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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 1 TEORIA DAS ESTRUTURAS 1 INTRODUÇÃO À ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS Parte1: - Vigas simples - Vigas Gerbers - Vigas inclinadas Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 2 ou ou R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 R1 ou ou R1 R1 R1 R2 R2 R1 R2 R2 R1 R2 R1 R2 R1 R2 M R2 R1 M OBS: M � a reação de momento do apoio deve ser sempre indicada com a convexidade voltada para o apoio. Ex: - Tipos de apoios ou vínculos estruturais Denominamos vínculos ou apoios os elementos de construção que impedem os movimentos de uma estrutura. Nas estruturas planas, podemos classificá-Ios em 3 tipos. 1 - Apoio do 1º gênero ou Vínculo Simples ou Apoio Móvel ou Rolete Este tipo de vínculo impede o movimento de translação na direção normal ao plano de apoio, fornecendo-nos desta forma, uma única reação (normal ao plano de apoio). Representação gráfica: 2 - Apoio do 2º gênero ou Vínculo Duplo ou Apoio Fixo ou Pino Este tipo de vínculo impede o movimento de translação em duas direções, na direção normal e na direção paralela ao plano de apoio, podendo desta forma nos fornecer, desde que solicitado, duas reações, sendo uma para cada plano citado. Representação gráfica: 3 - Apoio do 3º gênero ou Engastamento ou Engaste Este tipo de vínculo impede a translação em qualquer direção, impedindo também a rotação do mesmo, através de um contramomento, que bloqueia a ação do momento de solicitação. Representação gráfica: Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 3 - Estaticidade de uma estrutura a) Estrutura Isostática: o número de reações de apoio (N. R. A.) é igual ao número de equações de equilíbrio (N. E. E.) e os apoios garantem que a estrutura seja estável = estática = não desloca. As equações de equilíbrio são: ΣΣΣΣFx =0; ΣΣΣΣFy =0; ΣΣΣΣM =0 Ex.1: HA A B Ex.2: HA A B MA VA VB VA N. R. A. = 3 = N. E. E. N. R. A. = 3 = N. E. E. A estrutura não desloca; A estrutura não desloca; ESTRUTURA ISOSTÁTICA ESTRUTURA ISOSTÁTICA b) Estrutura Hipostática: quando o número de apoios da estrutura não é suficiente para garantir que a estrutura seja estável = estática = não desloca. As equações de equilíbrio são: ΣΣΣΣFx = 0; ΣΣΣΣFy = 0; ΣΣΣΣM = 0 Ex.1: A B Ex.2: A B C VA VB VA VB VC N. R. A. = 2 < N. E. E. = 3 N. R. A. = 3 = N. E. E. A estrutura desloca; A estrutura desloca; ESTRUTURA HIPOSTÁTICA ESTRUTURA HIPOSTÁTICA Ex.3: A B C D Ex.4: HA A B HB VA VB VC VD VA N. R. A. = 4 > N. E. E. = 3 N. R. A. = 3 = N. E. E. A estrutura desloca; A estrutura desloca; ESTRUTURA HIPOSTÁTICA ESTRUTURA HIPOSTÁTICA c) Estrutura Hiperestática: o número de reações de apoio (N. R. A.) é maior que o número de equações de equilíbrio (N. E. E.) e os apoios garantem que a estrutura seja estável = estática = não desloca. As equações de equilíbrio são: ΣΣΣΣFx = 0; ΣΣΣΣFy = 0; ΣΣΣΣM = 0 Ex.1:HA A B Ex.2: A B C MA HB VA VB VA VB VC N. R. A. = 4 > N. E. E. = 3 N. R. A. = 4 > N. E. E. =3 A estrutura não desloca; A estrutura não desloca; ESTRUTURA HIPERESTÁTICA ESTRUTURA HIPERESTÁTICA Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 4 Ex.3:HA A B Ex.4: A B C HA MA HB MA HB VA VB VA VB VC N. R. A. = 5 > N. E. E. = 3 N. R. A. = 6 > N. E. E. = 3 A estrutura não desloca; A estrutura não desloca;ESTRUTURA HIPERESTÁTICA ESTRUTURA HIPERESTÁTICA Nota ���� Nesta disciplina será estudada apenas estrutura isostática. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 5 - Esforços internos em Vigas, barras, eixos Devido à ação das forças externa, surge em cada seção transversal das vigas, barras, eixos esforços internos simples; - Tipos de esforços internos simples: a) Esforço Normal (N): N (+) � força normal traciona (“sai”) a seção da estrutura; N (-) � força normal comprime (“entra”) a seção da estrutura; s Análise da Esquerda�direita Análise da esquerda Direita N (+) N (+) s Ns (+): tração Ns (+): tração N (-) N (-) s Ns (-): compressão Ns (-): compressão b) Esforço Cortante (Q): Q (+) � força cortante corta a seção e tende a provocar um giro da seção no sentido horário; Q (-) � força cortante corta a seção e tende a provocar um giro da seção no sentido anti-horário; s Análise da Esquerda�direita Análise da Direita esquerda Q (+) Q (+) + s + Q (-) Q (-) s - - Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 6 c) Momento Fletor (M): Convenção normalmente adotada M (+) � Momento fletor traciona as fibras inferiores (t.f.i); M (-) � Momento fletor traciona as fibras superiores (t.f.s); s Análise da Esquerda�direita Análise da Direita esquerda M (+) M (+) s traciona (estica) fibras inferiores M (-) M (-) s traciona (estica) fibras superiores Entretanto, nesta apostila será adotada a seguinte convenção: Será indicado o seu módulo (valor absoluto � sem o uso de sinais: + ou - ) e as fibras da estrutura que estão tracionadas: ���� tracionando fibra inferior (t. f. i.); ���� tracionando fibra superior (t. f. s.); Esta convenção facilita a confecção das peças (vigas, pilares, lajes, etc.) de concreto armado, pois o concreto não resiste bem aos esforços de tração. Assim ao indicar o valor do momento e as fibras das peças que estão sobre tração informa-se automaticamente o local onde deve ser posicionada a armadura (barras de aço). Ex: Momento tracionando fibras inferiores Momento tracionando fibras superiores armadura armadura Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 7 - Vigas simples Isostáticas: As vigas simples isostáticas são classificadas em três tipos básicos: vigas biapoiadas, vigas biapoiadas com balanço e vigas engastadas e livres. Vigas biapoiadas Vigas biapoiadas com balanço Vigas engastadas e livres - Análise de Vigas Isostáticas: Esta análise tem o objetivo de determinar as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes: Diagrama de esforço Normal (DN); Diagrama de esforço Cortante (DQ); Diagrama de Momento fletor (DM); Para realizar esta análise deve-se utilizar o seguinte procedimento: I - Identificar as seções que devem ser consideradas na análise: . seções sobre os apoios: a, b . seções sob cargas concentradas: c, d . seções sob cargas momento: e . seções no inicio e final de cargas distribuídas: f, g . seções sobre as extremidades das vigas: h, i Na maioria dos casos as seções que devem ser consideradas se sobrepõem. II - Identificar e calcular as reações de apoio: . apoio a: reação vertical (Va) . apoio b: reação vertical (Vb) reação horizontal (Hb) Vb P1 g a c b d f h i e P1 P2 q M b a d e c P3 q M P2 a b c d f g h i e P1 P2 q M Va Hb Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 8 As reações de apoio são determinadas por das equações de equilíbrio: ΣΣΣΣFx = 0; ΣΣΣΣFy = 0; ΣΣΣΣM = 0 � esta equação estabelece que o somatório do momento em qualquer seção da estrutura (ex: viga, pilar) é sempre igual a zero. Esta equação é utilizada em relaçãoa uma das seções sobre apoio, o que possibilita obter as reações de apoio com maior facilidade. Outro ponto relevante que deve ser esclarecido é a diferença entre o valor do momento e o somatório do momento em uma determinada seção S de uma estrutura. ΣΣΣΣMS = 0 ���� SEMPRE SERÁ ZERO. MS = PODE SER ZERO OU NÃO. O momento fletor nas extremidades das estruturas é nulo (zero) exceto nos casos em que estas estejam submetidas a cargas momentos, conforme os exemplos apresentados a seguir. O SENTIDO DO GIRO DA SETA DO MOMENTO INDICA O LADO TRACIONADO: Tracionando as fibras inferiores � t. f. i. Tracionando as fibras superiores � t. f. s. EX1: Mc = 0; Mb = 4 t.m (t. f. i.); OU OU EX2: Mc = 1 t.m (t.f.i.); Mc = 5 t.m (t.f.s.); OU OU OU OU c M= 4 t.m b a c b a c M= 4 t.m b a c M= 4 t.m M= 5 t.m M= 5 t.m M= 5 t.m b a b a c b a c M= 1 t.m M= 1 t.m M= 1 t.m Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 9 III – Determinar o valor dos esforços solicitantes em cada seção considerada na análise. A determinação dos esforços solicitantes em cada seção considerada na análise permitirá a construção dos diagramadas de esforços solicitantes (DN; DQ; DM). O valor dos esforços (N, Q, M) em cada seção é determinada por meio do MÉTODO DAS SEÇÕES: cada seção será analisada: Á ESQUERDA���� imediatamente antes (décimos de milímetro à esquerda) E Á DIREITA ���� imediatamente após (décimos de milímetro à direita) Exemplo: uma seção qualquer S Utilizando um ZOOM DE 1000 VEZES: A análise pode ser feita da esquerda�direita ou A análise pode ser feita da esquerda direita Ex: Se Análise da esquerda para a direita � NSe = x1 ; QSe = y1 ; MSe = w1 Análise da direita para a esquerda NSe = x1 ; QSe = y1 ; MSe = w1 O valor do esforço em cada seção tem ser o mesmo independente do lado escolhido para fazer a análise. Se o valor for diferente existe um erro na análise. S Sdireita Sesquerda S 0,0001 m Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 10 Exemplo1: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para a viga isostática apresentada a seguir. Resolução: OBS: Para casos, como este acima, o diagrama de momento fletor em cada trecho da viga sob a carga distribuída uniforme será necessário construir a parábola de 20 grau. 1 - calcular as reações de apoio: + Σ Fx = 0 � + Hd = 0 + Σ Fy = 0 � Vb + Vd = R1 + R2 + 2 - 8 - 4 � Vb + Vd = 2,5 t Σ Md = 0 + � -12 - Vb . 