CAPÍTULO III - Introdução à Teoria Quântica dos sólidos - Semiconductor Physics And Devices 3rd ed. - J. Neamen

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N 
CAPÍTULO 
3 
 
Introdução à Teoria 
Quântica dos sólidos 
 
 
PRÉ-VISUALIZAÇÃO 
 
 
 
o último capítulo, foi aplicado a mecânica quântica e a equação de Schrödinger 
para determinar o comportamento dos elétrons na presença de várias funções 
potenciais. Verificou-se que uma característica importante de um elétron, que 
ele pode assumir apenas valores discretos de energia, isto é, as energias são quantizadas. 
Também discutimos o princípio de exclusão de Pauli, que afirmou que apenas um 
elétron é permitido para ocupar um determinado estado quântico. Neste capítulo, vamos 
generalizar esses conceitos para o elétron em uma rede cristalina. 
Um dos nossos objetivos é determinar as propriedades elétricas de um material 
semicondutor, que vamos usar para desenvolver as características corrente-tensão de 
dispositivos semicondutores. Para isto, temos duas tarefas neste capítulo, determinar as 
propriedades dos elétrons em uma estrutura de cristal e determinar as características 
estatísticas do grande número de elétrons em um cristal. 
Para começar, vamos expandir o conceito de energias discretas permitidas do 
elétron que ocorrem em um único átomo de uma banda de energias permitidas de 
elétrons em um único cristal sólido. Primeiro vamos qualitativamente discutir a 
viabilidade das bandas de energia permitidos em um cristal e, em seguida, iremos 
desenvolver uma derivação matemática mais rigorosa dessa teoria usando a equação de 
Schrödinger. Esta teoria banda de energia é um princípio básico da física de material 
semicondutor e pode também ser usada para explicar as diferenças de características 
eléctricas entre metais, isolantes e semicondutores. 
Uma vez que corrente num sólido é devido ao fluxo líquido de carga, que é 
importante para determinar a resposta de um elétron no cristal a uma força externa 
aplicada, tal como um campo elétrico. o movimento de um elétron em uma estrutura é 
de forma diferente de um elétron no espaço livre. Vamos desenvolver um conceito que 
nos permite relacionar o comportamento da mecânica quântica dos elétrons em um 
cristal com a mecânica clássica de Newton. 
Esta análise conduz a um parâmetro chamado de massa efetiva de elétrons. como 
parte desse desenvolvimento, vamos descobrir que podemos definir uma nova partícula 
em um semicondutor chamado de lacuna. o movimento de ambos os elétrons e lacunas 
dá origem a uma corrente no semicondutor. 
Como o número de elétrons em um semicondutor é muito grande, é impossível seguir o 
movimento de cada partícula individual. Vamos desenvolver o comportamento 
estatístico dos elétrons em um cristal, observando que o princípio de exclusão de Pauli é 
um fator importante na determinação da lei estatística que os elétrons devem seguir. A 
função de probabilidade resultante comprovadamente determina a distribuição de 
elétrons suficientemente entre os estados de energia. a teoria de banda de energia e a 
função de probabilidade será usado extensivamente no próximo capítulo, quando 
desenvolvemos a teoria do semicondutor em equilíbrio. 
 
3.1| BANDAS DE ENERGIA PERMITIDAS E PROIBIDAS 
 
No último capítulo, tratamos de um elétron, ou átomo hidrogénio. Esta análise mostrou 
que a energia do elétron ligado é quantificado: Apenas valores discretos de energia de 
elétrons são permitidos. A densidade de probabilidade radial para o eletron também foi 
determinada. Esta função dá a probabilidade de encontrar o eletron de uma determinada 
distância a partir do núcleo e mostra que o eletron não está localizado em um 
determinado raio. Nós podemos extrapolar os resultados de um único átomo para um 
cristal e qualitativamente derivar os conceitos de bandas de energia permitidas e 
proibidas. Podemos, então, aplicar a mecânica quântica e a equação de Schrödinger para 
o problema de um elétron em um único cristal. Nós achamos que os estados eletrônicos 
de energia ocorrem em bandas de estados permitidos que são separados por bandas de 
energia proibidas. 
 
3.1.1 Formação de Bandas de Energia 
 
Figura 3.1a mostra a função de densidade de probabilidade radial para o estado mais 
baixo de energia do eletron do unico, não interagente átomo de hidrogénio, e 3.1b figura 
mostra as mesmas duas curvas de probabilidade de átomos que estão em estreita 
proximidade uns dos outros. 
 
Figura 3.1 | (a) Função densidade de probabilidade de um átomo de hidrogênio isolado. 
(b) Sobreposição da função densidade de probabilidade de dois átomo de hidrogênio 
adjacentes. (c) a divisão do estado n=1. 
 
As funções de onda dos dois elétrons de átomos se sobrepõem, o que significa que os 
dois elétrons irão interagir. Essa interação ou perturbação resulta na divisão discreta 
quantificada o nível de energia em dois níveis de energia discretos, esquematicamente 
mostrado na figura 3.1c. a divisão do estado discreto em dois estados é consistente com 
o princípio de exclusão de Pauli. 
Uma analogia simples, a divisão de níveis de energia por partículas que 
interagem é o seguinte. Dois carro de corrida idênticos e os motoristas estão muito 
distantes em uma pista de corrida. Não há nenhuma interação entre os carros, de modo 
que ambos devem fornecer o mesmo poder para conseguir uma dada velocidade. No 
entanto, se um carro puxa para cima logo atrás do outro carro, há uma interação 
chamado draft. O segundo carro será puxado até certo ponto pelo carro da frente. O 
carro de chumbo irá, por conseguinte, exigir mais energia para atingir a mesma 
velocidade, uma vez que está puxando o segundo carro e o segundo veículo necessita de 
menos energia uma vez que está a ser puxado pelo carro de chumbo. Portanto, há uma 
"divisão" de poder (energia) dos dois carros de corrida interagindo. (lembre-se de não 
tomar analogias muito literalmente.) 
Agora, se nós de algum modo começarmos com um arranjo periódico regular de 
átomos tipo os de hidrogênio que são inicialmente muito distantes um do outro, e 
começarmos a empurrar os átomos em conjunto, o nível inicial de energia quantizados 
será dividida em uma faixa de níveis de energia discretos. Este efeito é mostrado 
esquematicamente na figura 3.2, em que o parâmetro r0 representa a distância 
interplanar de equilíbrio para o cristal. Na distância interatômica de equilíbrio, há uma 
banda de energias permitidas, mas dentro da banda permitida as energias são em níveis 
discretos. Os estados do princípio de exclusão de Pauli que à união de átomos para 
formar um sistema (cristal) não altera o número total de estados quânticos, 
independentemente do tamanho. No entanto, uma vez que dois elétrons não podem ter o 
mesmo número quântico, a energia discreta deve dividir em uma banda de energias, a 
fim de que cada elétron pode ocupar um estado quântico distinta. 
Vimos anteriormente que, a qualquer nível de energia, o número de estados 
quânticos permitido é relativamente pequeno. A fim de acomodar todos os elétrons em 
um cristal, então, devemos ter muitos níveis de energia dentro da faixa permitida. Como 
um exemplo, suponha que tem um sistema com um 10
19
 átomos de eletrons e também 
supor que, na distância interatomica de equilíbrio, a largura das bandas de energia 
permitidas é 1 eV. Para simplificar, vamos supor que cada elétron no sistema ocupa um 
nível de energia diferente e, se os estados de energia discretos estão equidistantes, então 
os níveis de energia estão separados por 10
19
 eV. Esta diferença de energia é 
extremamente pequena, de modo que para todos os efeitos práticos, temos uma 
distribuição de energia quase contínua através da banda de energia permitida. 
 
Figura 3.2 | A divisão de um estado de energia em uma banda de energias permitidas. 
 
O fator de 10−19 eVé uma diferença muito pequena entre dois estados de energia pode 
ser visto a partir do exemplo seguinte. 
 
 
 
 
Exemplo 3.1 | Objetivo 
 
Para o cálculo da variação da energia cinética de um elétron quando a velocidade muda 
por um pequeno valor. 
 Considere um elétron viajando a uma velocidade de 107 cm/s. Assuma que a 
velocidade aumenta por um valor de 1 cm/s. O aumento da energia cinética é dada por: 
 
∆Ε = 
1
2
 𝑚𝑣2
2 -- 
1
2
𝑚𝑣1
2 = 
1
2
𝑚(𝑣2
2 − 𝑣1
2) 
 
Sendo 𝑣2 = 𝑣1 + ∆𝑣. Em seguida 
 
 𝑣2
2 = (𝑣1 + ∆𝑣)
2 = 𝑣1
2 + 2𝑣1∆𝑣 + (∆𝑣)
2 
 
 
 
 Solução 
 
Substituindo o número nesta equação, obtemos 
 
 
 
Que podem ser convertidas em unidades de elétron volts. 
 
 
 
 Comentário 
 
A alteração na velocidade de 1 cm/s em comparação com 107 cm/s resulta em uma 
mudança na energia de 5,7 x 10−9 eV, que é ordens de magnitude maior do que a 
variação da energia de 10−19 eV entre estados de energia na banda de energia 
permitido. Este exemplo serve para demonstrar que existe uma diferença na energia de 
estados adjacentes de 10−19 eV que é de fato muito pequeno, de modo que as energias 
discretas dentro de uma banda permitida podem ser tratadas como uma distribuição 
praticamente contínua 
 
 
Considere-se novamente uma disposição periódica regular de átomos, em que 
cada átomo agora contenha mais do que um elétron. Suponha que o átomo neste cristal 
imaginário contém elétrons através do nível de energia n = 3. Se os átomos são 
inicialmente muito distantes uns dos outros, os elétrons em átomos adjacentes não vão 
interagir e vai ocupar os níveis de energia discretos. Se esses átomos são aproximados, 
os elétrons ultra periféricos no escudo de energia vai começar a interagir inicialmente, 
de modo que este nível de energia discreta vai se dividir em uma banda de energias 
permitidas. Se os átomos continuam a mover-se mais próximos, os elétrons na camada 
n= 2 pode começar a interagir e também vai se dividir em uma banda de energias 
permitidas. Finalmente, se os átomos se tornem suficientemente próximos uns dos 
outros, os elétrons mais interiores no nível n = 1 podem interagir, de modo que este 
nível de energia pode também dividida em uma banda de energias permitidas. A divisão 
desses níveis de energia discretos é 
 
 
Figura 3.3 | Esquema mostrando a divisão dos três estados de energia em faixas 
permitidas de energias. 
 
