sistema de logaritmos naturais ou 
neperianos. 
 
 
 
Propriedades operatórias dos logaritmos. 
 
01. O logaritmo de um produto é igual à soma dos 
logaritmos dos fatores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. O logaritmo de um quociente é igual ao 
logaritmo do dividendo menos o logaritmo do 
divisor. 
 
 
 
 
 
 
03. O logaritmo de uma potência é igual ao 
expoente multiplicado pelo logaritmo da base 
da potência. 
 
 
 
 
 
 
Mudança de base 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Características da função logarítmica. 
 
Tipo 
 
 
 
 
 
 
 
 Gráfico: 
 
 
Ex 1: y = log2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
y 
x 
32 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
Ex 2: y = log1/2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Qual é o logaritmo de 1/81 em relação à base 
27? 
 
 
 
 
 
 
 
02. Em relação a qual base, o logaritmo de 5 é 
igual a 3 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. Qual é o número cujo logaritmo na base ½ é 
igual a -1/2 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. Simplificar a expressão: 
 y = log7log5log232 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05. Sabendo-se que o logaritmo decimal de 2 é 
0,3010 e que o logaritmo decimal de 3 é 0,477l, 
obter: 
 
log 144 = 
 
 
 
 
 
 
log 5 = 
 
 
 
 
 
 
 
06. Simplificar a expressão: 
 
 y = log27 . log75 . log58 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
07. Se logba = m e logca = n, a  1, o valor de logcb 
vale quanto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08. Resolver a equação: 
 
 5log(x/8) + 2log(x/5) = 4logx - log 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09. Se log108 = a então log105 vale: 
y 
x 
33 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) a
3
 
b) 5
a 
- 1 
c) 
3
2a
 
d) 1 + 
3
a
 
e) 1 - 
3
a
 
 
10. (BACEN) Pedro pretende triplicar o seu capital 
numa poupança cujas regras são estabelecidas 
pela equação: 
tCtM )25,1()(  , em que t é o 
número de anos da aplicação, C é o capital 
aplicado e M é o total depois de t anos. Supondo 
que 47,03log  e 09,025,1log  , Pedro terá 
triplicado seu capital somente depois de: 
 
a) 3 anos 
b) 4 anos 
c) 5 anos 
d) 6 anos 
e) 7 anos 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
ÂNGULOS: 
 
 
1. Determine o ângulo que é o dobro do seu 
complemento. 
 
2. A soma de dois ângulos é 130° e um deles vale 
o dobro do complemento do outro. Determine 
esses dois ângulos. 
 
3. As medidas de dois ângulos somam 124°. 
Determine esses ângulos sabendo que o 
suplemento do maior é igual ao complemento 
do menor. 
 
 
4. Se r // s , então o valor de x, em cada caso 
abaixo é: 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
5. (FGV) Na figura a seguir, as medidas x, y e z 
são diretamente proporcionais aos números 
5, 20 e 25, respectivamente. O suplemento 
do ângulo de medida x tem medida igual a 
 
 
 
A) 144° B) 128° C) 116° D) 82° E) 54° 
 
34 NELSON CARNAVAL 
APOSTILADE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Observe a figura. 
Nessa figura, AB = BD = DE e o segmento BD é 
bissetriz de EBC. A medida de AÊB, em graus, é 
 
 
 
A) 96 B) 100 C) 104 D) 108 E) 110 
 
7. As retas t e s são paralelas. A medida do 
ângulo x, em graus, é: 
 
A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70 
 
 
8. Numa gincana, a equipe "Já Ganhou" recebeu o 
seguinte desafio: Na cidade de Curitiba, 
fotografar a construção localizada na rua 
Marechal Hermes no número igual à nove 
vezes o valor do ângulo  da figura a seguir: 
 
 
Se a Equipe resolver corretamente o problema irá 
fotografar a construção localizada no número: 
 
A) 990. B) 261. C) 999. D) 1026. E) 1260. 
 
