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= �. Sobre 7): de fato, apo´s esquecermos um certo nu´mero de termos das sequeˆncias, temos | qn − L1| ≤ |xn − L1| e |xn − L1| se faz ta˜o pequeno quanto quisermos. � Chamo a atenc¸a˜o para uma propriedade, que provamos como parte do item 6), e que sera´ bastante u´til: Afirmac¸a˜o 3.1. Se limn→+∞ xn = L e L 6= 0 enta˜o a partir de um certo tempo n, xn 6= 0. Em particular, se L > 0 (ou L < 0) enta˜o a partir de um certo tempo n, xn > 0 (ou xn < 0). Por u´ltimo, sera´ u´til mais tarde se introduzimos dois s´ımbolos: Definic¸a˜o 3.2. Dizemos que lim n→+∞ xn = +∞ se ∀K > 0 existe um tempo nK tal que se n ≥ nK temos xn > K. Dizemos que lim n→+∞ xn = −∞ se ∀K < 0 existe um tempo nK tal que se n ≥ nK temos xn < K. Ou seja, sequeˆncias que ficam ta˜o positivas quanto quisermos, ou sequeˆncias que ficam ta˜o negativas quanto quisermos, esperando o tempo n suficiente. Exemplos: xn = n 2 e xn = −n2, respectivamente. 4. Exerc´ıcios Exerc´ıcio 4.1. Exemplifique com sequeˆncias (xn)n bem simples a diferenc¸a entre as seguintes frases: i) a partir de um certo tempo n a sequeˆncia xn dista de L menos que um � > 0 e ii) existem tempos n arbitrariamente grandes tais que xn dista de L menos que um � > 0. Exerc´ıcio 4.2. Para as sequeˆncias (xn)n abaixo e para a func¸a˜o y = f(x) = 1 x2 , diga o formato da sequeˆncia ( f(xn) )n: i) xn = 1√ n , ii) xn = 1 n , iii) xn = n 2. 4. EXERCI´CIOS 54 Exerc´ıcio 4.3. Explique se existem ou na˜o os limites das seguintes sequeˆncias: i) xn := 5n, ii) xn := (−1)n 5, iii) xn := (−1)n (5 + 1n), iv) xn := (−1)n 5n v) xn := (−1)n 1n . vi) xn = 1 n + 2 n + 3 n , vii) xn = 1 n · 2 n · 3 n . Exerc´ıcio 4.4. No dia-a-dia sabemos que todo gremista gosta de azul, mas nem todos que gostam de azul sa˜o gremistas. Tratando-se agora de sequeˆncias xn e zn, deˆ exemplos onde na˜o existem lim n→+∞ xn ou lim n→+∞ zn mas que no entanto existam: lim n→+∞ (xn + zn) ou lim n→+∞ (xn · zn). Exerc´ıcio 4.5. (resolvido) Prove duas propriedades fundamentais de limites: i) se xn < 0 ∀n e se limxn = L enta˜o L ≤ 0. Deˆ exemplo onde todo xn < 0 mas onde L = 0. ii) se limxn = L e se ∀n xn ≤ zn ≤ L, enta˜o limzn = L. Exerc´ıcio 4.6. Usando algumas sequeˆncias ja´ estudadas em aula e propriedades de +,−, ·, / de sequeˆncias, calcule: lim n→+∞ 3 · (2− 1 n + 1 n2 ), lim n→+∞ 300n2 + 35n+ 1000 n3 + n , lim n→+∞ 300n2 + 35n+ 1000 150n2 + n+ 10000 , lim n→+∞ 10123456789 n , lim n→+∞ 30000000n+ 1200000 n2 , lim n→+∞ 2n7 + 35n+ 1000 3n7 + n + 10000 . Dica: fatore n a` forc¸a no numerador e no denominador as poteˆncias mais altas e simplifique, antes de passar ao limite. Exerc´ıcio 4.7. As sequeˆncias a seguir tendem a zero. Dado � > 0 determine qual n (em func¸a˜o de �) e´ suficiente para termos |xn| < � nas seguintes sequeˆncias: a): xn = 1 n4 , b): xn = 1√ n , c): xn = 1 4 √ n Exerc´ıcio 4.8. A sequeˆncia xn = 1 n fica dentro do intervalo [0, 1] e e´ decrescente, ou seja xn+1 ≤ xn, ∀n. CAPI´TULO 4. SEQUEˆNCIAS E SEUS LIMITES 55 Ja´ a sequeˆncia xn = 1− 1n fica tambe´m dentro do intervalo [0, 1] mas e´ crescente, ou seja xn+1 ≥ xn, ∀n. E´ verdade o seguinte Teorema: sequeˆncias que ficam dentro de algum intervalo e que sa˜o ou bem crescentes ou bem decrescentes convergem para algum limite. Veja em quais sequeˆncias a seguir pode-se aplicar esse Teorema: a): xn = 1 5n2 , b): xn = 1 5n , c): xn = (−2)n n , d): xn = (−1)2n n , e): xn = (−1)2n+1 n . CAP´ıTULO 5 Limites de func¸o˜es definidas em intervalos Neste Curso usaremos a noc¸a˜o de continuidade fortemente quando calcularmos algumas Derivadas e mais adiante na teoria de Integrac¸a˜o do Cap´ıtulo 21. Daremos sua definic¸a˜o precisa no pro´ximo Cap´ıtulo. Mas para isso, antes precisamos entender a noc¸a˜o de limite de