 
Figura 3.4 | (a) Esquema de um átomo de silício isolado. (b) a divisão do 3s e 3p 
estados de silício na bandas de energia permitidas e proibidas. 
 
A divisão desses níveis de energia discretos é Qualitativamente mostrada na Figura 3.3. 
Se o equilíbrio distância Inter atômico é ro, então temos bandas de energias permitidas 
que os elétrons podem ocupar separados por faixas de energias proibidas. Essa divisão 
de banda de energia e a formação de bandas permitidas e proibidas é a teoria de banda 
de energia de materiais de cristal único. 
A divisão de banda efetiva de um cristal é muito mais complicada do que o 
indicado na Figura 3.3. Uma representação esquemática de um átomo de silício isolado 
é mostrada na Figura 3.4a. Dez dos elétrons de átomos de silício quatorze ocupam 
níveis de energia deep-falso encontrando-se perto do núcleo. 
Os restantes quatro elétrons de valência são relativamente fracamente ligados e 
são os elétrons envolvidos nas reações químicas. Figura 3.4b mostra a divisão de banda 
de silício. Basta considerar o nível n = 3 para os elétrons de valência, uma vez que as 
duas primeiras camadas de energia estão completamente cheias e estão fortemente 
ligadas ao núcleo. O estado 3s corresponde a n = 3 e I = 0 e contém dois estados 
quânticos por átomo. Este estado vai conter dois elétrons em T = 0 K. O estado 3p 
corresponde a n = 3 e I = 1 e contém seis estados quânticos por átomo. Este estado irá 
conter os dois elétrons restantes do átomo de silício individual. 
Como a distância interatômico diminui, os estados 3s e 3p interagem e se 
sobrepõem. Em situação de equilíbrio distância interatômico, as bandas foram 
novamente divididas, mas agora quatro estados quânticos por átomo estão na faixa 
inferior e quatro estados quânticos por átomo estão na faixa superior. No zero absoluto, 
os elétrons estão em estado de mais baixa energia, de modo que todos os estados da 
banda inferior (da banda de valência) vai estar cheio e todos os estados da banda 
superior (a banda de condução) estará vazia. A energia de banda proibida Eg entre a 
parte superior da banda de valência e da parte inferior da banda de condução é a largura 
da banda de energia proibida. 
Temos discutido qualitativamente como as bandas de energia permitidas e 
proibidas são formadas em um cristal. A formação destas bandas de energia está 
diretamente relacionada com as características elétricas do cristal, como veremos mais 
adiante em nossa discussão. 
 
*3.1.2 O Modelo Kronig-Penney 
 
Na seção anterior, discutimos qualitativamente a cara de energias de elétrons permitidos 
e como os átomos são reunidos para formar um cristal. O conceito de bandas de energia 
permitidas e proibidas podem ser desenvolvidos de forma mais rigorosa, considerando a 
mecânica quântica e a equação de onda de Schrodinger. Pode ser fácil para o leitor a "se 
perder" na seguinte derivação, mas o resultado é a base para a teoria de energia de 
banda de semicondutores. 
 A função potencial de um átomo, que não interage, de um elétron único é 
mostrado na Figura 3.5a. Também está indicado na figura os níveis de energia discretos 
permitidos para o elétron. A figura 3.5b mostra o mesmo tipo de função potencial para o 
caso em que vários átomos são arranjados na proximidade de uma matriz 
unidimensional. As funções potenciais dos átomos adjacentes se sobrepõem, e a função 
potencial líquido para este caso é mostrado na Figura 3.5c. É esta função potencial que 
teríamos de usar na equação de onda de Schrodinger para modelar um material único 
cristal unidimensional. 
A solução para a equação de onda de Schrodinger, unidimensional para a 
estrutura de cristal único, torna-se mais fácil, considerando uma função potencial mais 
simples. A Figura 3.6 é o modelo Kronig-Penney unidimensional da função potencial 
periódico, o qual é utilizado para representar uma estrutura unidimensional de cristal 
único. Precisamos resolver a equação de Schrödinger em cada região. Tal como 
acontece com os problemas anteriores da mecânica quântica, a solução mais interessante 
ocorre para o caso quando E <Vo, o que corresponde a uma partícula que está sendo 
ligado dentro do cristal. Os elétrons estão contidos nos poços de potencial, mas nós 
temos a possibilidade de tunelamento entre poços. O modelo Kronig-Penney é um 
potencial periódico idealizado representando um único cristal unidimensional, mas os 
resultados vão ilustrar muitas das características importantes do comportamento 
quântico dos elétrons em uma estrutura periódica. 
Para obter a solução para equação de onda de Schrodinger, fazemos uso do 
teorema matemático de Bloch. 
 
Figura 3.5 | (a) função potencial de um único átomo isolado. (b) sobreposição de 
funções potenciais dos átomos adjacente. (c) a função potencial de um líquido de um 
único cristal unidimensional. 
 
 
 
Figura 3.6 | (a) potencial função periódica unidimensional do modelo Kronig-Penney. 
 
O teorema afirma que todas as funções de onda de um elétron, para problemas 
que envolvem periodicamente variadas funções de energia potencial, devem ser da 
forma 
 
 
o parâmetro K é uma constante chamada de movimentoe será considerado em maior 
detalhe em como se desenvolver a teoria, a função U(x) é uma função periódica com 
período de ( a + b ). 
Nós afirmamos que no capítulo 2 da solução total, que a equação de onda é o 
produto da solução independente do tempo e da solução, dependente do tempo, ou; 
 
 
 
o qual pode ser escrito como; 
 
 
 
Esta solução de onda progressiva representa o movimento de um eletro em um material 
de cristal único. A amplitude da onda progressiva é uma função periódica e o parâmetro 
K também é referido como um número de onda. 
Agora podemos começar a determinar uma relação entre o parâmetro K, a 
energia total E, e o potencial 𝑉0. Se considerarmos a região I na figura 3.6 (0 < 𝑥 < 𝑎) 
em que V(x) = 0, tomando a segunda derivada da equação (3.1), e substituindo esse 
resultado na equação de onda de Schroedinger independente do tempo dada pela 
equação (2.13), obtemos a relação; 
 
 
 
a função 𝑢1(𝑥) é a amplitude da função de onda na região 1 e o parâmetro é definido 
como; 
 
 
Considere agora uma região específica II, −𝑏 < 𝑥 < 0, em que V(x) = 𝑉0, e 
aplicando a equação de Schroedinger. Obtemos a relação, 
 
 
Onde 𝑢2 (𝑥) é a amplitude da função de onda na região II, podemos definir; 
 
 
de modo que a equação (3.6) pode ser escrita como; 
 
 
 
note que a partir da equação (3.7), se E > 𝑉0 , o parâmetro β é real, ao passo que se E < 
𝑉0 , então β é imaginário. 
 
A solução para a equação (3.4), para a região I, é da forma; 
 
 
 
e a solução para a equação (3.8), para a região II , é a forma de; 
 
 
 
Uma vez que a função potencial V(x) é em todos os lugares finito, tanto a função de 
onda Ψ(x) e a sua primeira derivada 𝜕𝑢(𝑥)/𝜕𝑥 deve ser contínua. Esta continuidade é a 
condição no qual implica que a função da amplitude da onda u(x) e a sua primeira 
derivada a 𝜕𝑢(𝑥)/𝜕𝑥 também deve ser contínua. 
Se considerar o contorno em x = 0 e aplicar a condição de continuidade para a 
amplitude da onda, temos; 
 
 
 
Substituindo as equações (3.9) e (3.10) na equação (3.11), obtemos; 
 
 
 
Agora aplicando a condição de que 
 
 
Obtemos 
 
 
 
Temos considerado a região I como (0 < 𝑥 < 𝑎) e a região II como (−𝑏 < 𝑥 <
0). A periodicidade e a condição de continuidade significam que a função 𝑢1, com 
𝑥 → 𝑎, é igual à função 𝑢2, com 𝑥 → −𝑏. Esta condição pode ser escrita como; 
 
 
 
Aplicando as soluções para 𝑢1(𝑥) e 𝑢2(𝑥) para a condição de contorno na equação 
(3.15) obtemos; 
 
 
 
 
A última condição limite é 
 
O que dá; 
 
 
 
Agora temos quatro equações homogêneas, equações (3.12), (3.14), (3.16) e 
(3.18), com quatro incógnitas como resultado da aplicação das quatro condições de 
contorno. Num conjunto de equações simultâneas, linear e homogéneas, a solução não é 
trivial se, e somente se, o determinante dos coeficientes for zero, no nosso caso , os 
coeficientes em questão são os coeficientes dos parâmetros A, B, C e D. 
A avaliação deste determinante é extremamente trabalhosa e não será 
considerada em detalhe. O resultado é; 
 
 
 
A equação (3.19) refere-se ao parâmetro K para o total de energia E (através do 
parâmetro a), e a função potencial 𝑉0 (através do parâmetro β). 
Como mencionamos, as soluções mais interessantes ocorrerem quando 𝐸 < 𝑉0, 
que se aplica ao elétron consolidado do cristal. A partir da equação (3.7), o parâmetro β 
é, em seguida, uma quantidade imaginária. Podemos definir 
 
 
 
Onde é uma grandeza real. A equação (3.19) pode ser escrita em termos de 
como; 
 
 
 
a equação (3.21) não se apresenta como uma solução analítica, mas deve ser resolvido 
usando técnicas numéricas ou gráficos para obter a relação entre K, E, e 𝑉0, a solução da 
equação de Schrödinger para uma única partícula limite resultou e permitiu energias 
discretas. A solução da equação (3.21) resultará em uma banda de energias permitidas. 
Para obter uma equação que é mais susceptível a uma solução gráfica e, assim, 
iremos ilustrar a natureza dos resultados, deixemos a largura da barreira de potencial 
seta 𝑏 → 0 e a altura da barreira 𝑉0 → ∞, mas de tal modo que o produto permanece 𝑏𝑉0 
finito, a equação (3.21), em seguida, reduz-se; 
 
 
 
Podemos definir um parâmetro 𝑝′ como; 
 
 
 
Em seguida, finalmente, temos a relação 
 
 
A equação (3.24) dá novamente a relação entre o parâmetro K, energia total E 
(através do parâmetro 𝛼), e a barreira de potencial 𝑏𝑉0, podemos notar que a equação 
(3.24) não é uma solução de equação de onda de Schrodinger, mas dá as condições 
necessárias para qual a equação de onda de Schrodinger terá uma solução. Se 
assumirmos que o cristal é infinitamente grande, então K na equação (3.24), pode 
assumir uma série de valores e deve ser real. 
 
