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= �.
Sobre 7): de fato, apo´s esquecermos um certo nu´mero de termos das sequeˆncias,
temos
| qn − L1| ≤ |xn − L1|
e |xn − L1| se faz ta˜o pequeno quanto quisermos.
�
Chamo a atenc¸a˜o para uma propriedade, que provamos como parte do item 6), e
que sera´ bastante u´til:
Afirmac¸a˜o 3.1. Se limn→+∞ xn = L e L 6= 0 enta˜o a partir de um certo tempo n,
xn 6= 0. Em particular, se L > 0 (ou L < 0) enta˜o a partir de um certo tempo n,
xn > 0 (ou xn < 0).
Por u´ltimo, sera´ u´til mais tarde se introduzimos dois s´ımbolos:
Definic¸a˜o 3.2. Dizemos que
lim
n→+∞
xn = +∞
se ∀K > 0 existe um tempo nK tal que se n ≥ nK temos xn > K. Dizemos que
lim
n→+∞
xn = −∞
se ∀K < 0 existe um tempo nK tal que se n ≥ nK temos xn < K.
Ou seja, sequeˆncias que ficam ta˜o positivas quanto quisermos, ou sequeˆncias que
ficam ta˜o negativas quanto quisermos, esperando o tempo n suficiente. Exemplos:
xn = n
2 e xn = −n2, respectivamente.
4. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 4.1. Exemplifique com sequeˆncias (xn)n bem simples a diferenc¸a entre as
seguintes frases:
i) a partir de um certo tempo n a sequeˆncia xn dista de L menos que um � > 0 e
ii) existem tempos n arbitrariamente grandes tais que xn dista de L menos que
um � > 0.
Exerc´ıcio 4.2. Para as sequeˆncias (xn)n abaixo e para a func¸a˜o y = f(x) =
1
x2
, diga
o formato da sequeˆncia ( f(xn) )n:
i) xn =
1√
n
,
ii) xn =
1
n
,
iii) xn = n
2.
4. EXERCI´CIOS 54
Exerc´ıcio 4.3.
Explique se existem ou na˜o os limites das seguintes sequeˆncias:
i) xn := 5n,
ii) xn := (−1)n 5,
iii) xn := (−1)n (5 + 1n),
iv) xn := (−1)n 5n
v) xn := (−1)n 1n .
vi) xn =
1
n
+ 2
n
+ 3
n
,
vii) xn =
1
n
· 2
n
· 3
n
.
Exerc´ıcio 4.4.
No dia-a-dia sabemos que todo gremista gosta de azul, mas nem todos que gostam
de azul sa˜o gremistas.
Tratando-se agora de sequeˆncias xn e zn, deˆ exemplos onde na˜o existem
lim
n→+∞
xn ou lim
n→+∞
zn
mas que no entanto existam:
lim
n→+∞
(xn + zn) ou lim
n→+∞
(xn · zn).
Exerc´ıcio 4.5. (resolvido)
Prove duas propriedades fundamentais de limites:
i) se xn < 0 ∀n e se limxn = L enta˜o L ≤ 0. Deˆ exemplo onde todo xn < 0 mas
onde L = 0.
ii) se limxn = L e se ∀n xn ≤ zn ≤ L, enta˜o limzn = L.
Exerc´ıcio 4.6. Usando algumas sequeˆncias ja´ estudadas em aula e propriedades de
+,−, ·, / de sequeˆncias, calcule:
lim
n→+∞
3 · (2− 1
n
+
1
n2
), lim
n→+∞
300n2 + 35n+ 1000
n3 + n
,
lim
n→+∞
300n2 + 35n+ 1000
150n2 + n+ 10000
, lim
n→+∞
10123456789
n
,
lim
n→+∞
30000000n+ 1200000
n2
, lim
n→+∞
2n7 + 35n+ 1000
3n7 + n + 10000
.
Dica: fatore n a` forc¸a no numerador e no denominador as poteˆncias mais altas e
simplifique, antes de passar ao limite.
Exerc´ıcio 4.7. As sequeˆncias a seguir tendem a zero. Dado � > 0 determine qual
n (em func¸a˜o de �) e´ suficiente para termos |xn| < � nas seguintes sequeˆncias: a):
xn =
1
n4
, b): xn =
1√
n
, c): xn =
1
4
√
n
Exerc´ıcio 4.8. A sequeˆncia xn =
1
n
fica dentro do intervalo [0, 1] e e´ decrescente, ou
seja
xn+1 ≤ xn, ∀n.
CAPI´TULO 4. SEQUEˆNCIAS E SEUS LIMITES 55
Ja´ a sequeˆncia xn = 1− 1n fica tambe´m dentro do intervalo [0, 1] mas e´ crescente, ou
seja xn+1 ≥ xn, ∀n. E´ verdade o seguinte Teorema: sequeˆncias que ficam dentro
de algum intervalo e que sa˜o ou bem crescentes ou bem decrescentes convergem para
algum limite.
Veja em quais sequeˆncias a seguir pode-se aplicar esse Teorema: a): xn =
1
5n2
, b):
xn =
1
5n
, c): xn =
(−2)n
n
, d): xn =
(−1)2n
n
, e): xn =
(−1)2n+1
n
.
CAP´ıTULO 5
Limites de func¸o˜es definidas em intervalos
Neste Curso usaremos a noc¸a˜o de continuidade fortemente quando calcularmos
algumas Derivadas e mais adiante na teoria de Integrac¸a˜o do Cap´ıtulo 21.
Daremos sua definic¸a˜o precisa no pro´ximo Cap´ıtulo.
