aula11- Mecânica - Momento de uma forca em relacao a um eixo

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Mecânica Geral 1 
AULA 11: 
 RESULTANTE DE 
SISTEMAS DE FORÇA 
 
Momento de uma força em 
relação a um eixo 
 
2012 
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Momento de uma força em relação a 
um eixo específico 
• Quando um momento é calculado em relação a um 
ponto, seu eixo é sempre perpendicular ao plano contendo 
a força e o braço de momento. 
• Algumas vezes é importante encontrar o componente 
desse momento ao longo de um eixo específico que passa 
pelo ponto. 
 
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Momento de uma força em relação a 
um eixo específico 
• Análise escalar: considere a estrutura tubular apresentada 
na figura. 
 
 
 Mo = (20 N).(0,5 m) 
 Mo = 10 N.m 
 
 
• O momento Mo tende a girar o conjunto em relação ao 
eixo Ob. 
•Podemos querer e determinar My de Mo, já que esse 
componente tende a desparafusar o cano da flange em O. 
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Momento de uma força em relação a 
um eixo específico 
• Da figura tem-se que 
My = (3/5).(10 N.m) = 6 N.m 
• Em vez de obter My a partir de Mo podemos determinar My 
diretamente determinando o braço de momento até o eixo y. 
• Da figura verifica-se que d = 0,3 m e, portanto, 
My = (0,3).(20 N.m) = 6 N.m 
• Em geral se a linha de ação de F é perpendicular a 
qualquer eixo específico aa, |M| em relação ao eixo é dada 
por 
Ma = F.da 
em que da é a distância mais curta ou perpendicular a linha 
de ação de F. 
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Momento de uma força em relação a 
um eixo específico 
Se uma força horizontal F é aplicada à alavanca da chave de cabeça flexível, esta tende 
a girar o soquete no ponto A em relação ao eixo z. Esse efeito é provocado pelo 
momento de F em relação ao eixo z. O momento máximo é obtido quando a chave está 
no plano horizontal, porque, nesse caso, o braço do momento tem a mesma extensão da 
alavanca da chave, isto é, (Mz)max = Fd. Se a chave não está na posição horizontal, então 
o momento em relação ao eixo z é determinado pe Mz = Fd’, onde d’ é a distância 
perpendicular da linha de ação da força até o eixo. Pode-se também determinar esse 
momento primeiro encontrando o momento de F em relação à A que é MA = Fd, e em 
seguida encontrando a projetçaão dese moemnto ao longo de z. 
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Momento de uma força em relação a 
um eixo específico 
• Análise vetorial: considere a estrutura tubular 
apresentada na figura 
 
 Mo= rA x F 
 Mo= (0,3i + 0,4j) x (-20k) 
 Mo= (-8i + 6j) N.m 
 
 
• O componente My é dado por: 
My = Mo.ua = (-8i + 6j).j = 6 N.m 
A análise vetorial é vantajosa quando o braço de momento 
é dificil de determinar. 
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Momento de uma força em relação a 
um eixo específico 
• Considere o corpo de mostrado na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Deseja-se determinar a tendência de giro em torno do 
eixo aa’ devido à ação de F. 
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Momento de uma força em relação a 
um eixo específico 
• A tendência de giro é determinada pelo componente Ma 
• Primeiramente calculamos o momento em relação à 
qualquer ponto no eixo aa’, ou seja, 
 Mo= r x F 
• A intensidade de Ma é dada por 
 Ma= Mo cos θ = Mo.ua 
 Ma= ua.(r x F) 
que pode ser escrito como 
 
 
 
 
onde uax, uax e uax são as componentes de ua na direção de aa’. 
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Momento de uma força em relação a 
um eixo específico 
• Uma vez calculado Ma pode-se expressar Mo como um 
vetor cartesiano 
 Mo= Mo.ua = ua.(r x F). ua. 
• Se o momento resultante de uma série de forças deve ser 
calculado em relação ao eixo aa’, 
então os componentes dos momen- 
tos devem ser somados algebrica- 
mente pois encontram-se no mesmo 
eixo. 
A intensidade de Mo é dada por 
 Mo= ∑[ua.(r x F)] = ua. ∑ (r x F) 
 
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Momento de uma força em relação a 
um eixo específico 
O vento soprando na placa de trânsito cria uma força 
resultante F que tende a derrubar a placa devido ao 
momento MA criado em relação ao eixo a – a. O 
momento de F em relação a um ponto A sobre o eixo 
é MA = r x F. A projeção desse momento ao longo do 
eixo, cuja direção é definida pelo vetor unitário uA é 
MA = uA .(r x F). Caso esse momento seja calculado 
usando-se métodos escalares, a distância 
perpendicular da ação da liha de força até o eixo a – a 
deverá ser denominada, o que nesse caso, tornará a 
tarefa mais difícil. 
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Exemplo 
A força F = (-40i + 20j + 10k) N atua no ponto A 
mostrado na figura abaixo. Determine os momentos dessa 
força em relação aos eixos x e a. 
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Exemplo 
A barra mostrada na figura abaixo é sustentada por dois 
grampos em A e B. Determine o momento MAB produzido 
por F = (- 600i + 200j – 300k) N, que tende a girar a barra 
em torno do eixo AB. 
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Momento em relação a um eixo 
• Quando o momento de uma força é calculado em relação 
a um ponto, seu eixo é sempre perpendicular ao plano 
contendo a força e o braço de momento. 
• É importante encontrar o componente desse momento ao 
longo de um eixo que passa pelo ponto. 
 
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Momento em relação a um eixo 
• Quando o momento de uma força é calculado em relação 
a um ponto, seu eixo é sempre perpendicular ao plano 
contendo a força e o braço de momento. 
• É importante encontrar o componente desse momento ao 
longo de um eixo que passa pelo ponto. 
 
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Exemplo 
A força F = (-40i + 20j + 10k)N atua no ponto A mostrado 
na figura abaixo. Determine os momentos dessa força em 
relação aos eixos x e a. 
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Exemplo 
A barra mostrada na figura abaixo é sustentada por dois 
grampos em A e B. Determine o momento MAB produzido 
por F = { - 600i + 200j – 300k} N, que tende a girar a 
barra em torno do eixo AB.