3.1.3 O Diagrama de Espaço-k 
 
Para começar a compreender a natureza da solução, inicialmente vamos 
considerar o caso especial em que V0 = 0. Neste caso, P '= 0, o que corresponde a uma 
partícula livre, pois não existem barreiras de potencial. A partir da Equação (3.24), 
temos que 
 
Ou 
 
 
Uma vez que o potencial seja igual a zero, o total de energia E é igual à energia cinética, 
de modo que, a partir da Equação (3.5). A equação (3.26) pode ser escrita como 
 
 
 
Onde P é a dinâmica das partículas. A constante do parâmetro de movimento K está 
relacionada com a quantidade de movimento das partículas para o elétron livre. O 
parâmetro k é também referido como um número de onda. 
Nós também podemos relacionar a energia e momento como 
 
 
Figura 3.7 mostra a relação parabólica da equação (3.28) e entre a energia e momento p 
para a partícula livre. Desde o ímpeto e número de onda são linearmente relacionadas, 
Figura 3.7 também é a curva E versus K para a partícula livre. 
Queremos agora considerar a relação entre E e K a partir da Equação (3.24) para a 
partícula na estrutura de cristal único. À medida que aumenta o parâmetro P ', a 
partícula torna-se mais firmemente ligado à superfície sólida ou átomo de potencial. 
Podemos definir o lado esquerdo da equação (3.24), a ser uma função f (αα), de modo 
que 
 
 
 
Figura 3.7 | O gráfico parabólico de E versus K para um elétron livre. 
 
 
 
Figura 3.8 | A figura (a) é o primeiro termo na Equação (3.29), (b) o segundo termo da 
equação (3.29), e (c) a função completa. As áreas sombreadas mostram os valores 
permitidos da função f(αα), correspondentes a valores reais de K. 
 
Figura 3.8a é o gráfico do primeiro termo da equação (3.29) versus αα. A Figura 3.8b 
mostra um gráfico do cos(𝛼𝛼). A Figura 3.8c é a soma dos dois termos, ou f (αα). 
Agora a partir da Equação (3.24), temos também que 
 
Para que a equação (3.30) seja válida, os valores permitidos da função f (αα) devem ser 
delimitados entre +1 e -1. A Figura 3.8c mostra os valores permitidos de f (αα) e os 
valores permitidos de αα das áreas sombreadas. Também mostrado na figura são os 
valores de ka a partir do lado direito da equação (3.30), que correspondem aos valores 
permitidos de f (αα). 
O parâmetro alfa está relacionado com a energia total da partícula através da 
Equação (3.5), o qual é . Uma parcela da energia E da partícula, como 
uma função do número de onda k pode ser gerada a partir da Figura 3.8c. A Figura 3.9 
mostra essa trama e mostra o conceito de bandas de energia permitidas para a 
propagação das partículas na rede cristalina.Uma vez que a energia E tem 
descontinuidades, temos também o conceito de energias proibidas para as partículas no 
cristal. 
 
 
Figura 3.9 | O diagrama de E versus K gerado a partir da figura 3.8. As bandas de 
energia permitidas e gaps de energia proibidos são indicados. 
 
Exemplo 3.2 | Objetivo 
 
Para determinar a largura de banda de menor energia permitida. 
Assumir que o coeficiente P '= 10 e que o potencial tem largura a = 5 Å 
 
 Solução 
 
Para encontrar a largura da banda de energia mais baixa permitida, precisamos 
encontrar a diferença de αa valores com ka alterações em relação a π (veja a Figura 
3.8c). Para ka = 0. A equação (3.29) se torna 
 
 
Por tentativa e erro, encontramos αa = 2,628 rad. Vemos que para ka = π , αa = π . 
Para αa = π, temos: 
 
ou 
 
 
Para αa = 2.628, descobrimos que E1 = 1,68x10
-19
 J = 1.053eV. A largura da banda de 
energia permitida é: 
 
 
 Comentário 
 
Vemos na Figura 3.8c que, com o aumento da energia, as larguras das bandas 
permitidas aumentaram a partir deste modelo Penny-Kronig 
 
______________________________________________________________________ 
TESTE SUA COMPREENSÃO 
 
E3.1: Usando os parâmetros indicados no Exemplo 3.2, determinar a largura (em eV) 
da banda de energia proibida que existe em ka = π (veja a Figura 3.8c). (Resp. ϪE= 2,79 
eV) 
______________________________________________________________________ 
 
Considere-se novamente no lado direito da equação (3.24), que é a função 
cos(kA). A função co-seno, de modo que é periódica 
 
onde n é um número inteiro positivo. Podemos considerar Figura 3.9 e deslocar parcelas 
da curva por 2π. Matematicamente, a Equação (3.24) ainda é satisfeita. A figura 3.10 
mostra como os vários segmentos da curva pode ser deslocado pelo fator de 2 π. A 
Figura 3.11 apresenta o caso em que o gráfico de E versus k está contido dentro -−𝜋/ a 
< k < 𝜋 / a. Este lote é referido como um diagrama de k-espaço reduzido, ou uma 
representação reduzida de zero. 
Notamos na Equação (3.27) para que um elétron livre, a dinâmica das partículas 
e do número de onda k é relacionada por p = .k. 
 
 
Figura 3.10: O diagrama E versus k 
mostrando 2π deslocamentos de várias 
seções de energia permitida da Figura 
3.11 1. 
Figura 3.11: O diagrama E versus k na 
representação zona reduzida. 
 
Dada a semelhança entre a solução de electrões livres e os resultados do cristal único 
mostrado na Figura 3.9, o parâmetro em um único cristal é referido como dinâmica 
do cristal. Este parâmetro não é a real dinâmica do elétron no cristal, mas é uma 
constante do movimento que inclui a interação do cristal. 
Temos vindo a considerar o modelo Kronig-Penney, que é uma função potencial 
dimensional periódica usado para modelar um único cristal látice. A princípio, resulta 
da analise, até agora, é a de que os elétrons do cristal energético permitiram ocupar 
certas bandas e são excluídos da banda de energia proibida. Para material 
tridimensional real único de cristal, energias similares da banda de energia existem na 
teoria. Iremos obter as propriedades dos elétrons adicionais do modelo Kronig-Penney 
nas próximas seções. 
 
3.2 | CONDUÇÃO ELÉTRICA NOS SÓLIDOS 
 
Mais uma vez, estamos eventualmente interessados para determinar à corrente-tensão 
características dos dispositivos semicondutores. Temos de considerar condução elétrica 
nos sólidos, no que diz respeito à teoria da banda que acaba de ser criada. Comecemos 
por considerar o movimento de elétrons em diversas bandas de energia permitidas. 
 
3.2.1 A Banda de energia e Modelo de ligação 
 
No 1º capítulo, discutimos a ligação covalente do silício. A Figura 3.12 mostra uma 
representação bi-dimensional de uma ligação covalente em uma única rede cristalina de 
silício. Esta figura representa silício em T = 0 K em que cada átomo é cercado por oito 
elétrons de valência que se encontram no seu estado mais baixo de energia e estão 
diretamente envolvidos na ligação covalente. 
A Figura 3.4b representa a cisão do silício discreto dos estados energéticos em 
faixas de energias como o silício cristalino é formado. Em T = 0 K, os 4N estados da 
faixa mais baixa, da banda de valência, são preenchidos com elétrons de valência. 
Todos os elétrons de valência esquematicamente indicado na figura 3.12 estão na banda 
de valência. A banda de energia superior, a banda de condução, está completamente 
vazia, T = 0 K. 
 
 
Figura 3.12 | Representação bi-dimensional da ligação covalente em um semicondutor 
em T = 0 K. 
Conforme a temperatura aumenta acima de 0 K, aos poucos a banda de valência 
do elétron pode ganhar energia térmica suficiente para quebrar a ligação covalente e 
saltar para a banda na condução. A Figura 3.13 apresenta uma representação bi-
dimensional desta quebra de ligação, a Figura 3.13b, mostra uma linha simples de 
representação do modelo da banda de energia, mostrando o mesmo efeito. 
O semicondutor é com carga neutra. Isso significa que, como os elétrons 
negativamente carregados rompem a posição de sua ligação covalente, uma posição 
carregada positivamente "estado de vazio" é criada na posição original da ligação 
covalente da banda de valência. Conforme a temperatura aumenta ainda mais, mais 
ligações covalentes são quebradas, mais elétrons saltam para a banda de condução, e 
mais positivo "vazio" são criados na banda de valência. 
Também podemos relacionar esta ligação quebrando a energia E versus k das bandas. 
 
 
Figura 3.13 | (a) representação bi-dimensional da quebra de uma ligação covalente. 
(b) correspondente a representação da linha de banda de energia e a geração de uma 
carga negativa e positiva com a quebra de uma ligação covalente. 
 