Mas para isso, antes precisamos entender a noc¸a˜o de limite de func¸o˜es definidas
em intervalos. Ate´ agora so´ vimos limites de um tipo de func¸a˜o, cujo domı´nio sa˜o os
Naturais, as chamadas sequeˆncias.
Agora vamos definir:
Definic¸a˜o 0.1. Seja uma func¸a˜o f : I → R, y = f(x) definida num intervalo I. Seja
x tal que exista alguma sequeˆncia xn ∈ I \ {x} com limn→+∞ xn = x.
Dizemos que func¸a˜o f tem limite L quando x tende a x, denotado por
lim
x→x
f(x) = L, L ∈ R,
se para toda sequeˆncia xn contida em I \ {x}
lim
n→+∞
xn = x
temos
lim
n→+∞
f(xn) = L.
Observac¸o˜es importantes sobre a Definic¸a˜o 0.1:
• O ponto importante nesta definic¸a˜o e´ que, na˜o importa quantas sequeˆncias
tomemos com limn→+∞ xn = x, sempre as sequeˆncias f(xn) tendem para o
mesmo nu´mero L.
• O fato de que na˜o seja relevante como xn se aproxima de x, mas apenas que
xn se aproxima x, fica vis´ıvel no s´ımbolo que usamos:
lim
x→x
f(x).
• O leitor vera´ mais tarde que a`s vezes x na˜o esta´ no domı´nio das func¸o˜es, ou
seja, que na˜o faz sentido perguntar por quanto a func¸a˜o vale nele, mas que,
como x esta´ arbitrariamente pro´ximo do domı´nio dessas func¸o˜es, podemos
perguntar quanto a func¸a˜o vale em pontos do domı´nio cada vez mais pro´ximos
dele.
• o valor f(x) pode ser bem diferente de limx→x f(x). Por isso tomamos
sequeˆncias xn contidas em I \ {x} (ou seja, que na˜o valem nunca x).
57
1. OPERAC¸O˜ES ELEMENTARES COM LIMITES DE FUNC¸O˜ES 58
1. Operac¸o˜es elementares com limites de func¸o˜es
A noc¸a˜o de limite de func¸o˜es foi constru´ıda a partir da de limite de sequeˆncias ;
assim que e´ natural que as propriedades de limites de sequeˆncias repercutam nas dos
limites de func¸o˜es definidas em intervalos.
Teorema 1.1. (Propriedades fundamentais de limites de func¸o˜es)
Sejam f e g cujos domı´nios sa˜o intervalos e seja x tal que existam sequeˆncias nos
domı´nios dessas func¸o˜es que tendam a ele.
Suponha que existam:
lim
x→x
f(x) = L1 e lim
x→x
g(x) = L2.
Enta˜o:
1) A func¸a˜o soma f + g tem
lim
x→x
(f + g)(x) = L1 + L2.
2) A func¸a˜o diferenc¸a f − g tem
lim
x→x
(f − g)(x) = L1 − L2.
3) Se C ∈ R e´ uma constante, enta˜o a func¸a˜o (C · f)(x) := C · f(x) tem
lim
x→x
(C · f)(x) = C · L1
4) Suponha uma func¸a˜o q(x) com o mesmo domı´nio da f(x) tal que |q(x)| ≤ K,
∀x. Suponha adicionalmente que L1 = 0. Enta˜o
lim
x→x
( f(x) · q(x) ) = 0.
5) A func¸a˜o produto (f · g)(x) tem
lim
x→x
(f · g)(x) = L1 · L2.
6) Se L2 6= 0, enta˜o: i) se x e´ suficientemente pro´ximo de x enta˜o g(x) 6= 0 e ii)
limx→x
f(x)
g(x)
= L1
L2
.
7) Suponha uma outra func¸a˜o q(x) definida no mesmo domı´nio e que adicional-
mente f(x) ≤ q(x) ≤ L1. Enta˜o
lim
x→x
q(x) = lim
x→x
f(x) = L1.
Demonstrac¸a˜o.
Prova do Item 1): Queremos saber se
lim
n→+∞
( f(xn) + g(xn) ) = L1 + L2,
quando tomamos qualquer sequeˆncia xn com
lim
n→+∞
xn = x.
Mas por hipo´tese, limn→+∞ f(xn) = L1 e limn→+∞ g(xn) = L2 , quando tomamos
qualquer sequeˆncia xn com limn→+∞ xn = x.
CAPI´TULO 5. LIMITES DE FUNC¸O˜ES DEFINIDAS EM INTERVALOS 59
Ora, pelo item 1) do Teorema 3.1, aplicado a`s sequeˆncias f(xn) e g(xn), concluimos
que limn→+∞ ( f(xn) + g(xn) ) = L1 + L2.
A prova de outros itens fica para o leitor, bastando combinar a Definic¸a˜o 0.1 com
alguns itens do Teorema 3.1, bem como com a Afirmacao 3.1. �
2. A definic¸a˜o usual com � e δ
Na maioria dos livros texto de Ca´lculo, o limite de uma func¸a˜o definida em um
intervalo e´ definido assim:
Definic¸a˜o 2.1. Dizemos que f tende a L quando x tende ao x, ou em s´ımbolos:
lim
x→x
f(x) = L
se ∀� > existe δ > 0 tal que se 0 < |x− x| < δ enta˜o |f(x)− L| < �.
Observac¸o˜es:
• pense em � > 0 como um nu´mero pequeno, que impo˜e o desafio de se encon-
trar o δ > 0 suficiente para termos |f(x)−L| < �, desde que 0 < |x−x| < δ.
• o s´ımbolo ∀� > 0 (para todo � > 0)