testr mf epesp 2010 11

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I 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL 
 
TTTEEEOOORRRIIIAAA DDDEEE EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS 
 
MÉTODO DAS FORÇAS 
 
EXAME – 13 / SETEMBRO / 2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRUTURA CONTÍNUA HIPERESTÁTICA 
 
 
 
 
ISABEL ALVIM TELES
20 kN
30 kNm60 kN
12 
kN
/m
A
B D
E
T =
 
-
20 
°C
T =
 
+2
0 °C
C
I 
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 1/6 Mét. Forças – Est. contínua hiperestática 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
EXERCÍCIO 
Considere a estrutura representada na figura abaixo, constituída por dois corpos unidos por uma 
rótula em B. 
Para além das cargas indicadas na figura, a barra AB está submetida à seguinte variação diferencial 
de temperatura: ΔT= -20 °C na face superior e ΔT= +20 °C na face inferior (ver figura). 
Todas as barras da estrutura têm secção rectangular (ver características na tabela abaixo) e estão 
realizadas com um material que apresenta as seguintes propriedades: E = 40 GPa; α = 1,5x10-5 /°C 
Na resolução deste exercício recorra ao Método das Forças desprezando a deformabilidade por 
esforço transverso e esforço axial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Identifique, justificando convenientemente, o grau de hiperestaticidade da estrutura. 
b) Determine as reações nos apoios, indicando claramente as suas direções e sentidos. 
c) Aplicando o Teorema dos Trabalhos Virtuais (TTV), trace o diagrama de momentos na barra BCD. 
Características das secções transversais das barras 
Barra AB 
largura = 0,20 m 
altura = 0,30 m 
Restantes barras 
A = 0,03 m2 (área) 
I =5,625x10-5 m4 (inércia) 
RESOLUÇÃO 
Alínea a) 
A estrutura é constituída por dois corpos [AB] e [BCDE], unidos por uma rótula em B. 
Podem ser escritas 4 equações de equilíbrio: 
 - 3 equações fundamentais da estática para toda a estrutura; 
 - 1 equação de momentos na rótula de um dos corpos. 
A estruturas tem 5 ligações ao exterior: 3 reações no encastramento A e 2 reações no apoio duplo E. 
Temos então 5 incógnitas e 4 equações, pelo que a estrutura é hiperestática de grau 1. 
 
2 m
4 m 2 m 2 m
20 kN
30 kNm60 kN
12 
kN
/m
1 m
A
B D
E
T =
 
-
20 
°C
T =
 
+2
0 °C
C
I 
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 2/6 Mét. Forças – Est. contínua hiperestática 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
Alínea b) 
Vamos adoptar para sistema base (S0) a estrutura isostática que se obtém substituindo o encastramento 
em A por um apoio duplo. A estrutura do exercício (S) vai ser decomposta no sistema S0 e no sistema S1. 
 
 
 
X1 – incógnita hiperestática, correspondente ao momento de encastramento no apoio A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Cálculo da estrutura S0 
 
 
 
 
 
 
 
0,6 sen
0,8 cos
 




=α
=α
α 
 
 
 








↓−=
=
↑=
←−=
⇒








=×+×++×
=×−×+×++×+×−
=−++
=−++
⇒








=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
 kN 37,5 V
0 H 
 kN 25,5 V 
 kN 16 H 
 
0 2 H 4 V 30 2 60 
0 1 H 8 V 3 20 30 6 60 2,5 60 
0 48 60 V V 
0 20 36 H H 
 
0 M 
0 M 
0 Fy 
0 Fx 
 
E
E
A
A
EE
EE
EA
EA
esq
B
A
 
S = S0 + X1 x S1 
20 kN
30 kNm60 kN
12 
kN
/m
A
B D
E
T =
 
-
20 
°C
T =
 
+2
0 °C
C
A
B D
E
X x
S S
20 kN
30 kNm60 kN
12 
kN
/m
A
B D
E
T =
 
-
20 
°C
T =
 
+2
0 °C
C
S
2 m
4 m 2 m 2 m
20 kN
30 kNm60 kN
12 
kN
/m
1 m
A
B D
E
C
HE
VE
VA
HA
36kN
60kN
48kN
α
I 
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 3/6 Mét. Forças – Est. contínua hiperestática 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema base S0 - Diagrama de momentos flectores (kNm) 
 
 
 
• Cálculo da estrutura S1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 








↑=
←−=
↓−=
→=
⇒








=×+×
=×−×
=+
=+
⇒








=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
 kN 1,0 V
 kN 0,2 H 
 kN 0,1 V 
 kN 0,2 H 
 