Figura 3.14 | Diagrama E versus k da condução e banda de valência de um 
semicondutor em (a) T = 0 K e b) T > 0 K 
A figura 3.14 mostra o diagrama E versus k da condução e banda de valência em T = 0 
K. As energias da banda de valência são completamente cheias e os estados na banda de 
condução estão vazias. Figura 3.14b mostra essas mesmas bandas para T > 0 K, em que 
alguns elétrons ganharam energia suficiente para saltar para a banda na condução e ter 
deixado vazio na banda de valência. Estamos supondo que, neste ponto, há forças 
externas que são aplicadas para o elétron e o "estado de vazio" das distribuições são 
simétricos com k. 
 
3.2.2 Corrente de Deriva 
 
É devido ao fluxo líquido de carga. Se tivéssemos uma coleção de íons positivamente 
carregada com uma densidade volume e uma velocidade média de deriva
·, Em seguida, a densidade de corrente tem que ser 
 
 
 
Se, em vez de se considerar a variação média da velocidade de deriva, considerou-se o 
íon individual as velocidades de escoamento, em seguida, poderiam escrever a 
densidade de corrente como 
 
 
 
Onde vi é a velocidade do íon. A somatória da equação (3.33) é tomada em uma 
unidade de volume para que a densidade de corrente J ainda está em unidades de A/cm². 
Uma vez que os elétrons são partículas carregadas, a rede de deriva de elétrons 
na banda de condução vai dar origem a uma corrente. 
O elétron na distribuição da banda de condução, como mostrado na Figura 
3.14b, é uma função par de k quando nenhuma força externa é aplicada. Lembre-se que 
k para um elétron livre está relacionado ao momento para que, uma vez que não há 
como muitos elétrons com um valor + |k| como há com um valor - |k|, a rede de deriva 
da densidade de corrente devido a esses elétrons é zero. Este resultadoé, sem dúvida, 
que uma vez que não há nenhuma força aplicada externamente. 
Se a força for aplicada a uma partícula e a partícula se move, ela deve ganhar 
energia. Este efeito é expresso como 
 
onde F é a força aplicada, dx é a distância que o diferencial da partícula se move, v é a 
velocidade, dE é o aumento de energia. Se uma força externa é aplicada para os elétrons 
da banda de condução, não há energia vazia dos estados em que os elétrons podem se 
mover; portanto, para a força externa, os elétrons podem obter energia e uma rede 
dinâmica. O elétron de distribuição na banda de condução pode olhar como mostrado na 
Figura 3.15, o que implica que os elétrons têm adquirido uma rede dinâmica. 
Pode-se gravar a densidade da corrente de deriva devido ao movimento dos 
elétrons como 
 
onde e é a magnitude da carga eletrônica e n é o número de elétrons por unidade de 
volume na banda de condução. 
 
Figura 3.15 | a distribuição assimétrica de elétrons no E versus k diagrama quando uma 
força externa é aplicada 
 
Mais uma vez, a soma é tomada por uma unidade volume de forma que a densidade de 
corrente é A/cm². Pode-se observar na equação (3.35) que a deriva está diretamente 
relacionada com a velocidade do elétron; isto é, a corrente está relacionada ao modo 
como o elétron pode se mover no cristal. 
 
3.2.3 Massa Efetiva do Elétron 
 
O movimento de um elétron em uma grade, em geral, pode ser diferente do que de um 
elétron no espaço livre. 
Além de força aplicada externamente, não há forças internas no cristal devido a íons 
carregado positivamente ou carregado negativamente os prótons e elétrons, que irá 
influenciar o movimento de elétrons em grades. Podemos escrever. 
 
 
Onde Ftotal, Fext e Fint são a força total, a força aplicada externamente, e as forças 
internas, respectivamente, agindo sobre uma partícula em um cristal. O parâmetro a é a 
aceleração e m é a massa de repouso da partícula. 
Uma vez que é difícil de ter em conta todas as forças internas, vamos escrever a 
equação 
 
onde a aceleração a é agora diretamente relacionada com a força externa. O parâmetro 
m *, chamado a massa efetiva, leva em consideração a massa de partículas e também 
leva em conta o efeito das forças internas. 
Para usar uma analogia para o conceito de massa efetiva, considere a diferença 
no movimento entre um vidro de mármore em um recipiente cheio de água, em um 
recipiente com óleo. Em geral, o mármore irá cair na água em uma taxa mais rápida do 
que através do óleo. A força externa, neste exemplo, é a força gravitacional e as forças 
internas são relacionadas com a viscosidade dos líquidos. Porque a diferença em 
movimento do mármore nesses dois casos, a massa de mármore que parecem ser 
diferente na água do que no óleo. (Como com na analogia, devemos ter cuidado para 
não ser demasiado literal.) 
Também podemos relacionar a massa de um elétron em um cristal para E versus 
k como curvas, como foi mostrado na Figura 3.11. Em um material semicondutor, 
vamos ter de lidar com energias permitidas bandas que estão quase vazias de energia os 
elétrons e outras bandas que estão quase cheias de elétrons. 
Para começar, considere o caso de um elétron livre, cuja curva E versus k foi 
mostrado na Figura 3.7. Recordando a equação (3.28), a energia e a quantidade de 
movimento estão relacionadas por E =p² / 2m = ћ²k² / 2m, onde m é a massa do elétron. 
O impulso e o número de onda k estão relacionados por p = ћk. Se tomarmos a 
derivada da equação (3.28) com respeito a k, obtemos 
 
𝑑𝐸
𝑑𝑘
 = 
ћ²𝑘
𝑚
 =
ћ𝑝
𝑚
 (3.38) 
 
Relacionando o impulso à velocidade, a Equação (3.38) pode ser escrita como 
 
1
ћ
 
𝑑𝐸
𝑑𝑘
 = 
𝑝
𝑚
 = 𝑣 (3.39) 
 
em que v é a velocidade da partícula. A primeira derivada de E em relação a k está 
relacionada com a velocidade da partícula. 
Se tomarmos agora a segunda derivada de E em relação a k, temos 
 
𝑑²𝐸
𝑑𝑘²
 = 
ћ²
𝑚
 (3.40) 
Podemos reescrever a Equação (3.40) como 
 
1
ћ²
 
𝑑²𝐸
𝑑𝑘²
 = 
1
𝑚
 (3.41) 
 
A segunda derivada de E em relação a k é inversamente proporcional à massa da 
partícula. Para o caso de um elétron livre, a massa é uma constante (efeito não-
relativística), de modo que a segunda derivada da função é uma constante. Também 
pode observar a partir da Figura 3.7 que d²E / dk² é uma quantidade positiva, o que 
implica que a massa do elétron é também uma quantidade positiva. 
Se aplicarmos um campo elétrico para o elétron livre e usar a equação clássica 
do movimento de Newton, podemos escrever 
 
F = ma = -eE (3.42) 
 
onde a é a aceleração, E é o campo elétrico aplicado, e e é a magnitude da carga 
eletrônica. Resolvendo para a aceleração, temos 
 
a = 
−𝑒𝐸
𝑚
 (3.43) 
 
O movimento do elétron livre é no sentido oposto ao campo elétrico aplicado, devido à 
carga negativa. 
Podemos, agora, aplicar os resultados para o elétron no fundo de uma banda de 
energia permitido. Considere a faixa de energia permitido na Figura 3.16a. A energia 
perto da parte inferior da banda de energia pode ser aproximada por uma parábola, 
assim como aquela de uma partícula livre. Podemos escrever 
 
E – Ec = C1(k)² (3.44) 
 
 
Figura 3.16 | (a) A banda de condução em reduzido espaço k, e à aproximação 
parabólica. (b) A banda de valência em reduzido espaço k, e à aproximação parabólica. 
 
A energia Ec é a energia na parte inferior da banda. Desde que E > Ec, o parâmetro C1 é 
uma quantidade positiva. 
Tomando a segunda derivada de E em relação a k na equação (3.44), obtemos 
 
𝑑²𝐸
𝑑𝑘²
 = 2𝐶1 (3.45) 
 
Podemos colocar a Equação (3.45) na forma 
 
1
ћ²
 
𝑑²𝐸
𝑑𝑘²
 = 
2𝐶1
ћ²
 (3.46) 
 
Comparando-se a Equação (3.46) com a equação (3.41), que pode igualar ћ² / 2C1 para a 
massa da partícula. No entanto, a curvatura da curva na Figura 3.16a não será, em geral, 
a mesma que a curvatura da curva livre de partículas. Podemos escrever 
 
1
ћ²
 
𝑑²𝐸
𝑑𝑘²
 = 
2𝐶1
ћ²
 = 
1
𝑚∗
 (3.47) 
 
onde m* é chamado de massa efetiva. Desde que C1 > 0, temos que m* > 0 também. 
A massa efetiva é um parâmetro que relaciona os resultados da mecânica 
quântica para as equações de força clássicas. Na maioria dos casos, o elétron na parte 
inferior da banda de condução pode ser pensado como uma partícula clássica cujo 
movimento pode ser modelada pela mecânica newtoniana, desde que as forças internas 
e as propriedades mecânicas do quantum são tidos em conta durante todo a massa 
efetiva. Se é aplicado um campo elétrico para o elétron na parte inferior da banda de 
energia permitido, podemos escrever a aceleração como 
 
a = 
−𝑒𝐸
𝑚∗𝑛
 (3.48) 
 
onde m*n é a massa efetiva do elétron.A massa efetiva m*n do elétron perto da parte 
inferior da banda de condução é uma constante. 
 