9. Se, na figura, os triângulos VWS e URT são 
equiláteros, a medida, em graus, do ângulo é 
igual a: 
 
 
A)30 
B)40 
C)50 
D)60 
E) 15 
 
10. Na figura a seguir considere A = 30°, α = B/3 e 
β = C/3. No triângulo BDC o ângulo D é: 
 
A) 90° 
B) 130° 
C) 150° 
D) 120° 
E) 140° 
 
 
 
SEMELHANÇA E RELAÇÕES MÉTRICAS 
 
TEOREMA LINEAR DE THALES 
 
 “Um feixe de paralelas determina sobre duas 
transversais segmentos de reta proporcionais”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t2 t1 
A
1
 A 
r1 
B
1
 B 
r2 
r3 
C
1
 C 
35 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
 
 Dois triângulos são chamados semelhantes, se 
e somente se, possuem os três ângulos 
ordenadamente congruentes e os lados 
homólogos proporcionais. 
 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL 
 
 “Se uma reta é paralela a um dos lados de um 
triângulo e intercepta os outros dois em pontos 
distintos, então o triângulo que ela determina é 
semelhante ao primeiro”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Casos Clássicos de semelhança 
 
1
o
 CASO: A.A.A. 
 
2
o
 CASO: L.L.L. 
 
3
o
 CASO: L.A.L. 
 
 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO 
RETÂNGULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusões 
 
 Em um triângulo retângulo ... 
 
 ... qualquer cateto é média geométrica entre 
a hipotenusa e a sua projeção sobre ela. 
 
 
 ... a altura relativa à hipotenusa é média 
geométrica entre os segmentos que 
determina na hipotenusa. 
 
 
 ... o produto dos catetos é igual ao produto 
da hipotenusa pela altura. 
 
 
 ... o quadrado da hipotenusa é igual à soma 
dos quadrados dos catetos. (Teorema de 
Pitágoras) 
 
 
QUESTÕES 
 
01. Na ilustração a seguir, os segmentos BC e DE 
são paralelos 
 
 
Se BC=12, DG=7 e GE=8, quanto mede FC? 
 
A) 6,2 B) 6,3 C) 6,4 D) 6,5 E) 6,6 
 
 
02. Considere 3 retas coplanares paralelas, r, s e t, 
cortadas por 2 outras retas, conforme a figura 
 
Os valores dos segmentos identificados por x e y 
são, respectivamente, 
 
A) 3/20 e 3/40. B) 6 e 11. C) 9 e 13. D) 11 e 6. E) 
20/3 e 40/3. 
 
 
 
03. A rampa de um hospital tem na sua parte 
mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um 
paciente ao caminhar sobre a rampa percebe 
que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma 
altura de 0,8 metros. A distância em metros 
que o paciente ainda deve caminhar para 
atingir o ponto mais alto da rampa é 
B 
A C 
A 
B C 
36 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
A) 1,16 metros. 
B) 3,0 metros. 
C) 5,4 metros. 
D) 5,6 metros. 
E) 7,04 metros. 
 
04. Na figura abaixo, o quadrado ABCD está 
inscrito no triângulo XYZ. Sendo e , o 
perímetro do quadrado ABCD é, em cm: cm 
DY= 4 cm CZ= 1m 
 
 
 
A)2 
B)4 
C)6 
D)8 
E)10 
 
05. Num projeto paisagístico para um jardim, o 
terreno triangular ABC foi subdividido em 
duas áreas triangulares, I e II, e uma região 
com a forma de um paralelogramo, 
identificado por III, na figura com medidas 
em metros. Nas regiões I e II foram plantadas 
flores e a região III foi gramada. A medida do 
lado ED do paralelogramo é: 46 
 
 
A) 15 m B) 14 m C) 12 m D) 10 m E) 8 m 
 
06. Em um triângulo retângulo, as projeções dos 
catetos sobre a hipotenusa medem 16cm e 
9cm. O perímetro do triângulo é igual a: 
 
A) 45 cm. 
B) 55 cm. 
C) 60 cm. 
D) 50 cm. 
E) 12 cm 
 
07. Em determinada hora do dia, o sol projeta a 
sombra de um poste de iluminação sobre o 
piso plano de uma quadra de vôlei. Neste 
instante, a sombra mede 16m. 
Simultaneamente, um poste de 2,7m, que 
sustenta a rede, tem sua sombra projetada 
sobre a mesma quadra. Neste momento, 
essa sombra mede 4,8m.A altura do poste de 
iluminação é de 
A) 8,0m 
B) 8,5m 
C) 9,0m 
D) 7,5m 
E) 9,5m 
 
08. A figura a seguir mostra a trajetória percorrida 
por uma pessoa para ir do ponto X ao ponto Y, 
caminhando em um terreno plano e sem 
obstáculos. Le ela tivesse usado o caminho 
mais curto para ir de X a Y, teria percorrido : 
A) 15 m B) 16 m C) 17 m D) 18 m E) 19 m 
 