5,0 - 8 . 5,0 + R1 . 3,75 + 2 . 2,5 + R2 . 1,25 - 9 = 0 � 5,0 Vb = -34,125 t � Vb = -6,825 t � Vb = 6,83 t ***ponto crucial dos erros: corrigir ���� Σ Fy: - Vb + Vd = 2,5 t -6,83 + Vd = 2,5 t ���� Vd = 9,33 t Considerações para determinar os esforços em cada seção: a análise pode ser feita da esquerda para direita � ou a análise pode ser feita da direita para esquerda cada seção será analisada: imediatamente antes (décimos de milímetro à esquerda) e imediatamente após (décimos de milímetro à direita) Exemplo seção c: ce: Análise da esquerda para a direita � Nce = x1 ; Qce = y1 ; Mce = w1 Análise da direita para a esquerda Nce = x1 ; Qce = y1 ; Mce = w1 cd: Análise da esquerda para a direita � Nce = x2 ; Qce = y2 ; Mce = w2 Análise da direita para a esquerda Nce = x2 ; Qce = y2 ; Mce = w2 O valor do esforço em cada seção tem ser o mesmo independente do lado escolhido para fazer a análise. Se o valor for diferente existe um erro na análise. 2 t 2,5 m 2,5 m 2,0 m q1 = 1 t/m 2 t 2,5 m 2,5 m 2,0 m R1 = 2,5 t R2 = 10 t a b c d Vd Hd Vb 1,25 m 1,25 m 1,0 m 12 t.m 9 t.m 9 t.m 12 t.m c ce cd q2 = 4 t/m 4 t 8 t 4 t 8 t Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 11 2 - calcular o esforço normal: não existe neste caso 3 - calcular o esforço cortante: Análise p/esquerda Qad = 0 t / Qbe = 0 t / Qbd = 8 - Vb = 1,17 t Qce = 1,17 - R1 = 1,17 - 2,5 = - 1,33 t / Qcd = - 1,33 - 2,0 = - 3,33 t / Qde = - 3,33 - 10 = - 13,33 t 4 - calcular o momento fletor: Análise p/esquerda Mad = 12 t.m (t. f. i.)/ Mbe = Mbd = 12 t.m (t. f. i.) Análise p/esquerda Mce = Mcd = (Vd . 2,5 + 4 .2,5) (t. f. i.) - (R2. 1,25 + 9) (t. f. s.) = = 33,325 (t. f. i.) - 21,5 (t. f. s.) = 11,825 t.m (t. f. i.) Mde = 9 t.m (t. f. s.) 2 t 2,5 m 2,5 m 2,0 m 8 t R1 = 2,5 t R2 = 10 t a b c d Hd Vb=6,83 t 1,25 m 1,25 m 1,0 m 12 t.m 9 t.m Vd= 9,33 t 4 t Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 12Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 13 OBS1: Dedução da equação do momento de uma carga distribuída uniforme sobre uma viga isostática (M = qL2/ 8): Diagrama de Cortante: O cortante é nulo no meio do vão. Seção com cortante nulo o momento fletor é máximo. O valor do momento no meio do vão (Ms) é dado por: Ms = Va . L/2 - { R. [(L/2) /2 ] } = q.L/2 . L/2 - q.L/2 . L/4 Ms = q.L 2/4 - q.L2/8 = ( 2q.L2 - q.L2)/ 8 Ms = q.L 2/8 a b q L Va Vb Ha a b L Va = q.L/2 Vb = q.L/2 Ha = 0 R = q.L a b qL/2 qL/2 L/2 a b L/2 Va = q.L/2 Vb = q.L/2 Ha = 0 R = q.L/2 s s Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 14 OBS2: No trecho sob carga distribuída uniforme, o diagrama de momento fletor é parabólico (parábola do 20 grau). Neste trecho do diagrama é utilizado um processo gráfico para sua construção, o qual é descrito a seguir. PASSO1 PASSO2 PASSO3 PASSO4 d b 8,0 t.m 20,3 t.m l/2 d b 8,0 t.m 20,3 t.m l (q. l2)/8 Liga-se o ponto G aos momentos das extremidades G Marca-se o ponto médio de cada trecho JJ A parábola tangencia estes pontos 1 2 3 1 2 3 Liga-se os momentos das extremidades por uma linha auxiliar linha auxiliar 1 2 3 1 2 3 Traça-se uma linha vertical no meio do trecho, a partir do encontro com a linha auxiliar marca-se duas 2 vezes o valor (q. l2 )/8 ( q.l2)/8 l/2 d b 8,0 t.m 20,3 t.m l (q. l2)/8 l/2 l Divide cada trecho G1 e G2 em 4 partes iguais G1 G G Liga-se os pontos: 1,3 2,2 3,1 G2 l/2 l (q. l2)/8 d b 8,0 t.m 20,3 t.m JJ JJ JJ Obs: a parábola sempre tangencia o ponto abaixo da linha auxiliar 1 vez o valor (q. l2)/ 8 G Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 15 Exemplo2: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para a viga isostática apresentada a seguir. Resolução: F1x = 4 . cos 60 0 = 2,0 t F1y = 4 . sen 60 0 = 3,46 t 1 - calcular as reações de apoio: + Σ Fx = 0 � 4 + Ha - F1x + 1 = 0 � Ha = -3,0 t � Ha = 3,0 t O sinal - de indica que Ha é para esquerda. + Σ Fy = 0 � Va + Vb + R1 - 1 - F1y - R2 = 0 � Va + Vb = 1,46 t Σ Ma = 0 + � Vb . 8,5 + 8 - R2 . 6,25 - 1. 4,0 - F1y . 4,0 + 15 + R1 .1,5 = 0 Vb = 3,89 t � Va = -2,43 t � Va = 2,43 t Considerações para determinar os esforços em cada seção: a análise pode ser feita da esquerda para direita � ou a análise pode ser feita da direita para esquerda cada seção será analisada: imediatamente antes (décimos de milímetro à esquerda) e imediatamente após (décimos de milímetro à direita) Exemplo seção c: ce: Análise da esquerda para a direita � Nce = x1 ; Qce = y1 ; Mce = w1 Análise da direita para a esquerda Nce = x1 ; Qce = y1 ; Mce = w1 cd: Análise da esquerda para a direita � Nce = x2 ; Qce = y2 ; Mce = w2 Análise da direita para a esquerda Nce = x2 ; Qce = y2 ; Mce = w2 O valor do esforço em cada seção tem ser o mesmo independente do lado escolhido para fazer a análise. Se o valor for diferente existe um erro na análise. c 1,5 m 600 8 t.m 4 t 1 t q2= 2 t/m 15 t.m 4 t 1 t 4,5 m 1,0 m 3,0 m 600 8 t.m 4 t 1 t R2 = q2 . 