3.2.4 Conceito de buraco 
 
Ao considerar a representação bidimensional da ligação covalente mostrado na Figura 
3.13a, um "estado vazio" carregado positivamente foi criado quando um elétron de 
valência foi elevado na banda de condução. Para T> 0 K, todos os elétrons de valência 
pode ganhar energia térmica; se um elétron de valência ganha uma pequena quantidade 
de energia térmica, pode saltar para dentro do estado vazio. O movimento de um elétron 
de valência no estado vazio é equivalente ao movimento do próprio estado vazio 
carregado positivamente. Figura 3.17 mostra o movimento de elétrons de valência no 
cristal alternadamente preenchendo um estado vazio e criando um novo estado vazio, 
um movimento equivalente a uma carga positiva em movimento na banda de valência. 
O cristal tem agora uma segunda transportadora igualmente importante que a carga pode 
dar origem a uma corrente. Este transportador de carga é chamado um buraco e, como 
se verá, pode também ser pensado como uma partícula clássica cujo movimento pode 
ser modelado usando o mecanismo newtoniano. 
A densidade de corrente de deriva devido aos elétrons na banda de valência, tal 
como mostrado na Figura 3.14b, pode ser escrito como 
 
J = -e ∑ 𝑣𝑖𝑖 (3.49) 
onde a soma estende-se por todos os estados cheios. Esta soma é inconveniente, uma 
vez que se estende por uma banda de valência quase cheia e leva em conta um grande 
número de estados. Podemos reescrever a Equação (3.49) na forma 
 
J = -e ∑ 𝑣𝑖𝑖(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) + e ∑ 𝑣𝑖𝑖(𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜) (3.50) 
 
Se considerarmos uma banda que é totalmente cheia, todos os estados 
disponíveis estão ocupados por elétrons. Os elétrons individuais podem ser pensados 
como movendo com uma velocidade que é dada pela Equação (3.39): 
 
𝑣(𝐸) = (
1
ℎ
) (
𝑑𝐸
𝑑𝑘
) (3.39) 
 
A banda é simétrica em k e cada estado está ocupada de modo que, para todos os 
elétrons com uma velocidade de | v |, existe um correspondente elétron com uma 
velocidade de - | v |. Desde que a banda esteja cheia, a distribuição de elétrons em 
relação ao k não pode ser alterada com uma força aplicada externamente. 
 
 
Figura 3.17 | visualização do movimento de um buraco em um semicondutor. 
 
A densidade de corrente de fuga líquida gerada a partir de uma banda completamente 
cheia, então, é zero, ou 
 
-e ∑ 𝑣𝑖𝑖(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) = 0 (3.51) 
 
Agora podemos escrever a densidade de corrente de deriva a partir da Equação 
(3.50) para uma banda quase completa como 
 
J = + e ∑ 𝑣𝑖𝑖(𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜) (3.52) 
 
onde o vi no somatório é 
𝑣(𝐸) = (
1
ћ
) (
𝑑𝐸
𝑑𝑘
) 
 
associado com o estado vazio. A equação (3.52) é totalmente equivalente a colocar uma 
partícula carregada positivamente nos estados vazios e assumindo todos os outros 
estados da banda estão vazias, ou com carga neutra. Este conceito é ilustrado na figura 
3.18. Figura 3.18a mostra a banda de valência com os estados-cheios de elétrons 
convencionais e estados vazios, enquanto a Figura 3.18b mostra o novo conceito de 
mudanças positivas que ocupam os estados originais vazios. Este conceito é consistente 
com a discussão do carregado positivamente "Estado Vazio" na banda de valência, 
como mostrado na Figura 3.17. 
O vi no somatório da Equação (3.52) está relacionada com o quão bem estão 
carregados positivamente movimentos de partículas no semicondutor. Agora, considere 
um elétron perto do topo da banda de energia permitidos mostrado na Figura 3.16b. A 
energia perto do topo da banda de energia permitido pode voltar a ser aproximada por 
uma parábola para que possamos escrever 
 
(𝐸 − 𝐸𝑣) = −𝐶2 (𝑘)² (3.53) 
 
A energia Ev é a energia na parte superior da banda de energia. Desde que E < Ev para 
elétrons na banda, então o parâmetro C2 deve ser uma quantidade positiva. 
Tomando a segunda derivada de E em relação à k a partir da Equação (3,53), 
obtém-se 
 
𝑑²𝐸
𝑑𝑘²
= −2𝐶2 (3.54) 
 
Podemos reorganizar esta equação para que 
 
1
ћ²
 
𝑑²𝐸
𝑑𝑘²
 = 
−2𝐶2
ћ²
 (3.55) 
 
 
 
Figura 3.18 | (a) Banda de Valência com estados-cheia elétron convencionais e estados 
vazios. (b) Conceito de cargas positivas que ocupam os estados originais vazios. 
 
Comparando a equação 3.55 com a equação 3.41 tem-se que: 
 
 
Quando m* é novamente uma massa eficaz. Argumentamos que C2 é uma quantidade 
positiva que agora implica que m * é uma quantidade negativa. Um elétron se movendo 
perto do topo de uma banda de energia permitida se comporta como se tivesse uma 
massa negativa. 
Devemos ter em mente que o parâmetro de massa efetiva é usado para relacionar 
a mecânica quântica e a mecânica clássica. 
A tentativa de relacionar essas duas teorias leva a esse resultado estranho de uma 
massa efetiva negativa. No entanto, devemos lembrar que as soluções para a equação de 
onda de Schrodinger também levou a resultados que contradiziam a mecânica clássica. 
A massa efetiva negativa é outro exemplo. 
Ao discutir o conceito de massa efetiva na última seção, que usou uma analogia 
de mármores que se deslocam através de dois líquidos. Agora vamos considerar a 
colocação de um cubo de gelo no centro de um recipiente cheio com água: o cubo de 
gelo irá mover-se para cima em direção à superfície, numa direção oposta à força 
gravitacional. O cubo de gelo parece ter uma massa efetiva negativa e a sua aceleração é 
oposta à força externa. O parâmetro de massa eficaz leva em conta todas as forças 
internas que atuam sobre a partícula. 
Se voltarmos a considerar um elétron perto do topo de uma banda de energia 
permitido e usar equação da força de Newton para um campo elétrico aplicado, teremos 
 
 
No entanto, m * é agora quantidade negativa, então podemos escrever 
 
 
Um elétron move-se perto da parte superior de uma banda de energia permitidas se 
move no mesmo sentido que o campo eléctrico aplicado. 
O movimento líquido de elétrons em uma banda quase completa pode ser 
descrito por considerar apenas os espaços vazios, desde que a carga eletrônica positivo 
esteja associado a cada estado e que a negativa de m * a partir da equação (3.56) 
associada com cada estado. Agora podemos modelar essa banda como tendo partículas 
com uma carga eletrônica positiva e uma massa efetiva positiva. A densidade destas 
partículas na banda de valência é a mesma que a densidade de estados de energia vazios 
eletrônico. Esta nova partícula é o buraco. O furo, a seguir, tem uma massa positivo 
eficaz denotado por * mP e uma carga eletrônica positiva por isso irá mover na mesma 
direção que um campo aplicado. 
 
3.2.5 Metal, Isolantes e Semicondutores 
 
Cada cristal tem sua própria estrutura de banda de energia. Notamos que a divisão dos 
estados de energia em silício, por exemplo, para formar as bandas de valência e de 
condução, é complexo. Divisão banda complexa ocorre em outros cristais, que conduz a 
grandes variações nas estruturas de banda entre vários sólidos e a uma vasta gama de 
características elétricas observadas nestes vários materiais. Podemos qualitativamente 
começar a entender algumas diferenças básicas nas características elétricas causadas por 
variações na estrutura de banda considerandobandas de energia simplificadas. 
Existem várias condições para se considerar de banda energia. Figura 3.19a 
mostra uma banda de energia que é completamente vazio de elétrons. Se um campo 
elétrico é aplicado, não há partículas para mover, de modo que não haverá nenhuma 
corrente. Figura 3.19b mostra uma outra banda de energia permitida cujos estados de 
energia estão completamente cheias de elétrons. Nós discutimos na seção anterior que 
uma banda de energia completamente cheia também não vai dar origem a uma corrente. 
Um material que tem banda de energia ou completamente vazio ou completamente 
cheio é um isolante. 
A resistividade de um isolador é muito elevada ou, inversamente, a 
condutividade de um isolador é muito pequena. Não há partículas carregadas que podem 
contribuir para a atual deriva. Figura 3.19c mostra um diagrama simplificado de banda 
de energia de um isolador. O EG energia bandgap(banda de gap) de um isolador é 
geralmente da ordem de 3,5 a 6 eV ou maior, de modo que a temperatura ambiente, não 
há elétrons na banda de condução e a banda de valência permanece completamente 
cheio. Existem muito poucos elétrons gerados termicamente e furos em um isolador. 
Figura 3.20a mostra uma banda de energia com relativamente poucos elétrons 
próximos do limite inferior da banda. Agora, se um campo elétrico é aplicado, os 
elétrons podem ganhar energia se moverem para os estados de energia mais altos, e 
mover-se através do cristal. O fluxo líquido de carga é uma corrente. Figura 3.20b 
mostra uma banda de energia que está quase cheio de elétrons, o que significa que 
podemos considerar os buracos nesta banda. Se um campo elétrico é aplicado, os furos 
podem mover-se e dar origem a uma corrente. Figura 3.20c mostra o diagrama de 
bandas de energia simplificado para este caso. A energia da banda pode ser da ordem de 
1 eV. Este diagrama de banda energia representa para semicondutor T > 0 K. A 
resistividade de um semicondutor, como veremos no próximo capítulo, pode ser 
controlada e variada ao longo de muitas ordens de magnitude. 
 
Figura 3.19 | Bandas de energia 
permitidas (a) uma faixa vazia, (b) uma 
banda completamente cheia e (c) a 
energia de banda proibida entre as duas 
bandas permitidas. 
Figura 3.20 | Bandas de energia 
permitidas (a) uma banda quase vazia. 
(b) uma banda quase completa, e (c) a 
energia de banda proibida entre as duas 
bandas permitidas. 
 
 
 
Figura 3.21 | Duas bandas de energia possíveis de uma exibição de metal (a) uma banda 
parcialmente preenchida e (b) sobreposição de bandas de energia permitidas. 
 