37 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
09. Pedro de saiu de casa com seu jipe e andou 11 
km para o norte. Em seguida, andou 6 km para 
o leste, 3 km para o sul e 2 km para oeste. 
Neste ponto, a distância de Pedro à sua casa é 
de, aproximadamente: 
a) 7 km 
b) 8 km 
c) 9 km 
d) 10 km 
e) 11 km 
10. Um poste de 8m de altura tem no alto uma forte 
lâmpada. Certa noite, uma criança de 1,60m de 
altura ficou parada a uma distância de 6m do 
poste. O comprimento da sombra dessa criança 
no chão era de: 
a) 1,5m 
b) 1,6m 
c) 1,75m 
d) 1,92m 
e) 2,00m 
Principais áreas das figuras planas 
 
1) Retângulo 
 
 
2) Quadrado 
 
 
3) Paralelogramo 
 
 
4) Trapézio 
 
 
5) Losango 
 
 
6) Triângulos 
 
a) Triângulo qualquer 
 
 
b) Triângulo retângulo 
 
 
c) Fórmula trigonométrica da área 
 
 
 
 
d) Fórmula de Heron 
 
onde p é o semiperímetro e a, b e c são os lados. 
 
e) Triângulo eqüilátero 
 
 
f) Em função dos lados e do raio da circunferência 
circunscrita 
 
 
7) Hexágono regular 
38 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Polígono regular 
 
Onde p é o semiperímetro e a é o apótema do 
polígono. 
 
9) Círculo 
 
 
Comprimento 
C = 2..r 
Área 
A = .r
2
 
 
10) Coroa circular 
 
A = .(R
2
 – r
2
) 
 
11) Setor circular 
 
A = 
𝜋.𝑅2.𝛼
360
 
 
 
Questões 
 
01) Na figura abaixo, o raio r da circunferência 
mede 8 cm. Se os arcos AB, BC e BD representam 
semicircunferências, então o valor da área em 
negrito, em cm², é: 
 
A) 64 
B) 32 
C) 24 
D) 16 
E) 8 
 
02) (UFPE/06) Na ilustração a seguir, temos um 
retângulo ABCD, com medidas AB = 12 e BC = 5, e 
duas faixas retangulares EFGH e IJKL, com EF e 
JK de mesma medida. Se a área da região colorida 
e a da região do retângulo ABCD exterior a área 
colorida são iguais, qual a medida de EF? 
 
A) 1,8 
B) 1,9 
C) 2,0 
D) 2,1 
E) 2,2 
 
03. Na composição da bandeira de Osasco, 
considere que os quatro quadrados iguais nos 
cantos da bandeira dividem a largura da 
bandeira em três partes iguais e que a faixa 
horizontal no meio da bandeira tem altura igual 
a 14 da medida do lado de um dos referidos 
quadrados. 
 
 
39 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
A razão entre a área ocupada pelos quatro 
quadrados e a área total da bandeira é : 
a) 12/20 
b) 12/21 
c) 12/25 
d) 16/27 
e) 16/31 
 
04. Um terreno tem a forma do pentágono ABCDE, 
como o da figura a seguir, em que os ângulos 
em A e B são retos e a distância AB mede 24 m. 
Sabe-se que o perímetro do terreno é de 84 m 
e que os comprimentos dos lados BC, CD, DE, e 
EA são todos iguais. 
 
 
A área desse terreno, em m
2
, é 
 
a) 412. 
b) 440.c) 468. 
d) 480. 
e) 496. 
 
 
05. O comprimento e a largura de um retângulo 
foram aumentados, cada um deles, em 20%. O 
perímetro desse retângulo aumentou em 
a) 10%. 
b) 20%. 
c) 21%. 
d) 40%. 
e) 44%. 
 
TRIGONOMETRIA 
 
Unidades de medidas de ângulos 
 
Existem algumas unidades conhecidas com as 
quais podemos medir um ângulo. A mais conhecida 
é o grau, mas há também o radiano. 
• Grau: Dividindo uma circunferência em 360 partes 
iguais, ligamos o centro a cada um desses pontos 
marcados nessa circunferência. Com essa 
operação conseguimos determinar 360 ângulos 
centrais. Cada um desses ângulos é chamado de 1 
grau. 
 
• Radiano: Outra unidade é chamada de radiano. 
Essa é uma das mais importantes e é a que mais 
faremos uso no nosso curso de trigonometria. 
Sejamos práticos: Desenhamos no chão uma 
circunferência de raio r. Agora fazemos uma 
formiga andar sobre essa circunferência (sobre a 
curva) o equivalente à r. Marcamos o lugar que ela 
pára. Agora marcamos o ângulo central que 
corresponde à esse arco que a formiga andou. 
Esse ângulo central formado mede 1 radiano (1 rd). 
 