4,5 = 9,0 t 15 t.m 4 t 1 t 4,5 m 1,0 m 3,0 m a Va Vb Ha d b 2,25 m 600 4 t F1Y F1X c ce cd q1=4 t/m R1 = q1 . 3 = 12 t Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 16 Ha = 3,0 t Vb = 3,89 t Va = 2,43 t 2 - calcular o esforço normal: Análise pela/esquerda Nad = - 4 + Ha = -1,0 t / Nce = -1,0 t / Ncd = -1,0 t / Nde = -1,0 t Ndd = -1,0 + F1x = 1,0 t / Nbe = 1,0 t Verificação: p/direita � Este passo foi realizado para demonstrar que o valor do esforço é o mesmo independente do sentido de análise utilizado. Nbe = 1,0 t / Ndd = 1,0 t / Nde = 1,0 - F1x = -1,0 t / Ncd = -1,0 t Nce = -1,0 / Nad = -1,0 t 3 - calcular o esforço cortante: Análise p/esquerda Qad = -Va = - 2,43 t / Qce = -2,43 + R1= 9,57 t / Qcd = 9,57 t / Qde = 9,57 t / Qdd = 9,57 - F1Y - 1,0 = 5,11 t / Qbe = 5,11 - R2 = - 3,89 t Verificação: p/direita Qbe = -Vb = - 3,89 t / Qdd = - 3,89 + R2 = 5,11 t/ Qde = 5,11 + 1,0 + F1Y = 9,57 t 4 - calcular o momento fletor: Análise p/esquerda Mad = 0 / Mce = Va . 3,0 (t. f. s.) - R1 .1,5 (t. f. i.) = - 10,71 t.m (t. f. i.) �10,71 t.m (t. f. i) Mcd = 10,71 (t. f. i.) - 15 (t. f. s.) = - 4,29 t.m (t. f. s.) � 4,29 t.m (t. f. s.) Mde = Mdd = Va . 4,0 + 15 (t. f. s) - R1 .2,5 (t. f. i.) = = 9,72 + 15 ( t. f. s.) - 30,0 (t. f. i.) = - 5,28 t.m (t. f. i) � 5,28 t.m (t. f. i) Mbe = Va . 8,5 + 15 + F1y . 4,5 + 1,0. 4 ,5 + R2 . 2,25 (t. f. s.) - R1 .7,0 (t. f. i.) = = 20,655 + 15 + 15,57 +4,5 + 20,25 (t. f. s.) - 90 (t. f. i.) = -8,025 t.m (t. f. i)Mbe ≅≅≅≅ 8,0 t.m (t. f. i) Na prática o Mbe é feito automaticamente pela direita ���� mais rápido e fácil Mbe = 8,0 t.m (t. f. i.) Verificação: p/direita Mde = Mde = Vb. 4,5 + 8,0 (t. f. i.) - R2 . 2,25 (t. f. s.) = 17,51 + 8,0 (t. f. i) - 20,25 (t. f. s.) = 5,26 t.m (t. f. i.) OBS: Análise pela direita � Mde = Mde = 5,26 t.m (t. f. i.) Análise pela esquerda � Mde = Mde = 5,28 t.m (t. f. i.) DIFERENÇA INSIGNIFICANTE DEVIDO AOS ARREDONDAMENTOS; F1Y = 3,46 t F1X = 2,0 t c 1,5 m 8 t.m 1 t R2 = q2 . 4,5 = 9,0 t 15 t.m 4 t 1 t 4,5 m 1,0 m 3,0 m a Va Vb Ha d b 2,25 m R1 = q1 . 3 = 12 t Momento ���� não tem sinal Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 17 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 18 1 Lista de exercícios: Determine os diagramas dos esforços solicitantes (DN; DQ; DM) das vigas apresentadas a seguir: a) b) c) d) 5 t 3 t 5 t 8 t.m 4 t 3,0 m 4,0 m 4,0 m 600 4 t q = 3 t/m 3 t 1,5 m 1,5 m 4,0 m q = 3 t/m 3 t.m 1 t 3,0 m 1,5 m 2,0 m 3 t q = 2 t/m 3 t.m 2 t.m q = 4 t/m 5 t 3,5 t 2,0 m 3,0 m 3,0 m Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 19 e) f) g) h) 2 t.m q = 4 t/m 450 4 2 t 2,5 t 2,0 m 3,0 m 3,0 m 3 t 5 t 8 t.m 4 t 3,0 m 4,0 m 4,0 m q = 2 t/m 5 t.m 3 t.m 4 t q = 3 t/m 3 t 1,5 m 1,5 m 4,0 m 3 t.m 6 t.m 4 t.m 5 t q = 3 t/m 3 t.m 1 t 3,0 m 1,5 m 2,0 m 3 t Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 20 Exemplo3: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para a viga isostática apresentada a seguir. Resolução: F1x = 3 . cos 45 0 = 2,12 t F2x = 2 . cos 60 0 = 1,0 t F1y = 3 . sen 45 0 = 2,12 t F2y = 2 . sen 60 0 = 1,73 t 1 - calcular as reações de apoio: + Σ Fx = 0 � - 2 + Ha + F1x + F2x = 0 � Ha = -1,12 t � Ha = 1,12 t O sinal - de indica que Ha é para esquerda. + Σ Fy = 0 � Va = F1y + F2y + R � Va = 12,85 t Σ Ma = 0 + � Ma + 17 - F1y . 1,0 - F2y . 2,0 - R . 3,5 = 0 � Ma = 20,08 t.m Ha = 1,12 t Va = 12,85 t Ma = 20,08 t.m 600 2 t q = 3 t/m 450 3 t 17 t.m 2 t 3,0 m 1,0 m 1,0 m 600 2 t R = 3. 3 = 9 t 450 3 t 17 t.m 2 t 3,0 m 1,0 m 1,0 m a b c d Va Ha Ma 1,5 m 450 3 t F1Y F1X 600 2 t F2Y F2X Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 21 Ha = 1,12 t Va = 12,85 t Ma = 20,08 t.m 2 - calcular o esforço normal: Análise p/esquerda Nad = Ha = 1,12 t / Nbe = 1,12 t / Nbd = 1,12 - F1x = -1,0 t / Nce = -1,0 t Ncd = -1,0 - F2x = -2,0 t / Nde = -2,0 t Verificação: p/direita Nde = - 2,0 t / Ncd = - 2,0 t / Nce = - 2,0 + F2x = - 1,0 t / Nbd = - 1,0 t Nbe = - 1,0 + F1x = 1,12 t / Nad = 1,12 t 3 - calcular o esforço cortante: Análise p/esquerda Qad = +Va = 12,85 t / Qbe = 12,85 t / Qbd = 12,85 - F1Y = 12,85 - 2,12 = 10,73 t Qce = 10,73 t / Qcd = 10,73 - F2Y = 9,0 t / Qde = 9 - R = 0 Verificação: p/direita Qde = 0 / Qcd = 9 t / Qce = 9 F2Y = 19,73 t 4 - calcular o momento fletor: Análise p/esquerda Mad = Ma (t. f. s.) = 20,08 t. m (t. f. s.) / Mbe = 20,08 (t. f. s.) - Va . 1,0 (t. f. i.) Mbe = 7,23 t.m (t. f. s.) Mbd = 7,23 (t. f. s.) + 17 (t. f. s.) = 24,23 t.m (t. f. s.) Mce = Mcd = 20,08 (t. f. s.) - Va . 