As características de um metal incluem uma resistividade muito baixa. O 
diagrama de banda de energia para um metal pode estar de duas formas. Figura 3.21a 
mostra o caso de uma faixa parcialmente completo no qual existem muitos elétrons 
disponíveis para condução, de modo que o material pode apresentar uma grande 
condutividade elétrica. Figura 3.21b mostra outro diagrama de banda de energia 
possível de um metal. 
A divisão de banda em banda de energia permitido e proibido é um fenômeno 
complexo e a figura 3.21b mostra um caso em que as bandas de condução e de valência 
se sobrepõem ao equilíbrio distância interatômica. Tal como no caso mostrado na figura 
3.21a, há um grande número de elétrons, bem como um grande número de estados de 
energia vazios nos quais os elétrons se deslocam , de modo que este material também 
pode apresentar uma condutividade elétrica muito alta. 
 
3.3 | EXTENSÃO PARA TRÊS DIMENSÕES 
 
O conceito básico de bandas de energia permitidas e proibidas e o conceito básico de 
massa eficaz têm sido desenvolvidos nas últimas secções. Nesta seção, vamos estender 
esses conceitos para três dimensões e cristais reais.Vamos considerar qualitativamente 
características particulares do cristal tridimensional em termos de E em função de k 
parcelas, energia bandgap( banda do gap) e massa efetiva. Devemos enfatizar que 
vamos tocar apenas brevemente sobre os conceitos tridimensionais básicas; portanto, 
muitos detalhes não serão considerados. 
Um problema encontrado no que se prolonga a função potencial de um cristal 
tridimensional é que a distância entre átomos varia conforme a direção a partir das 
mudanças de cristal. Figura 3.22 mostra uma estrutura cúbica centrada cara com o [100] 
e [110] instruções indicadas. Os elétrons viajam em direções diferentes encontram 
diferentes padrões potenciais e, portanto, diferentes limites k-espaços. O diagrama E 
versus k representa uam função geral da direção k-espaço em um cristal. 
 
 
Figura 3.22 | A (100) de um face centrada plana cristalina cúbica, mostrando as 
direções [100] e [110]. 
3.3.1 O K-Space Diagramas de Si E GaAs 
 
A Figura 3.23 apresenta um diagrama de E em função de k de arseneto de gálio e 
de silício. Estes diagramas simplificados mostrar as propriedades básicas considerados 
neste texto, mas não o fazem mostrar muitos dos detalhes mais adequados para os 
cursos de nível avançado. 
Note-se que em lugar dos habituais eixos positivos e negativos k, nós agora mostram 
dois direções diferentes de cristal. 
 
 
Figura 3.23 | Estruturas de banda de energia de (a) GaAs e (b) de Si. 
 
O E versus diagrama k para o modelo unidimensional era simétrica em k de 
modo que nenhuma nova informação é obtida através da exibição do negativo eixo. É 
prática normal para traçar a [100] direção ao longo do eixo normais + k e traçar a [111] 
porção do diagrama de modo que os pontos k + para a esquerda. No caso de diamante 
ou treliças zincblende, os máximos na energia banda de valência e mínimos em a banda 
de condução de energia ocorrem em k = 0 ou ao longo de uma destas duas direcções. 
Figura 3.23a mostra o diagrama de E versus k para o GaAs. O máximo de banda 
de valência e o mínimo da banda de condução tanto ocorrem em k = 0. Os elétrons no 
banda de condução tendem a se contentar com a energia da banda de condução 
mínimo, que está em k = 0. Da mesma forma, os buracos na banda de valência tendem a 
se reunir no mais alto energia banda de valência. Em GaAs, a energia mínima banda de 
condução e máxima energia banda de valência ocorrem ao mesmo valor k. 
Um semicondutor com essa propriedade é dita que um semicondutor bandgap 
direta; transições entre as duas bandas permitidas pode ter lugar sem a mudança no 
momento de cristal. Esta natureza direta tem significativa efeito sobre as propriedades 
ópticas do material. GaAs e outros materiais de bandgap direta são idealmente 
adequados para utilização nos lasers semicondutores e outros dispositivos ópticos. 
O diagrama de E em função de k para o silício está apresentada na Figura 3.23b. 
O máximo em a energia da banda de valência ocorre em k = 0 como antes. O mínimo na 
condução energia banda não ocorre em k = 0, mas ao longo da [100] direção. A 
diferença entre a energia mínima banda de condução e a energia de banda máxima de 
valência ainda é definida como a energia de banda proibida Eg. 
 
Um semicondutor cuja máxima valência energia de banda e energia da banda de 
condução mínimo não ocorrem no mesmo valor k é chamado de semicondutores 
bandgap indireta. Quando os elétrons fazem a transição entre as bandas de condução e 
valência, devemos invocar a lei da conservação da momentum. A transição em um 
material bandgap indireta deve incluir, necessariamente, uma interacção com o cristal 
de modo que o impulso de cristal é conservada. 
O germânio é também um material de bandgap indireta, cuja máxima banda de 
valência ocorre em k = 0 e cujo mínimo da banda de condução ocorre ao longo da 
direção [111]. GaAs é um semicondutor bandgap direta, mas outros compostos 
semicondutores, como asdisparidades e, infelizmente, têm bandgaps indiretos. 
 
3.3.2 Conceitos adicionais de massa efetiva 
 
A curvatura do diagrama de E versus k perto do mínimo da banda de condução de 
energia está relacionada com a massa efetiva do elétron. Pode-se observar a partir da 
figura 3.23 que a curvatura da banda de condução no seu valor mínimo para GaAs é 
maior que a do silício, de modo que a massa efetiva de um elétron na banda de 
condução do GaAs será menor do que a do silício. 
A curvatura de E versus K, a massa efetiva foi definida pela Equação (3.41) 
como 1/m
*
=1/h
2
cortado . d
2
.E/dk
2
. Uma complicação ocorre no conceito de massa eficaz 
em um cristal real. Um cristal tridimensional pode ser descrito por vetores k. A 
curvatura do diagrama de E versus k na mínima banda de condução podem não ser os 
mesmos nas direções de k. Nós não vamos considerar os detalhes dos parâmetros de 
massa efetiva que variaram aqui. Nas próximas seções e capítulos, os parâmetros de 
massa eficaz utilizados nos cálculos será uma espécie de média estatística que é 
adequado para a maioria dos cálculos do dispositivo.
 
 
3.4 | FUNÇÃO DENSIDADE DE ESTADOS 
 
Como temos afirmado, finalmente, gostaria de descrever a corrente-tensão 
características dos dispositivos semicondutores. Uma vez que a corrente é devido ao 
fluxo de carga, o que constitui um passo importante no processo é o de determinar o 
número de elétrons e buracos no semicondutor que será disponível para condução. O 
número de transportadores, que podem contribuir para a condução do processo é uma 
função do número de energia disponível ou estado quânticos, pelo princípio de exclusão 
de Pauli, apenas um elétron pode ocupar um determinado estado quântico. Quando 
discutimos a divisão de níveis de energia em faixas de energias permitidas e proibidas, 
que indicou que a banda de energias permitidas foi efetivamente constituída de níveis de 
energia discretos. É preciso determinar a densidade destes estados de energia permitidos 
como uma função da energia, a fim de calcular os elétrons e buracos das concentrações. 
 
3.4.1 Derivação Matemática 
 
Para determinar a densidade de estados quânticos como uma função da energia, e 
necessidade de se considerar um modelo matemático. Os elétrons são permitidos a 
passar relativamente livremente na banda de condução de um semicondutor, mas 
limitam-se ao cristal. Como um primeiro passo, vamos considerar um elétron livre 
confinado a um poço de potencial tridimensional infinito, onde o potencial representa 
bem o cristal. O potencial do poço de potencial é definido como 
 
 
Em que o cristal é assumido como sendo um cubo de comprimento a. A equação da 
onda de Schrodinger em três dimensões pode ser resolvido por meio da técnica de 
separação de variáveis. A extrapolação dos resultados a partir de um poço de potencial 
infinito unidimensional pode mostrar (ver problema 3.21) que 
 
 
Onde nx,ny e nz são inteiros positivos. (Valores negativos de nx,ny e nz produzem a 
mesma função de onda, com exceção do sinal, como os valores inteiros positivos, 
resultando na mesma função de probabilidade e de energia, de modo que os números 
inteiros negativos não representam um estado quântico diferentes.) 
Podemos, esquematicamente, plotar os estados quânticos permitidos no espaço k. Figura 
3.24a mostra um gráfico bidimensional como uma função de kx e ky. Cada ponto 
representa um estado quântico permitido correspondente a vários valores integrais de nx 
e ny. 
 
 
Figura 3.24 | (a) A matriz bi-dimencional de estados quânticos permitidos em espaço k. 
(b) Um oitavo da esférica no espaço positivo, 
 
Os valores positivos e negativos da kx, ky, kz ou têm a mesma energia e representam o 
mesmo estado de energia. Uma vez que os valores negativos de kx, ky, kz ou não 
representam estados quânticos adicionais, a densidade de estados de quantum será 
determinada considerando-se apenas a um oitavo positivo do espaço k esférico como 
mostrado na Figura 3.24b. 
A distância entre dois estados quânticos na direcção kx, por exemplo, é dada 
pela 
 
 
Generalizando este resultado a três dimensões, o volume Vk de um único estado 
quântico é 
 
Nós agora podemos determinar a densidade de estados quânticos no espaço k. Um 
volume diferencial em k espaço é mostrado na Figura 3.24b e é dada por 4πk2 DK, de 
modo que o diferencial densidade de estados quânticos no espaço k pode ser escrito 
como 
 
 
O primeiro fator, 2, leva em conta os dois estados de spin permitidos para cada quantum 
estado; o próximo fator, 1/8, leva em conta que estamos considerando apenas o 
quantum estados para valores positivos de kx, ky, e kz. O dk fator 4πk2 é novamente o 
diferencial volume e o fator (π / a) 3 é o volume de um estado quântico. A equação 
(3.63) pode ser simplificada para 
 
 
 
A Equação (3.64) dá a densidade dos estados quânticos como função do 
momento, através do parâmetro 𝑘. Nós podemos agora determinar a densidade do 
estado quântico como função de energia 𝐸. Para um elétron livre, os parâmetros 𝐸 e 𝑘 
são relacionados por 
𝑘2 =
2𝑚𝐸
ℎ2
 (𝟑. 𝟔𝟓𝒂) 
 
ou 
𝑘 =
1
ℎ
 √2𝑚𝐸 (𝟑. 𝟔𝟓𝒃) 
 