A Conversão entre os sistemas é feita por meio de 
uma regra de três. 
180º   rad 
Comprimento de um arco 
 
Da circunferência da figura, obtemos a relação: 
 
 
 
 
 =  S = R, com  em radianos. 
 
Exercícios: 
 
1) Transforme os ângulos abaixo para radianos. 
 
a) 120º b) 270º 
c) 45º d) 160º 
 
2) Transforme os ângulos abaixo para graus. 
 
a) rad b) rad 
c) rad d) rad 
 
3) Quantos radianos percorre o ponteiro dos 
minutos de um relógio em 50 minutos? 
 
 
4) Um veículo percorre uma pista circular de raio 
300 m, com velocidade constante de 10 m/s, 
durante um minuto. Dentre os valores abaixo, o 
mais próximo da medida, em graus, do arco 
percorrido é: 
 
a) 90 b) 115 
c) 145 d) 75 e) 170 
 
 
5) Qual o comprimento de um arco de 150º numa 
circunferência de raio 10 cm? 
 
 
 
40 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
O círculo 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela de identidades 
 
 sen
2
x + cos
2
x = 1 02) 1 + tg
2
x = sec
2
x 
03) 1 + cotg
2
x =cosec
2
x 04) sen (-x) = -sen x 
05) cos (-x) = cos x 06) tg (-x) = -tg x 
07) 08) 
09) 10) 
11) 
12) 
 
13) 
 
14) 
 
15) 
 
16) 
 
17) 
 
18) sen 2x = 2 sen 
x.cos x 
19) cos 2x = cos
2
x - sen
2
x 
= 1 - 2 sen
2
x = 
= 2 cos
2
x - 1 20) 
 
 
01. Se X = 3 sen α e Y = 4 cos α, então, para 
qualquer ângulo α, tem-se que: 
a) 16X
2
 - 9 y
2
 = -144 
b) 16x
2
 + 9 y
2
 = 144 
c) 16x
2
 - 9 y
2
= 144 
d) -16x
2
 + 9 y
2
 = 144 
e) 16x
2
+ 9 y
2
 = -144 
 
 
02. Conhecidas as relações trigonométricas cos(a 
+ b) = cos a . cos b − sen a ⋅ sen b e sen(a + b) = 
sen a ⋅ cos b + sen b ⋅ cos a, 
a) Obtenha a expressão de cos 2x 
em função de cosx. 
 
b) Obtenha a expressão de tg(a + b) em função de 
tga e tgb. 
 
 
03. Sabendo que sen (a) = 2/5 e que o ângulo â 
pertence ao 2º quadrante do círculo 
trigonométrico, determine a sec (a). 
 
a) 
–𝟓.√𝟑𝟏
𝟑𝟏
 
b) 
𝟓√𝟑𝟏
𝟑𝟏
 
c) 
–𝟓.√𝟐𝟏
𝟐𝟏
 
d) –5/2 
e) 
𝟓√𝟐𝟏
𝟐𝟏
 
 
 
 
 
 
04. Determine o valor da expressão a seguir: 
Cos x . tg x . cossec x + tg2 x . cossec2 x . cos2 x 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
05. O dobro do seno de um ângulo α, onde 
temos 0 < a < 𝜋/2, é igual ao triplo do 
quadrado de sua tangente. Logo, qual o valor 
da sua secante? 
a) 23/3 
b) 25 
41 NELSON CARNAVAL 
APOSTILA DE MATEMÁTICA CBMPE NELSON CARNAVAL 
 
 
 
 
 
 
 
c) 3 
d) 3/3 
e) 2 
 
06. No intervalo [0, π] a equação tg x – 1= 0: 
a) não possui raízes. 
b) possui uma única raiz. 
c) possui apenas 2 raízes. 
d) possui exatamente 4 raízes. 
e) apresenta infinitas raízes. 
 
07. Seja x є [0, 2 π] tal que sen(x)cos(x) = 2/5. 
Então, o produto e a soma de todos os 
possíveis valores de tg(x) são, respectivamente 
a) 1 e 0 
b) 1 e 5/2 
c) -1 e 0 
d) 1 e 5 
e) -1 e -5/2 
 
08. Quantas voltas serão dadas na circunferência 
trigonométrica para se representar os 
números e -12? 
 
Calculo das razões trigonométricas para 
ângulos não notáveis. 
 
1320º 
 
120° 
 
210° 
 
330° 
 
420° 
 
33π/18