2,0 (t. f. i.) + F1y . 1,0 (t. f. s.) + 17(t. f. s.) Mce = Mcd = 13,5 t.m (t. f. s.) Mde = 20,08 (t. f. s.) - Va . 5,0 (t. f. i.) + F1y . 4,0 (t. f. s.) + 17(t. f. s.) + F2y . 3,0 (t. f. s.) + R . 1,5 (t. f. s.) Mde = 0 Verificação: p/direita Mde = 0 / Mce = Mcd = R. 1,5 (t. f. s.) = 13,5 t.m (t. f. s.) Mbd = R. 2,5 (t. f. s.) + F2y . 1,0 (t. f. s.) = 24,23 t.m (t. f. s.) Mbe = R. 2,5 (t. f. s.) + F2y . 1,0 (t. f. s.) - 17 (t. f. i.) = 7,23 t.m (t. f. s.) F1x = 2,12 t R = 3. 3 = 9 t 17 t.m 2 t 3,0 m 1,0 m 1,0 m a b c d Va Ha Ma 1,5 m F1Y = 2,12 t F2Y = 1,73 t F2X = 1,0 t Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 22Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 23 2 Lista de exercícios: Determine os diagramas dos esforços solicitantes (DN; DQ; DM) das vigas apresentadas a seguir: a) b) c) d) e) 3,5 t.m 2,0 m 2,0 m 4,0 m 450 6 t q = 2 t/m 1 t 2,0 m 3,0 m 3,0 m q = 1 t/m 2 t.m 4 t 4,0 m 2,0 m q = 3 t/m 450 4 2 t 3,0 m 2,0 m 3 t 600 3 t 600 4 t q = 2 t/m q = 4 t/m 2 t.m q = 4 t/m 4 t.m 6 t.m q = 3 t/m 4 t 5 t.m 5 t q = 2 t/m 1 t 2,0 m 3,0 m 3,0 m q = 4 t/m 4 t.m Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 24 - Viga Gerber: A viga Gerber é composta por uma associação de vigas simples. Esta associação (união, ligação) é obtida por meio de rótulas. As rótulas utilizadas para ligar as vigas simples podem ser classificadas da seguinte forma: Tipo 1: permite deslocamento horizontal e rotação. Este tipo de rótula apresenta a seguinte representação gráfica. � Este tipo de rótula possui um comportamento semelhante ao de um apoio interno de 1 gênero; = Tipo 2: permite apenas rotação. Este tipo de rótula apresenta a seguinte representação gráfica. � Este tipo de rótula possui um comportamento semelhante ao de um apoio interno de 2 gênero; = A seguir são apresentados alguns casos práticos que ilustram os diferentes Tipos de rótulas; Rótula Tipo1: permite deslocamento horizontal e rotação Este tipo de rótula é muito comum em vigas compostas de concreto armado e de aço. Estas vigas são apoias uma sobre as outras e utilizam como elementos de ligação: Caso 1-- roletes de aço: Representação gráfica: esquemática para cálculo; = Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 25 Apoio bom Apoio ruim: danificado Representação esquematicamente o apoio instalado na cabeceira da ponte Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 26 Caso 2 -- Aparelhos de rolamento, de escorregamento: Representação gráfica: esquemática para cálculo; = -- Aparelho de apoio do tipo escorregamento (almofadas de material resiliente – almofadas de NEOPRENE) Sanduíche:placa de aço + placa de Neoprene Neoprene: borracha sintética (polímero) Modelo em Neoprene Modelo da Empresa Sneha Bearings: Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 27 Rótula Tipo2: permite apenas rotação Este tipo de rótula além de ser utilizada em vigas compostas de concreto armado é utilizada para unir vigas de aço. Estas vigas são conectadas por meio de pinos: Caso 1 -- Aparelhos de rolamento (aço), em vigas de concreto: Representação gráfica: esquemática para cálculo; = -- Aparelhos de rolamento (aço) Modelos em aço Modelos da Empresa Sneha Bearings: Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 28 Caso 2 – Pinos utilizados para conectar vigas de aço: CORTE: AB Representação gráfica: esquemática para cálculo; = A B Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 29 Um exemplo muito comum de viga Gerber são as pontes e viadutos de concreto armado. A seguiré apresentada uma ponte esquematizada, que é um exemplo típico de viga Gerber. A seguir é apresentada a representação gráfica do exemplo de viga Gerber ilustrada acima. Esta representação será utilizada ao longo da apostila. Os pontos c, d � transmitem apenas forças, porém não são capazes de transmitir momento algum, ou seja, não impedem a rotação da estrutura nestes pontos. Os pontos c, d são denominados por rótulas, ou seja, conexão capaz de transmitir apenas forças. Esta conexão é representada conforme ilustrado na figura acima Obs1: O momento à direita e à esquerda da rótula é nulo, exceto nos casos com carga momento aplicado à direita ou à esquerda da rótula, conforme apresentado a seguir. Mse = M1 Mse = 0 Mse = M3 Msd = 0 Msd = M2 Msd = M3 Para resolver uma viga Gerber e necessário fazer sua decomposição, ou seja, dividi-la em vigas simples. Porém, ao fazer esta divisão podem ser encontradas vigas simples isostáticas bem como vigas simples hiperestáticas, conforme ilustrado a seguir. c d a b c d e f a b e f s s s M1 M2 M3 M3 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 30 Viga hiperestática N.R.A.