func¸o˜es definidas em intervalos. Ate´ agora so´ vimos limites de um tipo de func¸a˜o, cujo domı´nio sa˜o os Naturais, as chamadas sequeˆncias. Agora vamos definir: Definic¸a˜o 0.1. Seja uma func¸a˜o f : I → R, y = f(x) definida num intervalo I. Seja x tal que exista alguma sequeˆncia xn ∈ I \ {x} com limn→+∞ xn = x. Dizemos que func¸a˜o f tem limite L quando x tende a x, denotado por lim x→x f(x) = L, L ∈ R, se para toda sequeˆncia xn contida em I \ {x} lim n→+∞ xn = x temos lim n→+∞ f(xn) = L. Observac¸o˜es importantes sobre a Definic¸a˜o 0.1: • O ponto importante nesta definic¸a˜o e´ que, na˜o importa quantas sequeˆncias tomemos com limn→+∞ xn = x, sempre as sequeˆncias f(xn) tendem para o mesmo nu´mero L. • O fato de que na˜o seja relevante como xn se aproxima de x, mas apenas que xn se aproxima x, fica vis´ıvel no s´ımbolo que usamos: lim x→x f(x). • O leitor vera´ mais tarde que a`s vezes x na˜o esta´ no domı´nio das func¸o˜es, ou seja, que na˜o faz sentido perguntar por quanto a func¸a˜o vale nele, mas que, como x esta´ arbitrariamente pro´ximo do domı´nio dessas func¸o˜es, podemos perguntar quanto a func¸a˜o vale em pontos do domı´nio cada vez mais pro´ximos dele. • o valor f(x) pode ser bem diferente de limx→x f(x). Por isso tomamos sequeˆncias xn contidas em I \ {x} (ou seja, que na˜o valem nunca x). 57 1. OPERAC¸O˜ES ELEMENTARES COM LIMITES DE FUNC¸O˜ES 58 1. Operac¸o˜es elementares com limites de func¸o˜es A noc¸a˜o de limite de func¸o˜es foi constru´ıda a partir da de limite de sequeˆncias ; assim que e´ natural que as propriedades de limites de sequeˆncias repercutam nas dos limites de func¸o˜es definidas em intervalos. Teorema 1.1. (Propriedades fundamentais de limites de func¸o˜es) Sejam f e g cujos domı´nios sa˜o intervalos e seja x tal que existam sequeˆncias nos domı´nios dessas func¸o˜es que tendam a ele. Suponha que existam: lim x→x f(x) = L1 e lim x→x g(x) = L2. Enta˜o: 1) A func¸a˜o soma f + g tem lim x→x (f + g)(x) = L1 + L2. 2) A func¸a˜o diferenc¸a f − g tem lim x→x (f − g)(x) = L1 − L2. 3) Se C ∈ R e´ uma constante, enta˜o a func¸a˜o (C · f)(x) := C · f(x) tem lim x→x (C · f)(x) = C · L1 4) Suponha uma func¸a˜o q(x) com o mesmo domı´nio da f(x) tal que |q(x)| ≤ K, ∀x. Suponha adicionalmente que L1 = 0. Enta˜o lim x→x ( f(x) · q(x) ) = 0. 5) A func¸a˜o produto (f · g)(x) tem lim x→x (f · g)(x) = L1 · L2. 6) Se L2 6= 0, enta˜o: i) se x e´ suficientemente pro´ximo de x enta˜o g(x) 6= 0 e ii) limx→x f(x) g(x) = L1 L2 . 7) Suponha uma outra func¸a˜o q(x) definida no mesmo domı´nio e que adicional- mente f(x) ≤ q(x) ≤ L1. Enta˜o lim x→x q(x) = lim x→x f(x) = L1. Demonstrac¸a˜o. Prova do Item 1): Queremos saber se lim n→+∞ ( f(xn) + g(xn) ) = L1 + L2, quando tomamos qualquer sequeˆncia xn com lim n→+∞ xn = x. Mas por hipo´tese, limn→+∞ f(xn) = L1 e limn→+∞ g(xn) = L2 , quando tomamos qualquer sequeˆncia xn com limn→+∞ xn = x. CAPI´TULO 5. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DEFINIDAS EM INTERVALOS 59 Ora, pelo item 1) do Teorema 3.1, aplicado a`s sequeˆncias f(xn) e g(xn), concluimos que limn→+∞ ( f(xn) + g(xn) ) = L1 + L2. A prova de outros itens fica para o leitor, bastando combinar a Definic¸a˜o 0.1 com alguns itens do Teorema 3.1, bem como com a Afirmacao 3.1. � 2. A definic¸a˜o usual com � e δ Na maioria dos livros texto de Ca´lculo, o limite de uma func¸a˜o definida em um intervalo e´ definido assim: Definic¸a˜o 2.1. Dizemos que f tende a L quando x tende ao x, ou em s´ımbolos: lim x→x f(x) = L se ∀� > existe δ > 0 tal que se 0 < |x− x| < δ enta˜o |f(x)− L| < �. Observac¸o˜es: • pense em � > 0 como um nu´mero pequeno, que impo˜e o desafio de se encon- trar o δ > 0 suficiente para termos |f(x)−L| < �, desde que 0 < |x−x| < δ. • o s´ımbolo ∀� > 0 (para todo � > 0)