A diferencial 𝑑𝑘 é 
𝑑𝑘 =
1
ℎ
√
𝑚
2𝐸
𝑑𝐸 (𝟑. 𝟔𝟔) 
 
Então, substituindo as expressões por 𝑘2 e 𝑑𝑘 na Equação (3.64), o número de estados 
de energia entre 𝐸 e 𝐸 + 𝑑𝐸 é dado por 
 
𝑔𝑇(𝐸)𝑑𝐸 =
𝜋𝑎3
𝜋3
(
2𝑚𝐸
ℎ2
) .
1
ℎ
√
𝑚
2𝐸
𝑑𝐸 (𝟑. 𝟔𝟕) 
 
Já que ℎ = ℎ/2𝜋, a Equação (3.67) se torna 
 
𝑔𝑇(𝐸)𝑑𝐸 =
4𝜋𝑎3
ℎ3
. (2𝑚)
3
2. √𝐸𝑑𝐸 (𝟑. 𝟔𝟖) 
A Equação (3.68) dá o número total de estados quânticos entre a energia 𝐸 e 𝐸 + 𝑑𝐸 no 
volume do espaço do cristal de 𝑎3. Se nós dividirmos o volume 𝑎3, então nós obteremos 
a densidade do estado quântico por unidade de volume de cristal. A Equação (3.68) 
então se torna 
𝑔(𝐸) =
4𝜋(2𝑚)
3
2
ℎ3
√𝐸 (𝟑. 𝟔𝟗) 
 
A densidade do estado quântico é uma função da energia 𝐸. Como a energia desse 
elétron livre se torna pequena, o número de estados quânticos disponíveis diminui. Essa 
função de densidade é realmente uma densidade dupla, nas unidades são dadas em 
termos de estado por unidade de energia por unidade de volume. 
______________________________________________________________________ 
Exemplo 3.3 | Objetivo 
 
Calcular a densidade de estados por unidade de volume em uma faixa de energia 
específica. 
 Considere a densidade de estado para um elétron livre dado pela Equação (3.69). 
Calcule a densidade de estados por unidade de volume com energia entre 0 e 1 𝑒𝑉. 
 
 Solução 
 
A densidade de volume do estado quântico, da Equação (3.69), é 
 
𝑁 = ∫ 𝑔(𝐸)𝑑𝐸
1 𝑒𝑉
0
=
4𝜋(2𝑚)
3
2
ℎ3
. ∫ √𝐸𝑑𝐸
1 𝑒𝑉
0
 
 
ou 
𝑁 =
4𝜋(2𝑚)
3
2
ℎ3
.
2
3
. 𝐸
3
2 
 
A densidade de estado é agora 
 
𝑁 =
4𝜋[2(9.11𝑥1031)]
3
2
(6.625𝑥10−34)3
.
2
3
. (1.6𝑥10−19)
3
2 = 4.5𝑥1027𝑚−3 
 
 
ou 
𝑁 = 4.5𝑥1021 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠/𝑐𝑚3 
 
 
 Comentário 
 
A densidade do estado quântico é normalmente um número grande. Uma densidade de 
estado efetiva num semicondutor, como nós veremos nas seções seguintes e no próximo 
capítulo, é também um número grande, mas é geralmente menor que a densidade de 
átomo de um cristal semicondutor. 
______________________________________________________________________3.4.2. Extensão de Semicondutores 
 
Na última seção, nós deduzimos uma expressão geral para densidade de estados 
quânticos de elétrons permitidos usando o modelo de um elétron livre com massa 𝑚 
delimitado num poço de potencial infinito tridimensional. Nós podemos estender o 
mesmo modelo geral para um semicondutor para determinar a densidade de estado 
quântico na banda de condução e a densidade de estado quântico na banda de valência. 
Elétrons e orifícios estão confinados dentro do cristal semicondutor então vamos 
novamente usar o modelo básico de poço de potencial infinito. 
A relação parabólica entre energia e momento de um elétron livre é dada na 
Equação (3.28) como 𝐸 = 𝜌2/2𝑚 = ℎ2𝑘2/2𝑚. A figura 3.16 mostrou a banda de 
condução de energia no espaço com 𝑘 reduzido. A curva 𝐸 versus 𝑘 próximo a 𝑘 = 0 
na parte inferior da banda de condução pode ser aproximada com uma parábola, então 
podemos escrever 
 
𝐸 = 𝐸𝐶 +
ℎ2𝑘2
2𝑚𝑛∗
 (𝟑. 𝟕𝟎) 
 
onde 𝐸𝐶 é a borda inferior da banda de condução e 𝑚𝑛
∗ é massa efetiva de elétron. A 
Equação (3.70) pode ser reescrita para dar 
 
𝐸 − 𝐸𝐶 =
ℎ2𝑘2
2𝑚𝑛∗
 (𝟑. 𝟕𝟏) 
 
A forma geral da relação 𝐸 versus 𝑘 para um elétron na parte inferior da banda 
de condução é a mesma de um elétron livre, exceto quando a massa é substituída pela 
massa efetiva. Podemos então pensar no elétron na parte inferior da banda de condução 
como sendo um elétron livre com sua própria massa particular. O lado direito da 
Equação (3.71) é da mesma forma do lado direito da Equação (3.28), que foi usada no 
cálculo da função de densidade de estados. Pela semelhança, que produz o modelo 
elétrons de condução "livre", podemos generalizar os resultados de elétrons livres da 
Equação (3.69) e escrever a densidade de estados eletrônicos de energia permitidos na 
mão de condução, como 
𝑔𝐶(𝐸) =
4𝜋(2𝑚𝑛
∗ )
3
2
ℎ3
√𝐸 − 𝐸𝐶 (𝟑. 𝟕𝟐) 
 
Equação (3.72) é válida somente para 𝐸 ≥ 𝐸𝐶. Quando diminui a energia do elétron na 
banda de condução, também diminui o número de estados quânticos disponíveis. 
A densidade dos estados quânticos na banda de valência pode ser obtida usando 
o mesmo modelo de poço de potencial infinito, uma vez que o orifício está também 
confinado no semicondutor de cristal e pode ser tratado como uma partícula "livre". A 
massa efetiva do orifício é 𝑚𝑃
∗ . A figura 3.16b mostrou a energia da banda de valência 
com espaço de 𝑘 reduzido. 
Nós podemos também aproximar a curva 𝐸 versus 𝑘 próximo a 𝑘 = 0 pela 
parábola para orifício “livre”, para que 
 
𝐸 = 𝐸𝑣 −
ℎ2𝑘2
2𝑚𝑃
∗ (𝟑. 𝟕𝟑) 
 
A Equação (3.73) pode ser reescrita para dar 
 
𝐸𝑣 − 𝐸 =
ℎ2𝑘2
2𝑚𝑃
∗ (𝟑. 𝟕𝟒) 
 
Novamente, o lado direito da Equação (3.74) é da mesma forma usada no cálculo geral 
da densidade de função de estados. Então podemos generalizar a densidade da função de 
estados da Equação (3.69) para aplicar para a banda de valência, para que 
 
𝑔𝑣(𝐸) =
4𝜋(2𝑚𝑃
∗ )
3
2
ℎ3
√𝐸𝑣 − 𝐸 (𝟑. 𝟕𝟓) 
 
A Equação (3.75) é válida para 𝐸 ≤ 𝐸𝑣. 
Defendemos que estados quânticos não existem dentro da banda de energia 
proibida, então 𝑔(𝐸) = 0, para 𝐸𝑣 < 𝐸 < 𝐸𝐶 . A figura 3.25 mostra o gráfico de 
densidade de estados quânticos em função de energia. Se as massas efetivas do elétron e 
orifício fossem iguais, então as funções 𝑔𝐶(𝐸) e 𝑔𝑣(𝐸) seriam simétricas em relação à 
energia de meio caminho entre 𝐸𝐶 e 𝐸𝑣, ou energia de midgap, 𝐸𝑚𝑖𝑑𝑔𝑎𝑝. 
 
 
 
Figura 3.25 | A densidade dos estados de energia na banda de condução e densidade 
dos estados de energia na banda de valência como função da energia 
______________________________________________________________________ 
TESTE SUA COMPREENSÃO 
 
E3.2: Determine o número total de estados de energia no silício entre 𝐸𝐶 e 𝐸𝐶 + 𝑘𝑇 
quando 𝑇 = 300𝐾. (R: 2.12𝑥1019𝑐𝑚−3) 
 
E3.3 Determine o número total de estados de energia no silício entre 𝐸𝑣 e 𝐸𝑣 − 𝑘𝑇 
quando 𝑇 = 300𝐾. (R: 7.92𝑥1018𝑐𝑚−3) 
______________________________________________________________________ 
 
3.5 | MECÂNICA ESTATÍSTICA 
 
Quando se trata de um número de partículas muito grande, nos interessamos apenas no 
comportamento estatístico do grupo, em vez do comportamento individual de cada 
partícula. Por exemplo, o gás dentro de um recipiente irá exercer uma pressão média nas 
paredes do vaso. A pressão é realmente devido às colisões das moléculas individuais de 
gás com as paredes, mas não seguimos a colisão de cada molécula individualmente com 
a parede. Da mesma forma em um cristal, as características elétricas serão determinadas 
pelo comportamento estatístico de um grande número de elétrons. 
 
3.5.1 Leis Estatísticas 
 
Na determinação do comportamento estatístico das partículas, nós devemos considerar 
as leis que as partículas obedecem. Há três leis de distribuição determinando a 
distribuição das partículas entre estados de energia disponíveis. 
______________________________________________________________________ 
Exemplo 3.4 | Objetivo 
 
Para determinar o número possível de maneiras de realizar a Distribuição particular. 
Faça Gi = Ni = 10. Então (Gi-Ni)! = 1. 
 