= 4 N.E.E.= 3 Viga isostática Viga isostática N.R.A.= 3 N.R.A.= 3 N.E.E.= 3 N.E.E.= 3 Como a disciplina aborda apenas ESTRUTURA ISOSTÁTICA, não é possível calcular as reações de apoio desta Viga Gerber somente com os conceitos da estática da estrutura; Portanto, a apostila trabalha apenas com casos em que as Vigas Gerber podem ser divididas em várias VIGAS SIMPLES ISOSTÁTICAS. PROCEDIMENTO PARA RESOLVER UMA VIGA GERBER: - Realizar sua decomposição, ou seja, dividir a viga Geber em várias: Vigas simples isostáticas � com no máximo três reações de apoio. A seguir são apresentadas algumas dicas para facilitar a decomposição. Dica 1: o trecho entre duas rótulas consecutivas fica sempre apoiado sobre os trechos vizinhos. As rótulas são consideradas como apoios destes trechos. Lembrete: = = Lembrete: = = Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 31 Dica 2: a viga Gerber sempre será um associação dos seguintes casos de vigas simples isostáticas (três reações de apoio no MÁXIMO) . Porém, nem sempre uma viga Gerber é composta por todos os casos apresentados a seguir. Viga biapoiada simples Viga biapoiada com balanço simples Viga engastada e livre Dica 3: durante o processo de decomposição deve-se verificar se a estrutura é estável. A seguir são apresentados alguns exemplos de estruturas que não são estáveis, ou seja, estruturas instáveis = ESTRUTURA HIPOSTÁTICA. EX1: Estrutura instável � a estrutura pode mover-se na horizontal. EX2: Estrutura instável � trecho funciona como uma gangorra (balanço). EX3: Estrutura instável � trecho funciona como uma gangorra (balanço). Estrutura instável = ESTRUTURA HIPOSTÁTICA Conforme a dica 1 o trecho entre duas rótulas fica sempre apoiado sobre os trechos vizinhos. Porém, o trecho à direita não é instável. Neste caso o trecho funciona como uma gangorra (balanço). Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 32 Exemplos: Realizar a decomposição das vigas Gerber, indicar a ordem de resolução e verificar a estabilidade da estrutura (Estrutura estável ou instável); Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 33 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 34 3 Lista de exercícios: Realizar a decomposição das vigas Gerber, indicar a ordem de resolução e verificar a estabilidade da estrutura (Estrutura estável ou instável); a) b) c) d) e) f) g) Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 35 h) i) j) l) m) n) o) p) Curso: Engenharia Civil;Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 36 q) r) Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 37 Exemplo4: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para a viga Gerber apresentada a seguir. Resolução: 1 - Decompor a viga Gerber: F1x = 4,0 . cos 45 0 = 2,83 t F1y = 4,0 . sen 45 0 = 2,83 t 2 - calcular as reações de apoio: Viga 1: + Σ Fx = 0 � He + F1x - 1 = 0 � He = -1,83 t � He = 1,83 t + Σ Fy = 0 � Vd + Ve = F1y � Vd + Ve = 2,83 t Σ Md = 0 + � Ve . 3,0 - 4,0 = 0 � Ve = 1,33 t ; Vd = 1,50 t Viga 2: + Σ Fx = 0 � Hb= 0 + Σ Fy = 0 � Vb + Vc = R2 + Vd’ � Vb + Vc = 13,5 t Σ Mb = 0 + � Vc . 4,0 - 3,0 - R2 . 2,0 - Vd’ . 5,5 = 0 � Vc = 8,81 t ; Vb = 4,69 t ; Viga 3: + Σ Fx = 0 � Ha = 0 + Σ Fy = 0 � Va = R1 + Vb’ = 0 � Va = 7,69 t Σ Ma = 0 + � - Vb’ . 3,0 + 3.0 - R1 . 1,5 - Ma = 0 � Ma = - 15,57 t.m � Ma = 15,57 t.m d F1X 450 Vb’ R1= 3 t 1,5 m 4 t.m Vd’ 3 t.m 1,5 m 4,0 m 3 m q1 = 1 t/m 3 t.m q2 = 3 t/m 3,0 m 1 t 450 4,0 t 3 m b a e d 1,5 m 2 m 3,0 m 4,0 m Vb Vc He R2 = 12 t Ve Vd Va Ha 1 3 2 4 t.m 4,0 t F1Y Ma 3 t.m 1 t 450 4,0 t Hb Hb’ Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 38 Resolução: Ma = 15,57 t.m; Va = 7,69 t; Ha = 0; Vb = 4,69 t; Vc = 8,81 t; Hc = 0 ; Vd = 1,50 t; Ve = 1,33 t; He = 1,83 t 3 - calcular o esforço normal: Análise p/esquerda Nad = 0 t / Nbe = 0 t / Nbd = 0 / Nce = 0 t/ Ncd = 0 t / Nde = 0 t / Ndd = - F1x = - 2,83 t Nee = -2,83 t Obs: análise p/direita: por exemplo: Nee = -1,0 - He = - 2,83 t 4 - calcular o esforço cortante: Análise p/esquerda Qad = 7,69 t / Qbe = Va = 7,69 t - R1 = 4,69 t / Qbd = Vb = 4,69 t / Qce = 4,69 - R2 = - 7,31 t Qcd = - 7,31 + Vc = 1,50 t / Qde = Vd’ = 1,50 t / Qdd = Vd - F1y = + 1,50 - 2,83 = -1,33 t / Qde = - 1,33 t Obs: análise p/direita: por exemplo: Qbe = Vb’ = 4,69 t / Qde = Qcd = Vd’ = 1,50 t 5 - calcular o momento fletor: Pelo lado mais fácil Mad = 15,57 t.m (t. f. s.) / Mbe = Mbd = 3 t.m (t. f. i.) Mce = Mcd = Vd’ . 