0 2 H 4 V 
1 1 H 8 V 
0 V V 
0 H H 
 
0 M 
0 M 
0 Fy 
0 Fx 
 
E
E
A
A
EE
EE
EA
EA
esq
B
A
 
 
2 m
4 m 2 m 2 m
20 kN
30 kNm60 kN
12 
kN
/m
1 m
A
B D
E
C
22,5 kN
16 kN 37,5 kN
2 m
2 m 2 mA
B
D
E
C
37
,5
-45
30
5 m
2 m
4 m 2 m 2 m
1 kNm 1 m
A
B D
E
C
VA
HA
HE
VE
I 
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 4/6 Mét. Forças – Est. contínua hiperestática 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema S1 - Diagrama de momentos flectores (kNm) 
 
 
• Determinação da incógnita hiperestática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODO DAS FORÇAS 
(desprezando a deformabilidade por esforço transverso e esforço axial) 
1X . dz E
M M
 dz 
h
 T T
 . M dz 
 E
M M
 F 11
sup inf 
1
01
R
 S
ext
1Σ 




 ×
+
−
α+
×
=∆× ∫∫∫ II 
 sendo: 
R
 S
ext
sup inf 
1
01
10 F dz h
 T T
 . M dz 
 E
M M
 1Σ ∆×−
−
α+
×
=δ ∫∫ I 
dz 
 E
M M
 1111 ∫
×
=δ I 
0 . 1110 =δ+δ 1X 
Barra AB 
4
3
6
mkPa 000 18 
12
0,300,20
1040 E ×=
×
××=I 
Restantes barras 
4-56
mkPa 250 2 105,625 1040 E ×=×××=I 
2 m
4 m 2 m 2 m
1 kNm 1 m
A
B D
E
C
0,1 kN
0,2 kN
0,1 kN
0,2 kN
1
-0,4
-0,2
-0
,4
2 m
2 m 2 mA
B
D
E
C
5 m
I 
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 5/6 Mét. Forças – Est. contínua hiperestática 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
( )
3-
01
107,0278 
2250
8
000 18
62,5
 
 (-0,2)30 0,445 (-0,4)302 0,2452 
6
2 
3
2)2,0-(45-
2250
1 
 5137,5 
3
1 
000 18
1 dz 
 E
M M
 
×=+=
=


 ×+×+××+××+
××
+
+



 ×××=
×
∫ I
 
 
 
0,005 10 500 
2
15 10200 dz M 
0,30
20) ( 20
 101,5 dz 
h
 T T
 . M 
5-5-
1
5-sup inf 
1 =×=
×××=
−−
××=
−
α ∫∫ 
 
 10 1,2028 0 0,005 107,0278 F dz 
h
 T T
 . M dz 
 E
M M
 
2-3-
R
 S
ext
sup inf 
101
10
1Σ ×=−+×=∆×−
−
α+
×
=δ ∫∫ I
 
 
 102,34815 
3
20,40,4
 
3
40,40,4
 
250 2
1
 
3
511
000 18
1
 dz 
 E
M M
 
4-11
11 ×=




 ××+
××
+×××=
×
=δ ∫ I 
 
 
 kNm 51,22 
51,22 
0 .102,34815 101,2028 0 . 
-4-2
1110
=⇒
−=⇒
=×+×⇒=δ+δ
A
1
11
M
X
XX
 
 
 










↓−=
→=
=
↑=
←−=
⇒










×−+−=
−×−+=
=
−×−+=
×−+−=
⇒











+=
+=
=
+=
+=
 kN 62,42 V 
 kN 10,24 H 
 kNm 51,22 M 
 kN 30,62 V 
 kN 24,26 H 
 
1,0)22,51( 5,37 V 
)2,0()22,51( 0 H 
kNm 51,22 M 
)1,0()22,51( 25,5 V 
2,0)22,51( 16 H 
 
)V ( . )V ( V 
)H ( . )H ( H 
kNm 51,22 M 
)V ( . )V ( V 
)H ( . )H ( H 
E
E
A
A
A
E
E
A
A
A
S
E
S
EE
S
E
S
EE
A
S
A
S
AA
S
A
S
AA
10
10
10
10
1
1
1
1
X
X
X
X
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�
 
�
 
2 m
4 m 2 m 2 m
20 kN
30 kNm60 kN
12 
kN
/m
1 m
A
B D
E
T =
 
-
20 
°C
T =
 
+2
0 °C
C
30,62 kN
26,24 kN
51,22 kNm 42,62 kN
10,24 kN
I 
TEORIA DE ESTRUTURAS ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 6/6 Mét. Forças – Est. contínua hiperestática 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Alínea c) 
O diagrama de momentos na barra BCD é constituído por rectas, pelo que só é necessário determinar os 
momentos flectores nos pontos B, C e D. 
 
 
 
kNm 50,49 )4,0( )22,51( 30 M 
kNm 34,56 )2,0( )22,51( 45 M 
0 0 )22,51( 0 M 
 
)M ( . )M ( M 
)M ( . )M ( M 
)M ( . )M ( M 
D
C
B
S
D
S
DD
S
C
S
CC
S
B
S
BB
10
10
10
=−×−+=
−=−×−+−=
=×−+=
⇒
+=
+=
+=
1
1
1
X
X
X
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 m 2 m
B DC
-34,56kNm
50,49kNm