 Solução 
 
Equação (3.77) se torna 
 
Gi! / Ni! (-Ni Gi!) = 10! / 10! = 1 
 
 Comentário 
 
Se temos 10 partículas a serem dispostos em 10 estados quânticos, há apenas um arranjo 
possível. Cada estado quântico contém uma partícula. 
_____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
Exemplo 3.5 | Objetivo 
 
Para determinar novamente o número possível de maneiras de realizar uma distribuição 
específica. 
Faça Gi = 10 e Ni = 9. Neste caso gi-Ni = 1, de modo que (gi-ni)! = 1. 
 
∎Solução 
 
A equação (3.77) se torna 
 
Gi! / Ni! (Gi-Ni)! = 10! / (9!) (1) = 10 
 
∎Comentário 
 
Neste caso, se temos 10 estados quânticos e 9 partículas, há um estado quântico vazio. 
Há 10 amaneiras possíveis, ou posições, para um estado vazio. 
A equação (3.77) dá o número de maneiras independentes de realização de uma 
distribuição de partículas Ni no nível om. O número total de maneiras de arranjar (N1, 
N12 ,N3 ... N) partículas indistinguíveis entre os níveis de energia n é o produto de todas 
as distribuições, ou 
 
O parâmetro que W é o número total de formas pelas quais n elétrons podem ser 
dispostas neste sistema, em que é o número total de elétrons no sistema. 
Queremos encontrar a distribuição mais provável, o que significa que nós queremos 
encontrar o máximo W. O máximo W é encontrado variando Ni, entre os 𝐸𝑖 níveis , que 
varia a distribuição, mas, ao mesmo tempo, vamos manter o número total de partículas e 
constante total de energia. 
Podemos escrever a função de distribuição mais provável como 
 
 
 
onde Ef é chamada de energia de Fermi. A densidade de número N (E) é o número de 
partículas por unidade de volume por unidade de energia e a função g (E) é o número de 
estados quânticos por unidade de volume por unidade de energia. O fF (E) é chamada de 
distribuição de Fermi-Dirac ou função de probabilidade e dá a probabilidade de que um 
estado quântico na energia E será ocupado por um elétron. Uma outra interpretação da 
função de distribuição é que fF(E)é a razão entre a cheio totais estados quânticos em 
qualquer energia E. 
 
3.5.3 A Função de Distribuição e Energia Fermi 
 
Para começar a entender o significado da função de distribuição e a energia de Fermi, 
podemos traçar a função de distribuição contra energia. Inicialmente, vamos T = 0 K e 
considerar o caso em que E < EF ) . O termo exponencial na equação ( 3.79 ) torna-se 
exp [ ( E- Ef ) ) / FT - > exp ( - ∞ ) = 0 . A função de distribuição resultante é fF ( E < Ef 
) = 1 . Mais uma vez vamos T = 0 K e considerar o caso em que E> Ef ) . O termo 
exponencial da função de distribuição torna-se exp ( E- Ef )) / KT -> exp ( + ∞ ) . A 
função de distribuição de Fermi- Dirac , resultando agora se torna Ff ( E> Ef ) = 0. 
A função de distribuição de Fermi- Dirac para T = 0 K é representada na Figura 
3.27. Este resultado mostra que, para T = 0 K , os elétrons estão em seus mais baixos 
estados de energia possíveis . A probabilidade de um estado quântico sendo ocupada é a 
unidade para E < Ef e a probabilidade de um estado a ser ocupado é zero para E> Ef . 
Todos os elétrons têm energias abaixo da energia de Fermi em T = 0 K. 
A Figura 3.28 apresenta níveis discretos de energia de um sistema particular, 
bem como o número de estados quânticos disponíveis em cada energia. 
 
Figura 3.27 | A função de 
probabilidade Fermi Versus energia 
para T = 0 K. 
Figura 3.28 | estados de energia 
discretos e estados quânticos para um 
determinado sistema em T = 0 K. 
 
Se partirmos do princípio, para este caso, que o sistema contém 13 elétrons, então a 
Figura 3.28 mostra como esses elétrons são distribuídos entre os vários estados 
quânticos em T = 0 K. Os elétrons estão no menor estado de energia possível, de modo 
que a probabilidade de um estado quântico sendo ocupada nos níveis de energia E1 a E4 
é a unidade, e a probabilidade de um estado quântico sendo ocupada no nível de energia 
E5 é zero. A energia Fermi, para este caso, deve estar acima de E4, mas menos de E5. A 
energia Fermi determina a distribuição estatística dos elétrons e não tem de 
corresponder a um nível de energia permitido. 
Consideremos agora o caso em que a densidade de estados de quantum g(E) é 
uma função contínua de energia, como mostrado na Figura 3.29. Se não temos elétrons 
nesse sistema, então a distribuição desses elétrons entre os estados quânticos em T = 0 
K é mostrado pela linha tracejada. Os elétrons estão em estado de mais baixa energia 
possível, para que todos os estados abaixo EF estão cheios e todos os estados acima EF 
estão vazios. Se g(E) e N0 são conhecidos para este sistema particular, então a energia 
de Fermi EF pode ser determinada. 
Considere a situação quando a temperatura aumenta acima de T = 0 K. Electrões 
adquirirem uma certa quantidade de energia térmica a fim de que alguns electrões 
podem saltar para níveis de energia mais elevados, o que significa que a distribuição de 
electrões entre os estados de energia disponíveis irá mudar. Figura 3.30 mostra os 
mesmos níveis de energia discretos e estados quânticos, como na Figura 3.28. A 
distribuição de elétrons entre os estados quânticos mudou do T = 0 K caso. Dois 
elétrons do nível E4 ganharam energia suficiente para saltar para E5, e um elétron da E3 
saltou para E4. Como as mudanças de temperatura, a distribuição dos elétrons versus 
mudanças de energia. 
A alteração da distribuição entre os níveis de energia de electrões para T > 0 K 
pode ser vista através da representação gráfica da função de distribuição de Fermi-
Dirac. Se deixarmos E = EF e T > 0 K, então a equação (3.79) torna-se 
 
 
A probabilidade de um estado a ser ocupado pelo E = EF é f. A Figura 3.31 apresenta a 
Função de distribuição de Fermi-Dirac traçado para várias temperaturas, assumindo que 
a energia Fermi é independente da temperatura. 
 
 
Figura 3.29 | Densidade de estados 
quânticos e elétrons em um sistema de 
energia contínua a T = 0 K. 
Figura 3.30 | estados de energia 
discretos e estados quânticos para o 
mesmo sistema mostrado na Figura 3.28 
para T> 0 K. 
 
 
 
Figura 3.31 | A função de probabilidade Fermi versus energia para diferentes 
temperaturas. 
 
Podemos ver que para temperaturas acima do zero absoluto, há uma 
probabilidade diferente de zero de que alguns estados de energia acima de EF serão 
ocupados por elétrons e alguns estados de energia abaixo de EF estarão vazios. Este 
resultado novamente significa que alguns elétrons saltaram para níveis mais elevados de 
energia com o aumento da energia térmica. 
______________________________________________________________________ 
Exemplo 3.6 | Objetivo 
 
Calcular a probabilidade de que um estado de energia acima de EF é ocupado por um 
elétron. 
Seja T = 300 K. Determine a probabilidade de que um nível de energia 3Kt 
acima da energia de Fermi é ocupado por um elétron. 
 
 Solução 
 
A partir da equação (3.79), podemos escrever 
 
 
que se torna 
 
 Comentário 
 
Em energias acima de EF, a probabilidade de um estado ser ocupado por um elétron 
pode tornar-se significativamente menos do que a unidade, ou a relação de elétrons para 
estados quânticos disponíveis pode ser muito pequeno. 
_____________________________________________________________________ 
______________________________________________________________________ 
TESTE SUA COMPREENSÃO 
 
E3.4: Suponha que o nível de energia Fermi é de 0,30 eV abaixo da energia da banda de 
condução. 
(a) Determine a probabilidade de estado a ser ocupado por um elétron em Ec. 
(b) Repita a parte (a) para uma energia em Ec + kT. Suponha T = 300 K 
 
E3.5: Suponha que o nível de energia Fermi é de 0,35 eV acima da energia da banda de 
valência. (a) Determine a probabilidade de um estado de ser vazia de um elétron em Ev 
(b) Repita a parte (a) para um estado de energia no Ev -kT. Suponha T = 300 K. 
 
______________________________________________________________________ 
 
Podemos observar na Figura 3.31 que a probabilidade de uma energia acima EF 
sendo ocupada aumenta à medida que a temperatura aumenta e a probabilidade de um 
estado abaixo EF sendo vazio aumenta como a temperatura aumenta. 
______________________________________________________________________ 
Exemplo 3.7 | Objetivo 
 
Para determinar a temperatura à qual existe uma probabilidade de 1 por cento de que um 
estado de energia vazios. 
Suponha que o nível de energia Fermi para um determinado material é de 6,25 
eV e que os elétrons nesse material de seguir a função de distribuição de Fermi-Dirac. 
Calcula-se a temperatura à qual existe uma probabilidade de 1 por cento de que um 
estado 0,30 eV abaixo do nível de energia de Fermi não irá conter um electrão. 
 
∎Solução 
 
A probabilidade de que um estado está vazio é 
 
Em seguida 
 
Resolvendo para kT, encontramos kT = 0,06529 eV, de modo que a temperatura é T = 
756 K 
 
∎Comentário 
 
A função de probabilidade Ferml é uma forte função da temperatura 
 
______________________________________________________________________ 
TESTE SUA COMPREENSÃO 
 
E3.6: Repita o exercício E3.4 para T = 400 
 
E3.7: Repita o exercício E3.5 para T = 400 
______________________________________________________________________ 
 
Podemos notar que a probabilidade de um estado a distância dE acima EF sendo 
ocupada é o mesmo que a probabilidade de um estado a distância dE abaixo EF estar 
vazio. A função FF (E) é simétrica com a função 1 - FF (E) sobre a energia de Fermi, 
EF. Este efeito de simetria é mostrado na Figura 3.32 e serão utilizados no capítulo 
seguinte. 
 
 
 
 
Figura 3.32 | A probabilidade de