1,5 (t. f. s.) = 2,25 t.m (t. f. s.) / Mde = Mdd = 0 (t. f. s.) Mee = 4 t.m (t. f. s.) F1X = 2,83 t Vb’ R1= 3 t 1,5 m Vd’ 3 t.m 3 m b a e d 1,5 m 2 m 3,0 m 4,0 m Vb Vc He R2 = 12 t Ve Vd Va Ha 1 3 4 t.m F1Y = 2,83 t Ma 3 t.m 1 t Hb Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 39 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 40 Exemplo5: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para a viga Gerber apresentada a seguir. a) Resolução: 1 - Decompor a viga Gerber: F1x = 3 . cos 30 0 = 2,60 t F2x = 2 . cos 60 0 = 1,0 t F1y = 3 . sen 30 0 = 1,50 t F2y = 2 . sen 60 0 = 1,73 t 2 - calcular as reações de apoio: Viga 1: + Σ Fx = 0 � Ha= 0 + Σ Fy = 0 � Va + Vb = 4 t Σ Ma = 0 + � Vb . 3,0 + 5,0 - 4,0 . 3,0 = 0 � Vb = 2,33 t ; Va = 1,67 t Viga 2: + Σ Fx = 0 � F1x + F2x + Hd = 0 � Hd = - F1x - F2x � Hd = - 2,6 - 1,0 � Hd = - 3,6 Hd = 3,6 t + Σ Fy = 0 � Vc + Vd = Vb’ + F1y + R1 + F2y = 0 � Vc + Vd = 16,06 t Σ Md = 0 + �- 5,0 + Vb’. 4,5 + F1y . 3,5 - Vc . 3,5 + R1 .1,75 - 3,0 = 0 � 3,5. Vc = 26,11 Vc = 7,46 t Vd = 8,60 t Viga 3: + Σ Fx = 0 � Hd’ + He = 0 � He = - 3,60 t � He = 3,60 t + Σ Fy = 0 � - Vd’ + Ve = 0 � Ve = 8,60 t Σ Me = 0 + � Vd’ . 2,5 + 3,0 - Me = 0 � Me = 24,5 t.m b 1 m 3 t.m b 300 1 m 300 4 t 3 t 60 0 2 t 5 t.m 3 t.m q1 = 3 t/m 3,5 m 3,0 m 2,5 m 4 t 5 t.m 3,0 m Va Vb 1 3 t 600 2 t 5 t.m 2 a Ha c d Vc Vd 3,5 m 2,5 m 3 t.m d d e Ve He Me Vb’ Vd’ 3 Hd’ 300 3 t F1Y F1X 600 2 t F2Y F2X 1,75 m R1 = 10,5 t c d Hd Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 41 Resolução: Va = 1,67 t; Vb = 2,33 t; Vc = 7,46 t; Vd = 8,60 t; Hd = 3,60 t He = 3,60 t; Ve = 8,60 t; Me = 24,50 t.m 3 - calcular o esforço normal: Análise p/esquerda Nad = 0 / Nbe = Nbd = 0 / Nce = 0/ Ncd = - F1x = - 2,60 t / Nde = - 2,60 t / Obs: análise p/direita: por exemplo: Nde = + F1x - Hd = +1,0 - 3,60 Nde = -2,60 t Ndd = - Hd’ = - 3,60 t / Nee = - 3,60 t Obs: análise p/direita: por exemplo: Nee = - He = - 3,60 t 4 - calcular o esforço cortante: Análise p/esquerda Qad = Va = 1,67 t / Qbe = 1,67 t / Qbd = - Vb’ = - 2,33 t / Qce = - 2,33 t Qcd = - 2,33 - F1y + Vc = 3,63 t / Qde = 3,63 - R1 = - 6,87 t / Qdd = Vd’ = - 8,60 t Qee = - 8,60 t Obs: análise p/direita: por exemplo: Qde = - Vd + F2Y = - 6,87 t / Qee = - Ve = - 8,60 t 5 - calcular o momento fletor: Pelo lado mais fácil Mad = 0/ Mbe = Mbd = 5,0 t.m (t. f. i.) Mce = Mcd = Vb’ . 1,0 (t. f. s.) - 5,0 (t. f. i.) = - 2,67 t.m (t. f. i.) � como mencionado o momento não tem sinal, mas a fibra tracionada, então: Mce = Mcd = 2,67 t.m (t. f. i.) Mde = Mdd = 3,0 t.m (t. f. s.) / Mee = Me = 24,50 t.m (t. f. s.) 5 t.m 1 m 3 t.m b 4 t 3,0 m Va Vb 1 5 t.m 2 a b Ha c d Vc Vd 3,5 m 2,5 m 3 t.m d d e Ve He Me Vb’ Vd’ 3 Hd’ F1Y=1,50 t 1,75 m R1 = 10,5 t F1x=2,60 t F2Y=1,73 t F2x=1,0 t Hd Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 42 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 43 4 Lista de exercícios: Determine os diagramas de esforços solicitantes das vigas Gerber a seguir. a) b) c) d) e) 5 t 3 t q = 2 t/m q = 2 t/m 4,0 m 2,0 m 5,0 m 3 t q = 2 t/m 4,0 m 3,0 m 2,0 m 3,0 m q = 3 t/m 4 t.m 5 t 7 t.m 3,5 t 4 t.m 1,5 m 4,0 m 3 m q2 = 4 t/m 2 t.m q1 = 2 t/m 3,0 m 450 q = 3 t/m 5 t 2 t 3 t q = 2 t/m q = 2 t/m 4,0 m 2,0 m 3,0 m 2 m 2,0 m 2,0 m q = 3 t/m 3 t 2 t.m q = 4 t/m 5 t 3,5 t 2,0 m 3,0 m 3,0 m 4,0 m q = 2 t/m 450 t 5 t Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 44 f) g) h) 3,0 m 3 t 3 t q = 4 t/m 3,5 m 1,5 m 3,0 m 1 m 1 m 4,0 m q = 2 t/m 60 0 6 t.m 2 t 450 4 t 4t 3,0 m 3,0 m 1,5 m q = 3 t/m 7 t.m 3 t 6 t.m 1,5 m 450 4 t q = 3 t/m 3 t 1,5 m 1,5 m 4,0 m 3 t.m 6 t.m 4 t.m 8 t.m 5,5 m q = 2 t/m 4,0 m Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 45 Exemplo 6: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para a viga Gerber apresentada a seguir. Resolução: 1 - Decompor a viga Gerber: F1x = 3 . cos 30 0 = 2,60 t F2x = 6 . cos 45 0 = 4,24 t F1y = 3 . sen 30 0 = 1,50 t F2y = 6 . sen 45 0 = 4,24 t 2 - calcular as reações de apoio: Viga 1: Para a viga 1 ser estável + Σ Fx = 0 � F1X - F2X = -1,64 t (-) para a esquerda � surge na extremidade esquerda uma força Fc = 1,64 t � para direita + Σ Fy = 0 � Vc + Vd = F1Y + R3 + F2Y � Vc+ Vd = 12,74 Σ Mc = 0 + � Vd . 3,5 + 8,0 - F2Y . 3,5 - R3 . 1,75 = 0 � Vd = 5,45 t ; Vc = 7,29 t Viga 2a: + Σ Fx = 0 � Ha + F1x - F2x = 0 � Ha + 2,60 - 4,24 = 0 � Ha = 1,64 t + Σ Fy = 0 � Va + Vb = 4,0 + R1 + R2 + Vc’ � Va + Vb = 23,29 t Σ Ma = 0 + � -Vc’. 4,0 - R2 . 3,5 + 5,0 + Vb . 3,0 - R1 .1,5 = 0 � 3,0. Vb = 48,16 Vb = 16,05 t ; Va = 7,24 t Viga 2b: + Σ Fx = 0 � He = 0 + Σ Fy = 0 � - Vd’ + Ve = 0 � Ve = 5,45 t Σ Me = 0 + � Vd’ . 2,5 - 8,0 - Me = 0 � Me = 5,625 t.m d d 6 t F2X 3 t F1X F2Y d b 8 t.m 1 m 300 4 t 3 t 450 6 t 5 t.m 8 t.m q2 = 2 t/m 3,5 m 3,0 m 2,5 m 5 t.m 3,0 m Va Vb 2a 4 t 1 a Ha c d Vc Vd 3,5 m 2,5 m 8 t.m e Ve He Me Vc’ Vd’ 2b Fc’ 300 F1Y 450 1,75 m R3 = 7,0 t c q1 = 3 t/m 450 6 t 300 3 t 1,0 m c R1 = 9,0 t R2 = 3,0 t Fc Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 46 Resolução: Ha = 1,64 t; Va = 7,24 t; Vb = 16,05 t; Vc = 7,29 t; Vd = 5,45 t; He = 0 t; Ve = 5,45 t; Me = 5,625 t.m 3 - calcular o esforço normal: Análise p/esquerda Nad = -1,64 t / Nbe = Nbd = -1,64 t / Nce = -1,64 t / Ncd = - F1x - Fc = -2,60 - 1,64 = - 4,24 t Nde = - 4,24 t Ndd = 0 / Nee = 0 Obs: análise p/direita: por exemplo: Nde = - F2x = - 4,24 t 4 - calcular o esforço cortante: Análise p/esquerda Qad = Va - 4 = 3,24 t / Qbe = 3,24 - R1 = -5,76 t / Qbd = -5,76 + Vb = 10,29 t / Qce = 7,29 t Qcd = - F1y + Vc = 5,79 t / Qde = 5,794 - R3 = - 1,21 t / Qdd = - Vd’ = - 5,45 t Qee = - 5,45 t Obs: análise p/direita: por exemplo: Qde = - Vd + F2Y = - 1,21 t / Qee = - Ve = - 5,45 t 5 - calcular o momento fletor: Pelo lado mais fácil Mad = 0/ Mbe = Va . 3,0 (t. f. i.) - 4 . 3,0 (t. f. s.) - R1 . 1,5(t.f. s.) = - 3,78 t.m (t. f. s.) Mbe = 3,78 t.m (t. f. s.) Mbd = 3,78 (t. f. s) + 5,0 t.m (t. f. s.) = 8,78 t.m (t. f. s.) Mce = Mcd = 0 / Mde = 8,0 t.m (t. f. i.) Mdd = 8,0 t.m (t. f. i.) / Mee = 5,625 t.m (t. f. s.) Obs: análise p/direita: por exemplo: Mbe = Vc’ . 1 (t. f. s.) + R2 . 0,5 (t. f. s.) - 5,0 (t. f. i) = 3,79 t.m (t. f. s.) Fc= 1,64 t F1x = 2,60 t d d b 8 t.m 5 t.m 3,0 m Va Vb 2a 4 t 1 a Ha c d Vc Vd 3,5 m 2,5 m 8 t.m e Ve He Me Vc’ Vd’ 2b Fc’ 1,75 m R3 = 7,0 t 1,0 m c R1 = 9,0 t R2 = 3,0 t F1Y = 1,50 t F2Y = 4,24 t F2x = 4,24 t Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 47 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 48 5 Lista de exercícios: Determine os diagramas de esforços solicitantes das vigas Gerber a seguir. a) b) c) d) e) f) 3,0 m 3,0 m 3,0 m 1,5 m 1,5 m 4 t 6 t q = 3 t/m q = 2 t/m 4,0 m 2,0 m 3,0 m 2 m 4,0 m 3 t 3 t q = 3 t/m 2,5 m 4,0 m 1 m 4,0 m 1,5 m q = 2 t/m 60 0 5 t.m 6 t 450 4t q = 2 t/m 7 t.m 3 t 8 t.m 3 t q = 2 t/m 4,0 m 3,0 m 2,0 m 3,0 m q = 3 t/m 2 t.m 5 t 4 t.m 450 5 t 600 3 t.m 300 3 t 450 5 t 1 m 5 t.m 300 6 t q = 1 t/m 2 t 3 t q = 2 t/m q = 1 t/m q = 3 t/m 4,0 m 2,0 m 3,0 m 2 m 4,0 m 3 t 600 2 t.m 300 4 t 2,5 m 1 m 450 3 t 3,0 m q2 = 2 t/m 4 t.m q1= 3 t/m 3,5 m 600 3 t 300 6 t 4,5 t 450 4,5 t Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 49 - Viga Inclinada: A viga Inclinada está presente em muitas estruturas usuais, entre estas, estão as escadas, as rampas, lajes inclinadas, entre outras. Escada Rampa Os casos possíveis de viga Inclinada são os mesmos das vigas horizontais simples, ou seja, viga biapoiada, viga biapoiada com balanço e viga engastada e livre O procedimento para determinar as reações de apoio, os esforços solicitantes (esforço Normal, esforço Cortante e Momento Fletor) é o mesmo das vigas horizontais. Vale lembrar que os diagramas dos esforços solicitantes são construídos marcando-se o valor do esforço em cada seção de forma perpendicular ao eixo viga. Assim, os diagramas dos esforços solicitantes para as vigas inclinadas assumem o seguinte aspecto: Para determinar o valor do esforço Normal e do esforço cortante para uma dada seção s qualquer de uma viga inclinada utiliza-se o seguinte procedimento: Esforço Normal na seção s: ΣΣΣΣF . cos ααααi ΣΣΣΣ (componentes normais das forças) NS = F1 . cos α1 + F2 . cos α2 + .... + Fn . cos αn Esforço Cortante na seção s: ΣΣΣΣF . sen ααααi ΣΣΣΣ (componentes perpendiculares das forças) QS = F1 . sen α1 + F2 . sen α2 + .... + Fn . sen αn OBS: ααααi ���� MENOR ÂNGULO ENTRE O EIXO DA FORÇA E O EIXO DA VIGA; ααααn αααα2222 αααα αααα b a b a b a c αααα αααα αααα PARA CADA SEÇÃO DA VIGA OS ESFORÇOS SÃO MARCADOS DE FORMA PERPENDICULAR AO EIXO DA VIGA αααα1111 F1 F2 Fn S Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 50 Exemplo7: determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para a viga inclinada apresentada a seguir. Resolução: 1 - calcular as reações de apoio: + Σ Fx = 0 � Ha + 4 = 0 � Ha = - 4,0 t � Ha = 4,0 t O sinal - de indica que Ha é para esquerda. + Σ Fy = 0 � Va + Vb= R � Va + Vb = 8,0 t Σ Ma = 0 + � - 3,0 - 4,0 . 4,5 + Vb .4,0 - R . 2,0 = 0 � 4,0 . Vb = 37 Vb = 9,25 t ; Va = -1,25 t � Va = 1,25 t sinal - de indica que Va é para baixo. αααα1111 4 t 3 t.m q = 2 t/m 4,0 m 2,0 m α α α α 3,0 m 1,5 m 4 t 3 t.m R = 2 . 4 = 8 t 4,0 m 2,0 m α α α α 3,0 m 1,5 m a b c α = tan-1 (3/4) α = 36,870 α1 = 90 0 - 36,870 = 53,130 2,0 m αααα1 αααα α α α α Va Ha Vb αααα1111 α α α α Va Ha Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 1 51 Resolução: Ha = 4,0 t ; Vb = 9,25 t ; Va = 1,25 t 2 - calcular o esforço normal: ΣΣΣΣF . cos ααααi Análise p/esquerda Nad = Ha . cos α + Va . cos
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